Направление угловой скорости: Физические основы механики

где  — радиус-вектор точки М относительно полюса, взятого на оси вращения. Формулу (15) называют формулой Эйлера. Для доказательства найдем модуль и направление вектора  и сравним его с вектором . Учитывая, что , получим ; следовательно ; вектор  перпендикулярен к плоскости, проходящей через векторы  и , т.е. к плоскости, проходящей через точку М и ось вращения, и направлен сторону вращения, т.е. совпадает с направлением вектора скорости (рис.5).

       Вектор ускорения точки М определяем как производную вектора скорости по времени.

.                                    (16)

Легко показать, что                                                                   (17)

Пример. Рейка 1, ступенчатое колесо  2 с радиусами   и  и колесо 3 радиуса , скрепленное с валом радиуса , находятся в зацеплении; на вал намотана нить с грузом 4 на конце (рис. 6). Рейка движется по закону .

Определить угловые скорости и ускорения всех колес, а также скорость и ускорение точки В.

Дано: м, м, м, м, S₁=м.

Определить:  при t=1 с.

Решение. Механизм имеет одну степень свободы, поэтому для определения кинематических характеристик указанных тел достаточно задать одну обобщенную координату S₁.

Рейка 1 и груз 4 совершают поступательное прямолинейное движение, ступенчатые колеса 2 и 3 — вращательное движение относительно неподвижных осей, перпендикулярных к плоскости чертежа и проходящих через точки О₁ и О₂  соответственно. При решении задач учтем, что когда два колеса находятся в зацеплении, скорость точки зацепления имеет у каждого колеса одну и ту же величину.

Условимся обозначать скорости точек, лежащих на внешних ободах колес через  , на внутренних — .

Зная закон движения рейки 1, находим её скорость .

Так как рейка 1 и колесо 2 находятся в зацеплении, то . Но колеса 2 и 3 тоже находятся в зацеплении. Следовательно,  или . Из этих равенств находим:

Вектор  и направлен в сторону положительной оси Ох. Вектор   и направлен в сторону отрицательных значений Ох.

Угловые ускорения колес 2 и 3 находим по формулам:

Векторы   совпадают по направлению с векторами  соответственно. Колеса 2 и 3 совершают ускоренные вращения. Для момента времени  сек получим :  ;

Линейная скороcть точки В:    

Линейное ускорение точки В находится по формуле:

В момент времени t=1с находим м/с; ; .

Задание. Найдите дополнительно скорость и ускорение груза 4, а также законы движения колес 2 и 3.

3. СФЕРИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

3.1. Углы Эйлера. Уравнения сферического движения

  Вращением твердого тела вокруг неподвижной точки С (сферическим движением) называют такое движение, при котором одна точка тела остаётся неподвижной во все время движения. Траектории всех точек тела  при таком движении располагаются на поверхностях сфер, описанных из неподвижной точки.

Учитывая, что свободное твердое тело имеет шесть степеней свобо­ды и закрепление одной точки тела уменьшает число степеней свободы на три единицы, получим, что при сферическом движении тело имеет три степени свободы. Три независимых параметра, определяющих положение тела, можно задать различными способами.

           Рассмотрим обобщенные координаты, введенные Эйлером и называемые уг­лами Эйлера. Эти углы обладают тем свойством, что через них легко выражаются координаты любой точки тела.

        Через неподвижную точку О твердо­го тела проведем неподвижную систему координат Оx₁y₁z_1, относительно которой будем рас­сматривать движение тела (риc.7).

Другую систему координат Оxyz скрепим с самим телом, вращающимся вокруг неподвижной точки 0. Положение тела определится положением под­вижной системы координат относительно неподвижной. Пусть ON — линия узлов — прямая пересечения плоскостей x₁y₁z₁ и xyz.

За положительное направление на линии узлов выбираем то её нап­равление, с которого поворот от оси Оz₁ к оси Оz на наименьший угол виден происходящим против часовой стрелки.   

Угол прецессии  определяет положение линии узлов относительно неподвижной координатной оси Ох_1. Для изменения этого угла тело должно вращаться вокруг неподвижной координатной оси Оz₁,  которую называют осью прецессии. Угол    считается положительным, если он отсчитывается против часовой стрелки, если смотреть с положительного направлении оси Оz₁ (от оси Ох₁ к оси ОN). Угол между линией ОN и осью Ох назы­вается углом собственного вращения. Для изменения угла   тело должно вращаться вокруг оси Z, называемой осью собственного вращения. Угол  считается положительным, если он отсчитывается против хода часовой стрелки, если смотреть с положительного конца оси Oz.

Угол  между плоскостями xOy и x₁Oy₁ лежит в плоскости zOz_1. Он называется углом нутации. Для изменения угла  тело должно вращаться вокруг линии узлов. Угол  будет считаться положительным, если он отсчитывается от оси Oz₁ к оси Oz против хода часовой стрелки, если смотреть с положительного направления линии узлов.

При вращении тела вокруг неподвижной точки изменяются все три угла Эйлера. При этом тело можно перевести из одного положения в другое, изменяя углы Эйлера не все сразу, а последовательно, в любом порядке, начиная с любого угла.

Это позволяет утверждать, что углы Эйлера являются независимыми пара­метрами. Чтобы задать уравнения сферического движения, нужно представить углы Эйлера как непрерывные, однозначные функции времени

                                             (18)

Уравнения (18) являются кинематическими уравнениями вращения тела вокруг неподвижной точки.

3.2. Теорема Даламбера-Эйлера

Чтобы представить себе наглядную геометрическую картину движения тела, имеющего одну неподвижную точку, рассмотрим результат, сформулированный в теореме Даламбера – Эйлера (1749-1750 г).

В каждый момент времени движение твердого тела вокруг неподвижной точки можно рассматривать как вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через эту точку.

  Для доказательства рас­смотрим две произвольнее точки А и В твердого те­ла (рис.8). Скорости этих точек в данный момент обозначим соответственно   и   и предположим, что   не параллельно . Проведем через точки А и В плоскости  и , перпендикулярные соответственно к скорос­тям   и . Так как точка О неподвижна, на основании теоремы о проекциях скоростей концов отрезка на прямую, соединяющую эти точки, получим, что ско­рости точек А и В или равны нулю (тело неподвижно), или ,  . Следовательно, отрезки ОА и OB расположены в плоскостях   и . Поэтому плоскости  и , про­ходящие через точки О, пересекутся по некоторой прямой ОС. Выберем на этой прямой произвольную точку Р. На основании той же теоремы скорость точки Р должна быть одновременно перпендикулярна к пере­секающимся плоскостям   и , что невозможно, следовательно,   в данный момент времени. Так  как точка Р  выбрана произ­вольно, приходим к заключению, что скорости всех точек тела, распо­ложенных на прямой ОС, в данный момент равны нулю.

Ось ОР называют мгновенной осью вращения. Итак, при движении твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, в каждый данный момент существует мгновенная ось вращения, проходящая через эту неподвижную точку.

Отсюда следует, что движение твердого тела вокруг неподвижной точки можно представить себе как непрерывный ряд последовательных вращений вокруг мгновенных осей, проходящих через неподвижную точку.

3.3. Неподвижный   и подвижный аксоиды

Геометрическое место мгновенных осей вращения при движении тела об­разует в пространстве, связанном с неподвижной системой отсчета, ко­нус, называемый неподвижным аксоидом (рис. 9).

Кроме того, мгновенная ось вращения при движении тела изменяет свое положение в пространстве, связанном с телом, описывая коническую поверхность — подвижный аксоид.

Подвижный и неподвижный аксоиды имеют общую вершину в точке О, и в каждый момент времени мгновенная ось вращения является общей образующей для подвижного и неподвижного аксоидов (см. рис.9). Таким об­разом, подвижный аксоид   при движении тела будет катиться по неподвижному.

3.4. Мгновенная угловая скорость и мгновенное уг­ловое ускорение тела

Угловая скорость ,  с кото­рой происходит элементарный поворот тела вокруг мгновен­ной оси вращения,  называется мгновенной угловой скоростью. Условимся вектор    направлять по мгновенной оси вращения в ту часть пространства, откуда вращение тела видно против хода часовой стрелки (рис.10).

При  движении тела вектор  в общем случае изменяется со временем и по мо­дулю, и по направле­нию, т. е. . Будем называть век­тором углового ус­корения вектор, характеризующий из­менение в данное мгновение величины и направления угловой скорости тела

.                                                (19)

Направление вектора  совпадает с направлением касательной   к годографу вектора   (рис.10).

Вектор  будем также изображать отложенным от центра О.

3.5. Линейные скорости  точек тела при вращательном движении вокруг неподвижной точки

Картина распределения скоростей в теле с одной неподвижной точ­кой оказалась на данное мгновение такой же, как и в теле, вращающемся вокруг неподвижной оси. Следовательно, линейные скорости точек тела можно вычислить по векторной формуле Эйлера, только радиус-вектор каждой точки удобно проводить из неподвижной точки (рис.10)

.                                                    (20) 

Величина скорости v равна

,                                       (21)

где h – кратчайшее расстояние от данной точки до мгновенной оси.

Направлен вектор скорости точки M перпендикулярно к плоскости, в которой находятся векторы   и  в сторону вращения.

Из формулы (20) следует, что если , то

.

Применяя эту формулу последовательно к единичным векторам подвижных осей (), получим формулы, которые носят название формул Пуассона

                                            (22)

3.6. Линейные ускорения точек тела.

Пользуясь формулой Эйлера, найдем ускорение точки М (рис.11).

                          (23)

Ускорение  называют вращательным, а ускорение  — осестремительным ускорением.

Вектор     направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через точку М и вектор    так, как было бы направлено ускорение точки М, если тело вращалось бы вокруг оси, совпадающей с

;                    (24)

 — расстояние от точки до вектора .

Вектор   перпендикулярен одновременно к  и , т.е. направлен вдоль МС к оси вращения.

.                                         (25)

Пример. Круглый конус, высота которого равна h, а угол при вершине — , катится по горизонтальной плоскости без скольжения так, что его вершина О неподвижна, а центр основания С движется с постоянной по модулю скоростью   (на рис.12 показано осевое сечение конуса вертикальной плоскостью). Найти в данном положении  , а также скорость и ускорение точки   В   конуса.

Решение. При качении без скольжения скорости  всех точек образующей ОА равны в данный момент нулю, следовательно, ОА — мгновенная ось вращения. Поверхность конуса - подвижный аксоиод,  горизонтальная плоскость — неподвижный. Скорость  перпендикулярна плоскости треугольника , , предполагаем, что точка С движется к нам. Тогда вращение конуса вокруг мгновенной оси ОА происходит против хода часовой стрелки.

                                     (а)

Поскольку , вектор  изменяется только по направлению, вращаясь вокруг вертикали Oz с некоторой угловой скоростью . При этом  конец вектора  (точка К) описывает окружность радиуса ОК в плоскости xy (годограф ). Касательная к годографу вектора  перпендикулярна ОК. Следовательно, вектор  направлен по оси Ox

                                      (б)

Учитывая (а) и (б), получаем  .

Скорость точки В находим по формуле .

(Скорость точки В можно было найти из пропорции ).

Ускорение точки В вычисляем по формуле .

; 

; 

Векторы  лежат в плоскости сечения ОАВ, причем

.

Г л а в а II

ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ

§ 9. Поступательное движение твердого тела

Поступательным движением твердого тела называется такое его движение, при котором любая прямая, проведенная в теле, остается параллельной своему первоначальному положению во все время движения.

Теорема. При поступательном движении твердого тела все его точки дви­жутся по одинаковым и параллельным траекториям и имеют в каждый данный момент времени равные по модулю и направлению скорости и ускорения.

Доказательство. Для доказательства теоремы рассмотрим движение отрезка прямой , проведенного в теле, совершающем поступательное движение (рис. 2.10). Из определения поступа­тельного движения следует, что в каждый данный момент времени отрезок , занимающий последовательно положения , ,   и т.д., остается параллельным своему первоначальному положению. Учиты­вая это и то что , делаем вывод, что ломаные линии   и   параллельны и при на­ложении совпадут всеми своими точками. При бесконечном уменьшении про­межутков времени между рассматриваемыми по­ложениями отрезка мы видим, что точка   и точка   описывают одинаковые кривые, т. е. кривые, совпадаю­щие при наложении.

Для доказательства второй части теоремы заметим, что

.  (2.27)

Возьмем производные по времени от левой и правой частей

.

Так как , то .

Тогда

;

;  (2.28)

;

. (2.29)

Разобранная теорема позволяет сделать вывод, что поступательное движение твердого тела вполне определяется движением какой-либо одной его точки.

§ 10. Понятие о вращении твердого тела вокруг неподвижной оси

Вращением твер­дого тела вокруг неподвижной оси называется такое движение, при котором все его точки, лежащие на некоторой прямой, называемой осью вращения, все время остаются неподвижными.

Рассмотрим вращение твердого тела (рис. 2.11) вокруг оси, проходящей через две неподвижные точки   и . Проведем через ось   неподвижную полуплоскость   и движущуюся вместе с телом полуплоскость . Вращение тела будет определяться величиной дву­гранного угла   между по-луплоскостями   и . Угол   называется углом поворота. Условимся считать за положительное направление вращения тот случай, когда, смотря с заданного направления оси вращения, увеличение угла поворота наблюдается в сторону, противоположную движению часовой стрелки.

При вращении угол поворота   изменяется в зависимости от времени. Равенство:

 (2.30)

является уравнением вращения тела вокруг неподвижной оси. Оно позволяет определить положение тела в любой момент времени. Угол   в равенстве (2.30) выражается в радианах.

§ 11. Угловая скорость и угловое ускорение тела

 Предположим, что вращение тела вокруг неподвижной оси задано уравнением , из которого можно в момент времени   найти . Пусть через промежуток времени   после момента времени   ­угол   изменится на .

Отношение приращения угла поворота   к промежутку времени , за

который произошло это приращение, называется средней угловой скоростью

. (2.31)

Переходя к пределу при , можем записать

;

. (2.32)

Таким образом, угловая скорость тела в данный момент времени равна первой производной от угла поворота по времени. Угловая скорость измеряется в   и может быть как положительной, так и отрицательной. Угловая скорость   по­ложительна, если в данный момент вращение происходит против движения ча­совой стрелки, и отрицательна — в противоположном случае.

Зная зависи­мость угловой скорости   от времени , можно определить ее среднее прира­щение за единицу времени

.   (2.33)

Отношение приращения угловой скорости к приращению времени называется средним угловым ускорением.

Переходя к пределу при , записываем

;

.   (2.34)

Итак, угловое ускорение равно второй производной от угла поворота по времени или первой производной от угловой скорости по времени. Угловое

ускорение измеряется в .

§ 12. Угловая скорость и угловое ускорение как векторы

Угловую скорость и угловое ускорение твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, можно представить в виде векторов. Вектор угловой скорости   направлен по оси вращения тела в ту сторону, откуда вращение тела в дан­ный момент времени видно против хода часовой стрелки. По модулю этот вектор равен абсолютному значению . В качестве точки приложения вектора угловой скорости   может быть принята любая точка (вектор   есть вектор скользящий).

Вектор углового ус­корения   также лежит на оси вращения, совпадает по направлению с вектором угловой скорости   в случае ускоренного вращения (рис. 2.12, а) и направлен в противоположную сторону при замедленном вращении.

§ 13. Скорость и ускорение точки вращаю­щегося тела

 Возьмем в теле, вращающемся вокруг неподвижной оси, некото­рую точку , находящуюся на расстоянии   от оси вращения. При вращении тела точка   движется по окружности радиуса   (рис. 2.12, б). Поэтому при пово­роте тела на угол   точка   окажется на расстоянии   от своего на­чального положения. Дифференцируя это равенство по времени, получим

.

Таким образом,

, (2.35)

т. е. скорость любой точки вращающегося тела равна произведению расстояния от точки до оси вращения на угловую скорость. Так как скорость   направлена по касательной к окружности, по которой движется точка , а касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания, то вектор   скорости любой точки вращающегося тела направлен перпендикулярно к плоскости, проходящей через точку   и ось вращения. Ускорение точки   складывается из касательной и нормальной составляющих. Касательная составляющая ускорения направлена по одной прямой со скоростью и в ту же сторону, что и скорость, если движение уско­ренное, и в противоположную сторону, если движение замедленное. По фор­мулам (2.21), (2.34) и (2.35)

. (2.36)

Нормальная составляющая ускорения направлена от точки   к оси вращения. Так как радиус кривизны в данном случае равен радиусу окружности, которую описывает точка, то по формулам (2.22) и (2.25)

. (2.37)

Касательное и нормальное ускорения точки вращающегося тела называются иначе вращательным   и центростремительным   ускорениями.

 Модуль полного ускорения на основании формулы (2.23) будет равен:

.  (2.38)

Угол , который вектор полного ускорения   образует с радиусом ,

определяется равенством:

. (2.39)

§ 14. Векторные выражения скорости и ускорения точки

вращающегося тела

Проведем из произвольной точки   на оси вращения радиус-вектор   в рас­сматриваемую точку   тела (рис. 2.13). Тогда

,

поэтому

,

где символом   обозначено векторное произведение вектора угловой скорости   и радиуса-вектора . Вектор   перпендикулярен к плоскости, проходящей через точку   и ось вращения, и направлен в сторону вращения тела. Поэтому он совпадает с вектором скорости   как по величине, так и по направлению. Таким образом,

.   (2.40)

А так как

,

то

или

. (2.41)

Легко показать, что вектор   направлен по касательной к траектории точки в одну сторону со скоростью, если вращение ускоренное, и в противополож­ную сторону, если оно замедленное, а век­тор   направлен по радиусу к оси вра­щения. Поэтому первый из них есть вектор вращательного, а второй — центростреми­тельного ускорения точки:

; (2.42)

. (2.43)

Задача 2.6. Вал радиуса   приводится во вращение гирей, привешен­ной к нему на нити. Движение гири выражается уравнением , где   — расстояние гири от места схода нити с поверхности вала, выраженное в сантиметрах,   — время в секундах. Опреде­лить угловую скорость   и угловое ускоре­ние   вала, а также полное ускорение вала в момент времени   (рис. 2.14).

Решение. Рассмотрим движение точки схода нити с поверхности вала , которая принадлежит одновременно и нити и гири. Скорость точки , принадлежащей нити, равна скорости движения гири:

.

Скорость точки   , принадлежащей валу, равна

.

Следовательно,

.

Получили

.

Находим угловое ускорение вала

.

Тогда полное ускорение

.

Карта механики — Ориентация Угловое смещение Угловая скорость Угловое ускорение

При обсуждении твердых тел , которые могут как перемещаться, так и вращаться, нам нужно будет обсудить понятия ориентации , углового смещения , угловой скорости и углового ускорения , в дополнение к положению, смещению, скорости , и ускорение, чтобы полностью описать движение.

Ориентация

Концепция ориентации описывает, как тело повернуто в данный момент относительно заданной нейтральной ориентации. Наряду с позицией необходимо полностью определить местоположение твердого тела.

В двухмерных системах одного угла достаточно, чтобы полностью определить ориентацию.Однако в трехмерных системах для полного определения ориентации необходим набор из трех углов. Эти три угла обычно задаются как повороты вокруг каждой из трех координатных осей.

Угловое смещение

Угловое смещение — это просто изменение ориентации между двумя моментами времени. В двухмерных системах мы можем рассматривать это как более или менее скалярную величину (просто вращение по часовой стрелке или против часовой стрелки), но в трехмерных системах нам нужно будет рассматривать значение как векторную величину, описывающую угол поворота, а также угол поворота. оси, вокруг которой мы вращаем тело.

Угловая скорость

Угловая скорость твердого тела определяется как скорость изменения ориентации по сравнению со скоростью изменения времени.

Это векторная величина, указывающая как величину, так и направление вращения. Вектор угловой скорости совпадет с осью вращения, используя правило правой руки, чтобы определить направление вектора вдоль этой оси.

Если нас интересует средняя угловая скорость за некоторый заданный период времени, мы бы взяли изменение ориентации (то есть угловое смещение) за изменение во времени. 2}\]

Как и угловое смещение и угловая скорость, ускорение является векторной величиной, имеющей как величину, так и направление.Как и в случае с угловой скоростью, мы можем использовать правило правой руки для определения направления вектора углового ускорения.

6.1 Угол вращения и угловая скорость – Колледж физики

Резюме

• Задайте длину дуги, угол поворота, радиус кривизны и угловую скорость.
• Рассчитайте угловую скорость вращения колеса автомобиля.

В главе 2 «Кинематика» мы изучали движение по прямой и ввели такие понятия, как перемещение, скорость и ускорение.В главе 3 «Двумерная кинематика» речь шла о движении в двух измерениях. Движение снаряда — это частный случай двумерной кинематики, в котором объект проецируется в воздух, подвергаясь действию силы гравитации, и приземляется на расстоянии. В этой главе мы рассмотрим ситуации, когда объект не приземляется, а движется по кривой. Начнем изучение равномерного кругового движения с определения двух угловых величин, необходимых для описания вращательного движения.

Когда объекты вращаются вокруг некоторой оси — например, когда CD (компакт-диск) на рис. 1 вращается вокруг своего центра — каждая точка объекта движется по дуге окружности.Рассмотрим линию от центра компакт-диска к его краю. Каждая яма, используемая для записи звука вдоль этой линии, проходит под одним и тем же углом за одно и то же время. Угол поворота представляет собой величину поворота и аналогичен линейному расстоянию. Мы определяем угол поворота как отношение длины дуги к радиусу кривизны:

Длина дуги — это расстояние, пройденное по круговому пути, как показано на рисунке 2. Обратите внимание, что это радиус кривизны кругового пути.

Мы знаем, что для одного полного оборота длина дуги равна длине окружности радиуса Окружность окружности равна Таким образом, для одного полного оборота угол поворота равен

Этот результат является основой для определения единиц, используемых для измерения углов поворота, равных радианам (рад), определенных таким образом, что

Сравнение некоторых полезных углов, выраженных как в градусах, так и в радианах, показано в таблице 1.

Если тогда компакт-диск совершил один полный оборот, и каждая точка на компакт-диске вернулась в исходное положение. Поскольку в круге есть один оборот, соотношение между радианами и градусами, таким образом, равно

так что

Как быстро вращается объект? Мы определяем угловую скорость как скорость изменения угла.В символах это

где угловой поворот происходит за время Чем больше угол поворота за данный промежуток времени, тем больше угловая скорость. Единицами угловой скорости являются радианы в секунду (рад/с).

