Угловая скорость это: 404 — Страница не найдена

Содержание

§ 4. Угловая скорость и угловое ускорение

Рассмотрим твердое тело, которое враща­ется вокруг неподвижной оси. Тогда от­дельные точки этого тела будут описывать окружности разных радиусов, центры ко­торых лежат на оси вращения. Пусть не­которая точка движется по окружности радиуса R (рис.6). Ее положение через промежуток времени t зададим углом . Элементарные (бесконечно малые) углы поворота рассматривают как векторы. Мо­дуль вектора d равен углу поворота, а его направление совпадает с направле­нием поступательного движения острия винта, головка которого вращается в на­правлении движения точки по окружности, т. е. подчиняется правилу правого, винта (рис.6). Векторы, направления которых связываются с направлением вращения, называются псевдовекторами или акси­альными векторами. Эти векторы не имеют определенных точек приложения: они мо­гут откладываться из любой точки оси вращения.

Угловой скоростью называется вектор­ная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени:

Вектор «в направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта, т. е. так же, как и вектор d (рис. 7). Размерность угловой скорости dim=T-1, a . ее единица — радиан в секунду (рад/с).

Линейная скорость точки (см. рис. 6)

В векторном виде формулу для линейной скорости можно написать как вектор­ное произведение:

При этом модуль векторного произведе­ния, по определению, равен

, а направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от  к R.

Если =const, то вращение равномер­ное и его можно характеризовать перио­дом вращения

Т — временем, за которое точка совершает один полный оборот, т. е. поворачивается на угол 2. Так как промежутку времени t=T соответствует =2, то = 2/Т, откуда

Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении по окружности, в единицу времени называет­ся частотой вращения:

Угловым ускорением называется век­торная величина, равная первой производ­ной угловой скорости по времени:

При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой ско­рости. При ускоренном движении вектор

13

 сонаправлен вектору  (рис.8), при замедленном.— противонаправлен ему (рис. 9).

Тангенциальная составляющая ускорения

Нормальная составляющая ускорения

Таким образом, связь между линейны­ми (длина пути s, пройденного точкой по дуге окружности радиуса R, линейная ско­рость v, тангенциальное ускорение а, нор­мальное ускорение аn) и угловыми величи­нами (угол поворота , угловая скорость (о, угловое ускорение ) выражается сле­дующими формулами:

В случае равнопеременного движения точки по окружности (=const)

где 0 — начальная угловая скорость.

Контрольные вопросы

• Что называется материальной точкой? Почему в механике вводят такую модель?

• Что такое система отсчета?

• Что такое вектор перемещения? Всегда ли модуль вектора перемещения равен отрезку пути,

пройденному точкой?

• Какое движение называется поступательным? вращательным?

• Дать определения векторов средней скорости и среднего ускорения, мгновенной скорости

и мгновенного ускорения. Каковы их направления?

• Что характеризует тангенциальная составляющая ускорения? нормальная составляющая

ускорения? Каковы их модули?

• Возможны ли движения, при которых отсутствует нормальное ускорение? тангенциальное

ускорение? Приведите примеры.

• Что называется угловой скоростью? угловым ускорением? Как определяются их направления?

• Какова связь между линейными и угловыми величинами?

Задачи

1.1. Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением s = Att

2+Dt3 (С = 0,1 м/с2, D = 0,03 м/с3). Определить: 1) через какое время после начала движения ускорение а тела будет равно 2 м/с2; 2) среднее ускорение <а> тела за этот промежуток времени. [ 1) 10 с; 2) 1,1 м/с2]

1.2. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить угол, под которым тело брошено к гори­зонту, если максимальная высота подъема тела равна 1/4 дальности его полета. [45°]

1.3. Колесо радиуса R = 0,1 м вращается так, что зависимость угловой скорости от времени задается уравнением  = 2At+5Вt4 (A=2 рад/с2 и B=1 рад/с5). Определить полное ускорение точек обода колеса через t=1 с после начала вращения и число оборотов, сделан­ных колесом за это время. [а = 8,5 м/с2; N = 0,48]

14

1.4. Нормальное ускорение точки, движущейся по окружности радиуса r

=4 м, задается уравнением аn+-Bt+Ct2 (A=1 м/с2, В=6 м/с3, С=3 м/с4). Определить: 1) тангенциальное ускорение точки; 2) путь, пройденный точкой за время t1=5 с после начала движения; 3) полное ускорение для момента времени t2=1 с. [ 1) 6 м/с2; 2) 85 м; 3) 6,32 м/с2]

1.5. Частота вращения колеса при равнозамедленном движении за t=1 мин уменьшилась от 300 до 180 мин-1. Определить: 1) угловое ускорение колеса; 2) число полных оборотов, сделанных колесом за это время. [1) 0,21 рад/с2; 2) 360]

1.6. Диск радиусом R=10 см вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением =A+Bt+Ct

2+Dt3 (B = l рад/с, С=1 рад/с2, D=l рад/с3). Определить для точек на ободе колеса к концу второй секунды после начала движения: 1) тангенциальное ускорение а; 2) нормальное ускорение аn; 3) полное ускорение а. [ 1) 0,14 м/с2; 2) 28,9 м/с2; 3) 28,9 м/с2]

Часть 6 — Кинематика свободного твердого тела. Природа угловой скорости / Хабр


  1. Что такое тензор и для чего он нужен?
  2. Векторные и тензорные операции. Ранги тензоров
  3. Криволинейные координаты
  4. Динамика точки в тензорном изложении
  5. Действия над тензорами и некоторые другие теоретические вопросы
  6. Кинематика свободного твердого тела. Природа угловой скорости
  7. Конечный поворот твердого тела. Свойства тензора поворота и способ его вычисления
  8. О свертках тензора Леви-Чивиты
  9. Вывод тензора угловой скорости через параметры конечного поворота. Применяем голову и Maxima
  10. Получаем вектор угловой скорости. Работаем над недочетами
  11. Ускорение точки тела при свободном движении. Угловое ускорение твердого тела
  12. Параметры Родрига-Гамильтона в кинематике твердого тела
  13. СКА Maxima в задачах преобразования тензорных выражений. Угловые скорость и ускорения в параметрах Родрига-Гамильтона
  14. Нестандартное введение в динамику твердого тела
  15. Движение несвободного твердого тела
  16. Свойства тензора инерции твердого тела
  17. Зарисовка о гайке Джанибекова
  18. Математическое моделирование эффекта Джанибекова

Что такое угловая скорость? Скалярная или векторная величина? На самом деле это не праздный вопрос.

Читая лекции по теоретической механике в университете, я, следуя традиционной методике изложения курса кинематики, вводил понятие угловой скорости в теме «Скорость точки тела при вращательном движении». И там угловая скорость впервые появляется как скалярная величина, со следующим определением.

Угловая скорость твердого тела — это первая производная от угла поворота тела по времени

А вот потом, при рассмотрении каноничной формулы Эйлера для скорости точки тела при вращении

обычно дается следующее определение


Угловая скорость тела — это псевдовектор, направленный вдоль оси вращения тела в ту сторону, откуда вращение выглядит происходящим против часовой стрелки

Ещё одно частное определение, которое, во-первых, утверждает неподвижность оси вращения, во-вторых навязывает рассмотрение лишь правой системы координат. И наконец термин «псевдовектор» обычно объясняется студентам так: «Посмотрите, ведь мы показали, что омега — скалярная величина. А вектор мы вводим для того, чтобы выписать формулу Эйлера».

При рассмотрении сферического движения оказывается потом, что ось вращения меняет направление, угловое ускорение направлено по касательной к годографу угловой скорости и так далее. Неясности и вводные допущения множатся.

Учитывая уровень подготовки школьников, а так же вопиющую глупость, допускаемую в программах подготовки бакалавров, когда теормех начинается с первого (вдумайтесь!) семестра, такие постепенные вводные, на палках, веревках и желудях наверное оправданы.

Но мы с вами заглянем, что называется, «под капот» проблемы и, вооружившись аппаратом тензорного исчисления, выясним, что угловая скорость — это псевдовектор, порождаемый антисимметричным тензором второго ранга.

Думаю для затравки вполне достаточно, а поэтому — начнем!

Итак, как известно из традиционного вузовского курса теормеха


Если движение, совершаемо телом не ограничено связями, то такое его движение называют свободным

Это — самый общий случай движения тела. Следующий рисунок иллюстрирует тот факт, что свободное движение тела можно представить как сумму двух движений: поступательного вместе с полюсом

и сферического вокруг полюса.

Рис. 1. Обычная иллюстрация из курса теоретической механики: определение положения свободного твердого тела в пространстве.

Напомню, что речь идет об абсолютно твердом теле, то есть теле, расстояния между точками которого не изменяется с течением времени. Ещё можно сказать, что твердое тело представляет собой неизменяемую механическую систему.

Как видно из рисунка 1, обычной практикой является рассмотрение двух систем координат — одна считается неподвижной и называется базовой, другая жестко связанна с телом и поворачивается относительно базовой вместе с ним. Такую систему координат называют связанной.

Сначала я тоже хотел ограничиться декартовыми координатами. Но тогда бы мои читатели задали бы мне логичный вопрос — «а зачем тогда тут тензоры?». Поэтому, потратив четыре для в мучительных раздумьях и «нагуляв» окончательное решение пару часов назад, я решил замахнуться на «Вильяма, нашего, Шекспира» и изложить дальнейшие рассуждения в криволинейных координатах.

Рис. 2. Ориентация твердого тела в локальном базисе.

Пусть положение полюса задается вектором

Причем под этим вектором не следует понимать радиус-вектор, так как в криволинейных координатах такое понятие бессмысленно.

В точке O1 задан локальный репер базовой системы координат, образованный тройкой векторов . С движущимся телом связан подвижный репер . Поворот связанного репера относительно базового можно задать линейным оператором. Получим этот оператор и исследуем его свойства

Рассмотрим некоторую точку M, принадлежащую телу. К ней из полюса можно провести вектор неподвижный относительно связанного репера. Его можно разложить по векторам этого репера

и по векторам базового репера

Каждый вектор связанного репера можно разложить через векторы базового репера

Подставляем (4) в (2) и сравниваем с (3)

Из (5) понятно, что компоненты вектора

в базовой системе координат, пересчитываются через его компоненты в связанной системе путем применения линейного оператора

или в безиндексной форме

где столбцы матрицы

– контравариантные компоненты векторов связанного репера по отношению к базовому. Точка, как мы уже отмечали в

прошлой статье

, обозначает умножение тензоров с последующей сверткой по соседней паре индексов. Линейный оператор

действует на векторы таким образом, что поворачивает их относительно некоторой оси, не меняя длины и угла между векторами. Такое преобразование пространства называется

ортогональным

. Для того, чтобы таковое преобразование было возможным, оператор (7) должен обладать вполне определенными свойствами. Если длина векторов базиса и углы между ними не меняются, то это означает равенство всех попарных скалярных произведений векторов репера как в базовой, так и в связанной системах координат

Правая часть (8) — это локальный метрический тензор


или

Оператор

является по сути обыкновенной матрицей поворота координатной системы. И (10) утверждает, что если транспонированную матрицу поворота умножить на метрический тензор, а результат умножить на матрицу поворота мы получим снова метрический тензор. Можно сделать вывод, что


Преобразование координат при повороте является тождественным для метрического тензора, то есть переводит метрический тензор сам в себя.

В выражении (10) нетрудно увидеть преобразование метрического тензора про смене системы координат, о котором мы подробно говорили в

самой первой статье цикла

Стоп! Но мы же знаем, что матрицы поворота обычно ортогональны, то есть произведение матрицы поворота на её транспонированную дает единичную матрицу, иными словами, чтобы обратить матрицу поворота её достаточно транспонировать.

Но ортогональность свойственна матрицам поворота, преобразующим ортонормированный декартов базис. Здесь мы имеем дело с локальным базисом, при повороте которого должны сохранятся длины векторов и углы между ними. Если мы примем базис декартовым, то из (10) мы получим привычные свойства матрицы поворота, к примеру её ортогональность.

Для дальнейших вычислений нам потребуется знать, как будет выглядеть матрица обратного преобразования, то есть . Что же, посмотрим. Для этого умножим (10) слева на и справа на

откуда незамедлительно получаем

Выходит, что матрица обратного преобразования действительно получается из транспонированной матрицы преобразования, но с участием метрического тензора. Выражения (10) и (11) очень пригодятся нам, а пока сделаем некоторые выводы.

Закон свободного движения твердого тела можно выписать в криволинейных координатах в виде системы уравнений


При этом (12) — закон движения полюса, а (13) — закон сферического движения тела вокруг полюса. При этом (13) — тензор ранга (1,1), называемый

тензором поворота

.

Вычислим скорость точки

M

, положение которой в связанной системе координат задается постоянными, в силу твердости тела, криволинейными координатами

Из курса теоретической механики известна формула, определяющая скорость точки тела в данном движении

где

— скорость полюса;

— скорость точки вокруг полюса.

Так как все координаты, кроме (13) определены относительно базового репера, мы можем записать

Индекс в круглых скобках означает систему координат, в которой берутся компоненты (0 — базовая, 1 — связанная). Дифференцируем (15) по времени с учетом (13)

Перейдем в (16) к связанной системе координат, домножив (15) слева на

где

— компонента оператора обратного преобразования

.

Теперь сравним (17) и (14). В последнем слагаемом должно вылезти векторное произведение. Вспоминая определение векторного произведения через тензор Леви-Чивиты, данное во второй статье цикла, замечаем, что на выходе оно дает ковектор, поэтому в (17) перейдем к ковариантым компонентам, домножив это выражение на метрический тензор слева

Теперь представим себе, как выглядел бы ковектор скорости точки относительно плюса, записанный через вектор угловой скорости

при этом замечая, что

антисимметричный тензор второго ранга, о котором мы говорили в

прошлой статье<

. Таким образом, нам бы доказать, что

является антисимметричным тензором второго ранга. Для этого придется доказать, что (19) меняет знак при перестановка индексов (транспонировании). При этом будем учитывать, что метрический тензор — абсолютно симметричный тензор второго ранга и при транспонировании он не меняется. Поэтому исследуем взаимосвязи между матрицами поворота, для чего нам потребуются выражения (10) и (11). Но прежде чем приступить, докажем ещё одно вспомогательное утверждение


Ковариантная производная метрического тензора равна нулю

Обратимся к понятию ковариантной производной вектора, о которой упоминалось в

третьей статье

. Тогда мы вывели выражения для контравариантных компонент ковариантной производной от вектора

Как как и любой вектор, компоненты данного вектора можно трансформировать в ковариантные умножением и сверткой с метрическим тензором

А можно продифференцировать ковариантные компоненты непосредственно

Сравнивая (21) и (20) мы приходим к выводу, что равенство возможно лишь в случае если верно утверждение леммы


Теперь, перепишем (19) в безиндексном виде, учтя уравнение (11)

Далее, нам нужна связь между оператором поворота и его производной — дифференцируем (10) по времени

или, собирая производные от метрического тензора в правой части

Но, производные от метрического тензора в (24) будут равны нулю, в силу равенства нулю ковариантной производной метрического тензора. Значит правая часть (24) равна нулю

Пользуясь свойствами операции транспонирования, преобразуем (25)



Так как

и с учетом (23), получаем


Из (26) непосредственно следует антисимметричность тензора (19)

Ну а коль скоро (19) антисимметричный тензор, то мы смело переписываем (18)

Таким образом мы приходим к выводу, что (19) и (23) есть ни что иное как

антисимметричный тензор угловой скорости

Любому антисимметричному тензору можно поставить в соответствие псевдовектор, который мы уже получали в предыдущей статье. Повторим этот результат для тензора угловой скорости

Возможно читателю знаком распространенный подход замены векторного произведения на умножение кососимметричной матрицы, построенной из первого вектора по определенному правилу, на второй вектор. Так вот это правило получается естественным путем, если в качестве инструмента использовать тензорное исчисление. Действительно, вот эта кососимметричная матрица, которой в матричном изложении механики заменяют угловую скорость

Возможно, внимательный читатель увидит, что в полученной матрице знаки противоположны тем, что мы получали в статье, посвященной антисимметричным тензорам. Да, все верно, ведь в той статье мы сворачивали вектор с тензором Леви-Чивиты по его третьему индексу

k

, тут мы выполняем свертку по среднему индексу

j

что дает прямо противоположные знаки.

Матрица (30) частенько встречается в литературе, в частности в трудах Д. Ю. Погорелова, но там она вводится как мнемоническое правило. Формула (29) дает четкую связь между вектором угловой скорости и кососимметричной матрицей. Она же дает возможность перейти от (28) к формуле


Что, внезапно, эквивалентно векторному соотношению


В этой статье было много математики. И я вынужден пока ограничится этим материалом — статья вышла длинной и насыщенной формулами. Данная тема будет продолжена и углублена в следующих статьях цикла.

Какой же вывод мы можем сделать сейчас? А вот какой

Угловая скорость твердого тела есть антисимметричный тензор, или, соответствующий ему псевдовектор, порождаемый тензором поворота тела относительно базовой системы координат

Для того чтобы написать эту работу потребовалось перелопатить гору литературы. Основные выкладки выполнены автором самостоятельно. Камнем преткновения были матрицы поворота для случая косоугольных координат. Я не сразу разглядел в соотношении (10) преобразование, оставляющее метрику инвариантной, хотя с учетом ранее написанных статей — следовало бы. Понять эту связь мне помог ужасный по оформлению, но очень толковый сайт

«На что похожа математика»

. Кстати видно, что все соотношения переходят в известные для ортогональных матриц, если метрический тензор сделать единичным.

Разговор о механике твердого тела будет продолжен, а пока — всё. Спасибо за внимание!

Продолжение следует…

Кинематика абсолютно твёрдого тела. Угловая скорость. Связь между линейной и угловой скоростями

Кинематика абсолютно твёрдого тела. Угловая скорость. Связь между линейной и угловой скоростями

Подробности
Просмотров: 633

«Физика — 10 класс»

Угловая скорость.

Каждая точка тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, проходящей через точку О, движется по окружности, и различные точки проходят за время Δt разные пути. Так, АА1 > ВВ1 (рис. 1.62), поэтому модуль скорости точки А больше, чем модуль скорости точки В. Но радиус-векторы, определяющие положение точек А и В, поворачиваются за время Δt на один и тот же угол Δφ.

Угол φ — угол между осью ОХ и радиус-вектором определяющим положение точки А (см. рис. 1.62).

Пусть тело вращается равномерно, т. е. за любые равные промежутки времени радиус-векторы поворачиваются на одинаковые углы.

Чем больше угол поворота радиус-вектора, определяющего положение какой-то точки твёрдого тела, за определённый промежуток времени, тем быстрее вращается тело и тем больше его угловая скорость.

Угловой скоростью тела при равномерном вращении называется величина, равная отношению угла поворота тела υφ к промежутку времени υt, за который этот поворот произошёл.

Будем обозначать угловую скорость греческой буквой ω (омега). Тогда по определению

Угловая скорость в СИ выражается в радианах в секунду (рад/с). Например, угловая скорость вращения Земли вокруг оси 0,0000727 рад/с, а точильного диска — около 140 рад/с.

Угловую скорость можно связать с частотой вращения.

Частота вращения — число полных оборотов за единицу времени (в СИ за 1 с).

Если тело совершает ν (греческая буква «ню») оборотов за 1 с, то время одного оборота равно 1/ν секунд.

Время, за которое тело совершает один полный оборот, называют периодом вращения и обозначают буквой Т.


Таким образом, связь между частотой и периодом вращения можно представить в виде

Полному обороту тела соответствует угол Δφ = 2π. Поэтому согласно формуле (1.26)

Если при равномерном вращении угловая скорость известна и в начальный момент времени t0 = 0 угол φ0 = 0, то угол поворота радиус-вектора за время t согласно уравнению (1.26)

φ = ωt.

Если φ0 ≠ 0, то φ — φ0 = ωt, или φ = φ0 ± ωt.

Радиан равен центральному углу, опирающемуся на дугу, длина которой равна радиусу окружности, 1 рад = 57°17’48». В радианной мере угол равен отношению длины дуги окружности к её радиусу: φ = l/R.

Угловая скорость принимает положительные значения, если угол между радиус-вектором, определяющим положение одной из точек твёрдого тела, и осью ОХ увеличивается (рис. 1.63, а), и отрицательные, когда он уменьшается (рис. 1.63, б).

Тем самым мы можем найти положение точек вращающегося тела в любой момент времени.

Связь между линейной и угловой скоростями.

Скорость точки, движущейся по окружности, часто называют линейной скоростью, чтобы подчеркнуть её отличие от угловой скорости.

Мы уже отмечали, что при вращении абсолютно твёрдого тела разные его точки имеют неодинаковые линейные скорости, но угловая скорость для всех точек одинакова.

Установим связь между линейной скоростью любой точки вращающегося тела и его угловой скоростью. Точка, лежащая на окружности радиусом R, за один оборот пройдёт путь 2πR. Поскольку время одного оборота тела есть период Т, то модуль линейной скорости точки можно найти так:

Так как ω = 2πν, то

Из этой формулы видно, что, чем дальше расположена точка тела от оси вращения, тем больше её линейная скорость. Для точек земного экватора υ = 463 м/с, а для точек на широте Санкт-Петербурга υ = 233 м/с. На полюсах Земли υ = 0.

Модуль центростремительного ускорения точки тела, движущейся равномерно по окружности, можно выразить через угловую скорость тела и радиус окружности:

Следовательно,

ацс = ω2R.

Запишем все возможные расчётные формулы для центростремительного ускорения:

Мы рассмотрели два простейших движения абсолютно твёрдого тела — поступательное и вращательное. Однако любое сложное движение абсолютно твёрдого тела можно представить как сумму двух независимых движений: поступательного и вращательного.

На основании закона независимости движений можно описать сложное движение абсолютно твёрдого тела.

Источник: «Физика — 10 класс», 2014, учебник Мякишев, Буховцев, Сотский



Кинематика — Физика, учебник для 10 класса — Класс!ная физика

Физика и познание мира — Что такое механика — Механическое движение. Система отсчёта — Способы описания движения — Траектория. Путь. Перемещение — Равномерное прямолинейное движение. Скорость. Уравнение движения — Примеры решения задач по теме «Равномерное прямолинейное движение» — Сложение скоростей — Примеры решения задач по теме «Сложение скоростей» — Мгновенная и средняя скорости — Ускорение — Движение с постоянным ускорением — Определение кинематических характеристик движения с помощью графиков — Примеры решения задач по теме «Движение с постоянным ускорением» — Движение с постоянным ускорением свободного падения — Примеры решения задач по теме «Движение с постоянным ускорением свободного падения» — Равномерное движение точки по окружности — Кинематика абсолютно твёрдого тела. Поступательное и вращательное движение — Кинематика абсолютно твёрдого тела. Угловая скорость. Связь между линейной и угловой скоростями — Примеры решения задач по теме «Кинематика твёрдого тела»

Что такое угловая скорость и как ее рассчитывают?

Обычно, когда говорят о перемещении, мы представляем себе объект, который движется по прямой. Скорость такого движения принято называть линейной, и расчёт ее средней величины выполняется просто: достаточно найти отношение пройденного расстояния к времени, за которое оно было телом преодолено. Если же объект перемещается по окружности, то в этом случае уже определяется не линейная, а угловая скорость. Что это за величина и как ее рассчитывают? Об этом как раз и пойдет разговор в данной статье.

Угловая скорость: понятие и формула

Когда материальная точка движется по окружности, быстроту ее перемещения можно характеризовать величиной угла поворота радиуса, который соединяет движущийся объект с центром данной окружности. Понятно, что эта величина в зависимости от времени постоянно меняется. Быстрота, с которой этот процесс происходит, и есть не что иное, как угловая скорость. Другими словами, это отношение величины отклонения радиус-вектора объекта к промежутку времени, которое потребовалось объекту на совершение такого поворота. Формула угловой скорости (1) может быть записана в таком виде:

w = φ / t, где:

φ – угол поворота радиуса,

t – период времени вращения.

Единицы измерения величины

В международной системе общепринятых единиц (СИ) для характеристики поворотов принято использовать радианы. Поэтому 1 рад/с – основная единица, которая используется в расчетах угловой скорости. В то же время никто не запрещает применять градусы (напомним, что один радиан равен 180/пи, или 57˚18’). Также угловая скорость может выражаться в числе оборотов за минуту или за секунду. Если перемещение по окружности происходит равномерно, то данная величина может быть найдена по формуле (2):

w = 2π*n,

где n – частота вращения.

