Как посчитать угловую скорость: Онлайн калькулятор: Угловая и линейная скорость

Содержание

Конвертер угловой скорости и частоты вращения • Механика • Компактный калькулятор • Онлайн-конвертеры единиц измерения

Конвертер длины и расстоянияКонвертер массыКонвертер мер объема сыпучих продуктов и продуктов питанияКонвертер площадиКонвертер объема и единиц измерения в кулинарных рецептахКонвертер температурыКонвертер давления, механического напряжения, модуля ЮнгаКонвертер энергии и работыКонвертер мощностиКонвертер силыКонвертер времениКонвертер линейной скоростиПлоский уголКонвертер тепловой эффективности и топливной экономичностиКонвертер чисел в различных системах счисления.Конвертер единиц измерения количества информацииКурсы валютРазмеры женской одежды и обувиРазмеры мужской одежды и обувиКонвертер угловой скорости и частоты вращенияКонвертер ускоренияКонвертер углового ускоренияКонвертер плотностиКонвертер удельного объемаКонвертер момента инерцииКонвертер момента силыКонвертер вращающего моментаКонвертер удельной теплоты сгорания (по массе)Конвертер плотности энергии и удельной теплоты сгорания топлива (по объему)Конвертер разности температурКонвертер коэффициента теплового расширенияКонвертер термического сопротивленияКонвертер удельной теплопроводностиКонвертер удельной теплоёмкостиКонвертер энергетической экспозиции и мощности теплового излученияКонвертер плотности теплового потокаКонвертер коэффициента теплоотдачиКонвертер объёмного расходаКонвертер массового расходаКонвертер молярного расходаКонвертер плотности потока массыКонвертер молярной концентрацииКонвертер массовой концентрации в раствореКонвертер динамической (абсолютной) вязкостиКонвертер кинематической вязкостиКонвертер поверхностного натяженияКонвертер паропроницаемостиКонвертер плотности потока водяного параКонвертер уровня звукаКонвертер чувствительности микрофоновКонвертер уровня звукового давления (SPL)Конвертер уровня звукового давления с возможностью выбора опорного давленияКонвертер яркостиКонвертер силы светаКонвертер освещённостиКонвертер разрешения в компьютерной графикеКонвертер частоты и длины волныОптическая сила в диоптриях и фокусное расстояниеОптическая сила в диоптриях и увеличение линзы (×)Конвертер электрического зарядаКонвертер линейной плотности зарядаКонвертер поверхностной плотности зарядаКонвертер объемной плотности зарядаКонвертер электрического токаКонвертер линейной плотности токаКонвертер поверхностной плотности токаКонвертер напряжённости электрического поляКонвертер электростатического потенциала и напряженияКонвертер электрического сопротивленияКонвертер удельного электрического сопротивленияКонвертер электрической проводимостиКонвертер удельной электрической проводимостиЭлектрическая емкостьКонвертер индуктивностиКонвертер реактивной мощностиКонвертер Американского калибра проводовУровни в dBm (дБм или дБмВт), dBV (дБВ), ваттах и др. единицахКонвертер магнитодвижущей силыКонвертер напряженности магнитного поляКонвертер магнитного потокаКонвертер магнитной индукцииРадиация. Конвертер мощности поглощенной дозы ионизирующего излученияРадиоактивность. Конвертер радиоактивного распадаРадиация. Конвертер экспозиционной дозыРадиация. Конвертер поглощённой дозыКонвертер десятичных приставокПередача данныхКонвертер единиц типографики и обработки изображенийКонвертер единиц измерения объема лесоматериаловВычисление молярной массыПериодическая система химических элементов Д. И. Менделеева

Потолочный вентилятор, вращающийся со скоростью 250 оборотов в минуту

Общие сведения

Угловая скорость — это векторная величина, определяющая скорость вращения тела относительно оси вращения. Этот вектор направлен перпендикулярно плоскости вращения и определяется с помощью правила буравчика. Угловую скорость измеряют как отношение между углом, на который переместилось тело, то есть угловым смещением, и временем, на это потраченным. В системе СИ угловое ускорение измеряют в радианах в секунду.

Угловая скорость в спорте

Угловая скорость часто используется в спорте. Например, спортсмены уменьшают или увеличивают угловую скорость движения клюшки для гольфа, биты или ракетки, чтобы улучшить результаты. Угловая скорость связана с линейной скоростью так, что из всех точек на отрезке, вращающемся вокруг точки на этом отрезке, то есть вокруг центра вращения, самая отдаленная точка от этого центра движется с самой высокой линейной скоростью. Так, например, если клюшка для гольфа вращается, то конец этой клюшки, больше всего удаленный от центра вращения двигается с самой высокой линейной скоростью. В то же время все точки на этом отрезке движутся с одинаковой угловой скоростью. Поэтому удлиняя клюшку, биту, или ракетку, спортсмен также увеличивает линейную скорость, а соответственно скорость удара, передающуюся мячу, так что он может пролететь на большее расстояние. Укорачивая ракетку или клюшку, даже перехватив ее ниже, чем обычно, наоборот замедляют скорость удара.

При первобытнообщинном строе главными охотниками были мужчины

Спортсменам с более длинными руками и ногами удается добиться бо́льшей угловой скорости

У высоких людей с длинными конечностями есть преимущество в отношении линейной скорости. То есть, передвигая ноги с одинаковой угловой скоростью, они двигают ступни с более высокой линейной скоростью. То же происходит и с их руками. Такое преимущество может быть одной из причин того, что в первобытных обществах мужчины занимались охотой чаще, чем женщины. Вероятно, что из-за этого также в процессе эволюции выиграли более высокие люди. Длинные конечности помогали не только в беге, но и во время охоты — длинные руки бросали копья и камни с большей линейной скоростью. С другой стороны, длинные руки и ноги могут быть неудобством. Длинные конечности имеют больший вес и для их перемещения нужна дополнительная энергия. Кроме этого, когда человек быстро бежит, длинные ноги быстрее двигаются, а значит, при столкновении с препятствием удар будет сильнее, чем у людей с короткими ногами, которые двигаются с той же линейной скоростью.

В гимнастике, фигурном катании и нырянии также используют угловую скорость. Если спортсмен знает угловую скорость, то легко вычислить количество переворотов и других акробатических трюков во время прыжка. Во время кувырков спортсмены обычно прижимают ноги и руки как можно ближе к корпусу, чтобы уменьшить инерцию и увеличить ускорение, а значит и угловую скорость. С другой стороны, во время ныряния или приземления, судьи смотрят, как ровно спортсмен приземлился. На высокой скорости трудно регулировать направление полета, поэтому спортсмены специально замедляют угловую скорость, немного вытягивая от корпуса руки и ноги.

Спортсмены, которые занимаются метанием диска или молота, тоже контролируют линейную скорость с помощью угловой. Если просто бросить молот, не вращая его по кругу на длинной стальной проволоке, увеличивающей линейную скорость, то бросок будет не таким сильным, поэтому молот сначала раскручивают. Олимпийские спортсмены поворачиваются вокруг своей оси от трех до четырех раз, чтобы увеличить угловую скорость до максимально возможной.

Угловая скорость и хранение данных на оптических носителях

Диски в накопителе на жестких магнитных дисках («винчестере») вращаются со скоростями от 4&nbsp200 оборотов в минуту на портативных устройствах с низким энергопотреблением до 15&nbsp000 оборотов в минуту на высокоэффективных серверах

Во время записи данных на оптических носителях, например на компакт дисках (CD), для измерения скорости записи и считывания данных в приводе также используются угловая и линейная скорости. Существует несколько способов записи данных, во время которых используют переменную или постоянную линейную или угловую скорость. Так, например, режим постоянной линейной скорости (по-английски — Constant Linear Velocity или CVL) — один из основных методов записи дисков, при котором данные записывают с одинаковой скоростью по всей поверхности диска. Во время записи в режиме зональной постоянной линейной скорости (по-английски — Zone Constant Linear Velocity или ZCLV) постоянная скорость поддерживается во время записи на определенной части, то есть зоне диска. В этом случае диск замедляет вращение при записи на внешних зонах. Режим

частично постоянной угловой скорости (Partial Constant Angular Velocity или PCAV) позволяет осуществлять запись с постепенным увеличением угловой скорости, пока она не достигнет определенного порога. После этого угловая скорость становится постоянной. Последний режим записи — режим постоянной угловой скорости (Constant Angular Velocity или CAV). В этом режиме во время записи по всей поверхности диска поддерживается одинаковая угловая скорость. При этом линейная скорость увеличивается по мере того, как записывающая головка перемещается все дальше и дальше к краю диска. Этот режим используется также при записи грампластинок и в компьютерных жестких дисках.

Угловая скорость в космосе

Геостационарная орбита

На расстоянии 35 786 километров (22 236 миль) от Земли находится орбита, на которой вращаются спутники. Это особенная орбита, потому что тела, вращающиеся на ней в одном направлении с Землей, проходят всю орбиту примерно за такое же время, которое требуется Земле, чтобы совершить полный круг вокруг своей оси. Это немного меньше 24 часов, то есть один сидерический день. Так как угловая скорость вращения тел на этой орбите равна угловой скорости вращения Земли, то наблюдателям с Земли кажется, что эти тела не движутся. Такая орбита называется геостационарной.

На эту орбиту обычно выводят спутники, которые отслеживают изменения погоды (метеорологические спутники), спутники, следящие за изменениями в океане и спутники связи, которые обеспечивают телевизионное и радиовещание, телефонную связь и спутниковый Интернет. Геостационарную орбиту часто используют для спутников потому, что антенны, один раз направленные на спутник, не нужно направлять вторично. С другой стороны, с их использованием связаны такие неудобства, как необходимость иметь прямое поле видимости между антенной и спутником. Кроме того, геостационарная орбита находится далеко от Земли и для передачи сигнала необходимо использовать более мощные передатчики, чем те, что используются для передачи с более низких орбит. Сигнал приходит с задержкой приблизительно в 0,25 секунды, что заметно для пользователей. Например, во время трансляции новостей корреспонденты в удаленных районах обычно связываются со студией по спутниковому каналу; при этом заметно, что когда телеведущий задает им вопрос, они отвечают с задержкой. Несмотря на это, спутники на геостационарной орбите широко используются. Например, до недавнего времени связь между континентами осуществлялась, главным образом, с помощью спутников. Сейчас ее в основном заменили межконтинентальные кабели, проложенные по океанскому дну; однако спутниковую связь до сих пор применяют в отдаленных районах. В последние двадцать лет спутники связи также обеспечивают доступ к интернету, особенно в отдаленных местах, где нет наземной инфраструктуры связи.

Спутниковые антенны

Срок службы спутника в основном определяется количеством топлива на борту, требуемым для периодической коррекции орбиты. Количество топлива в спутниках ограничено, поэтому когда оно заканчивается, спутники выводят из эксплуатации. Чаще всего их переводят на орбиту захоронения, то есть орбиту, намного выше геостационарной. Это — дорогостоящий процесс; однако если оставлять ненужные спутники на геостационарной орбите, это грозит вероятностью столкновений с другими спутниками. Место на геостационарной орбите ограничено, поэтому старые спутники, оставленные на орбите, будут занимать место, которое мог бы использовать новый спутник. В связи с этим во многих странах существуют нормы, требующие от владельцев спутников подписать договор о том, что в конце эксплуатации спутник будет выведен на орбиту захоронения.

Литература

Автор статьи: Kateryna Yuri

Unit Converter articles were edited and illustrated by Анатолий Золотков

Вы затрудняетесь в переводе единицы измерения с одного языка на другой? Коллеги готовы вам помочь. Опубликуйте вопрос в TCTerms и в течение нескольких минут вы получите ответ.

Расчеты для перевода единиц в конвертере «Конвертер угловой скорости и частоты вращения» выполняются с помощью функций unitconversion.org.

Формула для расчета линейной скорости

Понятие скорости

Когда мы сравниваем движение каких-либо тел, то говорим, что одни тела двигаются быстрее, а другие — медленнее. Такую простую терминологию мы используем в повседневной жизни, говоря, например, о движении транспорта. В физике быстрота движения тел характеризуется определенной величиной. Эта величина называется скоростью. Общее определение скорости (в случае, если тело движется равномерно):

Определение 1

Скорость при равномерном движении тела — это физическая величина, показывающая, какой путь прошло тело за единицу времени.

Под равномерным движением тела подразумевается, что скорость тела постоянна. Формула нахождения скорости: $v=\frac{s}{t}$, $s$ — это пройденный телом путь (то есть длина линии), $t$ — время (то есть промежуток времени, за который пройден путь).

Согласно международной системе СИ, единица измерения линейной скорости является производной от двух основных единиц — метра и секунды, то есть измеряется в метрах в секунду (м/с). Это значит, что под единицей скорости понимается скорость такого равномерного движения, при котором путь в один метр тело проходит за одну секунду.

Также скорость часто измеряют в км/ч, км/с, см/с.

Рассмотрим простой пример задачи на вычисление скорости.

Пример 1

Задача. Двигаясь равномерно, поезд за 4 ч проходит 219 км. Найти его скорость движения.

Решение. $v=\frac{219 км}{4 ч}=54,75\frac{км}{ч}$. Переведём километры в метры и часы в секунды: $54,75\frac{км}{ч}=\frac{54750 м}{3600c}\approx 15,2\frac{м}{c}$.

Ответ. $54,75\frac{км}{ч}$ или $15,2\frac{м}{c}$.

Из примера мы видим, что числовое значение скорости отличается в зависимости от выбранной единицы измерения.

Кроме числового значения, скорость имеет направление. Числовое значение величины в физике называют модулем. Когда у физической величины есть и направление, то эту величину называют векторной. То есть скорость — это векторная физическая величина.

На письме модуль скорости обозначается $v$, а вектор скорости — $\vec v$.

В свою очередь, такие величины как путь, время, длина и другие характеризуются только числовым значением. Тогда говорят, что это скалярные физические величины.

В случае, когда движение является неравномерным, используют понятие средней скорости. Формула средней скорости: $v_{ср}=\frac{s}{t}$, где $s$ — это весь пройденный телом путь, $t$ — всё время движения. Рассмотрим пример задачи на среднюю скорость, чтобы понять разницу.

Пример 2

Задача. Некоторый транспорт за 2,5 часа преодолевает путь в 213 км. Найти его $v_{ср}$.

Решение. $v_{ср}=\frac{213 км}{2,5 ч}= 85,2 \frac{км}{ч}=\frac{213000 м}{9000 с}\approx 23,7\frac{м}{с} $.

Ответ. $85,2 \frac{км}{ч}$ или $23,7\frac{м}{с} $.

Линейная скорость

Определение линейной скорости относится к разделу физики о механике и подразделу о кинематике в рамках вопроса движения по окружности. В измерении скорости движения по окружности выделяют угловую скорость и линейную скорость.

Дадим определение линейной скорости.

Определение 2

Линейная скорость $V$ — это физическая величина, показывающая путь, который прошло тело за единицу времени.

Формула линейной скорости:

$V=\frac{S}{t}$, где $S$ — путь, $t$ — время, за которое точка прошла путь $S$.

Также существует иной вариант этой формулы:

$V=\frac{l}{t}$, где $l$ — путь, $t$ — время, за которое точка прошла по дуге $l$.

В некоторых учебниках линейная скорость также обозначается маленькой буквой $v$.

Есть ещё одна формула, по которой можно найти линейную скорость:

$v=\frac{2\pi R}{T}$.

$2\pi$ соответствует полной окружности (360 угловым градусам).

$\vec V$ направленена по касательной к тракетории.

Связь между линейной и угловой скоростями

Чтобы проследить связь между линейной и угловой скоростями, нужно дать определение угловой скорости.

Определение 3

Угловая скорость — это величина, которая равна отношению угла поворота отрезка, соединяющего точку с центром окружности, к промежутку времени, за который этот поворот произошёл.

Записывается эта формула следующим образом:

$\omega = \frac{\phi}{t}$, где $\phi$ — это угловое перемещение (или угол поворота, измеряется в радианах), $t$ — промежуток времени, за которое соврешено угловое перемещение.2 R$.

С помощью элементарных математических действий из этих двух формул выводится связь между $V$ и $\omega$.

Таким образом, в данной статье мы разобрали следующие понятия:

скорость;
линейная и угловая скорость;
связь между линейной и угловой скоростями.

Как рассчитать угловую скорость и радиус поворота?

После всех этих ответов с имперскими единицами позвольте мне объяснить это с единицами Си, начиная с первых принципов. R-радиус, v-скорость полета, m-масса,g — гравитационная постоянная, Φ — угол крена и L-подъем.

Подъем должен быть равен весу (m·g) и центробежной силе (m·ω2·R = m·v2R

v2R

), так

L = (m ⋅ g ) 2 + (m ω ω 2 ⋅ R ) − − − − − − − − − − − − − − − √ = ρ 2 ⋅ v 2 ⋅ c L ⋅ S L=(m⋅g)2+(m⋅ω2⋅R)=ρ2⋅v2⋅cL⋅S

с ρ плотность воздуха, cL

коэффициент подъемной силы и S площадь поверхности крыла. Теперь конвертируйте, чтобы вы получили v:

v = (m ⋅ g ) 2 (ρ 2 ⋅ c L ⋅ S ) 2 — (m R ) 2 − − − − − − − − − − − − − − − √ 4 v=(m⋅g)2(ρ2⋅cL⋅S)2−(mR)24

Теперь вы можете видеть, что номинатор не может стать нулевым или меньше, что дает вам минимальный радиус для заданной скорости и максимального коэффициента подъема c L m A x

cLmax

R ≥ 2 ⋅ m ρ 2 ⋅ c L m A x ⋅ S, R≥2⋅mρ2⋅cLmax⋅S,

и вообще:

R = 2 ⋅ m ρ 2 ⋅ c L ⋅ S = v ω = v 2 g ⋅ n 2 z− 1 − − − − − √ R=2⋅mρ2⋅cL⋅S=vω=v2g⋅nz2−1

Это похоже на «радиусный барьер»: повороты не могут лететь плотнее, чем это. Это происходит из-за увеличения центробежной силы, которая прибывает из более крутых поворотов полета. Чем круче поворот, тем быстрее вы должны лететь, чтобы создать достаточный подъем для компенсации веса и центробежной силы.

Что все еще увеличивается, так это ваша угловая скорость ω:

ω = v R = g ⋅ t A n Φ v = g ⋅ n 2 z− 1 − − − − − √ v ω=vR=g⋅tanΦv=g⋅nz2−1v

Внизу я построил планер. Вы можете ясно видеть радиус барьера на 40 м. Поверьте мне, это выглядит точно так же для авиалайнера, только цифры больше.

Если вам нужна быстрая формула для оценки радиуса, вам нужно использовать квадрат воздушной скорости, так что это не простая линейная зависимость. Для поворота с креном 30° (nz

= 1.15), знаменатель уравнения радиуса составляет около 4, поэтому, чтобы вычислить радиус поворота в метрах, разделите квадрат воздушной скорости на 4 или возьмите квадрат половины вашей воздушной скорости в метрах в секунду.

Для скорости поворота в градусах в секунду разделите 220 на скорость полета в метрах в секунду. Полет медленнее позволяет более высокую скорость поворота.

Теперь о другой крайности: гиперзвуковым самолетам нужно много места для маневрирования. У меня есть здесь некоторые ценности, просто для удовольствия:

Высокая скорость делает это почти терпимым, в конце концов, половина оборота на Mach 6 и 2 g занимает всего 336 секунд, то есть менее 6 минут. Авиалайнеры крен только 30° или меньше, поэтому первая колонка действительна, если вы летите ваш гиперзвуковой автомобиль, как авиалайнер.

Скорость вращения Земли: линейная скорость, угловая скорость

Как известно, наша планета движется, и не только вокруг Солнца, но и вокруг своей оси. Вдобавок, мы знаем, что для любого движения характерна определённая скорость, которая может зависеть (как и само движение) от различных факторов. Следовательно, движение Земли также имеет скоростную характеристику.

Земля

Скорость — это векторная физическая величина, характеризующая быстроту перемещения материальной точки за любой отрезок времени относительно величины промежутка.

Скорость вращения Земли

Правда, земная скорость — вещь относительна. Так как для её расчёта нужна определённая точка отсчёта. Например, для того, чтобы вычислить с какой скоростью движется Земля вокруг своей оси, такой точкой является центр планеты.
Однако, говоря о подобном параметре земельного кружения, важно знать, что скорость разделяют на угловую и линейную.

Угловая скорость

Это величина, которая равна отношению угла тела к отрезку времени, затраченному на этот поворот. Можно сказать, что это быстрота изменения угла тела за промежуток времени. Выражается она в радианах в секунду, и для всех точек имеет постоянное значение.
Как выяснилось, на полный оборот нашей планеты вокруг своей оси требуется 23 часа 56 минут 4,09053 секунды или же, проще говоря, одни звездные сутки.
Формула угловой скорости: отношение изменения угла за время.

Формула угловой скорости

Так как земной оборот равен 360 градусов или 2π (2*3,14=6,28), а время этого оборота в секундах 86344, то угловая скорость вращения Земли вокруг своей оси приблизительно равна 7,26851851851-5с-1.

Линейная скорость

Такую характеристику применяют для того, чтобы выразить темп движения по окружности. Как известно, при круговом вращении тела его разные точки имеют разные скорости. Хотя угловая величина перемещения для них остаётся неизменной.

Формула линейной скорости

А это значит, что скорость вращения Земли равна примерно 465 м/сек. То есть расчет производится путём деления окружности на время, затраченное на весь оборот.
Однако скорость движения Земли изменяется, потому как её окружность также меняется относительно широты. Ведь радиус планеты уменьшается к полюсам. Соответственно, на разных широтах разный темп вращения. Другими словами, где меньший радиус медленнее и скорость. К примеру, на полюсах она почти нулевая, а на экваторе составляет 1674 км/час.
Для того, чтобы рассчитать какова скорость вращения Земли на другой широте, необходимо косинус выбранной широты умножить на экваторную скорость. Например, быстроту движения планеты на широте 30 градусов мы вычислим, если косинус 30 градусов, который равен 0,866, умножим на 1674. Таким образом, получаем 1449,7 км/час.

С какой скоростью Земля движется относительно Солнца

Поскольку наша планета, как и другие планеты звездной группы, движутся вокруг Солнца, у данного движение также есть своя скоростная величина.
Собственно говоря, на полный оборот вокруг главного светила уходит 365 дней 5 часов 48 минут и 46 секунд, это если точно. Хотя мы привыкли округлять и говорить просто один год. Между прочим за каждый такой год накапливается по пять часов, так сказать, лишних. Но и им нашли место, их объединяют и каждому следующему четвертому году добавляют один день. Наверняка вы догадались, что такие года называются високосными.

Вращение Земли вокруг Солнца

На основании данных о времени полного оборота планеты вокруг Солнца, не трудно вычислить с какой быстротой она движется относительно него. Следует учитывать, что двигаемся мы по орбите, а значит определяем с какой скоростью Земля летит именно по орбите.

Как рассчитать темп земного движения вокруг Солнца

Для этого необходимо радиус орбиты или расстояние до Солнца (≈150 млн км) умножить на 2π (23,14=6,28), что составляет 942 млн км. Все это разделим на время, затраченное на этот промежуток (365 дней 24 часа*3600 секунд=31 536 000 секунд), и получаем 29,87 км в секунду. Принято считать, что средняя скорость Земли по орбите (по окружности Солнца) равна 30 км/сек.

