Формула скорости движения по окружности: Движение по окружности, теория и онлайн калькуляторы

Содержание

Движение по окружности-Теория.Скорость в физике

На главную Теория Задачи Учёные Интересные статьи Шкала скоростей

Kинематика равномерного вращения по окружности

При движении по окружности с постоянной по величине линейной скоростью v тело испытывает направленное к центру окружности постоянное центростремительное ускорение

aц = v2/R,

где R — радиус окружности.

Вывод формулы для центростремительного ускорения

По определению

На рисунке треугольники, образованные векторами перемещений и скоростей, подобны. Учитывая, что |r1| = |r2| = R и |v1| = |v2| = v, из подобия треугольников находим:

откуда

Поместим начало координат в центр окружности и выберем плоскость, в которой лежит окружность, за плоскость (x, y).

Положение точки на окружности в любой момент времени однозначно определяется полярным углом j, измеряемым в радианах (рад), причем
x = R cos(j + j0), y = R sin(j + j0),

где j0 определяет начальную фазу (начальное положение точки на окружности в нулевой момент времени).

В случае равномерного вращения угол j, измеряемый в радианах, линейно растет со временем:

j = wt,

где w называется циклической (круговой) частотой. Размерность циклической частоты: [w] = c-1 = Гц.

Циклическая частота равна величине угла поворота (измеренном в рад) за единицу времени, так что иначе ее называют угловой скоростью.

Зависимость координат точки на окружности от времени в случае равномерного вращения с заданной частотой можно записать в виде:

x = R cos(wt + j0),
y = R sin(wt + j0).

Время, за которое совершается один оборот, называется периодом T.

Частота

n = 1/T.

Размерность частоты: [n] = с-1 = Гц.

Связь циклической частоты с периодом и частотой: 2p = wT, откуда

w = 2p/T = 2pn.

Связь линейной скорости и угловой скорости находится из равенства: 2pR = vT, откуда

v = 2pR/T = wR.

Выражение для центростремительного ускорения можно записать разными способами, используя связи между скоростью, частотой и периодом:

aц = v2/R = w2R = 4p2n2R = 4p2R/T2.

Связь поступательного и вращательного движений

Основные кинематические характеристики движения по прямой с постоянным ускорением: перемещение s, скорость v и ускорение a. Соответствующие характеристики при движении по окружности радиусом R: угловое перемещение j, угловая скорость w и угловое ускорение a (в случае, если тело вращается с переменной скоростью). Из геометрических соображений вытекают следующие связи между этими характеристиками:

перемещение sугловое перемещение j = s/R;
скорость vугловая скорость w = v/R;
ускорение aугловое ускорение a = a/R.

Все формулы кинематики равноускоренного движения по прямой могут быть превращены в формулы кинематики вращения по окружности, если сделать указанные замены. Например:

s = vtj = wt,
v = v0 + atw = w0 + at.

Связь между линейной и угловой скоростями точки при вращении по окружности можно записать в векторной форме. Действительно, пусть окружность с центром в начале координат расположена в плоскости (x, y). В любой момент времени вектор R, проведенный из начала координат в точку на окружности, где находится тело, перпендикулярен вектору скорости тела v, направленному по касательной к окружности в этой точке. Определим вектор w, который по модулю равен угловой скорости w и направлен вдоль оси вращения в сторону, которая определяется правилом правого винта: если завинчивать винт так, чтобы направление его вращения совпадало с направлением вращения точки по окружности, то направление движения винта показывает направление вектора w. Тогда связь трех взаимно перпендикулярных векторов R, v и w можно записать с помощью векторного произведения векторов:

v = wR.
Задачи на эту тему

Движение по окружности. Уравнение движения по окружности.

Угловая скорость. Нормальное = центростремительное ускорение. Период, частота обращения (вращения). Связь линейной и угловой скорости Кинематика кругового движения

Так как линейная скорость равномерно меняет направление, то движение по окружности нельзя назвать равномерным , оно является равноускоренным .

Угловая скорость

Выберем на окружности точку 1 . Построим радиус. За единицу времени точка переместится в пункт 2 . При этом радиус описывает угол. Угловая скорость численно равна углу поворота радиуса за единицу времени.

Период и частота

Период вращения T — это время, за которое тело совершает один оборот.

Частота вращение — это количество оборотов за одну секунду.

Частота и период взаимосвязаны соотношением

Связь с угловой скоростью

Линейная скорость

Каждая точка на окружности движется с некоторой скоростью. Эту скорость называют линейной. Направление вектора линейной скорости всегда совпадает с касательной к окружности. Например, искры из-под точильного станка двигаются, повторяя направление мгновенной скорости.


Рассмотрим точку на окружности, которая совершает один оборот, время, которое затрачено — это есть период T . Путь , который преодолевает точка — это есть длина окружности.

Центростремительное ускорение

При движении по окружности вектор ускорения всегда перпендикулярен вектору скорости, направлен в центр окружности.

Используя предыдущие формулы, можно вывести следующие соотношения


Точки, лежащие на одной прямой исходящей из центра окружности (например, это могут быть точки, которые лежат на спице колеса), будут иметь одинаковые угловые скорости, период и частоту. То есть они будут вращаться одинаково, но с разными линейными скоростями. Чем дальше точка от центра, тем быстрей она будет двигаться.

