20 связь между угловой скоростью и периодом: 404 — Страница не найдена

Содержание

4.5 Кинематика равномерного вращения по окружности

При движении по окружности с постоянной по величине линейной скоростью υ тело имеет направленное к центру окружности постоянное центростремительное ускорение

a_ц = υ²/R, (18)

где R – радиус окружности.

Вывод формулы для центростремительного ускорения

По определению .

(19)

Рисунок 6 Вывод формулы центростремительного ускорения

На рисунке треугольники, образованные векторами перемещений и скоростей, подобны. Учитывая, что == R и== υ, из подобия треугольников находим:

(20)

откуда

(21)

Поместим начало координат в центр окружности и выберем плоскость, в которой лежит окружность, за плоскость (x, y). Положение точки на окружности в любой момент времени однозначно определяется полярным углом φ, измеряемым в радианах (рад), причем

x = R cos(φ + φ₀), y = R sin(φ + φ₀), (22)

где φ₀ определяет начальную фазу (начальное положение точки на окружности в нулевой момент времени).

В случае равномерного вращения угол φ, измеряемый в радианах, линейно растет со временем:

φ = ωt, (23)

где ω называется циклической (круговой) частотой. Размерность циклической частоты: [ω] = c^–1 = Гц.

Циклическая частота равна величине угла поворота (измеренного в рад) за единицу времени, так что иначе ее называют угловой скоростью.

Зависимость координат точки на окружности от времени в случае равномерного вращения с заданной частотой можно записать в виде:

x= R cos(ωt + φ

0), (24)

y = R sin(ωt + φ₀).

Время, за которое совершается один оборот, называется периодом T.

Частота ν = 1/T. (25)

Размерность частоты: [ν] = с^–1= Гц.

Связь циклической частоты с периодом и частотой: 2π = ωT, откуда

ω = 2π/T = 2πν. (26)

Связь линейной скорости и угловой скорости находится из равенства:

2πR = υT, откуда

υ = 2πR/T = ωR. (27)

Выражение для центростремительного ускорения можно записать разными способами, используя связи между скоростью, частотой и периодом:

a_ц = υ²/R = ω²R = 4π²ν²R = 4π²R/T². (28)

4.6 Связь поступательного и вращательного движений

Основные кинематические характеристики движения по прямой с постоянным ускорением: перемещение s, скорость υ и ускорение

a. Соответствующие характеристики при движении по окружности радиусом R: угловое перемещение φ, угловая скорость ω и угловое ускорение ε (в случае, если тело вращается с переменной скоростью).

Из геометрических соображений вытекают следующие связи между этими характеристиками:

перемещение s → угловое перемещение φ = s/R;

скорость υ → угловая скорость ω = υ /R;

ускорение a → угловое ускорение ε = a/R.

Все формулы кинематики равноускоренного движения по прямой могут быть превращены в формулы кинематики вращения по окружности, если сделать указанные замены. Например:

s = υt → φ = ωt, (29)

υ = υ₀ + at → ω = ω₀ + εt. (29а)

Связь между линейной и угловой скоростями точки при вращении по окружности можно записать в векторной форме. Действительно, пусть окружность с центром в начале координат расположена в плоскости (x, y). В любой момент времени вектор , проведенный из начала координат в точку на окружности, где находится тело, перпендикулярен вектору скорости тела, направленному по касательной к окружности в этой точке. Определим вектор, который по модулю равен угловой скорости ω и направлен вдоль оси вращения в сторону, которая определяется правилом правого винта: если завинчивать винт так, чтобы направление его вращения совпадало с направлением вращения точки по окружности, то направление движения винта показывает направление вектора. Тогда связь трех взаимно перпендикулярных векторов,иможно записать с помощью векторного произведения векторов:

. (30)

Зачет по теме «Криволинейное движение»

Задачи к зачету

Билет 1

1. Самолет уменьшил свою скорость с 720 до 180 км/ч в течение 20 с. С каким ускорением летел самолет и какое расстояние он пролетел за это время?

2. Поезд длиной 120 м движется по мосту равномерно со скоростью 18 км/ч. За какое время поезд пройдет мост, если длина моста 480 м?

3. У всех ли точек катящегося колеса линейная скорость относительно земли одинакова?

Билет 2

1. Скорость звука в воздухе 340 м/с, а скорость радиоволн — 300 000 км/с. Оперу слушают зритель, сидящий в зале на расстоянии 34 м от оркестра, и радиослушатель, находящийся на расстоянии 6000 км. Кто раньше услышит звук оркестра?

2. Автомобиль при движении со скоростью 43,2 км/ч тормозит до остановки в течение 3 с. Какое ускорение сообщают автомобилю тормоза и каков тормозной путь?

3. Сравните угловую скорость часовой стрелки и угловую скорость суточного вращения Земли.

Билет 3

1. Пассажирский поезд идет со скоростью 72 км/ч. По соседнему пути движется навстречу товарный поезд длиной 140 м со скоростью 54 км/ч. Сколько времени пассажир, стоящий у окна, будет видеть проходящий мимо него товарный поезд?

2. Посадочная скорость самолета равна 135 км/ч, а длина его пробега — 500 м. Определите время пробега по посадочной полосе и ускорение самолета, считая движение равнозамедленным.

3. Когда резец токарного станка снимает большую стружку: в начале обработки детали или в конце, если число оборотов заготовки остается постоянным?

Билет 4

1. Через реку переправляется лодка, выдерживающая курс, перпендикулярный течению. Скорость лодки составляет 1,4 м/с, скорость течения — 0,70 м/с, ширина реки — 303 м. Найдите время, за которое лодка пересечет реку. На какое расстояние снесет ее по течению?

2. Автомобиль, остановившись перед светофором, увеличил затем скорость до 60 км/ч на пути в 30 м. С каким ускорением он должен был двигаться? Сколько времени продолжался этот разбег?

3. Сравните линейную скорость конца секундной стрелки часов и точки, лежащей на экваторе Земли. Считать длину секундной стрелки равной 1 см; радиус Земли R

3= 6400 км.

Билет 5

1. Между двумя пунктами, расположенными по реке на расстоянии 60 км друг от друга, курсирует катер. Он проходит это расстояние по течению за 3 ч, а против течения — за 4 ч. Определите скорость катера относительно воды (считать движение катера равномерным).

2. Кабина лифта в течение первых 3 с поднимается с ускорением, затем в течение 6 с движется с постоянной скоростью, а последние 3 с замедленно с прежним ускорением. Постройте график скорости лифта и определите высоту подъема.

3. Диск радиусом R сделал четверть оборота, пол оборота и целый оборот. Определите графически путь и перемещение какой-нибудь точки на краю диска в каждом случае.

Билет 6

1. Два велосипедиста едут навстречу друг другу. Первый, имея скорость 36 км/ч, начал подниматься в гору с ускорением 0,2 м/с², второй, имея скорость 9 км/ч, стал спускаться с горы с ускорением 0,2 м/с

2. Через сколько времени и в каком месте они встретятся, если первоначальное расстояние между ними было 100 м?

2. Рабочее колесо турбины имеет диаметр 6,6 м и совершает 88,3 об/мин. Определите линейную скорость и центростремительное ускорение точек колеса, наиболее удаленных от оси вращения.

3. Чем отличаются друг от друга движения, графики скорости которых приведены на рисунке?

Билет 7

1. Груз поднимают лебедкой. Первые 2 с груз движется с ускорением 0,5 м/с², следующие 11с — равномерно, последние 2 с — равнозамедленно с ускорением 0,5 м/с². Постройте график скорости движения груза и найдите высоту подъема.

2. Самолет при скорости 360 км/ч делает петлю Нестерова радиусом 400 м. Определите центростремительное ускорение, с которым двигался самолет.

3. Почему искусственные спутники запускают с Земли в направлении на восток?

Билет 8

1. Летчик стреляет с самолета из пушки. Скорость самолета относительно земли 900 км/ч. Скорость снаряда относительно самолета — 750 м/с. Определите начальную скорость снаряда относительно земли, если выстрел производится: а) в направлении полета; б) в противоположную сторону.

2. Свободно падающее тело в некоторой точке своей траектории имело скорость 20 м/с, а в другой — 40 м/с. Определите расстояние между этими точками и время прохождения телом этого расстояния.

3. Трамвайный вагон движется по закруглению радиусом 20 м со скоростью 36 км/ч. Определите центростремительное ускорение вагона.

Задачи, вопросы,тест по теме «Движение по окружности»

Движение по окружности

№	Период, с	Частота, Гц	Линейная скорость, *м/с*	Циклическая частота, *рад/с*	Радиус окружности, м	Нормальное ускорение, *м/с²*
1	4				10
2		0,2	16
3			20		800
4	0,2		30
5				15,7		60
6		2,5			1,25
7	0,04				0,6
8					40	10
9	0,05		12
10	0,1				0,2

ОТВЕТЫ

№	Период, с	Частота, Гц	Линейная скорость, *м/с*	Циклическая частота, *рад/с*	Радиус окружности, м	Нормальное ускорение, *м/с²*
1		0,25	15,7	1,57		24,65
2	5			1,26	13	20
3	250	4 10^-3		0,025		0,5
4		5		31,4	100	900
5	0,4	2,5	3,8		0,24
6	0,4		20	16		320
7		25	94	157		5,3 103
8	12,56	0,08	20	0,5
9		20		127	0,1	1440
10		10	12,56	63		790

Задача

1. Круг радиусом R катится по кругу радиусом 4R . Сколько оборотов совершит малый круг по возвращении в первоначальное положение?

Вопросы

1. При каком условии возникает криволинейное движение?

2. Как направлена скорость тела в любой точке криволинейной

траектории?

3. Почему движение по окружности является равноускоренным?

4. Как направлено ускорение тела, движущегося по окружности?

5. Что называется периодом обращения?

6. Что называется частотой?

7. От чего зависит центростремительное ускорение?

8. Как связаны между собой период и частота?

9. Какой угол между векторами скорости и ускорения?

10. Какие параметры описывают движение точки по окружности?

11. Чему равно перемещение точки за время равное периоду?

12. Почему ускорение считается переменным?

13. Что называется угловой скоростью?

14. Какое движение называется вращательным?

15. Если при движении по окружности модуль скорости точки меняется, будет ли ускорение направлено к центру? Почему?

16. Как зависит линейная скорость движения точки по окружности от расстояния до оси вращения?

17. В каком месте Земли центростремительное ускорение наибольшее?

18. Во сколько раз угловая скорость минутной стрелки часов больше часовой?

19. Когда скорость иглы проигрывателя относительно пластинки больше, в начале проигрывания или в конце?

20. По чему верхние спицы катящегося колеса иногда сливаются дляглаз, в то время как нижние видны раздельно?

Тест.

A1. Шарик движется по окружности радиусом r со скоростью v . Как изменится центростремительное ускорение шарика, если его скорость уменьшить в 2 раза?

1) уменьшится в 2 раза 2) увеличится в 2 раза 3)уменьшится в 4 раза

4 ) увеличится в 4 раза

A2. Тело движется равномерно по окружности против часовой стрелки. Как направлен

вектор ускорения при таком движении? 2

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

A3. Тело равномерно движется по окружности радиуса 40 см со скоростью 4,5 м/с. Какое

расстояние будет пройдено телом за время равное периоду?

1) 180 см 2) 4,5 м 3) 0,125 м 4) 2,5 м

A4. Автомобиль движется по закруглению дороги радиусом 20м с центростремительным ускорением

5м/с². Скорость автомобиля равна: 1) 12,5 м/с 2) 10 м/с 3) 5 м/с 4) 4 м/с

A5. Вектор ускорения при равномерном движении точки по окружности

1) постоянен по модулю и по направлению 2) равен нулю

3) постоянен по модулю, но непрерывно меняется по направлению

4) постоянен по направлению но непрерывно изменяется по модулю

Разработка урока на тему «Движение по окружности. Движение на поворотах»

Ключевые слова: физика, Движение по окружности

Учащиеся должны знать: зависимость устойчивости автомобиля на повороте от скорости движения, радиуса кривизны дороги и коэффициент трения.

Мотивирующий прием: актуальность, яркое пятно.

Картинка: авария лесовоза на дороге.

Технологическая карта урока

Задача на следующий урок: вывести правило – алгоритм решения задач по теме «Динамика движения тел по окружности» (с помощью подводящего диалога) и использовать этот алгоритм при решения задач разного типа (движение конькобежца, велосипедиста на треке, самолета входящего в «мертвую петлю», автомобиля на мосту и т.д).

Угловой скоростью называют величину, равную отношению угла поворота радиуса-вектора точки, движущейся по окружности к промежутку времени t, в течение которого произошел этот поворот.

Мгновенная скорость тела в каждой точке криволинейной траектории направлена по касательной к траектории. Следовательно, в криволинейном движении направление скорости тела непрерывно изменяется, т.е. движение по окружности со скоростью, постоянной по модулю является ускоренным.

Исходя из данной информации, какой вопрос у вас возникает?

Движение по окружности

№	Период, с	Частота, Гц	Линейная скорость, м/с	Циклическая частота, рад/с	Радиус окружности, м	Нормальное ускорение, м/с²
1	4				10
2		0,2	16
3			20		800
4	0,2		30
5				15,7		60
6		2,5			1,25
7	0,04				0,6
8					40	10
9	0,05		12
10	0,1				0,2

ОТВЕТЫ

№	Период, с	Частота, Гц	Линейная скорость, *м/с*	Циклическая частота, *рад/с*	Радиус окружности, м	Нормальное ускорение, *м/с*²
1		0,25	15,7	1,57		24,65
2	5			1,26	13	20
3	250	4 10-3		0,025		0,5
4		5		31,4	100	900
5	0,4	2,5	3,8		0,24
6	0,4		20	16		320
7		25	94	157		5,3 103
8	12,56	0,08	20	0,5
9		20		127	0,1	1440
10		10	12,56	63		790

Задача. Круг радиусом R катится по кругу радиусом 4R. Сколько оборотов совершит малый круг по возвращении в первоначальное положение?