По данным учёных, скорость вращения Земли вокруг своей оси постепенно уменьшается. Причем наблюдаются пятилетние циклы то ускорения, то замедления движения планеты. Но объяснить по какой причине происходят такие изменения пока не получается. Поэтому за движением нашей планеты ведётся постоянное наблюдение и мониторинг. Возможно, отыщется какая-либо взаимосвязь данного явления.

С КАКОЙ СКОРОСТЬЮ ВРАЩАЕТСЯ ЗЕМЛЯ?

С какой скоростью вращается Земля вокруг своей оси? Не для кого не секрет, что смена дня и ночи технически вызвана вращением Земли. Но вам когда-нибудь приходило в голову с какой скоростью она вращается? И как посчитать эту скорость?

Если говорить о равномерном движении по окружности, можно выделить две скорости: угловую (ω) и линейную (v). Давайте найдем и ту, и другую для нашей прекрасной голубой планеты.

Угловая скорость вращения Земли

Угловая скорость определяет то, как быстро изменяется угол с течением в времени. Так как один полный оборот соответствует углу в 360^о или 2π, а время, за которое он совершается есть период Т, то угловую скорость можно выразить как:

На всякий случай. Чтобы не было вопросов откуда берется 2π.

Один радиан соответствует углу с дугою равной радиусу. Соответственно чтобы посчитать количество радиан в окружности нам необходимо ее длину то есть 2πR, поделить на радиус R. R и R сокращаем и получаем 2π. Или приближенно 6.28.

Мы знаем, что в сутках 24 часа, а, следовательно, можно предположить, что период обращения Земли вокруг своей оси Т составит так же 24 часа. Но не торопитесь переводить это время в секунды и подставлять в уравнение, записанное выше. Так как Земля вращается еще вокруг солнца, то период обращения её вокруг собственной оси будет немного короче привычных нам солнечных суток и составит 23 часа 56 минут и 4 секунды. Это так называемые звездные сутки. В пересчете на секунды мы получаем: Т=86164 с.

Теперь можно найти угловую скорость:

Линейная скорость вращения Земли

Если говорить об угловой скорости, то она одинакова для любой точки нашей планеты. И не важно: пингвин в Антарктике, слон в Африке или Вы у себя дома, все будут иметь одинаковую угловую скорость. Но когда речь заходит о скорости линейной, то тут все наоборот. Она будет максимальна на экваторе и убывать к полюсам, так как напрямую зависит от радиуса окружности вращения. А это значит, что если вы залезете на табуретку вкрутить лампочку, то ваша линейная скорость увеличится. Строго говоря, линейная скорость описывает скорее не вращение Земли вокруг своей оси, она описывает вращение каких то отдельных её точек.

Рассчитать линейную скорость очень просто. По определению, скорость — это отношение пройденного пути ко времени, за которое этот путь был совершен. Если за один оборот мы проходим путь, равный длине окружности, а время движения будет ни что иное как период обращения Т, то, выразив длину окружности из известной школьной формулы: L= 2πR, мы получим уравнение для расчета линейной скорости:

Так как угловая скорость , то мы можем смело записать:

Радиус земли на экваторе R = 6378245 м, а значит линейная скорость там будет равна: м/с.
Для сравнения скорость звука в воздухе составляет 365 м/с. А это значит, что, сидя спокойно на стульчике где-нибудь в Африке или Индонезии мы будем двигаться со скоростями, превышающими звук. Если перевести эту величину в километры в час, то получится 1674 км/ч!!! В общем скорости сопоставимые со скоростями сверхзвуковой авиации.

Линейная скорость в зависимости от широты

Но это на экваторе. Ближе к полюсам, как я уже говорил, значение будет ниже. Так как радиус вращения будет снижаться.

Для того чтоб найти радиус вращения на той или иной широте. Необходимо косинус этой широты умножить на земной радиус.

К примеру, для Санкт-Петербурга соответствует шестидесятая северная широта. Косинус шестидесяти градусов как известно одна вторая. То есть радиус вращения будет вдвое меньше земного, а значит и линейная скорость будет так же в два раза меньше экваториальной, всего 837 км/ч.

А с какой линейной скоростью вращаетесь Вы??? Ответы можете писать в комментариях, а я с Вами прощаюсь. Всего хорошего, до скорых встреч.

Как вычислить скорость вращения Земли? | Космос гид

Земля

Скорость — это векторная физическая величина, характеризующая быстроту перемещения материальной точки за любой отрезок времени относительно величины промежутка.

Скорость вращения Земли

Угловая скорость

Формула угловой скорости

Линейная скорость

Формула линейной скорости

С какой скоростью Земля движется относительно Солнца

Вращение Земли вокруг Солнца

Как рассчитать темп земного движения вокруг Солнца

Источник: Kosmosgid.ru

Вращательное движение

Страница 1 из 3

Существует большое количество расчетных задач, которые моделируют явления, происходящие в различных вращающихся агрегатах или около них. При постановке подобной численной задачи важно выбрать способ описания вращения в численной модели, который будет корректен с точки зрения физики и оптимален с точки зрения производительности вычислений. FlowVision позволяет задавать вращение различными способами: с помощью вращающейся локальной системы координат; с помощью подвижных тел; с помощью скользящих поверхностей. С целью помочь пользователю разобраться с постановкой такого типа задач, рассмотрены примеры задач разного типа, начиная с физико-математических основ.

1. Кинематика вращательного движения

1.1. Вращательное движение материальной точки

Вращательное движение материальной точки (м.т.) вокруг неподвижной оси – это движение материальной точки по окружности радиуса R, центр которой лежит на неподвижной относительно данной системы отсчета прямой (ось вращения), перпендикулярной плоскости, в которой лежит траектория точки.

Рис.1.

Вращательное движение тела вокруг неподвижной оси — движение тела, при котором все его точки, двигаясь в параллельных плоскостях, описывают окружности с центрами, лежащими на одной неподвижной прямой, называемой осью вращения. Тело, совершающее вращательное движение, имеет одну степень свободы, и его положение относительно данной системы отсчёта определяется углом поворота φ между неподвижной полуплоскостью и полуплоскостью, жёстко связанной с телом, проведёнными через ось вращения.

Рис.2.

1.2. Угол поворота

Угол φ считается положительным, если он отложен от неподвижной плоскости в направлении против хода часовой стрелки (для наблюдателя, смотрящего с положительного конца оси Az), и отрицательным, если по ходу часовой стрелки. Чтобы знать положение в любой момент времени, надо знать зависимость угла φ от времени t, т.е. φ=f(t).

1.3. Основные кинематические характеристики вращательного движения

Основными кинематическими характеристиками вращательного движения являются угловая скорость и угловое ускорение .
Угловая скорость и угловое ускорение величины векторные. Вектор угловой скорости направлен вдоль оси вращения в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против хода часовой стрелки (рис.3). Такой вектор определяет сразу и модуль угловой скорости, и ось вращения, и направление вращения вокруг этой оси. Аналогично углу поворота, когда вращение происходит против хода часовой стрелки (для наблюдателя, смотрящего с положительного конца оси Az) ω>0, а когда по ходу часовой стрелки, то ω<0. Таким образом, знак ωопределяет направление вращения.
а) б) в)

Рис.3

1.4. Прочие кинематические характеристики

Скорость точки M на расстоянии R от оси (рис.2):

Тангенциальная составляющая ускорения точки M (рис.3б):

Нормальная составляющая ускорения точки M (рис.3б):

Полное ускорение точки M (рис.3б):

Формула Эйлера (рис.3в):

2. Силы инерции, действующие на материальную точку во вращающейся системе отсчета

2.1. Материальная точка, покоящаяся во вращающейся системе отсчета

Если рассмотреть движение вращающейся точки M, то относительно неподвижной системы координат (СК) XYZ (рис.4а) силу, действующую на неё можно определить из второго закона Ньютона: . Относительно вращающейся системы координат X’Y’Z’ точка M неподвижна (рис.4б). Это обеспечивается тем, что равнодействующая сил уравновешивается инерциальной силой (центробежной): .

Рис.4 (а,б)

2.2. Материальная точка, движущаяся во вращающейся системе отсчета

Если же точка движется во вращающейся системе отсчета, то помимо центробежной силы на неё действует ещё одна сила инерции – сила Кориолиса (рис.5). Направление силы Кориолиса определяется правилом правого винта.

Рис. 5.

Таким образом, при переходе от основной неподвижной СК к локальной СК, которая является вращающейся системой отсчета, появляются дополнительные составляющие вектора силы, которые действуют на материальную точку: центробежная сила и сила Кориолиса .

Калькулятор угловой скорости

Этот калькулятор угловой скорости представляет собой простой в использовании инструмент, который дает немедленный ответ на вопрос «Как найти угловую скорость?». В тексте вы найдете несколько формул угловой скорости, узнаете о различных единицах угловой скорости и, наконец, оцените угловую скорость Земли! Вы когда-нибудь задумывались, какова связь между угловой скоростью и угловой частотой или где применяется угловая скорость? Читайте дальше, чтобы узнать, и станьте экспертом в области кругового движения.

Что такое угловая скорость?

Угловая скорость описывает вращательное движение тел. Он измеряет, насколько быстро они перемещаются вокруг некоторого центра вращения. Мы можем думать о двух разных видах вращения. Первый описывает движение центра масс данного объекта вокруг определенной точки в пространстве , которую можно описать как начало координат. Некоторые примеры включают планеты, движущиеся вокруг Солнца, или автомобиль, съезжающий с шоссе.

Второй рассказывает о вращении тела вокруг собственного центра масс — спине (не путать с квантовым свойством частиц, также называемым спином).Вы наверняка видели, как баскетболист крутит мяч на пальце.

Как правило, можно сказать, что чем быстрее движение, тем выше угловая скорость. Чтобы определить некоторые конкретные значения, мы должны перейти к уравнениям угловой скорости, описанным в следующем разделе.

Формулы угловой скорости

В этом калькуляторе угловой скорости мы используем две разные формулы угловой скорости в зависимости от того, какие входные параметры у вас есть.

Первое уравнение угловой скорости аналогично уравнению для линейной скорости:

ω = (α₂ - α₁) / t = Δα / t ,

, где α₁ и α₂ — два значения углов на окружности, а Δα — их разность. t — время, за которое происходит изменение угла. Как видите, для нормальной скорости есть отношение изменения положения за период, а здесь мы используем угол вместо расстояния.

Вторая формула угловой скорости может быть получена из соотношения линейной скорости и радиуса с помощью векторного произведения:

v = ω × r .

Мы можем переписать это выражение, чтобы получить уравнение угловой скорости:

ω = r × v / | r | ² ,

, где все эти переменные являются векторами , а | r | обозначает абсолютное значение радиуса.Фактически угловая скорость — это псевдовектор, направление которого перпендикулярно плоскости вращательного движения.

Единицы угловой скорости

Существует несколько единиц угловой скорости, и те, которые используются в нашем калькуляторе угловой скорости, указаны ниже:

рад / с или радиан в секунду — определение, которое происходит прямо из первой формулы угловой скорости. Он сообщает, насколько велико вращение (или угол), через которое тело движется за заданное время,
об / мин или оборотов в минуту — единица, наиболее часто встречающаяся на практике.С его помощью вы можете описать, с какой скоростью вращается колесо или двигатель. Вы легко можете себе представить разницу между 10 и 100 об / мин .
Гц или герц — те же единицы измерения, которые используются для частоты, но редко используются в контексте угловой скорости. Это в некотором роде похоже на об / мин , говорящее нам, сколько полных оборотов сделано за заданное время. Разница в том, что раньше базовой единицей времени была минута, а здесь — секунда.

Естественно, все эти единицы угловой скорости конвертируются между собой с использованием следующих соотношений:

1 RMP = 0,10472 рад / с = 0,01667 Гц ,

или наоборот:

1 Гц = 6,283 рад / с = 60 об / мин .

Зависимость угловой скорости от угловой частоты

Посмотрите определение угловой частоты:

ω = 2 * π * f ,

, где f — частота.Как видим, обозначается той же буквой. Кроме того, единица угловой частоты — рад / с, , точно такая же, как и для угловой скорости. Так что может возникнуть вопрос: «В чем разница между угловой скоростью и угловой частотой?».

