Закон изменения угловой скорости: Учреждение образования «Белорусский государственный
Учреждение образования «Белорусский государственный
%PDF-1.6 % 3345 0 obj >/Outlines 725 0 R/Metadata 3436 0 R/AcroForm 3346 0 R/Pages 3326 0 R/OCProperties>/OCGs[3347 0 R]>>/StructTreeRoot 761 0 R/Type/Catalog>> endobj 725 0 obj > endobj 3436 0 obj >stream 2014-01-02T13:55:13+02:002014-01-02T13:54:59+02:002014-01-02T13:55:13+02:00Adobe Acrobat 8.0 Combine Filesapplication/pdf
jQ5!P&)`py~=?o?;ϯD?:y-yQV%#.h(4A,q#s9äHߍ@{‘-‘f~ϭJ!P$>Yujb6n|,Qm5𢶗N]+0hMN `:
Угловое ускорение
Система понятий кинематики включает в себя также такую величину как угловое ускорение тела. Дадим ей определение, рассмотрим основные аспекты с использованием примеров.
Основные понятия
Определение 1Угловое ускорение – величина, характеризующая изменение скорости с течением времени.
Пусть рассматриваемый промежуток времени это: Δt=t1-t, а изменение угловой скорости составит Δω=ω1-ω, тогда числовое значение среднего углового ускорения за тот же интервал времени: ε=∆ω∆t=ε. Перейдем к пределу, когда Δt>0, тогда формула углового ускорения будет иметь вид: ε=lim∆t→0∆ω∆t=dωdt=d2φdt=ω˙=φ¨.
Определение 2Числовое значение ускорения в заданный момент времени есть первая производная от угловой скорости или вторая производная от угла поворота по времени.
Размерность углового ускорения 1T2 (т.е. 1время2). Укажем также, в чем измеряется угловое ускорение: за единицу измерения стандартно принимается рад/с2 или иначе: 1с2(с-2).
Определение 3Ускоренное вращение тела – это вращение, при котором угловая скорость (ее модуль) возрастает с течением времени.
Определение 4Замедленное вращение тела – это вращение, при котором угловая скорость (ее модуль) убывает с течением времени.
В общем, довольно просто заметить, что, если ω и ε имеют одинаковые знаки, наблюдается ускоренное вращение, а, когда противоположные знаки – замедленное.
Рисунок 1. Вектор углового ускорения
Если мы представим угловое ускорение как вектор ε→=dω→dt, имеющий направление вдоль оси вращения, то в случае ускоренного вращения ε→ и ω→ совпадут по направлениям (левая часть
рисунка 1) и будут противоположны по направлениям в случае замедленного вращения (правая часть
рисунка 1).
Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!
Описать заданиеЗакон равнопеременного вращения
Определение 5Равнопеременное вращение – вращение, при котором угловое ускорение во все время движения является постоянным (ε=const).
Выведем формульно закон равнопеременного вращения. Пусть в начальный момент времени t0 угол вращения равен ϕ=ϕ0; угловая скорость — ω=ω0 (т.е. ω0 является начальной угловой скоростью).
Выражение ε=dωdt=ω˙=φ¨ дает нам возможность сделать запись: dω=εdt. Проинтегрируем левую часть крайней записи в пределах от ω0 до ω, а правую – в пределах от 0 до t, тогда:
ω=ω0+εt, dφ=ω0dt+εtdt.
Проинтегрируем вторично и получим формулу, выражающую закон равнопеременного вращения:
Определение 6Закон равнопеременного вращения: φ=φ0+ωt+εt22.
Вращение является равноускоренным, когда ω и ε имеют одинаковые знаки.
Вращение является равнозамедленным, когда ω и ε противоположны по знаку.
Угловое ускорение имеет связь с полным и тангенциальным ускорениями. Пусть некоторая точка вращается неравномерно по окружности с радиусом R, тогда: αr=εR. Нормальное ускорение имеет также связь с угловым: an=ω2R. Учтем это выражение и для полного ускорения получим: a=ar2+an2=Rε2+ω4 Для равнопеременного движения: ω=εt; an=ω2R=ε2t2R и a=Rε2+ε4t4=Rε1+ε2t4.
Практические примеры
Пример 1На рисунке 2 заданы различные типы вращения гироскопа (волчка). С учетом соответствующих подписей необходимо указать, какой рисунок верно демонстрирует направление углового ускорения.
Рисунок 2
Решение
Правило буравчика (правого винта) связывает направление вращения и псевдовектор угловой скорости. Рисунки 2.1. и 2.3. показывают направление псевдовектора вверх, а рисунки 2.2. и 2.4. – вниз.
Когда угловая скорость возрастает, ее приращение и вектор ускорения совпадут с вектором угловой скорости (рисунки 2.1. и 2.4.). Когда угловая скорость будет уменьшаться, ее приращение и вектор ускорения окажутся противоположно направлены вектору угловой скорости (рисунки 2.2. и 2.3.). Таким образом, все рисунки демонстрируют верное направление углового ускорения.
Пример 2Пусть задана некоторая материальная точка, совершающая движение по окружности с радиусом R. При этом выражение ϕ=αt3 отражает зависимость угла поворота от времени. Необходимо найти полное ускорение заданной точки как функцию времени.
Решение
Запишем выражения для угловой скорости и углового ускорения заданной точки:
ω=dφdt=3αt2; ε=6αt.
Полное ускорение запишем как:
a=ar2+an2=Rε2+ω4=R36a2t2+81a4t8=3atR4+9a2t6.
Определение закона изменения угловой скорости платформы
Задание для контрольной работы по теоретической механике (динамика Д3) | |
a. Однородная горизонтальная платформа (прямоугольная плита со сторонами 2R и R, R=0.5м) имеющая массу m1=16 кг, жестко скреплена с вертикальным валом и вращается вместе с ним вокруг оси z с угловой скоростью w0=2 с-1. В момент времени t0=0 на вал начинает действовать вращающий момент М=6t, направленный противоположно w0; одновременно груз D массой m2=10 кг, находящийся в желобе AB в точке С, начинает двигаться по желобу под действием внутренних сил по закону s=CD=0.4t2. Определить закон изменения угловой скорости платформы w=f(t). | |
b. Механическая система состоит из грузов 1 и 2 (m1=0кг, m2=6кг), ступенчатого шкива 3 (m 3=4кг) с радиусами ступеней R3=03.м и r3=0.1м и радиусом инерции относительно оси вращения r3=0.2м, блока 4 (m4=0) радиуса R4, подвижного блока 5 (m5=5кг). Тело 5 считать сплошным однородным цилиндром. Коэффициент трения грузов о плоскость f=0.1. Тела системы соединены друг с другом нитями, перекинутыми через блоки и намотанными на шкив 3. К одному из тел прикреплена пружина с коэффициентом жесткости c=200 Н/м, ее начальная деформация равна нулю. Система приводится в движение из состояния покоя под действием силы F=80(4+5s) Н, зависящей от перемещения s точки ее приложения. На шкив 3 при движении действует постоянный момент М=1.2 Н*м сил сопротивления. Определить w3 в тот момент времени, когда s=0.2 м. |
Решение задачи a
Рассмотрим механическую систему, состоящую из платформы и
груза D. Для определения
На систему действуют внешние силы Р1, Р2 (вес платформы и груза), реакции в оси и момент М. Все силы параллельны или пересекают ось z, поэтому в сумму моментов в правой части теоремы они не войдут, так как их моменты относительно оси z равны нулю. Тогда, считая положительным направление w0 против хода часовой стрелки, запишем теорему в виде: |
Разделяя переменные и интегрируя это уравнение, получим
(*)
Для рассматриваемой механической системы
(**)
где Lzпл и LzD – кинетические моменты платформы и груза относительно оси z соответственно
Так как платформа вращается вокруг оси z, то . Значение найдем по теореме Гюйгенса:
где — момент инерции относительно оси z:’, параллельной оси z и проходящей через центр С платформы.
Но, как известно, . Тогда и, следовательно,
.
Для определения обратимся к рисунку и рассмотрим движение груза D как сложное, считая его движение по платформе относительным, а вращение самой платформы вокруг оси z переносным движением. Тогда абсолютна скорость груза . Так как груз D движется по закону s=CD=0.4t2, то . Изображаем вектор с учетом знака ds/dt (при ds/dt<0 направление этого вектора было бы противоположным). Затем, учитывая направление w, изображаем вектор , численно vпер=w OD. Тогда, по теореме Вариньона
.
Но из рисунка видно, что OD2=R2+s2=R2
Тогда уравнение (*) примет вид
(***)
Постоянную интегрирования С1 определяем по начальным условиям: при t=0 w=w0. Получим С1=8.17w0=16.34. При этом значении С1 из уравнения (***) находим искомую зависимость w от t:
, где t — в секундах, w — в с-1.
Решение задачи b
Рассмотрим движение неизменяемой механической системы, состоящей из весомых тел 2,3,5 и невесомых тел 1,4, соединенных нитями.
1. Изобразим действующие на систему силы: активные F, Fупр, Р 3, Р2, Р5, реакции N2, N3, натяжение нити S5, силу трения F2тр и момент М. Для определения угловой скорости вращения шкива 3 воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии: 2. Определяем кинетическую энергию системы Т0 и Т. Так как в начальный момент система находилась в покое, то Т0=0. |
Величина Т равна сумме энергий всех тел системы, имеющих массу:
Т=Т3+ Т2+ Т5
Учитывая, что тело 3 вращается вокруг неподвижной оси, тело 2 движется поступательно, а подвижный блок 5 – плоскопараллельно, получим:
(*)
Все входящие сюда скорости нужно выразить через искомую w3. Для этого предварительно
заметим, что v5 (скорость центра подвижного
блока 5) и w5 (угловая
скорость вращения блока 5) связаны соотношением w
Подставляя все выражения для скоростей и моментов инерции в (*) получим окончательно выражение для кинетической энергии системы
3. Теперь найдем сумму работ всех действующих внешних сил при перемещении, которое будет иметь система, когда точка приложения силы F пройдет путь s=0.2 м. Введя обозначения s2 – перемещение груза 2, s5 – перемещение центра подвижного блока 5, j3 – угол поворота шкива 3, l0 и l1 – начальное и конечное удлинение пружины, получим
; ; ;
; ;
Работы остальных сил равны нулю, так как сила Р3 и реакция N3 приложены к неподвижной оси шкива 3, реация N2 перпендикулярна перемещению груза 2, а сила натяжения нити S5 – приложена к мгновенному центру скоростей подвижного блока 5.
По условию задачи l0=0 (начальная деформация пружины равна нулю), тогда l1=s5 (удлинение пружины равно перемещению центра подвижного блока 5). Кроме того, перемещение s точки приложения силы F связано с углом поворота шкива 3 соотношением j3R3=s (то есть j3=s/R3). Величины s2 и s5 нужно также выразить через заданное перемещение s. При этом учтем, что зависимость между перемещениями здесь такая же, как и между соответствующими скоростями. Так как, например, v2=w3r3, то и s2=j3r3; v5=v2 / 2, то и s5=s2 / 2. Тогда для перемещений s2 и s5 будем иметь: s2=(r3/R3)s, s5=(r3/2R3)s. При найденных значениях j3, s2 и s5 для суммы вычисленных работ получим
Подставляя полученные выражения для работы и кинетической энергии системы в теорему об изменении кинетической энергии будем иметь:
и, подставляя в это равенство численные значения заданных величин, найдем искомую угловую скорость:
Вращательные движения — Биомеханика движений фигуриста (Мишин А.Н.)
При рассмотрений обязательных упражнений мы встречались с разновидностями опорных вращательных движений. Мы знаем, что вращательные движения, например повороты, обусловлены главным образом встречным поворотом верхней части тела относительно нижней и не связаны с длительным и быстрым вращением всего тела. Напротив, в произвольном катании наиболее характерными являются движения, связанные с вращением всего тела вокруг продольной оси в 2; 2,5; 3; 3,5 и более оборотов в полете в прыжках, а во вращениях достигают нескольких десятков оборотов. Именно стремительные вращения вокруг вертикальной оси, пожалуй, являются наиболее ярким олицетворением движений произвольного катания.
Основы механики вращений
В связи с особой важностью вращательных движении в общем комплексе упражнений произвольного катания рассмотрим коротко основные понятия и терминологию механики вращательного движения тела вокруг вертикальной оси.
Характеристики вращательных движений. В качестве пример, вращающегося тела рассмотрим тело фигуриста, выполняющего пируэт на одной ноге (рис. 19, а). Будем условно считать, что вращение его тела происходит вокруг неподвижной оси.
Вращательным движением твердого тела относительно неподвижной оси называется такое движение, при котором две его точки остаются неподвижными. Ось, проходящая через эти точки, называется осью вращения. Вращение тела характеризуется угловой скоростью тела. Величина угловой скорости определяется отношением угла поворота тела к времени, за которое произошел этот поворот:
Угловая скорость характеризуется не только величиной, но и направлением в пространстве, т. е. является вектором, направленным по оси вращения в ту сторону, откуда вращение наблюдается против часовой стрелки. Различают среднюю угловую скорость, измеряемую в течение нескольких оборотов, и мгновенную угловую скорость тела в данный момент.
Если угловая скорость всех точек напряженного тела одинакова, то линейная скорость для каждой точки разная. Зависимость между угловой и линейной скоростями точки выражается формулой:
где R — расстояние точки от оси вращения.
Эта простая зависимость имеет во вращениях важное значение, так как при одной и той же угловой скорости тела со линейные скорости точек тела разные; чем дальше они остоят от оси вращения, тем их линейная скорость больше (рис. 19, б).
Рассмотрим ускорения точки вращающегося тела (рис. 20). Скорость точки является величиной векторной, т. е. может изменяться по величине и направлению в пространстве. Ускорение, вызванное изменением величины вектора скорости, называется касательным или тангенциальным; оно направлено по касательной к траектории движения точки, совпадает с направлением вектора скорости при ускоренном движении и противоположно вектору скорости при замедленном движении. Оно равно:
илиПри движении точки по окружности ,где — угловое ускорение тела, имеющее размерность
Ускорение, вызванное изменением направления вектора скорости точки, называется нормальным. Оно направлено по нормали в сторону вогнутости траектории и равно при движении точки по окружности . Ускорение точки имеет размерность м/с2.
На рис. 20 приведены векторы касательного и нормального ускорений точки кисти руки фигуриста в пируэте. Таким образом, если вектор скорости изменяется и по величине, и по направлению, то движущаяся точка имеет ускорение, состоящее из касательного и нормального. Геометрическая сумма этих ускорений называется полным ускорением и направлена по диагонали прямоугольника, построенного на векторах касательного и нормального ускорений.
Мерой инертности тела при. поступательном движении является его масса, измеряемая в килограммах. Во вращательном движении особое значение приобретает распределение массы тела относительно оси вращения: удаление массы тела от оси вращения увеличивает инертность тела во вращательном движении вокруг этой оси, а приближение к оси уменьшает.
Рис. 19. Схема вращения фигуриста |
Рис. 20. Ускорения точек вращающегося тела |
Мерой инертности тела во вращательном движении является момент инерции, равный сумме произведений масс частей тела на квадраты их расстояний до оси вращения:
где m — массы частей тела; r — расстояние масс тела до оси вращения.
Следует подчеркнуть, что в выражение для величины момента инерции входят расстояния масс частей тела до оси вращения во второй степени, что объясняет значительное изменение момента инерции тела с постоянной массой при перераспределении масс частей тела относительно оси вращения.
Одной из важных характеристик вращающегося тела является количество запасенного им вращательного движения. Она носит название момента количества движения*
или кинетического момента тела К. Величина кинетического момента вращающегося тела измеряется произведением момента инерции тела относительно оси I и угловой скорости, вращения тела вокруг этой оси :Кинетический момент является характеристикой, свойственной вращательному движению.
Закон сохранения момента количества движения
Для анализа вращательных движений фигуриста очень важно знать закон сохранения кинетического момента. Одним из свойств вращающегося тела является стремление сохранить количество приобретенного вращательного движения, или, другими словами, величину кинетического момента. Для рассматриваемого нами случая закон сохранения кинетического момента может быть упрощенно сформулирован следующим образом:
«Кинетический момент тела относительно оси постоянен, если сумма моментов внешних сил относительно оси равна нулю»:
Пренебрегая сопротивлением воздуха и трением конька о лед, можно считать, что при выполнении вращения на тело фигуриста действуют две внешние силы: сила веса и вертикальная составляющая реакции опоры. При хорошем выполнении пируэта эти силы совпадают с осью вращения, поэтому не создают моментов сил относительно оси.
Во вращательном движении при выполнении пируэта зависимость проявляется в постоянной взаимосвязи между величинами момента инерции тела и его угловой скоростью вращения. Другими словами, уменьшение одного множителя вызывает увеличение другого настолько, что их произведение остается неизменным. Именно поэтому приближение звеньев тела к оси вращения в процессе группировки, т. е. уменьшение момента инерции, обусловливает увеличение скорости вращения тела и наоборот.
Сравнение моментов инерции тела в различных положениях позволяет, в частности, установить, что группировка рук из положения в стороны может увеличить скорость вращения тела почти вдвое, а переход из положения ласточки в положение стоя с руками вдоль тела—более чем в семь раз. Эти данные не учитывают сил сопротивления, испытываемых телом при вращении, поэтому реальное увеличение угловой скорости всегда меньше и зависит от характера контакта конька со льдом. С этой точки зрения выгодны опора на переднюю треть конька без касания льда зубцами и отсутствие так называемого скобления ребром конька о лед. Наименьшее сопротивление оказывается в случае, если конец опорной ноги во время вращения выполняет петли небольшого размера (3—5 см).
Силы инерции при вращениях
Для определения динамической структуры вращательного движения рассмотрим силы инерции, действующие на звенья тела фигуриста при выполнении пируэта.
При анализе ускорений, действующих на точки вращающегося тела, было определено, что в общем случае таких ускорений два: нормальное и касательное. Отсюда на точки вращающегося тела действуют также две силы инерции: нормальная и касательная.
Возьмем систему координат хОу с началом в центре тяжести тела. Ось Oz направим по оси вращения. При равномерном вращении тела вокруг оси Oz с угловой скоростью w на две симметрично расположенные точки A и B будут действовать только нормальные силы инерции, равные по величине направленные противоположно центростремительному ускорению (рис. 21, а). И) формулы видно, что величина этих сил прямо пропорциональна массе точки т, квадрату угловой скорости w и расстоянию r точки от оси вращения.
При изменении угловой скорости появляются угловое ускорение и касательные силы инерции, равные по величине и направленные по касательной к траектории точек А и В в стороны, противоположные касательным ускорениям (рис. 21,б). Касательные силы инерции образуют пару сил, лежащую в плоскости, параллельной плоскости хОу. Эта пара сил препятствует вращению фигуриста вокруг оси Oz.
Причины изменения скорости вращения
В различных вращательных движениях и пируэтах фигурист меняет угловую скорость вращения своего тела в значительных пределах. В соответствии с законом сохранения кинетического момента изменение скорости вращения сопровождается изменением момента инерции тела— группировкой или раз-группировкой. Причиной изменения скорости являются определенные силы. Какие же силы вызывают изменение скорости вращения фигуриста?
Пренебрегая силами трения, можно сказать, что внешние силы, как мы уже говорили, не создают значительных моментов относительно оси вращения, т. е. не являются причиной изменений скорости вращения. Следовательно, изменение скорости вращения вызывают силы внутренние —группировки и разгруппировки, т. е. силы активного действия, обусловленные мышечной деятельностью человека.
Рассматривая эти силы, легко убедиться, что линии их действия при группировке и разгруппировке направлены к оси вращения или от нее, т. е., грубо говоря, они не поворачивают тело вокруг оси. Какие же силы непосредственно ускоряют или замедляют вращение тела? Это силы инерции Кориолиса, или, говоря точнее, моменты этих сил. Рассмотрим физическую сущность возникновения сил инерции Кориолиса, определим направление их действия и формулу для определения величины этих сил (рис.22).
В пируэте при группировке и разгруппировке имеют место два движения: вращение тела, которое будем называть переносным, и движение рук и свободной ноги вдоль радиуса к оси или от нее, которое будем называть относительным. Когда руки притягиваются к оси вращения (относительное движение), линейные скорости их частей станут меньше, т. е. звенья тела, участвующие в относительном движении, приобретут отрицательное ускорение (кориолисово). Иными словами —ускорение, направленное против вращения. Так-как всякая сила инерции всегда направлена в сторону, противоположную ускорению, то силы инерции Кориолиса будут направлены по ходу вращения. Они приложены к частям тела, выполняющим группировку, направлены в сторону вращения и увеличивают его угловую скорость.
Итак, в процессе вращения тела фигуриста, перемещения рук и свободной ноги к оси вращения или от нее возникают силы инерции Кориолиса, которые ускоряют вращение при группировке и замедляют его при разгруппировке. Кориоли-совы силы инерции зависят от величины угловой скорости вращения тела , линейной скорости частей тела при группировке и замедляют его при разгруппировке. Кориолисовы силы инерции зависят от величины угловой скорости вращения тела со, линейной скорости частей тела при группировке и разгруппировке — V, а также от синуса угла между векторами . Величина этих сил определяется по формуле:
На рис.23 приведена совокупность всех сил инерции, действующих на точки А и В вращающегося тела. Необходимо учитывать, что в действительности на каждую из точек тела действует результирующая сила инерции, равная векторной сумме перечисленных сил инерции: нормальной,касательной и кориоли-совой.
Рис. 21. Силы инерции точек врашающегося тела |
Рис. 22. Силы инерции Кориолиса, действующие на точки вращающегося тела при группировке |
Прецессия оси вращения
Анализируя вращательное движение, мы говорили, что в процессе вращения о. ц. т. тела находится точно над точкой опоры. В практике фигурного катания встречаются случаи, когда проекция о. ц. г. не совпадает с точкой опоры. В этом случае продольная ось тела z1, проходящая через точку опоры и о. ц. т., начинает вращаться вокруг вертикальной оси z2 с угловой скоростью (рис. 24). Такое движение оси вращающегося тела называют прецессией, а угловую скорость вращательного движения оси — угловой скоростью прецессии. Угловая скорость прецессии может быть определена из следующего выражения:
где: l-расстояние от точки опоры до о.ц.т. тела; — момент инерции фигуриста относительно оси вращения z1; Р-вес тела фигуриста; — угловая скорость фигуриста вокруг оси z1; —угловая скорость прецессии оси z1.
Прецессионное движение оси вращения нежелательно и с точки зрения качественной оценки пируэта, и, что, пожалуй, главное, с точки зрения управления движением, поскольку ориентация спортсмена, сохранение равновесия резко осложняются.
Из формулы видно, что угловая скорость прецессии обратно пропорциональна угловой скорости вращения фигуриста: чем больше угловая скорость вращения фигуриста, тем меньше угловая скорость прецессии , и наоборот. Отсюда вытекает важный практический вывод: чем больше скорость вращения тела фигуриста в пируэте, тем устойчивее положение оси вращения.
На устойчивость оси вращения положительно влияет также увеличение момента инерции тела относительно оси вращения . Однако наиболее важную роль в устойчивости оси вращения играет положение центра тяжести. Момент силы тяжести относительно точки опоры определяет угловую скорость прецессии. Для уменьшения угловой скорости прецессии следует уменьшить величину этого момента, т. е. стремиться к такому положению, при котором о.ц.т. тела находится над точкой опоры.
Устойчивость вращения к прецессии связана с расстоянием l от о.ц.т. до неподвижной точки вращения. Чем оно меньше, тем при прочих равных условиях меньше угловая скорость прецессии. Не удивительно поэтому, что наиболее устойчивым вращением является волчок —пируэт, в котором расстояние l минимально.
Интересно отметить, что устранение момента силы тяжести приводит к мгновенному устранению прецессии. Дру-гими словами, прецессия не обладает инерцией.
На практике встречаются две основные причины возникновения прецессии в пируэтах. В первом случае несовпадение точки опоры и проекции силы тяжести вызвано несовершенным въездом во вращение, неправильным определением центра вращения. Здесь резкое торможение, раннее начало вращения, неточное маховое движение порождают инерционные силы, отклоняющие о.ц.т. тела от вертикали.
В другом случае смещение о.ц.т. вызвано неправильным перемещением частей тела при смене позы.
Влияние положения тела фигуриста при вращениях на частоту сердечных сокращений*
Влияние положения тела фигуриста на характер кровообращения и частоту сердечных сокращений при вращениях наиболее ярко прослеживается при выполнении таких элементов, как вращение в ласточке, в ласточке со сменой ног, прыжок во вращение ласточка. В это время частота сердечных сокращений оказывается наиболее низка.
Интересна пульсограмма вращения в ласточке. При выполнении данного элемента отмечено заметное уменьшение частоты сердечных сокращений —6—12 уд/мин по сравнению с исходным — фоновым.
Этот интересный факт требует более глубокого исследования. Однако уже на основании проведенных опытов было высказано предположение, что данное явление может быть объяснено антиортостатической реакцией организма. Имеется в виду практически горизонтальное положение верхней части тела и свободной ноги при вращении. Возможно, что урежение пульса действительно является следствием реакции барорецепторов скаротидных синусов на увеличение венозного возврата крови, вызванного центробежными силами инерции.
Рис. 23. Совокупность сил инерции, действующих на точки вращающегося тела |
Рис. 24. Прецессия оси вращения тела фигуриста |
Исследования автора, проведенные под руководством профессора А. Б. Гандельсмана, позволяют предположить более сложную природу такого явления. Не отрицая возможности влияния центробежных сил на характер передвижения масс крови, хочется обратить внимание на два обстоятельства. Вращение в ласточке является пируэтом, в котором, пожалуй, в наибольшей степени выражен статический компонент движения. Вот почему энергетика этого упражнения весьма низкая. Кроме того, характер въезда во вращение и выезда из него не связан с необходимостью глубокого приседания и подъема, как в волчке, или группировки, как во вращении винт. Это также свидетельствует о наиболее низкой энергетической стоимости вращения в простой ласточке. Таким образом, можно предположить, что одной из причин урежения сердечного ритма при вращении в простой ласточке является именно низкая энергетика этого упражнения—более низкая, чем энергетика комплекса различных движений, при которых измеряется фоновый пульс.
Необходимо также учитывать эмоциональную сторону упражнения. В этом плане следует отметить, во-первых, сравнительную комфортность положения тела при вращении в ласточке и, во-вторых, наиболее низкую из всех вращений угловую скорость, которая и обусловливает относительно спокойный эмоциональный фон упражнения.
Другие же сходные по биомеханической структуре элементы: вращение в ласточке со сменой ног и прыжок во вращение ласточка —вызывают более выраженную ответную пульсовую реакцию, и феномен уменьшения частоты сердечных сокращений проявляется в меньшей степени. Этот факт связан с тем, что наряду с менее благоприятным эмоциональным фоном при выполнении данных двух элементов фигурист затрачивает дополнительную энергию на отталкивание и смену ног при вращении, что, естественно, увеличивает частоту сердечных сокращений.
Феномен уменьшения частоты сердечных сокращений при простом вращении в положении ласточка может быть использован при составлении произвольных программ.
Рационально включать вращения в ласточке в те места программы, после которых необходим промежуточный отдых, расслабление, снижение эмоционального фона, успокоение.
Анализ техники вращений
Благодаря кривизне лезвия конька в арсенале фигуриста может быть большое количество вращательных движений, возникающих естественно и выполняемых сравнительно легко. Такими движениями являются опорные вращения — пируэты. Они разнообразят произвольную программу, позволяют спортсмену продемонстрировать способность сохранять равновесие в сложной позиции при быстром вращении.
Пируэт представляет собой длительное вращательное движение тела вокруг вертикальной оси без заметного перемещения точки опоры. В зависимости от направления вращения различают пируэты вперед (вращение происходит в сторону опорной ноги) и назад (вращение выполняется в сторону свободной ноги).
С точки зрения позы, в которой выполняется пируэт, можно выделить три основные группы: пируэты стоя, пируэты в приседе (волчки) и пируэты в положении ласточка.
Различают простые пируэты, в которых вращение происходит в относительно неизменной позе, и сложные —со сменой позы (например, с переходом из положения стоя в положение сидя).
Пируэты могут выполняться на одной и обеих ногах. В последнем случае понятие «направление вращения» (вперед или назад) теряет смысл, так как обе ноги являются опорными. Поэтому здесь указывают лишь сторону вращения. В произвольных программах сейчас, как правило, встречаются сложные пируэты, состоящие из комбинаций перечисленных пируэтов.
Пируэт состоит из подхода, въезда, вращения и выезда. На рис. 25 приведены следы, оставленные при выполнении пируэта вперед. Дуги 1, 2, 3 и 4 соответствуют подходу, дуга 5 —въезду, точка 6—вращению, а дуги .7 и 8 —выезду. Подход. Существует несколько вариантов подходов. Наиболее удобным и поэтому целесообразным для начального обучения является сочетание тройки вперед-наружу с перебежкой назад. Используют подходы в виде тройки вперед-внутрь—назад-наружу, а также ходом вперед-наружу, подходе важно сохранять плавность скольжения, хорошу осанку, чтобы вращение было естественным, а приготовление к нему — незаметным.
Въезд. Это наиболее сложная и ответственная часть пируэта. Именно здесь возникает вращение. Как правило, если фигурист сообщил телу устойчивое вращение, то сохранять и поддерживать его не составляет большой сложности. След, оставляемый коньком при въезде, представляет собой кривую с плавно меняющейся кривизной. Выполняют въезд на согнутой ноге и не выпрямляют ее до тех пор, пока не возникнет устойчивое вращение.
Вращение телу можно придать двумя способами: толчком ногой при переходе с последней дуги подхода на въездную дугу, а также круговым маховым движением свободной ноги и руки при въезде. Во вращении стоя и в волчках следует использовать оба способа. При вращениях в ласточке маховое движение не всегда эффективно. Здесь оно приводит к выведению свободной ноги вперед, и для принятия положения ласточки фигурист вынужден в конце въезда резко отводить свободную ногу назад. Это движение часто вызывает потерю равновесия. Более простым и надежным является въезд с отведенной назад свободной ногой и одноименной рукой.
Напротив, при въезде в волчок круговое маховое движение весьма целесообразно и эффективно. Необходимо во время подхода сделать сильный мах руками и свободной ногой назад. Мах, т. е. выведение рук и ноги вперед, следует начинать только тогда, когда дуга достигнет максимальной кривизны.
Въезд во вращение стоя, по существу, не отличается от въезда в волчок. Здесь только опорная нога более выпрямлена. Не следует, однако, выпрямлять ее полностью: это может привести к нарушению равновесия.
Для устойчивости вращения очень важно, как выполнен конечный участок дуги въезда. В пируэтах вперед в конце въезда, когда дуга достигла максимальной кривизны, следует поворот тройкой вперед-наружу, после чего —окружность диаметром 30—40 см, выполняемая ходом назад-внутрь, и только затем начинается вращение.
Рис. 25. Следы пируэта вперед |
Вращение. В простых пируэтах группировка отсутствует и положение, принятое в начале вращения, сохраняется почти неизменным. Поэтому здесь, как и при выполнении спиралей, важна точность положения тела, стабильность удержания его. Малейшая погрешность, допускаемая на протяжении пяти, шести и более оборотов, портит впечатление.
В ласточке необходимо вращаться на плоскости конька, не касаясь льда зубцами. Начинающие фигуристы часто теряют равновесие уже в начале вращения, так как чрезмерно перемещают центр тяжести тела вперед. Чтобы избежать этого, необходимо на протяжении всего вращения, особенно в начале его, оттягивать свободную ногу назад. Она должна быть выпрямлена, развернута, голова направлена вперед, а вытянутые руки на одной линии, находящейся в одной плоскости с опорной и свободной ногами.
В волчке вращение происходит на передней трети конька. Для повышения устойчивости в начале вращения допустимо легкое касание льда зубцами. Наиболее распространенная ошибка здесь—падение назад. Чтобы предотвратить ее, развернутая свободная нога и руки должны быть прямыми и вытянутыми вперед. Опорная нога при этом согнута, голова подтянута, плечи опущены.
Вращение стоя также происходит на передней трети конька с легким касанием льда зубцами.
В сложных пируэтах происходит группировка. Ее можно выполнять в двух вариантах: в первом варианте приближение рук и свободной ноги к оси вращения происходит при неизменном основном положении тела (например, стоя или в приседе), во втором поза меняется —части тела приближаются к оси вращения (например, переход из ласточки в волчок или из волчка в положение стоя). При этом скорость вращения тела возрастает.
Рассмотрим пример группировки в пируэте стоя, называемом винтом. Из положения, когда нога вытянута вперед, правую ногу, не опуская, выводят вперед, сгибают в колене и скрещивают с левой, на которой происходит вращение. Затем правую ногу опускают, скользя задней поверхностью голени по левой. Это движение сопровождается группировкой рук одновременно с группировкой ног или несколько позже. В заключительной фазе руки плотно прижимают к телу, а слегка согнутую опорную ногу выпрямляют, что дает дополнительное увеличение скорости вращения. Необходимо следить за симметрией группировки, ибо неодинаковое движение рук вызывает нарушение равновесия. В этом пируэте скорость вращения наибольшая—до 4 и более оборотов в секунду.
Выезд. Выполнению всегда предшествует движение, обратное группировке,— разгруппировка. Делается это для уменьшения скорости вращения, что облегчает выполнение выезда. Здесь важно, чтобы разгруппировка заканчивалась небольшим сгибанием опорной ноги.
Обычно выезд выполняют со сменой ноги: ранее свободная ном становится опорной, и вращение завершается тол-ком, аналогичным толчку в обязательной фигуре № 3, с последующим скольжением назад-наружу. Данный вариант выезда наиболее распространен; его рекомендуют при разучивании пируэтов. В программах мастеров встречаются более сложные выезды (например, вперед-наружу со сменой ноги, назад-внутрь без смены ноги, въезд в остановку, в прыжок). При любом варианте следует стремиться к слитности всех движений, к такому выполнению, при котором выезд является естественным продолжением вращения.
Заклоны. Особой разновидностью пируэтов являются так называемые заклоны. Их выполняют со значительным прогибом назад или в сторону и с откинутой головой. Вращение с необычным положением головы усложняет пространственную ориентировку, вызывает нарушение координации движений, порой сопровождается головокружением. В то же время заклоны —очень ценное упражнение для совершенствования равновесия.
Прежде чем осваивать данную группу пируэтов, фигурист должен научиться уверенно принимать эту позу без коньков. Подход и въезд делают как в обычных вращениях. Положение заклона принимают в тот момент, когда начинается вращение. Далее прогиб рекомендуется увеличить и вместе с тем по возможности (незаметно для наблюдателя) выполнять группировку. Опытные фигуристы иногда поднимают одну руку вверх или опускают вниз, чтобы ее положение совпадало с положением оси вращения: это обеспечивает дополнительную группировку, что вызывает увеличение скорости вращения. С заклонами весьма схожи паузы с захватом свободной ноги одной или двумя руками.
Пируэты назад.Исключительно ценными для дальнейшего овладения прыжками являются пируэты назад. Их выполняют в тех же позах, что и пируэты вперед. Но есть у них некоторые особенности. Так, несмотря на то, что направление общего вращения тела в пируэте назад и вперед может быть одно и то же, ощущения, испытываемые фигуристом, различны. Пируэты назад наиболее точно имитируют движения тела в полете при выполнении прыжков, поэтому важны как подготовительные упражнения. Они красивы; включают их в различные комбинации.
При обучении вращениям назад рекомендуется выполнять подход (рис. 26) в виде крутой дуги вперед-внутрь (дута 1). Въезд представляет собой дугу вперед-внутрь на другой ноге (дуга 2), описывая которую фигурист делает энергичное вращательное движение свободной ноги и рук. Вращение (точка 3) может выполняться в любом положении (в ласточке, волчке, стоя), а также в промежуточных положениях. Выезд (дуга 4) лучше всего разучивать на той же ноге, на которой происходило вращение: это помогает совершенствовать выезд из многооборотных прыжков.
Освоение пируэтов вперед и назад открывает большие возможности для выполнения различных комбинаций: это волчок со сменой ноги, вращение в ласточке со сменой ноги, варианты смены положения тела и ноги.
Для успешного овладения пируэтами важно определить удобную для спортсмена сторону вращения. Большинство фигуристов быстрее овладевают вращениями влево и лучше их переносят. Наиболее простой и верный способ определения «своего» направления вращения —выполнение пируэта назад с выездом без смены ноги. Если этот, пируэт и выезд увереннее и легче получаются на правой ноге, следует лучшие варианты своих вращений планировать влево, и наоборот.
Разучивание пируэтов вперед и назад в различных позах помогает подготовить организм фигуриста к вращательным нагрузкам, которые он постоянно испытывает во время катания.
Специальные упражнения для совершенствования вращений
Одним из важных направлений в тренировке вращений вне льда является работа над гибкостью.
При этом необходимо сочетать традиционные способы развития пассивной гибкости с помощью различных растягиваний, шпагатов, махов и т. п. с развитием активной гибкости. Например, одной из наиболее сложных поз, особенно для мальчиков, является вращение в ласточке. Для ее совершенствования целесообразно применять утяжелитель, прикрепляемый к стопе свободной ноги. Он позволяет добиваться хорошего эффекта при развитии как пассивной гибкости (выполнение махов назад), так и активной (удержание свободной ноги с грузом в требуемой позе).
Рис. 26. Следы пируэта назад |
Этот же способ эффективен и в занятиях вне льда. Лучшим способом совершенствования положения тела во вращении ласточка, на наш взгляд, является разучивание так называемой качающейся ласточки—поочередно на обеих нoгax.
Целесообразно использовать тренажер «Грация» для совершенствования точности позы и чувства равновесия. Для совершенствования общей выносливости фигуриста к вращательным нагрузкам весьма эффективны специальные тренажеры в виде вращающихся платформ с электроприводом и плавной регулировкой скорости вращения в пределах от ноля до 5 и более оборотов в секунду.
В тренировках на льду основное внимание следует уделять поиску оптимального варианта въезда во вращение и оптимального контакта конька со льдом во время вращения. Следует анализировать характер следов на льду, обращая главное внимание на отсутствие скоблений, касания льда зубцами.
Хорошим средством совершенствования качества въезда во вращения, повышения стабильности их выполнения являются тренировки с выключением зрения. Надевая специальные непрозрачные очки, фигурист выполняет требуемое вращение. При этом обостряется деятельность двигательного, вестибулярного, тактильного и слухового анализаторов. Опыты показали, что такие упражнения повышают устойчивость навыка, делают выполнение вращений более уверенными, стабильными. Практика показала, что у одних фигуристов принятие требуемой позы происходит с участием зрительного анализатора, выключение зрения у них нарушает точность позы; у других же это происходит практически без участия зрительного анализатора. Сравнение стабильности и качества выполнения вращений показало, что обеспечение позы в основном с помощью двигательного анализатора более совершенно.
Сохранение углового момента | Безграничная физика
Сохранение углового момента
Закон сохранения углового момента гласит, что когда на объект не действует внешний крутящий момент, никакого изменения углового момента не происходит.
Цели обучения
Оценить влияние чистого крутящего момента на сохранение энергии
Основные выводы
Ключевые моменты
- Когда объект вращается в замкнутой системе и к нему не прикладываются внешние крутящие моменты, у него не будет изменения углового момента.
- Сохранение углового момента объясняет угловое ускорение фигуристки, когда она приближает руки и ноги к вертикальной оси вращения.
- Если чистый крутящий момент равен нулю, то угловой момент постоянен или сохраняется.
Ключевые термины
- квантовая механика : раздел физики, изучающий материю и энергию на уровне атомов и других элементарных частиц; он заменяет вероятностные механизмы классическими ньютоновскими.
- крутящий момент : вращательное или скручивающее действие силы; (Единица СИ ньютон-метр или Нм; британская единица измерения фут-фунт или фут-фунт)
- угловой момент : векторная величина, описывающая объект в круговом движении; его величина равна импульсу частицы, а направление перпендикулярно плоскости ее кругового движения.
Давайте рассмотрим несколько примеров импульса: Земля продолжает вращаться с той же скоростью, что и миллиарды лет; дайвер, который «вращается» при прыжке с доски, не должен прилагать никаких физических усилий, чтобы продолжить вращение, и действительно не сможет остановить вращение до того, как упадет в воду.Эти примеры имеют признаки закона сохранения закона . Ниже приведены дальнейшие наблюдения, которые следует учитывать:
1. Задействована закрытая система . Ничто не пытается повернуть Землю или хай-дайвер. Они изолированы от влияний, изменяющих вращение (отсюда и термин «замкнутая система»).
2. Что-то осталось без изменений . Похоже, что существует числовая величина для измерения вращательного движения, так что общее количество этой величины остается постоянным в замкнутой системе.
3 . Что-то можно переводить туда-сюда без изменения общей суммы . Дайвер вращается быстрее, когда руки и ноги подтягиваются к груди из полностью вытянутой позы.
Угловой момент
Сохраняющаяся величина, которую мы исследуем, называется угловым моментом. Символом углового момента является буква L. Так же, как линейный момент сохраняется, когда нет чистых внешних сил, угловой момент постоянен или сохраняется, когда чистый вращающий момент равен нулю.Мы можем убедиться в этом, рассмотрев 2-й закон Ньютона для вращательного движения:
[латекс] \ vec {\ tau} = \ frac {\ text {d} \ vec {\ text {L}}} {\ text {d} \ text {t}} [/ latex], где [латекс] \ tau [/ latex] — крутящий момент. В ситуации, когда чистый крутящий момент равен нулю, [latex] \ frac {\ text {d} \ vec {\ text {L}}} {\ text {d} \ text {t}} = 0 [/ latex] .
Если изменение углового момента ΔL равно нулю, то угловой момент постоянен; следовательно,
[латекс] \ vec {\ text {L}} = \ text {constant} [/ latex] (когда net τ = 0).
Это выражение закона сохранения углового момента.
Пример и применение
Пример сохранения углового момента наблюдается у фигуристки, выполняющей вращение, как показано на рисунке. Чистый крутящий момент на ней очень близок к нулю, потому что 1) между ее коньками и льдом относительно мало трения, и 2 ) трение проявляется очень близко к точке поворота.
Сохранение углового момента : фигуристка крутится на коньке с вытянутыми руками.Ее угловой момент сохраняется, потому что чистый крутящий момент на ней пренебрежимо мал. На следующем изображении скорость ее вращения значительно увеличивается, когда она тянет руки, уменьшая ее момент инерции. Работа, которую она выполняет, чтобы тянуть руки, приводит к увеличению кинетической энергии вращения.
(И F, и r маленькие, поэтому [latex] \ vec {\ tau} = \ vec {\ text {r}} \ times \ vec {\ text {F}} [/ latex] ничтожно мало.) Следовательно, она может довольно долго крутиться. Она также может увеличить скорость вращения, подтягивая руки и ноги.Когда она это делает, инерция вращения уменьшается, а скорость вращения увеличивается, чтобы поддерживать постоянный угловой момент [latex] \ text {L} = \ text {I} \ omega [/ latex]. (I: инерция вращения, [латекс] \ omega [/ latex]: угловая скорость)
Сохранение углового момента является одним из ключевых законов сохранения в физике, наряду с законами сохранения энергии и (линейного) импульса. Эти законы применимы даже в микроскопических областях, где правит квантовая механика; они существуют благодаря симметрии, присущей природе.
Сохранение теории углового момента : Что он делает?
Вращательные столкновения
В замкнутой системе угловой момент сохраняется так же, как и импульс.
Цели обучения
Вычислить разницу в переменных уравнения в зависимости вращательного момента от углового момента
Основные выводы
Ключевые моменты
- Угловой момент математически определяется как L = Iω или L = rxp.Это момент инерции, умноженный на угловую скорость, или радиус объекта, пересекаемого с помощью линейного количества движения.
- В замкнутой системе момент импульса сохраняется во всех направлениях после столкновения.
- Поскольку импульс сохраняется, часть количества движения при столкновении может стать угловым моментом, поскольку объект начинает вращаться после столкновения.
Ключевые термины
- импульс : (тела в движении) произведение его массы и скорости.
- вращение : Акт поворота вокруг центра или оси.
При столкновении объектов в замкнутой системе импульс всегда сохраняется. Этот факт легко увидеть в линейном движении. Когда объект массы m и скорости v сталкивается с другим объектом массы m 2 и скорости v 2 , чистый импульс после столкновения, mv 1f + mv 2f , будет таким же, как и импульс до столкновение, mv 1i + mv 2i .
Что делать, если вводится вращательная составляющая движения? Сохраняется ли импульс?
Шар для боулинга и пи : Когда шар для боулинга сталкивается с кеглей, линейный момент и угловой момент сохраняются
Да. Для объектов с вращательной составляющей существует угловой момент. Математически угловой момент определяется как L = Iω или L = rxp. Это уравнение является аналогом определения количества движения как p = mv. Единицы измерения количества движения — кг⋅м / с, а углового момента — кг⋅м 2 / с.Как и следовало ожидать, объект с большим моментом инерции I , такой как Земля, имеет очень большой угловой момент. Объект с большой угловой скоростью ω, например центрифуга, также имеет довольно большой угловой момент.
Итак, вращающиеся объекты, которые сталкиваются в замкнутой системе, сохраняют не только момент импульса p во всех направлениях, но и момент количества движения L во всех направлениях.
Например, возьмем случай с лучником, который решает выстрелить стрелой массы m 1 в неподвижный цилиндр массы m 2 и радиуса r, лежащий на боку.Если лучник выпускает стрелу со скоростью v 1i и стрела попадает в цилиндр по его радиальному краю, каков конечный импульс?
Стрела попадает в циклин : Стрела попадает в край цилиндра, заставляя его катиться.
Изначально цилиндр неподвижен, поэтому он не имеет количества движения ни в линейном, ни в радиальном направлении. Как только стрелка отпущена, она имеет момент движения p = mv 1i и угловую составляющую относительно оси вращения цилиндров, L = rp = rm 1 v 1i .После столкновения стрелка прилипает к цилиндру качения, и система имеет чистый угловой момент, равный исходному угловому моменту стрелки до столкновения.
6.1 Угол вращения и угловая скорость — College Physics
В «Кинематике» мы изучали движение по прямой и ввели такие понятия, как смещение, скорость и ускорение. Двумерная кинематика имеет дело с движением в двух измерениях. Движение снаряда — это частный случай двумерной кинематики, в котором объект проецируется в воздух, находясь под действием силы тяжести, и приземляется на некотором расстоянии.В этой главе мы рассматриваем ситуации, когда объект не приземляется, а движется по кривой. Мы начинаем изучение равномерного кругового движения с определения двух угловых величин, необходимых для описания вращательного движения.
Угол поворота
Когда объекты вращаются вокруг некоторой оси — например, когда компакт-диск (компакт-диск) на рис. 6.2 вращается вокруг своего центра, — каждая точка в объекте движется по дуге окружности. Рассмотрим линию от центра компакт-диска до его края. Каждая яма, используемая для записи звука вдоль этой линии, перемещается под одним и тем же углом за одно и то же время.Угол поворота — это величина поворота, аналогичная линейному расстоянию. Угол поворота ΔθΔθ размера 12 {Δθ} {} определяется как отношение длины дуги к радиусу кривизны:
Δθ = Δsr.Δθ = Δsr. размер 12 {Δθ = {{Δs} больше {r}} «.»} {}6,1
Рис. 6.2. Все точки на CD перемещаются по дугам окружности. Ямки вдоль линии от центра к краю все перемещаются на один и тот же угол ΔθΔθ размер 12 {Δθ} {} за время ΔtΔt размер 12 {Δt} {}. Рисунок 6.3 Радиус круга повернут на угол ΔθΔθ размером 12 {Δθ} {}. Длина дуги ΔsΔs размером 12 {Δs} {} указана на окружности.Длина дуги ΔsΔs размер 12 {Δs} {} — это расстояние, пройденное по круговой траектории, как показано на рисунке 6.3. Обратите внимание, что rr размер 12 {r} {} — это радиус кривизны круговой траектории.
Мы знаем, что за один полный оборот длина дуги равна длине окружности радиуса rr размером 12 {r} {}. Окружность круга равна 2πr2πr размера 12 {2πr} {}.Таким образом, за один полный оборот угол поворота составляет
°. Δθ = 2πrr = 2π, Δθ = 2πrr = 2π. размер 12 {Δθ = {{2πr} over {r}} = 2π «.»} {}6,2
Этот результат является основой для определения единиц измерения углов поворота, ΔθΔθ размер 12 {Δθ} {} до быть радианами (рад), определенными так, что
2πrad = 1 оборот. 2πrad = 1 оборот. size 12 {2π «rad» = «1 оборот»} {}6.3
Сравнение некоторых полезных углов, выраженных как в градусах, так и в радианах, показано в таблице 6.1.
Градус Меры | Радианная мера |
---|---|
30º30º размер 12 {«30» °} {} | π6π6 размер 12 {{{π} больше {6}}} {} |
60º60º размер 12 {«60» °} {} | π3π3 размер 12 {{{π} больше {3}}} {} |
90º90º размер 12 {«90» °} {} | π2π2 размер 12 {{{π} больше {2}}} {} |
120º120º размер 12 {«120» °} {} | 2π32π3 размер 12 {{{2π} больше {3}}} {} |
135º135º размер 12 {«135» °} {} | 3π43π4 размер 12 {{{3π} больше {4}}} {} |
180º180º размер 12 {«180» °} {} | ππ размер 12 {π} {} |
Таблица 6.1 Сравнение угловых единиц
Рис. 6.4 Точки 1 и 2 вращаются на один и тот же угол (ΔθΔθ размер 12 {Δθ} {}), но точка 2 перемещается по большей длине дуги ΔsΔs размер 12 {влево (Δs вправо)} {}, поскольку находится на большем расстоянии от центра вращения (r) (r) размер 12 {\ (r \)} {}.Если Δθ = 2πΔθ = 2π размер 12 {Δθ = 2π} {} рад, то компакт-диск сделал один полный оборот, и каждая точка на компакт-диске вернулась в исходное положение. Поскольку в круге или одном обороте 360º360º размер 12 {«360» °} {}, соотношение между радианами и градусами, таким образом, составляет
2πrad = 360º2πrad = 360º размер 12 {2π «rad» = «360» rSup {size 8 {circ}}} {}6.4
, так что
1рад = 360º2π≈57,3º.1рад = 360º2π≈57,3º. размер 12 {1 «rad» = {{«360» rSup {size 8 {circ}}} больше {2π}} = «57» «.» 3 rSup {размер 8 {circ}} «.»} {}6.5
Угловая скорость
Насколько быстро вращается объект? Определим угловую скорость ωω размером 12 {ω} {} как скорость изменения угла. В символах это
. ω = ΔθΔt, ω = ΔθΔt, размер 12 {ω = {{Δθ} над {Δt}} «,»} {}6,6
где угловой поворот ΔθΔθ размер 12 {Δθ} {} происходит за время ΔtΔt размер 12 {Δt} {}.Чем больше угол поворота за заданный промежуток времени, тем больше угловая скорость. Единицы измерения угловой скорости — радианы в секунду (рад / с).
Угловая скорость ωω размер 12 {ω} {} аналогична линейной скорости vv размером 12 {v} {}. Чтобы получить точное соотношение между угловой и линейной скоростью, мы снова рассмотрим ямку на вращающемся CD. Эта яма перемещает дугу длиной ΔsΔs размером 12 {Δs} {} за время ΔtΔt размером 12 {Δt} {}, и поэтому имеет линейную скорость
v = ΔsΔt.v = ΔsΔt.размер 12 {v = {{Δs} над {Δt}} «.»} {}6,7
Из Δθ = ΔsrΔθ = Δsr размер 12 {Δθ = {{Δs} над {r}}} {} мы видим, что Δs = rΔθΔs = rΔθ размер 12 {Δs = rΔθ} {}. Подставляя это в выражение для размера vv 12 {v} {}, получаем
v = rΔθΔt = rω.v = rΔθΔt = rω. размер 12 {v = {{rΔθ} over {Δt}} = rω «.»} {}6,8
Мы записываем это соотношение двумя разными способами и получаем два разных вывода:
v = rω или ω = vr.v = rω или ω = vr. размер 12 {v = rω« «или» ω = {{v} over {r}} «.»} {}6.9
Первое соотношение в v = rω или ω = vrv = rω или ω = vr размер 12 {v = rω« или «ω = {{v} над {r}}} {} утверждает, что линейная скорость Размер vv 12 {v} {} пропорционален расстоянию от центра вращения, таким образом, он является наибольшим для точки на ободе (наибольший размер rr 12 {r} {}), как и следовало ожидать. Мы также можем назвать эту линейную скорость vv размером 12 {v} {} точки на ободе тангенциальной скоростью . Второе соотношение в v = rω или ω = vrv = rω или ω = vr размер 12 {v = rω« или «ω = {{v} над {r}}} {} можно проиллюстрировать, рассмотрев шину движущаяся машина.Обратите внимание, что скорость точки на ободе шины такая же, как скорость vv размера 12 {v} {} автомобиля. См. Рисунок 6.5. Таким образом, чем быстрее движется автомобиль, тем быстрее вращается шина — большой размер vv 12 {v} {} означает большой размер ωω 12 {ω} {}, потому что v = rωv = rω размер 12 {v = rω} {}. Точно так же шина большего радиуса, вращающаяся с той же угловой скоростью (размер ωω 12 {ω} {}), будет создавать для автомобиля большую линейную скорость (размер vv 12 {v} {}).
Рисунок 6.5 Автомобиль, движущийся вправо со скоростью vv размером 12 {v} {}, имеет шину, вращающуюся с угловой скоростью ωω размером 12 {ω} {}.Скорость протектора шины относительно оси vv размера 12 {v} {}, такая же, как если бы автомобиль был поднят домкратом. Таким образом, автомобиль движется вперед с линейной скоростью v = rωv = rω size 12 {v = rω} {}, где rr size 12 {r} {} — радиус шины. Чем больше угловая скорость шины, тем больше скорость автомобиля.Пример 6.1
Как быстро вращается автомобильная шина?
Рассчитайте угловую скорость автомобильной шины радиусом 0,300 м, когда автомобиль движется со скоростью 15,0 м / с и 15,0 м / с размером 12 {«15» «.»0`» м / с «} {} (около 54 км / ч 54 км / ч размер 12 {» 54 «» «км / ч»} {}). См. Рис. 6.5.
Стратегия
Поскольку линейная скорость обода шины такая же, как и скорость автомобиля, мы имеем v = 15,0 м / с. v = 15,0 м / с. размер 12 {v} {} Радиус шины задан равным r = 0,300 м. r = 0,300 м. размер 12 {r} {} Зная vv размер 12 {v} {} и размер rr 12 {r} {}, мы можем использовать второе соотношение в v = rω, ω = vrv = rω, ω = vr size 12 {v = rω, « ω = { {v} over {r}}} {} для вычисления угловой скорости.
Решение
Для вычисления угловой скорости воспользуемся следующим соотношением:
ω = vr.ω = vr. размер 12 {ω = {{v} больше {r}} «.»} {}6,10
Подставляя известные,
ω = 15,0 м / с 0,300 м = 50,0 рад / с. ω = 15,0 м / с 0,300 м = 50,0 рад / с. размер 12 {ω = {{«15» «.» 0 «м / с»} больше {0 «.» «300» «m»}} = «50» «.» 0 «рад / с.»} {}6.11
Обсуждение
Когда мы отменяем единицы в приведенном выше вычислении, мы получаем 50,0 / с. Но угловая скорость должна иметь единицы рад / с.Поскольку радианы на самом деле безразмерны (радианы определяются как отношение расстояний), мы можем просто вставить их в ответ для угловой скорости. Также обратите внимание, что если бы землерой с гораздо большими шинами, скажем, радиусом 1,20 м, двигался с той же скоростью 15,0 м / с, его шины вращались бы медленнее. У них будет угловая скорость
ω = (15,0 м / с) / (1,20 м) = 12,5 рад / с. Ω = (15,0 м / с) / (1,20 м) = 12,5 рад / с. размер 12 {ω = \ («15» «.» 0` «м / с» \) / \ (1 «.» «20» `m \) =» 12 «». » 5` «рад / с.»} {}6.12
И ωω размера 12 {ω} {}, и vv размера 12 {v} {} имеют направления (следовательно, они имеют угловую и линейную скорости соответственно). Угловая скорость имеет только два направления относительно оси вращения — либо по часовой стрелке, либо против часовой стрелки. Линейная скорость касается пути, как показано на рисунке 6.6.
Take-Home Experiment
Привяжите какой-либо предмет к концу веревки и поверните его по горизонтальному кругу над головой (взмахнув запястьем).Поддерживайте равномерную скорость при качании объекта и измеряйте угловую скорость движения. Какая примерная скорость объекта? Определите точку рядом с вашей рукой и выполните соответствующие измерения, чтобы рассчитать линейную скорость в этой точке. Определите другие круговые движения и измерьте их угловые скорости.
Рис. 6.6 Когда объект движется по кругу, здесь муха на краю старинной виниловой пластинки, его мгновенная скорость всегда касается круга.Направление угловой скорости в этом случае — по часовой стрелке.
Божья коровка Revolution
Присоединяйтесь к божьей коровке и исследуйте вращательное движение. Вращайте карусель, чтобы изменить ее угол, или выберите постоянную угловую скорость или угловое ускорение. Изучите, как круговое движение связано с координатами x, y, скоростью и ускорением жука, используя векторы или графики.
10.3 Связь угловых и трансляционных величин — University Physics Volume 1
Цели обучения
К концу этого раздела вы сможете:
- Учитывая линейное кинематическое уравнение, напишите соответствующее кинематическое уравнение вращения
- Вычислить линейные расстояния, скорости и ускорения точек вращающейся системы с учетом угловых скоростей и ускорений
Angular vs.Линейные переменные
В «Вращательные переменные» мы ввели угловые переменные. Если мы сравним определения вращения с определениями линейных кинематических переменных из «Движение по прямой линии» и «Движение в двух и трех измерениях», мы обнаружим, что существует отображение линейных переменных во вращательные. Линейное положение, скорость и ускорение имеют свои вращательные аналоги, как мы можем видеть, когда пишем их рядом:
линейный | Вращательный | |
---|---|---|
Позиция | x | |
Скорость | ||
Разгон |
Давайте сравним линейные и вращательные переменные по отдельности.Линейная переменная положения имеет физические единицы измерения в метрах, тогда как переменная углового положения имеет безразмерные единицы радиан, как видно из определения
., что является соотношением двух длин. Линейная скорость измеряется в м / с, а угловая скорость — в рад / с. В разделе «Вращательные переменные» мы видели в случае кругового движения, что линейная тангенциальная скорость частицы на радиусе r от оси вращения связана с угловой скоростью соотношением
.Это также может относиться к точкам на твердом теле, вращающемся вокруг фиксированной оси. Здесь мы рассматриваем только круговое движение. В круговом движении, как однородном, так и неравномерном, существует центростремительное ускорение (движение в двух и трех измерениях). Вектор центростремительного ускорения указывает внутрь от частицы, совершающей круговое движение, к оси вращения. Вывод величины центростремительного ускорения дан в «Движении в двух и трех измерениях». Исходя из этого вывода, величина центростремительного ускорения оказалась равной
., где r — радиус окружности.
Таким образом, при равномерном круговом движении, когда угловая скорость постоянна, а угловое ускорение равно нулю, мы имеем линейное ускорение, то есть центростремительное ускорение, поскольку тангенциальная скорость на (Рисунок) является постоянной. Если присутствует неравномерное круговое движение, вращающаяся система имеет угловое ускорение, и у нас есть оба линейных центростремительных ускорения, которые меняются (потому что
), а также линейное тангенциальное ускорение .Эти зависимости показаны на (Рисунок), где показаны центростремительные и тангенциальные ускорения для равномерного и неравномерного кругового движения.
Рисунок 10.14 (a) Равномерное круговое движение: центростремительное ускорение.имеет вектор внутрь к оси вращения. Нет тангенциального ускорения. (b) Неравномерное круговое движение: угловое ускорение вызывает центростремительное ускорение внутрь, которое изменяется по величине, плюс тангенциальное ускорение
.
Центростремительное ускорение возникает из-за изменения направления тангенциальной скорости, тогда как тангенциальное ускорение связано с любым изменением величины тангенциальной скорости. Векторы тангенциального и центростремительного ускорения
и
всегда перпендикулярны друг другу, как показано на (Рисунок). Чтобы завершить это описание, мы можем присвоить вектор полного линейного ускорения точке на вращающемся твердом теле или частице, совершающей круговое движение с радиусом r от фиксированной оси.Полный вектор линейного ускорения
— векторная сумма центростремительного и тангенциального ускорений,
Полный вектор линейного ускорения в случае неравномерного кругового движения указывает под углом между векторами центростремительного и тангенциального ускорений, как показано на (Рисунок). С
, величина суммарного линейного ускорения
Обратите внимание, что если угловое ускорение равно нулю, полное линейное ускорение равно центростремительному ускорению.
Рис. 10.15 Частица совершает круговое движение с угловым ускорением. Полное линейное ускорение частицы представляет собой векторную сумму векторов центростремительного ускорения и векторов тангенциального ускорения. Вектор полного линейного ускорения находится под углом между центростремительным и тангенциальным ускорениями.Взаимосвязь между вращательным и поступательным движением
Мы можем рассмотреть две взаимосвязи между вращательным и поступательным движением.
- Вообще говоря, линейные кинематические уравнения имеют свои вращательные аналоги. (Рисунок) перечислены четыре линейных кинематических уравнения и соответствующий аналог вращения. Эти две системы уравнений похожи друг на друга, но описывают две разные физические ситуации, то есть вращение и перемещение.
Уравнения вращательной и поступательной кинематики ротационный Трансляционный - Второе соответствие связано с соотношением линейных и вращательных переменных в частном случае кругового движения.Это показано на (Рисунок), где в третьем столбце мы перечислили связующее уравнение, которое связывает линейную переменную с переменной вращения. Вращательные переменные угловой скорости и ускорения имеют индексы, указывающие на их определение в круговом движении.
Вращательные и поступательные величины: круговое движение ротационный Трансляционный Отношения ( )
с
Пример
Линейное ускорение центрифуги
Центрифуга имеет радиус 20 см и ускоряется с максимальной скорости вращения 10 000 об / мин до состояния покоя за 30 секунд при постоянном угловом ускорении.Он вращается против часовой стрелки. Какова величина полного ускорения точки на конце центрифуги при
?Каково направление вектора полного ускорения?
Стратегия
Имея предоставленную информацию, мы можем вычислить угловое ускорение, которое затем позволит нам найти тангенциальное ускорение. Мы можем найти центростремительное ускорение на
, вычислив тангенциальную скорость в это время.С помощью величин ускорений мы можем вычислить общее линейное ускорение. Из описания вращения в задаче мы можем набросать направление вектора полного ускорения.
Решение
Угловое ускорение
Следовательно, тангенциальное ускорение равно
Угловая скорость при
это
Таким образом, тангенциальная скорость при
это
Теперь мы можем рассчитать центростремительное ускорение при
.:
Поскольку два вектора ускорения перпендикулярны друг другу, величина общего линейного ускорения составляет
Поскольку центрифуга имеет отрицательное угловое ускорение, она замедляется.Общий вектор ускорения показан на (Рисунок). Угол относительно вектора центростремительного ускорения составляет
°.Знак минус означает, что вектор полного ускорения наклонен по часовой стрелке.
Рис. 10.16 Векторы центростремительного, тангенциального и полного ускорения. Центрифуга замедляется, поэтому тангенциальное ускорение идет по часовой стрелке, а не по направлению вращения (против часовой стрелки).Значение
Из (Рисунок) мы видим, что вектор тангенциального ускорения противоположен направлению вращения.Величина тангенциального ускорения намного меньше центростремительного ускорения, поэтому вектор полного линейного ускорения будет составлять очень малый угол по отношению к вектору центростремительного ускорения.
Проверьте свое понимание
Мальчик прыгает на покоящейся карусели радиусом 5 м. Он начинает с постоянной скоростью разгоняться до угловой скорости 5 рад / с за 20 секунд. Какое расстояние преодолел мальчик?
[show-answer q = ”fs-id1167134512901 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1167134512901 ″]
Угловое ускорение
.Таким образом, общий угол, который проходит мальчик, составляет
°..
Таким образом, вычисляем
.
[/ hidden-answer]
Вращательное движение жесткого тела
Дверь легче открыть, нажав на край, наиболее удаленный от петель, чем нажав посередине. Интуитивно понятно, что величина приложенной силы и расстояние от точки приложения до петли влияют на склонность двери к повороту.Эта физическая величина, крутящий момент , — это t = r × F sin θ, где F — приложенная сила, r — расстояние от точки приложения до центра вращения, а θ — угол от r до F .
Подставьте второй закон Ньютона в определение крутящего момента с θ 90 градусов (прямой угол между F и r ) и используйте соотношение между линейным ускорением и тангенциальным угловым ускорением, чтобы получить t = r F. = rma = mr 2 ( a / r ) = mr 2 α.Величина mr 2 определяется как момент инерции точечной массы относительно центра вращения.
Представьте себе два объекта одинаковой массы с различным распределением этой массы. Первый объект может быть тяжелым кольцом, поддерживаемым стойками на оси, подобной маховику. Второй объект мог иметь массу, близкую к центральной оси. Несмотря на то, что массы двух объектов равны, интуитивно понятно, что маховик будет труднее нажимать на большое количество оборотов в секунду, потому что не только количество массы, но и ее распределение влияет на легкость запуска. вращение для твердого тела.Общее определение момента инерции, также называемого инерцией вращения , для твердого тела составляет I = ∑ м i r i 2 и измеряется в единицах СИ, килограмм-метрах. 2 .
Моменты инерции для различных правильных форм показаны на рисунке 2.
Рисунок 2
Моменты инерции для различных правильных форм.
Проблемы механики часто включают как линейные, так и вращательные движения.
Пример 1: Рассмотрим рисунок 3, где груз висит на веревке, обернутой вокруг шкива. Падающая масса (м) заставляет шкив вращаться, и больше нет необходимости требовать, чтобы шкив был безмассовым. Присвойте шкиву массу ( M ) и рассматривайте его как вращающийся диск с радиусом (R) . Каково ускорение падающей массы и каково натяжение веревки?
Рисунок 3
Висящая масса вращает шкив.
Уравнение силы для падающей массы: T — мг = — ma . Натяжение каната — это сила, приложенная к краю шкива, заставляющая его вращаться. Таким образом, t = I α, или TR = (1/2) MR 2 ( a / R), что сокращается до T = (1/2) млн лет назад , где угловое ускорение было заменено на a / R, потому что шнур не проскальзывает, а линейное ускорение блока равно линейному ускорению обода диска.Объединение первого и последнего уравнения в этом примере приводит к
Решение:
Угловой момент — это вращательный момент, который сохраняется так же, как и линейный момент. Для твердого тела угловой момент (L) является произведением момента инерции и угловой скорости: L = I ω. Для точки массы угловой момент может быть выражен как произведение количества движения и радиуса ( r ): L = mvr . L измеряется в килограммах-метрах 2 в секунду или, как правило, в джоуль-секундах. Закон сохранения углового момента может быть заявлен, что угловой момент системы объектов сохраняется, если на систему не действует внешний чистый крутящий момент.
Аналогично закону Ньютона (F = Δ ( mv ) / Δ т ) существует вращательный аналог для вращательного движения: т = Δ L / Δ т , или крутящий момент — это скорость изменения углового момента.
Рассмотрим пример ребенка, который бежит по касательной к краю карусели на игровой площадке со скоростью v o и прыгает дальше, когда карусель находится в состоянии покоя. Единственными внешними силами являются сила тяжести и контактные силы, создаваемые опорными подшипниками, ни одна из которых не вызывает крутящий момент, потому что они не прикладываются, чтобы вызвать горизонтальное вращение. Рассматривайте массу ребенка как точку массы, а карусель — как диск с радиусом R и массой M .Согласно закону сохранения, полный угловой момент ребенка до взаимодействия равен полному угловому моменту ребенка и карусели после столкновения: mrv o = mrv ′ + I ω, где r — радиальное расстояние от центра карусели до места удара ребенка. Если ребенок прыгает на край, (r = R) и угловая скорость ребенка после столкновения может быть заменена на линейную скорость, mRv o = mR ( R ω ) + (1/2) Руководство по ремонту 2 .Если даны значения масс и начальной скорости ребенка, можно рассчитать конечную скорость ребенка и карусели.
Отдельный объект может иметь изменение угловой скорости из-за сохранения углового момента, если изменяется распределение массы твердого тела. Например, когда фигуристка тянет вытянутые руки, ее момент инерции уменьшается, вызывая увеличение угловой скорости. Согласно закону сохранения углового момента I o (ω o ) = I f (ω f ), где I o — момент инерции фигуристки с вытянутыми руками, I f — ее момент инерции при приближении рук к телу, ω o — ее исходная угловая скорость, а ω f — ее конечная угловая скорость.
Кинетическая энергия вращения, работа и мощность. Кинетическая энергия, работа и мощность определены в единицах вращения как K . E = (1/2) I ω 2 , W = t θ, P = t ω.
Сравнение уравнений динамики линейного и вращательного движения. Динамические соотношения приведены для сравнения уравнений линейного и вращательного движения (см. Таблицу).
6.1 Угол вращения и угловая скорость — Физика колледжа: OpenStax
Сводка
- Определите длину дуги, угол поворота, радиус кривизны и угловую скорость.
- Вычислить угловую скорость вращения колеса автомобиля.
В главе 2 «Кинематика» мы изучили движение по прямой и ввели такие понятия, как смещение, скорость и ускорение. В главе 3 «Двумерная кинематика» рассматривается движение в двух измерениях. Движение снаряда — это частный случай двумерной кинематики, в котором объект проецируется в воздух, находясь под действием силы тяжести, и приземляется на некотором расстоянии.В этой главе мы рассматриваем ситуации, когда объект не приземляется, а движется по кривой. Мы начинаем изучение равномерного кругового движения с определения двух угловых величин, необходимых для описания вращательного движения.
Когда объекты вращаются вокруг некоторой оси — например, когда компакт-диск (компакт-диск) на рисунке 1 вращается вокруг своего центра — каждая точка в объекте движется по дуге окружности. Рассмотрим линию от центра компакт-диска до его края. Каждая яма, используемая для записи звука вдоль этой линии, перемещается под одним и тем же углом за одно и то же время.Угол поворота — это величина поворота, аналогичная линейному расстоянию. Мы определяем угол поворота [latex] \ boldsymbol {\ Delta \ theta} [/ latex] как отношение длины дуги к радиусу кривизны:
[латекс] \ boldsymbol {\ Delta \ theta \: =} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {\ Delta {s}} {r}}. [/ Latex]
Рис. 1. Все точки на компакт-диске движутся по дугам окружности. Ямки вдоль линии от центра к краю все перемещаются на один и тот же угол Δ θ за время Δ t . Рис. 2. Радиус круга повернут на угол Δ θ . Длина дуги Δ s описана на окружности.Длина дуги [latex] \ boldsymbol {\ Delta {s}} [/ latex] — это расстояние, пройденное по круговой траектории, как показано на рисунке 2. Обратите внимание, что [latex] \ boldsymbol {r} [/ latex] радиус кривизны круговой траектории.
Мы знаем, что за один полный оборот длина дуги равна длине окружности радиуса [латекс] \ boldsymbol {r}.[/ latex] Длина окружности [латекс] \ boldsymbol {2 \ pi {r}}. [/ latex] Таким образом, за один полный оборот угол поворота равен
[латекс] \ boldsymbol {\ Delta \ theta \: =} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {2 \ pi {r}} {r}} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {= \: 2 \ pi}. [/ Латекс]
Этот результат является основой для определения единиц, используемых для измерения углов поворота, [latex] \ boldsymbol {\ Delta \ theta} [/ latex] равными радианам (рад), таким образом, что
[латекс] \ boldsymbol {2 \ pi \ textbf {rad} = 1 \ textbf {революция}.0} [/ латекс]
Если [latex] \ boldsymbol {\ Delta \ theta = 2 \ pi \ textbf {rad}}, [/ latex], то компакт-диск сделал один полный оборот, и каждая точка на компакт-диске вернулась в исходное положение.0}. [/ Latex]
Насколько быстро вращается объект? Мы определяем угловую скорость [латекс] \ boldsymbol {\ omega} [/ latex] как скорость изменения угла. В символах это
.[латекс] \ boldsymbol {\ omega \: =} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {\ Delta \ theta} {\ Delta {t}}}, [/ латекс]
, где угловое вращение [латекс] \ boldsymbol {\ Delta \ theta} [/ latex] происходит за время [latex] \ boldsymbol {\ Delta {t}}. [/ Latex] Чем больше угол поворота в данном количество времени, тем больше угловая скорость.Единицы измерения угловой скорости — радианы в секунду (рад / с).
Угловая скорость [латекс] \ boldsymbol {\ omega} [/ latex] аналогична линейной скорости [латекс] \ boldsymbol {v}. [/ Latex] Чтобы получить точное соотношение между угловой и линейной скоростью, мы снова рассмотрим яму на вращающемся компакт-диске. Эта яма перемещает длину дуги [латекс] \ boldsymbol {\ Delta {s}} [/ latex] за время [латекс] \ boldsymbol {\ Delta {t}}, [/ latex] и поэтому имеет линейную скорость
[латекс] \ boldsymbol {v \: =} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {\ Delta {s}} {\ Delta {t}}}.[/ латекс]
Из [latex] \ boldsymbol {\ Delta \ theta = \ frac {\ Delta {s}} {r}} [/ latex] мы видим, что [latex] \ boldsymbol {\ Delta {s} = r \ Delta \ theta }. [/ latex] Подставляя это в выражение для [latex] \ boldsymbol {v} [/ latex], получаем
[латекс] \ boldsymbol {v \: =} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {r \ Delta \ theta} {\ Delta {t}}} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {= \: r \ omega}. [/ латекс]
Мы записываем эту взаимосвязь двумя разными способами и получаем два разных вывода:
[латекс] \ boldsymbol {v = r \ omega \ textbf {или} \ omega \: =} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {v} {r}}.[/ латекс]
Первое соотношение в [латексе] \ boldsymbol {v = r \ omega \ textbf {or} \ omega \: = \ frac {v} {r}} [/ latex] утверждает, что линейная скорость [латекс] \ boldsymbol { v} [/ latex] пропорционален расстоянию от центра вращения, таким образом, он является наибольшим для точки на ободе (самый большой [латекс] \ boldsymbol {r} [/ latex]), как и следовало ожидать. Мы также можем назвать эту линейную скорость [латекс] \ boldsymbol {v} [/ latex] точки на ободе тангенциальной скоростью . Вторую взаимосвязь в [latex] \ boldsymbol {v = r \ omega \ textbf {или} \ omega \: = \ frac {v} {r}} [/ latex] можно проиллюстрировать на примере шины движущегося автомобиля.Обратите внимание, что скорость точки на ободе шины такая же, как скорость [latex] \ boldsymbol {v} [/ latex] автомобиля. См. Рис. 4. Таким образом, чем быстрее движется машина, тем быстрее вращается шина — большой [латекс] \ boldsymbol {v} [/ latex] означает большой [латекс] \ boldsymbol {\ omega}, [/ latex], потому что [латекс ] \ boldsymbol {v = r \ omega}. [/ latex] Аналогичным образом, шина большего радиуса, вращающаяся с той же угловой скоростью ([latex] \ boldsymbol {\ omega} [/ latex]), будет иметь большую линейную скорость ( [латекс] \ boldsymbol {v} [/ латекс]) для автомобиля.
Рис. 4. Автомобиль, движущийся вправо со скоростью v , имеет шину, вращающуюся с угловой скоростью ω . Скорость протектора шины относительно оси v , такая же, как если бы автомобиль был поднят домкратом. Таким образом, автомобиль движется вперед с линейной скоростью v = r ω , где r — радиус шины. Чем больше угловая скорость шины, тем больше скорость автомобиля.Пример 1: Как быстро вращается автомобильная шина?
Рассчитайте угловую скорость автомобильной шины радиусом 0,300 м, когда автомобиль движется в [латексе] \ boldsymbol {15.0 \ textbf {м / с}} [/ latex] (примерно [латекс] \ boldsymbol {54 \ textbf {км / h}} [/ latex]). См. Рисунок 4.
Стратегия
Поскольку линейная скорость обода шины такая же, как и скорость автомобиля, мы имеем [latex] \ boldsymbol {v = 15.0 \ textbf {m / s}}. [/ Latex] Дан радиус шины быть [латексом] \ boldsymbol {r = 0.300 \ textbf {m}}. [/ Latex] Зная [латекс] \ boldsymbol {v} [/ latex] и [latex] \ boldsymbol {r}, [/ latex], мы можем использовать второе соотношение в [latex] \ жирный символ {v = r \ omega, \: \ omega = \ frac {v} {r}} [/ latex] для вычисления угловой скорости.
Решение
Для вычисления угловой скорости воспользуемся следующим соотношением:
[латекс] \ boldsymbol {\ omega \: =} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {v} {r}}. [/ Latex]
Замена известных,
[латекс] \ boldsymbol {\ omega \: =} [/ латекс] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {15.0 \ textbf {m / s}} {0.300 \ textbf {m}}} [/ latex] [latex] \ boldsymbol {= \: 50.0 \ textbf {rad / s}}. [/ Latex]
Обсуждение
Когда мы отменяем единицы в приведенном выше вычислении, мы получаем 50,0 / с. Но угловая скорость должна иметь единицы рад / с. Поскольку радианы на самом деле безразмерны (радианы определяются как отношение расстояний), мы можем просто вставить их в ответ для угловой скорости. Также обратите внимание, что если бы землерой с гораздо большими шинами, скажем, радиусом 1,20 м, двигался с той же скоростью 15.0 м / с, его колеса будут вращаться медленнее. У них была бы угловая скорость
[латекс] \ boldsymbol {\ omega = (15.0 \ textbf {m / s}) / (1.20 \ textbf {m}) = 12.5 \ textbf {rad / s}}. [/ Latex]
У [latex] \ boldsymbol {\ omega} [/ latex] и [latex] \ boldsymbol {v} [/ latex] есть направления (следовательно, они имеют угловую и линейную скорости соответственно). Угловая скорость имеет только два направления относительно оси вращения — либо по часовой стрелке, либо против часовой стрелки. Линейная скорость касается пути, как показано на рисунке 5.
ЭКСПЕРИМЕНТ НА ДОМУ
Привяжите какой-либо предмет к концу веревки и поверните его по горизонтальному кругу над головой (взмахнув запястьем). Поддерживайте равномерную скорость при качании объекта и измеряйте угловую скорость движения. Какая примерная скорость объекта? Определите точку рядом с вашей рукой и выполните соответствующие измерения, чтобы рассчитать линейную скорость в этой точке. Определите другие круговые движения и измерьте их угловые скорости.
Рисунок 5. Когда объект движется по кругу, здесь муха на краю старомодной виниловой пластинки, его мгновенная скорость всегда касается круга. Направление угловой скорости в этом случае — по часовой стрелке.PHET EXPLORATIONS: LADYBUG REVOLUTION
Рис. 6. Ladybug RevolutionПрисоединяйтесь к божьей коровке и исследуйте вращательное движение. Вращайте карусель, чтобы изменить ее угол, или выберите постоянную угловую скорость или угловое ускорение. Изучите, как круговое движение связано с координатами x, y, скоростью и ускорением жука, используя векторы или графики.
- Равномерное круговое движение — это движение по окружности с постоянной скоростью. Угол поворота [латекс] \ boldsymbol {\ Delta \ theta} [/ latex] определяется как отношение длины дуги к радиусу кривизны:
[латекс] \ boldsymbol {\ Delta \ theta \: =} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {\ Delta {s}} {r}}, [/ латекс]
, где длина дуги [латекс] \ boldsymbol {\ Delta {s}} [/ latex] — это расстояние, пройденное по круговой траектории, а [latex] \ boldsymbol {r} [/ latex] — радиус кривизны круговой траектории.0}. [/ Latex]
- Угловая скорость [латекс] \ boldsymbol {\ omega} [/ latex] — это скорость изменения угла,
[латекс] \ boldsymbol {\ omega \: =} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {\ Delta \ theta} {\ Delta {t}}}, [/ латекс]
, где вращение [латекс] \ boldsymbol {\ Delta \ theta} [/ latex] происходит за время [latex] \ boldsymbol {\ Delta {t}}. [/ Latex] Единицы угловой скорости — радианы в секунду (рад / с). Линейная скорость [латекс] \ boldsymbol {v} [/ latex] и угловая скорость [латекс] \ boldsymbol {\ omega} [/ latex] связаны соотношением
[латекс] \ boldsymbol {v = r \ omega \ textbf {или} \ omega \: =} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {v} {r}}.[/ латекс]
Концептуальные вопросы
1: Существует аналогия между вращательными и линейными физическими величинами. Какие вращательные величины аналогичны расстоянию и скорости?
Задачи и упражнения
1: Грузовики с полуприцепом имеют одометр на одной ступице колеса прицепа. Ступица утяжеляется таким образом, что она не вращается, но в ней есть шестерни для подсчета количества оборотов колеса — затем она вычисляет пройденное расстояние.Если колесо имеет диаметр 1,15 м и совершает 200 000 оборотов, сколько километров должен показывать одометр?
2: Микроволновые печи вращаются со скоростью около 6 об / мин. Что это в оборотах в секунду? Какова угловая скорость в радианах в секунду?
3: Автомобиль с шинами радиусом 0,260 м проезжает 80 000 км, прежде чем износится. Сколько оборотов делают шины без учета поддержки и изменения радиуса из-за износа?
4: а) Каков период вращения Земли в секундах? б) Какова угловая скорость Земли? (c) Учитывая, что Земля имеет радиус [латекс] \ boldsymbol {6.6 \ textbf {m}} [/ latex] на его экваторе, какова линейная скорость у поверхности Земли?
5: Бейсбольный питчер выносит руку вперед во время подачи, поворачивая предплечье вокруг локтя. Если скорость мяча в руке питчера составляет 35,0 м / с, а мяч находится на расстоянии 0,300 м от локтевого сустава, какова угловая скорость предплечья?
6: В лакроссе мяч выбрасывается из сетки на конец клюшки путем вращения клюшки и предплечья вокруг локтя.Если угловая скорость мяча относительно локтевого сустава составляет 30,0 рад / с, а мяч находится на 1,30 м от локтевого сустава, какова скорость мяча?
7: Грузовик с шинами радиусом 0,420 м движется со скоростью 32,0 м / с. Какова угловая скорость вращающихся шин в радианах в секунду? Что это в об / мин?
8: Комплексные концепции
При ударе по футбольному мячу игрок, выполняющий удар, вращает ногой вокруг тазобедренного сустава.
(a) Если скорость носка ботинка кикера равна 35.0 м / с, а тазобедренный сустав находится на расстоянии 1,05 м от кончика обуви, какова угловая скорость кончика обуви?
(b) Башмак находится в контакте с первоначально неподвижным футбольным мячом весом 0,500 кг в течение 20,0 мс. Какая средняя сила прилагается к футбольному мячу, чтобы придать ему скорость 20,0 м / с?
(c) Найдите максимальную дальность полета футбольного мяча, пренебрегая сопротивлением воздуха.
9: Создайте свою проблему
Рассмотрим аттракцион в парке развлечений, в котором участники вращаются вокруг вертикальной оси в цилиндре с вертикальными стенками.Как только угловая скорость достигает своего полного значения, пол опускается, и трение между стенами и пассажирами препятствует их скольжению. Постройте задачу, в которой вы вычисляете необходимую угловую скорость, которая гарантирует, что всадники не соскользнут со стены. Включите свободную схему тела одного всадника. Среди переменных, которые следует учитывать, — радиус цилиндра и коэффициенты трения между одеждой гонщика и стеной.
Глоссарий
- длина дуги
- [latex] \ boldsymbol {\ Delta {s}}, [/ latex] расстояние, пройденное объектом по круговой траектории
- приямок
- крошечная выемка на спиральной дорожке, отформованной в верхней части слоя поликарбоната CD
- угол поворота
- отношение длины дуги к радиусу кривизны на круговой траектории:
[латекс] \ boldsymbol {\ Delta \ theta \: =} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {\ Delta {s}} {r}} [/ латекс]
- радиус кривизны
- радиус круговой траектории
- радиан
- единица измерения углов
- угловая скорость
- [latex] \ boldsymbol {\ omega}, [/ latex] скорость изменения угла, под которым объект движется по круговой траектории
Решения
Задачи и упражнения
1:
723 км
3:
[латекс] \ boldsymbol {5 \ times10 ^ 7 \ textbf {rotations}} [/ латекс]
5:
117 рад / с
7:
8:
(а) 33.3 рад / с
(б) 500 Н
(в) 40,8 м
12.3: Угловой момент — Physics LibreTexts
В этом разделе мы покажем, что можем определить величину, называемую «угловым моментом», как вращательный эквивалент количества движения.
Угловой момент частицы
Угловой момент относительно точки вращения \ (\ vec L \) частицы с линейным импульсом \ (\ vec p \) определяется как:
\ [\ vec L = \ vec r \ times \ vec p \]
, где \ (\ vec r \) — вектор от точки вращения к частице, а линейный импульс \ (\ vec p \) определяется относительно инерциальной системы отсчета, в которой точка вращения в состоянии покоя.
Рассмотрим производную углового момента по времени (где мы должны использовать правило произведения для производных):
\ [\ begin {align} \ frac {d \ vec L} {dt} & = \ frac {d} {dt} (\ vec r \ times \ vec p) \\ & = \ frac {d \ vec r } {dt} \ times \ vec p + \ vec r \ times \ frac {d \ vec p} {dt} \\ & = \ vec v \ times \ vec p + \ vec r \ times \ frac {d \ vec p} {dt} \\\ конец {выровнено} \]
Первый член равен нулю, так как \ (\ vec v \) параллельно \ (\ vec p \) по определению. 2 (\ vec r \ times \ vec v) \).{2} \ vec \ omega = I \ vec \ omega \]
, который является близким аналогом определения количества движения, но мы используем момент инерции вместо массы и угловую скорость вместо скорости.
Таким образом, угловой момент параллелен угловой скорости частицы относительно точки вращения. Если на частицу не действует крутящий момент вокруг этой точки, то угловой момент частицы вокруг этой точки останется постоянным. Мы также можем рассматривать крутящий момент и угловой момент относительно оси, а не точки; в этом случае мы просто возьмем компоненты крутящего момента и углового момента, параллельные этой оси.
Пример \ (\ PageIndex {1} \)
Небольшой блок массы \ (m \), прикрепленный к безмассовой струне, движется по окружности радиуса \ (R \) по горизонтальному столу, как показано сверху на рисунке \ (\ PageIndex {1} \) . Если стол не имеет трения: сохраняется ли линейный и / или угловой момент блока относительно оси вращения? Если между столом и блоком есть трение, сохраняется ли линейный и / или угловой момент блока по отношению к оси вращения? Что вы можете сказать о кинетической энергии блока в двух случаях?
Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): небольшой блок, прикрепленный к безмассовой струне, движущейся по горизонтальному кругу на столе.Решение :
Если между блоком и столом нет трения, то силы, действующие на блок, равны:
- \ (\ vec F_g \), вес блока, приложенный вниз, с величиной \ (мг \).
- \ (\ vec N \), нормальная сила, приложенная вверх, с величиной \ (mg \).
- \ (\ vec T \), сила натяжения, приложенная к центру круга.
Все эти силы перпендикулярны (тангенциальному) смещению блока по окружности.Таким образом, с блоком нельзя работать, и его скорость \ (v \) должна оставаться постоянной. Таким образом, кинетическая энергия блока должна оставаться постоянной.
Сумма сил на блоке должна быть направлена к центру круга, так как блок находится в равномерном круговом движении. Линейный импульс блока не может быть сохранен, если на блок действует действующая сила (и очевидно, что вектор скорости блока меняет направление, когда он движется по окружности).
Силы веса и нормальная сила находятся вне плоскости движения и, следовательно, не могут создавать крутящий момент вдоль оси вращения.Они также равны и противоположны по величине, поэтому результирующий крутящий момент от этих двух сил всегда равен нулю (поскольку результирующая сила от этих сил равна нулю). Сила натяжения всегда антипараллельна вектору \ (\ vec r \), от оси вращения к частице, и не может привести к крутящему моменту вокруг оси вращения. Таким образом, чистый крутящий момент на блоке равен нулю, и его угловой момент должен сохраняться.
Если есть кинетическое трение стола на блоке, то на блок действует дополнительная сила \ (\ vec f_s \) в направлении, противоположном движению (касательное к окружности, в направлении, противоположном направлению движения). скорость блока).
Сила трения будет отрицательно воздействовать на блок, замедляя его и уменьшая его кинетическую энергию, которая больше не сохраняется. Чистая сила на блок не равна нулю, поэтому его линейный импульс все еще не сохраняется. Наконец, сила трения, которая всегда перпендикулярна \ (\ vec r \), приведет к крутящему моменту, уменьшающему угловую скорость блока. Таким образом, угловой момент блока больше не сохраняется при трении между столом и блоком.
Обсуждение
В этом примере мы увидели, что кинетическая энергия, линейный импульс и угловой момент сохраняются при разных условиях. Кинетическая энергия сохраняется, если с блоком не выполняется работа сети. Линейный импульс сохраняется, если результирующая сила на блоке равна нулю. Угловой момент сохраняется, если чистый крутящий момент на блоке равен нулю. Вводя угловой момент, мы можем использовать новую сохраняемую величину, чтобы помочь нам моделировать динамику вращения.
Пример \ (\ PageIndex {2} \)
Частица движется с постоянной скоростью \ (\ vec v \) (по прямой) относительно системы координат в инерциальной системе отсчета, как показано на рисунке \ (\ PageIndex {2} \). Покажите, что его угловой момент относительно начала координат сохраняется.
Рисунок \ (\ PageIndex {2} \): частица, движущаяся по прямой линии.Решение :
В этом случае частица движется по прямой, но мы все еще можем определить ее угловой момент относительно начала координат.Если \ (\ vec r \) — вектор положения частицы относительно начала координат, ее угловой момент равен:
\ [\ начало {выровнено} \ vec L = \ vec r \ times \ vec p \ end {выровнено} \]
Мы можем взять производную углового момента по времени, чтобы увидеть, изменяется ли он со временем:
\ [\ begin {align} \ frac {d \ vec L} {dt} = & = \ frac {d} {dt} (\ vec r \ times \ vec p) \\ & = \ frac {d \ vec r} {dt} \ times \ vec p + \ vec r \ times \ frac {d \ vec p} {dt} \\ & = \ vec v \ times \ vec p + \ vec r \ times \ frac {d \ vec p} {dt} \\\ конец {выровнено} \]
Первый член равен нулю, потому что \ (\ vec v \) и \ (\ vec p \) параллельны (поэтому их перекрестное произведение должно быть нулевым).Второй член равен нулю, потому что импульс частицы постоянен во времени (поскольку ее скорость постоянна). Таким образом, угловой момент частицы не меняется со временем и сохраняется.
Обсуждение:
Конечно, мы ожидали такого результата, поскольку на частицу не действует крутящий момент. Однако стоит подчеркнуть, что частице не обязательно вращаться, чтобы ее угловой момент вокруг заданной оси определялся или сохранялся; все, что имеет значение, — это то, что на частицу нет крутящего момента относительно этой оси.{ext} \]
До этого момента мы не требовали, чтобы система была твердым объектом, поэтому частицы в системе могут двигаться относительно друг друга. Например, частицами могут быть Солнце, планеты и все остальное, что есть в нашей Солнечной системе. Полный угловой момент всех тел в Солнечной системе (скажем, относительно Солнца) сохраняется, если нет чистого крутящего момента в солнечной системе относительно Солнца (т.е. если нет крутящего момента вокруг Солнца, действующего на какой-либо объект). тел в системе, которое не задействовано ни одним из других тел в системе).{2} \ right) \ vec \ omega = I \ vec \ omega \]
, где мы определили, что сумма в скобках — это просто момент инерции объекта относительно оси вращения. Опять же, следует подчеркнуть, что это полный угловой момент объекта вокруг оси вращения, а не вокруг точки.
Визуализация крутящего момента и углового момента системы может быть сложной задачей, потому что почти всегда требуется визуализировать что-то в трех измерениях. Рассмотрим колесо (например,г. колесо велосипеда), которое вращается вокруг горизонтальной оси, которую вы держите руками, как показано на левой панели рисунка \ (\ PageIndex {3} \) (без рук). Представьте, что вы держитесь за ось так, что колесо находится перед вами, ваша правая рука находится справа от колеса, а ваша левая рука — слева от колеса.
Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): колесо, вращающееся на оси с горизонтальной угловой скоростью (слева). Если вы попытаетесь наклонить ось, как показано на правой панели, изменив угловой момент колеса, вам также потребуется приложить крутящий момент в вертикальном направлении (показано в правом нижнем углу).Мы определяем систему координат, как показано, так, чтобы колесо вращалось, как показано на левой панели, с угловой скоростью (и угловым моментом) в положительном направлении \ (x \) (верхняя часть колеса приближается к вам).
Затем вы пытаетесь поднять правую руку, одновременно опуская левую, чтобы наклонить ось вращения, как показано на правой панели. При этом вы изменяете направление момента количества движения (и угловой скорости) колеса так, что момент количества движения \ (\ vec L ‘\) теперь имеет вертикальную составляющую \ (\ Delta \ vec L \). , как показано.Крутящий момент, необходимый для изменения углового момента, задается следующим образом: \ [\ begin {align} \ vec \ tau = \ frac {d \ vec L} {dt} \ sim \ frac {\ Delta \ vec L} {\ Delta t} \ end {align} \] где \ (\ Delta t \) — время, необходимое для изменения оси вращения. Крутящий момент, необходимый для изменения оси вращения, направлен в том же направлении, что и \ (\ Delta \ vec L \) (положительное направление \ (y \)). То есть вы не сможете просто наклонить ось, как показано; если вы хотите наклонить ось, вам также нужно будет толкать вперед правой рукой и тянуть назад левой рукой, чтобы приложить требуемый крутящий момент (показано в правом нижнем углу рисунка)! Если вы просто попытаетесь наклонить ось вращения, ваша правая рука будет отодвинута к вам, а ваша левая рука — от вас, как реакция на крутящий момент, который в противном случае потребовался бы для наклона оси!
Сохранение углового момента
В предыдущем разделе мы видели, что чистый внешний крутящий момент, действующий на объект (или систему), равен скорости изменения его углового момента: \ [\ begin {align} \ frac {d \ vec L}} {dt} = \ vec \ tau ^ {ext} \ end {align} \], где угловой момент и крутящий момент измеряются относительно одной и той же оси или точки вращения, зафиксированной в инерциальной системе отсчета.
Полный угловой момент системы относительно точки вращения сохраняется (то есть не изменяется со временем), если нет чистого внешнего крутящего момента, действующего на систему вокруг этой точки. Если сделать систему достаточно большой, то все крутящие моменты можно считать внутренними, и угловой момент системы сохраняется. Таким образом, сохраняется угловой момент Вселенной относительно неподвижной точки.
Сохранение углового момента — еще один закон сохранения, который мы вывели из Второго закона Ньютона.В современной формулировке физики мы понимаем, что сохранение углового момента связано с вращательной симметрией Второго закона Ньютона; Неважно, под каким «углом» мы моделируем систему, мы всегда можем использовать Второй закон Ньютона. Точно так же сохранение количества движения связано с поступательной симметрией, а сохранение энергии связано с тем фактом, что Второй закон Ньютона не меняется со временем. Угловой момент принципиально отличается от импульса и энергии и сохраняется в разных условиях.Угловой момент системы относительно данной оси / точки сохраняется, если в системе нет чистого крутящего момента вокруг этой оси / точки.
Пример \ (\ PageIndex {3} \)
Во время вращения фигурист приближает руки к телу и увеличивает свою угловую скорость с \ (\ omega_1 \) до \ (\ omega_2 \). На какую долю уменьшился при этом его момент инерции?
Решение :
Можно считать, что ось вращения проходит вертикально через центр фигуриста.Когда фигурист вращается, на него не действует чистый внешний крутящий момент. Таким образом, его угловой момент сохраняется, когда он подводит руки. Когда он подводит руки, его момент инерции уменьшается, поскольку он приближает массу своих рук к оси вращения. Если \ (I_1 \) и \ (I_2 \) — моменты инерции фигуриста до и после подведения рук, соответственно, мы можем записать угловой момент вокруг его оси вращения как: \ [\ begin {align} L_1 & = I_1 \ omega_1 \\ L_2 & = I_2 \ omega_2 \ end {выровнено} \] Поскольку на фигуриста нет внешнего крутящего момента, угловой момент остается одинаковым до и после того, как он изменит свой момент инерции: \ [\ begin {align} L_1 & = L_2 \\ I_1 \ omega_1 & = I_2 \ omega_2 \\ \ следовательно \ frac {I_1} {I_2} & = \ frac {\ omega_2} {\ omega_1} \ end {align} \]
Обсуждение:
Вращающийся фигурист — хороший пример сохранения углового момента.Изменяя свою форму, они могут изменить свой момент инерции и, следовательно, свою угловую скорость.
Пример \ (\ PageIndex {4} \)
Покажите, что Второй закон Кеплера эквивалентен утверждению о сохранении углового момента планеты, вращающейся вокруг Солнца.
Решение :
Второй закон Кеплера гласит, что в период времени \ (\ Delta t \) площадь \ (\ Delta A \), которую выметает планета, является постоянной, независимо от того, где она находится на своей орбите.Другими словами: \ [\ begin {align} \ frac {\ Delta A} {\ Delta t} = \ text {constant} \ end {align} \] Рисунок \ (\ PageIndex {4} \) показывает планету в эллиптическая орбита вокруг Солнца.
Рисунок \ (\ PageIndex {4} \): область, которую выметила планета за период времени \ (dt \).В какой-то момент планета имеет вектор скорости \ (\ vec v \) и вектор положения \ (\ vec r \) относительно Солнца. За небольшой промежуток времени \ (dt \) планета переместится на небольшое расстояние \ (vdt \), которое мы можем принять за прямую линию, если \ (dt \) достаточно мало.Пусть \ (\ phi \) будет углом между векторами скорости и положения, когда они расположены хвостом к хвосту, как показано.
Небольшая площадь \ (dA \), выметаемая планетой за период времени \ (dt \), определяется площадью прямоугольного треугольника с высотой \ (r \) и основанием \ ( vdt \ sin \ phi \) 1 : \ [\ begin {align} dA = \ frac {1} {2} r vdt \ sin \ phi \ end {align} \] Скорость, с которой выметается область выглядит следующим образом: \ [\ begin {align} \ frac {dA} {dt} = \ frac {1} {2} rv \ sin \ phi \ end {align} \] Рассмотрим теперь величину углового момента планеты относительно Солнце: \ [\ begin {align} L = rp \ sin \ phi = rmv \ sin \ phi \ end {align} \], где масса планеты равна \ (m \).Скорость, с которой планета сметает область, может быть записана в единицах углового момента планеты: \ [\ begin {align} \ frac {dA} {dt} & = \ frac {1} {2} rv \ sin \ phi = \ frac {L} {2m} \ end {align} \] Единственная сила, действующая на планету, — это гравитационная сила Солнца. Эта сила всегда антипараллельна вектору \ (\ vec r \) от Солнца к планете и не может привести к вращению планеты вокруг Солнца. Таким образом, угловой момент планеты относительно Солнца должен сохраняться, а \ (L \) постоянно.В свою очередь, это означает, что скорость, с которой область выметается планетой, пропорциональная \ (L \), также постоянна. Таким образом, Второй закон Кеплера эквивалентен утверждению, что угловой момент планеты относительно Солнца постоянен.
Кинематика вращения— Если угловая скорость и угловое ускорение являются векторами, почему не угловое смещение?
Положите свой экземпляр книги «Халлидей, Уокер и Резник» на стол так, чтобы передняя обложка была параллельна столу и была видна вам.Теперь ваша правая рука лежит на книге, большой и указательный пальцы образуют угол в девяносто градусов. Сориентируйте руку так, чтобы большой палец был параллелен корешку книги и указывал на верхний край. Указательный палец должен быть параллелен линиям текста на обложке и указывать вправо.
Это хорошая основа для книжной системы координат. Ваш большой палец указывает на ось x-шляпы, указательный палец — на ось y-шляпы. Чтобы завершить правую систему, ось z-шляпы указывает в книгу.
Поднимите книгу и поверните ее на +90 градусов вокруг оси x. Корешок книги должен быть горизонтальным и обращенным вверх. Теперь сделайте поворот на +90 градусов вокруг оси Y (как при первом повороте). Вы должны смотреть на переднюю обложку книги, но ориентированную вертикально, с текстом, перетекающим к земле.
Если вы начнете все сначала, но измените порядок операций, поворот на +90 градусов вокруг оси Y, за которым следует поворот на +90 градусов вокруг оси x, вы должны смотреть на корешок книги, а не на передняя крышка.Передняя обложка ориентирована вертикально, но текст идет параллельно земле. Вы можете положить книгу обратно в книжный шкаф.
Вращение в трехмерном пространстве и выше не является коммутативным (поворот A с последующим вращением B не обязательно совпадает с вращением B с последующим вращением A).
Еще один намек на то, что между вращением и перемещением есть что-то отличное, — это количество параметров, необходимых для описания этих двух в некотором N-мерном пространстве. Трансляция в N мерном пространстве, очевидно, требует N параметров.Линии имеют одну степень свободы, плоскости — две, трехмерное пространство — три и так далее. Линии не вращаются. В одномерном пространстве нет вращательных степеней свободы. Вращение действительно имеет смысл в двумерном пространстве, где один скаляр (одна степень свободы вращения) полностью описывает вращения. Трехмерное пространство имеет три степени свободы. Четырехмерное пространство? Их шесть. Трехмерное пространство — единственное пространство, для которого количество вращательных степеней свободы и количество поступательных степеней свободы равны друг другу.
Эта уникальная характеристика трехмерного пространства позволяет рассматривать угловую скорость как вектор. Векторное перекрестное произведение (что-то еще, что является уникальным для трехмерного пространства) означает, что студентов-новичков можно научить вращению без необходимости изучать теорию Ли или абстрактные алгебры.