Закон сложения скоростей справедлив и для вращательного движения. Если движение тела или системы отсчета не является равномерным, то закон применяется для мгновенных скоростей. Например, скорость человека, идущего по краю вращающейся карусели, равна векторной сумме линейной скорости вращения края карусели и скорости движения человека.

Земля участвует в двух основных вращательных движениях: суточном (вокруг своей оси) и орбитальном (вокруг Солнца). Период вращения Земли вокруг Солнца составляет 1 год или 365 суток. Вокруг своей оси Земля вращается с запада на восток, период этого вращения составляет 1 сутки или 24 часа. Широтой называется угол между плоскостью экватора и направлением из центра Земли на точку ее поверхности.

Согласно второму закону Ньютона причиной любого ускорения является сила. Если движущееся тело испытывает центростремительное ускорение, то природа сил, действием которых вызвано это ускорение, может быть различной. Например, если тело движется по окружности на привязанной к нему веревке, то действующей силой является сила упругости.

Если тело, лежащее на диске, вращается вместе с диском вокруг его оси, то такой силой является сила трения. Если сила прекратит свое действие, то далее тело будет двигаться по прямой

Рассмотрим перемещение точки на окружности из А в В. Линейная скорость равна

v A и v B соответственно. Ускорение — изменение скорости за единицу времени. Найдем разницу векторов.

  • Основные законы Динамики. Законы Ньютона — первый, второй, третий. Принцип относительности Галилея. Закон всемирного тяготения. Сила тяжести. Силы упругости. Вес. Силы трения — покоя, скольжения, качения + трение в жидкостях и газах.
  • Кинематика. Основные понятия. Равномерное прямолинейное движение. Равноускоренное движение. Равномерное движение по окружности. Система отсчёта. Траектория, перемещение, путь, уравнение движения, скорость, ускорение, связь линейной и угловой скорости.
  • Простые механизмы. Рычаг (рычаг первого рода и рычаг второго рода). Блок (неподвижный блок и подвижный блок). Наклонная плоскость. Гидравлический пресс. Золотое правило механики
  • Законы сохранения в механике. Механическая работа, мощность, энергия, закон сохранения импульса, закон сохранения энергии, равновесие твердых тел
  • Вы сейчас здесь: Движение по окружности. Уравнение движения по окружности. Угловая скорость. Нормальное = центростремительное ускорение. Период, частота обращения (вращения). Связь линейной и угловой скорости
  • Механические колебания. Свободные и вынужденные колебания. Гармонические колебания. Упругие колебания. Математический маятник. Превращения энергии при гармонических колебаниях
  • Механические волны. Скорость и длина волны. Уравнение бегущей волны. Волновые явления (дифракция. интерференция…)
  • Гидромеханика и аэромеханика. Давление, гидростатическое давление. Закон Паскаля. Основное уравнение гидростатики. Сообщающиеся сосуды. Закон Архимеда. Условия плавания тел. Течение жидкости. Закон Бернулли. Формула Торричели
  • Молекулярная физика. Основные положения МКТ. Основные понятия и формулы. Свойства идеального газа. Основное уравнение МКТ.
    Температура. Уравнение состояния идеального газа. Уравнение Менделеева-Клайперона. Газовые законы — изотерма, изобара, изохора
  • Волновая оптика. Корпускулярно-волновая теория света. Волновые свойства света. Дисперсия света. Интерференция света. Принцип Гюйгенса-Френеля. Дифракция света. Поляризация света
  • Термодинамика. Внутренняя энергия. Работа. Количество теплоты. Тепловые явления. Первый закон термодинамики. Применение первого закона термодинамики к различным процессам. Уравнение теплового балланса. Второй закон термодинамики. Тепловые двигатели
  • Электростатика. Основные понятия. Электрический заряд. Закон сохранения электрического заряда. Закон Кулона. Принцип суперпозиции. Теория близкодействия. Потенциал электрического поля. Конденсатор.
  • Постоянный электрический ток. Закон Ома для участка цепи. Работа и мощность постоянного тока. Закон Джоуля-Ленца. Закон Ома для полной цепи. Закон электролиза Фарадея. Электрические цепи — последовательное и параллельное соединение. Правила Кирхгофа.
  • Электромагнитные колебания. Свободные и вынужденные электромагнитные колебания. Колебательный контур. Переменный электрический ток. Конденсатор в цепи переменного тока. Катушка индуктивности («соленоид») в цепи переменного тока.
  • Элементы теории относительности. Постулаты теории относительности. Относительность одновременности, расстояний, промежутков времени. Релятивистский закон сложения скоростей. Зависимость массы от скорости. Основной закон релятивистский динамики…
  • Погрешности прямых и косвенных измерений. Абсолютная, относительная погрешность. Систематические и случайные погрешности. Среднее квадратическое отклонение (ошибка). Таблица определения погрешностей косвенных измерений различных функций.
  • Так как линейная скорость равномерно меняет направление, то движение по окружности нельзя назватьравномерным , оно являетсяравноускоренным .

    Угловая скорость

    Выберем на окружности точку1 . Построим радиус. За единицу времени точка переместится в пункт2 . При этом радиус описывает угол. Угловая скорость численно равна углу поворота радиуса за единицу времени.