Ответ относительно прост. Соотношение между угловой частотой и угловой скоростью аналогично соотношению между , скоростью и скоростью . Первый — это величина второго, или, другими словами, угловая частота — это скаляр, а угловая скорость — это (псевдо) вектор.

Угловая частота обычно используется, когда говорят о гармоническом движении, примером которого является простой маятник. Как вы понимаете, движение не должно быть представлено стандартным вращением, а просто движением, которое периодически повторяет свое положение. Однако угловая скорость жестко связана с движением вокруг некоторой точки. Следовательно, мы можем сказать, что угловая частота является более общей величиной и может использоваться для описания широкого круга физических проблем, в то время как угловая скорость включает только вращательное движение.

Как найти угловую скорость Земли?

Как насчет того, чтобы использовать наш калькулятор угловой скорости? Оценим угловую скорость Земли! Во-первых, мы рассматриваем скорость вращения. Мы знаем, что Земля совершает полный оборот относительно далеких звезд примерно за 23 ч 56 мин 4 с , что составляет примерно 23,934 ч . Полное вращение составляет угол 2π рад , поэтому результирующая угловая скорость равна:

ω₁ = 2π рад / 23.934 ч = 0,2625 рад / ч = 0,00007292 рад / с ,

или 7,292 * 10⁻⁵ рад / с (в экспоненциальном представлении).

Теперь, когда мы знаем угловую скорость вращения Земли, мы можем оценить ее линейную скорость на экваторе. Для этого нам нужен радиус Земли, который составляет примерно 6 371 км . Единственное, что нам нужно сделать, это вставить значения во вторую формулу угловой скорости:

v₁ = r₁ * ω₁ = 6,371 км * 7,292 * 10⁻⁵ рад / с = 0,4646 км / с = 464.6 м / с .

Чтобы вычислить линейную скорость относительно центра Земли, все, что вам нужно сделать, это умножить полученный результат на косинус широты вашего города. Кстати, вы когда-нибудь задумывались, почему ракеты обычно запускаются с космодрома, расположенного вблизи экватора, а не с полюсов? Ну, почти 500 м / с ускорение в начале — это значительная часть его конечной скорости. Таким образом, перемещение начальной точки как можно ближе к экватору снижает количество топлива, необходимого для разгона ракеты.

После этого мы можем еще раз спросить, как найти угловую скорость Земли, но на этот раз орбитальную. Все расчеты аналогичны, но нам нужно изменить время с 23,943 ч на один год, что составляет примерно 365,25 дней. Изменение угла такое же, полный оборот.

ω₂ = 2π рад / 23,934 h = 0,0000001991 рад / с = 1,991 * 10⁻⁷ рад / с ,

и линейная скорость Земли относительно Солнца (для среднего радиуса 1.496 * 10⁸ км ) составляет:

v₂ = 1,496 * 10⁸ км * 1,991 * 10⁻⁷ рад / с = 29,785 км / с .

Мы движемся довольно быстро, не так ли?

Физические величины, зависящие от угловой скорости

Существует множество физических величин, связанных с угловой скоростью, некоторые из которых перечислены ниже:

Угловое ускорение — описывает, как угловая скорость изменяется со временем. Чем больше разница угловых скоростей, тем больше значение углового ускорения.
Кинетическая энергия вращения — мера энергии при круговом движении. Как и в случае с кинетической энергией, зависимость (угловой) скорости квадратичная.
Центробежная сила — ее можно почувствовать в автомобиле, когда он поворачивает. Чем быстрее вы поворачиваете или чем он острее, тем выше становится центробежная сила, которую можно четко почувствовать.
Эффект Кориолиса — который заставляет объекты поворачиваться, если они помещены на вращающееся тело (например,г. на Земле) вместо того, чтобы двигаться по прямой.
Система шкивов — это не физическая величина, точнее говоря, это интересное устройство, все дело в угловой скорости. Самая простая система состоит из двух шкивов, обычно с разной окружностью или радиусом. Они связаны ремнем, поэтому их линейные скорости идентичны , но поскольку они имеют разные размеры, их угловые скорости изменяются пропорционально .Зная это и имея двигатель с четко определенной скоростью вращения, мы можем с хорошей точностью установить угловую скорость выходного элемента, просто отрегулировав его размер.

Сохранение момента импульса

Есть несколько фундаментальных правил, которые говорят нам о величинах, сохраняемых в изолированных системах. Самыми известными из них являются сохранение энергии и сохранение количества движения. Вместе с ними существует еще сохранения момента импульса .Если мы подумаем о двух моментах времени, правило можно записать как:

I₁ * ω₁ = I₂ * ω₂ ,

, где I₁ и I₂ — начальный и конечный массовые моменты инерции соответственно, величины, которые описывают распределение массы относительно центра тел.

Мы видим, что , если момент инерции увеличивается, угловая скорость уменьшается, и наоборот . Итак, каковы последствия этого явления? Представим, что вы фигурист.Когда вы вращаетесь, вы обладаете некоторой угловой скоростью. Если ваши руки широко раскрыты, момент инерции массы относительно велик . Затем вы приближаете руки к остальному телу. Как следствие, ваш момент инерции уменьшается на , поэтому из-за того, что общий угловой момент должен быть сохранен, ваша угловая скорость увеличивается на — это означает, что вы будете вращаться быстрее! Это не магия, а просто физика!

Если кататься на коньках не любишь, можно попробовать проверить правило на обычном вращающемся кресле.Просто помните, безопасность превыше всего! Убедитесь, что для этого эксперимента достаточно места. После этого просто начните вращаться и посмотрите, как изменяется ваша угловая скорость, когда вы двигаете руками вперед и назад. Кроме того, вы можете усилить эффект, используя гантели. В результате вы можете объединить упражнения и развлечения в одно целое!

Как рассчитать формулу угловой скорости

Формула угловой скорости: В физике угловая скорость относится к тому, насколько быстро объект вращается или вращается относительно другой точки, т.е.е. насколько быстро угловое положение или ориентация объекта меняется со временем. Есть два типа угловой скорости: орбитальная угловая скорость и угловая скорость вращения. Угловая скорость вращения означает, насколько быстро твердое тело вращается относительно центра вращения.

Орбитальная угловая скорость относится к тому, насколько быстро точечный объект вращается вокруг фиксированного начала координат, то есть скорость изменения его углового положения относительно начала координат во времени. Как правило, угловая скорость измеряется в углах в единицу времени, т.е.г. радиан в секунду. Единица измерения угловой скорости в системе СИ выражается в радианах / сек, причем радиан имеет безразмерное значение, равное единице, поэтому единицы измерения угловой скорости в системе СИ представлены как 1 / сек . Угловая скорость обычно обозначается символом омега ( ω , иногда Ω ). По соглашению, положительная угловая скорость означает вращение против часовой стрелки, а отрицательная — по часовой стрелке.

Например, геостационарный спутник совершает один оборот в день над экватором, или 360 градусов за 24 часа, и имеет угловую скорость ω = 360/24 = 15 градусов в час, или 2π / 24 ≈ 0.26 радиан в час. Если угол измеряется в радианах, линейная скорость равна радиусу, умноженному на угловую скорость, {\ displaystyle v = r \ omega}. Таким образом, с радиусом орбиты 42000 км от центра Земли скорость спутника в космосе составляет v = 42000 × 0,26 ≈ 11000 км / ч. Угловая скорость положительна, поскольку спутник движется на восток вместе с вращением Земли (против часовой стрелки от северного полюса).

Как рассчитать формулу угловой скорости

В трех измерениях угловая скорость представляет собой псевдовектор, величина которого измеряет скорость, с которой объект вращается или вращается, а ее направление указывает перпендикулярно плоскости мгновенного вращения или углового смещения.Ориентация угловой скорости условно задается правилом правой руки.

Формула для угловой скорости

В простейшем случае кругового движения по радиусу {\ displaystyle r} с положением, заданным угловым смещением {\ displaystyle \ phi (t)} от оси x, орбитальная угловая скорость — это скорость изменения угла с относительно времени: {\ displaystyle \ omega = {\ tfrac {d \ phi} {dt}}}. Если {\ displaystyle \ phi} измеряется в радианах, расстояние от оси x вокруг круга до частицы равно {\ displaystyle \ ell = r \ phi}, а линейная скорость равна {\ displaystyle v (t) = {\ tfrac {d \ ell} {dt}} = r \ omega (t)}, так что {\ displaystyle \ omega = {\ tfrac {v} {r}}}.

В общем случае частицы, движущейся в плоскости, орбитальная угловая скорость — это скорость, с которой вектор положения относительно выбранного начала координат «выметает» угол. На диаграмме показан вектор положения {\ displaystyle \ mathbf {r}} от начала координат {\ displaystyle O} до частицы {\ displaystyle P} с его полярными координатами {\ displaystyle (r, \ phi)}. (Все переменные являются функциями времени {\ displaystyle t}.) Частица имеет линейное разделение скорости как {\ displaystyle \ mathbf {v} = \ mathbf {v} _ {\ |} + \ mathbf {v} _ {\ perp }} с радиальным компонентом {\ displaystyle \ mathbf {v} _ {\ |}}, параллельным радиусу, и поперечно-радиальным (или тангенциальным) компонентом {\ displaystyle \ mathbf {v} _ {\ perp}} перпендикулярно радиусу.Когда нет радиальной составляющей, частица движется вокруг начала координат по окружности; но когда нет поперечно-радиального компонента, он движется по прямой линии от начала координат. Поскольку при радиальном движении угол остается неизменным, только поперечно-радиальная составляющая линейной скорости вносит вклад в угловую скорость.

Угловая скорость ω — это скорость изменения углового положения относительно времени, которая может быть вычислена из поперечной радиальной скорости как:

{\ displaystyle \ omega = {\ frac {d \ phi} {dt}} = {\ frac {v _ {\ perp}} {r}}.}

Здесь поперечная радиальная скорость {\ displaystyle v _ {\ perp}} является величиной со знаком {\ displaystyle \ mathbf {v} _ {\ perp}}, положительной для движения против часовой стрелки, отрицательной для движения по часовой стрелке. Принятие полярных координат для линейной скорости {\ displaystyle \ mathbf {v}} дает величину {\ displaystyle v} (линейную скорость) и угол {\ displaystyle \ theta} относительно радиус-вектора; в этих терминах {\ displaystyle v _ {\ perp} = v \ sin (\ theta)}, так что

{\ displaystyle \ omega = {\ frac {v \ sin (\ theta)} {r}}.{\ perp} = (- y, x)}.

В двух измерениях угловая скорость — это число со знаком плюс или минус, указывающее ориентацию, но не указывающее в направлении. Знак обычно считается положительным, если радиус-вектор вращается против часовой стрелки, и отрицательным, если по часовой стрелке. Тогда угловая скорость может быть названа псевдоскалярной, числовой величиной, которая меняет знак при инверсии четности, такой как инвертирование одной оси или переключение двух осей.

Читайте также: Формула трехчлена идеального квадрата

Как рассчитать угловую скорость на основе числа оборотов в минуту?

оборотов в минуту можно преобразовать в угловую скорость в градусах в секунду, умножив оборотов в минуту на 6, так как один оборот составляет 360 градусов и 60 секунд в минуту.Если об / мин равно 1 об / мин , угловая скорость в градусах в секунду будет 6 градусов в секунду, так как 6 умноженное на 1 равно 6.

Какова формула угловой скорости?

Чтобы получить нашу вторую формулу для угловой скорости , мы понимаем, что тета дается в радианах, а определение радианной меры дает theta = s / r. Таким образом, мы можем подставить theta = s / r в нашу первую формулу угловой скорости .Это дает w = (s / r) / t.

Обороты — это то же самое, что и угловая скорость?

