От чего зависит амплитудное значение угловой скорости: страница не найдена — Кафедра общей физики

Глава 11. Механические колебания и волны

Колебательным называется любое периодически повторяющееся движение. Поэтому зависимости координаты и скорости тела от времени при колебаниях описываются периодическими функциями времени. В школьном курсе физики рассматриваются такие колебания, в которых зависимости и скорости тела представляют собой тригонометрические функции , или их комбинацию, где — некоторое число. Такие колебания на-зываются гармоническими (функции и часто называют гармоническими функциями). Для решения задач на колебания, входящих в программу единого государственного экзамена по физике, нужно знать определения основных характеристик колебательного движения: амплитуды, периода, частоты, круговой (или циклической) частоты и фазы колебаний. Дадим эти определения и свяжем перечисленные величины с параметрами зависимости координаты тела от времени , которая в случае гармонических колебаний всегда может быть представлена в виде

где , и — некоторые числа.

Амплитудой колебаний называется максимальное отклонение колеблющегося тела от положения равновесия. Поскольку максимальное и минимальное значение косинуса в (11.1) равно ±1, то амплитуда колебаний тела, совершающего колебания (11.1), равна величине . Период колебаний — это минимальное время, через которое движение тела повторяется. Для зависимости (11.1) период можно установить из следующих соображений. Косинус — периодическая функция с периодом . Поэтому движение полностью повторяется через такое значение , что . Отсюда получаем

Частотой колебаний тела называется число колебаний, совершаемых в единицу времени. Очевидно, что частота колебаний связана с периодом колебаний по формуле

Круговой (или циклической) частотой колебаний называется число колебаний, совершаемых за единиц времени. Из формулы (11.3) заключаем, что круговой частотой является величина из формулы (11.1).

Фазой колебаний называется аргумент тригонометрической функции, описывающей зависимость координаты от времени. Из формулы (11.1) видим, что фаза колебаний тела, движение которого описывается зависимостью (11.1), равна . Значение фазы колебаний в момент времени = 0 называется начальной фазой. Для зависимости (11.1) начальная фаза колебаний равна величине . Очевидно, начальная фаза колебаний зависит от выбора начала отсчета времени (момента = 0), которое всегда является условным. Изменением начала отсчета времени начальная фаза колебаний всегда может быть «сделана» равной нулю, а синус в формуле (11.1) «превращен» в косинус или наоборот.

В программу единого государственного экзамена входит также знание формул для частоты колебаний пружинного и математического маятников. Пружинным маятником принято называть тело, которое может совершать колебания на гладкой горизонтальной поверхности под действием пружины, второй конец которой закреплен (левый рисунок). Математическим маятником называется массивное тело, размерами которого можно пренебречь, совершающее колебания на длинной, невесомой и нерастяжимой нити (правый рисунок). Название этой системы – «математический маятник» связано с тем, что она представляет собой абстрактную математическую модель реального (физического) маятника. Необходимо помнить формулы для периода (или частоты) колебаний пружинного и математического маятников. Для пружинного маятника

где — коэффициент жесткости пружины, — масса груза. Период колебаний математического маятника определяется следующим соотношением

где — длина нити, — ускорение свободного падения. Рассмотрим применение этих определений и законов на примере решения задач.

Чтобы найти циклическую частоту колебаний груза в задаче 11.1.1 найдем сначала период колебаний, а затем воспользуемся формулой (11.2). Поскольку 10 м 28 с — это 628 с, и за это время груз совершает 100 колебаний, период колебаний груза равен 6,28 с. Поэтому циклическая частота колебаний равна 1 c^-1 (ответ 2). В задаче 11.1.2 груз за 600 с совершил 60 колебаний, поэтому частота колебаний — 0,1 с^-1 (ответ 1).

Чтобы понять, какой путь пройдет груз за 2,5 периода (задача 11.1.3), проследим за его движением. Через период груз вернется назад в точку максимального отклонения, совершив полное колебание. Поэтому за это время груз пройдет расстояние, равное четырем амплитудам: до положения равновесия — одна амплитуда, от положения равновесия до точки максимального отклонения в другую сторону — вторая, назад в положение равновесия — третья, из положения равновесия в начальную точку — четвертая. За второй период груз снова пройдет четыре амплитуды, а за оставшиеся половину периода — две амплитуды. Поэтому пройденный путь равен десяти амплитудам (ответ 4).

Величина перемещения тела — расстояние от начальной точки до конечной. За 2,5 периода в задаче 11.1.4 тело успеет совершить два полных и половину полного колебания, т.е. окажется на максимальном отклонении, но с другой стороны от положения равновесия. Поэтому величина перемещения равна двум амплитудам (ответ 3).

По определению фаза колебаний — это аргумент тригонометрической функции, которой описывается зависимость координаты колеблющегося тела от времени. Поэтому правильный ответ в задаче 11.1.5 — 3.

Период — это время полного колебания. Это значит, что возвращение тела назад в ту же точку, из которой тело начало движение, еще не означает, что прошел период: тело должно вернуться в ту же точку с той же скоростью. Например, тело, начав колебания из положения равновесия, за период успеет отклониться на максимальную величину в одну сторону, вернуться назад, отклонится на максимум в другую сторону и снова вернуться назад. Поэтому за период тело успеет два раза отклониться на максимальную величину от положения равновесия и вернуться обратно. Следовательно, на прохождение от положения равновесия до точки максимального отклонения (задача 11.1.6) тело затрачивает четвертую часть периода (ответ 3).

Гармоническими называются такие колебания, при которых зависимость координаты колеблющегося тела от времени описывается тригонометрической (синус или косинус) функцией времени. В задаче 11.1.7 таковыми являются функции и , несмотря на то, что входящие в них параметры обозначены как ² и ². Функция же — тригонометрическая функция квадрата времени. Поэтому гармоническими являются колебания только величин и (ответ 4).

При гармонических колебаниях скорость тела изменяется по закону , где — амплитуда колебаний скорости (начало отсчета времени выбрано так, чтобы начальная фаза колебаний равнялась бы нулю). Отсюда находим зависимость кинетической энергии тела от времени (задача 11.1.8). Используя далее известную тригонометрическую формулу, получаем

Из этой формулы следует, что кинетическая энергия тела изменяется при гармонических колебаниях также по гармоническому закону, но с удвоенной частотой (ответ 2).

За соотношением между кинетической энергий груза и потенциальной энергией пружины (задача 11.1.9) легко проследить из следующих соображений. Когда тело отклонено на максимальную величину от положения равновесия, скорость тела равна нулю, и, следовательно, потенциальная энергия пружины больше кинетической энергии груза. Напротив, когда тело проходит положение равновесия, потенциальная энергия пружины равна нулю, и, следовательно, кинетическая энергия больше потенциальной. Поэтому между прохождением положения равновесия и максимальным отклонением кинетическая и потенциальная энергия один раз сравниваются. А поскольку за период тело четыре раза проходит от положения равновесия до максимального отклонения или обратно, то за период кинетическая энергия груза и потенциальная энергия пружины сравниваются друг с другом четыре раза (ответ 2).

Амплитуду колебаний скорости (задача 11.1.10) проще всего найти по закону сохранения энергии. В точке максимального отклонения энергия колебательной системы равна потенциальной энергии пружины , где — коэффициент жесткости пружины, — амплитуда колебаний. При прохождении положения равновесия энергия тела равна кинетической энергии , где — масса тела, — скорость тела при прохождении положения равновесия, которая является максимальной скоростью тела в процессе колебаний и, следовательно, представляет собой амплитуду колебаний скорости. Приравнивая эти энергии, находим

(ответ 1), где использовано выражение для круговой частоты колебаний груза на пружине:

По формуле (11.4) получаем в задаче 11.2.1

(ответ 4).

Из формулы (11.5) заключаем (задача 11.2.2), что от массы математического маятника его период не зависит, а при увеличении длины в 4 раза период колебаний увеличивается в 2 раза (ответ 1).

Часы — это колебательный процесс, который используется для измерения интервалов времени (задача 11.2.3). Слова часы «спешат» означают, что период этого процесса меньше того, каким он должен быть. Поэтому для уточнения хода этих часов необходимо увеличить период процесса. Согласно формуле (11.5) для увеличения периода колебаний математического маятника необходимо увеличить его длину (ответ 3).

Чтобы найти амплитуду колебаний в задаче 11.2.4, необходимо представить зависимость координаты тела от времени в виде одной тригонометрической функции. Для данной в условии функции это можно сделать с помощью введения дополнительного угла. Умножая и деля эту функцию на и используя формулу сложения тригонометрических функций, получим

где — такой угол, что . Из этой формулы следует, что амплитуда колебаний тела — (ответ 4).

В задаче 11.2.5 имеем при см. Откуда см (ответ 2).

Задачи 11.2.6 и 11.2.7 посвящены механическим волнам. Волна – некоторый колебательный процесс, который может распространяться в среде. При этом каждая точка среды совершает колебания около определенного положения и в среднем не перемещается в пространстве. Волна характеризуется периодом (или связанной с ним частотой ), скоростью и длиной волны , которая определяется как минимальное расстояние между точками, колеблющимися в одинаковой фазе. Для решения задач ЕГЭ по этой теме необходимо помнить формулу, дающую связь между параметрами волны

которую легко запомнить, поскольку эта связь имеет такой же вид как обычное соотношение между расстоянием, скоростью и временем. Например, в задаче 11.2.6 по формуле (11.6) находим длину волны м (ответ 2).

Как следует из рисунка в задаче 11.2.7 длина волны, распространяющейся по шнуру, равна м. Поэтому по формуле (11.6) имеем Гц (ответ 4).

Поскольку в момент максимального отклонения пружинного маятника, механическая энергия системы равна потенциальной энергии пружины, то

где — амплитуда колебаний, — жесткость пружины. Поэтому при увеличении механической энергии пружинного маятника в 2 раза амплитуда колебаний увеличилась в раз (задача 11.2.8 – ответ 1).

Используя известную тригонометрическую формулу, получим в задаче 11.2.9

Эта зависимость представляет собой гармоническую функцию, но колеблющуюся вокруг точки . Амплитудой этих колебаний является множитель перед косинусом — (так как сам косинус меняется в интервале от -1 до 1). Циклической частотой — величина (ответ 4).

Вертикальный пружинный маятник отличается от горизонтального (задача 11.2.10) наличием силы тяжести. Однако сила тяжести приводит только к сдвигу положения равновесия маятника, а возвращающая сила по прежнему будет зависеть от смещения маятника от положения равновесия по закону (так как возвращающей силой будет разность силы упругости и постоянной силы тяжести). Поэтому период колебаний груза на вертикальной и горизонтальной пружине — одинаков (конечно, при условии, что и сам груз и пружины одинаковы). Правильный ответ в задаче — 3.

Точно в цель. Точно ли?

Что же именно во всех устройствах — от телефона, наземного транспорта, различных летательных объектов до специальных изделий, улетающих в заоблачные дали — отвечает за определение собственного положения в пространстве? Это — инерциальные системы отсчёта. Инерциальная навигация — определение координат и параметров движения различных объектов: судов, самолетов, ракет и управления их движением, которое основано на свойствах инерции тел, являющихся автономными, т. е. не требующими внешних ориентиров или поступающих извне сигналов. Неавтономные методы решения задач навигации основаны на использовании внешних ориентиров или сигналов, например, звезд, маяков, радиосигналов. Эти методы, в принципе, просты, но в ряде случаев не могут применяться из-за отсутствия видимости или наличия помех для радиосигналов.

Необходимость создания автономных навигационных систем и стала причиной возникновения инерциальной навигации. И не важно, каков принцип их действия, имеют ли они гиростабилизированную платформу (ПИНС) или являются бесплатформенными (БИНС) — все они требуют настройки и проверки при выпуске. От их точности зависит точность определения собственных координат, что позволяет самолёту выполнить посадку в автоматическом режиме, беспилотному летательному аппарату облететь назначенный район, а боевой части поразить цель.

Так как же в современной промышленности решается задача обеспечения точности таких систем?

С точки зрения теории и разработки подобных систем всё уже придумано более 100 лет назад, например, применяются волоконно-оптические гироскопы при построении БИНС, принцип действия которых основан на эффекте Саньяка, описанном в 1913 году, и останется лишь воплотить в жизнь алгоритмы и наработки, используя современную элементную базу и технологии.

Вопросы производства и технологии стоят на первом месте. При производстве высокоточной механики применяются компьютеризированные обрабатывающие центры, электронные части проходят многоступенчатую проверку, начиная от электротермотренировки некорпусированных кристаллов и заканчивая термоциклированием готовых блоков. Технология позволяет осуществить сборку и настройку готовых систем на соответствующем оборудовании. И наконец, после настройки провести приемо-сдаточные испытания (ПСИ). На этом последнем этапе используется специальное оборудование — системы пространственного позиционирования (моделирования движения): одноосные, двухосные, трехосные РИС 1. От их качества и точности зависит итоговый результат испытаний.

Для современных БИНС и датчиков точность вчерашнего дня в одну-две угловых минуты считается приговором — такие приборы не найдут покупателя на рынке. Требуемая точность готовых изделий не должна превышать 10 угловых секунд. Здесь нужно вспомнить о такой науке как метрология, которая говорит, что для получения 10 угловых секунд точности для готового изделия необходимо проводить его настройку и ПСИ на оборудовании, точность которого не менее трех угловых секунд или в три раза точнее.

Где их взять? Как проверить? Давайте разберемся.

Производителей систем пространственного позиционирования по всему миру менее 10. Но ведь система системе рознь. Все производители, и это относится к любой технике, преувеличивают достоинства и молчат о недостатках, готовы заявить то, что нельзя проверить. Основными характеристиками систем пространственного позиционирования являются точность позиционирования (точность угла поворота), повторяемость, стабильность, точность угловой скорости, для многоосных систем еще и ортогональность осей и, конечно, плоскостность рабочего стола.

Проверка характеристик оборудования, применяемого для технологических операций, должна быть проведена в соответствии с ГОСТ РВ 0015-002-2012 в процессе проверки на технологическую точность. А проверка характеристик оборудования, применяемого при испытаниях (в том числе при ПСИ), должна быть подтверждена при аттестации по ГОСТ 0008-002-2013. Что происходит на практике: оборудование, производимое за рубежом, проверяется на заводах-изготовителях по своим внутренним регламентам. Конечно, они близки к тем методам и подходам, которые применяются и у нас, физические процессы обойти невозможно. Но в последнее время уверенность в том, что «иностранные» цифры, записанные в протоколах заводской калибровки, соответствуют реальности — значительно уменьшилась.

Выход есть. В нашей стране имеются не только поставщики, но и экспертные организации, которые могут проверить любой стенд на соответствие заявленным параметрам. К сожалению, значительная часть предприятий, занимающихся выпуском инерциальных систем, использует европейские системы пространственного позиционирования, не убедившись в их точности. Настройку и сдачу продукции проводят, ориентируясь на точности, указанные производителем в паспорте. Причина этого в отсутствии необходимых средств измерений и желания провести всестороннюю проверку. На практике ни один стенд пространственного позиционирования не выдает заявленных точностей без соответствующей настройки на месте эксплуатации и проверки. Дело здесь в разнице подходов. Простой пример: в документации указана точность позиционирования ±1 угловая секунда, мы сразу же представляем себе идеальную картину РИС 2, что это амплитудное значение отклонения угла от заданного «нулевого отклонения». Но это не так: у европейских производителей этот параметр показывает относительное смещение угла. Важно лишь, что отклонение от среднего не превысит одной угловой секунды РИС 3.