Угловая скорость аналогична линейной скорости Чтобы получить точное соотношение между угловой и линейной скоростью, мы снова рассмотрим ямку на вращающемся компакт-диске. Эта яма перемещается на длину дуги за время, поэтому ее линейная скорость равна

Отсюда мы видим, что Подставляя это в выражение для дает

Мы записываем это отношение двумя разными способами и получаем два разных понимания:

Первое соотношение в утверждает, что линейная скорость пропорциональна расстоянию от центра вращения, поэтому она наибольшая для точки на ободе (наибольшая), как и следовало ожидать. Мы также можем назвать эту линейную скорость точки на ободе тангенциальной скоростью . Второе соотношение можно проиллюстрировать, рассмотрев шину движущегося автомобиля. Обратите внимание, что скорость точки на ободе шины равна скорости автомобиля. См. рис. 4. Таким образом, чем быстрее движется автомобиль, тем быстрее вращается шина — большое значение означает большое, поскольку аналогично, шина большего радиуса, вращающаяся с той же угловой скоростью ( ), создает большую линейную скорость ( ) для автомобиля.

Оба и имеют направления (следовательно, они являются угловой и линейной скоростями , соответственно).Угловая скорость имеет только два направления относительно оси вращения — либо по часовой стрелке, либо против часовой стрелки. Линейная скорость касается траектории, как показано на рисунке 5.

ЭКСПЕРИМЕНТ ДЛЯ ДОМАШНИХ

Привяжите предмет к концу веревки и раскачивайте его по горизонтальному кругу над головой (раскачивая на запястье). Поддерживайте постоянную скорость при раскачивании объекта и измеряйте угловую скорость движения. Какова примерная скорость объекта? Определите точку рядом с вашей рукой и выполните соответствующие измерения, чтобы рассчитать линейную скорость в этой точке.Определите другие круговые движения и измерьте их угловые скорости.

ИССЛЕДОВАНИЯ PHET: РЕВОЛЮЦИЯ БОЖЬЕЙ КОРОВКИ

Присоединяйтесь к божьей коровке в исследовании вращательного движения. Вращайте карусель, чтобы изменить ее угол, или выберите постоянную угловую скорость или угловое ускорение.Изучите, как круговое движение связано с положением жука по осям x, y, скоростью и ускорением, используя векторы или графики.

Концептуальные вопросы

1: Существует аналогия между вращательными и линейными физическими величинами. Какие вращательные величины аналогичны расстоянию и скорости?

Задачи и упражнения

1: Полуприцепы имеют одометр на одной ступице колеса прицепа. Ступица утяжелена, чтобы не вращаться, но содержит шестерни для подсчета количества оборотов колеса — затем она рассчитывает пройденное расстояние.Если колесо имеет диаметр 1,15 м и совершает 200 000 оборотов, сколько километров должен показывать одометр?

2: Микроволновые печи вращаются со скоростью около 6 об/мин. Что это в оборотах в секунду? Какова угловая скорость в радианах в секунду?

3: Автомобиль с шинами радиусом 0,260 м проезжает 80 000 км, прежде чем они изнашиваются. Сколько оборотов делают шины, если не принимать во внимание заднее движение и изменение радиуса из-за износа?

4: а) Каков период обращения Земли в секундах? б) Какова угловая скорость Земли? (c) Учитывая, что Земля имеет радиус на экваторе, какова линейная скорость на поверхности Земли?

5: Бейсбольный питчер выносит руку вперед во время подачи, вращая предплечье вокруг локтя.Если скорость мяча в руке питчера 35,0 м/с, а мяч находится на расстоянии 0,300 м от локтевого сустава, какова угловая скорость предплечья?

6: В лакроссе мяч выбрасывается из сетки на конце клюшки путем вращения клюшки и предплечья вокруг локтя. Если угловая скорость мяча относительно локтевого сустава равна 30,0 рад/с, а мяч находится на расстоянии 1,30 м от локтевого сустава, какова скорость мяча?

7: Грузовик с 0. Шины с радиусом 420 м движутся со скоростью 32,0 м/с. Какова угловая скорость вращающихся шин в радианах в секунду? Что это в об/мин?

8: Интегрированные концепции

При ударе по футбольному мячу бьющий игрок вращает ногой вокруг тазобедренного сустава.

(a) Если скорость носка ботинка кикера составляет 35,0 м/с, а тазобедренный сустав находится на расстоянии 1,05 м от носка ботинка, какова угловая скорость носка ботинка?

(б) Башмак соприкасается с изначально неподвижным 0.Футбол 500 кг за 20,0 мс. Какая средняя сила действует на футбольный мяч, чтобы придать ему скорость 20,0 м/с?

(c) Найдите максимальную дальность полета мяча, пренебрегая сопротивлением воздуха.

9: Создайте свою собственную задачу

Рассмотрим аттракцион в парке развлечений, в котором участники вращаются вокруг вертикальной оси в цилиндре с вертикальными стенками. Как только угловая скорость достигает своего полного значения, пол опускается, и трение между стенами и наездниками препятствует их скольжению вниз. Составьте задачу, в которой вы вычисляете необходимую угловую скорость, которая гарантирует, что всадники не соскользнут со стены. Включите бесплатную схему тела одного гонщика. Среди переменных, которые следует учитывать, — радиус цилиндра и коэффициент трения между одеждой всадника и стеной.

Глоссарий

длина дуги

расстояние, пройденное объектом по круговой траектории

яма

крошечное углубление на спиральной дорожке, отформованной в верхней части поликарбонатного слоя компакт-диска

угол поворота

отношение длины дуги к радиусу кривизны на круговой траектории:

радиус кривизны

радиус кругового пути

радиан

единица измерения угла

угловая скорость

скорость изменения угла, с которым объект движется по круговой траектории

Решения

Задачи и упражнения

1:

723 км

3:

5:

117 рад/с

7:

8:

(а) 33. 3 рад/с

(б) 500 Н

(в) 40,8 м

Абсолютная угловая скорость – обзор

2 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Мы рассматриваем формирование микроспутников на низкоорбитальной орбите, используя описание, основанное на подходе следования за лидером. Математическая модель каждого члена формирования должна, следовательно, описывать положение системы отсчета { B }, закрепленной на корпусе транспортного средства, по отношению к соответствующим образом определенной орбитальной системе отсчета { O } и положение { B } в другую, возможно совпадающую с { O }, вращающуюся вокруг системы отсчета { C } (рис.1). Предполагается, что центр последнего находится в точке орбиты, предназначенной для формирования центра (виртуального спутника). В этой статье система отсчета центра формации { C } выбрана с первой осью в направлении, противоположном центру Земли. Предполагается, что вторая ось совмещена с орбитой, а третья ось завершает набор ортонормированных вправо ориентированных версоров. Более того, предполагается отсутствие вращательного движения { O } в { C }.

Рис. 1. Системы отсчета.

Мы представили линейную модель положения каждого члена флота в (Bacconi et al. , 2004) с помощью углов Эйлера θ _i , описывающих ориентацию { O } в каркас тела { B } (Сиди, 1997), при гипотезе малоугловых маневров. Следуя той же процедуре, абсолютная угловая скорость { B } может быть переписана как сумма скорости { B } по отношению к { O } и скорости { O } по отношению к ECI, определяемый как ω ^o  = [0, 0, ω ₀ ]’ (все переменные выражены в координатах { B }):

ωb=ωbo+ωo=ωbo+ωo= «O ‘+ ωo’o + ωo

с o ‘ и o » Опорные рамки, полученные из o после последовательности вращений углов θ θ и θ ₂ , соответственно.С помощью матрицы вращения ℛ ^bo , что приводит к { O } совпадающему с { B }, получаем (Bacconi et al. , 2004)

(3)ωbo=2 +c2c3θ˙1,c3θ˙2−c2s3θ˙1,θ˙3+s2θ˙1

Для краткости мы заменили sin( θ _i ) = s _i

и 80 cos7(6 и 80 cos7 ) =  c _i . Кроме того, ω ^o также необходимо выразить в координатах тела.По этому поводу обратите внимание, что ω ^o  =  ω ^c . Следовательно,

ωo = ℛboℛoc⋅0,0, ω0 ‘

с ℛ ^bo и ℛ ^oC Два матрица вращения, которые проводят { C }, совпадающие с { o }, а затем { O } совпадает с { B }. Теперь, поскольку скорость ω _o { C } в ECI и положение { O } в { C } считаются постоянными и известными, мы можем определить угловую скорость { C } в { o } координаты как

ωr = ℛoc⋅00ω0 ‘

, следовательно,

ωo = ℛboΩr = ℛbo⋅ωr1ωr2ωr3′

следует, что Ω ^O соответствует:

(2 ) C2C3ωR1 + C1S3 + S1S2C3ωR2 + S1S3-C1S2C3ωR3-C2S3ωR1 + C1C3-S1S2S3ω1 + S1C3 + C1S2S3ωR1 + S1C3 +-S1C2ωR2 + C1C2ωR3

Наконец, добавление (1) и (2), принимая первое производное Ω ^B и замена в известные уравнения Эйлера, приводит к нелинейной модели θ¨=fθθ˙ωRτ. Мы не предполагаем малого углового отклонения между центром образования { C } и { B }. С другой стороны, мы допускаем небольшие углы между { O } и { B }, чтобы описать все возможные положения члена флота с подходящим набором кадров { O _i }. Как будет описано в разд. 5, это позволяет решить всю проблему в гибридной среде. Таким образом, учитывая cos( θ _i ) ≃ 1, sin( θ _i ) ≃ θ _i , и пренебрегая нелинейными членами, уравнения Эйлера ωr32-ωr22j1θ1 + Ωr31 + j1θ˙2 + ωr1ωr2j1θ2 + ωr2j1-1θ˙3-ωr1ωr3j1θ3-ωr1ωr3j1θ3 + τ1 + m1θ¨2 = ωr3j2-1θ1- ωr1ωr2j2θ1 + ωr12-ωr32j2θ2 + ωr11 + j2θ˙3 + ωr2ωr3j2θ3 + τ2 + m2θ¨ 3 = ωr21 + j3θ˙1 + ωr1ωr3j3θ1 + ωr1j3-1θ˙2-ωr2ωr3j3θ2 + ωr222-Ωr12j3θ3 + τ3 + M3

где J _I = ( I _J — I _K ) / I _I ( I, J, K ∈ 3 , I ≠ j ≠ K и I _I — это основные моменты инерции космического корабля).

Его можно переписать более компактно, что будет полезно в дальнейшем, как Космический вектор, соответствующий углам Эйлера, τ = [ τ τ τ 3 2 τ ₃ ] ‘Как вектор управления вектором и м = [ м ₁ M ₂   M ₃ ]′ как вектор возмущающих моментов.

Далее рассмотрим модель положения каждого члена формации. Мы учитываем парки микроспутников на низких орбитах и ​​в непосредственной близости. Таким образом, движение каждого космического корабля относительно центра образования можно описать уравнениями Хилла (Сиди, 1997; Тиллерсон, и др., , 2002). Они состоят в следующей линейной модели: это масса спутника.Для простоты, действуя, как указано выше, суммируем (5) в уравнении пространства состояний

(6)p˙=Φpp+Gpf+n

, где p=p˙1p1p˙2p2p˙3p3′ — вектор пространства состояний, соответствующий Относительные координаты спутника, F = [ F _{1 F 9004 F F 9004 F 3 ] ‘являются силами привода, действующие вдоль положительных осей и N = [ n 1   n 2   n 3 ]′ – компоненты возмущающих сил.}

Стоит отметить, что здесь, при допущении малых перемещений между { B } и { O }, нет никакой разницы в представлении входов и возмущений ни в телесных, ни в орбитальных координатах. Кроме того, мы пренебрегаем влиянием компонент p ₁ ≠ 0 на угловую скорость. Следовательно, ω ₀ предполагается постоянным.