Угловая скорость равна скорости вращения . Что-то крутится. Это сокращение от Оборотов в минуту. Другими связанными единицами измерения, которые выражают то же свойство , являются градусы в секунду и радианы в секунду.

Формула средней угловой скорости

Во-первых, когда вы говорите об «угловом» чем-либо, будь то скорость или какая-либо другая физическая величина, осознайте, что, поскольку вы имеете дело с углами, вы говорите о путешествии по кругам или их частям.Вы можете вспомнить из геометрии или тригонометрии, что длина окружности равна его диаметру, умноженному на константу пи, или πd . (Значение пи составляет около 3,14159.) Это чаще всего выражается в терминах радиуса окружности r , который составляет половину диаметра, в результате чего окружность 2πr .

Кроме того, вы, вероятно, где-то по пути узнали, что круг состоит из 360 градусов (360 °). Если вы переместитесь на расстояние S по окружности, то угловое смещение θ будет равно S / r.Таким образом, один полный оборот дает 2πr / r, что оставляет 2π. Это означает, что углы меньше 360 ° могут быть выражены в единицах пи или, другими словами, в радианах.

Взяв всю эту информацию вместе, вы можете выразить углы или части круга в единицах, отличных от градусов:

1 радиан = (360 ° / 2π) = 57,3 °,

В то время как линейная скорость выражается в длине в единицу времени, угловая скорость измеряется в радианах в единицу времени, обычно в секунду.

Если вы знаете, что частица движется по круговой траектории со скоростью v на расстоянии r от центра круга, причем направление v всегда перпендикулярно радиусу круга, тогда угловую скорость можно записать

, где ω — греческая буква омега. Единицы угловой скорости — радианы в секунду; вы также можете рассматривать эту единицу как «обратные секунды», потому что v / r дает м / с, деленные на m, или с ^-1, что означает, что радианы технически являются безразмерной величиной.

Формула центростремительного ускорения Угловая скорость

Формула углового ускорения выводится так же, как и формула угловой скорости: это просто линейное ускорение в направлении, перпендикулярном радиусу окружности (эквивалентно, его ускорение по касательной к круговой траектории в любой точке) делится на радиус круга или части круга, который составляет:

, потому что для кругового движения a _t = ωr / t = v / t.

α , как вы, наверное, знаете, это греческая буква «альфа». Индекс «t» здесь означает «касательную».

Как ни странно, однако, вращательное движение имеет другой вид ускорения, называемый центростремительным («центростремительное») ускорением. Это дается выражением:

Это ускорение направлено к точке, вокруг которой вращается рассматриваемый объект. Это может показаться странным, поскольку объект не приближается к этой центральной точке, поскольку радиус r фиксирован.Думайте о центростремительном ускорении как о свободном падении, при котором нет опасности столкновения объекта с землей, потому что сила, притягивающая объект к нему (обычно сила тяжести), точно компенсируется тангенциальным (линейным) ускорением, описываемым первым уравнением в эта секция. Если бы a _c не было равно a _t , объект либо улетел бы в космос, либо вскоре врезался бы в середину круга.

Читайте также: Средняя и мгновенная скорость изменения

Формула угловой скорости Физика

Прежде чем мы перейдем к угловой скорости, мы сначала рассмотрим линейную скорость. Линейная скорость применяется к объекту или частице, движущимся по прямой линии. Это скорость изменения положения объекта во времени.

Линейная скорость может быть рассчитана по формуле v = с / t , где v = линейная скорость, с = пройденное расстояние и t = время, необходимое для преодоления расстояния. Например, если я проехал 120 миль за 2 часа, то для расчета моей линейной скорости я бы вставил с = 120 миль и t = 2 часа в мою формулу линейной скорости, чтобы получить v = 120 / 2 = 60 миль в час.Один из наиболее распространенных примеров линейной скорости — это ваша скорость при движении по дороге. Ваш спидометр показывает вашу скорость или показатель в милях в час. Это скорость изменения вашего положения относительно времени, другими словами, ваша скорость — это ваша линейная скорость.

Перед тем, как перейти к угловой скорости, нам нужно рассмотреть еще одну вещь — радианы. Когда мы имеем дело с угловой скоростью, мы используем радианную меру угла, поэтому важно, чтобы мы были знакомы с радианной мерой.Техническое определение радиан. Измерение — это длина дуги, образуемой углом, деленная на радиус круга, частью которого является угол, где «подтянутый» означает, что она противоположна углу и проходит от одной точки на круг к другому, оба отмечены углом. Это говорит нам, что угол тета = с / r радиан, где с = длина дуги, соответствующей тета, и r = радиус круга, частью которого является тета.

Формула угловой скорости в линейную скорость Поскольку большинство из нас привыкли к градусному измерению углов, удобно, что мы можем легко преобразовать градус в радиан, умножив градус на пи / 180. Например, угол 45 градусов имеет мера в радианах 45 (пи / 180), которая равна пи / 4 радиана.

Читайте также: Формула линейной интерполяции

Как рассчитать угловую скорость

Обновлено 15 декабря 2020 г.

Кевин Бек

В повседневном дискурсе «скорость» и «скорость» часто используются как синонимы.Однако в физике эти термины имеют особые и различные значения. «Скорость» — это скорость перемещения объекта в пространстве, и она задается только числом с определенными единицами измерения (часто в метрах в секунду или милях в час). С другой стороны, скорость — это скорость, связанная с направлением. Таким образом, скорость называется скалярной величиной, тогда как скорость — векторной величиной.

Когда машина мчится по шоссе или по воздуху проносится бейсбольный мяч, скорость этих объектов измеряется относительно земли, тогда как скорость включает больше информации.Например, если вы едете в машине со скоростью 70 миль в час по межштатной автомагистрали 95 на восточном побережье Соединенных Штатов, также полезно знать, идет ли она на северо-восток в сторону Бостона или на юг в сторону Флориды. В случае с бейсбольным мячом вы можете захотеть узнать, изменяется ли его координата y быстрее, чем координата x (летающий мяч), или верно ли обратное (линейный привод). Но как насчет вращения шин или вращения (вращения) бейсбольного мяча, когда машина и мяч движутся к своему конечному пункту назначения? Для такого рода вопросов физика предлагает концепцию угловой скорости .

Основы движения

Вещи перемещаются в трехмерном физическом пространстве двумя основными способами: перемещением и вращением. Трансляция — это перемещение всего объекта из одного места в другое, как при движении автомобиля из Нью-Йорка в Лос-Анджелес. С другой стороны, вращение — это циклическое движение объекта вокруг фиксированной точки. Многие объекты, такие как бейсбольный мяч в приведенном выше примере, демонстрируют оба типа движения одновременно; По мере того, как летающий мяч перемещается по воздуху от домашней пластины к дальнему забору, он также вращается с заданной скоростью вокруг своего собственного центра.

Описание этих двух видов движения рассматривается как отдельные физические задачи; то есть, при расчете расстояния, которое мяч проходит по воздуху, на основе таких вещей, как начальный угол запуска и скорость, с которой он покидает летучую мышь, вы можете игнорировать его вращение, а при вычислении его вращения вы можете рассматривать его как сидящего в одном место для настоящих целей.

Уравнение угловой скорости

Во-первых, когда вы говорите об «угловом» чем-либо, будь то скорость или какая-то другая физическая величина, осознайте, что, поскольку вы имеете дело с углами, вы говорите о путешествии по кругу или их части.Вы можете вспомнить из геометрии или тригонометрии, что длина окружности равна его диаметру, умноженному на константу пи, или πd . (Значение пи составляет около 3,14159.) Это чаще всего выражается в терминах радиуса окружности r , который составляет половину диаметра, что составляет длину окружности 2πr .

Если вы знаете, что частица движется по круговой траектории со скоростью v на расстоянии r от центра круга, причем направление v всегда перпендикулярно радиус круга, то угловая скорость может быть записана в виде

\ omega = \ frac {v} {r}

, где ω — греческая буква омега.Единицы угловой скорости — радианы в секунду; вы также можете рассматривать эту единицу как «обратные секунды», потому что v / r дает м / с, деленные на m, или с ^-1, что означает, что радианы технически являются безразмерной величиной.

Уравнения вращательного движения

Формула углового ускорения выводится тем же самым существенным образом, что и формула угловой скорости: это просто линейное ускорение в направлении, перпендикулярном радиусу окружности (эквивалентно, его ускорение по касательной к круговой траектории в любой точке) делится на радиус круга или части круга, который равен:

\ alpha = \ frac {\ omega} {t}

, потому что для кругового движения:

a_t = \ frac {\ omega r} {t} = \ frac {v} {t}

α , как вы, наверное, знаете, это греческая буква «альфа».2} {r}

Это ускорение направлено в сторону точки, вокруг которой вращается рассматриваемый объект. Это может показаться странным, поскольку объект не приближается к этой центральной точке, поскольку радиус r фиксирован. Думайте о центростремительном ускорении как о свободном падении, при котором нет опасности столкновения объекта с землей, потому что сила, притягивающая объект к нему (обычно сила тяжести), точно компенсируется тангенциальным (линейным) ускорением, описываемым первым уравнением в эта секция.Если бы a _c не было равно a _t , объект либо улетел бы в космос, либо вскоре врезался бы в середину круга.

Связанные величины и выражения

Хотя угловая скорость обычно выражается, как уже отмечалось, в радианах в секунду, могут быть случаи, в которых предпочтительнее или необходимо использовать вместо этого градусы в секунду или, наоборот, преобразовывать из градусов в радианы до решения проблемы.

Допустим, вам сказали, что источник света вращается на 90 ° каждую секунду с постоянной скоростью. Какова его угловая скорость в радианах?

Сначала запомните, что 2π радиан = 360 °, и установите пропорцию:

\ frac {360} {2 \ pi} = \ frac {90} {\ omega} \ подразумевает 360 \ omega = 180 \ pi \ подразумевает \ omega = \ frac {\ pi} {2}

Ответ — половина пи радиан в секунду.

Если вам дополнительно сказали, что световой луч имеет дальность действия 10 метров, какова будет вершина линейной скорости луча v , его угловое ускорение α и его центростремительное ускорение a _с ?

Чтобы решить для v , сверху, v = ωr, где ω = π / 2 и r = 10m:

\ frac {\ pi} {2} 10 = 15.2

Зависимость угловой скорости от линейной

Основываясь на предыдущей задаче, представьте себя на очень большой карусели с маловероятным радиусом 10 километров (10 000 метров). Эта карусель совершает один полный оборот каждые 1 минуту 40 секунд или каждые 100 секунд.

Одним из следствий разницы между угловой скоростью, которая не зависит от расстояния от оси вращения, и линейной круговой скоростью, которой нет, является то, что два человека, испытывающие одинаковые ω , могут испытывать совершенно разные физические ощущения. .Если вы окажетесь на расстоянии 1 метра от центра в этой предполагаемой массивной карусели, ваша линейная (тангенциальная) скорость будет:

v_t = \ omega r = \ frac {2 \ pi} {100} (1) = 0,0628 \ text {м / с}

или 6,29 см (менее 3 дюймов) в секунду.

Но если вы находитесь на краю этого монстра, ваша линейная скорость будет:

v_t = \ omega r = \ frac {2 \ pi} {100} (10000) = 628 \ text {m / s}

Это примерно 1406 миль в час, быстрее, чем пуля. Подожди!

10.2 Вращение с постоянным угловым ускорением — University Physics Volume 1

Учебные цели

К концу этого раздела вы сможете:

Вывести кинематические уравнения для вращательного движения с постоянным угловым ускорением
Выберите из кинематических уравнений для вращательного движения с постоянным угловым ускорением соответствующие уравнения для решения неизвестных при анализе систем, претерпевающих вращение с фиксированной осью
Используйте решения, найденные с помощью кинематических уравнений, для проверки графического анализа вращения с фиксированной осью с постоянным угловым ускорением.