    Период и частота

    Период вращенияT — это время, за которое тело совершает один оборот.

    Частота вращение — это количество оборотов за одну секунду.

    Частота и период взаимосвязаны соотношением

    Связь с угловой скоростью

    Линейная скорость

    Каждая точка на окружности движется с некоторой скоростью. Эту скорость называют линейной.Направление вектора линейной скорости всегда совпадает с касательной к окружности. Например, искры из-под точильного станка двигаются, повторяя направление мгновенной скорости.


    Рассмотрим точку на окружности, которая совершает один оборот, время, которое затрачено — это есть периодT .Путь , который преодолевает точка — это есть длина окружности.

    Центростремительное ускорение

    При движении по окружности вектор ускорения всегда перпендикулярен вектору скорости, направлен в центр окружности.

    Используя предыдущие формулы, можно вывести следующие соотношения


    Точки, лежащие на одной прямой исходящей из центра окружности (например, это могут быть точки, которые лежат на спице колеса), будут иметь одинаковые угловые скорости, период и частоту. То есть они будут вращаться одинаково, но с разными линейными скоростями. Чем дальше точка от центра, тем быстрей она будет двигаться.

    Закон сложения скоростей справедлив и для вращательного движения. Если движение тела или системы отсчета не является равномерным, то закон применяется для мгновенных скоростей. Например, скорость человека, идущего по краю вращающейся карусели, равна векторной сумме линейной скорости вращения края карусели и скорости движения человека.

    Земля участвует в двух основных вращательных движениях: суточном (вокруг своей оси) и орбитальном (вокруг Солнца). Период вращения Земли вокруг Солнца составляет 1 год или 365 суток. Вокруг своей оси Земля вращается с запада на восток, период этого вращения составляет 1 сутки или 24 часа. Широтой называется угол между плоскостью экватора и направлением из центра Земли на точку ее поверхности.

    Согласно второму закону Ньютона причиной любого ускорения является сила. Если движущееся тело испытывает центростремительное ускорение, то природа сил, действием которых вызвано это ускорение, может быть различной. Например, если тело движется по окружности на привязанной к нему веревке, то действующей силой является сила упругости.

    Если тело, лежащее на диске, вращается вместе с диском вокруг его оси, то такой силой является сила трения. Если сила прекратит свое действие, то далее тело будет двигаться по прямой

    Рассмотрим перемещение точки на окружности из А в В. Линейная скорость равна

    Теперь перейдем в неподвижную систему, связанную с землей. Полное ускорение точки А останется прежним и по модулю, и по направлению, так как при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой ускорение не меняется. С точки зрения неподвижного наблюдателя траектория точки А — уже не окружность, а более сложная кривая (циклоида), вдоль которой точка движется неравномерно.

    Среди различных видов криволинейного движения особый интерес представляет равномерное движение тела по окружности . Это самый простой вид криволинейного движения. Вместе с тем любое сложное криволинейное движение тела на достаточно малом участке его траектории можно приближенно рассматривать как равномерное движение по окружности .

    Такое движение совершают точки вращающихся колес, роторов турбин, искуственные спутники, вращающиеся по орбитам и т. д. При равномерном движении по окружности численное значение скорости остается постоянным. Однако направление скорости при таком движении непрерывно изменяется.

    Скорость движения тела в любой точке криволинейной траектории направлена по касательной к траектории в этой точке. В этом можно убедиться, наблюдая за работой точила, имеющего форму диска: прижав к вращающемуся камню конец стального прута можно увидеть отрывающиеся от камня раскаленные частицы. Эти частицы летят с той скоростью, которой они обладали в момент отрыва от камня. Направление вылета искр всегда совпадает с касательной к окружности в той точке, где пруток касается камня. По касательной к окружности движутся также брызги от колес буксующего автомобиля.

    Таким образом, мгновенная скорость тела в разных точках криволинейной траектории имеет различные направления, тогда как модуль скорости может быть или всюду одинаковым, или изменяться от точки к точке. Но даже если модуль скорости не изменяется, ее все равно нельзя считать постоянной. Ведь скорость — величина векторная, а для векторных величин модуль и направление одинаково важны. Поэтому криволинейное движение всегда ускоренное , даже если модуль скорости постоянен.

    При криволинейном движении могут изменяться модуль скорости и ее направление. Криволинейное движение, при котором модуль скорости остается постоянным, называют равномерным криволинейным движением . Ускорение при таком движении связано только с изменением направления вектора скорости.

    И модуль, и направление ускорения должны зависеть от формы кривлинейной траектории. Однако нет необходимости рассматривать каждую из ее бесчисленных форм. Представив каждый участок как отдельную окружность с некоторым радиусом, задача нахождения ускорения при криволинейном равномерном движении сведется к отысканию ускорения при равномерном движении тела по окружности.

    Равномерное движение по окружности характеризуется периодом и частотой обращения.

    Время, за которое тело делает один оборот, называют периодом обращения .