Физика – Кинематика – Угловая скорость

Резюме

Когда мы работаем в двухмерной плоскости, мы можем представить угловую скорость одним числом.В трех измерениях мы можем представить угловую скорость как трехмерную векторную величину (w _x , w _y , w _z ). В этой форме угловые скорости можно комбинировать с помощью сложения векторов.

Это отличается от конечных вращений (как описано на этой странице), которым нужны дополнительные измерения, чтобы избежать сингулярностей и правильно комбинировать конечные вращения.

Двухмерный корпус

С линейным движением все относительно просто, мы просто используем v = dx/dt, скорость ‘v’ — это скорость изменения расстояния во времени, мы рассматриваем это как то же самое, что и dx/dt

Если мы работаем в двух измерениях, мы можем определить угловую скорость ‘w’ аналогичным образом:

w = угол d/dt

Другими словами, если мы измеряем угловую скорость движущейся точки, то это скорость изменения угла, который она образует, по сравнению с некоторым опорным направлением. Конечно, это будет зависеть от точки, от которой мы измеряем угол. В некоторых случаях это легко понять, например, если мы измеряем угловую скорость твердого тела, вращающегося вокруг своего центра масс, то мы обычно измеряем угол некоторой точки относительно центра масс. Однако не всегда очевидно, откуда мы измеряем, поэтому мы должны быть осторожны, определяя его.

Скорость тела ()

Для трехмерного твердого тела это скорости вращения, которые могут быть измерены с помощью гироскопов скорости, когда их оси измерения выровнены с соответствующими осями координат тела; они также могут быть рассчитаны из динамических уравнений движения.

Угловая скорость может быть задана трехмерным вектором:

Компоненты этого вектора представляют собой векторную сумму:

• w _x : скорость изменения угла (в радианах) относительно абсолютной координаты x.
• w _y : скорость изменения угла (в радианах) относительно абсолютной координаты y.
• w _z : скорость изменения угла (в радианах) относительно абсолютной координаты z.

w _x ,w _y и w _z не зависят друг от друга, поэтому угловые скорости могут быть добавлены, если это необходимо, без каких-либо проблем связаны с углами Эйлера. Это потому, что мы добавляем бесконечно малые углы которые обладают теми же свойствами, что и векторы. Видеть этот пример, который включает добавление угловых скоростей.

Коэффициенты Эйлера

Коэффициенты Эйлера — это то, что мы получаем, когда дифференцируем углы Эйлера, например:

д рубрика/д т
д отношение / д т
д банка/д т

На первый взгляд может показаться, что скорости Эйлера такие же, как скорости тела, описанные выше, однако это не так.Если твердый объект вращается с постоянной скоростью, то скорость его тела (w _x , w _y , w _z ) будет постоянной, однако эйлеровы скорости будут все время меняться в зависимости от некоторой триггерной функции мгновенный угол между телом и абсолютными координатами. Таким образом, коэффициенты Эйлера очень запутаны, у них есть особенности, и они не имеют большого практического применения.

Таким образом, основная причина упоминания коэффициентов Эйлера здесь состоит в том, чтобы провести различие с коэффициентами тела и предупредить людей, чтобы они избегали использования коэффициентов Эйлера.

Представление угловой скорости с помощью Axis-Angle

См. эту страницу для обозначения оси-угла для конечных поворотов.

Представьте себе твердый объект, который одновременно вращается вокруг осей x, y и z, угловая скорость относительно этих осей равна w _x , w _y и w _z . Это вращение также может быть представлено одним вращением вокруг оси (ш _x , ш _г , ш _г) .

• угловая скорость = d угол/d t = |w(t)| = √(w _x ² +w _y ² +w _z ² ).
• нормализованная ось = (w _x , w _y , w _z )/ |ш(т)|

Угол оси применим только для таких непрерывных вращений, когда вращение происходит только вокруг оси, в этом случае вращение происходит в одной плоскости, и это эквивалентно случаю 2D, другими словами, ось представляет плоскость 2D, в которой мы работаем в.

На самом деле мы не можем использовать угол оси для объединения угловых скоростей в разных направлениях.

Дифференцирование матриц вращения и кватернионов

Когда мы работаем с матрицами или кватернионами, уравнение усложняется: 

• для матриц это: [d R(t) / dt] = [~w]*[R(t)]
• для кватернионов это: d q(t) /dt = ½ * W(t) q(t)

Эти уравнения доказаны и определены ниже на этой странице.

Каковы более глубокие причины этой дополнительной сложности. Я думаю, что это связано с этими факторами:

• Это величины, изменяющиеся во времени, конечно, v = dx/dt также работает для величин, изменяющихся во времени, но, по крайней мере, если у нас есть постоянная скорость (и, следовательно, постоянный линейный импульс), тогда dx/dt будет постоянным. Но если [R(t)] представляет собой ориентацию объекта, вращающегося с постоянной угловой скоростью (и постоянным угловым моментом), то [d R(t)/dt] все равно будет меняться со временем, но [~w] и W(t ), используемые в приведенных выше уравнениях, не будут меняться со временем и, следовательно, являются лучшим представлением угловой скорости.
• Дифференцирование связано с операцией сложения, но повороты комбинируются с использованием матричного умножения, а не сложения. Когда я говорю «дифференцирование связано с операцией сложения», я имею в виду: когда мы прибавляем маленькое приращение ко времени, мы получаем малое приращение к расстоянию, дифференцирование есть предел при этих прибавлениях. Итак, существует ли математическая теория, которая связывает небольшие инкрементальные умножения с обычным дифференцированием?

Даже если мы используем матрицы или кватернионы для представления трехмерных ориентаций и вращений, когда мы переводим их в угловые скорости, мы, вероятно, захотим выразить их в виде трехмерных векторов.Значения W(t) и [~w] в приведенных выше уравнениях могут быть легко преобразованы в трехмерные векторы, W(t) уже фактически является трехмерным вектором, а кососимметричная матрица [~w] имеет все элементы трехмерного вектора. .

Причиной выражения угловых скоростей в терминах трехмерных векторов является то, что часто допустимо комбинировать угловые скорости путем добавления их трехмерных векторов. Таким образом, свойства угловых скоростей совершенно отличны от свойств конечных вращений.

Угловая скорость частицы

Здесь мы получаем значения вращения от точечной массы (частицы).Смысл масса не обязательно вращается вокруг своей оси (хотя могла бы, субатомная частицы имеют спин). Нас здесь интересует вклад частица к вращательным свойствам большей массы вокруг некоторой фиксированной точки. Для дальнейшего объяснения попробуйте прочитать числовой методы.

Рассмотрим точку массы в . Его линейная скорость является векторным произведением его угловой скорости относительно и его расстояния от .

dP = r dθ

Таким образом, дифференцирование обеих сторон по времени и представление в векторе обозначение с перпендикуляром к обоим и ( находится за пределами экрана/бумаги по направлению к зрителю, обратите внимание, что мы используем правое ручная система координат и правая ручная линейка для положительного направления вращения)

= ×

Таким образом, скорость вращения точки не является абсолютной величиной, а зависит в какой точке измеряется вращение.Также частица не должен двигаться по кругу, чтобы иметь угловую скорость, он может иметь ненулевая угловая скорость о , даже если частица движется прямолинейно, при условии, что она не находится на этой прямой.

Угловая скорость твердого объекта()

На следующих страницах будут получены величины для конечного твердого тела. тел путем интегрирования по объему. Большинство этих величин являются векторами размерности 3, которая имеет компонент в направлениях x, y и z.Для обозначения векторную величину мы показываем стрелкой над величиной, для получения дополнительной информации о векторах см. здесь.

Рассмотрим точку массы в . Его линейная скорость является векторным произведением его угловой скорости относительно и его расстояния от .

Как видно из раздела «Угловая скорость частицы», угловая скорость зависит от точки, вокруг которой мы измеряем вращение. Так для твердого тела угловая скорость всех частиц, от которых он состоит, разные.

Только когда мы измеряем вращение вокруг центра вращения, поворот всех точек на объекте одинаковый. Итак, по этой причине, когда мы говорят об угловой скорости твердого тела, мы имеем в виду угловую скорость относительно его центра вращения.

Если объект движется в свободном пространстве без внешних сил или крутящих моментов на нем, то он будет вращаться вокруг своего центра масс. Таким образом, мы можем представить полное мгновенное движение твердого тела за счет комбинации линейной скорости своего центра масс и вращения вокруг своего центра масс.

Вектор угловой скорости W(t) может быть получен из углового положения как функции времени с использованием различных обозначений:

Эти выражения получены позже на этой странице.

На страницах о кинематике положение неограниченное твердое тело было представлено 6-мерным вектором следующим образом:

Дополнительная информация об угловой скорости.

Представление угловой скорости с использованием матриц

Для получения информации о дифференцировании матрицы см. эту страницу.

Мы уже видели, что трехмерного вектора достаточно для хранения всех необходимых информацию об угловой скорости. Однако могут быть ситуации, когда мы может захотеть сохранить эту информацию в матрице. В этом случае мы можем использовать следующая матрица:

Эта матрица угловой скорости связана с дифференциалом матрицы вращения следующим образом:

[~w] = [ d T(t) / dt] [T(t)] ^-1

Марк Иоффе любезно прислал мне вывод, который я адаптировал для использования обозначений, используемых на этом сайте.

Пусть X(t) представляет любую точку на твердом теле как вектор от начала координат и пусть:

Х(т) = [Т(т)] Х(0)

дифференцирование этого уравнения дает линейную скорость точки твердого тела:

v(t) = d X (t) / dt = [ d T (t) / dt] X (0)

, так как X(0) не является функцией времени.

Обращение первого уравнения дает:

Х(0) = [Т(т)] ^-1 Х(т)

, поэтому их объединение дает:

v(t) = [ d T(t) / dt] [T(t)] ^-1 X(t)

Из начала этой страницы мы знаем, что v(t) = w × X(t)

Мы можем преобразовать это выражение перекрестного произведения в эквивалентное матричное выражение, заменив вектор w эквивалентной матрицей [~w], известной как кососимметричная или антисимметричная матрица. который связан с вектором ω следующим образом:

Объединение этих выражений для v(t) дает:

[~w] X(t) = [d T(t) / dt] [T(t)] ^-1 X(t)

удаление X(t) с обеих сторон превращает это в матричное выражение для w:

[~w] = [ d T(t) / dt] [T(t)] ^-1

Для получения дополнительной информации об этом см. здесь.

Представление угловой скорости с помощью кватернионов

Для получения информации о дифференцировании кватерниона см. эту страницу.

Если объект вращается, то кватернион, представляющий его ориентацию, будет функцией времени, поэтому мы обозначаем его q(t). Дифференциация этого дается:

d q(t) /dt = 1/2 * W(t) q(t)

Вывод этого любезно прислал мне Марк Иоффе здесь: pdf файл

Это расширяется с помощью правила умножения кватернионов:

dq ₀ (t) / dt = − 1/2* (W _x (t) q ₁ (t) + W _y (t) q ₂ (t) + W _z (т) q ₃ (т))
dq ₁ (t) / dt = 1/2* (W _x (t) q ₀ (t) + W _y (t) q ₃ (t) − W _z ( т) q ₂ (т))
dq ₂ (t) / dt = 1/2* (W _y (t) q ₀ (t) + W _z (t) q ₁ (t) − W _x ( т) q ₃ (т))
dq ₃ (t) / dt = 1/2* (W _z (t) q ₀ (t) + W _x (t) q ₂ (t) − W _y ( т) q ₁ (т))

Что я действительно хочу сделать, так это показать простой способ переключения между использованием кватернионов для представления ориентации и векторов для представления угловой скорости.Я думаю, что это так, но было бы понятнее перевернуть пример, т. е.