Вопросы

При каком условии возникает криволинейное движение?
Как направлена скорость тела в любой точке криволинейной траектории?
Почему движение по окружности является равноускоренным?
Как направлено ускорение тела, движущегося по окружности?
Что называется периодом обращения?
Что называется частотой?
От чего зависит центростремительное ускорение?
Как связаны между собой период и частота?
Какой угол между векторами скорости и ускорения?
Какие параметры описывают движение точки по окружности?
Чему равно перемещение точки за время равное периоду?
Почему ускорение считается переменным?
Что называется угловой скоростью?
Какое движение называется вращательным?
Если при движении по окружности модуль скорости точки меняется, будет ли ускорение направлено к центру? Почему?
Как зависит линейная скорость движения точки по окружности от расстояния до оси вращения?
В каком месте Земли центростремительное ускорение наибольшее?
Во сколько раз угловая скорость минутной стрелки часов больше часовой?
Когда скорость иглы проигрывателя относительно пластинки больше, в начале проигрывания или в конце?
Почему верхние спицы катящегося колеса иногда сливаются для глаз, в то время как нижние видны раздельно?

Тест

A1. Шарик движется по окружности радиусом r со скоростью v. Как изменится центростремительное ускорение шарика, если его скорость уменьшить в 2 раза?
1) уменьшится в 2 раза;
2) увеличится в 2 раза;
3) уменьшится в 4 раза;
4) увеличится в 4 раза.

A2. Тело движется равномерно по окружности против часовой стрелки. Как направлен вектор ускорения при таком движении
1) 1;
2) 2;
3) 3;
4) 4.

A3. Тело равномерно движется по окружности радиуса 40 см со скоростью 4,5 м/с. Какое расстояние будет пройдено телом за время равное периоду?

1) 180 см;
2) 4,5 м;
3) 0,125 м;
4) 2,5 м.

A4. Автомобиль движется по закруглению дороги радиусом 20м с центростремительным ускорением 5м/с². Скорость автомобиля равна
1) 12,5 м/с;
2) 10 м/с;
3) 5 м/с;
4) 4 м/с.

A5. Вектор ускорения при равномерном движении точки по окружности
1) постоянен по модулю и по направлению;
2) равен нулю;
3) постоянен по модулю, но непрерывно меняется по направлению;
4) постоянен по направлению но непрерывно изменяется по модулю.

Приложение 1

Какова должна быть предельная (максимальная) масса груза лесовоза, массой 6 тонн, движущегося по скользкому закруглению радиусом 50 м со скоростью 36 км/ч, если коэффициент трения колес об асфальт 0,5?
Лесовоз движется по закруглению дороги радиусом 30м и не опрокидывается. Какой радиус кривизны должна иметь дорога, по которой движется лесовоз массой 10 т со скоростью 36 км/ч, чтобы он не опрокидывался, если коэффициент трения колес об асфальт 0,5?
Какова максимальная допустимая скорость лесовоза массой 10 т, который движется по закруглению дороги радиусом 30 м если коэффициент трения колес об асфальт 0,5?
Какой должен быть минимальный коэффициент трения колес о мокрый асфальт, при котором может произойти переворот лесовоза, если масса лесовоза 10 т, скорость 36 км/ч, радиус кривизны дороги 28,5 м.

Пример 6. На шкив радиусом

Подборка по базе: пояснительная записка.doc, Пояснительная записка Муравьев.docx, Пояснительная записка к курсовой работе.doc, Марьян записка.doc, Тестовые вопросы по теме литая цельноме кор (1).docx, Индив.задание цель, вопросы (декабрь).docx, Докладная записка.docx, Расчетная записка.odt, Оценка эффективности подготовки сточной воды на УПН с целью повы, 3 класс -Пояснительная записка.docx

Пример 6.

На шкив радиусом R= 20 см свободно намотана нерастяжимая нить, на которой висит груз (рис.5). Двигаясь вертикально вниз из состояния покоя по уравнению x= 400t²cм, где x— расстояние от неподвижной оси mn, груз приводит во вращение шкив. При этом нить сматывается без скольжения. Найти закон вращательного движения, угловую скорость и угловое ускорения шкива, а также полное ускорение обода колеса.

Решение. Система состоит из трех тел: шкива, груза В и нити. Шкив совершает вращательное движение, а груз и нить – поступательное. Отметим точку А, которая принадлежит одновременно двум телам – шкиву и нити. Скорость точки А, принадлежащей нити, V_а= V_b= dx/dt = 800t см/с

Рис. 4

Так как по условию задачи нить нерастяжима и сматывается без скольжения, то скорость той же точки А, но принадлежащей шкиву, равна V_А= R ω=20 ω, тогда 20 ω= 800t, ω=40t 1/с.

Угловое ускорение шкива ε = d ω/dt=40 1/с= const

Закон вращательного движения шкива

Так как по условию ω₀=0, то φ=20t².

Касательное ускорение точки А: α_t=Rε=20*40 =8 м/с²= const

Нормальное ускорение точки А:

Пример 7 Маховое колесо вращается равномерно с угловой скоростью 16 рад/с. Определит, сколько оборотов сделает колесо за 5 мин вращения.

Решение 1.

1. Находим угол поворота в радианах, имея в виду что ω= 16 рад/с и t= 5мин=300с:

φ= ωt =16*300=4800 рад

2. Находим число оборотов маховика:

оборота.

Решение 2.

Переведем угловую скорость ω=16 рад/с в об/мин:

об/мин

Имея в виду, что уравнение равномерного вращательного движения можно представить так: N = nt, находим N=152,5 *5 = 763 оборота

Пример 8 Маховик, вращающийся с частотой n₀ = 90 об/мин, с некоторого момента начинает вращаться равноускоренно и через 1,5 мин достигает частоты вращения n =150 об/мин. Определить угловое ускорение маховика? Какую скорость имеют точки на цилиндрической поверхности маховика через 45 сек после начала равноускоренного движения, если диаметр маховика 1,2 м?

Решение

Все угловые величины выражаем в радианном измерении.

Если n₀ = 90 об/мин, то рад/с
Если n = 150 об/мин, то рад/с
Из уравнения ω = ω₀+ ε t находим угловое ускорение, учитывая, что изменение угловой скорости происходит за t=1,5 мин=90с:

Определяем из формулы

Находим, какому числу оборотов соответствует этот угол поворота:

оборотов.

Прежде, чем найти по формуле v₁= R ω₁скорость точек на ободе маховика в момент времени t = 45 с после начала равноускоренного вращения, необходимо найти угловую скорость маховика ω₁ в этот момент:

ω₁= ω₀+ ε t₁= 3π+ π/45*45= 4 π рад/с

Зная, что м, получаем v₁= R ω₁=4 π*0,6 = 7,54 м/с

Пример 9. Колесо, вращающееся с частотой 1500 об /мин, при торможении начинает вращаться равнозамедленно и через 30 с останавливается. Определить угловое ускорение и число оборотов колеса с момента начала торможения до остановки.

Решение.

Выразим начальную угловую скорость в рад/с: рад/с

Найдем угловое ускорение из формулы рад/с

375 оборотов

Пример 10. Неравномерное вращательное движение.

Вращение вала в течение первых 20с происходит согласно уравнению φ=0,8 t³. определить угловую скорость вала в конце 20-й секунды, угловое ускорение в начале движения, в конце 10-й и 20-й секунды, сколько всего оборотов сделает вал за 20 с.

Решение.

Определим число оборотов вала за 20 с. Для этого предварительно найдем угол поворота за 20 с: φ=0,8 t³= 0,8 * 20³ = 6400 рад.
оборотов
Определим уравнение угловой скорости вала:

Найдем угловую скорость вала в конце 20-й секунды

ω_к=2,4 t² = 2,4 *20² = 960 рад/с

Если выразить эту угловую скорость в об/мин, то об/мин

Определим уравнение углового ускорения:

5. Найдем угловое ускорение в начале движения (t=0), в конце 10-й секунды (t=10), и 20-й секунды (t=20):

ε₀ = 4,8t₀=0; ε₁₀ = 4,8t₁₀=48 рад/с; ε ₂₀ = 4,8t₂₀=96 рад/с.
Задачи для самостоятельного решения

Вариант 1

1. Поезд движется со скоростью 72 км/час, при торможении он получает ускорение (замедление), равное 0,4 м/с². Найти, за какое время до прихода поезда на станцию и на каком от нее расстоянии должно быть начало торможения. Ответ: t=50с, S=500м

2. Маховое колесо начинает вращаться из состояния покоя равноускоренно, через 10 мин после начала движения оно имеет частоту вращения 120 об/мин. Сколько оборотов сделало колесо за эти 10 минут? Ответ: 600 оборотов

Вариант 2

1. Считая посадочную скорость самолета равной 400 км/час, определить замедление (ускорение) его при посадке на пути S=1200 м, движение равнозамедленное. Ответ: а=5,15 м/с²

2. Колесо, имеющее неподвижную ось, получило начальную угловую скорость ω=2π рад/сек, сделав 10 оборотов, оно вследствие трения в подшипниках остановилось. Определить угловое ускорение колеса, считая его постоянным. Ответ: ε=0,1 π рад/с²

Вариант 3

1. При загрузке бетономешалки частота вращения барабана падает с 20 до 15 об/мин в течение 1 мин. Вычислить угловое ускорение, считая его постоянным, и число оборотов бетономешалки за этот промежуток времени. Ответ: ε =0,0087 рад/с², N= 17,5 оборотов

2. Тепловоз проходит закругление длиной 960 м за 40 секунд. Радиус закругления по всей его длине 800 м. определить скорость тепловоза и ускорение, если движение равномерное. Ответ: V= 24 м/с, а=0,72 м/с²

Вариант 4

1. В момент включения двигателя маховик имел 210 об/мин. Сколько оборотов сделает он до полной остановки при замедлении (ускорении) 0,628 рад/с? Какова продолжительность торможения? Ответ: N=61,3 оборотов; t=35c

2. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью 49 м/с. Определить наибольшую достигнутую высоту. Ответ: H= 122,5 м

Вариант 5

1. Какой наружный диаметр имеет шлифовальный круг, если его частота вращения 3350 об/мин, а скорость шлифования составляет 35 м/с? Ответ: D=200м

2. Считая, что спутник движется равномерно вокруг Земли по круговой орбите радиусом 6750 км, и его период обращения 1 час 31 мин, определить скорость и нормальное ускорение. Ответ: V= 7,76 км/с, а=8,92 м/с²

Вариант 6

1. Барабан подъемной машины имеет диаметр 5,6 м. Скорость движения каната 16 м/с. Определить частоту вращения барабана. Сколько оборотов сделает барабан во время подъема, если глубина шахты 575 м? Ответ: n=54, 6 об/мин, N= 32,7 оборота

2. Тело свободно падает с высоты 44,1 м. Определить время падения и скорость в момент достижения Земли. Ответ: t=3 c; V= 29,4 м/с

Вариант 7

1. Поезд, имея начальную скорость 57 км/час, прошел 600 м за первые 30 секунд. Считая движение поезда равнопеременным, определить скорость и ускорение поезда в конце 30 секунды, если рассматриваемое движение поезда происходит на закругленном радиусе R=1 км. Ответ: V=25 м/с, а=0,708 м/с²

2. С момента выключения мотора пропеллер самолета, вращавшийся с n=1200 об/мин, сделал до остановки 80 оборотов. Сколько времени прошло с момента выключения мотора до остановки, если вращение равнозамедленное? Ответ: t=8 c

Вариант 8

1. Угол полного ускорения точки обода махового колеса к радиусу равен 60⁰. Касательное ускорение ее в данный момент α_t =10√3 м/с2. Найти нормальное ускорение точки, отстоящей от оси вращения на расстоянии R=0,5 м. Радиус колеса R=1 м. Ответ: α_n = 5 м/с²

2. Точка движется с начальной скоростью V₀ = 1,2 м/с и касательным ускорением α_t = 1,2 м/с²и проходит путь S= 30 м. Найти конечную скорость. Ответ: Vк=9 м/с
Тест №7 Вращательное движение. Линейная скорость.

Угловая скорость.

Для каждого вопроса группы А указать правильный ответ из группы А, для каждого вопроса группы В указать правильный ответ из группы В.

Вопросы группы А

Что называется периодом вращательного движения?
Что называется частотой вращения?
Какая существует аналитическая связь между частотой и периодом?
В каких единицах измеряется период?
В каких единицах измеряется частота?
Что называется линейной скоростью вращательного движения?
Как направлена линейная скорость?
В каких единицах измеряется линейная скорость?

Вопросы группы В

Какой вид имеет формула линейной скорости?
Что называется угловой скоростью?
Какой вид имеет формула угловой скорости?
В каких единицах измеряется угловая скорость?
Что принимается за один радиан?
Сколько радиан содержится в полной окружности?
Какая существует аналитическая связь между линейной и угловой скоростью?

№ вопр.	Вариант А	№ вопр.	Вариант В
	f=1/Т		…центральный угол, дуга которого равна одному радиусу
	…по окружности		2π=6,28
	…с^-1		=2π/Т
	м/с		…величина, измеряемая отношением угла, на который поворачивается точка (тело), ко времени поворота
	…время одного оборота		π=3,14
	…число оборотов в 1 мин		V= ωR
	…по касательной к окружности		=2πТ
	…с		=2πR/Т
	…скорость движения точки по окружности		рад/с
	…число оборотов в 1 с		ω=VR

Тест №8 Центростремительное ускорение.

Центростремительная и центробежная силы

Для каждого вопроса группы А указать правильный ответ из группы В.

То же для группы С

Вопросы группы А

Какое вращательное движение называется равномерным?
Остается ли постоянной при равномерном вращательном движении линейная скорость как векторная величина?
Какая величин характеризует изменение линейной скорости по направлению при равномерном вращательном движении?
Какой вид имеет формула центростремительного ускорения?
В каких единицах измеряется центростремительное ускорение?
Может ли возникнуть ускорение без воздействия на тело силы?
Какая сила является центростремительной?
Какая сила является центробежной?

№ вопр	Ответы группы А
	…сила с которой удерживающее тело действует на вращающееся тело
	a=V²/R
	…центробежное ускорение
	Нет. Скорость непрерывно изменяется по направлению
	м/с²
	…сила, с которой тело, вращающееся по окружности, действует на связь
	a=ω²/R
	…движение, при котором угловая скорость остается постоянной
	Нет. Ускорение всегда возникает под действием силы
	…центростремительное ускорение

Вопросы группы В

Какое направление имеет центростремительная сила?
Какое направление имеет центробежная сила?
Какой вид имеет формула центробежной силы?
Какой вид имеет формула центростремительной силы?
В каких единицах измеряется центробежная сила в СИ?
На основании какого закона можно заключить, что центробежная сила и центростремительная сила равны?
Могут ли центробежная и центростремительная силы возникать и исчезать одновременно?
Какой вид имеет формула центробежной силы?

№ вопроса	Ответы группы В
	…в Ньютонах
	Да, эти силы возникают и исчезают одновременно
	…на основании второго закона Ньютона
	…по радиусу к центру окружности
	F=mV²/R
	…в килограммах
	F=mω²/R
	…на основании третьего закона Ньютона
	Нет. Они могут исчезать и возникать в разное время
	…по радиусу от центра окружности

Вопросы группы С

Могут ли центростремительная и центробежная силы взаимно уравновешиваться?
Камень, привязанный к нити, вращается по окружности. Какая сила в этом случае является центробежной?
Какая сила в примере предыдущего вопроса является центростремительной?
Автомашина движется по выпуклому мосту. Чему равна здесь центростремительная сила в момент прохождения автомашины через середину моста?
Какая сила в примере предыдущего вопроса является центробежной?
Какая сила является центростремительной во вращательном движении Луны вокруг Солнца?
Какая сила в примере предыдущего вопроса является центробежной?

№ вопр.	Ответы группы В
	…сила, с которой нить действует на камень
	…сила. с которой камень действует на нить
	…сила, с которой Луна притягивает Землю
	…разности силы тяжести, действующей на машину, и реакции моста
	…могут, так как центробежная и центростремительная силы равны по величине и противоположны по направлению
	…сила, с которой Луна притягивается к Земле
	…сила, с которой мост давит на машину
	Нет. Центробежная и центростремительная силы приложены к разным телам
	…сила, возникающая вследствие движения автомашины по окружности и действующая на Землю вертикально вверх

Движение по окружности — задачи

Задача 1. За промежуток времени с тело прошло половину окружности радиусом 100 см. Найти среднюю путевую скорость и модуль средней скорости .

Решение: средней путевой скоростью называется средняя скорость прохождения пути, которую мы с вами вычисляем, деля весь путь (длину траектории) на все время. Модуль средней скорости еще называют средней скоростью по перемещению. Ее можно определить, разделив перемещение на время. Тогда длина пути – это длина половины окружности, а перемещение – длина диаметра.

Ответ: средняя путевая скорость – 0,314 м/с, средняя скорость по перемещению – 0,2 м/с

Задача 2. Однородный диск радиусом 0,5 м катится без проскальзывания со скоростью 2 м/с. Найти скорость точек диска . Найти геометрическое место всех точек диска, скорость которых 2 м/с. Угол .

Скорость точек окружности

Решение:

Точка A – центр вращения. Поэтому ее скорость относительно поверхности, по которой катится диск, равна 0. Поскольку в условии сказано, что диск катится со скоростью 2 м/с, то это означает, что с такой скоростью относительно поверхности будет передвигаться его центр: м/с. Поэтому точка А относительно центра будет передвигаться с точно такой же скоростью – со скоростью 2 м/с, и это и будет линейная скорость вращения диска, то есть скорость всех точек, лежащих на его краю, относительно центра м/с. Линейные скорости показаны для точек оранжевыми стрелками. Эти стрелки показывают, какой была бы скорость данной точки, если бы диск не катился, а вращался бы, например, на оси, проходящей через его центр. Но наш диск катится. Поэтому к линейной скорости вращения каждой точки необходимо еще прибавить скорость движения диска относительно опоры. То есть к каждой рыжей стрелке прибавим (векторно) скорость точки О – центра диска – черную стрелку. Тогда-то и становится понятным, почему у точки скорость равна 0 – линейная скорость вращения направлена влево, а скорость качения – вправо, и поскольку они равны, то гасят друг друга: . В точке C скорости, напротив, сложатся, поскольку они сонаправлены: м/с.

Определим теперь скорости точек и . Понятно, что они будут равны численно, но направлены в разные стороны.

Осталось разобраться с точкой . Сделаем еще один рисунок. Линейная скорость вращения всегда направлена по касательной, то есть перпендикулярно радиусу . Углы, которые образуются между векторами, показаны на рисунке, в том числе угол . Тогда в параллелограмме угол , а так как

, то все углы в треугольнике равны и он равносторонний, то есть м/с. Также можно было найти длину этого вектора скорости по теореме косинусов или складывая проекции векторов. Можно догадаться, что точка, симметричная точке E относительно A также имеет скорость, равную 2 м/с. Вообще точки, лежащие на одном и том же расстоянии от центра вращения A будут иметь равные скорости, линии равных скоростей (геометрические места точек с равными скоростями) показаны на рисунке различного цвета дугами: единственная точка (точка C) будет иметь скорость 4 м/с, точки, лежащие на рыжей дуне, будут иметь скорости, равные , точки, лежащие на синей дуге, будут иметь скорости, равные 2 м/с, как у точки E.

Пробуксовывание

Задача 3. Колесо, пробуксовывая, катится по ровной, горизонтальной дороге. Найти скорость центра колеса , если известно, что скорость нижней точки м/c, а верхней – м/c.

Решение:

Если колесо пробуксовывает, то это означает, что скорость его нижней точки не равна нулю, то есть его центр вращения – не точка касания поверхности, центр вращения будет расположен выше. Но центр вращения находится и не в центре колеса. Найти его можно, если провести вертикальный диаметр, построить вектора скоростей в масштабе, а затем, соединив концы векторов скоростей прямой линией, отметить точку пересечения этой линии с диаметром. У нас на рисунке это точка О. Точка К – центр колеса, его скорость нам и нужно найти. Из подобия треугольников и запишем отношения сходственных сторон:

Тогда

Теперь обратимся к подобным треугольникам и . Для них отношение сходственных сторон равно:

Откуда м/с.

Ну а более простым решение было бы, если бы мы просто нашли среднее арифметическое скоростей, ведь точка, про которую нас спрашивают, лежит по центру между точками приложения векторов скоростей и , при этом не забываем о векторном сложении скоростей, берем скорость со знаком «минус»:

м/с.

Ответ: 4 м/с.

Проскальзывание

Задача 4. Обруч, проскальзывая, катится по горизонтальной ровной поверхности. В некоторый момент скорость верхней точки А м/с, а нижней точки B м/с. Определить скорость концов диаметра , перпендикулярного к , для того же момента времени. Под какими углами они направлены к горизонту?

Решение:

Проскальзывание – это ситуация, когда скорость нижней точки (точки касания обручем земли) не нулевая, но направлена она в сторону качения. В этом случае центр вращения, так же, как и в случае пробуксовки, не совпадает с центром колеса. Более того, центр вращения даже не внутри колеса – он снаружи (точка О). Как и в предыдущей задаче, можно найти его таким же способом – проведя линию через концы скоростей и найдя ее пересечение с продолжением вертикального диаметра. И, точно так же, как в предыдущей задаче, можно определить скорость центра колеса как среднее арифметическое, только обе скорости направлены у нас теперь в одну сторону, поэтому ставим знак «плюс» перед обеими:

м/с.

Так как скорость точки есть результат векторного сложения линейной скорости вращения колеса и скорости поступательного движения центра колеса , то можем из этого сделать вывод, что линейная скорость вращения равна 2 м/с – ровно на столько скорость центра колеса, найденная нами, отличается от скорости точки , данной в условии задачи. Линейную скорость на рисунке не показывала, или показывала не везде. Скорости точек и равны численно, но направлены по-разному. Их скорости – также результат векторного сложения линейной скорости вращения колеса и скорости поступательного движения центра, а, так как эти две скорости перпендикулярны друг другу, то результат их сложения может быть найден по Пифагору:

Понятно, что раз скорости перпендикулярны друг другу, то являются катетами некоторого прямоугольного треугольника, и связывает их между собой функция тангенса, поэтому угол наклона к горизонту скорости точки можно найти как

Ответ: ,

Шарик катится по двум линейкам

Задача 5. Шарик радиусом см катится равномерно и без проскальзывания по двум параллельным линейкам, расстояние между которыми равно см, и за время с проходит см. С какими скоростями движутся верхняя и нижняя точки шарика?

На рисунке изображено, как двигается шарик, при этом для удобства показан как вид спереди, так и вид сбоку. Поскольку скорость шарика равна м/с, то эта скорость – скорость поступательного движения его центра масс – точки А. Центр вращения шарика находится в точке О – на уровне края линеек. Определим положение точки О – определим длину отрезка . Это легко сделать, зная радиус шарика и рассмотрев рисунок, из треугольника . Центр вращения в данный момент неподвижен, а точка А двигается относительно него со скоростью 0,6 м/с. Поэтому скорость нижней точки будет

Таким же способом определяем скорость верхней точки :

Ответ: скорость нижней точки 0,15 м/c, скорость верхней 1,35 м/c.

Задача 6. Автомобиль движется по закругленному шоссе, имеющему радиус кривизны м. Закон движения автомобиля имеет вид: , где м, м/с, м/с. Найти скорость автомобиля , его тангенциальное , нормальное и полное ускорения в момент времени с.

Решение.

Путь:

Производная пути – линейная скорость:

Вторая производная – тангенциальное ускорение:

Нормальное ускорение:

Полное ускорение:

Задача7. Угол поворота диска радиусом см изменяется со временем по закону . Определить зависимости от времени угловой скорости, углового ускорения и линейной скорости точек диска.

Решение: угловая скорость – производная угла:

Угловое ускорение – производная угловой скорости:

Линейная скорость:

Задача 8. Точка движется по окружности с постоянным угловым ускорением рад/. Найти угол между скоростью и ускорением через 1 с после начала движения. Начальная скорость точки равна 0.

Решение: так как тангенциальное ускорение и линейная скорость совпадают по направлению, то определим обе составляющие ускорения: как нормальную, так и тангенциальную. Угол между полным ускорением и его тангенциальной составляющей можно тогда будет найти через функцию тангенса.

Известно, что нормальное ускорение , тангенциальное ускорение . При этом , или . Тогда

Искомый угол:

Ответ:

Два концентрических колеса

Задача 9. Два концентрических колеса радиусами см и см вращаются с угловыми скоростями рад/c и рад/с соответственно. Между ними зажато третье колесо так, как показано на рисунке. Какова угловая скорость этого колеса вокруг собственной оси? Проскальзывания нет.

Решение: определим радиус маленького (третьего) колеса, м:

Определим линейную скорость точек первого колеса:

Определим линейную скорость точек второго колеса:

Найдем угловую скорость маленького колеса, зная, что линейная скорость его точек равна линейной скорости больших колес, так как проскальзывания нет:

Ответ: 20 рад/с

Задача 10. Гайку закручивают на болт за время . Длина болта , резьба составляет угол с плоскостью гайки. Найдите угловую скорость гайки, если радиус болта равен .

Скорость вращения гайки по ходу завинчивания на болт

Решение: при закручивании гайка не только вращается, но и движется вдоль болта поступательно, например, спускается вниз. Поэтому точка, взятая на ребре гайки, будет обладать двумя составляющими скорости: скорость, с которой она будет двигаться вниз вдоль болта (назовем ее ) и скорость, с которой эта точка вращается – это уже знакомая нам линейная скорость (). Тогда .

Из рисунка видно, что

С другой стороны, так как длина болта , а гайка спускается по нему за время , то

Тогда

И можно определить :

Тогда

Ответ:

Движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью

П. 6 Движение тела по окружности
с постоянной по модулю
скоростью.
Криволинейное движение –
это движение по дугам окружности.
При движении
тела по
окружности
скорость
направлена по
касательной, а
ускорение по
радиусу к центру
окружности.
Мгновенная
скорость тела в
любой точке
криволинейной
траектории
направлена по
касательной в этой
точке.
«Сконструировать»
определение
равномерного движения
по окружности.
Равномерное движение по
окружности-…
это движение, при котором скорость
не меняется по модулю, а изменяется
лишь по направлению.
Характеристики
равномерного
движения по окружности
1. Угол поворота
А
R
[ ] paд
В
R
2. Период вращения
T- период — время одного полного
оборота
t время всех оборотов
T
N
число оборотов
А
В
R
R
2. Период вращения
T- период — время одного полного
оборота
t время всех оборотов
T
N
число оборотов
А
В
R
R
Связь между периодом и частотой
вращения:
Частота-величина,
обратная периоду.
Период-величина,
обратная частоте.
3. Частота вращения
-частота вращения-
-число полных оборотов за 1 с
N
число оборотов
t время всех оборотов
4. Угловая скорость
[ω] рад
с
Угловая скорость при равномерном
вращении = отношению угла
поворота
тела к промежутку
времени t , за который этот поворот
произошёл.
А
В
R
— угол поворота
R
5 . Центростремительное
ускорение
а
а
м
[a] 2
с
модуль
центростремительного
ускорения
При движении тела по окружности
скорость направлена по касательной,
а ускорение по радиусу к центру
окружности.
Задача. Какова линейная скорость точек на ободе колеса паровой
турбины с диаметром колеса 1 м и частотой вращения 300 об/мин?
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Ляхович Е.Ю., МБВСОУ «ВСОШ №3», г. Нижнекамск
Задача. Во сколько раз изменится центростремительное ускорение
тела, если оно будет двигаться равномерно по окружности вдвое
большего радиуса с той же угловой скоростью?
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Ляхович Е.Ю., МБВСОУ «ВСОШ №3», г. Нижнекамск
Задача. Угловая скорость лопастей вентилятора 20π рад/с. Найти
число оборотов за 30 мин.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Ляхович Е.Ю., МБВСОУ «ВСОШ №3», г. Нижнекамск
1 Вариант
1. Угловая скорость лопастей вентилятора 20π рад/с. Найти число оборотов за 30 мин.
2. Частота вращения воздушного винта самолета 1500 об/мин. Сколько оборотов
сделает винт на пути 90 км при скорости полета 180 км/ч
2 Вариант
1. На повороте вагон трамвая движется с постоянной по модулю скоростью 5 м/с.
Чему равно его центростремительное ускорение, если радиус закругления пути 50 м.
2. Тепловоз движется со скоростью 60 км/ч. Сколько оборотов в секунду
делают его колеса, если их радиус 50 см?
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Ляхович Е.Ю., МБВСОУ «ВСОШ №3», г. Нижнекамск

Линейная и угловая скорость ‹OpenCurriculum

Артикул объективов

Для расчета скорости и угловой скорости объектов.