Есть ещё более популярный способ ввести потребителя в заблуждение — указать специфические параметры точности позиционирования в виде RSS (root of sum of square, корень квадратный из суммы квадратов СКЗ двух измерений), что по сути в несколько раз отличается от амплитудного значения отклонения. Это очень «удобный» для производителя показатель, за которым может скрываться большая величина реального отклонения, показанная на РИС 1 как амплитудное (или размах), что является важным при настройке БИНСов. Это всего лишь пример того, как разница в подходах указания параметров стендов имитации движения (систем пространственного позиционирования) без проверки и подтверждения на месте установки может повлиять на результат.

Конечно, никому не нужно объяснять, к чему приведет слепое доверие этим цифрам при настройке и сдаче реальных БИНС. Точность окажется не нашим преимуществом, и её недостаток нельзя компенсировать ни одним другим техническим способом, что обернётся невозможностью выполнить поставленную задачу в автоматическом режиме. Выход один — никогда не верить на слово и всегда подтверждать заявленные точности при аттестации или проверке на технологическую точность аттестованными методами и с применением внесенных в единый информационный фонд средств измерений (СИ): многогранной призмы, автоколлиматора, уровней и других вспомогательных СИ. Но и здесь нас ожидают открытия, например, настройки всех иностранных систем пространственного позиционирования (стендов имитации движения) производятся с применением 8- и 12-гранных призм, потому что других у них не существует. А отечественными методиками для получения достоверных подтвержденных результатов предусмотрено применение 36-гранных призм РИС 4. Но и это еще не всё. При аттестации реальных образцов таких систем не все они могут быть аттестованы. Проблема в том, что лишь у единичных производителей есть возможность установки призмы на среднюю и внешнюю ось на месте эксплуатации для проверки погрешности позиционирования. В подавляющем большинстве производители предусматривают возможность проверки точностей средней и внешней оси многоосевых стендов только при производстве, а у потребителя её провести никак нельзя и опять приходится «верить на слово», что является недопустимым. Как уже говорилось, ряд предприятий принимает за истину данные калибровки заводов-изготовителей, или не желает проводить должную аттестацию в соответствии с требованиями ГОСТ, или проводит её «для галочки». И здесь должен проявить бдительность институт военных представителей на предприятиях, призванный контролировать и эту сторону процесса производства. Недаром в 2013 году принят и с 1 июля 2014 года начал действовать ГОСТ РВ 0008-002-2013, который должны знать все: от специалистов до начальников «приемки».

Применение современных технологий наряду с использованием современного высокоточного аттестованного оборудования является неотъемлемым условием создания образцов передовой техники.

Проблема обеспечения точности решается двумя путями. Первый — подтверждение точности уже находящихся в эксплуатации систем пространственного позиционирования путем их аттестации с наличием аттестованной методики, прошедшей метрологическую экспертизу программой и методикой аттестации и, самое главное, применением поверенных средств измерения специалистами с необходимой квалификацией. Второй — приобретая новое оборудование, обращать внимание на возможность проверки заявленных параметров оборудования на месте, обращаться в организации, имеющие положительное экспертное заключение по ГОСТ РВ 0008-002-2013 и способные не только поставить оборудование, но и компетентно провести его настройку и аттестацию на месте установки. Иначе для выпускаемой продукции будут подходить слова академика Лихачева: «Точность очень часто оборачивается неточностью. Точность невозможна там, где материал не может быть точен по самой своей природе».

Анализ индукционного двигателя: Верификационная задача TEAM

В этой заметке мы рассмотрим задачу моделирования трёхфазного асинхронного двигателя, описанную как проблема №30a в Testing Electromagnetic Analysis Methods (TEAM) (от общества Compumag). Мы покажем, как моделировать асинхронный двигатель в 2D с использованием физического интерфейса Rotating Machinery, Magnetic (Магнитные вращающиеся механизмы) и решателя во временной области. Изучим динамику пуска двигателя, объединив электромагнитный расчёт с динамикой ротора, учитывая при этом инерционные эффекты. В конце мы сравним результаты моделирования в COMSOL Multiphysics с верификационными данными.

Проектирование асинхронного двигателя посредством моделирования

Трёхфазный асинхронный двигатель состоит из двух главных частей: неподвижной, называемой статором, и вращающейся, называемой ротором. Статор состоит из набора пластин электротехнической стали и трёхфазных обмоток, а ротор — из алюминия и стали. Трёхфазные обмотки, обозначенные A, B и C на рисунке ниже, в статоре смещены друг относительно друга на 120°. Каждая фаза обмотки охватывает 45° полного оборота. Обмотки разделяются воздушным зазором. Внешний диаметр статора — 5.7 см.

Конструкция трёхфазного асинхронного двигателя. Показаны основные части, размеры и конфигурации фаз.

По условиям задачи задаём плотность тока, равною 310 A/см², что эквивалентно действующему значению тока I_rms = 2045.175 на каждую обмотку. Двигатель работает на частоте 60 Гц. Магнитная проницаемость стали статора и ротора одинаковая — μ_r = 30. Электрическая проводимость стали статора — σ = 0 (шихтовка), ротора — σ = 1.6e6 См/м. Электрическая проводимость алюминиевой части ротора — σ = 3.72e7 См/м.

Моделирование динамики асинхронного двигателя в COMSOL Multiphysics

При построении геометрии асинхронного двигателя в COMSOL Multiphysics, необходимо создать два объединения (unions). Одно для элементов статора, второе для элементов ротора. Заключительным этапом создания геометрии является Построение сборки (Form Assembly), как описано в этом видео. Таким образом, между статором и ротором автоматически сгенерируются тождественные пары (identity pair).

Геометрическая последовательность для асинхронного двигателя. Геометрия финализируется путем создания сборки (операция Form Assembly) между объединениями для ротора и статора.

В таблице ниже приведены свойства материалов, которые используются в этой модели. Плотность материала не указана в исходном задании TEAM, поэтому полагаем, что плотность стали и алюминия ротора равна 7850 кг/м³ и 2700 кг/м³ соответственно. Значения плотности необходимы, чтобы вычислить момент инерции.

Для моделирования электромагнитных полей в трёхфазном асинхронном двигателе будем использовать физический интерфейс Rotating Machinery, Magnetic. Так как все магнитные и электрические свойства материалов линейны, добавленный по умолчанию узел Ampère’s Law (Закон Ампера) оставляем без изменений.

Для моделирования трёзфазных обмоток будем использовать условие Homogenized Multi-turn Coil (Однородная многовитковая катушка). Число витков в обмотке равно n0 = 2045. Каждый многожильный провод проводит ток порядка 1[A], который смещён на 120° между фазами. Запишем выражения для каждой из фаз:

1. I A = 1[A]*cos(w0*t)*sqrt(2)
2. I B = 1[A]*cos(w0*t+120[deg])*sqrt(2)
3. I C = 1[A]*cos(w0*t-120[deg])*sqrt(2)

Где, 1[A] — действующее значение тока. Чтобы получить амплитудное, умножаем на sqrt(2).

В физическом интерфейсе Rotating Machinery, Magnetic с помощью узла Force Calculation (Расчёт Силы) можно сразу рассчитать электромагнитный момент, действующий на ротор. Добавив этот узел, при постобработке нам будут доступны пространственные компоненты магнитных сил (rmm.Forcex_0, rmm.Forcey_0, rmm.Forcez_0) и осевого момента инерции ( rmm.Tax_0). Узел Force Calculation для расчёта силы просто интегрирует тензор напряжений электромагнитного поля (максвелловский тензор напряжений) по всей внешней выбранной границе или области. Так как метод основан на интегрировании поверхности, рассчитываемая сила зависит от размера сетки. При использовании этого метода для точного вычисления силы или момента важно всегда выполнять исследование по сеточной сходимости (mesh refinement study).

Есть другой способ расчёта момента — метод Арккио. Он заключается в объёмном интегрировании вектора плотности магнитного потока. В этом методе электромагнитный момент электрических вращающихся машин в 2D моделях может быть рассчитан из следующего уравнения.

T_e = \frac{1}{\mu_0(r_o-r_i)}\int\limits_{S_{ag}}rB_rB_\phi dS

Где r_o — это внешний радиус, r_i — внутренний радиус, S_{ag} — площадь поперечного сечения воздушного зазора. B_r и B_\phi — плотность магнитного потока в радиальном и азимутальном направлении, соответственно. Далее на скриншотах более подробно показано, как добавить расчёт по методу Арккио в модель в COMSOL Multiphysics.

Реализация метода Арккио для расчёта момента в асинхронном двигателе.

Моделирование динамики пуска двигателя с использованием физического интерфейса

Вращательное движение ротора задаётся следующими двумя уравнениями:

(1)

\frac{d \omega_m}{dt}=\frac{T_m-T_L}{I}

(2)

\frac{d \phi}{dt}=\omega_m

где T_m — аксиальный электромагнитный момент ротора, T_L — момент на нагрузке, \omega_m — угловая скорость ротора, \phi — угловое положение ротора.

Эти уравнения задаются в двух разных узлах Global Equations в физическом интерфейсе Global ODE and DAEs (Глобальные ОДУ и ЛАУ), как показано на рисунке ниже.

Задание дифференциальных уравнений для угловой скорости и углового положения ротора в физическом интерфейсе Global ODEs and DAEs.

График изменения электромагнитного момента ротора в зависимости от времени (слева). Угловая скорость ротора (справа).

График электромагнитного момента в начале колеблется, а затем достигает максимального значения при 0,28 секунды. Затем уменьшается до нуля при достижении синхронной скорости при 0,4 секунды. При 0,5 секунды момент в нагрузке изменяется скачком (по заданному закону). Затем постепенно двигатель выходит на номинальный режим.

Сравнение результатов моделирования в COMSOL Multiphysics и результатов верификационной задачи TEAM

Чтобы сравнить электромагнитный момент, наводимое напряжение и потери в роторе с верификационной задачей TEAM №30a, мы создали такую же модель асинхронного двигателя в COMSOL Multiphysics в частотной области с использованием физического интерфейса Magnetic Fields (Магнитные поля). В данном интерфейсе вращательное движение задаётся узлом Lorentz term (сила Лоренца), который описывает движение. Вы можете скачать учебный пример трёхфазного асинхронного двигателя здесь.

Сравнение графиков зависимости аксиального момента от скорости двигателя (слева) и наводимого напряжения от скорости двигателя (справа).

Сравнение графиков зависимости потерь в роторе от скорости двигателя (слева) и потерь в стали от скорости двигателя (справа).

Дополнительные ресурсы по моделирования двигателей в COMSOL Multiphysics

• Начните моделировать асинхронные двигатели, ознакомившись со следующими учебными примерами:
• Чтобы узнать больше о моделировании вращающихся машин, прочтите следующие статьи:
• Следите за нашим блогом по проектированию Электромагнитных устройств

Угловая скорость переменного тока

Переменный ток – или AC (Alternating Current). Обозначение (

Электрический ток называется переменным, если он в течение времени меняет свое направление и непрерывно изменяется по величине.

Переменный ток, который используется для подключения бытовых или производственных электрических приборов, изменяется по синусоидальному закону:

i = I_msin(2πft)

График переменного тока

• i – мгновенное значение тока
• Im – амплитудное или наибольшее значение тока
• f – значение частоты переменного тока
• t – время

Широко используется переменный ток благодаря тому, что электроэнергия переменного тока технически просто и экономно может быть преобразована из энергии более низкого напряжения в энергию более высокого напряжения и наоборот. Это свойство переменного тока позволяет передавать электроэнергию по проводам на большие расстояния.

Период переменного тока

Промышленный переменный электрический ток получают при помощи электрических генераторов, принцип работы которых основан на законе электромагнитной индукции. Вращение генератора осуществляется механическим двигателем, использующим тепловую, гидравлическую или атомную энергию.

Переменный однофазный электрический ток имеет следующие основные характеристики:

f – частота переменного тока определяет количество циклов или периодов в единицу времени. За единицу измерения частоты переменного тока принят Герц ( Гц ):

1гц = 10 3 кгц = 10 6 мгц

Τ – период – время одного полного изменения переменной величины.

Если в 1 секунду происходит 1 период Τ , то частота f = 1 Гц ( Герц ).

1c = 10 3 мс = 10 6 мкс = 10 12 нс

В Российской Федерации период Τ переменного тока принят равным 0,02 секунды,следовательно по формуле f = 1/Τ можно определить частоту переменного тока:

ω – угловая скорость

Помимо частоты f при изучении цепей переменного тока вводится понятие угловой скорости ω. Угловая скорость ω связана с частотой f следующим соотношением:

При частоте 50 Гц угловая скорость равна 314 рад/с ( 2 × 3,14 × 50 = 314 ).

Мгновенное значение ( i,u,e,p ) – значение величины в данный момент, мгновенное.

Максимальное или амплитудное значение ( Im,Um,Em,Pm ).

Эффективное значение тока – это величина переменного тока, равная такому току, который на сопротивлении R , создаёт тепловыделение равное данному переменному току, за тоже время t ( I,U,E,P ).

В системе декартовых прямоугольных координат совмещены тригонометрический круг и кривая, отражающая изменение величины тригонометрической функции sinβ от величины угла β между осью 0х и радиусом-вектором r . Радиус-вектор r вращается против часовой стрелки. Повернем радиус-вектор на угол β и от конца вектора r проведем пунктиром прямую, параллельную оси 0х . От окружности (точка а ) по оси 0х отложим в масштабе отрезок. Из конца отрезка построим перпендикуляр до пересечения с пунктирной прямой. Получим точку с в пересечении перпендикуляра и пунктирной прямой.

Синусоида переменного тока

Аналогичное построение проведем, увеличивая угол β , пока радиус-вектор повернется на угол β = 360° , и получим точки аналогично точке с . Соединим точки плавной кривой, которая и будет отражать синусоидальный закон изменения величины переменного тока.

Если две переменные величины одновременно проходят свои нулевые и максимальные значения, то они совпадают по фазе.

Если две переменные величины не одновременно проходят свои нулевые и максимальные значения, то они не совпадают по фазе.

В радиотехнике используются понятия:

1. Активное сопротивление ( R_a )

2. Индуктивное сопротивление ( X_L – реактивное сопротивление )

3. Ёмкостное сопротивление ( X_C – реактивное сопротивление )

Если по проводнику протекает ток, то вследствие явления самоиндукции, электроны распространяются не равномерно по сечению проводника, вследствие чего растёт сопротивление проводника.

Явление неравномерного распространения зарядов по сечению проводника называется – поверхностный эффект. Чем больше частота, тем больше сопротивление.

Период и частота переменного тока

Время, в течение которого совершается одно полное изме­нение ЭДС, то есть один цикл колебания или один полный оборот радиуса-вектора, называется периодом колебания пере­менного тока (рисунок 1).

Рисунок 1. Период и амплитуда синусоидального колебания. Период — время одного колебания; Аплитуда — его наибольшее мгновенное значение.

Период выражают в секундах и обозначают буквой Т.

Так же используются более мелкие единицы измерения периода это миллисекунда (мс)- одна тысячная секунды и микросекунда (мкс)- одна миллионная секунды.

1 мс =0,001сек =10 -3 сек.

1 мкс=0,001 мс = 0,000001сек =10 -6 сек.

Число полных изменений ЭДС или число оборотов ради­уса-вектора, то есть иначе говоря, число полных циклов колеба­ний, совершаемых переменным током в течение одной секунды, называется частотой колебаний переменного тока.

Частота обо­значается буквой f и выражается в периодах в секунду или в герцах.

Одна тысяча герц называется килогерцом (кГц), а миллион герц — мегагерцом (МГц). Существует так же единица гигагерц (ГГц) равная одной тысячи мегагерц.

1000 Гц = 10 3 Гц = 1 кГц;

1000 000 Гц = 10 6 Гц = 1000 кГц = 1 МГц;

1000 000 000 Гц = 10 9 Гц = 1000 000 кГц = 1000 МГц = 1 ГГц;

Чем быстрее происходит изменение ЭДС, то есть чем бы­стрее вращается радиус-вектор, тем меньше период колебания Чем быстрее вращается радиус-вектор, тем выше частота. Таким образом, частота и период переменного тока являются величинами, обратно пропорциональными друг другу. Чем больше одна из них, тем меньше другая.