    При равномерном движении по окружности период обращения определяется делением пройденного пути, т. е. длины окружности на скорость движения:

    Величина, обратная периоду, называется частотой обращения , обозначается буквой ν . Число оборотов в единицу времени ν называют частотой обращения :

    Из-за непрерывного изменения направления скорости, движущееся по окружности тело имеет ускорение, которое характеризует быстроту изменения ее направления, численное значение скорости в данном случае не меняется.

    При равномерном движении тела по окружности ускорение в любой ее точке всегда направлено перпендикулярно скорости движения по радиусу окружности к ее центру и называется центростремительным ускорением .

    Чтобы найти его значение, рассмотрим отношение изменения вектора скорости к интервалу времени , за который это изменение произошло. Поскольку угол очень мал, то мы имеем.

    12-л. Равномерное движение по окружности

          § 12-л. Равномерное движение по окружности

    Завершая изучение основ кинематики, рассмотрим движение, которое является равномерным и ускоренным одновременно, поскольку вектор мгновенной скорости меняется особым образом.

    Рассмотрим спутник, равномерно летящий по круговой орбите вокруг Земли: за равные интервалы времени он пролетает равные части пути, поэтому мгновенная скорость спутника сохраняет свой модуль. То есть можно говорить о наличии скорости равномерного движения (см. § 12-д). Однако при этом мгновенная скорость непрерывно меняет направление.

    Найдём, куда направлен вектор изменения мгновенной скорости в двух произвольных точках траектории А и В. Для этого сделаем новый чертёж, обозначив Землю зелёной точкой, а спутник – красной. Выберем вблизи положений спутника А и В пары точек А1, А1 и В1, В2. Изобразим в каждой из них вектор мгновенной скорости спутника (см. чертёж). Пользуясь «правилом треугольника» для нахождения разности двух векторов, построим и обозначим векторы изменения мгновенной скорости (см. правую часть чертежа).

    Построение при Δt→0 показывает, что при равномерном движении по окружности вектор изменения мгновенной скорости, оставаясь постоянным по модулю, в любой точке траектории направлен к центру окружности. То есть существует так называемое центростремительное ускорение, сонаправленное с вектором изменения мгновенной скорости и имеющее модуль, который всегда можно вычислить по следующей формуле:

    Формула для определения модуля центростремительного ускорения тела, равномерно движущегося по окружности.

                  a  =   .υ² .              

    a – модуль центростремительного ускорения, м/с²
    υ – модуль скорости равномерного движения, м/с
    R – радиус окружности или её дуги, м

    R

    Эта формула выводится из геометрических построений и рассуждений. Они сложны, поэтому мы приводим формулу без вывода. Важно: в отличие от ранее рассмотренных, в этой формуле присутствует не вектор и даже не проекция мгновенной скорости, а её модуль.

    В наше время на балконах и крышах домов нередко можно видеть антенны-«тарелки», принимающие спутниковый телевизионный сигнал. Не кажется ли вам удивительным, что спутники, на которые направлены антенны, неподвижно «висят» в небе?

    Вспомним: Земля обращается вокруг своей оси за 24 часа. И если спутник будет облетать вокруг нашей планеты с периодичностью 24 часа, то он будет двигаться синхронно с вращением Земли, всё время «пролетая» над одной и той же точкой земной поверхности. Такие спутники и их орбиты называются геостационарными.

    Известно: геостационарные орбиты находятся на высоте около 30000 км над поверхностью Земли. Подсчитаем, с какой скоростью летают по ним спутники. Длину орбиты найдём по формуле длины окружности: l = 2πR. Время оборота по орбите 24 часа, а радиус Земли около 6000 км.

            υ  =     l     =   2πR   =   2 · 3,14 · ( 30000 + 6000 ) км   ≈   9420 км/ч      
    Δt T 24 ч

    Формула для определения модуля центростремительного ускорения тела, равномерно движущегося по окружности.

    В ходе этого рассуждения мы вывели формулу для расчёта модуля скорости тела, равномерно движущегося по окружности:

                υ  =     2πR        
    T

    Формула для определения модуля центростремительного ускорения тела, равномерно движущегося по окружности.

    Тогда модуль центростремительного ускорения тела при его равномерном движении по окружности можно вычислить по формуле:

                a  =     4π²R        

            a   =     υ²     =     =   4π²R   =   4 · 3,14² · ( 30000 + 6000 ) км   ≈   0,2 м/с²      
    R ( 24·60·60 с )²

    Вычисленное значение показывает, что на геостационарной орбите вектор мгновенной скорости спутника, оставаясь постоянным по модулю, ежесекундно меняется на 0,2 м/с по направлению.

    В вашем браузере отключен Javascript.
    Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

    = = 7 (π N RPM /30) 2 R (1)

    , где

    A C = Центрипентное ускорение (м / с 2 , Ft / S 2 )

    V = Тангенская скорость (м / s, ft / s)

    R = круговой радиус (м, футов)

    ω = угловая скорость (RAD / S)

    N RPS = Революции в секунду (Rev / S, 1 / S)

    RPM = Революции на мин (REV / MIN, 1 / MIN)

    Центрипетальная сила

    Согласно второму времени Ньютона Закон Центрипетальная сила может быть выражена как

    = MA C = MA C

    = MV 2 / R

    = M Ω 2 R

    = M (2 Π N S ) 2 R

    = M (2 π N RPM /60) 2 R

    = M (π N RPM /30) 2 R (2)

    , где

    F

    C = центрипетальная сила (N, LB F )

    м = масса (кг, слизни )

    по третьему закону Ньютона центростремительная сила, действующая на объект, имеет центробежную силу той же величины, действующую в противоположном направлении.