Чтобы понять взаимосвязь между линейной и угловой скоростью.

Радианы и длина дуги могут применяться для исследования кругового движения . В физике средняя скорость объекта определяется как:

$$ \ text {средняя скорость} = \ frac {\ text {пройденное расстояние}} {\ text {время, прошедшее}} $$

Итак, предположим, что объект движется по окружности радиуса r, преодолевая расстояние s за период времени t , как на рисунке 1.Тогда имеет смысл определить (среднюю) линейную скорость ν объекта как:

$$ v = \ frac {s} {t} \; \; \; \; (1)

долларов США

Пусть θ будет углом, заметенным объектом за этот период времени. Затем мы определяем (среднюю) угловую скорость ω объекта как:

$$ ω = \ frac {θ} {t} \; \; \; \; (2) $

Угловая скорость — это скорость, с которой центральный угол, охватываемый объектом, изменяется при движении объекта по окружности, и, таким образом, она измеряется в радианах в единицу времени.Линейная скорость измеряется в единицах расстояния в единицу времени (например, футов в секунду). Слово линейный используется потому, что выпрямление дуги, пройденной объектом по окружности, приводит к линии такой же длины, так что можно использовать обычное определение скорости как расстояния во времени. Обычно мы опускаем слово «средняя» при обсуждении здесь линейной и угловой скорости.

Поскольку длина с дуги, отрезанной на центральный угол θ в окружности радиуса r , составляет с = r θ , мы видим, что

$$ v = \ frac {s} {t} = \ frac {r θ} {t} = \ frac {θ} {t}.$

так, чтобы мы получили следующее соотношение между линейной и угловой скоростью:

$$ v = ω r \; \; \; \; (3) $

Пример 1

Объект сметает центральный угол в \ (\ frac {π} {3} \) радиан за 0,5 секунды, когда он движется по окружности радиусом 3 метра. Найдите его линейную и угловую скорость за этот период времени.

Решение : Здесь у нас t = 0,5 с, r = 3 м и θ = \ (\ frac {π} {3} \) рад.Таким образом, угловая скорость ω равна

$$ ω = \ frac {θ} {t} = \ frac {\ frac {π} {3} рад} {0,5 сек} ⇒ ω = \ boxed {\ frac {2π} {3} рад / сек}, $

и, следовательно, линейная скорость ν составляет

$$ v = ω r = \ left (\ frac {2π} {3} рад / сек \ справа) (3 м) ⇒ \ boxed {v = 2π m / sec} $$

Обратите внимание, что единицы измерения ω — рад / сек, а единицы ν — м / сек. Напомним, что радианы на самом деле безразмерны, поэтому в формуле ν = ωr радианы исчезают.

Пример 2

Объект преодолевает расстояние 35 футов за 2,7 секунды по кругу радиусом 2 фута. Найдите его линейную и угловую скорость за этот период времени.

Решение : Здесь у нас t = 2,7 с, r = 2 фута и с = 35 футов. Таким образом, линейная скорость ν равна

$$ v = \ frac {s} {t} = \ frac {35 футов} {2,7 сек} ⇒ \ boxed {12,96 ft / sec}, $$

и, следовательно, угловая скорость ω определяется как

$$ v = ω r = 12.96 фут / сек = ω (2 фута) ⇒ \ в штучной упаковке {ω = 6,48 рад / сек} $$

Пример 3

Объект движется с постоянной линейной скоростью 10 м / сек по окружности радиусом 4 м. Насколько велик центральный угол за 3,1 секунды?

Решение : Здесь t = 3,1 с, ν = 10 м / с и r = 4 м. Таким образом, угол θ равен

$$ s = rθ ⇒ θ = \ frac {s} {r} = \ frac {vt} {r} = \ frac {(10 м / сек) (3.1 сек)} {4 м} = \ в штучной упаковке {7,75 рад}. $

Во многих физических приложениях угловая скорость выражается в оборотов в минуту , сокращенно об / мин . Чтобы преобразовать число оборотов в минуту, скажем, в радианы в секунду, обратите внимание, что, поскольку в одном обороте 2 π радиан и в одной минуте 60 секунд, мы можем преобразовать Н оборотов в минуту в радианы в секунду, «отменив единицы», как следует:

$$ N об / мин = N \ frac {rev} {min}. \ frac {2π} {1 вер.}. \ frac {1 мин} {60 сек} = \ frac {N.2π} {60} рад / сек $$

Это работает, потому что все, что мы сделали, это дважды умножили на 1. Преобразование в другие единицы для угловой скорости работает аналогичным образом. Если двигаться в обратном направлении, скажем, от рад / сек до об / мин, получаем:

$$ N рад / сек = \ frac {N. 60} {2π} об / мин $$

Пример 4

Шестерня с внешним радиусом r ₁ = 5 см перемещается по часовой стрелке, в результате чего блокирующая шестерня с внешним радиусом r ₂ = 4 см перемещается против часовой стрелки под углом. частота вращения ω ₂ = 25 об / мин.Какая угловая скорость ω ₁ большей шестерни?

Решение : Представьте частицу на внешнем радиусе каждой шестерни. После того, как шестерни вращаются в течение периода времени t > 0, круговое смещение каждой частицы будет одинаковым. Другими словами, с ₁ = с ₂, где с ₁ и с ₂ — это расстояния, пройденные частицами на шестернях с радиусами r ₁ и r ₂ соответственно.Но с ₁ = ν ₁ t и с ₂ = ν ₂ t, где ν ₁ и ν ₂ — линейные скорости шестерен с радиусами r ₁ и r ₂ соответственно. Таким образом,

$$ v_ {1} t = v_ {2} t ⇒ v_ {1} = v_ {2} $$

, поэтому по формуле (3) мы получаем фундаментальное соотношение между двумя шестернями:

$$ \ в штучной упаковке {ω_ {1} r_ {1} = ω_ {2} r_ {2}} $$

Обратите внимание, что это справедливо для любых двух передач.Итак, в нашем случае у нас есть

$$ ω_ {1} (5) = (25) (4) ⇒ \ в штучной упаковке {ω_ {1} = 20 об / мин}. $$

Скорость и скорость

Любой движущийся объект можно описать с помощью кинематических концепций, обсуждаемых в Блоке 1 Физического Класса. Движение движущегося объекта может быть объяснено либо с помощью законов Ньютона (блок 2 в классе физики) и векторных принципов (блок 3 в классе физики), либо с помощью теоремы работы-энергии (блок 5 в классе физики). Те же концепции и принципы, которые используются для описания и объяснения движения объекта, могут быть использованы для описания и объяснения параболического движения снаряда.В этом модуле мы увидим, что те же самые концепции и принципы могут также использоваться для описания и объяснения движения объектов, которые либо движутся по кругу, либо могут быть аппроксимированы движущимися по кругу. Кинематические концепции и принципы движения будут применены к движению объектов по кругу, а затем будут расширены для анализа движения таких объектов, как американские горки, футболист, совершающий круговой поворот на , и планета, вращающаяся вокруг Солнца. Мы увидим, что красота и сила физики заключаются в том, что несколько простых концепций и принципов могут быть использованы для объяснения механики всей вселенной.Урок 1 этого исследования начнется с разработки кинематических и динамических идей, которые можно использовать для описания и объяснения движения объектов по кругу.

Предположим, вы ведете машину с повернутым рулевым колесом таким образом, что ваша машина движется по идеальному кругу с постоянным радиусом. Предположим, что во время движения ваш спидометр постоянно показывает 10 миль в час. В такой ситуации движение вашего автомобиля можно описать как равномерное круговое движение. Равномерное круговое движение — это движение объекта по кругу с постоянной или равномерной скоростью.

Расчет средней скорости

Равномерное круговое движение — круговое движение с постоянной скоростью — это одна из многих форм кругового движения. Объект, движущийся равномерно по кругу, преодолеет такое же линейное расстояние за каждую секунду. При движении по кругу объект проходит расстояние по периметру круга.Таким образом, если ваша машина будет двигаться по кругу с постоянной скоростью 5 м / с, то она будет проходить 5 метров по периметру круга за каждую секунду. Расстояние одного полного цикла по периметру круга известно как длина окружности . С постоянной скоростью 5 м / с автомобиль мог совершить полный цикл по кругу с окружностью 5 метров. При этой равномерной скорости 5 м / с каждый цикл по окружности 5 м потребует 1 секунду. На скорости 5 м / с круг с окружностью 20 метров можно было сделать за 4 секунды; и при этой равномерной скорости каждый цикл по 20-метровой окружности круга будет занимать один и тот же период времени в 4 секунды.Эта взаимосвязь между длиной окружности круга, временем завершения одного цикла по кругу и скоростью объекта является просто расширением уравнения средней скорости, изложенного в Блоке 1 Физического Класса.

Окружность любого круга может быть вычислена с использованием радиуса в соответствии с уравнением

Окружность = 2 * Пи * Радиус

Объединение этих двух приведенных выше уравнений приведет к новому уравнению, связывающему скорость объекта, движущегося равномерно по кругу, с радиусом круга и временем, чтобы сделать один цикл по кругу (период , ).

, где R представляет радиус окружности, а T представляет период. Это уравнение, как и все уравнения, можно использовать как алгебраический рецепт для решения проблемы. Его также можно использовать, чтобы направлять наши размышления о том, как переменные в уравнении связаны друг с другом. Например, уравнение предполагает, что для объектов, движущихся по кругам разного радиуса за один и тот же период, объект, пересекающий круг большего радиуса, должен двигаться с наибольшей скоростью.Фактически, средняя скорость и радиус круга прямо пропорциональны. Двукратное увеличение радиуса соответствует двукратному увеличению скорости; трехкратное увеличение радиуса соответствует трехкратному увеличению скорости; и так далее. Чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим цепочку из четырех светодиодных ламп, расположенных в разных местах вдоль жилы. Прядь держится за один конец и быстро закручивается по кругу. Каждый светодиодный светильник проходит по кругу разного радиуса. Тем не менее, поскольку они подключены к одному проводу, период их вращения одинаков.Впоследствии светодиоды, которые находятся дальше от центра круга, перемещаются быстрее, чтобы охватить окружность большего круга за то же время. Если освещение комнаты выключено, светодиоды создают дугу, которая может казаться более длинной для тех светодиодов, которые перемещаются быстрее — светодиодов с наибольшим радиусом. Это показано на диаграмме справа.

Направление вектора скорости

Объекты, движущиеся равномерно по кругу, будут иметь постоянную скорость.Но означает ли это, что они будут иметь постоянную скорость? Вспомните из блока 1 Физического класса, что скорость и скорость относятся к двум совершенно различным величинам. Скорость — это скалярная величина, а скорость — это векторная величина. Скорость, будучи вектором, имеет как величину, так и направление. Величина вектора скорости — это мгновенная скорость объекта. Направление вектора скорости направлено в том же направлении, что и объект. Поскольку объект движется по кругу, его направление постоянно меняется.В какой-то момент объект движется на север так, что вектор скорости направлен на север. Четверть цикла спустя объект будет двигаться на восток, так что вектор скорости будет направлен на восток. Поскольку объект огибает круг, направление вектора скорости отличается от того, что было в предыдущий момент. Таким образом, хотя величина вектора скорости может быть постоянной, направление вектора скорости меняется. Лучшее слово, которое можно использовать для описания направления вектора скорости, — это слово тангенциальный .Направление вектора скорости в любой момент находится в направлении касательной линии, проведенной к окружности в месте расположения объекта. (Касательная линия — это линия, которая касается окружности в одной точке, но не пересекает ее.) На диаграмме справа показано направление вектора скорости в четырех разных точках для объекта, движущегося по часовой стрелке по окружности. Хотя фактическое направление объекта (и, следовательно, вектора скорости) изменяется, его направление всегда касается окружности.

Подводя итог, объект, движущийся равномерно по кругу, движется по периметру круга с постоянной скоростью. Пока скорость объекта постоянна, его скорость меняется. Скорость, будучи вектором, имеет постоянную величину, но меняющееся направление. Направление всегда направлено касательно окружности, и когда объект поворачивает круг, касательная линия всегда указывает в новом направлении.

Хотим предложить… Иногда просто прочитать об этом недостаточно. Вы должны взаимодействовать с ним! И это именно то, что вы делаете, когда используете один из интерактивных материалов The Physics Classroom. Мы хотели бы предложить вам совместить чтение этой страницы с использованием нашего интерактивного средства однородного кругового движения. Вы можете найти его в разделе Physics Interactives на нашем сайте. Интерактивный модуль «Равномерное круговое движение» позволяет учащемуся интерактивно исследовать векторы скорости, ускорения и силы для объекта, движущегося по кругу.

Проверьте свое понимание

1. На стол кладут трубку, придающую ей форму круга в три четверти. Мяч для гольфа с большой скоростью проталкивается в трубку одним концом. Мяч катится по трубке и выходит на противоположном конце. Опишите путь мяча для гольфа, когда он выходит из трубы.

уравнений равномерного кругового движения (У.C.M.)

Тело совершает равномерное круговое движение (u.c.m.) , когда его траектория является окружностью, а его угловая скорость постоянна. В этом разделе мы будем изучать:

Уравнения для u.c.m.

Уравнения равномерного кругового движения следующие:

Где:

φ, φ0: Угловое положение тела в исследуемый момент времени и в начальный момент соответственно. Его подразделение в Международной системе (С.I.) — это радиан (рад)
ω: Угловая скорость тела. Единицей измерения в Международной системе (S.I.) является
α: Угловое ускорение . Его единица измерения в Международной системе (S.I.) — радиан на секунду в квадрате (рад / с ²)

Экспериментируй и учись

Положение в u.c.m.

Представим себе, как угловое положение тела в u.c.m рассчитывается по прошествии определенного времени.

Для этого переместите ползунки начального углового положения (то есть угла, с которого вы хотите начать движение) и угловой скорости (углов в секунду), чтобы установить эти значения. Помните, что углы всегда измеряются в радианах (180 ° = π радиан = 3,1416 радиан).

Нажмите кнопку воспроизведения, и вы автоматически будете контролировать время в движении. Перетащите ползунок t, чтобы переместить время вперед или назад, и вы увидите новое положение тела в выбранное время.

Соотношение угловых и линейных величин

Мы можем связать угловые и линейные величины в круговых движениях, используя радиус R .

Период и частота в u.c.m.

Равномерное круговое движение (u.c.m.) — это периодическое движение , то есть оно повторяется определенное количество раз с теми же характеристиками . Это позволяет определить следующие величины:

Частота обратна периоду .Связав частоту, период и угловую скорость с использованием предыдущих выражений, получим:

ф = 1 / т

Наконец, помните, что связь между угловой скоростью и линейной скоростью позволяет нам записать последнее из наших выражений, которое связывает угловую скорость, линейную скорость, период, частоту и радиус в равномерном круговом движении (u.c.m.):

v = ω · R = 2 · πT · R = 2 · π · f · R

Не забывайте, что понятие частоты и периода имеет смысл только в периодическом движении, поэтому нет смысла говорить, например, о частоте или периоде в равномерно ускоренном круговом движении.

Вывод уравнений u.c.m.

Чтобы получить уравнения равномерного кругового движения (u.c.m.) , давайте поступим аналогично тому, который мы использовали для равномерного прямолинейного движения (u.r.m.), но с учетом угловых величин, а не линейных. Мы рассмотрим следующие свойства:

Угловое ускорение равно нулю (α = 0)
С другой стороны, это означает, что средняя и мгновенная угловая скорость движения всегда имеют одно и то же значение

С этими ограничениями получаем:

ωa = ωωa = ΔφΔt = φ-φ0t-t0 = ⏟t0 = 0φ-φ0t → φ-φ0 = ω⋅t → φ = φ0 + ω⋅t

Пример

Игрушечный поезд по прозвищу «Торпеда» движется по круговой траектории радиусом 2 м без возможности изменения его линейной скорости.Зная, что полный оборот занимает 10 секунд, рассчитайте:

а) Его угловая и линейная скорости.
б) Угол и расстояние, пройденное за 2 минуты.
в) Его разгон.

Схема — Угловое движение — Физика 107

Угол в радианах
1. Угол в радианах определяется как дуга, которую он образует разделенную по радиусу круга. На рис. 1 ниже угол есть Θ, дуга, которую он образует равен s, а радиус равен R.Θ = с / р. Обратите внимание, что единицей измерения s являются метры, а единицей измерения R — это метры, поэтому угол равен нет единиц. Мы говорим радианы или степени, чтобы различить, какую систему мы используем.
2. Преобразование радианов в градусы или градусов в радианы
  1. Длина окружности равна 2 πR. На рис. 2 ниже
    с равно одной четверти круга, или s = 2 πR / 4. = πR / 2.
    В радианах Θ = s / R = (πR / 2) / R = π / 2. На рис.2 = 90 ^или.
    Таким образом, π / 2 радиан = 90 ^o, или π радианы = 180 ^o.
  2. В общем, (угол в радианах) / (угол в градусах) = π / 180 ^o.
3. Описательные термины вращательного движения
  1. Скорость v в любой точке = величина скорости по касательной к пути в этой точке.
  2. Для кругового движения Период T = время полного вращения = 2 πr / v.
  3. Частота f = величина, обратная периоду = 1 / T = v / 2 πr.
  4. Угловая скорость ω (омега, а не w) = угол поворота за секунду или для переменной угловой скорости = dΘ / dt.
    На рис. 1 = (1 / R) (s) (Уравнение 1)
    Взяв производную по t по обе стороны от уравнения.1,
    dΘ / dt = (1 / R) (ds / dt) (Уравнение 2)
    Распознавание dΘ / dt как угловая скорость ω и ds / dt как линейная скорость v дает нам соотношение между ω и v. ω = v / R. С частота f = v / 2 πR или v = 2 πRf, ω = (2 πRf) / R = 2 πf = 2 π / T.
    Единица ω — с ^-1.
  5. Угловое ускорение α — скорость изменения угловой скорости.
    α = dω / dt. Его единица измерения: s ^-2.
    Для постоянного углового ускорения
    3. ω ² = ω _o ² + 2α (Θ- Θ _o)
      Линейная аналогия, v ² = v _o ² + 2а (х — х _или)
  6. Примеры задач в 107 Набор задач для углового движения : 3-5.
4. Жесткое тело
  1. Все точки на объекте вращаются с одинаковым углом скорость ω.
  2. Для каждой массы м ₁, м ₂ м ₃, и т. д., составляющих тело,
    v ₁ = ωr ₁, v ₂ = ωr ₂, v ₃ = ωr ₃, и т.п.(См. Рис. 3 ниже)
  3. K = 1/2 м ₁ v ₁ ² + 1/2 м ₂ v ₂ ² + 1/2 м ₃ v ₃ ² + + + +
    = ₁ ^N Σ (1/2) м _i v _i ² K = 1/2 м ₁ r ₁ ² ω ² + 1/2 м ₂ r ₂ ² ω ² + 1/2 м ₃ r ₃ ² ω ² + + +
    = ₁ ^N Σ (1/2) m _i r _i ² ω ²
    Определить момент инерции I = ₁ ^N Σ м _i r _i ^2. Тогда K = (1/2) Iω ² .
    Сравните с K = 1/2 mv ² для перевода.
  4. Если распределение массы непрерывно, интегрируем найти момент инерции
Моменты инерции
1. Обруч (Рис. 4 ниже) Все точки на обруче равны расстоянию R от оси вращения.Момент инерции обруча относительно его центра масс = MR ².
2. Круглый диск (рис. 5 ниже). Сейчас там находится масса по всему объекту.
  1. Масса единицы площади диска σ = M / π R ². Площадь тонкого кольца радиуса r, толщиной dr, dA = 2πr др. Масса тонкого кольца радиуса r толщиной dr = dm = (масса на единицу площади) dA = (M / π R ²) (2πr доктор).
  2. Момент инерции диска относительно его центра масса:
3. Цилиндр можно рассматривать как серию дисков. Момент инерции шара относительно центра масс I = 1/2 MR ².
4. Момент инерции шара относительно его центра масс. I = 2/5 MR ².
  (см. Обзор 6, задача 10)
5. Тонкий стержень
  1. Масса / длина = M / L
  2. Масса длины dx = dm = (Масса / Длина) dx = (M / L) dx
  3. dI = dm x ² = (M / L) x ² dx
  4. О центре масс (рис.6а ниже),
  5. Около одного конца (Рис. 6b выше),
  6. Теорема о параллельной оси: I (параллельно) = I (CM) + Md ², где d — расстояние между осями
    Для стержня около одного конца I = ML ²/12 + M (L ²/4) = ML ²/3
6. Примеры задач в 107 Набор задач для углового движения : 9-11.
Применение сохранения энергии к вращению
1. Объект массы M, радиуса R и момента инерции I _CM изначально находится в состоянии покоя на вершине склона. Расстояние между центром объекта наверху склона а в нижней части наклона — h (рис. 7 ниже). Это катится не соскальзывая с уклона. Сила трения действует на объект, но сила трения действует в точке, а не на расстоянии, поэтому сила трения не действует и мы можем использовать сохранение энергии для решения этой проблемы.
  1. Вверху,
    E _верх = U + K = Mgh + 0
  2. Внизу, так как сфера имеет оба поступательных и кинетическая энергия вращения,
    E _низ = U + K = 0 + (1/2 Mv ² + 1/2 I _CM ω ²)
  3. Поскольку ω = v / R,
    E _нижний = 1/2 Mv ² + 1/2 I _CM (версия ² / R ²)
  4. Из сохранения энергии,
    Mgh = 1/2 Mv ² + 1/2 (I _CM / R ²) v ² или v ² = 2gh / (1 + I _CM / MR ²)
  5. Особые чемоданы
    1. Для пялец I _CM = MR ², v = (гх) ^1/2
    2. Для диска или цилиндра I _CM = MR ²/2, v = (4gh / 3) ^1/2
    3. Для сферы I _CM = 2MR ²/5, v = (10gh / 7) ^1/2
2. Примеры задач в 107 Набор задач для углового перемещения : 17, 18, 20-22, 25.
Работа, выполненная на вращающемся жестком корпусе
1. Начиная с ω ² = ω _o ² + 2α (Θ — Θ _o), 1/2 I _CM ω ² — 1/2 I _CM ω _o ² = I _CM α (Θ — Θ) _o).
2. Обозначьте левую часть приведенного выше уравнения как ΔK и правая часть как произведение W = I _CM α (Θ — Θ _o).
Крутящий момент τ
1. τ = r х Ж
2. Величина τ = rF грех R , F = (r sin r , F ) F =
  
  (см. Рис. 8a ниже)
3. Направление крутящего момента. Для τ = r x F , укажите пальцем на правой рукой по направлению r ладонью вашей рука готова к повороту на F .Вращайте пальцы в Ф . Большой палец правой руки указывает за пределы страницы. Крутящий момент τ составляет со страницы. (См. Рисунок 8b ниже)
4. Примеры задач в 107 Набор задач для углового движения : 13-16, 19.
Угловой момент L
1. Для точечной частицы массы m, движущейся со скоростью v , L = r x m v ,
  где r — расстояние от оси до положения масса м.
2. Для направления L укажите пальцами правой руки руку в направлении r и вращайте пальцами в направлении v , большой палец и угловой импульс L точка за пределы страницы (рис.9 внизу)
3. Для вращающегося твердого тела L = I ω . Направление ω равно найден, согнув пальцы правой руки в направлении вращения.Ваш большой палец указывает направление ω а для вращающегося твердого тела — в направлении L .
4. Для точечного объекта
  d L / dt =
  d ( r xm v ) / dt =
  d ( r ) / dt xm v + r xd (m v ) / dt =
  [ v xm v ] + r xd (m v ) / dt =
  0 + r x F ,
  , потому что [ v x v ] = 0 и F = d (m v ) / dt.
  Таким образом, d L / dt = r x F = τ .
  Когда крутящий момент равен нулю, угловой момент остается постоянный. Когда не действует на систему внешнего крутящего момента, угловой импульс сохраняется.
5. Для вращающегося твердого тела
  1. τ = dL / dt = d (Iω) / dt = Iα
  2. Работа = W = (Iα) Θ = τΘ
6. Сохранение углового момента
  1. Если чистый внешний крутящий момент не действует на систему, его общий угловой момент L остается постоянным. τ = d L / dt. Если τ = 0, d L / dt = 0,
    и L остается постоянным.
  2. Примеры
    1. Человек на вращающемся столе
    2. Планетарное движение
    3. Гироскоп
      1. Колесо вращается по часовой стрелке, если смотреть со стороны опоры
        L находится справа.(Рис. 10a выше)
      2. Крутящий момент от веса мг составляет τ = r x m g точек в бумагу. (Рис. 10b выше)
      3. Как видно сверху, L медленно прецессирует против часовой стрелки. (Рис.10 c и d выше)
        L + Δ L = L + τ Δt, где τ = d L / dt.
        d (L ²) / dt = d ( L ^. L ) / dt = L ^. d L / dt + Л ^. d L / dt = 2 Л ^. d L / dt =
        2 L ^. τ = 2Lτcos L , τ
        = 2Lτcos 90 ^o = 0
        Так как τ перпендикулярно L , изменений нет в величине L изменяется только ее направление.
      4. dΦ = τdt / л или Ω = dΦ / dt = τ / L = mgr / Iω.
        Колесо вращается со скоростью ω и прецессирует со скоростью Ω.
7. Примеры задач в 107 Набор задач для углового движения : 26-37.
Пример
1. Постановка задачи
  Детский игровой прибор состоит из двух тележек, каждая массой 50 кг, к которым присоединяются очень легкие (по сравнению с масса тележек) стержни жесткие, длиной по 2 м, как показано на рис. 11 выше. Чтобы это устройство вращалось, ребенок прикладывает постоянную силу 10 πN к внешней тележке, направленной перпендикулярно стержням.В аппарат изначально находится в покое.
  Найдите:
  1. момент инерции аппарата,
  2. Угловое ускорение, создаваемое ребенком,
  3. сколько времени потребуется аппарату, чтобы его изготовить полный оборот,
  4. в то время для (3)
    1. угловая скорость, а
    2. кинетическая энергия аппарата и
  5. работа, выполненная ребенком.
  6. Найдите направление и величину ΔL / Δt и крутящий момент.
2. Решение проблемы
  1. Обработка двух тележек как точечных частиц,
    I = 50 кг (2 м) ² + (50 кг) (4 м) ² = 1000 кг-м ².
  2. τ = r x F
    τ = (4 м) (10 πN) sin 90 ^o = 40 πN-м = Iα = 1000 кг-м ² α
    α = 0.04 πs ^-1
  3. Угол, перевернутый за один полный оборот = 2 π = 1/2 αt ².
    t = [(4 π) / α] ^1/2 = [(4 π) / 4 πx 10 ^-2 с ^-2] ^1/2 = 10 с
  4. 1. (а) ω = ω _o + at = 0 + (4 πx 10 ^-2 с ^-2) (10 с) = 0.4 πs ^-1
    2. (б) K = 1/2 Iω ² = 1/2 (1000 кг-м ²) (0,4 πs ^-1) ² = 80 π ² J
  5. Вт = τΘ = (40 πН-м) ( 2 π) = 80 π ² J = K _f — K _I = 80 π ² J — 0
  6. Так как ω _o = 0, L _o = 0.Конечный L = I ω . Поскольку аппарат вращается против часовой стрелки, ω есть со страницы. После одного оборота
    L = (1000 кг-м ²) (0,4 πs ^-1) = 4 πx10 ² м-кг / с.
    ΔL / Δt = (4 πx10 ² м-кг / с) / (10 с) = 40 π м-кг / с ² = τ вне страницы.
Комбинация поступательного и вращательного движения
1. Для того, чтобы сфера катилась без соскальзывания вниз по склону На плоскости должна быть сила трения ф .
2. Нам нужны два уравнения движения, одно для переноса и один для вращения.
  1. Для перевода,
    F _net = ma
    mg sin Θ — f = ma (Уравнение 1)
  2. Для вращения вокруг центра масс нет N ни m g создает крутящий момент относительно центра масс потому что их линия действий проходит через центр массы.
    τ _см = I _CM α
    fR sin 90 ⁰ = (2/5 mR ²) α или
    с α = a / R,
    f = 2/5 ма (Уравнение 2)
    Подставляя (2) в (1):
    mg sin Θ — 2/5 ma = ma или
    a = 5g sinΘ / 7 v ² = v ₀ ² + 2as = 0 + (10/7) g (s sinΘ) = (10/7) gh,
    v = (10gh / h) ^1/2, как мы нашли перед использованием консервации энергии.

Условия равновесия

Сумма внешних сил должна быть равна нулю, или
Σ F = 0
Сумма внешних крутящих моментов должна быть равна нулю, или
Στ = 0
Пример (рис.13а ниже):
Единая горизонтальная балка длиной 8,00 м и массой 200 N крепится к стене штифтовым соединением. Кабель, который составляет угол 53,0 ^o с горизонтом (рис. 13а выше) поддерживает его дальний конец. Если стоит 600-Н человек На расстоянии 2,00 м от стены найдите натяжение кабеля и сила, прилагаемая стеной к балке.

Решение примера (рис.13b ниже):

Силы, действующие на балку:
1. Гравитационная сила земли на балку,
  ее вес = 200 Н, действует в центре формы. луч.
2. Сила человека на балке = 600 Н
3. Натяжение Т в тросе
4. Усилие R , прилагаемое стеной к оси поворота
Моменты, действующие на балку вокруг оси на точки поворота:
1. Крутящий момент из-за R равен нулю, потому что он действует на точка опоры.Любая сила, проходящая через ось не производит крутящего момента (r = 0).
  Примечание : Я выбрал ось в точке поворота, чтобы исключить одну неизвестных в уравнении крутящего момента, оставив только Т как неизвестный.
2. Крутящий момент от натяжения троса = 8,0 m (T) sin 53 ^o вне страницы.
3. Крутящий момент, создаваемый силой человека = 2,0 м (600 N)
  на страницу
4. Так как это равномерная балка, вес балки действует в центре.
  r = 4 м для веса балки.
  Момент затяжки = 4,0 м (200 Н) на страницу.
5. Σ τ = 0
  Вынос страницы как положительный:
  +8.0 м (T) sin 53 ^o — 2,0 м (600 Н) — 4,0 м (200 Н) = 0
  8,0 м (Т) (0,80) = 2000 Н-м. Т = 313 Н

Векторная сумма сил должна быть равна 0.

Превратите эту двумерную задачу в двухмерную. проблемы, взяв компоненты натяжные Т и усилие стены на шарнире R в X и Y-компоненты.

Как показано на Рис. 12b,

T _x = T cos 53 ^o T _y = T sin 53 ^o,
R _x = R cos Θ, и
R _y = R sin Θ

ΣF _x = 0	ΣF _y = 0
R cos Θ — T cos 53 ^o = 0	R sin Θ + T sin 53 ^o — 600N — 200N = 0
R cos Θ = T cos 53 ^o	R sin Θ = — T sin 53 ^o + 600 N + 200 N
R cos Θ = 313 (0.6)	R sin Θ = -313 Н (0,8) + 800 Н
R cos Θ = 188 Н (Уравнение 1)	R sin Θ = 550 N *(Уравнение 2)*

Деление уравнения.2 по формуле. 1:

загар Θ = 550 Н / 188 Н = 2,92. Θ = 71,1 ⁰ R.
R sin Θ = 550 Н.
R = 550 N / sin Θ.
R = 550 Н / син 71,1 ^o = 581 Н.

Примеры проблем в 107 Набор задач для углового движения : 22-24.

Использование кросс-произведения с единичными векторами
1. Определения
  1. Величина C = A x B — это C = | A || B | cos A , Б.
  2. Укажите пальцами правой рукой по направлению A ладонью в сторону B . Поверните ладонь в B . Ваш большой палец указывает в направлении C . В Рис. 14 ниже, C отсутствует на странице.
2. Приложение к единичным векторам
  1. i x i = | i || i | sin и , i = | 1 || 1 | sin 0 ^или = 0
    j x j = | j || j | sin j , j = | 1 || 1 | sin 0 ^o = 0
    k x k = | k || k | sin k, k = | 1 | 1 | sin 0 ^o = 0
  2. Звездная величина и направление
    1. Звездная величина: | я x j | = | я || j | грех и , j = | 1 || 1 | sin 90 ^o = 1 = | j x i |
      Направление: i x j = k j x i = — k
    2. Величина: | я x k | = | i || k | грех и , k = | 1 || 1 | sin 90 ^o = 1 = | k x i |
      Направление: i x k = — j k x i = j
    3. Величина: | Дж x k | = | j || k | грех j , k = | 1 || 1 | sin 90 ^o = 1 = | k • j | Направление: j x k = i k x j = — I
3. Пример задачи в 107 Набор задач для углового движения : 12.

Углы в радианах и угловая скорость в зависимости от линейной скорости

Обычно мы измеряем углы в градусах.

360 ° = 1 оборот

Но это не самый удобный способ измерения углов при круговом движении.

Вот альтернатива: радиана. Радиус круга и его длина связаны уравнением…

Окружность = 2πr

Таким образом, коэффициент, позволяющий преобразовать длину окружности (расстояние, пройденное по дуге окружности) в радиус, равен 2π.

Таким образом, 2π описывает весь круг, как 360 ° описывает весь круг.

360 ° ≡ 2π радиан и

180 ° ≡ π радиан

Фактически, если вы используете углы в радианах, вы можете написать это общее уравнение:

с = rθ

Где:

с = длина покрываемой дуги

r = радиус окружности

θ = угол в радианах

Пример:

Преобразует следующие углы из градусов в радианы.

90 °, 135 °, 330 °

Ответ:

180 ° ≡ π радиан.

Умножьте любой угол в градусах на, чтобы найти такой же угол в радианах.

Пример:

Под каким углом в градусах автомобиль проехал по круговой трассе, если радиус трассы составляет 100 м, а расстояние, пройденное автомобилем, составляет 470 м?

Ответ:

Преобразовать в градусы:

Примечание: Нам пришлось перевернуть коэффициент преобразования, чтобы преобразовать радианы в градусы.

Вопрос:

При линейном или прямолинейном движении мы измеряем скорость, глядя на то, сколько расстояния преодолевается за секунду. Вы можете делать это и круговыми движениями, но часто лучше использовать угловую скорость , ω.

Угловая скорость — это угол полного круга (в радианах), пройденного за секунду.

Например,

Где:

θ = угол поворота в радианах

t = время в секундах.

Если учесть, что время, затрачиваемое на полный оборот, — это период Т, то

, потому что 2π — это угол, охватываемый (в радианах), когда вы делаете полный круг.

Помня, что вы также можете записать это как

ω = 2πf

Пример:

Старый проигрыватель пластинок ставит рекорды со скоростью 45 об / мин (оборотов в минуту). Для точки на окружности (радиус = 10 см) вычислите угловую скорость в рад с ^-1.

Ответ:

45 об / мин = 45/60 = 0,75 оборотов в секунду = f

Угловая скорость = ω = 2πf x 0,75 = 4,7 рад с ^-1

Вопрос:

Колесо автомобиля вращается со скоростью 10 оборотов в секунду во время движения автомобиля. Радиус резины на шине — 20см.

Если вы движетесь по кругу с радиусом r и движетесь с линейной скоростью v ms ^-1:

Расстояние, пройденное за 1 оборот = 2πr

Время одного оборота = T, период.

Эти уравнения позволяют связать угловую и линейную скорость.

Вопрос:

Толкание ядра осуществляется со скоростью 1 оборот в секунду. Рука спортсмена — 60 см.

Оценка угловой скорости у девочек с идиопатическим сколиозом в подростковом возрасте

, ¹, ¹, ¹, ¹, ¹, ¹ и ²

1 Ferran

^{^{Физическая медицина и реабилитация, Госпиталь Эсперанса, Муниципальный институт помощи санитарии, Барселона, Испания
Эстер Марко
¹ Физическая медицина и реабилитация, Госпиталь де л’Эсперанса, Муниципальный институт помощи санитарии, Барселона, Испания
Эстер Дуарте
¹ Физическая медицина и реабилитация, Hospital de l’Esperança, Institut Municipal d’Assistència Sanitària, Барселона, Испания
Josep Ma Muniesa
¹ Физическая медицина и реабилитация, Hospital de l ‘ Esperança, Institut Municipal d’Assistència Sanitària, Барселона, Испания
Roser Boza
¹ Физическая медицина и реабилитации, Госпиталь де л’Эсперанса, Муниципальный институт санитарии, Барселона, Испания
Марта Техеро
¹ Физическая медицина и реабилитация, Госпиталь де л’Эсперанса, Муниципальный институт помощи санитарии, Барселона, Испания
Энрик Касерес
² Отделение ортопедической хирургии, Hospital de l’Esperança, Institut Municipal d’Assistència Sanitària, Барселона, Испания
¹ Физическая медицина и реабилитация, Hospital de l’Esperança, Institut Municipal d’A , Барселона, Испания
² Отделение ортопедической хирургии, Hospital de l’Esperança, Institut Municipal d’Assistència Sanitària, Барселона, Испания
Автор, отвечающий за переписку. Поступило 9 июля 2009 г .; Принято 16 сентября 2009 г.
Copyright © 2009 Escalada et al; лицензиат BioMed Central Ltd. Это статья в открытом доступе, распространяемая в соответствии с условиями лицензии Creative Commons Attribution License (http://creativecommons.org/licenses/by/2.0), которая разрешает неограниченное использование, распространение и воспроизведение на любом носителе. при условии правильного цитирования оригинала.
Эта статья цитируется в других статьях в PMC. Abstract
Предпосылки
Хотя было продемонстрировано, что максимальная скорость роста (PHV) является прогностическим фактором прогрессирования подросткового идиопатического сколиоза (AIS), мало что известно о полезности прогрессирования угла в клинической практике.Целью этого исследования было установить взаимосвязь между высотой и угловой скоростью, а также определить, возникает ли пиковая угловая скорость (PAV) одновременно с PHV.
Методы
Ретроспективное исследование группы девочек с идиопатическими сколиотическими изгибами более 10 °. Данные 132 девочек, которые участвовали в предыдущем ретроспективном исследовании роста в AIS, были использованы для расчета высоты и угловой скорости. Связь между высотой и угловой скоростью оценивалась с помощью смешанной линейной модели.
Результаты
PHV и PAV происходят одновременно за 1 год до менархе с прогрессирующими изгибами, управляемыми с помощью корсета в AIS. На изменения угловой скорости влияют изменения скорости роста, так что, начиная с 6 месяцев после менархе, скорость роста в этой группе девочек оценивает скорость прогрессирования кривой (β-коэффициент -0,88, p = 0,04).
Заключение
Начиная с 6 месяцев после наступления менархе, наблюдается обратная зависимость между скоростью роста и прогрессированием кривой в группе девушек с прогрессивным изгибом AIS, которым управляли с помощью корсета.Поскольку скорость роста снижается за 1 год до менархе, это открытие подтверждает, что в конце полового созревания в этой группе девочек все еще существует риск прогрессирования, несмотря на бодрости. Оценка как высоты, так и угловой скорости может быть полезна в клинической практике во время оценки эффективности корсета и определения продолжительности фиксации.
Предпосылки
Было предложено множество показателей зрелости скелета и роста позвоночника, таких как хронологический возраст, возраст скелета кисти и запястья, признак Риссера, время наступления менархе, максимальная скорость роста (PHV) и другие [1-8].Ни один из этих методов не является достаточно точным, чтобы предсказать потенциал роста позвоночника при идиопатическом сколиозе у подростков. Показатель PHV, определяемый как самая высокая скорость роста в раннем подростковом периоде, имеет важное прогностическое значение в прогрессии кривой, намного лучше, чем другие шкалы зрелости, такие как хронологический возраст, возраст менархе или признак Риссера [7]. Выбор времени PHV дает ценную информацию о вероятности прогрессирования кривой, но требования к измерению пика трудно выполнить в клинической практике.Таким образом, поиск новых индикаторов не закончен [9,10], и их знания могут способствовать разработке новых методов оценки окончания роста позвоночника.
Взаимосвязь между ростом и прогрессированием искривления по-прежнему остается спорным вопросом в исследованиях идиопатического сколиоза. Хотя широко признано, что прогрессирование искривления в значительной степени обусловлено ростом позвоночника [1,11], мы не знаем никаких доказательств того, что увеличение угла происходит одновременно с ростом роста.Работая над гипотезой о том, что существует взаимосвязь между ростом высоты и продвижением кривой, было бы разумно ожидать также найти корреляцию между скоростью роста и угловой скоростью таким образом, что при увеличении скорости роста высоты увеличивается и скорость движения кривой. На возникающие вопросы, например, может ли время максимальной угловой скорости прогнозировать прогрессирование кривой, или может ли использование PAV быть признаком успеха или неудачи в управлении корсетом, в настоящее время нет ответа.
Целью этого исследования было продемонстрировать статистическую взаимосвязь между ростом высоты и прогрессией кривой, а также определить время появления пика максимального углового прогрессирования в AIS.
Методы
Подходили для включения данные по когорте из 132 девочек, находящихся под наблюдением в реабилитационных клиниках с 1990 по 2001 год, которые участвовали в ретроспективном исследовании роста AIS, ранее проведенном в нашем учреждении. Хотя методология и процедуры подробно описаны в нашем предыдущем отчете [12], наиболее интересные моменты, касающиеся материалов и методов, резюмируются следующим образом.
В течение этого периода времени было оценено 389 детей, из которых только 132 соответствовали критериям включения:
— Девочки с AIS
— Величина кривой более 10 °, измеренная методом Кобба [13]
— Дата менархе хорошо задокументирована
— Минимум 4 визита в наше учреждение в течение как минимум 2 лет с момента возникновения менархе
Период времени, подлежащий исследованию, составлял от 2 лет до менархе до 5 лет после менархе.Измерения роста и угла Кобба проводились с интервалами в 6 (± 3) месяцев. Рост был записан медперсоналом. Пациенты, подлежащие измерению, должны стоять, глядя прямо перед собой, без обуви или бандажей. Рост регистрировался в сантиметрах с помощью настенной линейки с перпендикулярной ползунком. Угол Кобба измерялся по рентгеновским лучам одним старшим врачом, который выполнил два измерения, чтобы уменьшить вариабельность внутри наблюдателя [14]. Все рентгенограммы были задне-передней проекцией с пациентом стоя и всегда снимались с корсета при последующих обследованиях.
Для целей настоящего исследования основные переменные были рассчитаны на основе измерений высоты и угла Кобба:
— Скорость роста роста (увеличение роста, деленное на временной интервал между двумя последовательными медицинскими контролями, выраженное в сантиметрах в год):
— Угловая скорость (увеличение угла, разделенное на временной интервал между двумя последовательными медицинскими контролями, выраженное в угловых градусах в год):
Другие переменные, зарегистрированные для каждого посещения:
— Управление лечением разделено на три группы: наблюдение, фиксация и / или хирургическое лечение
— Прогресс искривления, прогрессивные кривые определяются как увеличивающиеся не менее чем на 5 градусов в год в течение периода наблюдения
Управление лечением регистрировалось как переменная с 3 категориями: наблюдение, фиксация грудопояснично-крестцового отдела ортезы (TLSO) и / или хирургическое лечение.Пациенты, наблюдавшиеся в течение определенного периода времени, которым позже потребовались корсеты, сначала включались в группу наблюдения до момента назначения корсета, а затем с этого времени переводились в группу ортезов. Изначально 3 девочки, которым установили корсет, выбыли из исследования, когда потребовалось хирургическое лечение.
Контроли проводились с интервалом 6 (+/- 3) месяцев. Для целей этого исследования 1 год был принят за 365 дней и выражен как десятичная переменная, в которой 6 месяцев равно 0.5 лет. Пример расчета высоты и угловой скорости для отдельного пациента приведен в таблице. Сравнение девочек проводилось по времени наступления менархе, а не по хронологическому возрасту. В течение первых 2 лет, когда дата менархе не была известна, контроль также проводился с минимальной периодичностью 6 месяцев. Если конкретному пациенту требовалось больше контроля, остальные измерения не выполнялись.
Таблица 1
Общая характеристика выборки (n = 132).
920 18,9%)
66 сбоку %57
61 6,8% 9 позвонков 9 Возраст на момент постановки диагноза 11,6 (стандартное отклонение 2,47) лет
Возраст менархе 12,8 (стандартное отклонение 1,18) года
Тип кривой:
Поясничный отдел 51 (38,6%)
Грудопоясничный 25 (18,9%)
Двойные изгибы 31 (23,4%)
Правый 68 (51.5%)
Левый 64 (48,5%)
Длина кривой (количество позвонков)
4 позвонка 5 позвонков 47 (35,6%)
6 позвонков 33 (25,0%)
7 позвонков 24 (18,1%)
9-13 позвонков 6 (4.5%)
Угол Кобба (во время менархе) 20,3 (стандартное отклонение 11,42)
6
14
14
14
14
61
14
61 914 88 (66,7%)
Крепление 44 (33,3%)
Статистический анализ
Категориальные переменные представлены в виде процентных и абсолютных значений. Количественные переменные представлены с их средним значением и стандартным отклонением.Изменения угловой скорости оценивались в линейной смешанной модели. Используемый метод представлял собой ограниченное максимальное значение Lilkelihood, где угловая скорость была зависимой переменной. Скорость роста роста была включена в качестве предиктора, количество пациентов — как случайный эффект, а момент — как фиксированный эффект. Статистический анализ проводился с помощью программного обеспечения R версии 2.62 [15]. Уровень статистической значимости составил 0,05 для всех сравнений гипотез.
Результаты
Среднее время наблюдения составило 39,6 (стандартное отклонение 17.6) месяцев (диапазон: 18-87 месяцев). Средний возраст на момент постановки диагноза составлял 11,6 (стандартное отклонение 2,5) года, а средний возраст менархального периода — 12,8 (стандартное отклонение 1,9) года. Чаще всего наблюдались поясничные дуги (38,6%) со средней длиной 6,0 (SD 1,5) позвонков. Из 132 участников исследования 88 (66,7%) девочек лечились под наблюдением и только 44 девочки (33,3%) получали корсет. Общие характеристики образца приведены в таблице.
Как показано в таблице, величина кривой была значительно выше в группе, получавшей скобки.Средний угол Кобба составил 11,8 (СО 3,1) градуса (макс. 20, мин. 10) для девочек, которым управляли под наблюдением, и 25,0 (СО 6,21) градуса (минимальное и максимальное значения 14 и 37 соответственно). Поясничные изгибы чаще встречались в группе наблюдения, тогда как двойные изгибы были у девочек в скобках (p <0,001).
Таблица 2
Распределение кривых и углов Кобба (n = 132)
n = 88)
61
bb угол: В Группа наблюдений Связанная группа p
(n = 44)
Тип кривой:
Поясничный отдел 41 (46.6%) 10 (22,7%)
Торакальный 16 (18,2%) 9 (20,5%) > 0,05
Торакальный поясничный 17 (18,2%) (20,5%) > 0,05
Двойная кривая 14 (15,9%) 16 (36,4%) <0,001
— Во время максимального увеличения угла
(за 1 год до менархе) 11.8 (SD 3,1) 25,0 (SD 6,21) <0,001
— Во время менархе 13,4 (SD 4,46) 24,0 (SD 12,28) <0,001
9000 В общей выборке PHV возникает за 1 год до начала менструации (рисунок). При графической оценке средних угловых скоростей PAV также наблюдается за 1 год до менархе, за которым следует отрицательное замедление роста угла вокруг перименархального периода.
График, показывающий средние значения высоты и угловой скорости из текущего исследования 132 девочек с идиопатическим сколиозом .Значения в скобках — это количество пациентов, у которых были измерены рост и угловая скорость за каждый период.
Такой же анализ был проведен путем разделения образца на две группы в соответствии с типом лечения: кривые с наблюдением и прогрессивные кривые с корсетом. Скорость роста имеет то же поведение, что и наблюдаемая для общей выборки с PHV, возникшей за 1 год до менархе в обеих группах. Что касается угловой скорости, то пиковая скорость, очевидно, не наблюдалась в группе наблюдения (рисунок), тогда как у девочек с AIS, которые действительно нуждались в фиксации, PAV происходит в то же время, что и PHV, с последующим замедлением роста угла в перименархальном периоде. (Фигура ).
График, показывающий средние значения высоты и угловой скорости из текущего исследования девочек с идиопатическим сколиозом, леченных с помощью наблюдения . Значения в скобках — это количество пациентов, у которых были измерены рост и угловая скорость за каждый период.
График, показывающий средние значения высоты и угловой скорости из текущего исследования девочек с идиопатическим сколиозом, лечившихся с помощью фиксации . Значения в скобках — это количество пациентов, у которых были измерены рост и угловая скорость за каждый период.
Поиск коэффициентов корреляции между высотной скоростью и угловой скоростью — очень сложная задача при изучении детей со сколиозом. В целом это связано с различными моделями развития: рост растет линейно, а угол — скачкообразно. Поскольку наблюдалась значительная взаимосвязь (p = 0,01) между использованием скобки и влиянием скорости высоты на угловую скорость, данные были разделены на пользователей и не пользователей скобок. Значения β-коэффициента, полученные из Ограниченного максимального правдоподобия, подробно описаны в таблице.В период предменархе (от 2 лет до менархе) не было обнаружено зависимости между ростом и угловой скоростью у наблюдаемых и находящихся в скобках девочек. Тем не менее, во втором рассматриваемом периоде (менархе до конца периода наблюдения) каждое увеличение единицы скорости роста приводит к уменьшению единицы угловой скорости на 0,88, указывая на то, что существует обратная зависимость между скоростью роста и скоростью в группе девочек, которым управляли. с бандажом (β-коэффициент -0,88, p = 0,04).
Таблица 3
Взаимосвязь между угловой и высотной скоростями
924 924 926 β-coef
0 Обследование время наступления пиковой угловой скорости в группе девушек с АИС и ищет корреляции между высотной скоростью и угловой скоростью.
Прежде чем пытаться продолжить обсуждение этих результатов, следует отметить некоторые ограничения настоящего исследования.Многие недостатки появляются всякий раз, когда исследуются сколиоз и / или рост [14,16-20], и они, вероятно, являются причиной нехватки проспективных и убедительных исследований по этому вопросу. Проспективные работы трудно выполнить из-за длительного периода наблюдения, и именно поэтому большинство статей в медицинской литературе представляют собой трансверсальные исследования или ретроспективные когортные исследования. Работа Nachemson и др. [14,20] заслуживает особого упоминания как единственная перспективная работа по эффективности фиксации при лечении АИС.
Сформировать однородные выборки очень сложно, поскольку рост девочек одного и того же хронологического возраста сильно различается. Литтл [7] продемонстрировал, что структура роста аналогична среди девочек с AIS, когда они сгруппированы в соответствии с PHV. Учитывая, что во многих случаях этот PHV неизвестен, для целей этого исследования девочки были сгруппированы с использованием даты менархе в качестве эталона для сравнения пациентов. Хотя средний возраст постановки диагноза для этой выборки составлял 11,6 года (примерно за 1 год до наступления менархе (средний возраст 12.8, DE 1.2)), обратите внимание, что диагноз был поставлен при первом обследовании через 1-2 года после менархе у 50% девочек. Наши результаты, а также данные, представленные Литтлом [7], показывают, что менархе наступает через год после PHV. Таким образом, учитывая, что средний возраст постановки диагноза составлял 11,6 года, это означает, что в начале наблюдения PHV уже имел место в 50% случаев.
Вопреки тому, что, казалось бы, указывали первые наблюдения [21], прогрессирование кривой при идиопатическом сколиозе не является линейным.Часто можно наблюдать кривые, которые остаются стабильными в течение некоторого времени и от точки, а затем начинают прогрессировать. С другой стороны, нет ничего необычного в том, чтобы наблюдать короткие периоды прогрессирования скачка роста, за которым следует стабилизация. При изучении угловых скоростей часто наблюдалось многократное увеличение угла на 0 даже у девочек с прогрессирующими кривыми. Это представляет собой препятствие для использования как параметрических, так и непараметрических статистических тестов и особенно тестов для одномерного анализа.Это обусловило тот факт, что при поиске корреляции вычисление r и R ² было невозможным, и авторам приходилось делать аппроксимацию, используя абсолютные значения высоты и угла вместо высоты и угловой скорости [10].
Авторы хотели бы отметить вывод скобки в этом примере. Хотя период после менархе является фазой замедления роста, эффект корсета, по нашему мнению, частично ответственен за скорость замедления после менархе в кривых корсета.Как видно на рисунках и, наблюдается значительное снижение угловых скоростей в перименархальном периоде, за которым следует второй всплеск роста, который происходит в течение 6-12 месяцев после менархе. Несмотря на то, что был описан период под названием âge heureux (счастливый период), состоящий из периода относительной стабилизации кривой с последующим вторым скачком роста [22], мы думаем, что в выборке это уменьшение скорости было связано с к эффекту бандажа. Нет ничего необычного в том, чтобы наблюдать важные начальные сокращения с использованием скобы и в последующих элементах управления, чтобы обнаружить, что кривая вернулась к своим начальным значениям.Коррелирует ли второй пик PAV, наблюдаемый на графиках, с прекращением фиксации у этих пациентов — это еще один вопрос, заслуживающий дальнейшего исследования.
В этом исследовании графическая оценка предполагает взаимосвязь между скоростью роста роста и скоростью продвижения кривой, хотя частое прогрессирование рывками не позволило найти статистическую взаимосвязь между угловой и высотной скоростями. Тем не менее, эта проблема была частично решена путем сопоставления абсолютных значений высоты и угла во временном интервале.В нашей предыдущей работе [10] статистически значимая корреляция между темпами роста была отмечена вплоть до 2,5 лет после менархе, особенно в случае AIS под наблюдением (r = 0,632, p <0,001).
Заключение
Таким образом, мы пришли к выводу, что и PHV, и PAV возникают в одно и то же время (за 1 год до менархе). Именно в это время назначается большинство процедур фиксации и когда ожидается, что скоба будет иметь максимальное влияние на угловую скорость. Таким образом, через 6 месяцев после менархе наблюдается обратная зависимость между высотой и угловой скоростью в группе девушек с прогрессивными изгибами AIS, которым управляли с помощью корсета.Учитывая, что это период замедления роста, это открытие указывает на все еще существует риск прогрессирования у девочек с умеренно-тяжелыми изгибами, несмотря на фиксацию. Оценка как высоты, так и угловой скорости может быть полезна в клинической практике во время оценки эффективности корсета и определения продолжительности фиксации.
Конкурирующие интересы
Авторы заявляют, что у них нет конкурирующих интересов.
Вклад авторов
ИП разработал и спроектировал исследование, выполнил анализ и интерпретацию данных, провел оценки и окончательно утвердил версию, которая будет опубликована.EM участвовал в сборе, анализе и интерпретации данных и участвовал в составлении рукописи. ED и JMM критически пересмотрены на предмет важного интеллектуального содержания. RB и MT способствовали сбору данных и анализу. EC участвовала в его разработке, критически пересмотрела интеллектуальное содержание и дала окончательное одобрение версии, которая будет опубликована. Все авторы прочитали и одобрили окончательную рукопись.
Выражение признательности
Авторы выражают признательность Джоану Вила (биостатистика из Муниципального института исследований медики, Барселона, Испания) за его экспертную статистическую помощь и Роду В.Bowman за исправление языка.
Ссылки
Lonstein JE, Carlson JM. Прогнозирование прогрессирования искривления при нелеченном идиопатическом сколиозе во время роста. J Bone Joint Surg. 1984; 66-А: 1061–71. [PubMed] [Google Scholar]
Сандерс Дж. О., Херринг Дж. А., Браун Р. Х. Задний артродез и инструментарий незрелого позвоночника при идиопатическом сколиозе. J Bone Joint Surg Am. 1995; 77: 39–45. [PubMed] [Google Scholar]
Noordeen MHH, Haddad FS, Edgar MA, Pringle J.Рост позвоночника и историческая оценка степени Риссера при идиопатическом сколиозе. Позвоночник. 1999; 24: 535–8. DOI: 10.1097 / 00007632-199
0-00006. [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]
Dhar S, Dangerfield PH, Dorgan JC, Klenerman L. Корреляция между костным возрастом и признаком Рисера при идиопатическом сколиозе у подростков. Позвоночник. 1993; 18: 14–9. DOI: 10.1097 / 00007632-199301000-00003. [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]
Hoppenfeld S, Lonner B, Murthy V, Gu Y. Эпифиз ребер и другие центры роста как индикаторы окончания роста позвоночника.Позвоночник. 2003; 29: 47–50. DOI: 10.1097 / 01.BRS.0000103941.50129.66. [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]
Escalada F, Boza R, Duarte E, Tejero M, Muniesa JM, Guillen A, Marco E. Знак Менархе и Риссера при идиопатическом подростковом сколиозе: некоторые важные соображения. Реабилитация (Мадр) 2008; 42: 137–42. DOI: 10.1016 / S0048-7120 (08) 74575-4. [CrossRef] [Google Scholar]
Little DG, Song KM, Katz D, Herring JA. Связь максимальной скорости роста с другими показателями зрелости при идиопатическом сколиозе у девочек.J Bone Joint Surg. 2000; 82-А: 685–93. [PubMed] [Google Scholar]
Песня К.М., Литтл Д.Г. Пиковая скорость роста как индикатор зрелости для мужчин с идиопатическим сколиозом. J Ped Orth. 2000. 20: 286–8. DOI: 10.1097 / 00004694-200005000-00003. [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]
Баннелл В.П. Естественное течение идиопатического сколиоза до созревания скелета. Позвоночник. 1986; 11: 773–6. DOI: 10.1097 / 00007632-198610000-00003. [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]
Escalada F, Marco E, Duarte E, Muniesa JM, Belmonte R, Tejero M, Cáceres E.Стабилизация роста и искривления у девочек с идиопатическим сколиозом подросткового возраста. Позвоночник. 2005; 30: 411–7. DOI: 10.1097 / 01.brs.0000153397.81853.6a. [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]
Wang S, Qiu Y, Ma Z, Xia C, Zhu F, Zhu Z. Гистологический анализ, оценка по признаку Риссера и цифровая оценка возраста скелета для определения остаточного потенциала роста позвоночника при идиопатическом сколиозе у китайских женщин . Позвоночник. 2007. 32: 1648–54. DOI: 10.1097 / BRS.0b013e318074c3ed. [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]
Ханс С.Д., Сандерс Дж.О., Куперман Д.Р.Использование метода Совегрена для прогнозирования максимальной скорости роста у мальчиков и девочек. J Pediatr Orthp. 2008; 28: 836–9. [PubMed] [Google Scholar]
Cobb JR. Лекции учебного курса, Американская академия хирургов-ортопедов. Vol. 5. Анн-Арбор, Дж. У. Эдвардс; 1948. Очерк по изучению сколиоза; С. 261–275. [Google Scholar]
Начемсон А.Л., Петерсон Л.Е., члены группы исследования скобок Общества исследования сколиоза. Эффективность лечения корсетами у девочек с идиопатическим сколиозом в подростковом возрасте.Проспективное контролируемое исследование, основанное на данных исследования скобок Общества исследования сколиоза. J Bone Joint Surg. 1995; 77-A: 815–22. [PubMed] [Google Scholar]
Основная группа разработчиков R. R: Язык и среда для статистических вычислений. Фонд R для статистических вычислений, Вена, Австрия; 2006. http://www.R-project.org ISBN 3--07-0. [Google Scholar]
Weinstein SL, Zavala DC, Ponseti IV. Идиопатический сколиоз. Долгосрочное наблюдение и прогноз у нелеченных пациентов.J Bone Joint Surg. 1981; 63-А: 702–12. [PubMed] [Google Scholar]
Weinstein SL, Ponsetti IV. Прогрессирование кривой при идиопатическом сколиозе. J Bone Joint Surg. 1983; 65-А: 447–55. [PubMed] [Google Scholar]
Гарднер Д.Х., Бервелл Р.Г., Возняк А.П., Макферсон И.С., Денн П.Г., Перселл Л.М., Перселл АГ. Некоторые полезные эффекты корсетов и поиск прогностических показателей при идиопатическом сколиозе. Позвоночник. 1986; 11: 779. DOI: 10.1097 / 00007632-198610000-00005. [CrossRef] [Google Scholar]
Mannherz RE, Betz RR, Clancy M, Steel HH.Юношеский идиопатический сколиоз развился до зрелости скелета. Позвоночник. 1988; 13: 1087–90. DOI: 10.1097 / 00007632-198810000-00003. [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]
Петерсон Л.Е., Начемсон А.Л. Прогнозирование прогрессирования искривления у девочек с идиопатическим сколиозом подросткового возраста средней степени тяжести. J Bone Joint Surg. 1995; 77-А: 823–7. [PubMed] [Google Scholar]
Duval-Beaupère G, Dubousset J, Queneau P. Pour une théorie unique de l’évolution des scolioses. Presse Méd. 1970; 78: 1141–6.[PubMed] [Google Scholar]
De Mauroy JC. La scoliose. Traitement orthopédique conservateur. Sauramps Médical Montpellier. 1996. С. 83–5.
Оценка угловой скорости у девочек с идиопатическим сколиозом подросткового возраста | Сколиоз и заболевания позвоночника
В этом исследовании изучается время появления пиковой угловой скорости в группе девочек с АИС и ищутся корреляции между скоростью роста и угловой скоростью.
Прежде чем пытаться продолжить обсуждение этих результатов, следует отметить некоторые ограничения настоящего исследования.Многие недостатки появляются всякий раз, когда исследуются сколиоз и / или рост [14, 16–20], и они, вероятно, являются причиной нехватки проспективных и убедительных исследований по этой теме. Проспективные работы трудно выполнить из-за длительного периода наблюдения, и именно поэтому большинство статей в медицинской литературе представляют собой трансверсальные исследования или ретроспективные когортные исследования. Особого упоминания заслуживает работа Nachemson и соавт. [14, 20] как единственная перспективная работа по эффективности фиксации при лечении АИС.
Сформировать однородные выборки очень сложно, поскольку рост девочек одного и того же хронологического возраста сильно различается. Литтл [7] продемонстрировал, что структура роста аналогична среди девочек с AIS, когда они сгруппированы в соответствии с PHV. Учитывая, что во многих случаях этот PHV неизвестен, для целей этого исследования девочки были сгруппированы с использованием даты менархе в качестве эталона для сравнения пациентов. Хотя средний возраст постановки диагноза для этой выборки составлял 11,6 года (примерно за 1 год до наступления менархе (средний возраст 12.8, DE 1.2)), обратите внимание, что диагноз был поставлен при первом обследовании через 1-2 года после менархе у 50% девочек. Наши результаты, а также данные, представленные Литтлом [7], показывают, что менархе наступает через год после PHV. Таким образом, учитывая, что средний возраст постановки диагноза составлял 11,6 года, это означает, что в начале наблюдения PHV уже имел место в 50% случаев.
Вопреки тому, что, казалось бы, указывали первые наблюдения [21], прогрессирование кривой при идиопатическом сколиозе не является линейным.Часто можно наблюдать кривые, которые остаются стабильными в течение некоторого времени и от точки, а затем начинают прогрессировать. С другой стороны, нет ничего необычного в том, чтобы наблюдать короткие периоды прогрессирования скачка роста, за которым следует стабилизация. При изучении угловых скоростей часто наблюдалось многократное увеличение угла на 0 даже у девочек с прогрессирующими кривыми. Это представляет собой препятствие для использования как параметрических, так и непараметрических статистических тестов и особенно тестов для одномерного анализа.Это обусловило тот факт, что при поиске корреляции вычисление r и R ² было невозможным, и авторам приходилось делать аппроксимацию, используя абсолютные значения высоты и угла вместо высоты и угловой скорости [10].
Авторы хотели бы отметить вывод скобки в этом примере. Хотя период после менархе является фазой замедления роста, эффект корсета, по нашему мнению, частично ответственен за скорость замедления после менархе в кривых корсета.Как видно на рисунках 1 и 3, в перименархальном периоде наблюдается значительное снижение угловых скоростей, за которым следует второй всплеск роста, который происходит в течение 6-12 месяцев после менархе. Несмотря на то, что был описан период под названием âge heureux (счастливый период), состоящий из периода относительной стабилизации кривой с последующим вторым скачком роста [22], мы думаем, что в выборке это уменьшение скорости было связано с к эффекту бандажа.
Навигация по записям
Предыдущая записьСиликоновый гель для авто: Силиконовый спрей для авто: применение смазки, цена
Следующая запись Как завести двигатель машины: Машина на механике. Как завести?
Добавить комментарий Отменить ответ
Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *
Комментарий *
Имя *
Email *
Сайт

Поиск

Рубрики
Билеты
Вопросы
Знаки
Начинающему водителю
ПДД
Правила
Разное
Datsun on-DO - седан с которого начинается история бренда в России. Использование материалов с данного сайта только с активной ссылкой!
Карта сайта
Связанная группа Группа наблюдения
β-coef2024 926 β-coef20 926 p
Предменархе (от 2 лет до менархе) -0.17 0,704 0,14 0,345
Период после менархе (менархе до конца периода наблюдения) -0,88 0,043 0,12 0,193}}

Возраст на момент постановки диагноза	11,6 (стандартное отклонение 2,47) лет
Возраст менархе	12,8 (стандартное отклонение 1,18) года
Тип кривой:
Поясничный отдел	51 (38,6%)
Грудопоясничный	25 (18,9%)
Двойные изгибы	31 (23,4%)
Правый	68 (51.5%)
Левый	64 (48,5%)

Длина кривой (количество позвонков)
4 позвонка	5 позвонков	47 (35,6%)
6 позвонков	33 (25,0%)
7 позвонков	24 (18,1%)
9-13 позвонков	6 (4.5%)

Угол Кобба (во время менархе)	20,3 (стандартное отклонение 11,42)

6 14 14 14 14 61 14 61 914	88 (66,7%)
Крепление	44 (33,3%)

	Группа наблюдений	Связанная группа	p
	(n = 44)
Тип кривой:
Поясничный отдел	41 (46.6%)	10 (22,7%)
Торакальный	16 (18,2%)	9 (20,5%)	> 0,05
Торакальный поясничный		17 (18,2%) (20,5%)	> 0,05
Двойная кривая	14 (15,9%)	16 (36,4%)	<0,001


— Во время максимального увеличения угла (за 1 год до менархе)	11.8 (SD 3,1)	25,0 (SD 6,21)	<0,001
— Во время менархе	13,4 (SD 4,46)	24,0 (SD 12,28)	<0,001

	Связанная группа		Группа наблюдения
	β-coef2024 926		β-coef20 926	p
Предменархе (от 2 лет до менархе)	-0.17	0,704	0,14	0,345
Период после менархе (менархе до конца периода наблюдения)	-0,88	0,043	0,12	0,193