Математическая связь между периодом и частотой переменного тока и напряжения выра­жается формулами

Например, если частота тока равна 50 Гц, то период будет равен:

Т = 1/f = 1/50 = 0,02 сек.

И наоборот, если известно, что период тока равен 0,02 сек, (T=0,02 сек.), то частота будет равна:

f = 1/T=1/0,02 = 100/2 = 50 Гц

Частота переменного тока, используемого для освещения и промышленных целей, как раз и равна 50 Гц.

Частоты от 20 до 20 000 Гц называются звуковыми часто­тами. Токи в антеннах радиостанций колеблются с частотами до 1 500 000 000 Гц или, иначе говоря, до 1 500 МГц или 1,5 ГГц. Такие вы­сокие частоты называются радиочастотами или колебаниями высокой частоты.

Наконец, токи в антеннах радиолокационных станций, станций спутниковой связи, других спецсистем (например ГЛАНАСС, GPS) колеблются с частотами до 40 000 МГц (40 ГГц) и выше.

Амплитуда переменного тока

Наибольшее значение, которого достигает ЭДС или сила тока за один период, называется амплитудой ЭДС или силы переменного тока. Легко заметить, что амплитуда в масштабе равна длине радиуса-вектора. Амплитуды тока, ЭДС и напряжения обозначаются соответственно бук­вами Im, Em и Um (рисунок 1).

Угловая (циклическая) частота переменного тока.

Скорость вращения радиуса-вектора, т. е. изменение ве­личины угла поворота в течение одной секунды, называется угловой (циклической) частотой переменного тока и обозначается греческой буквой ? (оме­га). Угол поворота радиуса-вектора в любой данный момент относительно его начального положения измеряется обычно не в градусах, а в особых единицах — радианах.

Радианом называется угловая величина дуги окружности, длина которой равна радиусу этой окружности (рисунок 2). Вся окружность, составляющая 360°, равна 6,28 радиан, то есть 2.

Рисунок 2. Радиан.

1рад = 360°/2

Следовательно, конец радиуса-вектора в течение одного периода пробегают путь, равный 6,28 радиан (2). Так как в тече­ние одной секунды радиус-вектор совершает число оборотов, равное частоте переменного тока f, то за одну секунду его ко­нец пробегает путь, равный 6,28 * f радиан. Это выражение, характеризующее скорость вращения радиуса-вектора, и будет угловой частотой переменного тока — ? .

? = 6,28*f = 2f

Фаза переменного тока.

Угол поворота радиуса-вектора в любое данное мгновение относительно его начального положения называется фазой переменного тока. Фаза характеризует величину ЭДС (или тока) в данное мгновение или, как говорят, мгновенное значение ЭДС, ее направление в цепи и направление ее изменения; фаза пока­зывает, убывает ли ЭДС или возрастает.

Рисунок 3. Фаза переменного тока.

Полный оборот радиуса-вектора равен 360°. С началом но­вого оборота радиуса-вектора изменение ЭДС происходит в том же порядке, что и в течение первого оборота. Следова­тельно, все фазы ЭДС будут повторяться в прежнем поряд­ке. Например, фаза ЭДС при повороте радиуса-вектора на угол в 370° будет такой же, как и при повороте на 10°. В обо­их этих случаях радиус-вектор занимает одинаковое положе­ние, и, следовательно, мгновенные значения ЭДС будут в обоих этих случаях одинаковыми по фазе.

ПОНРАВИЛАСЬ СТАТЬЯ? ПОДЕЛИСЬ С ДРУЗЬЯМИ В СОЦИАЛЬНЫХ СЕТЯХ!

В данной статье поговорим о параметрах переменного тока. Например, всем привычная бытовая розетка является источником переменного тока и переменной ЭДС.

Изменение ЭДС и изменение тока линейной нагрузки, подключенной к такому источнику, будет происходить по синусоидальному закону. При этом переменные ЭДС, переменные напряжения и токи, можно характеризовать основными четырьмя их параметрами:

Есть и вспомогательные параметры:

Далее рассмотрим все эти параметры по отдельности и во взаимосвязи.

Периодом Т переменного тока называется промежуток времени, за который ток или напряжение совершает один полный цикл изменений.

Поскольку источником переменного тока является генератор, то период связан со скоростью вращения его ротора, и чем выше скорость вращения витка или ротора генератора, тем меньшим оказывается период генерируемой переменной ЭДС, и, соответственно, переменного тока нагрузки.

Период измеряется в секундах, миллисекундах, микросекундах, наносекундах, в зависимости от конкретной ситуации, в которой данный ток рассматривается. На вышеприведенном рисунке видно, как напряжение U с течением времени изменяется, имея при этом постоянный характерный период Т.

Частота f является величиной обратной периоду, и численно равна количеству периодов изменения тока или ЭДС за 1 секунду. То есть f = 1/Т. Единица измерения частоты — герц (Гц), названная в честь немецкого физика Генриха Герца, внесшего в 19 веке немалый вклад в развитие электродинамики. Чем меньше период, тем выше частота изменения ЭДС или тока.

Сегодня в России стандартной частотой переменного тока в электрических сетях является 50 Гц, то есть за 1 секунду происходит 50 колебаний сетевого напряжения.

В других областях электродинамики используются и более высокие частоты, например 20 кГц и более — в современных инверторах, и до единиц МГц в более узких сферах электродинамики. На приведенном выше рисунке видно, что за одну секунду происходит 50 полных колебаний, каждое из которых длится 0,02 секунды, и 1/0,02 = 50.

По графикам изменения синусоидального переменного тока с течением времени видно, что токи различной частоты содержат разное количество периодов на одном и том же отрезке времени.

За один период фаза синусоидальной ЭДС или синусоидального тока изменяется на 2пи радиан или на 360°, поэтому угловая частота переменного синусоидального тока равна:

Под термином «фаза» понимают стадию развития процесса, и в данном случае, применительно к переменным токам и напряжениям синусоидальной формы, фазой называют состояние переменного тока в определенный момент времени.

На рисунках можно видеть: совпадение напряжения U1 и тока I1 по фазе, напряжения U1 и U2 в противофазе, а также сдвиг по фазе между током I1 и напряжением U2. Сдвиг по фазе измеряется в радианах, долях периода, в градусах.

Амплитуда Uм и Iм

Говоря о величине синусоидального переменного тока или синусоидальной переменной ЭДС, наибольшее значение ЭДС или тока называют амплитудой или амплитудным (максимальным) значением.

Амплитуда — наибольшее значение величины, совершающей гармонические колебания (например, максимальное значение силы тока в переменном токе, отклонение колеблющегося маятника от положения равновесия), наибольшее отклонение колеблющейся величины от некоторого значения, условно принятого за начальное нулевое.

Если речь о генераторе переменного тока, то ЭДС на его выводах дважды за период достигает амплитудного значения, первое из которых +Eм, второе -Eм, соответственно во время положительного и отрицательного полупериодов. Аналогичным образом ведет себя и ток I, и обозначается соответственно Iм.

Гармонические колебания — колебания, в которых колеблющаяся величина, например напряжение в электрической цепи, меняется во времени по гармоническому синусоидальному или косинусоидальному закону.

Мгновенное значение u и i

Значение ЭДС или тока в конкретный текущий момент времени называется мгновенным значением, они обозначаются маленькими буквами u и i. Но поскольку эти значения все время меняются, то судить о переменных токах и ЭДС по ним неудобно.

Действующие значения I, E и U

Способность переменного тока к совершению какой-нибудь полезной работы, например механически вращать ротор двигателя или производить тепло на нагревательном приборе, удобно оценивать по действующим значениям ЭДС и токов.

Так, действующим значением тока называется значение такого постоянного тока, который при прохождении по проводнику в течение одного периода рассматриваемого переменного тока, производит такую же механическую работу или такое же количество теплоты, что и данный переменный ток.

Действующие значения напряжений, ЭДС и токов обозначают заглавными буквами I, E и U. Для синусоидального переменного тока и для синусоидального переменного напряжения действующие значения равны:

Действующее значение тока и напряжения удобно практически использовать для описания электрических сетей. Например значение в 220-240 вольт — это действующее значение напряжения в современных бытовых розетках, а амплитуда гораздо выше — от 311 до 339 вольт.

Так же и с током, например когда говорят, что по бытовому нагревательному прибору протекает ток в 8 ампер, это значит действующее значение, в то время как амплитуда составляет 11,3 ампер.

Так или иначе, механическая работа и электрическая энергия в электроустановках пропорциональны действующим значениям напряжений и токов. Значительная часть измерительных приборов показывает именно действующие значения напряжений и токов.

Точно в цель. Точно ли?

Что же именно во всех устройствах — от телефона, наземного транспорта, различных летательных объектов до специальных изделий, улетающих в заоблачные дали — отвечает за определение собственного положения в пространстве? Это — инерциальные системы отсчёта. Инерциальная навигация — определение координат и параметров движения различных объектов: судов, самолетов, ракет и управления их движением, которое основано на свойствах инерции тел, являющихся автономными, т. е. не требующими внешних ориентиров или поступающих извне сигналов. Неавтономные методы решения задач навигации основаны на использовании внешних ориентиров или сигналов, например, звезд, маяков, радиосигналов. Эти методы, в принципе, просты, но в ряде случаев не могут применяться из-за отсутствия видимости или наличия помех для радиосигналов.

Необходимость создания автономных навигационных систем и стала причиной возникновения инерциальной навигации. И не важно, каков принцип их действия, имеют ли они гиростабилизированную платформу (ПИНС) или являются бесплатформенными (БИНС) — все они требуют настройки и проверки при выпуске. От их точности зависит точность определения собственных координат, что позволяет самолёту выполнить посадку в автоматическом режиме, беспилотному летательному аппарату облететь назначенный район, а боевой части поразить цель.

Так как же в современной промышленности решается задача обеспечения точности таких систем?

С точки зрения теории и разработки подобных систем всё уже придумано более 100 лет назад, например, применяются волоконно-оптические гироскопы при построении БИНС, принцип действия которых основан на эффекте Саньяка, описанном в 1913 году, и останется лишь воплотить в жизнь алгоритмы и наработки, используя современную элементную базу и технологии.

Вопросы производства и технологии стоят на первом месте. При производстве высокоточной механики применяются компьютеризированные обрабатывающие центры, электронные части проходят многоступенчатую проверку, начиная от электротермотренировки некорпусированных кристаллов и заканчивая термоциклированием готовых блоков. Технология позволяет осуществить сборку и настройку готовых систем на соответствующем оборудовании. И наконец, после настройки провести приемо-сдаточные испытания (ПСИ). На этом последнем этапе используется специальное оборудование — системы пространственного позиционирования (моделирования движения): одноосные, двухосные, трехосные РИС 1. От их качества и точности зависит итоговый результат испытаний.

Для современных БИНС и датчиков точность вчерашнего дня в одну-две угловых минуты считается приговором — такие приборы не найдут покупателя на рынке. Требуемая точность готовых изделий не должна превышать 10 угловых секунд. Здесь нужно вспомнить о такой науке как метрология, которая говорит, что для получения 10 угловых секунд точности для готового изделия необходимо проводить его настройку и ПСИ на оборудовании, точность которого не менее трех угловых секунд или в три раза точнее.

Где их взять? Как проверить? Давайте разберемся.

Производителей систем пространственного позиционирования по всему миру менее 10. Но ведь система системе рознь. Все производители, и это относится к любой технике, преувеличивают достоинства и молчат о недостатках, готовы заявить то, что нельзя проверить. Основными характеристиками систем пространственного позиционирования являются точность позиционирования (точность угла поворота), повторяемость, стабильность, точность угловой скорости, для многоосных систем еще и ортогональность осей и, конечно, плоскостность рабочего стола.

Проверка характеристик оборудования, применяемого для технологических операций, должна быть проведена в соответствии с ГОСТ РВ 0015-002-2012 в процессе проверки на технологическую точность. А проверка характеристик оборудования, применяемого при испытаниях (в том числе при ПСИ), должна быть подтверждена при аттестации по ГОСТ 0008-002-2013. Что происходит на практике: оборудование, производимое за рубежом, проверяется на заводах-изготовителях по своим внутренним регламентам. Конечно, они близки к тем методам и подходам, которые применяются и у нас, физические процессы обойти невозможно. Но в последнее время уверенность в том, что «иностранные» цифры, записанные в протоколах заводской калибровки, соответствуют реальности — значительно уменьшилась.

Выход есть. В нашей стране имеются не только поставщики, но и экспертные организации, которые могут проверить любой стенд на соответствие заявленным параметрам. К сожалению, значительная часть предприятий, занимающихся выпуском инерциальных систем, использует европейские системы пространственного позиционирования, не убедившись в их точности. Настройку и сдачу продукции проводят, ориентируясь на точности, указанные производителем в паспорте. Причина этого в отсутствии необходимых средств измерений и желания провести всестороннюю проверку. На практике ни один стенд пространственного позиционирования не выдает заявленных точностей без соответствующей настройки на месте эксплуатации и проверки. Дело здесь в разнице подходов. Простой пример: в документации указана точность позиционирования ±1 угловая секунда, мы сразу же представляем себе идеальную картину РИС 2, что это амплитудное значение отклонения угла от заданного «нулевого отклонения». Но это не так: у европейских производителей этот параметр показывает относительное смещение угла. Важно лишь, что отклонение от среднего не превысит одной угловой секунды РИС 3.

Есть ещё более популярный способ ввести потребителя в заблуждение — указать специфические параметры точности позиционирования в виде RSS (root of sum of square, корень квадратный из суммы квадратов СКЗ двух измерений), что по сути в несколько раз отличается от амплитудного значения отклонения. Это очень «удобный» для производителя показатель, за которым может скрываться большая величина реального отклонения, показанная на РИС 1 как амплитудное (или размах), что является важным при настройке БИНСов. Это всего лишь пример того, как разница в подходах указания параметров стендов имитации движения (систем пространственного позиционирования) без проверки и подтверждения на месте установки может повлиять на результат.

Конечно, никому не нужно объяснять, к чему приведет слепое доверие этим цифрам при настройке и сдаче реальных БИНС. Точность окажется не нашим преимуществом, и её недостаток нельзя компенсировать ни одним другим техническим способом, что обернётся невозможностью выполнить поставленную задачу в автоматическом режиме. Выход один — никогда не верить на слово и всегда подтверждать заявленные точности при аттестации или проверке на технологическую точность аттестованными методами и с применением внесенных в единый информационный фонд средств измерений (СИ): многогранной призмы, автоколлиматора, уровней и других вспомогательных СИ. Но и здесь нас ожидают открытия, например, настройки всех иностранных систем пространственного позиционирования (стендов имитации движения) производятся с применением 8- и 12-гранных призм, потому что других у них не существует. А отечественными методиками для получения достоверных подтвержденных результатов предусмотрено применение 36-гранных призм РИС 4. Но и это еще не всё. При аттестации реальных образцов таких систем не все они могут быть аттестованы. Проблема в том, что лишь у единичных производителей есть возможность установки призмы на среднюю и внешнюю ось на месте эксплуатации для проверки погрешности позиционирования. В подавляющем большинстве производители предусматривают возможность проверки точностей средней и внешней оси многоосевых стендов только при производстве, а у потребителя её провести никак нельзя и опять приходится «верить на слово», что является недопустимым. Как уже говорилось, ряд предприятий принимает за истину данные калибровки заводов-изготовителей, или не желает проводить должную аттестацию в соответствии с требованиями ГОСТ, или проводит её «для галочки». И здесь должен проявить бдительность институт военных представителей на предприятиях, призванный контролировать и эту сторону процесса производства. Недаром в 2013 году принят и с 1 июля 2014 года начал действовать ГОСТ РВ 0008-002-2013, который должны знать все: от специалистов до начальников «приемки».

Применение современных технологий наряду с использованием современного высокоточного аттестованного оборудования является неотъемлемым условием создания образцов передовой техники.

Проблема обеспечения точности решается двумя путями. Первый — подтверждение точности уже находящихся в эксплуатации систем пространственного позиционирования путем их аттестации с наличием аттестованной методики, прошедшей метрологическую экспертизу программой и методикой аттестации и, самое главное, применением поверенных средств измерения специалистами с необходимой квалификацией. Второй — приобретая новое оборудование, обращать внимание на возможность проверки заявленных параметров оборудования на месте, обращаться в организации, имеющие положительное экспертное заключение по ГОСТ РВ 0008-002-2013 и способные не только поставить оборудование, но и компетентно провести его настройку и аттестацию на месте установки. Иначе для выпускаемой продукции будут подходить слова академика Лихачева: «Точность очень часто оборачивается неточностью. Точность невозможна там, где материал не может быть точен по самой своей природе».

Гармоническое движение

Гармоническое движение

Говорят, что объект, движущийся по оси x, проявляет простое гармоническое движение , если его положение как функция времени изменяется как

x (t) = x ₀ + A cos (ωt + φ).

Объект колеблется около положения равновесия x ₀ . Если мы выберите начало нашей системы координат так, чтобы x ₀ = 0, тогда смещение x из положения равновесия как функция времени определяется выражением

x (t) = A cos (ωt + φ).

А — амплитуда колебаний, т.е. максимальное смещение объекта из равновесия, либо в положительное или отрицательное направление оси x. Простое гармоническое движение повторяется. В период T — время, необходимое объекту для совершить одно колебание и вернуться в исходное положение. В Угловая частота ω определяется как ω = 2π / T. Угловая частота измеряется в радианах в секунду.Обратное период — частота f = 1 / T. В частота f = 1 / T = ω / 2π движения дает количество полных колебаний в единицу времени. Он измеряется в герцах (1 Гц = 1 / с).

Скорость объекта как функция времени определяется как

v (t) = -ω A sin (ωt + φ),

, а ускорение —

a (t) = -ω ² A cos (ωt + φ) = -ω ² x.

Величина φ называется фазовой постоянной . Он определяется начальными условиями движения. Если при t = 0 объект имеет максимальное смещение в положительном направлении оси x, тогда φ = 0, если он имеет максимальное смещение в отрицательном направлении оси x, тогда φ = π. Я толстый t = 0 частица движется через положение равновесия с максимальным скорость в отрицательном направлении оси x, то φ = π / 2. Величина ωt + φ равна называется этап .

На рисунке ниже положение и скорость отложены как функция времени. для колебательного движения с периодом 5 с. Амплитуда и максимум скорость имеют произвольные единицы. Положение и скорость не в фазе . Скорость равна нулю при максимальном смещении, и смещение равно нулю при максимальной скорости.

Для простого гармонического движения ускорение a = -ω ² x равно пропорционально перемещению, но в противоположном направлении.Простой гармоническое движение — это ускоренное движение . Если объект демонстрирует простое гармоническое движение, сила должна действовать на объект. Сила

F = ma = -mω ² x.

Он подчиняется закону Гука , F = -kx, с k = mω ² .

Ссылка: Простой гармоническое движение (Youtube)

Сила пружины подчиняется закону Гука. Предположим, что объект прикреплен к пружине, которая растягивается или сжимается.Тогда пружина проявляет сила на объекте. Эта сила пропорциональна перемещению x пружина из положения равновесия и находится в направлении, противоположном смещение.

F = -kx

Предположим, что пружина растягивается на расстояние A от положения равновесия, а затем отпускается. Предмет прикрепленный к пружине, ускоряется по мере движения назад к положению равновесия.

a = — (к / м) x

Он набирает скорость по мере продвижения к положению равновесия, потому что его ускорение происходит в направлении его скорости.Когда он находится в состоянии равновесия положение, ускорение равно нулю, но объект имеет максимальная скорость. Он выходит за пределы положения равновесия и начинает замедляться. вниз, потому что ускорение теперь в направлении, противоположном направлению его скорости. Пренебрегая трением, он останавливается, когда пружина сжимается на расстояние A, а затем ускоряется обратно к равновесию позиция. Он снова проскакивает и останавливается в исходном положении, когда пружина растягивается на расстояние А.Движение повторяется. Предмет колеблется вперед и назад. Он выполняет простое гармоническое движение. Угловой частота движения

ω = √ (к / м),

период

Т = 2π√ (м / к),

, а частота —

f = (1 / (2π)) √ (к / м).

Проблема:

Частица колеблется с простым гармоническим движением, так что ее смещение изменяется согласно выражению x = (5 см) cos (2t + π / 6) где x в сантиметрах, а t в секундах.При t = 0 найти
(а) смещение частицы,
(б) его скорость и
(c) его ускорение.
(d) Найдите период и амплитуду движения.

Решение:

• Рассуждение:
  Анализируйте простое гармоническое движение.
  х (t) = A cos (ωt + φ). A = амплитуда, ω = угловая частота, φ = фазовая постоянная.
  v (t) = -ω A sin (ωt + φ), a (t) = -ω ² A cos (ωt + φ) = -ω ² x.
• Детали расчета:
  (а) Смещение как функция времени: x (t) = Acos (ωt + φ).Здесь ω = 2 / с, φ = π / 6, A = 5 см.
  Смещение при t = 0 составляет x (0) = (5 см) cos (π / 6) = 4,33 см.
  (b) Скорость при t = 0 равна v (0) = -ω (5 см) sin (π / 6) = -5 см / с.
  (c) Ускорение при t = 0 равно a (0) = -ω ² (5 см) cos (π / 6) = -17,3 см / с ² .
  (d) Период движения T = 2π / ω = π s, а амплитуда 5 см.

Проблема:

Частица массой 20 г движется простым гармоническим движением с частотой 3 колебаний в секунду и амплитудой 5 см.
(a) На какое общее расстояние перемещается частица за один цикл его движение?
(b) Какова его максимальная скорость? Где это происходит?
(c) Найдите максимальное ускорение частицы. Где в движении максимальное ускорение происходит?

Решение:

• Рассуждение:
  Проанализируйте простое гармоническое движение, x (t) = A cos (ωt + φ).
• Детали расчета:
  (а) Общее расстояние d, на которое частица перемещается за один цикл, равно от x = -A до x = + A и обратно до x = -A, поэтому d = 4A = 20 см.
  (б) Максимальная скорость частицы составляет
  в _макс. = ωA = 2πfA = 2π 15 см / с = 0,94 м / с.
  Частица развивает максимальную скорость, когда проходит через положение равновесия.
  (c) Максимальное ускорение частицы составляет
  a _max. = ω ² A = (2πf) ² A = 17,8 м / с ² .
  Частица имеет максимальное ускорение в точках поворота, где он имеет максимальное смещение.

Предположим, что груз подвешен на вертикальной пружине с жесткостью пружины k.В В равновесии пружина растягивается на расстояние x ₀ = мг / к. Если масса смещается из положения равновесия вниз и пружина растягивается дополнительное расстояние x, тогда полная сила, действующая на массу, равна mg — k (x ₀ + x) = -kx, направленная к положению равновесия. Если масса смещен вверх на расстояние x, то полная сила, действующая на массу, равна mg — k (x ₀ — x) = kx, направленная к положению равновесия.Масса будет выполнить простое гармоническое движение. Угловая частота ω = SQRT (k / m) такая же для массы, колеблющейся на пружине в вертикальном или горизонтальном положении. Но равновесная длина пружины, вокруг которой она колеблется, различна для вертикальное положение и горизонтальное положение.

Предположим, что объект, прикрепленный к пружине, демонстрирует простое гармоническое движение. Позволять один конец пружины прикрепите к стене и позвольте объекту двигаться горизонтально на столе без трения.

Какова полная энергия объекта?

Кинетическая энергия объекта

K = ½ мВ ² = ½ мВт ² A ² sin ² (ωt + φ).

Его потенциальная энергия — это упругая потенциальная энергия. Упругий потенциал энергия, запасенная в пружине, смещенная на расстояние x от ее положения равновесия U = ½kx ² . Таким образом, потенциальная энергия объекта составляет

U = ½kx ² = ½mω ² x ² = ½mω ² A ² cos ² (ωt + φ).

Суммарная механическая энергия объекта

E = K + U = ½mω ² A ² (sin ² (ωt + φ) + cos ² (ωt + φ)) = ½mω ² A ² .

Энергия E в системе пропорциональна квадрату амплитуды .

E = ½kA ² .

Это непрерывно изменяющаяся смесь кинетической и потенциальной энергии.

Для любого объекта, совершающего простое гармоническое движение с угловой частотой ω, величина восстанавливающая сила F = -mω ² x подчиняется закону Гука и, следовательно, является консервативная сила . Мы можем определить потенциальную энергию U = ½mω ² x ² , а полная энергия объекта равна E = ½mω ² A ² . Поскольку v _max = ωA, мы также можем написать E = ½mv _max ² .

проблема:

Частица, свисающая с пружины, колеблется с угловой частотой 2 рад / с.Пружина подвешена к потолку кабины лифта и свисает. неподвижен (относительно автомобиля), так как автомобиль спускается с постоянной скоростью 1,5 РС. Затем машина внезапно останавливается. Пренебрегайте массой пружины.
С какой амплитудой колеблется частица?

Решение:

• Рассуждение:
  При движении в лифте с постоянной скоростью общая сила, действующая на масса равна нулю. Сила, прилагаемая пружиной, равна по величине силы тяжести на массу, пружина имеет равновесную длину вертикальная пружина.Когда лифт внезапно останавливается, конец пружины крепятся к потолку упоры. Однако масса имеет импульс, p = mv, и поэтому пружина начинает растягиваться. Он движется через равновесное положение вертикальной пружины с максимальной скоростью v _max = 1,5 м / с.
  Его скорость как функция времени равна v (t) = -ωAsin (ωt + φ).
• Детали расчета:
  Поскольку v _max = ωA и ω = 2 / с, амплитуда амплитуды колебания A = 0.75 м.

Проблема:

Система масса-пружина колеблется с амплитудой 3,5 см. Если сила жесткость пружины 250 Н / м и масса 0,5 кг определяют
(а) механическая энергия системы,
(б) максимальная скорость массы, и
(c) максимальное ускорение.

Решение:

• Рассуждение:
  Механическая энергия системы, совершающей простое гармоническое движение, составляет E = ½kA ² = ½mω ² A ² .
• Детали расчета:
  (а) Имеем m = 0,5 кг, A = 0,035 м, k = 250 Н / м, ω ² = к / м = 500 / с ² , ω = 22,36 / с.
  Механическая энергия системы E = ½kA ² = 0,153 Дж.
  (б) Максимальная скорость массы v _max. = ωA = 0,78 м / с.
  (c) Максимальное ускорение — _макс. = ω ² А = 17,5 м / с ² .

16.2 Математика волн — Университетская физика, том 1

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Смоделируйте волну, движущуюся с постоянной скоростью волны, с помощью математического выражения
• Расчет скорости и ускорения среды
• Покажите, чем скорость среды отличается от скорости волны (скорости распространения)

В предыдущем разделе мы описали периодические волны с помощью их характеристик длины волны, периода, амплитуды и скорости волны.Волны также можно описать движением частиц среды, в которой движутся волны. Положение частиц среды можно математически смоделировать как волновых функций , которые можно использовать для определения положения, скорости и ускорения частиц среды волны в любое время.

Импульсы

Импульс можно описать как волну, состоящую из одиночного возмущения, которое движется через среду с постоянной амплитудой.Импульс движется в виде шаблона, который сохраняет свою форму, поскольку распространяется с постоянной скоростью волны. Поскольку скорость волны постоянна, расстояние, на которое проходит импульс за время

равно

((рисунок)).

с центром

с амплитудой A. Импульс движется как шаблон постоянной формы с постоянным максимальным значением A.Скорость постоянна, импульс проходит на расстояние

за раз

Пройденное расстояние измеряется любой удобной точкой на пульсе. На этом рисунке использован герб.

Моделирование одномерной синусоидальной волны с использованием волновой функции

Рассмотрим струну с постоянным натяжением

, где один конец закреплен, а свободный конец колеблется между

и

механическим устройством с постоянной частотой.(Рисунок) показывает снимки волны с интервалом в одну восьмую периода, начиная с одного периода

и взяты с интервалом

Цветные точки используются для выделения точек на строке. Точки, разнесенные на длину волны в направлении x, выделяются одинаковыми цветными точками.

Обратите внимание, что каждая точка выбора на струне (отмеченная цветными точками) колеблется вверх и вниз в простом гармоническом движении между

и

с периодом Т .Волна на струне имеет синусоидальную форму и с течением времени перемещается в положительном направлении x .

Здесь полезно вспомнить из вашего изучения алгебры, что если f ( x ) — некоторая функция, то

— это та же функция, переведенная в положительном направлении x на расстояние d . Функция

— это та же функция, переведенная в отрицательном направлении x на расстояние d .Мы хотим определить волновую функцию, которая будет давать y -позицию каждого сегмента строки для каждой позиции x вдоль строки для каждого момента времени t .

Глядя на первый снимок на (Рисунок), можно увидеть положение строки y между

и

можно смоделировать как синусоидальную функцию. Как видно на последнем снимке, эта волна распространяется вниз по струне на одну длину волны за один период.Таким образом, волна движется с постоянной скоростью

Напомним, что функция синуса является функцией угла

, колеблется между

и

и повторяется каждые

радиана ((Рисунок)). Однако положение среды y или волновая функция колеблется между

и

, и повторяет каждую длину волны

.

и

каждые

радиана.

Чтобы построить нашу модель волны с использованием периодической функции, рассмотрим соотношение угла и положения,

Используя

и умножив синусоидальную функцию на амплитуду A , теперь мы можем смоделировать положение строки y как функцию положения x :

Волна на струне распространяется в положительном направлении x с постоянной скоростью v и перемещается на расстояние vt за время t .Волновая функция теперь может быть определена с помощью

Часто бывает удобно переписать эту волновую функцию в более компактном виде. Умножая на коэффициент

приводит к уравнению

Значение

определяется как волновое число . Обозначение волнового числа — k и имеет обратные метры,

Напомним из «Колебаний», что угловая частота определяется как

Второй член волновой функции принимает вид

Волновая функция простой гармонической волны на струне уменьшается до

, где A — амплитуда,

— волновое число,

— угловая частота, знак минус — для волн, движущихся в положительном направлении x , а знак плюс — для волн, движущихся в отрицательном направлении x .Скорость волны равна

Вспомните наше обсуждение массы на пружине, когда положение массы моделировалось как

Уголок

— это фазовый сдвиг, добавленный, чтобы учесть тот факт, что масса может иметь начальные условия, отличные от

и

По тем же причинам начальная фаза добавляется к волновой функции.Волновая функция, моделирующая синусоидальную волну, с учетом начального фазового сдвига

это

Значение

известна как фаза волны, где

— начальная фаза волновой функции. Ли временной срок

отрицательный или положительный в зависимости от направления волны. Сначала рассмотрим знак минус для волны с начальной фазой, равной нулю

Фаза волны будет

Рассмотрите возможность отслеживания точки на волне, например гребня.Пик появится, когда

, то есть когда

для любого целого значения n . Например, один конкретный гребень встречается на

По мере движения волны время увеличивается, и x также должны увеличиваться, чтобы фаза оставалась равной

Следовательно, знак минус означает, что волна движется в положительном направлении x . Используя знак плюса,

По мере увеличения времени x должны уменьшаться, чтобы фаза оставалась равной

Знак плюс используется для волн, движущихся в отрицательном направлении x .Таким образом,

моделирует волну, движущуюся в положительном направлении x , а

моделирует волну, движущуюся в отрицательном направлении x .

(рисунок) известен как простая гармоническая волновая функция. Волновая функция — это любая функция, такая что

Позже в этой главе мы увидим, что это решение линейного волнового уравнения. Обратите внимание, что

работает одинаково хорошо, потому что соответствует другому фазовому сдвигу

Стратегия решения проблем: определение характеристик синусоидальной волны

1. Чтобы найти амплитуду, длину волны, период и частоту синусоидальной волны, запишите волновую функцию в виде

2. Амплитуда может быть определена прямо из уравнения и равна A .
3. Период волны можно определить по угловой частоте.

4. Частоту можно найти с помощью

5. Длину волны можно найти с помощью волнового числа.

Пример

Характеристики бегущей волны на струне

Поперечная волна на натянутой струне моделируется волновой функцией

Найдите амплитуду, длину волны, период и скорость волны.

Стратегия

Все эти характеристики волны можно найти из констант, включенных в уравнение, или из простых комбинаций этих констант.

Решение

1. Амплитуду, волновое число и угловую частоту можно определить непосредственно из волнового уравнения:

2. По волновому числу можно найти длину волны:

    *** QuickLaTeX не может составить формулу:
   \ [\ begin {array} {} \\ k = \ frac {2 \ pi} {\ lambda}.{-1}} = 1.0 \, \ text {m}. \ Hfill \ end {array} \]
   
   *** Сообщение об ошибке:
   В преамбуле выравнивания вставлен пропущенный #.
   начальный текст: \ [\ begin {array} {}
   Не указан $ вставлен.
   начальный текст: \ [\ begin {array} {} \\ k = \ frac {2 \ pi} {\ lambda}
   Отсутствует $ вставлен.
   начальный текст: \ [\ begin {array} {} \\ k = \ frac {2 \ pi} {\ lambda}
   Отсутствует $ вставлен.
   начальный текст: \ [\ begin {array} {} \\ k = \ frac {2 \ pi} {\ lambda}
   Extra}, или забытый $.
   начальный текст: \ [\ begin {array} {} \\ k = \ frac {2 \ pi} {\ lambda}
   Отсутствует} вставлено.начальный текст: ... k = \ frac {2 \ pi} {\ lambda}. \ hfill \\ \ lambda
   Extra}, или забытый $.
   начальный текст: ... k = \ frac {2 \ pi} {\ lambda}. \ hfill \\ \ lambda
   Отсутствует} вставлено.
   начальный текст: ... k = \ frac {2 \ pi} {\ lambda}. \ hfill \\ \ lambda
   Extra}, или забытый $.
   начальный текст: ... k = \ frac {2 \ pi} {\ lambda}. \ hfill \\ \ lambda
   Отсутствует} вставлено.
   начальный текст: ... k = \ frac {2 \ pi} {\ lambda}. \ hfill \\ \ lambda
   
    

3. Период волны можно найти, используя угловую частоту:

4. Скорость волны можно найти, используя волновое число и угловую частоту.Направление волны можно определить, рассматривая знак

   : отрицательный знак означает, что волна движется в положительном направлении x :

Значение

Все характеристики волны содержатся в волновой функции. Обратите внимание, что скорость волны — это скорость волны в направлении, параллельном движению волны. Построение графика высоты среднего y в сравнении с положением x дважды

и

может обеспечить графическую визуализацию волны ((рисунок)).

, а сплошная линия представляет волну

Поскольку скорость волны постоянна, расстояние, на которое проходит волна, равно скорости волны, умноженной на временной интервал. Черные точки указывают точки, используемые для измерения смещения волны. Среда движется вверх и вниз, а волна движется вправо.

У движения есть вторая скорость. В этом примере волна является поперечной, движущейся горизонтально, когда среда колеблется вверх и вниз перпендикулярно направлению движения. График на (Рисунок) показывает движение среды в точке

как функция времени. Обратите внимание, что среда волны колеблется вверх и вниз между

и

каждые 4,0 секунды.

Среда колеблется между

и

каждый период. Представленный период выбирает две удобные точки колебаний для измерения периода. Период может быть измерен между любыми двумя соседними точками с одинаковой амплитудой и одинаковой скоростью,

Скорость можно найти, посмотрев на касательную к точке наклона на графике y-t.Обратите внимание, что иногда

и

высота и скорость такие же, период колебаний 4,00 с.

Проверьте свое понимание

Волновая функция, приведенная выше, получена с помощью синусоидальной функции. Можно ли вместо этого использовать функцию косинуса?

[show-answer q = ”fs-id1165035717403 ″] Показать решение [/ show-answer]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1165035717403 ″]

Да, функция косинуса равна функции синуса с фазовым сдвигом, и любая функция может использоваться в волновой функции.Какую функцию удобнее использовать, зависит от начальных условий. На (Рисунок) волна имеет начальную высоту

, а затем высота волны увеличивается до максимальной высоты на гребне. Если начальная высота в начальный момент времени была равна амплитуде волны

, тогда было бы удобнее моделировать волну с помощью функции косинуса.
[/ hidden-answer]

Скорость и ускорение среды

Как видно на (Рисунок), скорость волны постоянна и представляет собой скорость волны, когда она распространяется через среду, а не скорость частиц, составляющих среду.Частицы среды колеблются вокруг положения равновесия, когда волна распространяется через среду. В случае поперечной волны, распространяющейся в направлении x , частицы колеблются вверх и вниз в направлении y , перпендикулярно движению волны. Скорость частиц среды непостоянна, что означает ускорение. Скорость среды, которая перпендикулярна скорости волны в поперечной волне, может быть найдена путем взятия частной производной уравнения положения по времени.Для нахождения частной производной берется производная функции и все переменные рассматриваются как константы, за исключением переменной, о которой идет речь. В случае частной производной по времени t позиция x обрабатывается как константа. Хотя это может показаться странным, если вы не видели этого раньше, цель этого упражнения — найти поперечную скорость в точке, поэтому в этом смысле положение x не меняется. У нас

Величина максимальной скорости среды

.Это может показаться знакомым по «Колебаниям» и массе на пружине.

Мы можем найти ускорение среды, взяв частную производную уравнения скорости по времени,

Величина максимального ускорения

Частицы среды или элементы массы колеблются в простом гармоническом движении для механической волны.

Линейное волновое уравнение

Мы только что определили скорость среды в позиции x , взяв частную производную по времени от позиции y .Для поперечной волны эта скорость перпендикулярна направлению распространения волны. Мы нашли ускорение, взяв частную производную по времени от скорости, которая является второй производной по времени от положения:

Теперь рассмотрим частные производные по другой переменной, позиции x , сохраняющей постоянную времени. Первая производная — это наклон волны в точке x в момент времени t ,

Вторая частная производная выражает, как наклон волны изменяется в зависимости от положения — другими словами, кривизна волны, где

Соотношение ускорения и кривизны приводит к очень важному соотношению в физике, известному как линейное волновое уравнение .Взяв соотношение и используя уравнение

дает линейное волновое уравнение (также известное как волновое уравнение или уравнение колеблющейся струны),

(рисунок) — это линейное волновое уравнение, которое является одним из самых важных уравнений в физике и технике. Мы вывели его здесь для поперечной волны, но он не менее важен при исследовании продольных волн. Это соотношение также было получено с использованием синусоидальной волны, но оно успешно описывает любую волну или импульс, имеющий форму

Эти волны возникают из-за линейной возвращающей силы среды — отсюда и название линейного волнового уравнения.Любая волновая функция, удовлетворяющая этому уравнению, является линейной волновой функцией.

Интересный аспект линейного волнового уравнения заключается в том, что если две волновые функции являются индивидуальными решениями линейного волнового уравнения, то сумма двух линейных волновых функций также является решением волнового уравнения. Рассмотрим две поперечные волны, которые распространяются по оси x , занимая одну и ту же среду. Предположим, что отдельные волны можно моделировать с помощью волновых функций

и

, которые являются решениями линейных волновых уравнений и, следовательно, являются линейными волновыми функциями.Сумма волновых функций — это волновая функция

Рассмотрим линейное волновое уравнение:

Это показало, что если две линейные волновые функции сложить алгебраически, результирующая волновая функция также будет линейной. Эта волновая функция моделирует смещение среды результирующей волны в каждом положении по оси x . Если две линейные волны занимают одну и ту же среду, говорят, что они интерферируют. Если эти волны можно моделировать с помощью линейной волновой функции, эти волновые функции складываются, чтобы сформировать волновое уравнение волны, возникающей в результате интерференции отдельных волн.Смещение среды в каждой точке результирующей волны представляет собой алгебраическую сумму смещений, вызванных отдельными волнами.

Сделаем еще один шаг в этом анализе, если волновые функции

и

— решения линейного волнового уравнения, тогда

, где A и B — константы, также является решением линейного волнового уравнения. Это свойство известно как принцип суперпозиции.Интерференция и суперпозиция более подробно описаны в Интерференции волн.

Пример

Интерференция волн на струне

Рассмотрим очень длинную веревку, натянутую двумя учениками, по одной с каждого конца. Студент А раскачивает конец струны, создавая волну, моделируемую волновой функцией

и студент B колеблют струну с удвоенной частотой, двигаясь в противоположном направлении. Обе волны движутся с одинаковой скоростью

Две волны интерферируют, образуя результирующую волну с волновой функцией

Найдите скорость образовавшейся волны, используя линейное волновое уравнение

Стратегия

Сначала напишите волновую функцию для волны, созданной вторым учеником.Обратите внимание, что угловая частота второй волны в два раза больше частоты первой волны

, а поскольку скорости двух волн одинаковы, волновое число второй волны вдвое больше, чем у первой волны

Затем напишите волновое уравнение для полученной волновой функции, которая является суммой двух отдельных волновых функций. Затем найдите вторую частную производную по положению и вторую частную производную по времени.Используйте линейное волновое уравнение, чтобы найти скорость получившейся волны.

Решение

1. Запишите волновую функцию второй волны:

2. Запишите получившуюся волновую функцию:

3. Найдите частные производные:

4. Используйте волновое уравнение, чтобы найти скорость получившейся волны:

Значение

Скорость образовавшейся волны равна скорости исходных волн

В следующем разделе мы покажем, что скорость простой гармонической волны на струне зависит от натяжения струны и массы, приходящейся на длину струны.По этой причине неудивительно, что составляющие волны, а также результирующая волна, движутся с одинаковой скоростью.

Проверьте свое понимание

Волновое уравнение

работает для любой волны формы

В предыдущем разделе мы заявили, что функция косинуса также может использоваться для моделирования простой гармонической механической волны. Проверим, если волна

— это решение волнового уравнения.

[show-answer q = ”4

″] Показать решение [/ show-answer]
[hidden-answer a =” 4

″] Эта волна с амплитудой

длина волны

период

— решение волнового уравнения со скоростью волны

[/ hidden-answer]

Любое возмущение, которое соответствует волновому уравнению, может распространяться как волна, движущаяся по оси x со скоростью волны v .Он одинаково хорошо работает с волнами на струне, звуковыми волнами и электромагнитными волнами. Это уравнение чрезвычайно полезно. Например, с его помощью можно показать, что электромагнитные волны движутся со скоростью света.

Сводка

• Волна — это колебание (физической величины), которое распространяется через среду, сопровождаемое передачей энергии. Энергия передается из одной точки в другую в направлении движения волны. Частицы среды колеблются вверх и вниз, назад и вперед или одновременно вверх и вниз, вперед и назад вокруг положения равновесия.
• Снимок синусоидальной волны во времени

  можно смоделировать как функцию положения. Два примера таких функций:

  и

• Учитывая функцию волны, которая является моментальным снимком волны и является функцией только положения x , движение импульса или волны, движущейся с постоянной скоростью, можно смоделировать с помощью функции, заменив x с

  .Знак минус означает движение в положительном направлении, а знак плюс — в отрицательном направлении.

• Волновая функция определяется выражением

  где

  определяется как волновое число,

  — угловая частота, а

  — фазовый сдвиг.

• Волна движется с постоянной скоростью

  , где частицы среды колеблются около положения равновесия.Постоянную скорость волны можно найти с помощью

  .

Концептуальные вопросы

Если бы вы встряхивали конец туго натянутой пружины 10 раз в секунду, какова была бы частота и период синусоидальной волны, создаваемой пружиной?

Если вы встряхнете конец растянутой пружины вверх и вниз с частотой f , вы можете создать синусоидальную поперечную волну, распространяющуюся вниз по пружине. Зависит ли волновое число от частоты встряхивания пружины?

[показывать-ответ q = ”fs-id11650316 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id11650316 ″]

Длина волны равна скорости волны, умноженной на частоту, а волновое число равно

, так что да, волновое число будет зависеть от частоты, а также от скорости волны, распространяющейся через пружину.
[/ hidden-answer]

Зависит ли вертикальная скорость сегмента горизонтальной натянутой струны, по которой распространяется синусоидальная поперечная волна, от скорости волны поперечной волны?

В этом разделе мы рассмотрели волны, движущиеся с постоянной скоростью. Среда ускоряется?

[показывать-ответ q = ”fs-id1165038973967 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1165038973967 ″]

Среда движется в простом гармоническом движении, когда волна распространяется через среду, непрерывно изменяя скорость, поэтому она ускоряется.Ускорение среды происходит из-за возвращающей силы среды, которая действует в направлении, противоположном перемещению.

[/ hidden-answer]

Если вы уроните гальку в пруд, вы можете заметить, что образуется несколько концентрических волн, а не одна. Как вы думаете, почему это так?

Проблемы

Импульс можно описать как одиночное волновое возмущение, которое движется через среду. Рассмотрим импульс, который определяется в момент времени

по уравнению

сосредоточено вокруг

Импульс движется со скоростью

в положительном направлении x .а) Какова амплитуда импульса? б) Каково уравнение импульса как функции положения и времени? (c) Где находится пульс с центром в момент времени

?

Поперечная волна на струне моделируется волновой функцией

Какова высота струны относительно положения равновесия в позиции

и время

[показывать-ответ q = ”fs-id116503

87 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id116503

87 ″]

[/ hidden-answer]

Рассмотрим волновую функцию

Каковы период, длина волны, скорость и начальный фазовый сдвиг волны, моделируемой волновой функцией?

Импульс определяется как

Используйте электронную таблицу или другую компьютерную программу, чтобы отобразить импульс как высоту среды y как функцию положения x .Постройте пульс на временах

и

на том же графике. Где находится центр пульса в момент времени

? Используйте свою таблицу, чтобы проверить свой ответ.
[Показать-ответ q = ”785853 ″] Показать решение [/ Показать-ответ]
[Скрытый-ответ a =” 785853 ″] Пульс переместится на

. [/ Hidden-answer]

Волна моделируется в момент времени

с волновой функцией, зависящей от положения.Уравнение

. Волна проходит расстояние 4,00 метра за 0,50 с в положительном направлении x . Напишите уравнение волны как функции положения и времени.

Волна моделируется функцией

Найдите (a) амплитуду, (b) волновое число, (c) угловую частоту, (d) скорость волны, (e) фазовый сдвиг, (f) длину волны и (g) период волны.

[показывать-ответ q = ”fs-id1165039411797 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1165039411797 ″]

а.

г.

г.

г.

e.

ф.

; г.

[/ hidden-answer]

Поверхностная океанская волна имеет амплитуду 0,60 м, а расстояние от впадины до впадины составляет 8,00 м. Он движется с постоянной скоростью волны 1,50 м / с, распространяясь в положительном направлении x .На

водоизмещение на

равно нулю, а

положительный. (a) Предполагая, что волна может быть смоделирована как синусоидальная волна, напишите волновую функцию для моделирования волны. (b) Используйте электронную таблицу, чтобы построить волновую функцию на временах

и

на том же графике. Убедитесь, что волна перемещается на 3,00 м за эти 2,00 с.

Волна моделируется волновой функцией

Каковы амплитуда, длина волны, скорость волны, период и частота волны?

[показывать-ответ q = ”fs-id116503

33 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id116503

33 ″]

[/ hidden-answer]

Поперечная волна на струне описывается волновой функцией

.а) Какова волновая скорость волны? (б) Какова величина максимальной скорости струны, перпендикулярной направлению движения?

Пловец в океане однажды заметил, что волны на поверхности океана имеют периодический характер и напоминают синусоидальную волну. Пловец оценивает вертикальное расстояние между гребнем и впадиной каждой волны приблизительно 0,45 м, а расстояние между каждым гребнем приблизительно 1,8 м. Пловец считает, что каждые две минуты проходят 12 волн.Определите простую гармоническую волновую функцию, которая описывает эти волны.

[показывать-ответ q = ”fs-id11650391 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id11650391 ″]

[/ hidden-answer]

Рассмотрим волну, описываемую волновой функцией

(a) Сколько гребней проходит наблюдатель в фиксированном месте за 2,00 минуты? б) Как далеко прошла волна за это время?

Рассмотрим две волны, определяемые волновыми функциями

и

В чем сходство и различие между двумя волнами?

[показывать-ответ q = ”fs-id1165035610267 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1165035610267 ″]

Они имеют одинаковую угловую частоту, частоту и период.Они едут в противоположных направлениях и

имеет в два раза большую длину волны, чем

и движется с половиной скорости волны.
[/ hidden-answer]

Рассмотрим две волны, определяемые волновыми функциями

и

В чем сходство и различие между двумя волнами?

Скорость поперечной волны на струне 300,00 м / с, ее длина волны 0.50 м, а амплитуда — 20,00 см. Сколько времени требуется, чтобы частица на струне преодолела расстояние 5,00 км?

[показывать-ответ q = ”fs-id1165039316852 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1165039316852 ″]

Каждая частица среды перемещается на расстояние 4 A за каждый период. Период можно найти, разделив скорость на длину волны:

[/ hidden-answer]

Глоссарий

линейное волновое уравнение

уравнение, описывающее волны, возникающие в результате линейной возвращающей силы среды; любая функция, которая является решением волнового уравнения, описывает волну, движущуюся в положительном направлении x или отрицательном направлении x с постоянной скоростью волны v

импульс

одиночное возмущение, которое движется в среде, передавая энергию, но не массу

волновая функция

математическая модель положения частиц среды

волновое число

Ошибка разрыва связи

Панель приборов

BIOE110 Public

Перейти к содержанию Панель приборов

• Авторизоваться

• Панель приборов

• Календарь

• Входящие

• История

• Помощь

Закрывать
• Мой Dashboard
• BIOE110 Public
• Home
• Syllabus
• Modules
• Assignments
• Panopto Recordings
• Clickers
• Course Reserve
• Adobe Creative Cloud

К сожалению, вы обнаружили неработающую ссылку!

Синусоидальная форма волны

Введение

Среди всех форм волны синусоидальные волны часто используются из-за простоты их представления и некоторых конкретных преимуществ.Синусоидальная или синусоидальная волна — это кривая, описывающая плавные повторяющиеся колебания. Мы можем определить синусоидальную волну как «форму волны, в которой амплитуда всегда пропорциональна синусу угла смещения в каждый момент времени».

Все волны можно получить путем сложения синусоид. Синусоидальная волна имеет повторяющийся узор. Длина этого повторяющегося отрезка синусоидальной волны называется длиной волны.

Это самая основная форма как функция времени (t):

Y (t) = A sin (2πft + φ) = A sin (ωt + φ)

Где

A — амплитуда,

F — частота,

ω = 2πf, угловая частота,

φ — фаза

В начало

Генерация синусоидальной волны

Существует много методов генерации синусоидальной волны.Они перечислены ниже.

• Кварцевый кварцевый осциллятор
• Осциллятор отрицательного сопротивления
• Базовый генератор переменного тока с одной катушкой
• Генератор с фазовым сдвигом
• Осциллятор с мостом Вейна и т. Д. объяснено в нашей предыдущей статье «Теория переменного тока».

  Вернуться к началу

  Что такое R.P.M.?

  об / мин Расшифровывается как «Обороты в минуту».Это означает, что «количество оборотов, сделанных катушкой», называется «об / мин». Например, предположим, что вал двигателя совершает 100 оборотов в минуту, тогда скорость двигателя называется «100 об / мин»

  Число полюсов всегда является четным числом.

  Соотношение между частотой вращения катушки, частотой генерируемой синусоидальной волны и числом полюсов приведено ниже.

  Обычно мы говорим ω = 2π f , но в случае, когда вращение происходит из-за магнитных полюсов, мы записываем угловую скорость как

  ω = (2 / n) [2π f ], где n представляет количество полюсов

  Как известно, n = 60 f , затем

  Число оборотов можно записать как,

  N _p = (2 × 60) f / p

  ω _ротор = ( 2 / Полюса) x 2 πf (рад / с)

  N _p = 120f / Полюса (об / мин)

  Где

  ω — угловая скорость синусоидальной волны

  N — количество полюсов.

  F — частота формы волны.

  π Константа со значением 3,1416.

  Число полюсов в зависимости от скорости машины с частотой 60 Гц составляет

  Число полюсов в зависимости от скорости машины с частотой 50 Гц составляет

  В начало

  Мгновенное напряжение

  Мгновенное Напряжение — это напряжение между двумя точками в определенный момент времени. Напряжение формы волны в данный момент времени называется «Мгновенное напряжение».

  
  
  На приведенной выше диаграмме v1, v2, v3, v4, v5, v6 …… — мгновенные напряжения синусоидальной волны.

  Чтобы найти мгновенное значение напряжения синусоидальной волны, мы зависим от максимального напряжения синусоидальной волны.

  Мгновенное напряжение = Максимальное напряжение x sin θ

  Vinst = Vmax x sin θ

  В начало

  Смещение катушки в магнитном поле

  Смещение синусоидальной волны определяется по углу поворота катушка.Он обозначен буквой «θ». Фактически, чтобы найти мгновенное напряжение, мы умножаем максимальное или размах напряжения синусоидальной волны на синус угла поворота катушки.

  Угол поворота катушки в магнитном поле θ = ωt

  Где

  ω — угловая скорость синусоидальной волны

  t — временной период синусоидальной волны.

  Для известного значения максимального напряжения синусоидальной волны мы можем вычислить мгновенные напряжения вдоль формы волны.Поскольку мгновенное значение дает позиционное значение синусоиды, мы можем построить график на синусоиде. Это придает форму синусоидальной волны.

  На рисунке выше показана амплитуда синусоидальной волны. На рис. (1) якорь в магнитном поле движется с большой амплитудой, поэтому генерируемая синусоида будет формировать положительный полупериод. Но на рис. (2) якорь в магнитном поле движется с малой амплитудой, поэтому генерируемая синусоида будет формировать отрицательный полупериод.

  Чтобы легко это понять, мы построим мгновенные значения синусоидальной волны через каждые 45o.За один полный цикл у нас может быть 8 значений для каждых 45o угла.

  В начало

  Конструкция синусоидальной волны

  Построив график в различных случаях вращающейся катушки в магнитном поле, от 0o до 360o мы можем нарисовать образец синусоидальной волны. В этом случае, когда фаза синусоидальной волны равна 00, 1800 и 360 0, амплитуда синусоидальной волны равна 0, что означает отсутствие ЭДС, индуцированной во вращающейся катушке.

  Это потому, что никакая часть движущейся катушки не подвержена влиянию линий магнитного потока.Нулевая ЭДС, индуцированная в положениях A и E. Аналогично, при фазах 900 и 2700 синусоида будет иметь максимальную амплитуду. Это происходит в C&G.

  В других положениях синусоидальной волны (B, D, F, H) ЭДС будет согласно формуле, e = Vmax * sinθ.

  Значение ЭДС синусоидальной волны относительно фазового угла подвижной катушки приведено ниже.

  Итак, синусоида имеет высокую амплитуду (положительную) при 900 и высокое значение амплитуды (отрицательное) при 2700.

  В начало

  Угловая скорость синусоиды

  Это скорость изменения углового смещения во времени. «Угловая скорость» — это измерение скорости изменения углового положения объекта за период времени. Обозначается через ω.

  Это векторная величина. Единицы для угловой скорости: РАДИАНЫ или градусы

  ω = 2π f (рад / с)

  Поскольку частота переменного тока в Индии составляет 50 Гц, угловая скорость может быть измерена как 314.16 рад / сек.
  Угловая скорость определяется как скорость кругового движения катушки в генераторе переменного тока.

  Как мы уже объясняли выше, он обозначается через ω. Это функция периода времени синусоидальной волны, то есть времени, необходимого для совершения одного оборота (T).

  Мы знаем, что частота обратно пропорциональна периоду времени синусоидальной волны. т.е. f = 1 / T. Таким образом, угловая скорость синусоидальной волны в периоде времени задается как

  ω = 2 π / T (рад / с)

  Из приведенного выше уравнения мы можем сказать, что угловая Скорость синусоидальной волны обратно пропорциональна периоду времени синусоидальной волны.Это означает, что чем выше значение периода времени, тем ниже угловая скорость и наоборот.

  Пример синусоидальной формы волны

  Если синусоидальная волна определена как Vm¬ = 150 sin (220t), то найдите ее среднеквадратичную скорость, частоту и мгновенную скорость формы волны через 5 мс времени.

  Решение:

  Общее уравнение для синусоидальной волны Vt = Vm sin (ωt)

  Сравнивая это с данным уравнением Vm¬ = 150 sin (220t),

  Пиковое напряжение максимальное напряжение 150 вольт и

  Угловая частота 220 рад / сек.

  Среднеквадратичная скорость формы волны задается как

  Vrms = 0,707 x максимальная амплитуда или пиковое значение.

  = 0,0707 x 150 = 106,05 вольт

  Угол синусоидальной волны является функцией ее частоты, поскольку мы знаем угловую скорость синусоидальной волны, поэтому мы можем определить частоту формы волны. Используя соотношение между ω и f

  Угловая скорость (ω) =

  Частота (f) = ω / 2 π

  Для данной формы синусоидальной волны ω = 220,

  Частота = 220/2 π

  = 220 / (2 х 3.1416)

  = 220 / 6,2832

  = 35,0140 Гц

  Мгновенное значение, полученное через 5 мсек, может быть вычислено с использованием приведенной ниже формулы.

  Vi = 150 sin (220 x 5 мс)

  = 150 sin (1.1)

  = 150 x 0,019

  = 133,68 вольт

  Фаза угла в момент времени t = 5 мс вычисляется в радианах. Мы можем очень просто преобразовать радианы в градусы. Формула преобразования радианов в градусы:

  Градусов = (1800 / π) × радианы

  Преобразование 1.1 радиан в градусах,

  = (1800 / π) x 1,1

  = 63,02 градуса

  К началу

  Синусоидальная форма волны или синусоидальная волна в цепи переменного тока

  Если этот однопроволочный проводник перемещается или вращается в стационарном магнитном поле, внутри проводника индуцируется «ЭДС» (электродвижущая сила) из-за движения проводника через магнитный поток.

  Из этого мы можем видеть, что существует связь между электричеством и магнетизмом, что дает нам, поскольку Майкл Фарадей открыл эффект «электромагнитной индукции», и это основной принцип, который электрические машины и генераторы используют для генерации синусоидальной волны для нашей сети поставлять.

  В учебнике «Электромагнитная индукция» мы сказали, что когда однопроволочный проводник проходит через постоянное магнитное поле, тем самым разрезая его линии магнитного потока, в нем индуцируется ЭДС.

  Однако, если проводник движется параллельно магнитному полю в случае точек A и B, никакие линии потока не обрезаются, и в проводнике не индуцируется ЭДС, но если проводник движется под прямым углом к ​​магнитному полю, как в случае точек C и D максимальное количество магнитного потока сокращается, создавая максимальное количество наведенной ЭДС.

  Кроме того, поскольку проводник разрезает магнитное поле под разными углами между точками A и C, 0 и 90 ^o , величина наведенной ЭДС будет находиться где-то между этим нулевым и максимальным значением. Тогда величина ЭДС, индуцированная внутри проводника, зависит от угла между проводником и магнитным потоком, а также от силы магнитного поля.

  Генератор переменного тока использует принцип электромагнитной индукции Фарадея для преобразования механической энергии, такой как вращение, в электрическую энергию, синусоидальную форму волны .Простой генератор состоит из пары постоянных магнитов, создающих фиксированное магнитное поле между северным и южным полюсами. Внутри этого магнитного поля находится одиночная прямоугольная петля из проволоки, которую можно вращать вокруг фиксированной оси, что позволяет отрезать магнитный поток под разными углами, как показано ниже.

  Базовый генератор переменного тока с одной катушкой

  Когда катушка вращается против часовой стрелки вокруг центральной оси, которая перпендикулярна магнитному полю, проволочная петля перерезает силовые линии магнитного поля, образованные между северным и южным полюсами, под разными углами при вращении петли.Величина наведенной ЭДС в петле в любой момент времени пропорциональна углу поворота проволочной петли.

  Когда эта проволочная петля вращается, электроны в проволоке обтекают петлю в одном направлении. Теперь, когда проволочная петля повернулась за точку 180 ^o и перемещается по магнитным силовым линиям в противоположном направлении, электроны в проволочной петле изменяются и текут в противоположном направлении. Тогда направление движения электрона определяет полярность наведенного напряжения.

  Итак, мы можем видеть, что когда контур или катушка физически вращаются на один полный оборот, или 360 ^o , создается одна полная синусоидальная форма волны, причем один цикл формы волны создается для каждого вращения катушки. Когда катушка вращается в магнитном поле, электрические соединения с катушкой выполняются с помощью угольных щеток и контактных колец, которые используются для передачи электрического тока, индуцированного в катушке.

  Величина ЭДС, индуцированная в катушке, пересекающей магнитные силовые линии, определяется следующими тремя факторами.

  • Скорость — скорость, с которой катушка вращается внутри магнитного поля.
  • Strength — сила магнитного поля.
  • Длина — длина катушки или проводника, проходящего через магнитное поле.

  Мы знаем, что частота источника питания — это количество раз, когда цикл появляется за одну секунду, и эта частота измеряется в герцах. Поскольку один цикл наведенной ЭДС создается за каждый полный оборот катушки через магнитное поле, состоящее из северного и южного полюсов, как показано выше, если катушка вращается с постоянной скоростью, постоянное количество циклов будет производиться в секунду, что дает постоянную частота.Таким образом, при увеличении скорости вращения катушки частота также будет увеличиваться. Следовательно, частота пропорциональна скорости вращения, (ƒ ∝ Ν), где Ν = об / мин.

  Кроме того, наш простой генератор с одной катушкой, показанный выше, имеет только два полюса, один северный и один южный полюс, что дает только одну пару полюсов. Если мы добавим больше магнитных полюсов к генератору выше, так что теперь он имеет всего четыре полюса, два северных и два южных, то для каждого оборота катушки будут производиться два цикла с той же скоростью вращения.Следовательно, частота пропорциональна количеству пар магнитных полюсов (ƒ ∝ P) генератора, где P = количество «пар полюсов».

  Тогда из этих двух фактов мы можем сказать, что выходная частота генератора переменного тока равна:

  Где: Ν — скорость вращения в об / мин. P — количество «пар полюсов», а 60 преобразует его в секунды.

  Мгновенное напряжение

  ЭДС, индуцированная в катушке в любой момент времени, зависит от скорости или скорости, с которой катушка пересекает линии магнитного потока между полюсами, и это зависит от угла поворота Тета (θ) генерирующего устройства.Поскольку форма сигнала переменного тока постоянно меняет свое значение или амплитуду, форма сигнала в любой момент времени будет иметь другое значение, чем в следующий момент времени.

  Например, значение 1 мс будет отличаться от значения 1,2 мс и так далее. Эти значения обычно известны как мгновенных значений или V _i . Тогда мгновенное значение формы волны, а также ее направление будут меняться в зависимости от положения катушки в магнитном поле, как показано ниже.

  Смещение катушки в магнитном поле

  Мгновенные значения синусоидального сигнала задаются как «Мгновенное значение = Максимальное значение x sin θ», и это обобщается формулой.

  Где, V _max — максимальное напряжение, индуцированное в катушке, а θ = ωt — угол поворота катушки во времени.

  Если нам известно максимальное или пиковое значение сигнала, с помощью формулы, приведенной выше, можно рассчитать мгновенные значения в различных точках сигнала.Нанося эти значения на миллиметровую бумагу, можно построить синусоидальную форму волны.

  Для простоты мы будем строить мгновенные значения для синусоидальной формы волны через каждые 45 ^o оборотов, что дает нам 8 точек для построения графика. Опять же, для простоты мы примем максимальное значение напряжения, V _MAX , равное 100 В. Построение мгновенных значений через более короткие интервалы, например, каждые 30 ^o (12 точек) или 10 ^o (36 точек), например, приведет к более точному построению синусоидальной формы сигнала.

  Построение синусоидальной формы волны

  Угол витка (θ)	0	45	90	135	180	225	270	315	360
  e = Vmax.sinθ	0	70,71	100	70,71	0	-70,71	-100	-70,71	-0

  Точки на синусоидальной форме волны получаются путем проецирования поперек различных положений вращения между 0 ^o и 360 ^o на ординату формы волны, которая соответствует углу θ и когда проволочная петля или катушка вращается на единицу. полный оборот, или 360 ^o , создается одна полная форма волны.

  Из графика синусоидальной формы волны мы можем видеть, что когда θ равно 0 ^o , 180 ^o или 360 ^o , генерируемая ЭДС равна нулю, поскольку катушка отсекает минимальное количество линий потока. Но когда θ равно 90 ^o и 270 ^o , генерируемая ЭДС имеет максимальное значение, поскольку максимальное количество магнитного потока сокращается.

  Следовательно, синусоидальный сигнал имеет положительный пик при 90 ^o и отрицательный пик при 270 ^o .Позиции B, D, F и H генерируют значение ЭДС, соответствующее формуле: e = Vmax.sinθ.

  Тогда форма сигнала, создаваемая нашим простым генератором с одним контуром, обычно называется Sine Wave , так как она, как говорят, имеет синусоидальную форму. Этот тип сигнала называется синусоидой, потому что он основан на тригонометрической синусоидальной функции, используемой в математике, (x (t) = Amax.sinθ).

  При работе с синусоидальными волнами во временной области и особенно с синусоидальными волнами, связанными с током, единицей измерения, используемой вдоль горизонтальной оси формы волны, может быть время, градусы или радианы.В электротехнике чаще используется Radian для измерения угла по горизонтальной оси, а не в градусах. Например, ω = 100 рад / с или 500 рад / с.

  Радианы

  Радиан , (рад) математически определяется как квадрант круга, где расстояние, нанесенное на окружность круга, равно длине радиуса (r) того же круга. Поскольку длина окружности равна 2π x радиусу, вокруг 360 ^o круга должно быть 2π радиана.

  Другими словами, радиан — это единица измерения угла, и длина одного радиана (r) уместится 6,284 (2 * π) раза по всей окружности круга. Таким образом, один радиан равен 360 ^o / 2π = 57,3 ^o . В электротехнике очень часто используются радианы, поэтому важно помнить следующую формулу.

  Определение радиана

  Использование радиан в качестве единицы измерения для синусоидальной формы волны даст 2π радиан для одного полного цикла 360 ^o .Тогда половина синусоидального сигнала должна быть равна 1π радиан или просто π (пи). Тогда, зная, что пи, (π) равно 3,142, соотношение между градусами и радианами для синусоидальной формы волны, следовательно, дается как:

  Связь между градусами и радианами

  Применение этих двух уравнений к различным точкам на осциллограмме дает.

  Преобразование между градусами и радианами для более распространенных эквивалентов, используемых в синусоидальном анализе, приведено в следующей таблице.

  Связь между градусами и радианами

  градусов	Радианы	градусов	Радианы	градусов	Радианы
  0 или	0	135 или	3π 4	270 o	3π 2
  30 o	π 6	150 или	5π 6	300 o	5π 3
  45 o	π 4	180 или	π	315 или	7π 4
  60 o	π 3	210 или	7π 6	330 или	11π 6
  90 o	π 2	225 o	5π 4	360 o	2π
  120 o	2π 3	240 или	4π 3

  Скорость, с которой генератор вращается вокруг своей центральной оси, определяет частоту синусоидального сигнала.Так как частота сигнала задается как Гц или циклов в секунду, форма сигнала также имеет угловую частоту ω (греческая буква омега) в радианах в секунду. Тогда угловая скорость синусоидального сигнала задается как.

  Угловая скорость синусоидального сигнала

  , а в Соединенном Королевстве угловая скорость или частота сети задается как:

  в США, поскольку частота их электросети составляет 60 Гц, это можно представить как: 377 рад / с

  Итак, теперь мы знаем, что скорость, с которой генератор вращается вокруг своей центральной оси, определяет частоту синусоидальной формы волны, которую также можно назвать его угловой скоростью , ω.Но к настоящему времени мы также должны знать, что время, необходимое для завершения одного полного оборота, равно периодическому времени (T) синусоидального сигнала.

  Поскольку частота обратно пропорциональна своему периоду времени, = 1 / T, мы можем, следовательно, заменить величину частоты в приведенном выше уравнении на эквивалентную периодическую величину времени, и подстановка дает нам.

  Вышеприведенное уравнение утверждает, что для меньшего периодического времени синусоидального сигнала должна быть большая угловая скорость сигнала.Аналогично в приведенном выше уравнении для величины частоты, чем выше частота, тем выше угловая скорость.

  Пример синусоидальной формы волны №1

  Синусоидальная форма волны определяется как: В _м = 169,8 sin (377t) вольт. Рассчитайте среднеквадратичное значение напряжения сигнала, его частоту и мгновенное значение напряжения (V _i ) через шесть миллисекунд (6 мс).

  Мы знаем из вышеизложенного, что общее выражение для синусоидальной формы волны:

  Затем сравним это с нашим приведенным выше выражением для синусоидальной формы волны V _m = 169.8 sin (377t) даст нам пиковое значение напряжения 169,8 вольт для сигнала.

  Осциллограммы Среднеквадратичное значение напряжения рассчитывается как:

  Угловая скорость (ω) равна 377 рад / с. Тогда 2πƒ = 377. Итак, частота сигнала рассчитывается как:

  .

  Мгновенное значение напряжения V _i через время 6 мс определяется как:

  Обратите внимание, что угловая скорость в момент времени t = 6 мсек дана в радианах (радах).При желании мы могли бы преобразовать это значение в эквивалентный угол в градусах и использовать это значение вместо этого для вычисления мгновенного значения напряжения. Угол в градусах мгновенного значения напряжения, следовательно, задается как:

  Синусоидальная форма волны

  Тогда обобщенный формат, используемый для анализа и расчета различных значений синусоидальной формы волны , выглядит следующим образом:

  Синусоидальная форма волны

  В следующем уроке о разности фаз мы рассмотрим взаимосвязь между двумя синусоидальными сигналами, которые имеют одинаковую частоту, но проходят через горизонтальную нулевую ось в разные интервалы времени.

  Прецизионный преобразователь преобразователя в цифровой преобразователь

  измеряет угловое положение и скорость

  Введение

  Резольверы, электромеханические датчики, которые измеряют точное угловое положение, работают как трансформаторы с регулируемой связью, причем величина магнитной связи между первичной обмоткой и двумя вторичными обмотками изменяется в зависимости от положения вращающегося элемента (ротора), который обычно устанавливается на двигателе. вал.Используемые в промышленных системах управления двигателями, сервоприводами, робототехнике, силовых агрегатах гибридных и полностью электрических транспортных средств и во многих других приложениях, требующих точного вращения вала, резольверы могут выдерживать суровые условия в течение очень долгого времени, что делает их идеальным выбором для военные системы в суровых условиях.

  Стандартные резольверы имеют первичную обмотку на роторе и две вторичные обмотки на статоре. С другой стороны, резольверы переменного сопротивления не имеют обмоток на роторе.Их первичная и вторичная обмотки находятся на статоре, но выступ (открытые полюса) ротора связывает синусоидальное изменение вторичной обмотки с угловым положением. На рис. 1 показаны классические резольверы и резольверы с переменным сопротивлением.

  Рис. 1. Классический резольвер против резольвера с переменным сопротивлением.

  Когда первичная обмотка R1 — R2 возбуждается синусоидальным сигналом, как выражено в уравнении 1, сигнал индуцируется во вторичных обмотках. Степень связи вторичных обмоток является функцией положения ротора относительно положения статора и коэффициента затухания, известного как коэффициент трансформации резольвера.Поскольку вторичные обмотки механически смещены на 90 °, два выходных синусоидальных сигнала сдвинуты по фазе на 90 ° относительно друг друга. Соотношения между входным и выходным напряжениями резольвера показаны в уравнении 2 и уравнении 3. Уравнение 2 — это синусоидальный сигнал; Уравнение 3 — это косинусоидальный сигнал.

  (1)

  (2)

  (3)

  где: θ — угол вала, ω — частота сигнала возбуждения, E ₀ — амплитуда сигнала возбуждения и T — коэффициент преобразования резольвера.

  Два выходных сигнала модулируются синусом и косинусом угла вала. Графическое представление сигнала возбуждения и выходных синусоидальных и косинусных сигналов показано на рисунке 2. Синусоидальный сигнал имеет максимальную амплитуду при 90 ° и 270 °, а косинусоидальный сигнал имеет максимальную амплитуду при 0 ° и 180 °.

  Рисунок 2. Представление электрического сигнала резольвера.

  Датчик резольвера имеет уникальный набор параметров, которые следует учитывать на этапе проектирования. Наиболее важные электрические параметры и соответствующие типовые характеристики приведены в таблице 1.

  Таблица 1. Ключевые параметры резольвера

  Электрические параметры	Типичный диапазон	Агрегат	Описание
  Входное напряжение	3–7	В среднеквадр.	Рекомендуемая амплитуда сигнала возбуждения, подаваемого на первичную обмотку резольвера R1 — R2
  Входная частота	50–20 000	Гц	Рекомендуемая частота сигнала возбуждения для первичной обмотки резольвера R1 — R2
  Коэффициент трансформации	0.2–1,0	В / В	Соотношение между амплитудой сигнала первичной и вторичной обмоток
  Входное сопротивление	100–500	Ом	Входное сопротивление резольвера
  Фазовый сдвиг	± 25	градусов	Фазовый сдвиг между сигналом возбуждения, подаваемым на первичную обмотку (R1 — R2), и синусоидальными / косинусными сигналами на вторичных обмотках (S3 — S1, S2 — S4)
  Полюсные пары	1–3		Число электрических оборотов на один механический оборот

  Преобразователь преобразователя в цифровой

  Первичная обмотка возбуждается опорным синусоидальным сигналом, а два дифференциальных выходных сигнала, синусоидальный и косинусный, электромагнитно индуцируются на вторичных обмотках.Взаимодействуя между резольвером и системным микропроцессором, преобразователь резольвера в цифровой преобразователь (RDC) использует эти синусоидальные и косинусоидальные сигналы для декодирования углового положения и скорости вращения вала двигателя.

  Большинство RDC используют контур слежения типа II для выполнения расчетов положения и скорости. В контурах типа II используется фильтр второго порядка, чтобы гарантировать, что установившиеся ошибки равны нулю для стационарных или постоянных входных сигналов. RDC одновременно производит выборку обоих входных сигналов для передачи оцифрованных данных в контур слежения.Новейшим примером RDC, в котором используется этот тип контура, является полный 10-битный в 16-битный отслеживающий преобразователь ADI AD2S1210, чей встроенный в кристалл программируемый синусоидальный генератор обеспечивает сигнал возбуждения для первичной обмотки.

  Как указано в Таблице 1, типичному резольверу требуется сигнал с низким импедансом от 3 до 7 В (среднеквадратичное значение) для управления первичной обмоткой. Работая от источника питания 5 В, RDC обычно подает дифференциальный сигнал 7,2 В (размах) на выходах возбуждения. Этот сигнал не имеет достаточной амплитуды и мощности возбуждения, чтобы соответствовать входным характеристикам резольвера.Кроме того, резольверы ослабляют сигналы до 5 раз, поэтому выходная амплитуда резольвера не соответствует требованиям к входной амплитуде RDC, указанным в таблице 2.

  Решением этой проблемы является использование дифференциального усилителя для усиления синусоидального сигнала на первичной обмотке. Этот усилитель должен выдерживать нагрузку до 100 Ом. Обычной практикой является управление первичной обмоткой с помощью сильного сигнала для получения хорошего отношения сигнал / шум. Выходные синусоидальные и косинусоидальные сигналы затем можно ослабить с помощью резисторного делителя.

  Во многих промышленных и автомобильных приложениях RDC используются в шумных средах, которые могут вызывать высокочастотный шум в синусоидальных и косинусных линиях. Чтобы решить эту проблему, вставьте простой дифференциальный фильтр нижних частот как можно ближе к RDC. На рисунке 3 показан типичный интерфейс преобразователя в цифровой преобразователь, включая усилитель и фильтр.

  Рисунок 3. Типовая блок-схема системы резольвера.

  Теория работы

  На рисунке 4 показаны рабочие блоки в RDC.Преобразователь непрерывно отслеживает угол θ вала, создавая выходной угол ϕ , который подается обратно и сравнивается с входным углом. Результирующая ошибка между двумя углами сводится к минимуму, когда конвертер отслеживает положение.

  Рисунок 4. Функциональная блок-схема AD2S1210.

  Чтобы измерить ошибку, умножьте входные синусоидальные и косинусные сигналы на cos ( ϕ ) и sin ( ϕ ) соответственно:

  (4)

  (5)

  Затем возьмите разницу между ними:

  (6)

  Затем демодулируйте сигнал, используя внутренне сгенерированный синтетический эталон:

  .

  (7)

  Используя тригонометрическое тождество, E ₀ (sin θ cos ϕ — cos θ sin ϕ ) = E ₀ sin ( θ — ϕ ), что составляет приблизительно равно E ₀ ( θ — ϕ ) для малых значений угловой погрешности ( θ — ϕ ). E ₀ ( θ — ϕ ) — это разница между угловой погрешностью ротора и цифровым угловым выходом преобразователя. Цикл слежения типа II обнуляет сигнал ошибки. Когда это будет выполнено, ϕ равно углу резольвера θ .

  Основные параметры RDC

  Прежде чем выбрать подходящее устройство, инженеры должны рассмотреть ряд параметров, используемых для характеристики преобразователей преобразователя в цифровой.В таблице 2 показаны основные параметры и характеристики RDC для AD2S1210, который устанавливает границы как лучший преобразователь в своем классе.

  Таблица 2. Основные параметры и значения RDC для AD2S1210
  

  Электрические параметры	Типичный диапазон	Агрегат	Описание
  Входное напряжение	2,3–4,0	В размах	Диапазон дифференциального сигнала для входов синуса и косинуса
  Диапазон блокировки фазы	± 44	градусов	Сдвиг фазы между сигналом возбуждения, генерируемым RDC, и входами синуса и косинуса
  Угловая точность	± 2.5	угл. Мин.	Угловая точность RDC
  Разрешение	10, 12, 14, 16	бит	Разрешение RDC
  Точность скорости	2	LSB	Точность скорости, обеспечиваемая RDC
  Скорость отслеживания	3125, 1250, 625, 156	об / с	Возможности отслеживания при определенных разрешениях
  Время установления	2.2, 6, 14,7, 66	мс	Время отклика преобразователя на изменение шага 179 ° при определенных разрешениях

  Источники ошибок

  Точность всей системы определяется точностью RDC, а также ошибками резольвера, системной архитектурой, кабелями, буфером возбуждения и входной схемой синуса / косинуса. Наиболее частыми источниками системной ошибки являются рассогласование амплитуд, фазовый сдвиг сигнала, смещения и ускорение.

  Несовпадение амплитуд — это разность размаха амплитуд синусоидального и косинусоидального сигналов, когда они достигают своих пиковых амплитуд: 0 ° и 180 ° для косинуса, 90 ° и 270 ° для синуса. Несовпадение может быть вызвано изменением обмоток резольвера или коэффициентом усиления между резольвером и входами синуса и косинуса RDC. Уравнение 3 можно переписать как

  (8)

  где δ — процентное несоответствие амплитуды косинусоидального сигнала относительно синусоидального сигнала.Статическая ошибка положения, ε , выраженная в радианах, определяется как

  .

  (9)

  Уравнение 9 показывает, что ошибка рассогласования амплитуды колеблется с удвоенной скоростью вращения, с максимумом δ / 2 при нечетных целых кратных 45 ° и без ошибок при 0 °, 90 °, 180 ° и 270 °. При 12-битном RDC рассогласование амплитуды 0,3% приведет к ошибке примерно в 1 младший бит.

  RDC принимает дифференциальные синусоидальные и косинусоидальные сигналы от резольвера.Резольвер удаляет любую составляющую постоянного тока с несущей, поэтому необходимо добавить смещение постоянного тока V _REF /2, чтобы гарантировать, что выходные сигналы резольвера находятся в правильном рабочем диапазоне для RDC. Любое смещение постоянного напряжения между входами SIN и SINLO или входами COS и COSLO приводит к дополнительной системной ошибке.

  Ошибка, вносимая синфазным смещением, хуже в квадрантах, где несущие синусоидального и косинусоидального сигналов находятся в противофазе друг к другу. Это происходит для положений от 90 ° до 180 ° и от 270 ° до 360 °, как показано на рисунке 5.Синфазные напряжения между клеммами смещают дифференциальный сигнал в два раза больше синфазного напряжения. RDC является логометрическим, поэтому воспринимаемые изменения амплитуды входящих сигналов вызывают ошибку определения местоположения.

  Рисунок 5. Квадранты резольвера.

  Рисунок 6 показывает, что даже когда разностные размах амплитуд синуса и косинуса равны, воспринимаемые амплитуды входящих сигналов различны. Наихудшая ошибка возникает при 135 ° и 315 °. При 135 ° A = B в идеальной системе, но A ≠ B при наличии смещения, поэтому возникает воспринимаемое рассогласование амплитуд.

  Рисунок 6. Смещение смещения постоянного тока.

  Другой источник ошибок — это дифференциальный фазовый сдвиг, который представляет собой фазовый сдвиг между синусоидальным и косинусоидальным сигналами резольвера. Некоторый дифференциальный фазовый сдвиг будет присутствовать на всех резольверах в результате связи. Небольшое остаточное напряжение резольвера или квадратурное напряжение указывает на небольшой дифференциальный фазовый сдвиг. Дополнительный фазовый сдвиг может быть введен, если синусоидальные и косинусоидальные сигнальные линии имеют неодинаковую длину кабеля или управляют разными нагрузками.

  Дифференциальная фаза косинусоидального сигнала относительно синусоидального сигнала равна

  .

  (10)

  где α — дифференциальный фазовый сдвиг.

  Решение ошибки, вносимой α, дает член ошибки, ε

  (11)

  где α и ε выражены в радианах.

  Большинство резольверов также вносят фазовый сдвиг между опорным сигналом возбуждения и синусоидальным и косинусоидальным сигналами, вызывая дополнительную ошибку, ε

  (12)

  где β — фазовый сдвиг между синусоидальными / косинусоидальными сигналами и опорным сигналом возбуждения.

  Эту ошибку можно свести к минимуму, выбрав резольвер с небольшим остаточным напряжением, гарантируя, что синусоидальный и косинусный сигналы обрабатываются одинаково, и удалив опорный фазовый сдвиг.

  В статических условиях работы фазовый сдвиг между опорным сигналом возбуждения и сигнальными линиями не повлияет на точность преобразователя, но резольверы на скорости генерируют скоростных напряжений из-за реактивных составляющих импеданса ротора и представляющих интерес сигналов.Напряжения скорости, которые возникают только на скорости, а не под статическими углами, находятся в квадратуре к интересующему сигналу. Их максимальная амплитуда

  .

  (13)

  В реальных резольверах обмотки ротора включают как реактивные, так и резистивные компоненты. Резистивная составляющая создает ненулевой фазовый сдвиг в опорном возбуждении, которое присутствует, когда ротор находится как на скорости, так и в статике.Вместе с напряжениями скорости ненулевой сдвиг фазы возбуждения создает ошибку отслеживания, которая может быть приблизительно равна

  .

  (14)

  Чтобы компенсировать фазовую ошибку между опорным возбуждением резольвера и синусоидальными / косинусоидальными сигналами, AD2S1210 использует внутренне отфильтрованные синусоидальные и косинусоидальные сигналы для синтеза внутреннего опорного сигнала в фазе с несущей опорной частоты.Сгенерированный путем определения пересечения нуля синуса или косинуса (в зависимости от того, что больше, для повышения точности фазы) и оценки фазы опорного возбуждения резольвера, он уменьшает фазовый сдвиг между опорным входом и входом синуса / косинуса до менее 10 ° , и работает для фазовых сдвигов ± 44 °. Блок-схема синтетического эталонного блока показана на рисунке 7.

  Рисунок 7. Синтетическая ссылка.

  Преимущество контуров слежения типа II по сравнению с контурами типа I состоит в том, что при постоянной скорости ошибки позиционирования не возникают.Однако даже в идеально сбалансированной системе ускорение создает ошибку. Величина ошибки из-за ускорения определяется реакцией контура управления. На рисунке 8 показан отклик контура AD2S1210.

  Рисунок 8. Ответ контура AD2S1210.

  Константа ускорения контура, K _a , равна

  (15)

  где коэффициенты контура меняются в зависимости от разрешения, амплитуды входного сигнала и периода дискретизации.AD2S1210 делает выборку дважды в течение каждого периода CLK _IN .

  Таблица 3. Параметры реакции системы RDC
  

  Параметр	Описание	10-битное разрешение	12-битное разрешение	14-битное разрешение	16-битное разрешение
  к1	усиление АЦП	Входное напряжение / опорное напряжение = (3.15/2) / 2,47 (номинал)
  к2	Ошибка усиления	12π × 10 6	36π × 10 6	164π × 10 6	132π × 10 6
  а	Компенсатор нулевой коэффициент	8187/8192	4095/4096	8191/8192	32 767/32 768
  б	Компенсатор полюсный коэффициент	509/512	4085/4096	16,359 / 16,384	32,757 / 32,768
  c	Коэффициент усиления интегратора	1/2 20	1/2 22	1/2 24	1/2 26
  т	Период выборки	1 / (CLK IN /2)

  Ошибка отслеживания из-за ускорения может быть вычислена как

  .

  (16)

  На рисунке 9 показана угловая погрешность из-за зависимости отускорение при разных настройках разрешения.

  Рисунок 9. Угловая ошибка в зависимости от ускорения.

  Входной фильтр

  Для обеспечения максимальной точности системы подключите выходы резольвера напрямую к контактам AD2S1210 SIN, COS, SINLO и COSLO, чтобы уменьшить рассогласование или фазовые сдвиги. Однако это не всегда возможно. Может потребоваться ослабление синусоидальных и косинусных сигналов резольвера для соответствия входным характеристикам RDC, может потребоваться некоторая фильтрация сигнала из-за шумной среды, а также может потребоваться защита от электростатического разряда или короткого замыкания на разъеме резольвера.

  На рисунке 10 показана типичная интерфейсная схема между резольвером и AD2S1210. Последовательные резисторы и диоды обеспечивают адекватную защиту для снижения энергии внешних событий, таких как электростатический разряд или короткое замыкание на питание или землю. Эти резисторы и конденсатор реализуют фильтр нижних частот, который снижает высокочастотный шум, который попадает на входы резольвера в результате приведения в действие двигателя. Также может потребоваться ослабление синусоидального и косинусоидального входных сигналов резольвера для согласования со спецификацией входного напряжения RDC.Этого можно добиться добавлением резистора R _A . AD2S1210 имеет внутреннюю схему для смещения SIN, SINLO, COS и COSLO на V _REF /2. Это слабое смещение можно легко преодолеть. Простым способом добиться этого является включение резисторов сопротивлением 47 кОм R _B , которые будут смещать сигналы до 2,5 В.

  Рисунок 10. Схема интерфейса.

  Буфер возбуждения

  Обычно требуется буфер для управления входами с низким импедансом резольвера. Этот буфер возбуждения может быть реализован разными способами, два из которых показаны здесь.Первая схема обычно используется в автомобильных и промышленных конструкциях, а вторая упрощает конструкцию, заменяя стандартную двухтактную архитектуру усилителем с высоким выходным током.

  Сильноточный драйвер, показанный на рисунке 11, усиливает и сдвигает уровень выходного сигнала опорного генератора. В драйвере используется двойной малошумящий прецизионный операционный усилитель AD8662 и выходной каскад с дискретным эмиттерным повторителем. Дублирующая буферная схема обеспечивает полностью дифференциальный сигнал для управления первичной обмоткой резольвера.

  Рисунок 11. В сильноточном буфере опорного напряжения используется операционный усилитель AD8662 с двухтактным выходом.

  Этот сильноточный буфер предлагает возможности привода, диапазон усиления и полосу пропускания, оптимизированные для стандартного резольвера, и его можно настроить в соответствии с конкретными требованиями приложения и датчика, но сложная конструкция имеет ряд недостатков с точки зрения количества компонентов. , Размер печатной платы, стоимость и время разработки, необходимое для ее изменения в соответствии с потребностями конкретного приложения.

  Конструкцию можно оптимизировать, заменив AD8662 усилителем, который обеспечивает высокий выходной ток, необходимый для непосредственного управления резольверами, упрощая конструкцию и устраняя необходимость в двухтактном каскаде.

  Сильноточный драйвер, показанный на рисунке 12, использует сильноточный сдвоенный операционный усилитель AD8397 с выходами типа rail-to-rail для усиления и сдвига уровня выходного сигнала опорного генератора, оптимизируя интерфейс с резольвером. AD8397 обеспечивает низкий уровень искажений, высокий выходной ток и широкий динамический диапазон, что делает его идеальным для использования с резольверами. Обладая током 310 мА для нагрузок 32 Ом, он может передавать требуемую мощность на резольвер без использования обычного двухтактного каскада, упрощая схему драйвера и снижая энергопотребление.Дублирующая схема обеспечивает полностью дифференциальный сигнал для управления первичной обмоткой. AD8397, доступный в 8-выводном корпусе SOIC, рассчитан на работу в расширенном промышленном температурном диапазоне от –40 ° C до + 85 ° C.

  Рис. 12. Сильноточный опорный буфер на базе операционного усилителя AD8397.

  Значения пассивных компонентов могут быть изменены для изменения выходной амплитуды и синфазного напряжения, при этом выходная амплитуда устанавливается коэффициентом усиления усилителя, R2 / R1 , а синфазное напряжение устанавливается параметрами R3 и R4 .

  Конденсатор C1 и резистор R2 образуют фильтр нижних частот для минимизации шума на выходах EXC и EXC. Конденсатор следует выбирать так, чтобы минимизировать фазовый сдвиг несущей. Общий фазовый сдвиг между выходом возбуждения и входами синуса и косинуса не должен превышать диапазон фазовой синхронизации RDC. Конденсатор не является обязательным, так как классические резольверы исключительно хорошо отфильтровывают высокочастотные компоненты.

  На рисунке 13 показан буфер опорного напряжения AD8397 в сравнении с традиционной двухтактной схемой.Анализатор БПФ измерял мощность основной гармоники и гармоник в сигналах возбуждения AD2S1210.

  Рис. 13. Буфер AD8397 и двухтактный буфер AD8662.

  Мощность каждой основной гармоники показывает небольшое расхождение между обеими конфигурациями, но буфер AD8397 имеет пониженные гармоники. Хотя схема AD8397 предлагает немного меньшие искажения, оба буфера обеспечивают адекватную производительность. Отсутствие двухтактной ступени упрощает конструкцию, занимает меньше места и потребляет меньше энергии по сравнению с традиционной схемой.

  Вывод

  В сочетании с преобразователем резольвера в цифровой AD2S1210 резольверы могут создать высокоточную и надежную систему управления для измерения положения и скорости в приложениях управления двигателями. Для достижения наилучших общих характеристик требуются буферные схемы на основе AD8662 или AD8397 для усиления сигналов возбуждения и обеспечения требуемой резольвером мощности возбуждения. Чтобы завершить систему, базовая входная цепь может обеспечивать преобразование сигнала по мере необходимости.Как и в случае со всеми мехатронными сигнальными цепями со смешанными сигналами, необходимо тщательно разработать точную систему, которая учитывает все источники ошибок. Благодаря переменному разрешению, генерации опорных сигналов и встроенной диагностике AD2S1210 представляет собой идеальное решение RDC для приложений с резольверами. Доступны промышленные и автомобильные марки.

  использованная литература

  Сильноточный драйвер для выхода цифрового опорного сигнала преобразователя AD2S1210

  Цепная записка

  CN-0276.Высокопроизводительный преобразователь преобразователя из 10-битного в 16-битный цифровой формат.

  Цепная записка

  CN-0192. Сильноточный драйвер для вывода опорного цифрового преобразователя AD2S1210.

  Колебание простого маятника

  Уравнение движения

  Простой маятник состоит из шара (острия) м , подвешенного на (безмассовой) струне длиной L и закрепленной в точке поворота P. При смещении на начальный угол и отпускании маятник будет качаться назад и вперед с периодическим движением.2} + \ frac {g} {L} \ theta = 0 $$ Простое гармоническое решение $$ \ theta (t) = \ theta_o \ cos (\ omega t) \, $$ где \ (\ theta_o \) — начальное угловое смещение, а \ (\ omega = \ sqrt {g / L} \) — собственная частота движения. Период этой системы (время одного колебания) равен $$ T = \ frac {2 \ pi} {\ omega} = 2 \ pi \ sqrt {\ frac {L} {g}}. $$

  Период маятника не зависит от массы шара, а только от длины струны. Два маятника с разной массой, но одинаковой длины будут иметь одинаковый период. 2} + \ frac {g} {L} \ sin \ theta = 0 $$ Это дифференциальное уравнение не имеет решения в замкнутой форме, но вместо этого его необходимо решать численно с помощью компьютера. Mathematica очень легко численно решает это дифференциальное уравнение с помощью встроенной функции NDSolve [] .

  Приближение малых углов справедливо для начальных угловых смещений около 20 ° или меньше. Если начальный угол меньше этой величины, то достаточно простого гармонического приближения. Но, если угол больше, тогда разница между приближением малого угла и точным решением быстро становится очевидной.

  На анимации внизу слева начальный угол небольшой.Темно-синий маятник — это приближение малого угла, а голубой маятник (изначально скрытый позади) — точное решение. Для небольшого начального угла требуется довольно большое количество колебаний, прежде чем разница между приближением малого угла (темно-синий) и точным решением (светло-синий) начнет заметно расходиться.

  На анимации внизу справа начальный угол большой.