В предыдущем разделе мы определили вращательные переменные углового смещения, угловой скорости и углового ускорения.В этом разделе мы работаем с этими определениями, чтобы вывести отношения между этими переменными, и использовать эти отношения для анализа вращательного движения твердого тела вокруг фиксированной оси при постоянном угловом ускорении. Этот анализ составляет основу кинематики вращения. Если угловое ускорение является постоянным, уравнения кинематики вращения упрощаются, подобно уравнениям линейной кинематики, обсуждаемым в разделах «Движение по прямой линии» и «Движение в двух и трех измерениях».Затем мы можем использовать этот упрощенный набор уравнений для описания многих приложений в физике и технике, где угловое ускорение системы постоянно. Кинематика вращения также является предпосылкой для обсуждения динамики вращения далее в этой главе.

Кинематика вращательного движения

Используя нашу интуицию, мы можем начать видеть, как вращательные величины θ, θ, ω, ω, αα и t связаны друг с другом. Например, в предыдущем разделе мы видели, что если маховик имеет угловое ускорение в том же направлении, что и его вектор угловой скорости, его угловая скорость увеличивается со временем, а также увеличивается его угловое смещение.Напротив, если угловое ускорение противоположно вектору угловой скорости, его угловая скорость со временем уменьшается. Мы можем описать эти и многие другие физические ситуации с помощью последовательного набора кинематических уравнений вращения при постоянном угловом ускорении. Такой метод исследования вращательного движения называется кинематикой вращательного движения.

Для начала отметим, что если система вращается с постоянным ускорением, то средняя угловая скорость подчиняется простому соотношению, поскольку угловая скорость линейно увеличивается со временем.Средняя угловая скорость составляет половину суммы начального и конечного значений:

ω– = ω0 + ωf2.ω– = ω0 + ωf2.
10,9
Из определения средней угловой скорости мы можем найти уравнение, которое связывает угловое положение, среднюю угловую скорость и время:
ω– = ΔθΔt.ω– = ΔθΔt.
Решая для θθ, имеем
θf = θ0 + ω – t, θf = θ0 + ω – t,
10,10
, где мы положили t0 = 0t0 = 0. Это уравнение может быть очень полезным, если мы знаем среднюю угловую скорость системы.Тогда мы могли бы найти угловое смещение за заданный период времени. Затем мы находим уравнение, связывающее ωω, αα и t . Чтобы определить это уравнение, начнем с определения углового ускорения:
Мы переставляем это так, чтобы получить αdt = dωαdt = dω, а затем интегрируем обе части этого уравнения от начальных значений до конечных значений, то есть от t0t0 до t и от ω0toωfω0toωf. При равномерном вращательном движении угловое ускорение постоянно, поэтому его можно вывести из интеграла, получив два определенных интеграла:
α∫t0tdt ′ = ∫ω0ωfdω.α∫t0tdt ′ = ∫ω0ωfdω.
Установив t0 = 0t0 = 0, имеем
αt = ωf − ω0.αt = ωf − ω0.
Переставляем это, чтобы получить
ωf = ω0 + αt, ωf = ω0 + αt,
10,11
где ω0ω0 — начальная угловая скорость. Уравнение 10.11 является вращательным аналогом уравнения линейной кинематики vf = v0 + atvf = v0 + at. С помощью уравнения 10.11 мы можем найти угловую скорость объекта в любой заданный момент времени t с учетом начальной угловой скорости и углового ускорения.
Давайте теперь проделаем то же самое, начав с уравнения ω = dθdtω = dθdt.Переставляем его так, чтобы получить ωdt = dθωdt = dθ, и снова проинтегрируем обе стороны от начальных до конечных значений, отмечая, что угловое ускорение постоянно и не зависит от времени. Однако на этот раз угловая скорость не является постоянной (в общем случае), поэтому мы подставляем то, что мы получили выше:
∫t0tf (ω0 + αt ′) dt ′ = ∫θ0θfdθ; ∫t0tω0dt + ∫t0tαt′dt ′ = ∫θ0θfdθ = [ω0t ′ + α ((t ′) 22)] t0t = ω0t + α (t22) = θf − θ0 , ∫t0tf (ω0 + αt ′) dt ′ = ∫θ0θfdθ; ∫t0tω0dt + ∫t0tαt′dt ′ = ∫θ0θfdθ = [ω0t ′ + α ((t ′) 22)] t0t = ω0t + α (t22) = θf− θ0,
, где мы положили t0 = 0t0 = 0.Теперь переставляем, чтобы получить
θf = θ0 + ω0t + 12αt2.θf = θ0 + ω0t + 12αt2.
10,12
Уравнение 10.12 является вращательным аналогом уравнения линейной кинематики, найденного в «Движении вдоль прямой линии» для положения как функции времени. Это уравнение дает нам угловое положение вращающегося твердого тела в любой момент времени t с учетом начальных условий (начальное угловое положение и начальная угловая скорость) и углового ускорения.
Мы можем найти уравнение, не зависящее от времени, решив для t в уравнении 10.11 и подставив в уравнение 10.12. Уравнение 10.12 становится
. θf = θ0 + ω0 (ωf − ω0α) + 12α (ωf − ω0α) 2 = θ0 + ω0ωfα − ω02α + 12ωf2α − ω0ωfα + 12ω02α = θ0 + 12ωf2α − 12ω02α, θf − θ0 = ωf2 − ω022α, θf − θ0 = ωf2 − ω022α −ω0α) + 12α (ωf − ω0α) 2 = θ0 + ω0ωfα − ω02α + 12ωf2α − ω0ωfα + 12ω02α = θ0 + 12ωf2α − 12ω02α, θf − θ0 = ωf2 − ω022α
или
ωf2 = ω02 + 2α (Δθ). ωf2 = ω02 + 2α (Δθ).
10,13
Уравнения с 10.10 по 10.13 описывают вращение с фиксированной осью для постоянного ускорения и сведены в Таблицу 10.1.
Угловое смещение от средней угловой скорости θf = θ0 + ω – tθf = θ0 + ω – t
Угловая скорость от углового ускорения ωf = ω0 + αtωf = ω0 + αt
Угловое смещение от угловой скорости и углового ускорения θf = θ0 + ω0t + 12αt2θf = θ0 + ω0t + 12αt2
Угловая скорость от углового смещения и углового ускорения ωf2 = ω02 + 2α (Δθ) ωf2 = ω02 + 2α (Δθ)
Таблица 10.1 Кинематические уравнения
Применение уравнений вращательного движения
Теперь мы можем применить ключевые кинематические соотношения для вращательного движения к некоторым простым примерам, чтобы понять, как уравнения могут быть применены к повседневным ситуациям.
Пример 10.4
Расчет ускорения рыболовной катушки
Глубоководный рыбак ловит большую рыбу, которая отплывает от лодки, стягивая леску со своей рыболовной катушки. Вся система изначально находится в состоянии покоя, а леска разматывается с катушки в радиусе 4.50 см от оси вращения. Катушка получает угловое ускорение 110рад / с — 2110рад / с2 в течение 2,00 с (рисунок 10.11).
(а) Какова конечная угловая скорость мотовила через 2 с?
(b) Сколько оборотов делает катушка?
Рисунок 10.11 Леска, сходящая с вращающейся катушки, движется линейно.
Стратегия
Определите известные и сравните с кинематическими уравнениями для постоянного ускорения. Найдите соответствующее уравнение, которое можно решить для неизвестного, используя известные в описании проблемы.
Решение
Нам даны αα и t и мы хотим определить ωω. Самым простым уравнением для использования является ωf = ω0 + αtωf = ω0 + αt, поскольку известны все члены, кроме искомой неизвестной переменной. Нам дано, что ω0 = 0ω0 = 0 (начинается с состояния покоя), поэтому ωf = 0 + (110рад / с2) (2,00 с) = 220рад / с. ωf = 0 + (110рад / с2) (2,00 с) = 220рад / с.
Нас просят найти количество оборотов. Поскольку 1rev = 2πrad1rev = 2πrad, мы можем найти количество оборотов, найдя θθ в радианах.Нам даны αα и t , и мы знаем, что ω0ω0 равно нулю, поэтому мы можем получить θθ, используя θf = θi + ωit + 12αt2 = 0 + 0 + (0.500) (110rad / s2) (2.00s) 2 = 220rad. θf = θi + ωit + 12αt2 = 0 + 0 + (0.500) (110rad / s2) (2.00 с) 2 = 220рад. Преобразование радианов в обороты дает Количество оборотов = (220рад) 1 оборот2πрад = 35,0 оборотов Число оборотов = (220рад) 1 оборот2πрад = 35,0 оборотов
Значение
Этот пример показывает, что отношения между вращательными величинами очень похожи на отношения между линейными величинами. Ответы на вопросы реалистичны.После раскручивания в течение двух секунд катушка вращается со скоростью 220 рад / с, что составляет 2100 об / мин. (Неудивительно, что барабаны иногда издают высокие звуки.)
В предыдущем примере мы рассматривали рыболовную катушку с положительным угловым ускорением. Теперь давайте посмотрим, что происходит с отрицательным угловым ускорением.
Пример 10,5
Расчет продолжительности, когда рыболовная катушка замедляется и останавливается
Теперь рыбак тормозит вращающуюся катушку, достигая углового ускорения -300рад / с2-300рад / с2.Как долго катушка останавливается?
Стратегия
Нам предлагается найти время t , за которое катушка остановится. Начальные и конечные условия отличаются от условий в предыдущей задаче, в которой использовалась та же рыболовная катушка. Теперь мы видим, что начальная угловая скорость равна ω0 = 220рад / сω0 = 220рад / с, а конечная угловая скорость ωω равна нулю. Угловое ускорение задается как α = −300рад / с2. Α = −300рад / с2. Изучая доступные уравнения, мы видим все величины, но t известны в ωf = ω0 + αtωf = ω0 + αt, что упрощает использование этого уравнения.
Решение
Уравнение состояния
Мы решаем уравнение алгебраически для t , а затем подставляем известные значения, как обычно, давая
t = ωf − ω0α = 0−220,0рад / с − 300,0рад / с2 = 0,733 с. t = ωf − ω0α = 0−220,0рад / с − 300,0рад / с2 = 0,733 с.
Значение
Обратите внимание, что следует проявлять осторожность со знаками, указывающими направления различных величин. Также обратите внимание, что время остановки барабана довольно мало, потому что ускорение довольно велико. Леска иногда ломается из-за участвующих в ней ускорений, и рыбаки часто позволяют рыбе плавать некоторое время, прежде чем тормозить катушку.Уставшая рыба движется медленнее, требуя меньшего ускорения.
Проверьте свое понимание 10.2
Центрифуга, используемая для экстракции ДНК, вращается с максимальной скоростью 7000 об / мин, создавая на образце «перегрузочную силу», которая в 6000 раз превышает силу тяжести. Если центрифуге требуется 10 секунд для остановки от максимальной скорости вращения: (а) Каково угловое ускорение центрифуги? б) Каково угловое смещение центрифуги за это время?
Пример 10.6
Угловое ускорение воздушного винта
На рис. 10.12 показан график зависимости угловой скорости воздушного винта от времени. Его угловая скорость начинается с 30 рад / с и линейно падает до 0 рад / с в течение 5 секунд. (а) Найдите угловое ускорение объекта и проверьте результат, используя кинематические уравнения. (b) Найдите угол, на который винт вращается в течение этих 5 секунд, и проверьте свой результат, используя кинематические уравнения.
Рисунок 10.12 График зависимости угловой скорости пропеллера от времени.
Стратегия
Поскольку угловая скорость изменяется линейно со временем, мы знаем, что угловое ускорение постоянно и не зависит от переменной времени. Угловое ускорение — это наклон графика зависимости угловой скорости от времени, α = dωdtα = dωdt. Чтобы вычислить наклон, мы читаем непосредственно из рисунка 10.12 и видим, что ω0 = 30rad / sω0 = 30rad / s при t = 0st = 0s и ωf = 0rad / sωf = 0rad / s при t = 5st = 5s. Тогда мы можем проверить результат, используя ω = ω0 + αtω = ω0 + αt.
Используем уравнение ω = dθdt; ω = dθdt; поскольку производная угла по времени является угловой скоростью, мы можем найти угловое смещение, интегрировав угловую скорость, что на рисунке означает взятие площади под графиком угловой скорости. Другими словами: Θ0θfdθ = θf − θ0 = ∫t0tfω (t) dt.∫θ0θfdθ = θf − θ0 = ∫t0tfω (t) dt. Затем мы используем кинематические уравнения для постоянного ускорения, чтобы проверить результат.
Раствор
Рассчитывая уклон, получаем α = ω − ω0t − t0 = (0−30.0) рад / с (5,0−0) с = −6,0рад / с2. Α = ω − ω0t − t0 = (0−30,0) рад / с (5,0−0) с = −6,0рад / с2. Мы видим, что это в точности уравнение 10.11 с небольшой перестановкой членов.
Мы можем найти площадь под кривой, вычислив площадь прямоугольного треугольника, как показано на рисунке 10.13.
Рис. 10.13 Площадь под кривой — это площадь прямоугольного треугольника.
Δθ = площадь (треугольник); Δθ = 12 (30рад / с) (5s) = 75рад. Δθ = площадь (треугольник); Δθ = 12 (30рад / с) (5s) = 75рад. Мы проверяем решение, используя уравнение 10.12: θf = θ0 + ω0t + 12αt2.θf = θ0 + ω0t + 12αt2. Полагая θ0 = 0θ0 = 0, имеем θf = (30,0рад / с) (5,0 с) +12 (−6,0рад / с2) (5,0рад / с) 2 = 150,0−75,0 = 75,0рад. θf = (30,0рад / с) (5,0 с) +12 (−6,0рад / с2) (5,0рад / с) 2 = 150,0−75,0 = 75,0рад. Это подтверждает решение, найденное при нахождении площади под кривой.
Значение
Из части (b) видно, что существуют альтернативные подходы к анализу вращения с фиксированной осью с постоянным ускорением. Мы начали с графического подхода и проверили решение, используя кинематические уравнения вращения.Поскольку α = dωdtα = dωdt, мы могли бы провести такой же графический анализ на кривой зависимости углового ускорения от времени. Площадь под кривой α-по-tα-по-t дает нам изменение угловой скорости. Поскольку угловое ускорение на этом участке постоянно, это несложное упражнение.
1.4: Скорость и угловая скорость
Длина дуги по окружности
В разделе 1.3 мы узнали, что радианная мера угла равна длине дуги на единичной окружности, связанной с этим углом.Таким образом, дуга длины 1 на единичной окружности образует угол в 1 радиан. Бывают случаи, когда также будет полезно знать длину дуг на других кругах, которые образуют тот же угол.
Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): Дуги, заключенные под углом в 1 радиан.
На рисунке \ (\ PageIndex {1} \) внутренний круг имеет радиус 1, внешний круг имеет радиус \ (r \), а показанный угол имеет меру \ (\ theta \) радиан. . Таким образом, длина дуги на единичной окружности, образуемой углом, равна \ (\ theta \), и мы использовали s для представления длины дуги на окружности радиуса \ (r \), образуемой этим углом.
Напомним, что длина окружности радиуса \ (r \) равна \ (2 \ pi r \), а длина окружности радиуса 1 равна \ (2 \ pi \). Следовательно, отношение длины дуги \ (s \) на окружности радиуса \ (r \), которая образует угол в \ (\ theta \) радиан к соответствующей дуге единичной окружности, равно \ (\ dfrac {2 \ pi r} {2 \ pi} = r \). Отсюда следует, что
\ [\ dfrac {s} {\ theta} = \ dfrac {2 \ pi r} {\ pi} \]
\ [s = r \ theta \]
Определение
На окружности радиуса \ (r \) длина s дуги, пересекаемая центральным углом с радианной мерой, равна
.
\ [s = r \ theta \]
Примечание
Важно помнить, что для расчета длины дуги необходимо измерить центральный угол в радианах.
(Непонятно, почему буква \ (s \) обычно используется для обозначения длины дуги. Одно из объяснений состоит в том, что дуга «расширяет» угол.)
Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)
Использование кружков в начале действия для этого раздела:
Используйте формулу для длины дуги, чтобы определить длину дуги на окружности радиусом 10 футов, которая образует центральный угол в \ (\ dfrac {\ pi} {2} \) радиан. Результат равен одной четверти длины окружности?
Используйте формулу для длины дуги, чтобы определить длину дуги на окружности радиусом 20 футов, которая образует центральный угол в \ (\ dfrac {\ pi} {2} \) радиан.\ circ}) = \ dfrac {11 \ pi} {90} \) и \ [s = r \ theta = (3ft) \ dfrac {11 \ pi} {90} \] \ [s = \ dfrac {11 \ pi} {30} \] Длина дуги составляет \ (\ dfrac {11 \ pi} {30} \) футов или около \ (1.1519 \) футов.

Почему радианы?

Градус знаком и удобен, так почему же мы вводим единицу радиан? Это хороший вопрос, но на него есть тонкий ответ. Как мы только что видели, длина \ (s \) дуги на окружности радиуса \ (r \), образуемой углом в \ (\ theta \) радиан, равна \ (s = r \ theta \), поэтому \ (\ theta = \ dfrac {s} {r} \).В результате радиан представляет собой отношение двух длин (отношение длины дуги к радиусу окружности), что делает радиан безразмерной величиной. Таким образом, измерение в радианах можно рассматривать как действительное число. Это удобно для работы с длиной дуги (и угловой скоростью, как мы скоро увидим), и это также будет полезно при изучении периодических явлений в главе 2. По этой причине радианная мера повсеместно используется в математике, физике и технике как в отличие от степеней, потому что, когда мы используем градусную меру, мы всегда должны учитывать градусное измерение в вычислениях.Это означает, что радианы на самом деле более естественны с математической точки зрения, чем градусы.

Линейная и угловая скорость

Связь между дугой на окружности и углом, который она образует, измеряемым в радианах, позволяет нам определять величины, относящиеся к движению по окружности. Объекты, движущиеся по круговой траектории, обладают двумя типами скорости: линейная и угловая . Представьте себе вращение на карусели. Если вы уроните камешек с края движущейся карусели, камешек не упадет прямо вниз.Вместо этого он продолжит двигаться вперед со скоростью, которую имела карусель в тот момент, когда камешек был выпущен. Это линейная скорость гальки. Линейная скорость измеряет, как длина дуги изменяется с течением времени.

Рассмотрим точку \ (P \), движущуюся с постоянной скоростью по окружности радиуса \ (r \). Это называется равномерным круговым движением . Предположим, что P перемещается на расстояние s единиц за время \ (t \). Линейная скорость v точки \ (P \) — это расстояние, пройденное ею, деленное на прошедшее время.То есть \ (v = \ dfrac {s} {t} \). Расстояние s — это длина дуги, и мы знаем, что \ (s = r \ theta \).

Определение: линейная скорость

Рассмотрим точку \ (P \), движущуюся с постоянной скоростью по окружности радиуса \ (r \). Линейная скорость \ (v \) точки \ (P \) равна

\ [v = \ dfrac {s} {t} = \ dfrac {r \ theta} {t} \]

где \ (\ theta \), измеренный в радианах, — это центральный угол, образованный дугой длиной \ (s \).

Другой способ измерить, насколько быстро объект движется с постоянной скоростью по круговой траектории, называется угловой скоростью. В то время как линейная скорость измеряет, как длина дуги изменяется с течением времени, угловая скорость является мерой того, насколько быстро изменяется центральный угол с течением времени.

Определение: угловая скорость

Рассмотрим точку P, движущуюся с постоянной скоростью по окружности радиуса r по дуге, соответствующей центральному углу измерения \ (\ theta \) (в радианах).Угловая скорость \ (\ omega \) точки — это радианная мера угла \ (\ theta \), деленная на время t, необходимое для того, чтобы охватить этот угол. То есть

\ [\ omega = \ dfrac {\ theta} {t}. \]

Примечание

Символ \ (\ omega \) — это строчная греческая буква «омега». Также обратите внимание, что угловая скорость не зависит от радиуса r.

Это несколько специализированное определение угловой скорости, которое немного отличается от общепринятого термина, используемого для описания скорости вращения точки по окружности.Этот срок составляет оборотов в минуту или оборотов в минуту . Иногда используется блок оборотов в секунду . Лучший способ представить количество оборотов в минуту — использовать «дробь единицы» \ (\ dfrac {rev} {min} \). Поскольку 1 оборот равен \ (2 \ pi \) радианам, мы видим, что если объект min движется со скоростью x оборотов в минуту, то

\ [\ omega = x \ dfrac {rev} {min} \ cdot \ dfrac {2 \ pi rad} {rev} = x (2 \ pi) \ dfrac {rad} {min}. \]

Упражнение \ (\ PageIndex {2} \)

Предположим, круглый диск вращается со скоростью 40 оборотов в минуту.Мы хотим определить линейную скорость v (в футах в секунду) точки, находящейся на расстоянии 3 футов от центра диска.

Определите угловую скорость \ (\ omega \) точки в радианах в минуту. Подсказка : Используйте формулу \ [\ omega = x \ dfrac {rev} {min} \ cdot \ dfrac {2 \ pi rad} {rev}. \]
Теперь мы знаем \ (\ omega = \ dfrac {\ theta} {t} \). Поэтому используйте формулу \ (v = \ dfrac {r \ theta} {t} \), чтобы определить \ (v \) в футах в минуту.
Наконец, преобразуйте линейную скорость v из футов в минуту в футы в секунду.

Ответ

1. Мы видим, что

\ [\ omega = 40 \ dfrac {rev} {min} \ times \ dfrac {2 \ pi \ space rad} {rev} \]
\ [\ omega = 80 \ pi \ dfrac {rad} {min} \ ]

2. Результат части (а) дает

\ [v = r (\ dfrac {\ theta} {r}) = r \ omega \]
\ [v = (3ft) \ times 80 \ pi \ dfrac {rad} {min} \]
\ [v = 240 \ pi \ dfrac {ft} {min} \]

3. Теперь мы переводим футы в минуту в футы в секунду.

\ [v = 240 \ pi \ dfrac {ft} {min} \ times \ dfrac {1 \ space min} {60 \ space sec} \]
\ [v = 4 \ pi \ dfrac {ft} {sec} \ около 12.566 \ dfrac {ft} {sec} \]

Обратите внимание, что в упражнении 1.18, как только мы определили угловую скорость, мы смогли определить линейную скорость. То, что мы сделали в этом конкретном случае, мы можем сделать в целом. Существует простая формула, которая напрямую связывает линейную скорость с угловой скоростью. Наша формула для линейной скорости: \ (v = \ dfrac {s} {t} \ dfrac {r \ theta} {t} \). Обратите внимание, что мы можем записать это как \ (v = r \ dfrac {\ theta} {t} \). То есть \ (v = r \ omega \)

Примечание

Рассмотрим точку \ (P \), движущуюся с постоянной (линейной) скоростью \ (v \) по окружности радиуса \ (r \).Если угловая скорость равна \ (\ omega \), то

\ [v = r \ omega \]

Итак, в упражнении 1.18, когда мы определили, что \ (\ omega = 80 \ pi \ dfrac {rad} {min} \), мы могли бы определить v следующим образом:

\ [v = r \ omega = (3 \ space ft) (80 \ pi \ dfrac {rad} {min} = 240 \ pi \ dfrac {ft} {min}). \]

Обратите внимание, что, поскольку радианы «безразмерны», мы можем отбросить их при работе с уравнениями, такими как предыдущее.