    Пример — центростремительное ускорение и сила, действующая на автомобиль по кривой

    Метрические единицы

    Автомобиль массой 1000 кг движется по кривой радиусом 200 м со скоростью 50467 50472 . Центростремительное ускорение можно рассчитать как

    a c = ((50 км/ч) (1000 м/км) (1/3600 ч/с)) 2 / (200 м)

       = 0,965 м/с 2

       = 0.1 г

    , где

    1 г = ускорение гравитации (9,81 м / с 2 )

    Центрипетальная сила может быть рассчитана как

    F C = (1000 кг) ( 0,965 м / с 2 )

    = 965 N

    = 965 N

    = 0,97 kn


    , связанные с Гравитационной силой — Вес:

    F G = (1000 кг) ( 9,81 м/с 2 )

        = 9810 Н

        = 9. 8 кН

    Британские единицы

    Автомобиль с весом (силой тяжести) 3000 фунтов движется по кривой радиусом 100 футов со скоростью 15 миль/ч .

    Масса автомобиля может быть рассчитана как

    м = (3000 фунтов) / (32 Ft / S 2 )

    = 94

    = 94 Slugs

    Центрипентное ускорение можно рассчитать как

    a c = ((15 миль/ч)(5280 футов/милю) / (3600 с/ч)) 2 / (100 футов)

       = 4.84 FT / S 2

    Центрипетальная сила может рассчитываться как

    F C = (94 слизни) (4,84 футов / с 2 )

    = 455 фунтов —

    Центростремительный (центробежный) калькулятор — скорость

    Этот калькулятор можно использовать, если известна скорость объекта — например, автомобиля на повороте.

    Центростремительная (центробежная) сила — об/мин

    Уравнение (2) можно изменить, чтобы выразить центростремительную или центробежную силу как функцию числа оборотов в минуту — об/мин — как

    9007 0. 01097 MRN RPM 2 (3)

    , где

    N

    N RPM = Revolution в минуту (RPM) 2

    Centripetal (центробежный) Калькулятор — RPM

    Этот калькулятор можно использовать, если известна скорость вращения предмета — как токарная чаша на токарном станке.

    Центробежная сила

    Сила — это абстракция, представляющая взаимодействие притяжения и выталкивания между объектами.Третий закон Ньютона гласит, что

    • для каждой действующей силы существует равная и противоположно направленная сила противодействия

    Следовательно, должна существовать равная и противоположно направленная сила противодействия центростремительной силе — Центробежная сила.

    Что такое тангенциальная скорость? — Определение и формула — Видео и стенограмма урока

    Уравнение

    Согласно уравнению, тангенциальная скорость равна расстоянию 2π r , деленному на время T . Таким образом,

    Точка на окружности перемещается на расстояние 2π r за время T .

    Другие формы уравнений

    Мы можем расширить наше уравнение, взглянув на несколько идей. Эти понятия включают угловую скорость ω и частоту ф.

    • угловая скорость , ω, является скоростью вращения. Он измеряет количество радиан (или градусов) в секунду. Обратите внимание, другие названия угловой скорости включают угловую частоту и круговую частоту.
    • Другой мерой вращения в секунду является частота , f . Однако есть важное отличие. Частота — это количество циклов в секунду. Цикл относится к одному полному обороту, когда мы вернулись в исходную точку.

    Например, если мы делаем 2 полных оборота за 1 секунду, частота составляет 2 цикла в секунду.

    Как связаны ω и f ?

    • Угловая частота в 2π раз больше частоты.

    ω обычно выражается в радианах в секунду. Каждый раз, когда мы совершаем 2π радиан вращения, мы совершаем один полный оборот по окружности. Таким образом, ω, деленное на 2π, представляет собой количество циклов в секунду. Количество циклов в секунду — это частота. Таким образом, ω/(2π) = f и ω = 2π f.

    Частота, f, и период, T, также связаны между собой.

    • Частота и период обратны друг другу.

    Продолжая наш пример, если мы делаем 2 оборота за 1 секунду, то время, чтобы сделать один полный оборот, составляет 1/2 секунды. Период равен 1/2 секунды, а частота равна 2 циклам в секунду. (Обратите внимание, что мы обычно используем герц для единиц цикла в секунду.) Таким образом, T и f обратны друг другу. В виде уравнений

    и

    Теперь мы готовы разработать другую форму уравнения тангенциальной скорости.

    Учитывайте следующее:

    В первой строке мы начинаем с нашего более раннего уравнения для тангенциальной скорости с расстоянием (2π r ) в зависимости от времени для одного полного оборота ( T ). Тогда мы записываем деление на T как умножение на 1/ T .

    Во второй строке 1/ T заменяется на частоту f.

    Далее,

    В первой строке мы переставляем 2π r f в 2π f r.

    Во второй строке заменяем 2π f на ω.

    Таким образом, тангенциальная скорость имеет другую форму: v = ω r.

    Пример. Объект вращается с угловой скоростью ω, равной 30 рад/сек, вокруг точки на расстоянии 2 метров. Какова тангенциальная скорость объекта ?

    • Используйте уравнение v = ω r .
    • Подставьте 30 радиан/сек вместо ω и 2 метра вместо r .
    • Упростить.

    Краткое содержание урока

    Давайте быстро повторим! Для тангенциальной скорости мы описываем движение вдоль края окружности, и направление в любой заданной точке окружности всегда вдоль касательной. Как уравнение , тангенциальная скорость равна:

    расстояние, 2π r , деленное на время, T .

    Чтобы понять это уравнение и успешно его рассчитать, нам нужно усвоить понятия угловой скорости, омеги и частоты f .2)/р

    Силы и движение

    Доказательство F = mv²/R

    Учебное руководство за 14-16

    Метод А

    Это следует непосредственно из эксперимента

    Зарисовка орбиты спутника и предсказание ее периода

    Математика непосредственно следует из наброска, полученного в ходе этого эксперимента и воспроизведенного ниже. Это метод Ньютона.

    Он в значительной степени опирается на теорему о скрещенных хордах для окружности, которую следует дать.

    Окружность представляет собой орбиту спутника радиусом R , движущегося со скоростью v . Спутник перемещается из точки А в точку В за время t . Без силы спутник двигался бы к K с постоянной скоростью.

    Теперь «включим» гравитацию, и спутник упадет на расстояние ч за то же время от касательной из точки А в точку В.Неважно, позволите ли вы ему сначала упасть из точки А, а затем продолжите движение в тангенциальном направлении или наоборот. Всем, кто возражает, что падение от К до В происходит не по радиусу, следует еще раз взглянуть на их масштабную диаграмму: почти невозможно увидеть разницу между h и радиальным падением. [Возможно, вам придется говорить о в пределе .]

    Из свойства скрещенных хорд ч (2R- ч ) = x  2

    но 2 R >> H Поэтому 2v = x 2 и так h = x 2 2 R (уравнение 1)

    теперь x = AK, что почти равно arcAB = v t (уравнение 2)

    Объединение 1 и 2, h = ( v t ) 2 2 R (уравнение 3)

    h — вертикальное падение, поэтому используя s = ½ a t  2 = h (уравнение 4)

    Затем из (уравнение 3) и (уравнение 4)

    ½ a t  2 = ( v t ) 2 2 R

    ведет к a = v  2 R

    Использование F = м a затем F = м v  2 R

    То же верно для движения во всех местах по кругу. Под вертикалью всегда понимают направление от спутника к центру притягивающего тела.

    Метод Б

    Этот метод основан на понимании векторов.

    Окружность представляет собой орбиту спутника радиусом R , движущегося со скоростью v . Спутник перемещается из точки А в точку В за время t .

    Нарисуйте вектор AP для представления начальной скорости спутника в точке A, которая проходит по касательной в точке A.Нарисуйте второй вектор той же длины, BQ, чтобы представить более позднюю скорость в B.

    Перерисовать начальный и последующие векторы, начиная с одной и той же точки D. Оба имеют модуль, равный v . FG, представляющий изменение скорости, должен быть добавлен к старой скорости, чтобы получить новую скорость.

    AOB и FDG — подобные треугольники.

    изменение скорости v  = AB R

    ускорение = изменение скорости от A до B = AB x v R x время от A до B = v  2 R

    Использование F = м a затем F = м v  2 R

    Уравнение F = m v  2 R иллюстрирует эти соотношения:

    • чем выше скорость v , тем больше сила, необходимая для удержания объектов на орбите, а значит, тем больше центральное ускорение
    • для той же скорости, чем меньше радиус или чем круче кривая, тем больше сила и, следовательно, тем больше должно быть ускорение.

    Ускорение увеличивается с увеличением орбитальной скорости, v , но уменьшается с увеличением радиуса, R .

    Круговое движение (и прочее)

    Второй закон Ньютона

    применяется к

    Вертикальный круг

    Какие силы вступают в игру, когда пилот-пилот переворачивает бочку?

    Или, если на то пошло, какие силы вступают в игру, когда вы или я едем на одном из сегодняшние американские горки с холмами, долинами и петлями?

    Пожалуйста, сделайте , а не попытку запомнить — и держитесь прямо — уравнения сил, которые мы выведем для различных ситуаций.

    Скорее, составьте четкую диаграмму и затем примените F net = m > a c где a c это центростремительное ускорение поэтому оно — и чистая сила или центростремительная сила — указывает на центр круга. Вот и все!>

    Всегда хорошо рисовать, детализировать «свободное тело» диаграммы»! То есть всегда важно а сейчас это особенно важно. Никогда начните с подстановки чисел в уравнения и вычисления ответа. Всегда начните со схемы!

    На вершине холма

    Единственными силами, действующими на всадника, являются направленные вверх нормальная сила n , действующая на автомобиль, и направленная вниз сила тяжести w , вес всадника. Они складываются вместе, как векторы, чтобы обеспечить чистая сила F чистая где есть центростремительная сила F c , направлен к центру круга. нормальная сила может также называется «кажущимся весом» всадника, поскольку это сила сиденье на гонщика, а также описывает, что «чувствует» гонщик (вдобавок к террору!).

    F нетто = w — n = мг — n

    F нетто = F c = m v 2 / р

    мг — n = m v 2 / r

    n = мг — m v 2 / r

    Что все это значит? Нормальная сила или сила всадника кажущийся вес на меньше, чем реальный вес всадника на . Сиденье может не оказывать негативного воздействия на всадника. Если мы подойдем к ситуации, когда кажущийся вес может стать отрицательным, должна быть хорошая защита Система — ремни безопасности, поясные дуги, плечевые ограничители или что-то в этом роде. Сортировать.

    Мы могли бы спросить, как быстро каботажное судно может двигаться до тех пор, пока всадник просто (едва) теряет контакт с сиденьем. значит нормальная сила между сиденьем и всадником ноль . Это происходит для

    n = мг — m v 2 / r = 0

    м v 2 / r = мг

    v 2 / г = г

    v 2 = г р

    Мы описали это с помощью диаграммы, показывающей гостя на вершине горка американских горок.Те же идеи применимы, конечно, и к пилот правой стороной вверх на вершине «бочки», как показано здесь.

    Дно долины

    Единственными силами, действующими на всадника, являются направленные вверх нормальная сила n , действующая на автомобиль, и направленная вниз сила тяжести w , вес всадника. Они складываются вместе, как векторы, чтобы обеспечить чистая сила F чистая где есть центростремительная сила F c , направлен к центру круга.Заметьте, конечно, что центр круга теперь на выше от всадника. Как всегда нормальный сила также может быть названа «кажущимся весом» всадника, поскольку это сила сиденья на гонщика, а также описывает, что гонщик «чувствует» (помимо террора!).

    F нетто = n — w = n — мг

    F нетто = F c = m v 2 / р

    n — мг = m v 2 / r

    n = мг + m v 2 / r

    Что все это значит? Нормальная сила или сила всадника кажущийся вес теперь на больше, чем реальный вес гонщика на .Всадник чувствуется прижатым к сиденью. И ощущение более общее. всадника руки и руки трудно двигаться. Кровь всадника даже трудно двигаться. Самолет пилоты находятся в этой ситуации, когда они выходят из пикирования. Отношение этого «кажущегося веса» к реальному весу можно описать как кажущееся влияние сила тяжести или может быть описана как «перегрузка». «g-сил» шесть или семь — значение видимый вес, в шесть или семь раз превышающий реальный вес, может означать, что к мозгу не будет поступать достаточное количество крови, и пилот или другой пассажир — может вырубиться.

    Мы описали это с диаграммой, показывающей гостя на дне долины ролика каботажное судно. Те же идеи применимы, конечно, к пилоту на дне «погружение», как показано здесь.

    Перевернутое вверху петли

    Теперь и нормальная сила n и вес w направлены в одном направлении, поэтому результирующая сила равна сумме этих двух силы,

    F нетто = n + w = ​​n + мг

    F нетто = F c = m v 2 / р

    n + мг = m v 2 / r

    n = ( m v 2 / r ) — мг

    Что все это значит? Если скорость слишком низкая , это уравнение говорит, что нормальная сила будет минус . Что означает негатив нормальная сила значит? Поскольку сиденье не может дотянуться и оттянуть вас назад, вы выпадет из машины. И, так как дорожка не может дотянуться и вытащить назад на машине американских горок, машина упала бы с трассы! Предотвращать это, американские горки имеют колеса по обеим сторонам трассы ! Мы можем подумайте о том, чтобы спроектировать поездку так, чтобы нормальная сила просто исчезла, а жертвы действительно, чувствуешь себя невесомым наверху. Или мы могли бы спроектировать поездку так, чтобы это было нормально сила равна реальному весу наверху.

    Мы описали это с диаграммой, показывающей гостя на вершине петли американских горок. Те же самые идеи применимы, конечно, к пилоту вверх ногами на вершине рулон, как показано здесь.

    Конечно, есть и другие ситуации, которые обеспечивают вертикальные круги, кроме как просто американские горки. Пилотажные пилоты или военные пилоты в погружениях и петлях испытывают то же самое. Когда вы едете по холмистой местности дорога вы испытываете две из этих трех ситуаций.

    с) Дуг Дэвис, 2001 г.; все права защищены

    Физика раскачивания груза на веревке для развлечения

    Хорошо, есть еще кое-что, на что стоит обратить внимание. Как насчет соотношения между угловой скоростью и длиной струны? Глядя на приведенную выше диаграмму силы, видно, что в горизонтальном направлении действует только составляющая силы натяжения. Это означает, что чистая горизонтальная сила не может быть равна нулю. На самом деле оно должно быть равно массе (m 1 ), умноженной на ускорение.В этом случае масса ускоряется вправо, так как движется по окружности. Круговое ускорение будет произведением квадрата угловой скорости (нам нравится использовать для этого символ ω) и радиуса окружности. Обратите внимание, что радиус окружности равен 90 476, а не 90 479 длины строки — вместо этого это длина строки, умноженная на косинус θ (чтобы получить смежную сторону треугольника). Сложив это вместе, я получаю следующее.

    Это уравнение говорит о том, что квадрат угловой скорости должен быть пропорционален единице, деленной на длину струны.Это кажется достаточно простым для проверки. Все, что мне нужно сделать, это раскачивать груз веревками разной длины (длина от верха трубки до груза). Я могу сделать это, наблюдая за небольшим кусочком ленты на дне трубки, чтобы убедиться, что длина постоянна. Конечно, мне также нужно поддерживать постоянные массы. Я могу определить угловую скорость, измерив время, за которое масса совершает один оборот. Тогда угловая скорость будет равна 2π, деленной на это время.

    Я сделал это для пяти разных длин, используя подвесной груз 50 грамм и качающийся груз 15.8 грамм. Вот график зависимости ω в квадрате от 1/л:

    Это выглядит довольно линейно. Но важной частью является наклон. Оглядываясь назад на соотношение между ω 2 и 1/л, константа пропорциональности должна быть M 2 г/м 1 . Я знаю массу и знаю g, поэтому эта константа должна быть 31 м/с 2 . Линейная подгонка имеет наклон 43 м/с 2 — не совсем то же самое, но все же близко.

    Тем не менее, если бы это был отчет студенческой лаборатории, я думаю, что данные были бы приемлемыми.Я все еще немного обеспокоен тем, что угол поворота не является постоянным, и этот наклон не ближе к ожидаемому значению. У меня есть ощущение, что между струной и вращающимся стеклянным стержнем может быть некоторое трение. Трение в точке контакта означало бы, что натяжение струны при качающейся массе равно не M 2 г, а чему-то другому. Может быть, мне нужно придумать другой метод измерения напряжения.

    Честно говоря, это веская причина, по которой вам всегда следует проводить лабораторные эксперименты, даже если вы почти уверены, что знаете, как это работает.Просто никогда не знаешь, как все обернется.

    Вращательная кинематика – физика 298

    «Мужчины говорят об убийстве времени, а время тихо убивает их
    Дион Бусико Лондон Страхование (1841)


    • На сегодняшний день мы рассмотрели кинематика и динамика частиц, в том числе поступательная и круговое движение, а также поступательное движение системы частиц (в частности, твердых тел) с точки зрения движение центра масс системы (тела). В В последнем случае мы можем представить себе, что вся масса объект находится в центре масс до внешней речь идет о поступательных силах.

     

    • Следующим шагом является рассмотрение вращения твердого тела вокруг фиксированная ось вращения. Примечание что, поскольку мы рассматриваем твердое тело, каждая частица в теле остается неподвижной относительно остальным .Этот означает, что при таком вращательном движении каждая частица движется в окружность, центр которой лежит на оси вращения. В на диаграмме справа объект вращается вокруг оси z; в две частицы образца движутся по кругу с радиусом r 1 и р 2 . Если мы можем описывают круговое движение частицы без непосредственного относительно его радиуса, то все частицы в системе будут описывается одной и той же системой уравнений. Хотя радиусы частиц различны, их угловые повороты одинаковы. Следовательно Это необходимо ввести угловые переменные.

     

    • Угловая скорость (скорость) и Угловое ускорение

     

    Угловая скорость и угловое ускорение определяются аналогично скорость и ускорение.Там средние и мгновенные значения каждого из них.

     Угловой ускорение это не то же самое как центростремительное ускорение. Центростремительное ускорение возникает из-за изменение в направлении скорости, угловое ускорение связано с изменением звездной величины скорости (через угол поворота).

     

     Точно как и в поступательном случае, разница между угловыми скорость и угловая скорость — это направление. Угловой скорость должна включать направление вращения вокруг оси в вопрос. За например, 10 рад/с по часовой стрелке примерно ось x — угловая скорость, 10 рад/с относительно оси абсцисс угловая скорость.

     

    • Уравнения кинематики вращения

     

    По прямой аналогии с поступательной кинематикой уравнений, круговое движение вокруг одной оси при постоянном угловое ускорение может быть описано следующими четырьмя уравнения,

     

    где мы сделали замены,

    Обратите внимание, что так же, как +x определяется произвольно вправо, положительное значение тета может быть определена как по часовой стрелке или против часовой стрелки.

     

    • Связь между Angular и Трансляционные переменные

     

    Запуск от определение радианной меры путем дифференцирования с относительно времени, мы можем показать, что

     

    , где против тангенциальная скорость, а a — тангенциальная ускорение.

     

      А частица, совершающая круговое движение с переменным углом скорость (неравномерное круговое движение), будет испытывать два компоненты ускорения, тангенциальная составляющая из-за изменение величины его скорости и радиальной (центростремительной) компонент из-за изменения направления его скорости

    Сеть ускорение частицы есть векторная сумма этих двух компоненты, как указано ниже.

     

     

     

     

     

    Возможно одновременное вращение вокруг нескольких осей. рассматривается аналогично движению снаряда, где мы расширили наше обсуждение одномерного перевода до двухмерного движения. В авиационных применениях вращение вокруг три оси описываются как Roll, Шаг и рыскание.

     

                     

     



    Пример задачи


    я не хочу достичь бессмертия своей работой я хочу добиться этого, не умирая

    Вуди Аллен Вуди Аллен и его комедия (1975)


     

    Др.C. L. Davis
    Физический факультет
    University of Louisville
    электронная почта : [email protected]
     

     

    .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *