Формула угла поворота в течение заданного: 404 — Страница не найдена

Уравнение v = rωv = rω говорит, что тангенциальная скорость v пропорциональна расстоянию r от центра вращения. Следовательно, тангенциальная скорость больше для точки на внешнем крае компакт-диска (с большим r ), чем для точки ближе к центру компакт-диска (с меньшим r ). Это имеет смысл, потому что точка, находящаяся дальше от центра, должна покрывать большую длину дуги за то же время, что и точка ближе к центру.Обратите внимание, что обе точки по-прежнему будут иметь одинаковую угловую скорость, независимо от их расстояния от центра вращения. См. Рисунок 6.4.

Теперь рассмотрим другой пример: шину движущегося автомобиля (см. Рис. 6.5). Чем быстрее вращается шина, тем быстрее движется автомобиль — большое ωω означает большое v , потому что v = rωv = rω.Точно так же шина большего радиуса, вращающаяся с той же угловой скоростью ωω, будет создавать для автомобиля большую линейную (тангенциальную) скорость v, . Это связано с тем, что больший радиус означает, что большая длина дуги должна касаться дороги, поэтому автомобиль должен двигаться дальше за то же время.

Однако есть случаи, когда линейная скорость и тангенциальная скорость не эквивалентны, например, когда автомобиль вращает свои колеса по льду.В этом случае линейная скорость будет меньше тангенциальной скорости. Из-за отсутствия трения под шинами автомобиля на льду длина дуги, по которой движутся протекторы шины, больше, чем линейное расстояние, по которому движется автомобиль. Это похоже на бег на беговой дорожке или на велотренажере; вы буквально никуда не денетесь.

Советы для успеха

Угловая скорость ω и тангенциальная скорость v являются векторами, поэтому мы должны включить величину и направление.Направление угловой скорости — вдоль оси вращения и указывает от вас для объекта, вращающегося по часовой стрелке, и к вам для объекта, вращающегося против часовой стрелки. В математике это описывается правилом правой руки. Тангенциальная скорость обычно описывается как вверх, вниз, влево, вправо, север, юг, восток или запад, как показано на рисунке 6.6.

Рис. 6.6. Поскольку муха на краю старинной виниловой пластинки движется по кругу, ее мгновенная скорость всегда направлена ​​по касательной к кругу.Направление угловой скорости в данном случае указано на странице.

Watch Physics

Взаимосвязь между угловой скоростью и скоростью

В этом видео рассматриваются определение и единицы угловой скорости и их связь с линейной скоростью. Здесь также показано, как преобразовать число оборотов в радианы.

Проверка захвата

Для объекта, движущегося по круговой траектории с постоянной скоростью, изменится ли линейная скорость объекта при увеличении радиуса пути?

1. Да, потому что тангенциальная скорость не зависит от радиуса.
2. Да, потому что тангенциальная скорость зависит от радиуса.
3. Нет, поскольку тангенциальная скорость не зависит от радиуса.
4. Нет, потому что тангенциальная скорость зависит от радиуса.

конических сечений — определение угла поворота эллипса из его общего уравнения и наоборот около

Для обратной части вопроса: параметризация для эллипса с центром в начале координат и с большой полуосью, равной $ a $ (параллельной системе отсчета), и малой полуосью, равной $ b $, составляет

$$ \ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} a \ cos \ varphi \\ b \ sin \ varphi \ end {pmatrix} \ qquad \ varphi \ in [0,2 \ pi) $$

Если я поверну эллипс угла $ \ theta $ с матрицей вращения $ R = \ begin {pmatrix} \ cos \ theta & — \ sin \ theta \\\ sin \ theta & \ cos \ theta \ end {pmatrix} $ Я получу:

$$ \ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} \ cos \ theta & — \ sin \ theta \\\ sin \ theta & \ cos \ theta \ end {pmatrix} \ cdot \ begin {pmatrix} a \ cos \ varphi \\ b \ sin \ varphi \ end {pmatrix} $$

Если я переведу центр из $ (0,0) $ в $ (x_c, y_c) $, я получу:

$$ \ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} \ cos \ theta & — \ sin \ theta \\\ sin \ theta & \ cos \ theta \ end {pmatrix} \ cdot \ begin {pmatrix} a \ cos \ varphi \\ b \ sin \ varphi \ end {pmatrix} + \ begin {pmatrix} x_c \\ y_c \ end {pmatrix} $$

Теперь я хотел бы выделить $ \ cos \ varphi $ и $ \ sin \ varphi $, затем возвести их в квадрат и, наконец, получить квадратичную форму. 2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 $$

  из sympy import *
theta, x_c, y_c, a, b, x, y = символы ('theta x_c y_c a b x y')
exp_1 = ((cos (theta) * (x-x_c) + sin (theta) * (y-y_c)) / a) ** 2 + ((cos (theta) * (y-y_c) -sin (theta) * (x-x_c)) / b) ** 2-1
exp_2 = развернуть (exp_1)
P = поли (ехр_2, х, у)
A, B, C, D, E, F = символы ('A B C D E F')
А_ = П.{2} {\ left (\ theta \ right)} $$
 На основе вычислений центра, осей и вращения из уравнения эллипса
 См. Также https://en.wikipedia.org/wiki/Ellipse#General_ellipse
 Угол поворота 
 А
вращение
это
трансформация
в плоскости, которая поворачивает каждую точку фигуры на определенный угол и направление относительно фиксированной точки.
 Неподвижная точка называется
центр вращения
.
 Величина поворота называется углом поворота и измеряется в градусах.
 Вы можете использовать  транспортир    для измерения указанного угла против часовой стрелки.
 Рассмотрим рисунок ниже.
 Здесь,
Δ
А
'
B
'
О
получается вращением
Δ
А
B
О
по
180
°
о происхождении. Обратите внимание, что оба
А
О
А
'
и
B
О
B
'
прямые.
 Так,
м
∠
А
О
А
'
знак равно
180
°
знак равно
м
∠
B
О
B
'
.
  Пример: 
 Сколько степеней имеет
Δ
Икс
Y
Z
был повернут против часовой стрелки, чтобы получить
Δ
Икс
'
Y
'
Z
'
?
 А
.
90
°
B
.
180
°
C
.
270
°
D
.
360
°
 Определите соответствующие вершины вращения.
 Икс
(
-
6
,
2
)
→
Икс
'
(
2
,
6
)
Y
(
-
2
,
4
)
→
Y
'
(
4
,
2
)
Z
(
-
4
,
5
)
→
Z
'
(
5
,
4
)
 Точка вращения - это начало координат, нарисуйте линии, соединяющие одну из точек, скажем
Икс
и это изображение к источнику.
 Вы можете видеть, что линии образуют угол
270
°
, против часовой стрелки.
 Следовательно,
Δ
Икс
'
Y
'
Z
'
получается вращением
Δ
Икс
Y
Z
против часовой стрелки на
270
°
о происхождении.
 Итак, правильный выбор -
C
.
 Также обратите внимание, что связь между соответствующими вершинами есть
(
Икс
,
у
)
→
(
-
у
,
Икс
)
который показывает вращение против часовой стрелки
270
°
о происхождении.
 Расчет углов поворота | LEARN.PARALLAX.COM 
 Эта серия руководств объяснит, как мы можем создавать многоугольные и круговые орбиты с помощью дифференциального колесного робота. Вы пройдете через несколько примеров правильных многоугольников и кругов, сначала используя математику, а затем запустив несколько примеров кода SimpleIDE. Эти учебные пособия предназначены для использования на ActivityBot от Parallax, но концепции могут быть распространены на различных других роботов (например, S2) с некоторыми изменениями.
 Во-первых, нам нужно изучить и проанализировать проблему программирования ротации. Мы должны иметь возможность запрограммировать вращение робота в правильном направлении (по часовой стрелке или против часовой стрелки), соответствующем различным углам 0 ° <ω <360 °, которые мы хотим повернуть.
 В Go Certain Distances вы можете видеть, что команда drive_goto (26, -25) заставляет ActivityBot выполнить поворот вправо на 90 градусов. Давайте рассмотрим этот пример более подробно и попытаемся создать математическую формулу для вычисления подходящего количества «отметок», соответствующих некоторому углу ω.
 При вращении ActivityBot перемещает колеса по красному кругу (радиус: 52,9 мм). Если робот сделает поворот на 1 радиан (рад), каждое колесо переместится на расстояние, равное радиусу r красного круга. Таким образом, поворот ActivityBot на 1 рад эквивалентен перемещению колес на расстояние:
 r = 52,9 мм = 52,91 / 3,25 такта = 16,2769 такта 
 Заменяя рад на градусы, берем формулу:
 делений для угла = ω * 0.284 
 Итак, если мы хотим запрограммировать ActivityBot на поворот на ω градусов, мы можем умножить его на 0,284, чтобы найти соответствующее количество тактов колеса.
 Чтобы проверить приведенную выше формулу, мы можем увидеть, что поворот на 90 градусов = 90 * 0,284 тика = 25,56 тика = 26 тиков (с округлением в большую сторону).
 На изображении выше есть таблица с полезной информацией для предстоящих действий. Ниже мы предоставили его увеличенный вид:
 На графике текст под «командой ActivityBot» гласит: для вращения против часовой стрелки измените знаки.Это означает, что для изменения направления движения измените положительные значения на отрицательные, а отрицательные значения на положительные. Например, drive_goto (34, -34) будет преобразовано в drive_goto (-34, 34) и т. Д.
 Угол поворота и угловая скорость 
 Цели обучения 
 К концу этого раздела вы сможете:
 Определите длину дуги, угол поворота, радиус кривизны и угловую скорость.
 Вычислить угловую скорость вращения колеса автомобиля.
 В «Кинематике» мы изучали движение по прямой и ввели такие понятия, как смещение, скорость и ускорение. Двумерная кинематика имеет дело с движением в двух измерениях. Движение снаряда - это частный случай двумерной кинематики, в которой объект проецируется в воздух, находясь под действием силы тяжести, и приземляется на некотором расстоянии. В этой главе мы рассматриваем ситуации, когда объект не приземляется, а движется по кривой. Мы начинаем изучение равномерного кругового движения с определения двух угловых величин, необходимых для описания вращательного движения.
 Угол поворота 
 Когда объекты вращаются вокруг некоторой оси - например, когда компакт-диск (компакт-диск) на рисунке 1 вращается вокруг своего центра - каждая точка в объекте движется по дуге окружности. Рассмотрим линию от центра компакт-диска до его края. Каждая лунка , , используемая для записи звука вдоль этой линии, перемещается под одним и тем же углом за одно и то же время. Угол поворота - это величина поворота, аналогичная линейному расстоянию. Мы определяем угол поворота   Δ  θ  как отношение длины дуги к радиусу кривизны: [latex] \ displaystyle \ Delta \ theta = \ frac {\ Delta {s}} {r} \\ [ / латекс]
 Рисунок 1.Все точки на компакт-диске движутся по дугам окружности. Ямки вдоль линии от центра к краю все перемещаются на один и тот же угол  Δθ  за время  Δt .
 Рисунок 2. Радиус круга повернут на угол  Δθ . Длина дуги  Δs  описана на окружности.
 Длина дуги    Δs  - это расстояние, пройденное по круговой траектории, как показано на рисунке 2. Обратите внимание, что  r  - это  радиус кривизны  круговой траектории.
 Мы знаем, что за один полный оборот длина дуги равна длине окружности радиуса  r . Окружность круга равна 2π  r . Таким образом, за один полный оборот угол поворота составляет
 °.
 [латекс] \ displaystyle \ Delta \ theta = \ frac {2 \ pi {r}} {r} = 2 \ pi \\ [/ latex].
 Этот результат является основой для определения единиц, используемых для измерения углов поворота, Δ  θ  равными  радианам  (рад), определенным так, что 2π рад = 1 оборот.
 Сравнение некоторых полезных углов, выраженных как в градусах, так и в радианах, показано в таблице 1.
 Таблица 1. Сравнение угловых единиц
 Градус Меры
 Радианная мера
 30º
 [латекс] \ displaystyle \ frac {\ pi} {6} \\ [/ latex]
 60º
 [латекс] \ displaystyle \ frac {\ pi} {3} \\ [/ latex]
 90º
 [латекс] \ displaystyle \ frac {\ pi} {2} \\ [/ latex]
 120º
 [латекс] \ displaystyle \ frac {2 \ pi} {3} \\ [/ latex]
 135º
 [латекс] \ displaystyle \ frac {3 \ pi} {4} \\ [/ latex]
 180º
 π
 Рисунок 3. {\ circ}} {2 \ pi} \ приблизительно 57.{\ circ} \\ [/ латекс].
 Угловая скорость 
 Насколько быстро вращается объект? Определим угловую скорость    ω  как скорость изменения угла. В символах это [латекс] \ omega = \ frac {\ Delta \ theta} {\ Delta {t}} \\ [/ latex], где угловой поворот Δ  θ  происходит за время Δ  t  . Чем больше угол поворота за заданный промежуток времени, тем больше угловая скорость. Единицы измерения угловой скорости - радианы в секунду (рад / с).
 Угловая скорость  ω  аналогична линейной скорости  v . Чтобы получить точное соотношение между угловой и линейной скоростью, мы снова рассмотрим ямку на вращающемся CD. Эта яма перемещается на длину дуги Δ  с  за время Δ  t , поэтому она имеет линейную скорость [латекс] v = \ frac {\ Delta {s}} {\ Delta {t}} \\ [/ латекс].
 Из [latex] \ Delta \ theta = \ frac {\ Delta {s}} {r} \\ [/ latex] мы видим, что Δ  s  =  r  Δ  θ . Подстановка этого в выражение для  v  дает [latex] v = \ frac {r \ Delta \ theta} {\ Delta {t}} = r \ omega \\ [/ latex].
 Мы записываем эту взаимосвязь двумя разными способами и получаем два разных вывода:
 [латекс] v = r \ omega \ text {или} \ omega \ frac {v} {r} \\ [/ latex].
 Первое соотношение в [latex] v = r \ omega \ text {or} \ omega \ frac {v} {r} \\ [/ latex] гласит, что линейная скорость  v  пропорциональна расстоянию от центра вращения, таким образом, он является наибольшим для точки на ободе (наибольшее  r ), как и следовало ожидать. Мы также можем назвать эту линейную скорость  v  точки на ободе тангенциальной скоростью  .Вторую взаимосвязь в [latex] v = r \ omega \ text {или} \ omega \ frac {v} {r} \\ [/ latex] можно проиллюстрировать на примере шины движущегося автомобиля. Обратите внимание, что скорость точки на ободе шины такая же, как скорость  v  автомобиля. См. Рис. 4. Таким образом, чем быстрее движется автомобиль, тем быстрее вращается шина - большой  v  означает большой  ω , потому что  v  =  rω . Точно так же шина большего радиуса, вращающаяся с той же угловой скоростью ( ω ), будет создавать для автомобиля большую линейную скорость ( v ).
 Рис. 4. Автомобиль, движущийся вправо со скоростью  v , имеет шину, вращающуюся с угловой скоростью ω. Скорость протектора шины относительно оси составляет  v , как если бы автомобиль был поднят. Таким образом, автомобиль движется вперед с линейной скоростью  v  =  r  ω, где  r  - радиус шины. Чем больше угловая скорость шины, тем больше скорость автомобиля.
 Пример 1. Как быстро вращается автомобильная шина? 
 Рассчитайте угловую скорость 0.Автомобильная шина радиусом 300 м при движении автомобиля со скоростью 15,0 м / с (около 54 км / ч). См. Рисунок 4.
 Стратегия 
 Поскольку линейная скорость обода шины такая же, как и скорость автомобиля, мы имеем  v  = 15,0 м / с. Радиус шины задан равным  r  = 0,300 м. Зная  v  и  r , мы можем использовать второе соотношение в [latex] v = r \ omega \ text {или} \ omega \ frac {v} {r} \\ [/ latex] для вычисления угловой скорости .
 Решение 
 Для вычисления угловой скорости мы будем использовать следующее соотношение: [latex] \ omega \ frac {v} {r} \\ [/ latex].
 Подстановка известных,
 [латекс] \ omega = \ frac {15.0 \ text {m / s}} {0.300 \ text {m}} = 50.0 \ text {rad / s} \\ [/ latex].
 Обсуждение 
 Когда мы отменяем единицы в приведенном выше вычислении, мы получаем 50,0 / с. Но угловая скорость должна иметь единицы рад / с. Поскольку радианы на самом деле безразмерны (радианы определяются как отношение расстояний), мы можем просто вставить их в ответ для угловой скорости. Также обратите внимание, что если землеройный комбайн с гораздо большими шинами, скажем, 1.Радиус 20 м, двигался с той же скоростью 15,0 м / с, его шины вращались медленнее. У них будет угловая скорость [latex] \ omega = \ frac {15.0 \ text {m / s}} {1.20 \ text {m}} = 12.5 \ text {rad / s} \\ [/ latex].
 И  ω , и  v  имеют направления (следовательно, это угловая и линейная  скорости  соответственно). Угловая скорость имеет только два направления относительно оси вращения - либо по часовой стрелке, либо против часовой стрелки. Линейная скорость касается пути, как показано на рисунке 5.
 Take-Home Experiment 
 Привяжите какой-либо предмет к концу веревки и поверните его по горизонтальному кругу над головой (взмахнув запястьем). Поддерживайте равномерную скорость при качании объекта и измеряйте угловую скорость движения. Какая примерная скорость объекта? Определите точку рядом с вашей рукой и выполните соответствующие измерения, чтобы рассчитать линейную скорость в этой точке. Определите другие круговые движения и измерьте их угловые скорости.
 Рисунок 5.Когда объект движется по кругу, например, муха на краю старинной виниловой пластинки, его мгновенная скорость всегда касается круга. Направление угловой скорости в этом случае - по часовой стрелке.
 Исследования PhET: революция божьей коровки 
 Присоединяйтесь к божьей коровке и исследуйте вращательное движение. {\ circ} = 1 \ text { революция} \\ [/ латекс].{\ circ} \\ [/ латекс].
 Угловая скорость ω - это скорость изменения угла, [латекс] \ omega = \ frac {\ Delta \ theta} {\ Delta {t}} \\ [/ latex], где вращение [латекс] \ Delta \ theta \\ [/ latex] имеет место во времени [latex] \ Delta {t} \\ [/ latex]. Единицы угловой скорости - радианы в секунду (рад / с). Линейная скорость  v  и угловая скорость ω связаны соотношением [latex] v = \ mathrm {r \ omega} \ text {или} \ omega = \ frac {v} {r} \ text {.} [/ Latex]
 Концептуальные вопросы 
 Существует аналогия между вращательными и линейными физическими величинами.Какие вращательные величины аналогичны расстоянию и скорости?
 Задачи и упражнения 
 Грузовики с полуприцепом имеют одометр на одной ступице колеса прицепа. Ступица утяжеляется так, что она не вращается, но в ней есть шестерни для подсчета количества оборотов колеса - затем она вычисляет пройденное расстояние. Если колесо имеет диаметр 1,15 м и совершает 200 000 оборотов, сколько километров должен показывать одометр?
 Микроволновые печи вращаются со скоростью около 6 об / мин.6 \ text {m} \\ [/ latex] на его экваторе, какова линейная скорость у поверхности Земли?
 Бейсбольный питчер вытягивает руку вперед во время подачи, поворачивая предплечье вокруг локтя. Если скорость мяча в руке питчера составляет 35,0 м / с, а мяч находится на расстоянии 0,300 м от локтевого сустава, какова угловая скорость предплечья?
 В лакроссе мяч выбрасывается из сетки на конце клюшки путем вращения клюшки и предплечья вокруг локтя. Если угловая скорость мяча около локтевого сустава 30.0 рад / с и мяч находится на расстоянии 1,30 м от локтевого сустава, какова скорость мяча?
 Грузовик с шинами радиусом 0,420 м движется со скоростью 32,0 м / с. Какова угловая скорость вращающихся шин в радианах в секунду? Что это в об / мин?
  Комплексные концепции.  При ударе по футбольному мячу игрок, выполняющий удар, вращает ногой вокруг тазобедренного сустава. (a) Если скорость кончика ботинка кикера составляет 35,0 м / с, а тазобедренный сустав находится на расстоянии 1,05 м от кончика ботинка, какова угловая скорость кончика ботинка? (b) Башмак находится в контакте с изначально неподвижным 0.Футбол 500 кг за 20,0 мс. Какая средняя сила прилагается к футбольному мячу, чтобы придать ему скорость 20,0 м / с? (c) Найдите максимальную дальность действия футбольного мяча, пренебрегая сопротивлением воздуха.
  Постройте свою проблему.  Рассмотрим аттракцион в парке развлечений, в котором участники вращаются вокруг вертикальной оси в цилиндре с вертикальными стенками. Как только угловая скорость достигает своего полного значения, пол опускается, и трение между стенами и пассажирами препятствует их скольжению.Постройте задачу, в которой вы вычисляете необходимую угловую скорость, которая гарантирует, что всадники не соскользнут со стены. Включите свободную схему тела одного всадника. Среди переменных, которые следует учитывать, - радиус цилиндра и коэффициенты трения между одеждой гонщика и стеной.
 Глоссарий 
  Длина дуги:  Δ  с , расстояние, пройденное объектом по круговой траектории
  яма:  крошечная выемка на спиральной дорожке, отформованной в верхней части слоя поликарбоната CD
  угол поворота:  отношение длины дуги к радиусу кривизны на круговой траектории: [latex] \ Delta \ theta = \ frac {\ Delta {s}} {r} \\ [/ latex]
  радиус кривизны:  радиус круговой траектории
  радиан:  единица измерения угла
  угловая скорость:  ω, скорость изменения угла, под которым объект движется по круговой траектории
 Избранные решения проблем и упражнения 
 1.723 км
 3. 5 × 10  7  оборотов
 5. 117 рад / с
 7. 76,2 рад / с; 728 об / мин
 8. (а) 33,3 рад / с; (б) 500 Н; (в) 40,8 м
 Шлюз 
 Veuillez réessayer dans quelques instants. Si le problème persiste,
veuillez communiquer avec le service de soutien Technique de Alberta Education (доступный
en anglais seulement).
 Телефон :
 780-427-5318
 (Composer d'abord le 310-0000 pour obtenir une ligne sans frais)
 Телекопье:
 780-427-1179
 Adresse de Courriel:
 cshelpdesk @ gov.ab.ca
 Формула вращения вектора в 2D - Учебники по построению изображений, вычислениям и математике 
 \ (\ newcommand {L} [1] {\ | # 1 \ |} \ newcommand {VL} [1] {\ L { \ vec {# 1}}} \ newcommand {R} [1] {\ operatorname {Re} \, (# 1)} \ newcommand {I} [1] {\ operatorname {Im} \, (# 1)} \)
 Допустим, у нас есть точка \ ((x_1, y_1) \). Точка также определяет вектор \ ((x_1, y_1) \).
 Вектор \ ((x_1, y_1) \) имеет длину \ (L \).
 Поворачиваем этот вектор против часовой стрелки вокруг начала координат на \ (\ beta \) градусов.
 Повернутый вектор имеет координаты \ ((x_2, y_2) \)
 Повернутый вектор также должен иметь длину \ (L \).
 Теорема 
 \ [\ begin {split} x_2 = \ cos \ beta x_1 - \ sin \ beta y_1 \\
y_2 = \ sin \ beta x_1 + \ cos \ beta y_1 \ end {split} \]
 См .: википедия по матрицам вращения.
 Предварительные испытания 
 Назовите угол между \ ((x_1, y_1) \) и осью x: \ (\ alpha \).Тогда:
 (1) \ [\ begin {split} x_1 = L \ cos (\ alpha) \\
y_1 = L \ sin (\ alpha) \ end {split} \]
 Поворачиваем \ ((x_1, y_1) \) на угол \ (\ beta \), чтобы получить \ ((x_2, y_2) \). Итак, угол
между \ ((x_2, y_2) \) и осью x находится \ (\ alpha + \ beta \):
 (2) \ [\ begin {split} x_2 = L \ cos (\ alpha + \ beta) \\
y_2 = L \ sin (\ alpha + \ beta) \ end {split} \]
 Доказательство по правилу сумм углов 
 Если вы довольны доказательством правила суммы углов, то мы
там.
 Правило суммы углов дает нам:
 \ [\ begin {split} \ cos (\ alpha + \ beta) = \ cos \ alpha \ cos \ beta - \ sin \ alpha \ sin \ beta \\
\ sin (\ alpha + \ beta) = \ sin \ alpha \ cos \ beta + \ cos \ alpha \ sin \ beta \ end {split} \]
 Итак, подставляя из уравнений (1), (2):
 \ [\ begin {split} L \ cos (\ alpha + \ beta) =
L \ cos \ alpha \ cos \ beta - L \ sin \ alpha \ sin \ beta \ подразумевает \\
x_2 = x_1 \ cos \ beta - y_1 \ sin \ beta \\\ end {split} \]
 Мы выполняем соответствующие замены в \ (\ sin (\ alpha + \ beta) \), чтобы получить \ (y_2 \).
 \ (\ черный квадрат \)
 Доказательство длинным вариантом доказательства суммы углов 
 В этом разделе не используется правило суммы углов, но используется версия
сумма углов для доказательства формулы вращения.
 На картинке видно, что:
 \ [\ begin {align} \ begin {align} x_2 = r - u \\ y_2 = t + s \ end {align} \ end {align} \]
 Мы собираемся использовать базовую тригонометрию, чтобы получить длины \ (r, u, t,
с \).
 Поскольку сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, \ (\ phi \) на картинке
\ (90 - \ alpha \) и, следовательно, угол между прямыми \ (q, t \) также равен \ (\ alpha \).
 Запоминая определения \ (\ cos \) и \ (\ sin \):
 \ [\ begin {align} \ begin {align} \ cos \ theta = \ frac {A} {H} \ подразумевает A = \ cos \ theta H \\\ sin \ theta = \ frac {O} {H} \ подразумевает O = \ sin \ theta H \ end {align} \ end {align} \]
 Таким образом:
 \ [\ begin {align} \ begin {align} x_1 = \ cos \ alpha L \\ y_1 = \ sin \ alpha L \\ p = \ cos \ beta L \\ q = \ sin \ beta L \\ r = \ cos \ alpha p = \ cos \ alpha \ cos \ beta L = \ cos \ beta x_1 \\ s = \ sin \ alpha p = \ sin \ alpha \ cos \ beta L = \ cos \ beta y_1 \\ t = \ cos \ alpha q = \ cos \ alpha \ sin \ beta L = \ sin \ beta x_1 \\ u = \ sin \ alpha q = \ sin \ alpha \ sin \ beta L = \ sin \ beta y_1 \ end {выровнено } \ end {align} \]
 Итак:
 \ [\ begin {align} \ begin {align} x_2 = r - u = \ cos \ beta x_1 - \ sin \ beta y_1 \\ y_2 = t + s = \ sin \ beta x_1 + \ cos \ beta y_1 \ end {выровнено} \ end {align} \]
 \ (\ черный квадрат \).