Пример \ (\ PageIndex {1} \): линейная и угловая скорость

LP (долгоиграющая) или виниловая пластинка со скоростью 331 об / мин — это аналоговый носитель для хранения звука, который долгое время использовался для прослушивания музыки.LP обычно имеет диаметр 12 или 10 дюймов. Чтобы работать с нашими формулами для линейной и угловой скорости, нам нужно знать угловую скорость в радианах в единицу времени. Для этого мы преобразуем \ (33 \ dfrac {1} {3} \) оборотов в минуту в радианы в минуту. Мы будем использовать тот факт, что \ (33 \ dfrac {1} {3} = \ dfrac {100} {3} \)

\ [\ omega = \ dfrac {100} {3} \ dfrac {rev} {min} \ times \ dfrac {2 \ pi \ space rad} {1 \ space rev} = \ dfrac {200 \ pi} {3 } \ dfrac {rad} {min} \]

Теперь мы можем использовать формулу v D r! для определения линейной скорости точки на краю 12-дюймовой пластинки.Радиус 6 дюймов и так

\ [v = r \ omega = (6 \ пробел дюймов) (\ dfrac {200 \ pi} {3} \ dfrac {rad} {min}) = 400 \ pi \ dfrac {дюймы} {min} \]

Было бы удобнее выразить это десятичным числом в дюймах в секунду. Получаем

\ [v = 400 \ pi \ dfrac {дюймы} {мин} \ times \ dfrac {1 \ space min} {60 \ space sec} \ приблизительно 20. 944 \ dfrac {дюймы} {sec} \]

Линейная скорость составляет приблизительно 20,944 дюйма в секунду.

Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)

Для этих задач мы предположим, что Земля представляет собой сферу с радиусом 3959 миль.Когда Земля вращается вокруг своей оси, человек, стоящий на Земле, будет путешествовать по кругу, перпендикулярному оси.

Земля вращается вокруг своей оси каждые \ (24 \) часа. Определите угловую скорость Земли в радианах в час. (Оставьте свой ответ в виде числа �� \ (\ pi \).)
Когда Земля вращается, человек, стоящий на экваторе, будет путешествовать по кругу с радиусом 3959 миль. Определите линейную скорость этого человека в милях в час.\ circ \) север будет двигаться по кругу радиусом 2800 миль. Определите линейную скорость этого человека в милях в час и футах в секунду.

Ответ

Один оборот соответствует \ (2 \ pi \) радианам. Итак, \ [\ omega = \ dfrac {2 \ pi \ space rad} {24 \ space hr} = \ dfrac {\ pi \ space rad} {12 \ space hr}. \]
Для определения линейной скорости мы используем формулу \ (v = r \ omega \) \ [v = r \ omega = (3959mi) (\ dfrac {\ pi} {12} \ dfrac {rad} {hr}) = \ dfrac {3959 \ pi} {12} \ dfrac {mi} {hr} \] Линейная скорость приблизительно равна 1036.5 миль в час.
Для определения линейной скорости мы используем формулу \ (v = r \ omega \) \ [v = r \ omega = (2800mi) (\ dfrac {\ pi} {12} \ dfrac {rad} {hr}) = \ dfrac {2800 \ pi} {12} \ dfrac {mi} {hr} \] Линейная скорость составляет примерно 733,04 мили в час. Чтобы преобразовать это в футы в секунду, мы используем тот факт, что в одной миле 5280 футов, в часе 60 минут и в минуте 60 секунд. Итак,

\ [v = (\ dfrac {2800 \ pi} {12} \ dfrac {mi} {hr}) (\ dfrac {5280 \ space ft} {1 \ space mi}) (\ dfrac {1 \ space hr } {60 \ space min}) (\ dfrac {1 \ space min} {60 \ space sec}) = \ dfrac {(2800 \ pi) (5280)} {12 \ cdot 60 \ cdot 60} \ dfrac {ft } {сек} \]

Таким образом, линейная скорость приблизительно равна \ (1075.1 \) футов в секунду.

Сводка

В этом разделе мы изучили следующие важные концепции и идеи:

На окружности радиусом \ (r \) длина дуги \ (s \), пересеченная центральным углом с радианной мерой, равна \ [s = r \ theta \]
Равномерное круговое движение — это когда точка движется с постоянной скоростью по окружности круга. Линейная скорость — это длина дуги, пройденная точкой, деленная на прошедшее время.В то время как линейная скорость измеряет, как длина дуги изменяется с течением времени, угловая скорость является мерой того, насколько быстро изменяется центральный угол с течением времени. Угловая скорость точки — это радианная мера угла, деленная на время, необходимое для того, чтобы охватить этот угол.
Для точки \ (P \), движущейся с постоянной (линейной) скоростью v по окружности окружности радиуса \ (r \), имеем \ [v = r \ omega \], где \ (\ omega \) — угловая скорость точки.

Угловая скорость: определение, формула и примеры — видео и стенограмма урока

Радианы

Перед тем, как перейти к угловой скорости, нам нужно рассмотреть еще одну вещь, а именно радианы. Когда мы имеем дело с угловой скоростью, мы используем радианную меру угла, поэтому важно, чтобы мы были знакомы с радианной мерой. Техническое определение радиан. Измерение — это длина дуги, образуемой углом, деленная на радиус круга, частью которого является угол, где «подтянутый» означает, что она противоположна углу и проходит от одной точки на круг к другому, оба отмечены углом.Это говорит нам, что угол тета = с / r радиан, где с = длина дуги, соответствующей тета, и r = радиус круга, частью которого является тета.

**Радианная мера угла**

Поскольку большинство из нас привыкли к градусному измерению углов, удобно, что мы можем легко преобразовать градус в радиан, умножив градус на пи / 180.Например, угол в 45 градусов имеет радианную меру 45 (пи / 180), что равно пи / 4 радиана.

Угловая скорость

Угловая скорость встречается реже, чем линейная скорость, потому что она применяется только к объектам, движущимся по круговой траектории. Например, гоночная машина на круговой трассе, шарик рулетки на колесе рулетки или колесо обозрения — все они имеют угловую скорость.

**Примеры угловой скорости**

Угловая скорость объекта — это угловое смещение объекта во времени.Когда объект движется по круговой траектории, центральный угол, соответствующий положению объекта на круге, изменяется. Угловая скорость, представленная как w , представляет собой скорость изменения этого угла во времени.

**Угловая скорость**

Например, колесо обозрения может вращать пи / 6 радиан каждую минуту. Следовательно, угловая скорость колеса обозрения будет равна пи / 6 радиан в минуту.

Формулы угловой скорости

Есть три формулы , которые мы можем использовать, чтобы найти угловую скорость.

Вариант 1

Первое вытекает прямо из определения. Угловая скорость — это скорость изменения позиционного угла объекта относительно времени, поэтому w = theta / t , где w = угловая скорость, theta = позиционный угол и t = время.

Например, если гоночный автомобиль движется по круговой трассе и проезжает 1 круг или 2 радиана на дюйм за 4 минуты, то мы можем найти угловую скорость автомобиля, подставив theta = 2pi радиан и t = 4 минуты в наша формула, чтобы получить w = 2pi / 4 = pi / 2 радиан в минуту.Угловая скорость автомобиля составляет пи / 2 радиана в минуту.

Вариант 2

Чтобы получить нашу вторую формулу для угловой скорости, мы понимаем, что тета дается в радианах, а определение радианной меры дает theta = с / r . Таким образом, мы можем подставить theta = с / r в нашу первую формулу угловой скорости. Это дает w = ( s / r ) / t . Упрощение дает w = с / ( r t ), где с = длина дуги, r = радиус и t = время.

Например, если колесо рулетки имеет радиус 10 дюймов, а шарик проходит 7 дюймов по круговой траектории за 2 секунды, то мы можем определить угловую скорость шара, вставив s = 7 дюймов, r = 10 дюймов, и t = 2 секунды на w = s / ( r t ), чтобы получить w = 7 / (10 * 2) = 0,35 радиан в секунду. Угловая скорость мяча составляет 0,35 радиана в секунду.

Вариант 3

Последняя формула исходит из признания того, что мы можем переписать нашу вторую формулу угловой скорости как w = с / ( r t ) = ( s / t ) (1/ r ).Напомним, что с / t — наша линейная скорость, поэтому мы можем переписать эту формулу как w = v (1/ r ) = v / r , где v = линейный скорость и r = радиус круга.

Например, если гоночный автомобиль движется по круговой трассе со скоростью 110 миль в час, а радиус гоночной трассы составляет 0,2 мили, то мы можем найти угловую скорость автомобиля, подключив v = 110 миль в час и r = 0.2 мили в нашу формулу, чтобы получить w = 110 / 0,2 = 550 радиан в час.

Резюме урока

Мы рассмотрели линейную скорость, , скорость изменения положения объекта, движущегося по прямой линии, относительно времени и радиан, мера угла (тета = с / r , где s = длина дуги и r = радиус). Мы видели, что оба они играют важную роль в угловой скорости. Угловая скорость — это угловое смещение во времени объекта или частицы, которые движутся по круговой траектории.У нас есть три формулы, которые мы используем для определения угловой скорости, и они отображаются на экране.

**Формулы угловой скорости**

Эти формулы и определения снабдили нас всем необходимым для эффективной и действенной работы с угловой скоростью.

Угловая скорость

Угловая скорость — это измерение скорости изменения углового положения объекта за период времени.Символ, используемый для угловой скорости, обычно представляет собой греческий символ омега в нижнем регистре, ω . Угловая скорость представлена в радианах за время или градусах за время (обычно радианах в физике) с относительно простыми преобразованиями, позволяющими ученому или студенту использовать радианы в секунду или градусы в минуту или любую другую конфигурацию, необходимую в данной ситуации вращения. будь то большое колесо обозрения или йо-йо. (Некоторые советы по выполнению такого рода преобразований см. В нашей статье о многомерном анализе.)

Расчет угловой скорости
Для вычисления угловой скорости требуется понимание вращательного движения объекта, θ . Среднюю угловую скорость вращающегося объекта можно вычислить, зная начальное угловое положение, θ ₁, в определенный момент времени t ₁ и конечное угловое положение, θ ₂, при определенное время т ₂. В результате общее изменение угловой скорости, деленное на общее изменение во времени, дает среднюю угловую скорость, которую можно записать в терминах изменений в этой форме (где Δ условно обозначает «изменение»). :
ω _av: Средняя угловая скорость
θ ₁: Исходное угловое положение (в градусах или радианах)
θ ₂: Конечное угловое положение (в градусах или радианах)
Δ θ = θ ₂ — θ ₁: изменение углового положения (в градусах или радианах)
t ₁: Начальное время
t ₂: Конечное время
Δ т = т ₂ — т ₁: Изменение во времени
Средняя угловая скорость:
ω _ср = ( θ ₂ — θ ₁) / ( t ₂ — t _Δ) / Δ т
Внимательный читатель заметит сходство со способом вычисления стандартной средней скорости на основе известного начального и конечного положения объекта.Таким же образом вы можете продолжать выполнять все меньшие и меньшие измерения Δ t , указанные выше, которые становятся все ближе и ближе к мгновенной угловой скорости. Мгновенная угловая скорость ω определяется как математический предел этого значения, которое может быть выражено с помощью расчетов как:
Мгновенная угловая скорость:
ω = Предел как Δ т приближается к 0 из Δ θ / Δ т = dθ / dt
Те, кто знаком с математическим расчетом, увидят, что результатом этих математических формулировок является то, что мгновенная угловая скорость, ω , является производной от θ (угловое положение) по отношению к t (время)…. это именно то, что было нашим первоначальным определением угловой скорости, так что все работает, как ожидалось.
Также известен как: средняя угловая скорость, мгновенная угловая скорость.

Угловое смещение от средней угловой скорости	θf = θ0 + ω – tθf = θ0 + ω – t
Угловая скорость от углового ускорения	ωf = ω0 + αtωf = ω0 + αt
Угловое смещение от угловой скорости и углового ускорения	θf = θ0 + ω0t + 12αt2θf = θ0 + ω0t + 12αt2
Угловая скорость от углового смещения и углового ускорения	ωf2 = ω02 + 2α (Δθ) ωf2 = ω02 + 2α (Δθ)