В противном случае подобно тому, как это делают для обычной скорости, рассчитывают среднюю, или мгновенную угловую скорость. Следует отметить, что рассматриваемая величина является векторной. Для определения ее направления обычно используют правило буравчика, которое часто применяется в физике. Вектор угловой скорости направлен в ту же сторону, в которую происходит поступательное движение винта с правой резьбой. Другими словами, он устремлен вдоль оси, вокруг которой вращается тело, в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против движения часовой стрелки.

Примеры расчета

Предположим, требуется определить, чему равна линейная и угловая скорость колеса, если известно, что его диаметр равен одному метру, а угол вращения изменяется в соответствии с законом φ=7t. Воспользуемся нашей первой формулой:

w = φ / t = 7t / t = 7 с-1.

Это и будет искомая угловая скорость. Теперь перейдем к поиску привычной нам быстроты перемещения. Как известно, v = s / t. Учитывая, что s в нашем случае – это длина окружности колеса (l =2π*r), а 2π — один полный оборот, получается следующее:

v = 2π*r / t = w * r = 7 * 0.5 = 3.5 м/с

Вот еще одна задачка на эту тему. Известно, что радиус Земли на экваторе равен 6370 километров. Требуется определить линейную и угловую быстроту движения точек, находящихся на этой параллели, которое возникает в результате вращения нашей планеты вокруг своей оси. В данном случае нам понадобится вторая формула:

w = 2π*n = 2*3,14 *(1/(24*3600)) = 7,268 *10-5 рад/с.

Осталось выяснить, чему равна линейная скорость: v = w*r = 7,268 *10-5 *6370 * 1000 = 463 м/с.

Угловая скорость. Формула угловой скорости :: SYL.ru

Расстояние и время, которое уходит на преодоление этого расстояния, связывает физическое понятие – скорость. И у человека, как правило, не вызывает вопросов определение этой величины. Все понимают, что двигаться на автомобиле со скоростью 100 км/ч — значит за один час проехать 100 километров.

А как быть, если тело вращается? Например, обычный бытовой вентилятор делает с десяток оборотов в секунду. И в то же время скорость вращения лопастей такова, что их запросто можно остановить рукой без вреда для себя. Земля вокруг своей звезды – Солнца — делает один оборот за целый год, а это более 30 миллионов секунд, но скорость её движения по околозвёздной орбите составляет около 30 километров за одну секунду!

Как же связать привычную скорость с быстротой вращения, как выглядит формула угловой скорости?

Понятие угловой скорости

Понятие угловой скорости используется в изучении законов вращения. Оно применяется ко всем вращающимся телам. Будь то вращение некоторой массы вокруг другой, как в случае с Землёй и Солнцем, или же вращение самого тела вокруг полярной оси (суточное вращение нашей планеты).

Отличие угловой скорости от линейной в том, что она фиксирует изменение угла, а не расстояния в единицу времени. В физике угловую скорость принято обозначать буквой греческого алфавита «омега» — ω.

Классическая формула угловой скорости вращения рассматривается так.

Представим, что вокруг некоторого центра А вращается физическое тело с постоянной скоростью. Его положение в пространстве относительно центра определяется углом φ. В некоторый момент времени t1 рассматриваемое тело находится в точке В. Угол отклонения тела от начального φ1.

Затем тело перемещается в точку С. Оно находится там в момент времени t2. Время, понадобившееся для данного перемещения:

∆t = t2 – t1.

Меняется и положение тела в пространстве. Теперь угол отклонения равен φ2. Изменение угла за период времени ∆t составило:

∆φ = φ2 – φ1.

Теперь формула угловой скорости формулируется следующим образом: угловая скорость определяется как отношение изменения угла ∆φ за время ∆t.

Единицы измерения угловой скорости

Скорость движения тела линейная измеряется в разных величинах. Движение автотранспорта по дорогам привычно указывают в километрах в час, морские суда делают узлы – морские мили в час. Если же рассматривать движение космических тел, то тут чаще всего фигурируют километры в секунду.

Угловая скорость в зависимости от величины и от предмета, который вращается, также измеряется в разных единицах.

Радианы в секунду (рад/с) – классическое мерило скорости в международной системе единиц (СИ). Показывают – на сколько радиан (в одном полном обороте 2 ∙ 3,14 радиан) успевает повернуться тело за одну секунду.

Обороты в минуту (об/мин) – самая распространённая единица для обозначения скоростей вращения в технике. Валы двигателей как электрических, так и автомобильных выдают именно (достаточно посмотреть на тахометр в своём автомобиле) обороты в минуту.

Обороты в секунду (об/с) – используется реже, прежде всего в образовательных целях.

Период обращения

Иногда для определения скорости вращения удобнее пользоваться другим понятием. Периодом обращения принято называть время, за которое некое тело делает оборот 360° (полный круг) вокруг центра вращения. Формула угловой скорости, выраженная через период обращения, принимает вид:

ω = 2П / Т.

Выражать периодом обращения быстроту вращения тел оправдано в случаях, когда тело вращается относительно медленно. Вернёмся к рассмотрению движения нашей планеты вокруг светила.

Формула угловой скорости позволяет вычислить её, зная период обращения:

ω = 2П/31536000 = 0,000000199238499086111 рад/с.

Глядя на полученный результат, можно понять, почему, рассматривая вращение небесных тел, удобнее пользоваться именно периодом обращения. Человек видит перед собой понятные цифры и наглядно представляет себе их масштаб.

Связь угловой и линейной скоростей

В некоторых задачах должны быть определены линейная и угловая скорость. Формула трансформации проста: линейная скорость тела равняется произведению угловой скорости на радиус вращения. Как это показано на рисунке.

«Работает» выражение и в обратном порядке, с его помощью определяется и угловая скорость. Формула через скорость линейную получается путём несложных арифметических манипуляций.

5.2 Угловая скорость — Биомеханика движения человека

Насколько быстро вращается объект? Определим угловую скорость ω как скорость изменения углового смещения. В символах это

.

[латекс] \ boldsymbol {\ omega \: =} \ boldsymbol {\ frac {\ Delta \ theta} {\ Delta {t}}}, [/ latex]

, где угловое вращение Δ θ происходит за время Δ t . Чем больше угол поворота за заданный промежуток времени, тем больше угловая скорость.Единицы измерения угловой скорости — градусы в секунду (º / с), радианы в секунду (рад / с) или обороты в минуту (об / мин), если применимо.

Угловая скорость — это векторная величина. Угловая скорость имеет только два направления относительно оси вращения — либо по часовой стрелке, либо против часовой стрелки.

Угловая скорость используется в биомеханике двояко. Нас интересует либо средняя угловая скорость , либо мгновенная угловая скорость .Средняя угловая скорость говорит нам, сколько времени нужно, чтобы что-то повернулось на определенное угловое смещение. Мгновенная угловая скорость говорит нам, насколько быстро что-то вращается в определенный момент времени. Средняя угловая скорость удара теннисиста может определять, касается ли она мяча или нет, но именно мгновенная скорость ракетки при контакте с мячом определяет, насколько быстро и далеко полетит мяч. В видах спорта, где важны повороты всего тела (прыжки в воду, гимнастика), угловая скорость является важным фактором, определяющим, выполнит ли спортсмен определенное количество поворотов или сальто перед приземлением.

В некоторых видах спорта, особенно в тех, где снаряжение используется как продолжение конечностей спортсмена (гольф, теннис, лакросс …), соотношение между угловой и линейной скоростью становится важным. Преимущество использования орудий заключается в том, что они усиливают движение (смещение) наших конечностей. Возьмите теннисный мяч и бросьте его как можно дальше. Теперь ударьте по тому же мячу теннисной ракеткой. Что идет дальше всего? Ракетка обеспечивает более высокие линейные скорости, поскольку они увеличивают расстояние от точки контакта (ваша рука против теннисной ракетки) до оси вращения (плечевого сустава).Здесь также важна взаимосвязь между линейными переменными, угловыми переменными и радиусом, о которых говорилось в предыдущем разделе.

Первое соотношение в v = r ω или ω = v / r утверждает, что линейная скорость v пропорциональна расстоянию от центра вращения, таким образом, она наибольшая для точка, наиболее удаленная от точки вращения. Второе соотношение утверждает, что чем быстрее вращается объект ( ω ), тем выше линейная скорость точки на объекте ( v ).Обратите внимание, что для использования этого уравнения угловая скорость должна быть выражена в рад / с.

У [latex] \ boldsymbol {\ omega} [/ latex] и [latex] \ boldsymbol {v} [/ latex] есть направления (следовательно, они имеют угловую и линейную скорости соответственно). Угловая скорость имеет только два направления относительно оси вращения — либо по часовой стрелке, либо против часовой стрелки. Линейная скорость касается пути.

Рисунок 4. Когда объект движется по кругу, здесь муха на краю старинной виниловой пластинки, его мгновенная скорость всегда касается круга.Направление угловой скорости в этом случае — по часовой стрелке.

Подумайте о своих любимых видах спорта и об оборудовании, необходимом для занятий. Если вид спорта, о котором вы думаете, включает использование клюшек, клюшек или ракеток, вы, вероятно, уже знакомы с соотношением между линейной и угловой скоростями. Линейная скорость точки, находящейся дальше от оси вращения, выше, если угловая скорость такая же. Эта линейная скорость передается шару (или снаряду) через сохранение количества движения, которое будет обсуждаться позже.Например, в гольфе у нас есть два типа клюшек: лесные и железные. Древесина — самые длинные клюшки, которые используются для придания мячу большей скорости, когда игрок ведёт мяч как можно дальше. Утюги — это более короткие дубинки, используемые для более близких ударов.

Вы не всегда можете переключаться между длинным и более коротким орудием, чтобы повлиять на линейную скорость снаряда, но вы также можете изменить ось вращения, чтобы уменьшить радиус. Скажем, взмах обычно начинается в плече.Вращаясь вокруг запястья, вы сокращаете радиус.

Возможно, вы также могли бы переместить рукоятку предмета, чтобы уменьшить или увеличить радиус. Это обычно наблюдается в бейсболе, когда игроки давятся битой.

Угловая скорость

В физике угловая скорость определяется как скорость изменения углового смещения и является векторной величиной (точнее, псевдовектором), которая определяет угловую скорость объекта и ось, вокруг которой объект вращается.Единица измерения угловой скорости в системе СИ — радианы в секунду, хотя она может быть измерена в других единицах, таких как градусы в секунду, градусы в час и т. Д. Угловая скорость обычно обозначается символом омега (ω, реже Ω).

Направление вектора угловой скорости перпендикулярно плоскости вращения в направлении, которое обычно задается правилом правой руки. [1]

Угловая скорость частицы
Частица в двух измерениях
Угловая скорость частицы в точке P относительно начала координат O определяется перпендикулярной составляющей вектора скорости v.
Угловая скорость описывает скорость вращения и ориентацию мгновенной оси, вокруг которой происходит вращение. Направление псевдовектора угловой скорости будет вдоль оси вращения; в этом случае (вращение против часовой стрелки) вектор направлен вверх.

Угловая скорость частицы измеряется вокруг или относительно точки, называемой началом координат. Как показано на диаграмме (с углами ɸ и θ в радианах), если провести линию от начала координат (O) до частицы (P), то скорость (v) частицы будет иметь компонент по радиусу (радиальный компонент, v‖) и компонент, перпендикулярный радиусу (поперечно-радиальный компонент, v⊥).Если нет радиального компонента, частица движется по окружности, а если нет компонента, перпендикулярного радиусу, частица движется по прямой через начало координат.

Радиальное движение не приводит к изменению направления частицы относительно начала координат, поэтому для определения угловой скорости можно пренебречь радиальной составляющей. Следовательно, вращение полностью создается перпендикулярным движением вокруг начала координат, а угловая скорость полностью определяется этим компонентом.

В двух измерениях угловая скорость ω равна

\ (\ omega = \ frac {d \ phi} {dt} \)

Это связано с поперечной радиальной (тангенциальной) скоростью следующим образом: [1]

\ (\ mathrm {v} _ \ perp = r \, \ frac {d \ phi} {dt} \)

Явная формула для v⊥ через v и θ:

\ mathrm {v} _ \ perp = | \ mathrm {\ mathbf {v}} | \, \ sin (\ theta). \)

Объединение приведенных выше уравнений дает формулу для ω:

\ (\ omega = \ frac {| \ mathrm {\ mathbf {v}} | \ sin (\ theta)} {| \ mathrm {\ mathbf {r}} |}.\)

В двух измерениях угловая скорость — это одно число, не имеющее направления, но имеющее смысл или ориентацию. В двух измерениях угловая скорость — это псевдоскаляр, величина, которая меняет свой знак при инверсии четности (например, если одна из осей перевернута или они поменяны местами). Положительное направление вращения принято, как правило, по направлению к оси y от оси x. Если четность инвертирована, а направление вращения — нет, то знак угловой скорости меняется.
Частица в трех измерениях
См. Также: формулы Френе – Серре

В трех измерениях угловая скорость немного усложняется. Угловая скорость в этом случае обычно рассматривается как вектор, точнее, псевдовектор. Теперь у него есть не только величина, но и направление. Величина — это угловая скорость, а направление описывает ось вращения. Правило правой руки указывает положительное направление псевдовектора угловой скорости.

Являясь \ vec u унитарным вектором по оси мгновенного вращения, так что от вершины вектора вращение идет против часовой стрелки, вектор угловой скорости \ vec \ omega может быть определен как:

\ (\ vec \ omega = \ frac {d \ theta} {dt} \ cdot \ vec u \)

Как и в двумерном случае, частица будет иметь компонент своей скорости по радиусу от начала координат до частицы, а другой компонент будет перпендикулярно этому радиусу. 2} \)

Сложение векторов угловой скорости

Можно определить операцию сложения векторов угловой скорости, используя композицию перемещений.

Если точка вращается вместе с \ (\ omega_2 \) в кадре \ (F_2 \), который вращается с угловой скоростью \ omega_1 относительно внешнего кадра F_1, мы можем определить добавление \ (\ omega_1 + \ omega_2 \) как вектор угловой скорости точки относительно \ (F_1. \)

С этой операцией, определенной таким образом, угловая скорость, которая является псевдовектором, также становится вещественным вектором, потому что она имеет две операции:

Внутренняя операция (сложение), которая является ассоциативной, коммутативной, распределительной и с нулевыми и единичными элементами
Внешняя операция (внешний продукт) с обычными свойствами для внешнего продукта.2 + … \)

Композиция поворотов не коммутативна, но когда это бесконечно малые повороты, можно взять приближение первого порядка из предыдущей серии и \ ((I + W_1 \ cdot dt) (I + W_2 \ cdot dt) = (I + W_2 .dt) (I + W_1 \ cdot dt) \), и, следовательно, \ (\ omega_1 + \ omega_2 = \ omega_2 + \ omega_1 \)
Поворотные рамы

Для вращающейся системы координат, состоящей из трех унитарных векторов, все три должны иметь одинаковую угловую скорость в любой момент. В такой системе отсчета каждый вектор является частным случаем предыдущего случая (движущаяся частица), в котором модуль вектора постоянен.

Хотя это всего лишь частный случай предыдущего, он очень важен в связи с изучением твердого тела, и для этого случая были разработаны специальные инструменты. Есть два возможных способа описать угловую скорость вращающейся рамки. Вектор угловой скорости и тензор угловой скорости. Оба объекта связаны, и их можно вычислить друг относительно друга.
Вектор угловой скорости для рамы

Он определяется как угловая скорость каждого из векторов кадра в соответствии с общим определением.

Из теоремы Эйлера о вращении известно, что для вращающейся системы отсчета существует мгновенная ось вращения в любой момент времени. В случае рамы вектор угловой скорости проходит над мгновенной осью вращения.

Любое поперечное сечение плоскости, перпендикулярной этой оси, должно вести себя как двумерное вращение. Таким образом, величина вектора угловой скорости в данный момент времени t согласуется с двухмерным случаем.

Угловая скорость — это вектор, определяющий операцию сложения.Компоненты могут быть вычислены из производных параметров, определяющих подвижную систему отсчета (углы Эйлера или матрицы вращения).
Сложение векторов угловой скорости в кадрах
Схематическое построение сложения векторов угловой скорости для вращающихся рам

Как и в общем случае, операция сложения векторов угловой скорости может быть определена с помощью композиции движения. В случае вращающихся кадров композиция движения проще, чем в общем случае, потому что конечная матрица всегда является продуктом матриц вращения.2} \), и, следовательно, \ (\ vec \ omega = \ vec {e} _1 \ times \ dot {\ vec {e}} _ 1 = \ vec {e} _2 \ times \ dot {\ vec {e}} _2 = \ vec {e} _3 \ times \ dot {\ vec {e}} _ 3. \)

Поскольку столбцы матрицы кадра являются компонентами его векторов, это также позволяет вычислить \ omega из матрицы кадра и ее производной.
Компоненты из углов Эйлера
Диаграмма, показывающая рамку Эйлера в зеленом цвете

Компоненты псевдовектора угловой скорости были впервые рассчитаны Леонардом Эйлером с использованием его углов Эйлера и промежуточной системы отсчета, составленной из промежуточных рамок конструкции:

Одна ось системы отсчета (ось прецессии)
Линия узлов подвижной системы отсчета относительно системы отсчета (ось нутации)
Одна ось подвижной рамы (ось собственного вращения)

Эйлер доказал, что проекции псевдовектора угловой скорости на эти три оси были производной от связанного с ним угла (что эквивалентно разложению мгновенного вращения на три мгновенных вращения Эйлера).Следовательно [2]:

\ (\ vec \ omega = \ dot \ alpha \ bold u_1 + \ dot \ beta \ bold u_2 + \ dot \ gamma \ bold u_3 \)

Этот базис не является ортонормированным и его трудно использовать, но теперь вектор скорости можно изменить на фиксированную систему отсчета или на подвижную систему отсчета, просто изменив основы. Например, переход на мобильный фрейм:

\ (\ vec \ omega = (\ dot \ alpha \ sin \ beta \ sin \ gamma + \ dot \ beta \ cos \ gamma) {\ bold I} + (\ dot \ alpha \ sin \ beta \ cos \ gamma- \ dot \ beta \ sin \ gamma) {\ bold J} + (\ dot \ alpha \ cos \ beta + \ dot \ gamma) {\ bold K}, \)

, где IJK — единичные векторы для рамы, закрепленной в движущемся теле.Этот пример был сделан с использованием соглашения Z-X-Z для углов Эйлера [3].
Компоненты из матриц бесконечно малого вращения

Компоненты вектора угловой скорости могут быть вычислены на основе бесконечно малых вращений (при их наличии) следующим образом:

Поскольку любая матрица вращения имеет единственное действительное собственное значение, равное +1, это собственное значение показывает ось вращения.
Его модуль может быть выведен из значения бесконечно малого вращения.

Тензор угловой скорости
См. Также: Кососимметричная матрица

Его можно ввести из матриц вращения.Любой вектор \ vec r, который вращается вокруг оси с вектором угловой скорости \ vec \ omega (как определено ранее), удовлетворяет:

\ (\ frac {d \ vec r (t)} {dt} = \ vec {\ omega} \ times \ vec {r} \)

Здесь мы можем ввести тензор угловой скорости, связанный с угловой скоростью \ omega:

\ (W (t) = \ begin {pmatrix} 0 & — \ omega_z (t) & \ omega_y (t) \\ \ omega_z (t) & 0 & — \ omega_x (t) \\ — \ omega_y (t ) & \ omega_x (t) & 0 \\ \ end {pmatrix} \)

Этот тензор W (t) будет действовать так, как если бы он был оператором (\ vec \ omega \ times):

\ (\ vec \ omega (t) \ times \ vec {r} (t) = W (t) \ vec {r} (t) \)

Учитывая матрицу ориентации A (t) кадра, мы можем получить тензор мгновенной угловой скорости W следующим образом.{-1} (t) \)

Свойства тензоров угловой скорости
Смотрите также: Бесконечно малое вращение

В общем, угловая скорость в n-мерном пространстве является производной по времени тензора углового смещения, который является кососимметричным тензором второго ранга.

Этот тензор W будет иметь n (n-1) / 2 независимых компонентов, и это число является размерностью алгебры Ли группы вращений n-мерного внутреннего пространства произведения. [4]
Экспонента W

В трех измерениях угловая скорость может быть представлена ​​псевдовектором, потому что тензоры второго ранга двойственны псевдовекторам в трех измерениях.т \)

Таким образом, W является негативом своего транспонирования, что означает, что это кососимметричная матрица.
Двойственность относительно вектора скорости

Тензор представляет собой матрицу с такой структурой:

\ (W (t) = \ begin {pmatrix} 0 & — \ omega_z (t) & \ omega_y (t) \\ \ omega_z (t) & 0 & — \ omega_x (t) \\ — \ omega_y (t ) & \ omega_x (t) & 0 \\ \ end {pmatrix} \)

Поскольку это кососимметричная матрица, она имеет двойственный вектор Ходжа, который в точности совпадает с предыдущим вектором угловой скорости \ (\ vec \ omega \):

\ (\ boldsymbol \ omega = [\ omega_x, \ omega_y, \ omega_z] \)

Описание без координат

В любой момент времени t тензор угловой скорости представляет собой линейное отображение между векторами положения \ (\ mathbf {r} (t) \) и их векторами скорости \ (\ mathbf {v} (t) \) жесткого тело, вращающееся вокруг начала координат:

\ (\ mathbf {v} = W \ mathbf {r} \)

, где мы опускаем параметр t и рассматриваем \ (\ mathbf {v} \) и \ (\ mathbf {r} \) как элементы одного и того же 3-мерного евклидова векторного пространства V.* \ wedge \ mathbf {r} \ wedge \ mathbf {s}) = * (\ omega \ wedge \ mathbf {r} \ wedge \ mathbf {s}) = * (\ omega \ wedge \ mathbf {r}) \ cdot \ mathbf {s} = (\ omega \ times \ mathbf {r}) \ cdot \ mathbf {s} \)

где

\ (\ omega \ times \ mathbf {r}: = * (\ omega \ wedge \ mathbf {r}) \)

по определению.

Поскольку \ (\ mathbf {s} \) — произвольный вектор, из невырожденности скалярного произведения следует

\ (W \ mathbf {r} = \ omega \ times \ mathbf {r} \)

Угловая скорость как векторное поле

Тензор угловой скорости отображает скорости в положения, это векторное поле.В частности, это векторное поле является векторным полем Киллинга, принадлежащим элементу алгебры Ли so (3) трехмерной группы вращений SO (3). Этот элемент so (3) также можно рассматривать как вектор угловой скорости.
Особенности жесткого кузова
См. Также: условные обозначения осей
Положение точки P в твердом теле (показано синим цветом). Ri — это положение относительно лабораторной рамы с центром в точке O, а ri — положение по отношению к раме жесткого тела с центром в точке O ‘.Начало каркаса твердого тела находится в векторной позиции R от лабораторного каркаса.

Те же уравнения для угловой скорости можно получить, рассуждая о вращающемся твердом теле. Здесь не предполагается, что твердое тело вращается вокруг начала координат. Вместо этого можно предположить, что он вращается вокруг произвольной точки, которая движется с линейной скоростью V (t) в каждый момент времени.

Чтобы получить уравнения, удобно представить твердое тело, прикрепленное к каркасам, и рассмотреть систему координат, фиксированную относительно твердого тела.Затем мы изучим преобразования координат между этой координатой и фиксированной «лабораторной» системой.

Как показано на рисунке справа, начало координат лабораторной системы находится в точке O, начало системы твердого тела находится в точке O ‘, а вектор от O к O’ равен R. Частица (i) в твердом теле расположена в точке P и векторным положением этой частицы является Ri в лабораторной системе отсчета, а в позиции ri в рамке тела. Видно, что положение частицы можно записать:

\ (\ mathbf {R} _i = \ mathbf {R} + \ mathbf {r} _i \)

Определяющей характеристикой твердого тела является то, что расстояние между любыми двумя точками твердого тела не меняется во времени.Это означает, что длина вектора \ (\ mathbf {r} _i \) не меняется. По теореме Эйлера о вращении мы можем заменить вектор \ mathbf {r} _i на \ mathcal {R} \ mathbf {r} _ {io}, где \ mathcal {R} — матрица вращения 3×3, а \ (\ mathbf {r} _ {io} \) — это положение частицы в некоторый фиксированный момент времени, скажем, t = 0. Эта замена полезна, потому что теперь во времени изменяется только матрица вращения \ (\ mathcal {R} \), а не опорный вектор \ (\ mathbf {r} _ {io} \), поскольку твердое тело вращается вокруг точки O ‘.Кроме того, поскольку три столбца матрицы вращения представляют три варианта системы отсчета, вращающейся вместе с твердым телом, теперь становится видимым любое вращение вокруг любой оси, в то время как вектор \ (\ mathbf {r} _i \) вращаться не будет. если бы ось вращения была параллельна ему, и, следовательно, он описывал бы только вращение вокруг оси, перпендикулярной ей (то есть, он не видел бы компонент псевдовектора угловой скорости, параллельный ему, и позволял бы только вычислить компонент перпендикулярно ему).Положение частицы теперь записывается как:

.

\ (\ mathbf {R} _i = \ mathbf {R} + \ mathcal {R} \ mathbf {r} _ {io} \)

Взяв производную по времени, получаем скорость частицы:

\ (\ mathbf {V} _i = \ mathbf {V} + \ frac {d \ mathcal {R}} {dt} \ mathbf {r} _ {io} \)

где Vi — скорость частицы (в лабораторной системе отсчета), а V — скорость O ‘(начало системы отсчета твердого тела). Поскольку \ (\ mathcal {R} \) — матрица вращения, обратная ей — транспонированная.Т \) — предыдущий тензор угловой скорости.

Можно доказать, что это кососимметричная матрица, поэтому мы можем взять ее двойственную, чтобы получить трехмерный псевдовектор, который в точности является предыдущим вектором угловой скорости \ (\ vec \ omega \):

\ (\ boldsymbol \ omega = [\ omega_x, \ omega_y, \ omega_z] \)

Подставляем ω вместо W в приведенное выше выражение скорости и заменяем матричное умножение эквивалентным кросс-произведением:

\ (\ mathbf {V} _i = \ mathbf {V} + \ mathbf \ omega \ times \ mathbf {r} _i.\)

Видно, что скорость точки в твердом теле можно разделить на два члена: скорость опорной точки, закрепленной в твердом теле, плюс член в виде перекрестного произведения, включающий угловую скорость частицы относительно опорной точки. точка. Эта угловая скорость представляет собой «вращательную» угловую скорость твердого тела в противоположность угловой скорости исходной точки O ‘относительно начала координат O.
Консистенция

Мы предположили, что твердое тело вращается вокруг произвольной точки.Мы должны доказать, что ранее определенная угловая скорость не зависит от выбора начала координат, что означает, что угловая скорость является внутренним свойством вращающегося твердого тела.
Доказательство независимости угловой скорости от выбора начала координат

См. График справа: начало лабораторной рамки — O, в то время как O1 и O2 — две неподвижные точки на твердом теле, скорость которых равна \ (\ mathbf {v} _1 \) и \ (\ mathbf {v} _2 \) соответственно. Предположим, что угловая скорость относительно O1 и O2 равна \ (\ boldsymbol {\ omega} _1 \) и \ (\ boldsymbol {\ omega} _2 \) соответственно.Поскольку точки P и O2 имеют только одну скорость,

\ (\ mathbf {v} _1 + \ boldsymbol {\ omega} _1 \ times \ mathbf {r} _1 = \ mathbf {v} _2 + \ boldsymbol {\ omega} _2 \ times \ mathbf {r} _2 \)

\ (\ mathbf {v} _2 = \ mathbf {v} _1 + \ boldsymbol {\ omega} _1 \ times \ mathbf {r} = \ mathbf {v} _1 + \ boldsymbol {\ omega} _1 \ times (\ mathbf {r} _1 — \ mathbf {r} _2). \)

Два указанных выше дают

\ ((\ boldsymbol {\ omega} _1- \ boldsymbol {\ omega} _2) \ times \ mathbf {r} _2 = 0. \)

Поскольку точка P (и, следовательно, \ (\ mathbf {r} _2 \)) \) произвольная, отсюда следует, что

\ (\ boldsymbol {\ omega} _1 = \ boldsymbol {\ omega} _2.\)

Если точкой отсчета является мгновенная ось вращения, выражение скорости точки в твердом теле будет иметь только член угловой скорости. a b Хиббелер, Рассел К.Вращения и угловой момент на странице классической механики веб-сайта Джона Баэза, особенно вопросы 1 и 2.

Саймон, Кейт (1971). Механика. Эддисон-Уэсли, Рединг, Массачусетс. ISBN 0-201-07392-7.

Landau, L.D .; Лифшиц, Э.М. (1997). Механика. Баттерворт-Хайнеманн. ISBN 0-7506-2896-0.

Внешние ссылки
Посмотрите угловую скорость в Викисловаре, бесплатном словаре.

Учебник физики для колледжа Артур Лалан Кимбалл (Угловая скорость частицы)

Физическая энциклопедия

Получено с «http: // en.wikipedia.org/ «
Весь текст доступен в соответствии с условиями лицензии GNU Free Documentation License

.

На главную — Hellenica World

Угловая скорость

Введение

В физике угловая скорость — это векторная величина (точнее, псевдовектор), которая определяет угловую скорость объекта и ось, вокруг которой объект вращается. Единица (метрическая система) угловой скорости — радианы в секунду, хотя она может быть измерена в других единицах, таких как градусы в секунду, обороты в секунду, обороты в минуту, градусы в час и т. Д.Иногда ее также называют скоростью вращения , а ее величина — скоростью вращения, обычно измеряемой в циклах или оборотах в единицу времени (например, оборотов в минуту). Угловая скорость обычно обозначается символом омега ( ω , редко Ω ).

Радиан в секунду определяется как изменение ориентации объекта в радианах каждую секунду.

Угловая частота ω (Обычная) частота ν = ω / 2π
2π радиан в секунду ровно 1 герц (Гц)
1 радиан в секунду примерно 0.159155 Гц
1 радиан в секунду приблизительно 57,29578 градусов в секунду
1 радиан в секунду примерно 9,5493 об / мин

Другие — Radian

Радиан описывает плоский угол, образованный дугой окружности, как длину дуги, деленную на радиус дуги. Один радиан — это угол, образуемый в центре окружности дугой, длина которой равна радиусу окружности.В более общем смысле величина такого вытянутого угла в радианах равна отношению длины дуги к радиусу круга; то есть θ = s / r, где θ — угол наклона в радианах, s — длина дуги, а r — радиус. И наоборот, длина замкнутой дуги равна радиусу, умноженному на величину угла в радианах; то есть s = rθ. Полный оборот составляет 2π радиан (здесь показан круг радиуса один и окружность 2π).

Отсюда следует, что величина в радианах одного полного оборота (360 градусов) равна длине всей окружности, деленной на радиус, или 2πr / r, или 2π.Таким образом, 2π радиан равняется 360 градусам, что означает, что один радиан равен 180 / π градусам.

Ссылки и ресурсы

  • Википедия — http://en.wikipedia.org/wiki/Angular_velocity
  • Википедия — http://en.wikipedia.org/wiki/Radians_per_second

Физика: Угловая скорость — HandWiki

Краткое описание : Физическая величина

В физике: угловая скорость или скорость вращения ( [math] \ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} [/ math] или [math] \ displaystyle {\ boldsymbol {\ Omega}} [/ math] ), также известный как вектор угловой частоты , [1] — это векторная мера скорости вращения, которая относится к тому, насколько быстро объект вращается или вращается относительно другой точки, т.е.е. насколько быстро угловое положение или ориентация объекта меняется со временем.

Есть два типа угловой скорости. Орбитальная угловая скорость относится к тому, насколько быстро точечный объект вращается вокруг фиксированного начала координат, то есть скорость изменения его углового положения относительно начала координат во времени. Угловая скорость вращения означает, насколько быстро твердое тело вращается относительно своего центра вращения, и не зависит от выбора начала координат, в отличие от орбитальной угловой скорости.

В общем случае угловая скорость имеет размерность угла в единицу времени (угол заменяет расстояние от линейной скорости на время в общем). Единица измерения угловой скорости в системе СИ — это радианы в секунду, [2] , причем радиан является безразмерной величиной, поэтому единицы измерения угловой скорости в системе СИ могут быть указаны как s -1 . Угловая скорость обычно обозначается символом омега ( ω , иногда Ω ). По соглашению, положительная угловая скорость означает вращение против часовой стрелки, а отрицательная — по часовой стрелке.

Например, геостационарный спутник совершает один оборот в день над экватором, или 360 градусов за 24 часа, и имеет угловую скорость ω = (360 °) / (24 ч) = 15 ° / ч, или (2π рад) / (24 ч) ≈ 0,26 рад / ч. Если угол измеряется в радианах, линейная скорость равна радиусу, умноженному на угловую скорость, [math] \ displaystyle {v = r \ omega} [/ math]. Таким образом, с радиусом орбиты 42000 км от центра Земли скорость спутника в космосе составляет v = 42000 км × 0,26 / час ≈ 11000 км / час.Угловая скорость положительна, поскольку спутник движется на восток вместе с вращением Земли (против часовой стрелки от северного полюса).

Угловая скорость — это псевдовектор, величина которого измеряет угловую скорость , скорость, с которой объект вращается или вращается, и его направление, указывающее перпендикулярно плоскости мгновенного вращения или углового смещения. Ориентация угловой скорости условно задается правилом правой руки. [3]

Орбитальная угловая скорость точечной частицы

Частица в двух измерениях

Угловая скорость частицы в точке P относительно начала координат O определяется перпендикулярной составляющей вектора скорости v .

В простейшем случае кругового движения по радиусу [math] \ displaystyle {r} [/ math] с положением, заданным угловым смещением [math] \ displaystyle {\ phi (t)} [/ math] от x- оси орбитальная угловая скорость — это скорость изменения угла во времени: [math] \ displaystyle {\ omega = \ frac {d \ phi} {dt}} [/ math]. Если [math] \ displaystyle {\ phi} [/ math] измеряется в радианах, длина дуги от положительной оси x вокруг круга до частицы равна [math] \ displaystyle {\ ell = r \ phi} [ / math], а линейная скорость равна [math] \ displaystyle {v (t) = \ frac {d \ ell} {dt} = r \ omega (t)} [/ math], так что [math] \ displaystyle {\ omega = \ frac {v} {r}} [/ math].

В общем случае частицы, движущейся в плоскости, орбитальная угловая скорость — это скорость, с которой вектор положения относительно выбранной точки отсчета «заметает» угол. На диаграмме показан вектор положения [math] \ displaystyle {\ mathbf {r}} [/ math] от источника [math] \ displaystyle {O} [/ math] до частицы [math] \ displaystyle {P} [/ math] с его полярными координатами [math] \ displaystyle {(r, \ phi)} [/ math]. (Все переменные являются функциями времени [math] \ displaystyle {t} [/ math].) Частица имеет линейное разделение скорости как [math] \ displaystyle {\ mathbf {v} = \ mathbf {v} _ \ | + \ mathbf {v} _ \ perp} [/ math] с радиальным компонентом [math] \ displaystyle {\ mathbf {v} _ \ | } [/ math] параллельно радиусу, а поперечно-радиальный (или тангенциальный) компонент [math] \ displaystyle {\ mathbf {v} _ \ perp} [/ math] перпендикулярен радиусу.Когда нет радиальной составляющей, частица движется вокруг начала координат по окружности; но когда нет поперечно-радиального компонента, он движется по прямой линии от начала координат. Поскольку при радиальном движении угол остается неизменным, только поперечно-радиальная составляющая линейной скорости вносит вклад в угловую скорость.

Угловая скорость ω — это скорость изменения углового положения относительно времени, которую можно вычислить из поперечной радиальной скорости как:

[математика] \ displaystyle {\ omega = \ frac {d \ phi} {dt} = \ frac {v_ \ perp} {r}.} [/ math]

Здесь поперечная радиальная скорость [math] \ displaystyle {v_ \ perp} [/ math] — это величина со знаком [math] \ displaystyle {\ mathbf {v} _ \ perp} [/ math], положительное значение для движения против часовой стрелки, отрицательное значение для движения по часовой стрелке. Если взять полярные координаты для линейной скорости [math] \ displaystyle {\ mathbf {v}} [/ math], получаем величину [math] \ displaystyle {v} [/ math] (линейную скорость) и угол [math] \ displaystyle {\ theta} [/ math] относительно радиус-вектора; в этих терминах [math] \ displaystyle {v_ \ perp = v \ sin (\ theta)} [/ math], так что

[математика] \ displaystyle {\ omega = \ frac {v \ sin (\ theta)} {r}.} [/ math]

Эти формулы можно получить, выполнив [math] \ displaystyle {\ mathbf {r} = (r \ cos (\ varphi), r \ sin (\ varphi))} [/ math], будучи [math] \ displaystyle {r} [/ math] функция расстояния до начала координат относительно времени, а [math] \ displaystyle {\ varphi} [/ math] функция угла между вектором и x ось. Тогда [математика] \ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {r}} {dt} = (\ dot {r} \ cos (\ varphi) — r \ dot {\ varphi} \ sin (\ varphi), \ dot {r} \ sin (\ varphi) + r \ dot {\ varphi} \ cos (\ varphi))} [/ math].Что равно [math] \ displaystyle {\ dot {r} (\ cos (\ varphi), \ sin (\ varphi)) + r \ dot {\ varphi} (- \ sin (\ varphi), \ cos ( \ varphi)) = \ dot {r} \ hat {r} + r \ dot {\ varphi} \ hat {\ varphi}} [/ math]. (См. Единичный вектор в цилиндрических координатах). Зная [math] \ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {r}} {dt} = \ mathbf {v}} [/ math], мы заключаем, что радиальная составляющая скорости определяется как [math] \ displaystyle { \ dot {r}} [/ math], потому что [math] \ displaystyle {\ hat {r}} [/ math] является единичным радиальным вектором; а перпендикулярный компонент задается как [math] \ displaystyle {r \ dot {\ varphi}} [/ math], потому что [math] \ displaystyle {\ hat {\ varphi}} [/ math] является перпендикулярным единичным вектором.

В двух измерениях угловая скорость — это число со знаком плюс или минус, указывающее ориентацию, но не указывающее в направлении. Знак условно считается положительным, если радиус-вектор вращается против часовой стрелки, и отрицательным, если по часовой стрелке. Тогда угловая скорость может быть названа псевдоскалярной, числовой величиной, которая меняет знак при инверсии четности, такой как инвертирование одной оси или переключение двух осей.

Частица в трех измерениях

Вектор орбитальной угловой скорости кодирует скорость изменения углового положения во времени, а также мгновенную плоскость углового смещения.В этом случае (круговое движение против часовой стрелки) вектор направлен вверх.

В трехмерном пространстве мы снова имеем вектор положения r движущейся частицы. Здесь орбитальная угловая скорость — это псевдовектор, величина которого представляет собой скорость, с которой r выметает угол, и направление которого перпендикулярно мгновенной плоскости, в которой r высовывает угол (т. Е. Плоскость, охватывающая r и v ). Однако, поскольку существует два направления , перпендикулярных любой плоскости, необходимо дополнительное условие, чтобы однозначно указать направление угловой скорости; условно используется правило правой руки.

Пусть псевдовектор [math] \ displaystyle {\ mathbf {u}} [/ math] будет единичным вектором, перпендикулярным плоскости, натянутой на r и v , так что выполняется правило правой руки (т. Е. мгновенное направление углового смещения — против часовой стрелки, если смотреть сверху [math] \ displaystyle {\ mathbf {u}} [/ math]). Взяв полярные координаты [math] \ displaystyle {(r, \ phi)} [/ math] в этой плоскости, как в двумерном случае выше, можно определить вектор орбитальной угловой скорости как:

[математика] \ displaystyle {\ boldsymbol \ omega = \ omega \ mathbf u = \ frac {d \ phi} {dt} \ mathbf u = \ frac {v \ sin (\ theta)} {r} \ mathbf u ,} [/ math]

, где θ — это угол между r и v .2}. } [/ math] [4]

Из приведенного выше уравнения можно восстановить тангенциальную скорость как:

[math] \ displaystyle {\ mathbf {v} _ {\ perp} = \ boldsymbol {\ omega} \ times \ mathbf {r}} [/ math]
Сложение векторов угловой скорости

thumb | Схема построения для сложения векторов угловой скорости для вращающихся рам

Если точка вращается с орбитальной угловой скоростью [math] \ displaystyle {\ omega_1} [/ math] относительно своего центра вращения в системе координат [math] \ displaystyle {F_1} [/ math], которая сама вращается с вращением угловая скорость [math] \ displaystyle {\ omega_2} [/ math] относительно внешнего кадра [math] \ displaystyle {F_2} [/ math], мы можем определить [math] \ displaystyle {\ omega_1 + \ omega_2} [ / math] как составной вектор орбитальной угловой скорости точки относительно ее центра вращения относительно [math] \ displaystyle {F_2} [/ math].2 + \ cdots} [/ математика]. Состав поворотов не коммутативен, но [math] \ displaystyle {(I + W_1 \ cdot dt) (I + W_2 \ cdot dt) = (I + W_2 \ cdot dt) (I + W_1 \ cdot dt)} [ / math] коммутативен до первого порядка, поэтому [math] \ displaystyle {\ omega_1 + \ omega_2 = \ omega_2 + \ omega_1} [/ math].

Обратите внимание, что это также определяет вычитание как сложение отрицательного вектора.

Угловая скорость вращения твердого тела или системы отсчета

Учитывая вращающуюся систему координат из трех единичных векторов координат, все три должны иметь одинаковую угловую скорость в каждый момент времени.В такой системе отсчета каждый вектор можно рассматривать как движущуюся частицу с постоянным скалярным радиусом.

Вращающаяся рамка появляется в контексте твердых тел, и для нее были разработаны специальные инструменты: угловая скорость вращения может быть описана как вектор или, что эквивалентно, как тензор.

В соответствии с общим определением, угловая скорость вращения кадра определяется как орбитальная угловая скорость любого из трех векторов (одинаковых для всех) относительно его собственного центра вращения.Сложение векторов угловой скорости для кадров также определяется обычным сложением векторов (композиция линейных перемещений) и может быть полезно для разложения вращения, как в карданном подвесе. Все компоненты вектора могут быть вычислены как производные от параметров, определяющих движущиеся системы отсчета (углы Эйлера или матрицы вращения). Как и в общем случае, сложение коммутативно: [math] \ displaystyle {\ omega_1 + \ omega_2 = \ omega_2 + \ omega_1} [/ math].

Согласно теореме Эйлера о вращении, любая вращающаяся система отсчета обладает мгновенной осью вращения, которая является направлением вектора угловой скорости, а величина угловой скорости согласуется с двумерным случаем.

Если мы выберем точку отсчета [math] \ displaystyle {{\ boldsymbol R}} [/ math], зафиксированную в твердом теле, скорость [math] \ displaystyle {\ dot {\ boldsymbol r}} [/ math] любой точки тела задается

[математика] \ displaystyle {\ dot {\ boldsymbol r} = \ dot {\ boldsymbol R} + ({\ boldsymbol r} — {\ boldsymbol R}) \ times {\ boldsymbol \ omega} } [/ math]

Компоненты из базисных векторов фиксированного каркаса

Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг фиксированной точки O.Постройте опорный фрейм в теле, состоящий из ортонормированного набора векторов [math] \ displaystyle {\ mathbf {e} _1, \ mathbf {e} _2, \ mathbf {e} _3} [/ math], прикрепленных к телу, и с их общим началом в O. Тогда вектор угловой скорости рамы и тела вокруг O равен

[математика] \ displaystyle {\ boldsymbol \ omega = \ left (\ dot \ mathbf {e} _1 \ cdot \ mathbf {e} _2 \ right) \ mathbf {e} _3 + \ left (\ dot \ mathbf { e} _2 \ cdot \ mathbf {e} _3 \ right) \ mathbf {e} _1 + \ left (\ dot \ mathbf {e} _3 \ cdot \ mathbf {e} _1 \ right) \ mathbf {e} _2, } [/ math]

Здесь

[math] \ displaystyle {\ dot \ mathbf {e} _i = \ frac {d \ mathbf {e} _i} {dt}} [/ math] — скорость изменения вектора кадра [math] \ displaystyle {\ mathbf {e} _i, i = 1,2,3,} [/ math] из-за поворота.2}. } [/ math]

, поскольку эта формула определяет только угловую скорость единственной точки вокруг O, тогда как формула в этом разделе применяется к раме или твердому телу. В случае твердого тела single [math] \ displaystyle {\ boldsymbol \ omega} [/ math] должен учитывать движение всех частиц в теле.

Компоненты углов Эйлера

Диаграмма, показывающая фрейм Эйлера зеленым цветом

Компоненты псевдовектора спиновой угловой скорости были впервые вычислены Леонардом Эйлером с использованием его углов Эйлера и использования промежуточной системы отсчета:

  • Одна ось системы отсчета (ось прецессии)
  • Линия узлов подвижной системы отсчета относительно системы отсчета (ось нутации)
  • Одна ось движущейся системы отсчета (ось собственного вращения)

Эйлер доказал, что проекции псевдовектора угловой скорости на каждую из этих трех осей являются производной соответствующего угла (что эквивалентно разложению мгновенного вращения на три оси). мгновенные вращения Эйлера).Следовательно: [5]

[math] \ displaystyle {\ boldsymbol \ omega = \ dot \ alpha \ mathbf u_1 + \ dot \ beta \ mathbf u_2 + \ dot \ gamma \ mathbf u_3} [/ math]

Этот базис не является ортонормальным, и он трудно использовать, но теперь вектор скорости может быть изменен на фиксированную систему отсчета или на движущуюся рамку, просто изменив основы. Например, переход на мобильный фрейм:

[математика] \ displaystyle {\ boldsymbol \ omega = (\ точка \ альфа \ грех \ бета \ грех \ гамма + \ точка \ бета \ соз \ гамма) \ шляпа \ mathbf я + (\ точка \ альфа \ грех \ бета \ соз \ гамма — \ точка \ бета \ грех \ гамма) \ шляпа \ mathbf j + (\ точка \ альфа \ соз \ бета + \ точка \ гамма) \ шляпа \ mathbf k} [/ математика]

где [математика] \ Displaystyle {\ шляпа \ mathbf я, \ шляпа \ mathbf j, \ шляпа \ mathbf k} [/ math] — единичные векторы для кадра, закрепленного в движущемся теле.Этот пример был сделан с использованием соглашения Z-X-Z для углов Эйлера.

Тензор

Вектор угловой скорости [math] \ displaystyle {\ boldsymbol \ omega = (\ omega_x, \ omega_y, \ omega_z)} [/ math], определенный выше, может быть эквивалентно выражен как тензор угловой скорости , матрица (или линейная отображение) W = W ( t ) определяется следующим образом:

[математика] \ displaystyle { W = \ begin {pmatrix} 0 & — \ omega_z & \ omega_y \\ \ omega_z & 0 & — \ omega_x \\ — \ omega_y & \ omega_x & 0 \\ \ end {pmatrix}} [/ math]

Это бесконечно малая матрица вращения.Линейное отображение W действует как [math] \ displaystyle {(\ boldsymbol \ omega \ times)} [/ math]:

[математика] \ displaystyle {\ boldsymbol \ omega \ times \ mathbf {r} = W \ cdot \ mathbf {r}. } [/ math]

Расчет по матрице ориентации

Вектор [math] \ displaystyle {\ mathbf r} [/ math], совершающий равномерное круговое движение вокруг фиксированной оси, удовлетворяет:

[math] \ displaystyle {\ frac {d \ mathbf r} {dt} = \ boldsymbol {\ omega} \ times \ mathbf {r} = W \ cdot \ mathbf {r}} [/ math]

Учитывая матрицу ориентации A ( t ) кадра, столбцы которой являются движущимися ортонормированными векторами координат [math] \ displaystyle {\ mathbf e_1, \ mathbf e_2, \ mathbf e_3} [/ math], мы можем получить его тензор угловой скорости W ( t ) выглядит следующим образом.{\ mathrm {T}}} [/ математика].

Недвижимость

В общем случае угловая скорость в пространстве размером n является производной по времени тензора углового смещения, который является кососимметричным тензором второго ранга.

Этот тензор W будет иметь n ( n −1) / 2 независимых компонентов, что является размерностью алгебры Ли группы вращений Ли n -мерного внутреннего пространства произведения. [6]

Двойственность по вектору скорости

В трех измерениях угловая скорость может быть представлена ​​псевдовектором, потому что тензоры второго ранга двойственны псевдовекторам в трех измерениях.Поскольку тензор угловой скорости W = W ( t ) является кососимметричной матрицей:

[математика] \ displaystyle { W = \ begin {pmatrix} 0 & — \ omega_z & \ omega_y \\ \ omega_z & 0 & — \ omega_x \\ — \ omega_y & \ omega_x & 0 \\ \ end {pmatrix}, } [/ math]

его двойственный по Ходжу вектор — это в точности предыдущий вектор угловой скорости [math] \ displaystyle {\ boldsymbol \ omega = [\ omega_x, \ omega_y, \ omega_z]} [/ math].

Экспонента от

Вт

Если мы знаем начальную систему отсчета A (0) и нам дан постоянный тензор угловой скорости W , мы можем получить A ( t ) для любого заданного t .\ text {T}} [/ math]

Таким образом, W является отрицательным значением своего транспонирования, что означает, что он асимметричен.

Описание без координат

В любой момент [math] \ displaystyle {t} [/ math] тензор угловой скорости представляет собой линейную карту между вектором положения [math] \ displaystyle {\ mathbf {r} (t)} [/ math] и векторы скорости [math] \ displaystyle {\ mathbf {v} (t)} [/ math] точки на твердом теле, вращающемся вокруг начала координат:

[математика] \ displaystyle {\ mathbf {v} = W \ mathbf {r}.} [/ math]

Связь между этой линейной картой и псевдовектором угловой скорости [math] \ displaystyle {\ boldsymbol \ omega} [/ math] следующая.

Поскольку W является производной ортогонального преобразования, билинейная форма

[math] \ displaystyle {B (\ mathbf {r}, \ mathbf {s}) = (W \ mathbf {r}) \ cdot \ mathbf {s}} [/ math]

кососимметричен . 2 V} [/ math] — это внешний продукт [math] \ displaystyle {\ mathbf {r}} [/ math] и [ математика] \ Displaystyle {\ mathbf {s}} [/ математика].\ sharp) \ wedge \ mathbf {r} \ wedge \ mathbf {s}) = {\ star} (\ boldsymbol \ omega \ wedge \ mathbf {r} \ wedge \ mathbf {s}) = {\ star} (\ boldsymbol \ omega \ wedge \ mathbf {r}) \ cdot \ mathbf {s} = (\ boldsymbol \ omega \ times \ mathbf {r}) \ cdot \ mathbf {s},} [/ math]

где

[math] \ displaystyle {\ boldsymbol \ omega \ times \ mathbf {r}: = {\ star} (\ boldsymbol \ omega \ wedge \ mathbf {r})} [/ math]

по определению.

Поскольку [math] \ displaystyle {\ mathbf {s}} [/ math] — произвольный вектор, из невырожденности скалярного произведения следует

[math] \ displaystyle {W \ mathbf {r} = \ boldsymbol \ omega \ times \ mathbf {r}} [/ math]

Угловая скорость как векторное поле

Поскольку тензор угловой скорости вращения твердого тела (в его системе покоя) представляет собой линейное преобразование, которое преобразует положения в скорости (внутри твердого тела), его можно рассматривать как постоянное векторное поле.В частности, угловая скорость спина является векторным полем Киллинга, принадлежащим элементу алгебры Ли SO (3) трехмерной группы вращений SO (3).

Кроме того, можно показать, что поле вектора угловой скорости вращения составляет ровно половину ротора поля вектора линейной скорости v ( r ) твердого тела. В символах

[math] \ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega} = \ frac {1} {2} \ nabla \ times \ mathbf {v}} [/ math]

Особенности жестких тел

Положение точки P в твердом теле (показано синим цветом). R i — это положение по отношению к лабораторной раме с центром O и r i — положение по отношению к раме жесткого тела с центром O ′. Начало каркаса жесткого тела находится в векторной позиции R от лабораторного каркаса.

Те же уравнения для угловой скорости можно получить, рассуждая о вращающемся твердом теле. Здесь не предполагается, что твердое тело вращается вокруг начала координат.Вместо этого можно предположить, что он вращается вокруг произвольной точки, которая движется с линейной скоростью V ( t ) в каждый момент времени.

Для получения уравнений удобно представить твердое тело, прикрепленное к каркасам, и рассмотреть систему координат, фиксированную относительно твердого тела. Затем мы изучим преобразования координат между этой координатой и фиксированной «лабораторной» системой.

Как показано на рисунке справа, начало координат лабораторной системы находится в точке O , начало системы твердого тела находится в точке O ′, а вектор от O к O ′ равен R .Частица ( i ) в твердом теле расположена в точке P, и положение вектора этой частицы составляет R i в лабораторной рамке и в позиции r i в каркас кузова. Видно, что положение частицы можно записать:

[math] \ displaystyle {\ mathbf {R} _i = \ mathbf {R} + \ mathbf {r} _i} [/ math]

Определяющей характеристикой твердого тела является расстояние между любыми двумя точками в твердом теле не меняется во времени.Это означает, что длина вектора [math] \ displaystyle {\ mathbf {r} _i} [/ math] не меняется. По теореме Эйлера о вращении мы можем заменить вектор [math] \ displaystyle {\ mathbf {r} _i} [/ math] на [math] \ displaystyle {\ mathcal {R} \ mathbf {r} _ {io}} [ / math] где [math] \ displaystyle {\ mathcal {R}} [/ math] — это матрица вращения 3 × 3, а [math] \ displaystyle {\ mathbf {r} _ {io}} [/ math] — это положение частицы в некоторый фиксированный момент времени, скажем, t = 0. Эта замена полезна, потому что теперь изменяется только матрица вращения [math] \ displaystyle {\ mathcal {R}} [/ math] во времени, а не по опорному вектору [math] \ displaystyle {\ mathbf {r} _ {io}} [/ math], поскольку твердое тело вращается вокруг точки O ′.Кроме того, поскольку три столбца матрицы вращения представляют три варианта системы отсчета, вращающейся вместе с твердым телом, любое вращение вокруг любой оси теперь становится видимым, а вектор [math] \ displaystyle {\ mathbf {r} _i} [/ math] не вращался бы, если бы ось вращения была параллельна ему, и, следовательно, он описывал бы только вращение вокруг оси, перпендикулярной ей (т. е. он не видел бы компонент псевдовектора угловой скорости, параллельный ему, и мог бы разрешить вычисление только компонента, перпендикулярного ему).Положение частицы теперь записывается как:

[math] \ displaystyle {\ mathbf {R} _i = \ mathbf {R} + \ mathcal {R} \ mathbf {r} _ {io}} [/ math]

Взяв производную по времени, получаем скорость частицы:

[математика] \ displaystyle {\ mathbf {V} _i = \ mathbf {V} + \ frac {d \ mathcal {R}} {dt} \ mathbf {r} _ {io}} [/ math]

, где V i — скорость частицы (в лабораторной системе координат), а V — скорость O ′ (начало каркаса твердого тела).\ text {T}} [/ math] — предыдущий тензор угловой скорости.

Можно доказать, что это кососимметричная матрица, поэтому мы можем взять ее двойственную, чтобы получить трехмерный псевдовектор, который является в точности предыдущим вектором угловой скорости [math] \ displaystyle {\ boldsymbol \ omega} [/ math]:

[math] \ displaystyle {\ boldsymbol \ omega = [\ omega_x, \ omega_y, \ omega_z]} [/ math]

Подставив ω вместо W в приведенное выше выражение скорости, и заменив умножение матрицы на эквивалентное кросс-произведение:

[math] \ displaystyle {\ mathbf {V} _i = \ mathbf {V} + \ boldsymbol \ omega \ times \ mathbf {r} _i} [/ math]

Видно, что скорость точку в твердом теле можно разделить на два члена — скорость опорной точки, закрепленной в твердом теле, плюс член перекрестного произведения, включающий орбитальную угловую скорость частицы относительно опорной точки.Эта угловая скорость и есть то, что физики называют «угловой скоростью вращения» твердого тела, в отличие от орбитальной угловой скорости опорной точки O ′ относительно начала координат O .

Консистенция

Мы предположили, что твердое тело вращается вокруг произвольной точки. Мы должны доказать, что ранее определенная угловая скорость вращения не зависит от выбора начала координат, что означает, что угловая скорость вращения является внутренним свойством вращающегося твердого тела.(Обратите внимание на заметный контраст этого с орбитальной угловой скоростью точечной частицы , которая, безусловно, действительно зависит от выбора источника.)

справа | 320 пикселей | большой палец | Доказательство независимости угловой скорости спина от выбора начала координат

См. График справа: начало лабораторной рамы — O , а O 1 и O 2 — две фиксированные точки на твердом теле, скорость которых равна [math] \ displaystyle {\ mathbf {v} _1} [/ math] и [math] \ displaystyle {\ mathbf {v} _2} [/ math] соответственно.Предположим, что угловая скорость относительно O 1 и O 2 равна [math] \ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega} _1} [/ math] и [math] \ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega} _2} [/ math] соответственно. Поскольку точки P и O 2 имеют только одну скорость,

[математика] \ displaystyle {\ mathbf {v} _1 + \ boldsymbol {\ omega} _1 \ times \ mathbf {r} _1 = \ mathbf {v} _2 + \ boldsymbol {\ omega} _2 \ times \ mathbf { r} _2} [/ math]
[math] \ displaystyle {\ mathbf {v} _2 = \ mathbf {v} _1 + \ boldsymbol {\ omega} _1 \ times \ mathbf {r} = \ mathbf { v} _1 + \ boldsymbol {\ omega} _1 \ times (\ mathbf {r} _1 — \ mathbf {r} _2)} [/ math]

Приведенные выше два результата дают

[math] \ displaystyle {(\ boldsymbol {\ omega} _2- \ boldsymbol {\ omega} _1) \ times \ mathbf {r} _2 = 0} [/ math]

С точки P ( и, следовательно, [math] \ displaystyle {\ mathbf {r} _2} [/ math]) произвольно, отсюда следует, что

[math] \ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega} _1 = \ boldsymbol {\ omega} _2} [/ math]

Если точкой отсчета является мгновенная ось вращения, выражение скорости точки в твердое тело будет иметь только член угловой скорости.Это потому, что скорость мгновенной оси вращения равна нулю. Примером мгновенной оси вращения является петля двери. Другой пример — точка контакта чисто катящегося сферического (или, в более общем смысле, выпуклого) твердого тела.

См. Также

Список литературы

  1. ↑ Каммингс, Карен; Холлидей, Дэвид (2007). Понимание физики . Нью-Дели: John Wiley & Sons Inc., авторизованная перепечатка для Wiley — Индия. С. 449, 484, 485, 487.ISBN 978-81-265-0882-2. https://books.google.com/books?id=rAfF_X9cE0EC. (UP1)
  2. ↑ Тейлор, Барри Н. (2009). Международная система единиц (СИ) (в редакции 2008 г.). Издательство ДИАНА. п. 27. ISBN 978-1-4379-1558-7. https://books.google.com/books?id=I-BlErBBeL8C. Отрывок страницы 27
  3. ↑ Hibbeler, Russell C. (2009). Инженерная механика . Река Аппер Сэдл, Нью-Джерси: Пирсон Прентис Холл. С. 314, 153. ISBN 978-0-13-607791-6. https://books.google.com / books? id = tOFRjXB-XvMC & q = угловой + скорость & pg = PA314. (EM1)
  4. ↑ Сингх, Сунил К. «Угловая скорость». Университет Райса. https://cnx.org/contents/[email protected]:[email protected]/Angular-velocity.
  5. ↑ K.S.HEDRIH: Леонард Эйлер (1707–1783) и динамика твердого тела
  6. ↑ Вращения и угловой момент на странице классической механики веб-сайта Джона Баэза, особенно вопросы 1 и 2.

Внешние ссылки

Линейные / поступательные величины Угловые / вращательные величины
Размеры 1 л л 2 Размеры 1 1 1
т время: т
с
высота подъема: A
м с
Т время: т
с
1 расстояние: d , положение: r , s , x , перемещение
м
площадь: A
м 2
1 угол: θ , угловое смещение: θ
рад
телесный угол: Ω
рад 2 , sr
Т -1 частота: f
с −1 , Гц
скорость: v , скорость: v
м с −1
кинематическая вязкость: ν ,
удельный угловой момент: ч
м 2 с -1
Т -1 частота: f
с −1 , Гц
угловая скорость: ω , угловая скорость: ω
0.1em «> с −1
Т −2 ускорение: a
мс −2
Т −2 угловое ускорение: α
рад с −2
Т −3 рывок: j
м с −3
Т −3 угловой рывок: ζ
рад с −3
M Масса: м
кг
мл 2 момент инерции: I
кг м 2
MT -1 импульс: p , импульс: Дж
[[килограмм кг м с -1 , Ньютон-секунда | Н с]]
действие: 𝒮, [[Physics: Absement # applications |]] ℵ
кг м 2 с −1 , Дж с
ML 2 T −1 Угловой момент: L , угловой импульс: Δ L
кг м 2 с −1
действие: 𝒮, [[Physics: Absement # applications |]] ℵ
кг м 2 с −1 , Дж с
MT −2 усилие: F , вес: F г
кг м с −2 , Н
энергия: E , работа: Вт , лагранжиан: L
кг · м 2 с −2 , Дж
ML 2 T −2 крутящий момент: τ , момент: M
кг м 2 с −2 , Н м
энергия: E , работа: Вт , лагранжиан: L
кг · м 2 с −2 , Дж
MT −3 yank: Y
кг м с −3 , Н с −1
мощность: P
кг м 2 с −3 , Вт
ML 2 T −3 rotatum: P
кг м 2 с −3 , Н м с −1
мощность: P
кг м 2 с −3 , Вт
Формула для угловой скорости

— определение, пример и многое другое

Формула угловой скорости относится к тому, насколько быстро объект вращается или вращается относительно другой точки, т.е.е. насколько быстро угловое положение или ориентация объекта меняется со временем. Есть два типа угловой скорости: орбитальная угловая скорость и угловая скорость вращения. Угловая скорость вращения означает, насколько быстро твердое тело вращается относительно центра вращения. Орбитальная угловая скорость относится к тому, насколько быстро точечный объект вращается вокруг фиксированного начала координат, то есть скорость изменения его углового положения относительно начала координат во времени. Как правило, угловая скорость измеряется в углах в единицу времени, т.е.грамм. радиан в секунду. Единица измерения угловой скорости в системе СИ выражается в радианах / сек, причем радиан имеет безразмерное значение, равное единице, поэтому единицы измерения угловой скорости в системе СИ обозначаются как 1 / сек.

\ Угловая скорость обычно обозначается символом омега (ω, иногда Ω). По соглашению, положительная угловая скорость означает вращение против часовой стрелки, а отрицательная — по часовой стрелке. Угловая скорость — это скорость, с которой объект или частица вращается вокруг центра или определенной точки в заданный период времени.Это также известно как скорость вращения. Угловая скорость измеряется в углах в единицу времени или в радианах в секунду (рад / с). Скорость изменения угловой скорости — это угловое ускорение. Давайте узнаем более подробно о связи между угловой скоростью и линейной скоростью, угловым смещением и угловым ускорением.

Формула угловой скорости

Что такое угловая скорость?

Угловая скорость является векторной величиной и описывается как скорость изменения углового смещения, которая определяет угловую скорость или скорость вращения объекта и ось, вокруг которой объект вращается.Величина изменения углового смещения частицы за определенный период времени называется угловой скоростью. Траектория вектора угловой скорости вертикальна к плоскости вращения в направлении, которое обычно указывается правилом правой руки.

Формула угловой скорости

Уравнение угловой скорости

Во-первых, когда вы говорите об «угловом» чем-либо, будь то скорость или какая-либо другая физическая величина, осознайте, что, поскольку вы имеете дело с углами, вы говорите о путешествии по кругам или их частям.Вы можете вспомнить из геометрии или тригонометрии, что длина окружности равна его диаметру, умноженному на константу пи, или πd . (Значение пи составляет около 3,14159.) Это чаще всего выражается в терминах радиуса окружности r , который составляет половину диаметра, в результате чего длина окружности 2πr .

Угловое смещение

Кроме того, вы, вероятно, где-то по пути узнали, что круг состоит из 360 градусов (360 °). Если вы переместитесь на расстояние S по окружности, то угловое смещение θ будет равно S / r.Таким образом, один полный оборот дает 2πr / r, что оставляет 2π. Это означает, что углы меньше 360 ° могут быть выражены в единицах пи или, другими словами, в радианах.

Взяв всю эту информацию вместе, вы можете выразить углы или части круга в единицах, отличных от градусов:

1 радиан = (360 ° / 2π) = 57,3 °,

Формула угловой скорости

В то время как линейная скорость выражается в длине в единицу времени, угловая скорость измеряется в радианах в единицу времени, обычно в секунду.

Если вы знаете, что частица движется по круговой траектории со скоростью v на расстоянии r от центра круга, причем направление v всегда перпендикулярно радиусу круга, тогда угловую скорость можно записать

, где ω — греческая буква омега. Единицы угловой скорости — радианы в секунду; вы также можете рассматривать эту единицу как «обратные секунды», потому что v / r дает м / с, деленные на м, или с -1 , что означает, что радианы технически являются безразмерной величиной.

Формула угловой скорости в об / мин

Оборотов в минуту Использует

оборотов в минуту также используются для выражения скорости вращения круглого объекта, такого как колесо. Поскольку один оборот эквивалентен одному полному обороту или вращению вокруг центральной точки, говорят, что колесо, которое совершает один полный оборот вокруг своего центра за минуту, вращается вокруг своего центра со скоростью 1 оборот в минуту или 1 оборот в минуту. Поскольку секундная стрелка часов совершает один полный оборот вокруг своего центра за 1 минуту, ее скорость вращения составляет 1 оборот в минуту или 1 оборот в минуту.

Формула угловой скорости в об / мин

Преобразование угловой скорости в число оборотов в минуту

Угловая скорость в градусах в секунду может быть преобразована в число оборотов в минуту путем умножения угловой скорости на 1/6, так как один оборот составляет 360 градусов, а это 60 секунд в минуту. Если угловая скорость задана равной 6 градусам в секунду, частота вращения составит 1 оборот в минуту, поскольку 1/6, умноженная на 6, дает 1.

об / мин для преобразования угловой скорости

Оборотов в минуту можно преобразовать в угловую скорость в градусах в секунду, умножив число оборотов в минуту на 6, поскольку один оборот составляет 360 градусов, а это 60 секунд в минуту.Если частота вращения равна 1 об / мин, угловая скорость в градусах в секунду будет 6 градусов в секунду, поскольку 6 умножить на 1 равно 6.

Какая единица измерения угловой скорости?

Единица измерения угловой скорости в системе СИ — радианы в секунду. Но он может быть измерен и в других единицах (например, градусах в секунду, градусах в час и т. Д.). Угловая скорость обычно обозначается символом омега (Ω или ω).

Какая формула для скорости?

Уравнение или формула для скорости аналогична скорости.Чтобы вычислить скорость, вы делите расстояние на время, необходимое для прохождения этого же расстояния, а затем добавляете к нему свое направление.

Какова формула углового момента?

p = m * v. С небольшим упрощением, угловой момент (L) определяется как расстояние объекта от оси вращения, умноженное на количество движения: L = r * p или L = mvr.

Какова формула угловой скорости?

Это изменение угла движущегося объекта (измеряется в радианах), деленное на время.Угловая скорость имеет величину (значение) и направление. (360 градусов — это 2π рад). Время, необходимое для того, чтобы секундная стрелка повернулась на 180 градусов, составляет 30 секунд, поэтому t = 30 секунд. Теперь мы можем вычислить угловую скорость.

Какой пример угловой скорости?

Угловая скорость, обозначенная буквой w, представляет собой скорость изменения этого угла во времени. Угловая скорость. Например, колесо обозрения может каждую минуту вращаться на пи / 6 радиан.Следовательно, угловая скорость колеса обозрения будет равна пи / 6 радиан в минуту.

Сообщение навигации

Что такое угловая скорость?

Угловая скорость часто используется для описания вращения объекта по круговой траектории. Обычно он определяет скорость изменения во времени углового смещения или изменения положения частицы или другого объекта. Обычно определяется линией, перпендикулярной кривой окружности, угловая скорость также перпендикулярна направлению, в котором что-то вращается.Обычно он рассчитывается по математической формуле и может обозначаться греческим символом омега.

Скорость объекта обычно определяется его угловой скоростью.Для вычисления этого атрибута начальное положение объекта обычно вычитается из конечного положения. Вычисленное число затем делится на время, необходимое для того, чтобы добраться из одного места в другое. Следовательно, угловая скорость обычно измеряется как движение по окружности за определенный период времени. Можно вычислить градусы, обороты или единицы круга, называемые радианами, перемещаемыми за секунду; измерение также называется скоростью вращения.

Можно измерить постоянную угловую скорость или определить среднюю скорость вдоль пути.Умножение средней скорости на время может определить угловое смещение, оба из которых также являются компонентами вращения. Скорость изменения скорости определяется ее ускорением. Существуют разные формулы для расчета каждой характеристики; некоторые знания греческих букв и символов, а также тригонометрии обычно помогают понять, как использовать большинство правильных уравнений.

Движение микроскопических частиц часто определяется расчетной угловой скоростью.Вращение может быть положительным или отрицательным, в зависимости от ориентации частицы относительно горизонтальной оси X и вертикальной оси Y. Скорость также определяется исходной точкой и настройкой координатных осей. Например, можно предположить, что движение частицы происходит по кривой или по прямой линии. Угловая скорость может быть измерена в двух измерениях; направление объекта в этом случае не указывается, в то время как величина и направление определены для чего-то, что вращается в трехмерном пространстве.

Для объекта, движущегося по траектории, которая не является круговой, угловая линейная скорость обычно возникает под прямым углом к ​​некоторому заранее определенному направлению.Эта ссылка для положения, называемая вектором, и скорость объекта обычно образуют угол, который используется в уравнении. В расчет могут быть включены два направления движения. Однако в трехмерную систему координат можно добавить дополнительный вектор для вычисления угловой скорости.

Угловая скорость

Угловая скорость
следующий: Угловое ускорение Up: Круговое движение Предыдущий: Угловое положение


Угловая скорость По аналогии с понятием скорости для линейного движения, может быть определена угловая скорость для вращательного движения.Один первый вводит среднюю угловую скорость за время, на которое объект перемещается из точки A по окружности в B :

Затем определяется мгновенная угловая скорость в точке A . быть средней угловой скоростью между A и точкой B когда точка B приближается к A :

Угловая скорость измеряется в радианах в секунду, хотя для двигатели в частности, это обычно выражается в об / мин (обороты в минуту).

В качестве примера рассмотрим автомобиль, движущийся со скоростью 30 м / с (примерно 110 км / ч). Учитывая, что шины имеют радиус около полуметра, мы можем вычислить угловая скорость шин в оборотах в секунду или радианах в секунду. Окружность покрышек 2 раз радиус. Для радиуса в полметра окружность равна метров. Следовательно чтобы шины прошли 30 м за секунду, они должны повернуться 30 / раз в секунду, что составляет около 9 оборотов.55 оборотов в секунду. Поскольку каждому обороту соответствует угловой смещение 2 радианы, это то же самое, что и 9,55 х 2 = 60 рад в секунду. Так когда вы едете со скоростью 110 км / ч, ваши колеса вращаются почти десять раз в секунду. И наоборот, если вы знаете скорость вращения и радиус ваших шин, вы можете рассчитать скорость автомобиля, при условии, что нет скольжения. Именно так спидометр в машине работает: он измеряет скорость вращения ваших колес, а затем преобразует ее в км / час, эффективно умножая на длину окружности шин.Вы могли заметить, что когда ваша машина стоит на льду и колеса крутятся, спидометр регистрирует довольно высокую скорость, даже если вы не двигаетесь. С другой рука, если ваши шины блокируются, и вы попадаете в занос, спидометр падает до нуля даже хотя вы все еще можете двигаться довольно быстро.



следующий: Угловое ускорение Up: Круговое движение Предыдущий: Угловое положение
[email protected]
1999-09-29
.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *