Куда направлена угловая скорость: Физические основы механики

Глава 10. Вращаем объекты: момент силы – FIZI4KA

В этой главе…

• Переходим от поступательного движения к вращательному движению
• Вычисляем тангенциальную скорость и тангенциальное ускорение
• Выясняем связь между угловым ускорением и угловой скоростью
• Разбираемся с моментом силы
• Поддерживаем вращательное движение

Эта и следующая главы посвящены вращательному движению объектов самой разной природы: от космических станций до пращи. Именно такое движение стало причиной того, что наша планета имеет круглую форму. Если вам известны основные свойства прямолинейного движения и законы Ньютона (они подробно описываются в двух первых частях этой книги), то вы сможете быстро овладеть основами вращательного движения. Даже если вы позабыли некоторые сведения из прежних глав, не беда, ведь к ним всегда можно вернуться в случае необходимости. В этой главе представлены основные понятия вращательного движения: угловая скорость угловое ускорение, тангенциальное ускорение, момент силы и т.

2_0=2as \)​, где ​\( \omega_1 \)​ — это конечная скорость.

Разбираемся с параметрами вращательного движения

В физике движение принято разделять на поступательное и вращательное. При поступательном движении любая прямая, связанная с движущимся объектом, остается параллельной самой себе. При вращательном движении все точки тела движутся по окружностям. Тангенциальным движением называется часть вращательного движения, происходящего по касательной к окружности вращения, а радиальным (или нормальным) движением — часть вращательного движения, происходящего перпендикулярно (по нормали) к касательной, т.е. вдоль радиуса окружности.

Параметры прямолинейного поступательного и вращательного движений можно связать следующими формулами:

Допустим, колеса мотоцикла вращаются с угловой скоростью ​\( \omega \)​, равной 21,5\( 21,5\pi \)​ радиан в секунду. С какой скоростью едет мотоцикл? Чтобы дать ответ на этот вопрос, достаточно воспользоваться простой формулой связи линейной и угловой скорости.

Вычисляем линейную скорость вращательного движения

Скорость тангенциального движения материальной точки принято называть линейной скоростью вращательного движения. На рис. 10.1 приведен пример вращения мячика для игры в гольф по окружности с радиусом ​\( \mathbf{r} \)​ и линейной скоростью \( \mathbf{v} \). Скорость \( \mathbf{v} \) является векторной величиной, т.е. обладает величиной и направлением (подробнее о векторах рассказывается в главе 4), перпендикулярным радиус-вектору \( \mathbf{r} \).

Угловая скорость связана с линейной скоростью соотношением ​\( v=r\omega \)​, которое легко интуитивно понять. При одинаковой угловой скорости, чем дальше материальная точка от центра окружности вращения, тем больше ее линейная скорость.

Попробуем получить уже упомянутую выше формулу связи линейной и угловой скорости \( v=r\omega \). Длина окружности ​\( L \)​ радиуса ​\( r \)​ выражается известной формулой ​\( L=2\pi r \)​, а полный угол, который охватывает окружность, равен ​\( 2\pi \)​ радиан.

Соответственно, длина дуги окружности длиной ​\( \Delta s \)​, охватывающая угол ​\( \Delta\theta \)​, равна:

Из формулы прямолинейного движения

путем подстановки выражения для ​\( \Delta s \)​ получим:

Поскольку:

где ​\( \omega \)​ — угловая скорость, ​\( \Delta{\theta} \)​— угол поворота, ​\( \Delta{t} \)​ — время поворота на угол \( \Delta{\theta} \), то:

Теперь можно легко и просто дать ответ на вопрос, поставленный в конце предыдущего раздела, т.е. определить скорость мотоцикла по угловой скорости вращения его колес. Итак, колеса мотоцикла вращаются с угловой скоростью \( \omega \), равной 21,5​\( \pi \) радиан в секунду. Пусть радиус колеса ​\( r \)​ равен 40 см, тогда достаточно использовать следующую формулу:

Подставляя в нее значения, получим:

Итак, скорость мотоцикла равна 27 м/с или 97 км/ч.

Вычисляем тангенциальное ускорение

Тангенциальным ускорением называется скорость изменения величины линейной скорости вращательного движения. Эта характеристика вращательного движения очень похожа на линейное ускорение прямолинейного движения (см. главу 3). Например, точки на колесе мотоцикла в момент старта имеют нулевую линейную скорость, а спустя некоторое время после разгона ускоряются до некоторой ненулевой линейной скорости. Как определить это тангенциальное ускорение точки колеса? Переформулируем вопрос: как связать линейное ускорение

где ​\( a \)​ — это ускорение, ​\( \Delta v \)​ — изменение скорости, a ​\( \Delta t \)​ — время изменения скорости, с угловым ускорением

где \( \Delta\omega \) — изменение угловой скорости, \( \Delta t \) — время изменения угловой скорости?

Как мы уже знаем, линейная и угловая скорости связаны равенством

Подставим это выражение в предыдущую формулу линейного ускорения:

Поскольку радиус остается постоянным, то его можно вынести за скобки:

Поскольку угловое ускорение ​\( \alpha=\Delta\omega/\Delta t \)​, то:

Итак, получаем следующую формулу связи между линейным и угловым ускорением:

Иначе говоря, тангенциальное ускорение равно произведению радиуса на угловое ускорение.

Вычисляем центростремительное ускорение

Центростремительнным ускорением называется ускорение, необходимое для удержания объекта на круговой орбите вращательного движения. Как связаны угловая скорость и центростремительное ускорение? Формула для центростремительного ускорения уже приводилась ранее (см. главу 7):

Теперь, используя известную формулу связи линейной и угловой скорости ​\( v=r\omega \)​, получим:

По этой формуле можно определить величину центростремительного ускорения по известной угловой скорости и радиусу. Например, для вычисления центростремительного ускорения Луны, вращающейся вокруг Земли, удобно использовать именно эту формулу.

Луна делает полный оборот вокруг Земли за 28 дней, т.е. за 28 дней Луна проходит ​\( 2\pi \)​ радиан. Отсюда получаем угловую скорость Луны:

Чтобы получить значение угловой скорости в привычных единицах, следует преобразовать дни в секунды:

После подстановки этого значения в предыдущую формулу получим:

Средний радиус орбиты Луны равен 3,85·10⁸ м. Подставляя эти значения угловой скорости и радиуса в формулу центростремительного ускорения, получим:

Зная это ускорение и массу Луны, которая равна 7,35·10²² кг, можно определить центростремительную силу, необходимую для удержания Луны на ее орбите:

Используем векторы для изучения вращательного движения

В предыдущих разделах этой главы угловая скорость и угловое ускорение рассматривались как скаляры, т.е. как параметры, характеризующиеся только величиной. Однако эти параметры вращательного движения, на самом деле, являются векторами, т.е. они обладают величиной и направлением (см. главу 4). В этом разделе рассматривается величина и направление некоторых параметров вращательного движения.

Определяем направление угловой скорости

Как нам уже известно, вращающееся колесо мотоцикла имеет не только угловую скорость, но и угловое ускорение. Что можно сказать о направлении вектора угловой скорости? Оно не совпадает с направлением линейной тангенциальной скорости, а… перпендикулярно плоскости колеса!

Эта новость всегда приводит к некоторому замешательству среди новичков: угловая скорость ​\( \omega \)​, оказывается, направлена вдоль оси вращающегося колеса (рис. 10.2). Во вращающемся колесе единственной неподвижной точкой является его центр. Поэтому начало вектора угловой скорости принято располагать в центре окружности вращения.

Для определения направления вектора угловой скорости \( \omega \) часто используют

правило правой руки. Если охватить ладонью ось вращения, а пальцы свернуть так, чтобы они указывали на направление тангенциальной скорости, то вытянутый большой палец укажет направление вектора угловой скорости \( \omega \).

Теперь угловую скорость можно использовать так же, как и остальные векторные характеристики движения. Направление вектора угловой скорости можно найти по правилу правой руки, а величину — по приведенной ранее формуле. То, что вектор угловой скорости направлен перпендикулярно плоскости вращательного движения, часто вызывает некоторые трудности у начинающих, но к этому можно быстро привыкнуть.

Определяем направление углового ускорения

Если вектор угловой скорости направлен перпендикулярно плоскости вращательного движения, то куда направлен вектор углового ускорения в случае замедления или ускорения вращения объекта? Как известно (см. предыдущие разделы), угловое ускорение определяется формулой:

где ​\( \alpha \)​ — угловое ускорение, ​\( \Delta\omega \)​ — изменение угловой скорости, ​\( \Delta t \)​— время изменения угловой скорости.

В векторной форме оно имеет следующий вид:

где ​\( \mathbf{\alpha} \)​ — вектор углового ускорения, а ​\( \Delta\mathbf{\omega} \)​ — изменение вектора угловой скорости. Отсюда ясно, что направление вектора углового ускорения совпадает с направлением изменения вектора угловой скорости.

Если вектор угловой скорости меняется только по величине, то направление вектора углового ускорения параллельно направлению вектора угловой скорости. Если величина угловой скорости растет, то направление вектора углового ускорения совпадает с направлением вектора угловой скорости, как показано на рис. 10.3.

А если величина угловой скорости падает, то направление вектора углового ускорения противоположно направлению вектора угловой скорости, как показано на рис. 10.4.

Поднимаем грузы: момент силы

В физике большое значение имеет не только время, но и место приложения силы. Всем когда-либо приходилось пользоваться рычагом для перемещения тяжелых грузов. Чем длиннее рычаг, тем легче сдвинуть груз. На языке физики применение силы с помощью рычага характеризуется понятием момент силы.

Приложение момента силы неразрывно связано с вращательным движением объектов. Если приложить силу к краю карусели, то карусель начнет вращательное движение. Чем дальше точка приложения силы, тем легче раскрутить карусель до заданной угловой скорости (параметры вращательного движения описываются в главе 1 1 ).

В верхней части рис. 10.5 показаны весы-качели с грузом массы ​\( m_1 \)​ на одном конце и грузом большей массы ​\( m_2=2m_1 \)​ посередине. Чтобы уравновесить весы-качели, нужно сместить груз с большей массой ​\( m_2 \)​ к другому концу весов, как показано в нижней части рис. 10.5. Как известно из опыта, размещение груза в точке вращения весов не приводит к уравновешиванию весов. Чтобы уравновесить весы, нужно сдвинуть груз с большей массой \( m_2=2m_1 \) к другому концу весов на расстояние вдвое меньшее, чем расстояние от точки вращения до второго груза с массой ​\( m_1 \)​.

Знакомимся с формулой момента силы

Для уравновешивания весов важно не только, какая сила используется, но и где она прикладывается. Расстояние от точки приложения силы до точки вращения называется плечом силы.

Предположим, что нам нужно открыть дверь, схематически показанную на рис. 10.6. Как известно из опыта, дверь практически невозможно открыть, если прилагать силу вблизи петель (см. схему А на рис. 10.6). Однако, если приложить силу посередине двери, то открыть ее будет гораздо проще (см. схему Б на рис. 10.6). Наконец, прилагая силу у противоположного края двери по отношению к расположению петель, ее можно открыть с еще меньшим усилием (см. схему В на рис. 10.6).

На рис. 10.6 расстояние от мест расположения петель до точки приложения силы и есть плечо силы. Моментом силы называется произведение прилагаемой силы ​\( F \)​ на плечо силы ​\( l \)​:

Момент силы в системе СИ измеряется в Н·м, а в системе СГС — в дин·см (подробнее эти системы единиц измерения описываются в главе 2).

Вернемся к примеру на рис. 10.6, где требуется открыть дверь шириной 1 м с помощью силы величиной 200 Н. В случае А (см. рис. 10.6) плечо силы равно нулю и произведение этого плеча на силу любой величины (включая и силу 200 Н) даст нулевой момент силы. В случае Б (см. рис. 10.6) плечо силы равно половине ширины двери, т.е. плечо силы ​\( l \)​ равно 0,5 м и момент силы будет равен:

В случае В (см. рис. 10.6) плечо силы равно ширине двери, т.е. плечо силы \( l \) равно 1 м и момент силы будет равен:

Итак, увеличение вдвое длины плеча при той же силе дает нам такое же увеличение момента силы. До сих пор сила прилагалась перпендикулярно к линии, соединяющей точку приложения силы и точку вращения. А что будет с моментом силы, если дверь будет немного приоткрыта и направление силы уже будет не перпендикулярным?

Разбираемся с направлением приложенной силы и плечом силы

Допустим, что сила приложена не перпендикулярно к поверхности двери, а параллельно, как показано на схеме А на рис. 10.7. Как известно из опыта, таким образом дверь открыть невозможно. Дело в том, что у такой силы нет проекции, которая бы могла вызвать вращательное движение. Точнее говоря, у такой силы нет ненулевого плеча для создания вращательного момента силы.

Размышляем над тем, как создается момент силы

Момент силы из предыдущего примера требуется создавать всегда для открытия двери независимо от того, какую дверь приходится открывать: легкую калитку изгороди или массивную дверь банковского сейфа. Как вычислить необходимый момент силы? Сначала нужно определить плечо сил, а потом умножить его на величину силы.

Однако не всегда все так просто. Посмотрите на схему Б на рис. 10.7. Как видите, сила прилагается под некоторым углом ​\( \theta \)​. Как в таком случае определить плечо силы? Если бы угол \( \theta \) был прямым, то мы могли бы воспользоваться уже известно нам формулой:

Однако в данном случае угол \( \theta \) не является прямым.

В таком случае нужно просто помнить следующее правило: плечом силы называется длина перпендикуляра, опущенного из предполагаемой точки вращения на прямую, относительно которой действует сила.

Попробуем применить это правило определения плеча силы для схемы Б на рис. 10.7. Нужно продлить линию, вдоль которой действует сила, а потом опустить на нее перпендикуляр из точки вращения двери. Из полученного прямоугольного треугольника легко определить искомое плечо силы:

Если угол \( \theta \) равен нулю, то никакого момента силы не возникает (см. схему А на рис. 10.7).

Итак, получаем для момента силы для схемы Б на рис. 10.7:

Например, если требуется открыть дверь шириной 1 м с помощью силы величиной 200 Н, приложенной под углом \( \theta \) = 45°, то создаваемый момент этой силы будет равен:

Как видите, этот момент силы 140 Н·м меньше, чем момент силы 200 Н·м, созданный под прямым углом на схеме В на рис. 10.6.

Определяем направление момента силы

Учитывая все приведенные выше сведения о моменте силы, у читателя вполне может возникнуть подозрение, что момент силы обладает направлением. И это действительно так. Момент силы является векторной величиной, направление которой определяется по правилу правой руки. Если охватить ладонью ось вращения, а пальцы свернуть так, чтобы они указывали на направление силы, то вытянутый большой палец укажет направление вектора момента силы.

На рис. 10.8 показан пример силы ​\( \mathbf{F} \)​ с плечом \( \mathbf{l} \) и соответствующего вектора момента сил \( \mathbf{M} \).

Уравновешиваем моменты сил

В жизни нам часто приходится сталкиваться с равновесными состояниями. Как равновесное механическое состояние определяется с точки зрения физики? Обычно физики подразумевают под равновесным состоянием объекта то, что он не испытывает никакого ускорения (но может двигаться с постоянной скоростью).

Для поступательного движения равновесное состояние означает, что сумма всех сил, действующих на объект равна нулю:

Иначе говоря, результирующая действующая сила равна нулю.

Вращательное движение также может быть равновесным, если такое движение происходит без углового ускорения, т.е. с постоянной угловой скоростью.

Для вращательного движения равновесное состояние означает, что сумма всех моментов сил, действующих на объект, равна нулю:

Как видите, это условие равновесного вращательного движения аналогично условию равновесного поступательного движения. Условия равновесного вращательного движения удобно использовать для определения момента силы, необходимого для уравновешивания неравномерно вращающегося объекта.

Простой пример: вешаем рекламный плакат

Предположим, что у входа в магазин нужно повесить большой и тяжелый рекламный плакат, как показано на рис. 10.9. Хозяин магазина пытался сделать это и раньше, но у него ничего не выходило, поскольку он использовал очень непрочный болт.

Попробуем определить силу, с которой болт должен удерживать всю конструкцию, показанную на рис. 10.9. Пусть плакат имеет массу 50 кг и висит на шесте 3 м от точки опоры шеста, а массу шеста в данном примере будем считать пренебрежимо малой. Болт находится в 10 см от точки опоры шеста.

Согласно условиям равновесия, сумма всех моментов сил должна быть равна нулю:

Иначе говоря:

где ​\( \mathbf{M_п} \)​ — это момент силы со стороны плаката, а \( \mathbf{M_б} \) — это момент силы со стороны болта.

Чему равны упомянутые моменты? Момент силы со стороны плаката можно легко определить по формуле:

где ​\( m \)​ = 50 кг — это масса плаката, ​\( \mathbf{g} \)​ — ускорение свободного падения под действием силы гравитационного притяжения (силы тяжести), ​\( m\mathbf{g} \)​ — сила тяжести плаката, а ​\( l_п \)​ = 3 м — это плечо силы тяжести плаката.

Подставляя значения, получим:

Обратите внимание, что здесь перед ускорением свободного падения под действием силы гравитационного притяжения стоит знак “минус”. Это значит, что вектор ускорения свободного падения направлен вниз, т.е. в сторону, противоположную выбранному направлению оси координат.

Момент силы со стороны болта определяется формулой:

где \( \mathbf{F_б} \) — это искомая сила, с которой болт должен удерживать всю конструкцию, а \( l_б \) = 0,1 м — это ее плечо.

Подставляя полученные выражения для моментов сил в формулу:

получим, что:

Отсюда с помощью простых алгебраических преобразований получим искомую силу:

Как видите сила, с которой болт должен удерживать всю конструкцию, направлена противоположно вектору ускорения свободного падения, т.е. вверх.

Подставляя значения, получим искомый ответ:

Более сложный пример: учитываем силу трения при расчете равновесия

Рассмотрим теперь другую более сложную задачу, в которой для расчета равновесия системы объектов нужно учесть силу трения. Предположим, что работник магазина решил использовать переносную лестницу для монтажа рекламного плаката, как схематически показано на рис. 10.10.

Пусть лестница длиной ​\( l_л \)​ = 4 м стоит под углом ​\( \theta \)​ = 45° к поверхности тротуара, работник имеет массу ​\( m_р \)​ = 45 кг и находится на ней на расстоянии \( l_р \) = 3 м от нижнего конца лестницы, лестница имеет массу \(m_л \) = 20 кг, а коэффициент трения покоя между поверхностью тротуара и концами лестницы равен ​\( \mu_п \)​ = 0,7. Вопрос: будет ли такая система объектов находиться в состоянии равновесия? Попросту говоря, достаточной ли будет сила трения, чтобы лестница вместе с рабочим не соскользнула и упала?

Итак, для ответа на этот вопрос нам нужно учесть следующие силы, действующие на лестницу:

• ​\( \mathbf{F_с} \)​ — нормальная сила со стороны стены;
• \( \mathbf{F_р} \) — вес рабочего;
• \( \mathbf{F_л} \) — вес лестницы;
• \( \mathbf{F_{тр}} \) — сила трения между поверхностью тротуара и концами лестницы;
• \( \mathbf{F_т} \) — нормальная сила со стороны тротуара.

Согласно условиям равновесного поступательного движения, сумма всех сил, действующих на лестницу, должна быть равна нулю:

Это значит, что сумма всех сил вдоль горизонтальной оси, а именно нормальной силы со стороны стены \( \mathbf{F_с} \) и силы трения между поверхностью тротуара и концами лестницы \( \mathbf{F_{тр}} \), должна быть равна нулю, то есть:

или

Перефразируя поставленный выше вопрос о достаточности силы трения, получим: выполняется ли условие

Кроме того, сумма всех сил вдоль вертикальной оси, а именно веса рабочего \( \mathbf{F_р} \), веса лестницы \( \mathbf{F_л} \) и нормальной силы со стороны тротуара \( \mathbf{F_т} \), должна быть равна нулю, то есть:

или

Согласно условиям равновесного вращательного движения, также необходимо равенство нулю всех моментов сил, действующих на лестницу:

Пусть предполагаемой точкой вращения является нижний конец лестницы, тогда должна быть равна нулю сумма моментов сил, создаваемых весом рабочего ​\( \mathbf{M_р=[L_р\!\times\! F_р]} \)​, весом лестницы \( \mathbf{M_л=[L_л\!\times\!F_л]} \) и нормальной силой со стороны стены \( \mathbf{M_с=[L_с\!\times\! F_с]} \):

или

или

Поскольку ​\( L_р=l_р \)​, ​\( L_л=l_л/2 \)​ (центр тяжести лестницы находится посередине лестницы), \( L_с=l_л \), ​\( \alpha=360^{\circ}-\theta \)​, \( \beta=360^{\circ}-\theta \) и ​\( \gamma=\theta \)​, то получим:

или

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными сил \( \mathbf{F_с} \) и \( \mathbf{F_т} \):

Зададимся вопросом: соблюдается ли условие

Из системы двух уравнений получим:

Итак, остается выяснить, соблюдается ли условие:

После подстановки значений получим:

Поскольку ​\( \mu_т \)​ = 0,7, то упомянутое условие соблюдается, и лестница с рабочим не упадет.

Глава 10. Вращаем объекты: момент силы

3.2 (63.7%) 27 votes

Движение по окружности и его основные характеристики

Наряду с движением вдоль прямой в школьной физике рассматривают движение по окружности. Для него, по аналогии с прямолинейным движением, вводятся понятия пройденного пути, скорости движения и ускорения.

В физике выделяют несколько видов движения тел. Движение по окружности – это один из случаев движения вдоль кривой линии — криволинейного движения.

Сравним понятия пройденного пути, скорости и ускорения для прямолинейного движения и движения по окружности.

Угловой путь

Для начала, вспомним, что линейное перемещение – это разница между конечным и начальным положением точки на оси (рис. 1).

\[ S = x – x_{0} \]

Рис. 1. Линейное перемещение равно разности между конечным и начальным положениями точки на оси

Рассмотрим теперь колесо (рис. 2). На горизонтальной линии, проходящей через диаметр колеса, справа отметим красную точку, от которой мы начнем отсчитывать углы. Условимся считать, что возле этой точки находится нулевой угол.

Рис. 2. Точка из положения 1 сместилась в положение 2, пройдя угловой путь

На ободе колеса выберем точку, например — ниппель. Сначала ниппель находился в точке 1. Точка 1 сдвинута на угол \(\gamma_{1}\) относительно начала отсчета.

Будем вращать колесо в направлении, обозначенном синей стрелкой. Повернем колесо на некоторый угол, так, чтобы к концу движения ниппель переместился в точку, обозначенную цифрой 2 на рисунке. Эта точка смещена на угол \(\gamma_{2}\) по отношению к началу отсчета.

По аналогии с поступательным движением, угловой путь, который прошел ниппель — это разница (разность) угловых положений точек 1 и 2.

\[\large \boxed{ \varphi = \gamma_{2} — \gamma_{1} }\]

\(\varphi \left( \text{рад}\right)\) – угловой путь измеряется в радианах.

Угловой путь – это угол, на который повернулся ниппель, по отношению к его начальному положению.

Угловая скорость — куда она направлена

Если тело двигалось равномерно (с неизменной скоростью), то линейную скорость можно определить по формуле

\[v = \frac{S}{t} \]

 

\(v \left( \frac{\text{м}}{c} \right)\) — линейная скорость – это путь, деленный на время, поэтому она имеет размерность метров деленных на секунду.

Аналогично линейному случаю, если угловой путь поделить на время движения, получим угловую скорость.

\[ \large \boxed{ \omega = \frac{\varphi}{t} } \]

\(\omega \left( \frac{\text{рад}}{c} \right)\) – угловая скорость – это угловой путь, деленный на время, поэтому она имеет размерность радиан деленных на секунду.

Угловая скорость \( \omega \), так же, как и линейная скорость, является вектором. Но в отличии от линейной скорости его направление можно определить по правилу буравчика (правого винта).

Примечание: Направление вектора угловой скорости \( \vec{\omega} \) можно определить по правилу буравчика (правого винта)!

На рисунке 3 окружность располагается в горизонтальной плоскости, а вектор \( \vec{\omega }\) направлен вдоль вертикальной оси вращения. Направление вращения указано синей стрелкой.

Рис. 3. Линейная и угловая скорости точки, вращающейся по окружности. Угловая скорость направлена по правилу правого винта вдоль оси вращения

При движении по окружности вектор линейной скорости \(\vec{v}\) изменяет свое направление. Но в каждой точке окружности вектор \(\vec{v}\) направлен по касательной к окружности, т. е. перпендикулярно радиусу.

Примечание: Касательная и радиус перпендикулярны, это известно из геометрии.

Если точка начнет вращаться в противоположную сторону, то векторы линейной и угловой скорости развернутся противоположно направлениям, указанным на рисунке 3.

Связь между линейной и угловой скоростью

Угловая и линейная скорость связаны математически. Линейная скорость – это векторное произведение вектора угловой скорости и вектора радиуса окружности.

Примечание: Радиус окружности – это вектор, он направлен от центра окружности к ее внешней границе.

Векторный вид:

\[\large \boxed{ \left[\vec{\omega}, \vec{R} \right] = \vec{v} }\]

Скалярный вид записи связи скоростей:

\[ \large \boxed{ \omega \cdot R = v }\]

\(\omega \left( \frac{\text{рад}}{c} \right)\) – угловая скорость;

\(v \left( \frac{\text{м}}{c} \right)\) — линейная скорость;

\(R \left( \text{м}\right)\) – радиус окружности.

Частота и период

Вращательное движение описывают с помощью таких характеристик, как частота и период.

Период обращения – это время одного полного оборота. В системе СИ период измеряют в секундах.

\( T \left(c \right)\) – время, за которое тело совершило полный оборот – период. Время – это скалярная величина.

Частота отвечает на вопрос: «Сколько полных оборотов совершило тело за одну секунду?».

\( \displaystyle \nu\left( \frac{1}{c} \right)\) – частота оборотов, скаляр.

Вместо записи \( \displaystyle \left( \frac{1}{c} \right)\) иногда используют \(\displaystyle \left( c^{-1} \right)\), или  \( \left( \text{Гц} \right)\) – Герц.{-1} \]

Частота и период связаны обратной пропорциональностью:

\[ \large \boxed{ T  = \frac{1}{\nu} } \]

Количество оборотов

Двигаясь по окружности достаточное время, тело может пройти не один оборот. Зная угловой путь \(\varphi \) мы можем вычислить количество N оборотов.

\[\large \boxed{ \varphi = 2 \pi \cdot N }\]

\( N \) – количество оборотов, скаляр. Обороты считают поштучно.

Связь между угловой скоростью и частотой

Разделим обе части уравнения на время t, в течение которого тело вращалось

\[ \frac{\varphi }{t} = 2 \pi \cdot \frac{N}{t} \]

Левая часть уравнения – это угловая скорость.

\[ \large \boxed{ \frac{\varphi }{t} = \omega }\]

А дробь в правой части – это частота

\[ \large \boxed{ \frac{N}{t} = \nu }\]

Таким образом, мы получили связь между угловой скоростью и частотой

\[ \large \boxed{ \left|\vec{\omega} \right|= 2 \pi \cdot \nu } \]

Примечание: Решая задачи на равноускоренное движение по окружности, удобно переходить от частоты к угловой скорости. Тогда можно будет применять аналогию с формулами для равноускоренного движения по прямой.

Движение тела по окружности | Частная школа. 9 класс

Конспект по физике для 9 класса «Движение тела по окружности». Куда направлена мгновенная скорость тела при его движении по окружности. Куда направлено ускорение тела при его движении по окружности и как вычислить его значение.

Конспекты по физике    Учебник физики    Тесты по физике

---

Движение тела по окружности

Одним из простейших видов криволинейного движения является движение тела по окружности. Рассмотрим такое движение при постоянной по модулю скорости.

Согласно второму закону Ньютона направление ускорения совпадает с направлением равнодействующей всех сил, действующих на тело. Сообщим шарику, лежащему на столе и закреплённому на нити, начальную скорость в направлении, перпендикулярном нити. Он начнёт двигаться по окружности. Сила тяжести, действующая на него, уравновешивается силой упругости стола, а сила трения качения мала, и ею можно пренебречь. Получается, что сила, обусловливающая движение шарика по окружности, — сила упругости нити, направленная по радиусу окружности. Поэтому ускорение должно быть направлено так же, т. е.по радиусу окружности в направлении к центру.

НАПРАВЛЕНИЕ ВЕКТОРА МГНОВЕННОЙ СКОРОСТИ

При движении тела по окружности при неизменном модуле скорости в каждый момент времени скорость меняет своё направление. Как направлен вектор мгновенной скорости?

Для ответа на этот вопрос представим себе движение некоторого тела, закреплённого на верёвке и раскрученного в горизонтальной плоскости.

Если верёвка оборвётся, то тело начнёт двигаться по прямой. Эта прямая — касательная к окружности, являющейся траекторией движения тела. При этом направление движения тела совпадает с направлением скорости тела в момент разрыва верёвки.

Таким образом, мгновенная скорость тела в любой точке траектории направлена по касательной к траектории в этой точке.

НАПРАВЛЕНИЕ ВЕКТОРА УСКОРЕНИЯ ТЕЛА, ДВИЖУЩЕГОСЯ ПО ОКРУЖНОСТИ

При движении по окружности с постоянной по модулю скоростью в каждый момент времени направление скорости изменяется. Значит, такое движение является движением с ускорением. Рассмотрим движение тела по окружности радиуса R. Обозначим скорость тела в точке А через ʋ₁, а его скорость в точке В через ʋ₂. Тогда ускорение, с которым тело движется, можно найти по формуле

В числителе этой формулы стоит векторная физическая величина, а в знаменателе — скалярная. Поэтому направление вектора ускорения должно совпадать с направлением вектора, равного разности векторов скоростей:

Для того чтобы изобразить вектор, являющийся разностью двух векторов, используют правило треугольника. Сначала векторы изображают исходящими из одной точки (при этом перемещать их можно только при помощи параллельного переноса). Затем проводят отрезок так, чтобы получился треугольник.

В нашем случае направленный отрезок, соединяющий конец вычитаемого вектора ʋ₁ с концом уменьшаемого вектора ʋ₂, и будет их векторной разностью.

Из рисунка видно, что вектор Δʋ и, следовательно, вектор a направлены внутрь окружности. Для того чтобы понять, как направлено ускорение в определённой точке траектории представим, что промежуток времени от момента нахождения тела в точке А до момента, когда тело стало находиться в точке В, становится всё меньше и меньше. Тогда точки А и В стягиваются в одну точку А. При этом направление вектора Δʋ приближается к направлению вектора AO.

Получается, что ускорение тела, движущегося по окружности с постоянной по модулю скоростью, направлено по радиусу окружности к её центру. Именно поэтому оно называется центростремительным и обозначается а_ц.

Так как касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точке касания, то векторы скорости ʋ и центростремительного ускорения а_ц перпендикулярны друг другу.

МОДУЛЬ ЦЕНТРОСТРЕМИТЕЛЬНОГО УСКОРЕНИЯ ТЕЛА

Для нахождения модуля центростремительного ускорения вновь обратимся к рисунку.

---

Вы смотрели Конспект по физике для 9 класса «Движение тела по окружности».

Вернуться к Списку конспектов по физике (Оглавление).

Векторная природа вращательной кинематики

Угловые величины как векторы

Направление угловых величин, таких как угловая скорость и угловой момент, определяется с помощью правила правой руки.

Цели обучения

Определите направление вектора, используя Правило правой руки

Основные выводы

Ключевые моменты

• Угловая скорость и угловой момент являются векторными величинами и имеют как величину, так и направление.
• Направление угловой скорости и момента количества движения перпендикулярно плоскости вращения.
• Используя правило правой руки, направление угловой скорости и момента количества движения определяется как направление, в котором указывает большой палец правой руки, когда вы сгибаете пальцы в направлении вращения.

Ключевые термины

• угловой момент : векторная величина, описывающая объект в круговом движении; его величина равна импульсу частицы, а направление перпендикулярно плоскости ее кругового движения.
• Правило правой руки : Направление угловой скорости ω и углового момента L, на которое указывает большой палец правой руки, когда вы сгибаете пальцы в направлении вращения.
• угловая скорость : векторная величина, описывающая объект в круговом движении; его величина равна скорости частицы, а направление перпендикулярно плоскости ее кругового движения.

Угловой момент и угловая скорость имеют как величину, так и направление и, следовательно, являются векторными величинами.Направление этих величин по своей природе трудно отследить — точка на вращающемся колесе постоянно вращается и меняет направление. Ось вращения вращающегося колеса — единственное место, которое имеет фиксированное направление. Направление углового момента и скорости можно определить вдоль этой оси.

Представьте себе ось вращения как полюс, проходящий через центр колеса. Полюс выступает с обеих сторон колеса, и, в зависимости от того, с какой стороны вы смотрите, колесо вращается либо по часовой стрелке, либо против часовой стрелки.Эта зависимость от перспективы несколько затрудняет определение угла поворота. Как и для всех физических величин, существует стандарт для измерения, который делает эти типы величин согласованными. Для угловых величин направление вектора определяется с помощью правила правой руки, показанного в.

Правило правой руки : На рисунке (а) показан диск, вращающийся против часовой стрелки, если смотреть сверху. На рисунке (b) показано правило правой руки. Направление угловой скорости ω размер и угловой момент L определяются как направление, в котором указывает большой палец правой руки, когда вы сгибаете пальцы в направлении вращения диска, как показано.

Правило правой руки можно использовать для определения направления как углового момента, так и угловой скорости. Например, из вращающегося диска давайте снова представим себе полюс, проходящий через центр диска на оси вращения. Используя правило для правой руки, ваша правая рука будет брать штангу так, чтобы ваши четыре пальца (указательный, средний, безымянный и мизинец) следовали направлению вращения. То есть воображаемая стрелка от вашего запястья к кончикам пальцев указывает в том же направлении, что и диск.Кроме того, ваш большой палец указывает прямо на оси, перпендикулярно другим вашим пальцам (или параллельно «полюсу» на оси вращения). Используя это правило правой руки, направление угловой скорости ω и углового момента L определяется как направление, в котором указывает большой палец правой руки, когда вы сгибаете пальцы в направлении вращения диска.

Гироскопы

Гироскоп — это вращающееся колесо или диск, ось которого может принимать любую ориентацию.

Цели обучения

Сравните концепцию вращающегося колеса с гироскопом

Основные выводы

Ключевые моменты

• Крутящий момент перпендикулярен плоскости, образованной r и F, и представляет собой направление, в котором будет указывать большой палец правой руки, если вы согнете пальцы правой руки в направлении F.
• Таким образом, направление крутящего момента совпадает с направлением создаваемого им углового момента.
• Гироскоп прецессирует вокруг вертикальной оси, поскольку крутящий момент всегда горизонтален и перпендикулярен L.Если гироскоп не вращается, он приобретает угловой момент в направлении крутящего момента и вращается вокруг горизонтальной оси, падая, как и следовало ожидать.

Ключевые термины

• подвес : устройство для подвешивания чего-либо, например, корабельного компаса, чтобы оно оставалось горизонтальным при опрокидывании опоры.
• Правило правой руки : Направление угловой скорости ω и углового момента L, на которое указывает большой палец правой руки, когда вы сгибаете пальцы в направлении вращения.
• крутящий момент : вращательное или скручивающее действие силы; (Единица СИ ньютон-метр или Нм; британская единица измерения фут-фунт или фут-фунт)

Гироскоп — это устройство для измерения или сохранения ориентации, основанное на принципах углового момента. С механической точки зрения гироскоп — это вращающееся колесо или диск, ось которого может принимать любую ориентацию. Хотя эта ориентация не остается фиксированной, она изменяется в ответ на внешний крутящий момент гораздо меньше и в другом направлении, чем это было бы без большого углового момента, связанного с высокой скоростью вращения диска и моментом инерции.Ориентация устройства остается практически неизменной, независимо от движения монтажной платформы, поскольку установка устройства в карданном подвесе сводит к минимуму внешний крутящий момент.

Как это работает: примеры

Крутящий момент: Крутящий момент изменяет угловой момент, как выражается уравнением,

[латекс] \ tau = \ Delta \ text {L} / \ Delta \ text {t} [/ latex].

Это уравнение означает, что направление ΔL совпадает с направлением крутящего момента, который его создает, как показано на. Это направление можно определить с помощью правила правой руки, которое гласит, что пальцы на вашей руке сгибаются в направлении вращение или приложенная сила, и ваш большой палец указывает направление углового момента, крутящего момента и угловой скорости.

Направление крутящего момента и углового момента : На рисунке (а) крутящий момент перпендикулярен плоскости, образованной r и F, и представляет собой направление, в котором указал бы большой палец правой руки, если бы вы согнули пальцы в направлении F. Рисунок (b) показывает, что направление крутящего момента такое же, как и направление момента количества движения, которое он производит.

Вращающееся колесо: рассмотрим велосипедное колесо с прикрепленными к нему ручками, как показано на рисунке. Когда колесо вращается, как показано, его угловой момент находится слева от женщины.Предположим, человек, держащий колесо, пытается повернуть его, как показано на рисунке. Ее естественное ожидание состоит в том, что колесо будет вращаться в том направлении, в котором она его толкает, однако происходит совсем другое. Приложенные силы создают крутящий момент, который является горизонтальным по отношению к человеку, и этот крутящий момент создает изменение углового момента L в том же направлении, перпендикулярном исходному угловому моменту L, таким образом изменяя направление L, но не величину L. ΔL и L add, давая новый угловой момент с направлением, которое больше наклонено к человеку, чем раньше.Таким образом, ось колеса переместилась перпендикулярно действующим на нее силам, а не в ожидаемом направлении.

Гироскопический эффект : На рисунке (а) человек, держащий вращающееся колесо велосипеда, поднимает его правой рукой и толкает вниз левой рукой, пытаясь повернуть колесо. Это действие создает крутящий момент прямо к ней. Этот крутящий момент вызывает изменение углового момента ΔL точно в том же направлении. На рисунке (b) показана векторная диаграмма, показывающая, как ΔL и L складываются, создавая новый угловой момент, направленный больше в сторону человека.Колесо движется к человеку перпендикулярно силам, которые он на него оказывает.

Гироскоп: та же логика объясняет поведение гироскопов (см.). На вращающийся гироскоп действуют две силы. Создаваемый крутящий момент перпендикулярен угловому моменту, поэтому изменяется направление углового момента, но не его величина. Гироскоп прецессирует вокруг вертикальной оси, поскольку крутящий момент всегда горизонтален и перпендикулярен L. Если гироскоп не вращается, он приобретает угловой момент в направлении крутящего момента (L = ΔL) и вращается вокруг горизонтальной оси, падение, как и следовало ожидать.

Гироскопы : Как видно на рисунке (а), силы, действующие на вращающийся гироскоп, представляют собой его вес и поддерживающую силу от стойки. Эти силы создают горизонтальный крутящий момент на гироскопе, который создает изменение углового момента ΔL, которое также является горизонтальным. На рисунке (b) ΔL и L складываются, чтобы получить новый угловой момент с той же величиной, но в другом направлении, так что гироскоп прецессирует в указанном направлении, а не падает.

Приложения

Гироскопы служат датчиками вращения.По этой причине применения гироскопов включают инерциальные навигационные системы, в которых магнитные компасы не будут работать (как в телескопе Хаббла) или будут недостаточно точными (как в межконтинентальных баллистических ракетах). Другое применение — стабилизация летательных аппаратов, таких как радиоуправляемые вертолеты или беспилотные летательные аппараты.

Кинематика вращения

— Могут ли отличаться направление момента количества движения и угловая скорость?

Physicsapproval, вы, по-видимому, уже знаете, что тензор $ I $ момента инерции (для краткости тензор инерции) действительно является тензором, а не скаляром.Если бы это был скаляр, то по определению угловой момент и угловая скорость всегда были бы параллельны. Это не обязательно так из-за тензорной природы момента инерции, которая является тензорной.

Тензор инерции произвольного трехмерного твердого тела, выраженный в произвольном наборе ортогональных декартовых осей, может быть выражен через матрицу 3×3, которая является (а) симметричной и (б) положительно полуопределенной. Эти два факта означают, что всегда можно выбрать набор ортогональных осей, в которых тензор инерции диагонален.Для диагональной матрицы 3×3 существует три различных случая:

• Все три диагональных элемента равны друг другу,
• Два из трех диагональных элементов равны друг другу, но третий — разное количество, и
• Три диагональных элемента имеют разное количество.

В первом случае $ \ mathrm I \ vec \ omega $ всегда будет параллельно $ \ vec \ omega $. Во втором случае $ \ mathrm I \ vec \ omega $ параллельно $ \ vec \ omega $, если $ \ omega $ направлено вдоль оси симметрии или имеет нулевую компоненту вдоль этой оси.В третьем случае $ \ mathrm I \ vec \ omega $ параллельно $ \ vec \ omega $ тогда и только тогда, когда $ \ vec \ omega $ параллельна одной из собственных осей тензора инерции.

Предположим, что тензор инерции (когда он ортогонализирован) имеет три различных элемента и что угловая скорость имеет по крайней мере два ненулевых элемента, когда выражена в терминах системы координат, которая делает тензор инерции ортогональным. В этом случае, $$ \ begin {выровнено} \ mathrm I & = \ begin {bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \ end {bmatrix} \\ \ vec \ omega & = \ phantom {\, \, \, 0} \ begin {bmatrix} \ omega_a \\ \ omega_b \\ \ omega_c \ end {bmatrix} \ end {выровнено} $$ где $ a $, $ b $, $ c $ различны и по крайней мере два из $ \ omega_a $, $ \ omega_b $ и $ \ omega_c $ отличны от нуля.Это означает, что $$ \ mathrm I \ vec \ omega = \ begin {bmatrix} a \, \ omega_a \\ b \, \ omega_b \\ c \, \ omega_c \ end {bmatrix} $$ не может быть параллельным $ \ vec \ omega $.

Доказательство: $ \ vec \ omega $ и $ \ mathrm I \ vec \ omega $ параллельны (или антипараллельны), только если $ \ omega \ times (\ mathrm I \ vec \ omega) $ — нулевой вектор. Из вышесказанного это $$ \ omega \ times (\ mathrm I \ vec \ omega) = \ begin {bmatrix} (b-c) \ omega_b \ omega_c \\ (c-a) \ omega_c \ omega_a \\ (a-b) \ omega_a \ omega_b \ end {bmatrix} $$ Поскольку $ a $, $ b $, $ c $ различны, каждое из $ b-c $, $ c-a $ и $ a-b $ не равно нулю.Поскольку по крайней мере два из $ \ omega_a $, $ \ omega_b $ и $ \ omega_c $ ненулевые, существует некоторая комбинация $ \ omega_i \ omega_j $, которая не равна нулю. Таким образом, в этом векторе есть хотя бы один ненулевой элемент.

6.5: Угловая скорость и угловое ускорение

. Угловая скорость

Мы всегда будем выбирать правую цилиндрическую систему координат. Если положительная ось z направлена ​​вверх, то мы выбираем, чтобы θ увеличивался в направлении против часовой стрелки, как показано на рисунках 6.{-1} \ right] \) Обратите внимание, что угловая скорость — это просто величина z -компоненты угловой скорости,

\ [\ omega \ Equiv \ left | \ omega_ {z} \ right | = \ left | \ frac {d \ theta} {d t} \ right | \]

Если скорость объекта находится в направлении \ (+ \ hat {\ boldsymbol {\ theta}} \) — (вращается против часовой стрелки на рис. 6.7 (a)), то z -компонент углового скорость положительна, \ (\ omega_ {z} = d \ theta / dt> 0 \) Вектор угловой скорости затем указывает в направлении \ (+ \ hat {\ mathbf {k}} \) -, как показано на рисунке 6. .7 (а). Если скорость объекта находится в направлении \ (- \ hat {\ boldsymbol {\ theta}} \) — (вращающийся по часовой стрелке на рисунке 6.7 (b)), тогда z -компонент угловой скорости угловая скорость отрицательна, \ (\ omega_ {z} = d \ theta / dt <0 \). Затем вектор угловой скорости указывает в направлении \ (- \ hat {\ mathbf {k}} \) -, как показано на рисунке 6.7 (b).

Рисунок 6.7 (b) Вектор угловой скорости для движения с dθ / dt> 0. Рисунок 6.7 (b) Угловая скорость для движения с dθ / dt <0.

Скорость и угловая скорость связаны соотношением

\ [\ overrightarrow {\ mathbf {v}} = \ overrightarrow {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {r}} = \ frac {d \ theta} {dt} \ hat {\ mathbf {k}} \ times r \ hat {\ mathbf {r}} = r \ frac {d \ theta} {dt} \ hat {\ boldsymbol {\ theta}} \]

Пример 6. {- 2} \).{2}} {3} \]

11.2 Угловой момент — Университетская физика, том 1

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Опишите векторную природу углового момента
• Найдите полный угловой момент и крутящий момент относительно указанного источника системы частиц
• Вычислить угловой момент твердого тела, вращающегося вокруг фиксированной оси
• Расчет крутящего момента на твердом теле, вращающемся вокруг фиксированной оси
• Использование сохранения углового момента при анализе объектов, изменяющих скорость вращения

Почему Земля продолжает вращаться? С чего все завелось? Почему гравитационное притяжение Земли не приближает Луну к Земле? И как фигуристке удается вращаться все быстрее и быстрее, просто втягивая в себя руки? Почему ей не нужно прикладывать крутящий момент, чтобы вращаться быстрее?

Ответ в новом сохраняемом количестве, поскольку все эти сценарии находятся в закрытых системах.Эта новая величина, угловой момент, аналогична импульсу. В этой главе мы сначала определяем, а затем исследуем угловой момент с различных точек зрения. Однако сначала мы исследуем угловой момент отдельной частицы. Это позволяет нам развить угловой момент для системы частиц и для твердого тела, имеющего цилиндрическую симметрию.

Угловой момент отдельной частицы

(рисунок) показывает частицу в позиции

.

с импульсом

относительно происхождения.Даже если частица не вращается вокруг начала координат, мы все равно можем определить угловой момент в терминах вектора положения и линейного момента.

Угловой момент частицы

Угловой момент

частицы определяется как перекрестное произведение

и

, и перпендикулярно плоскости, содержащей

и

Рисунок 11.9 В трехмерном пространстве вектор положения

определяет местонахождение частицы в плоскости xy с импульсом

. Крутящий момент относительно начала координат равен

, который находится в z-направлении. Направление

определяется правилом правой руки, как показано.

Намерение выбрать направление углового момента перпендикулярно плоскости, содержащей

и

аналогичен выбору направления крутящего момента, перпендикулярного плоскости

.

, как описано в разделе «Вращение с фиксированной осью».Величина углового момента находится из определения перекрестного произведения,

где

— это угол между

и

Единицы углового момента:

.

Как и в случае определения крутящего момента, мы можем определить плечо рычага

, то есть расстояние по перпендикуляру от вектора импульса

в происхождение,

При таком определении величина углового момента становится

.

Мы видим, что если направление

такое, что проходит через ориджин, значит

, а угловой момент равен нулю, потому что плечо рычага равно нулю.В этом отношении величина углового момента зависит от выбора начала координат.

Если мы возьмем производную от углового момента по времени, то получим выражение для крутящего момента на частице:

Здесь мы использовали определение

и тот факт, что вектор пересекается сам с собой, равен нулю. Из второго закона Ньютона,

чистая сила, действующая на частицу, и определение чистого крутящего момента, мы можем записать

Обратите внимание на сходство с линейным результатом второго закона Ньютона,

.Следующая стратегия решения проблем может служить руководством для расчета углового момента частицы.

Стратегия решения проблем: угловой момент частицы

1. Выберите систему координат, относительно которой необходимо вычислить угловой момент.
2. Запишите радиус-вектор точечной частицы в обозначении единичного вектора.
3. Запишите вектор импульса частицы в обозначении единичного вектора.
4. Возьмите крестное произведение

   и используйте правило правой руки, чтобы установить направление вектора углового момента.

5. Посмотрите, есть ли зависимость от времени в выражении вектора углового момента. Если есть, то существует крутящий момент относительно начала координат, и используйте

   для расчета крутящего момента. Если в выражении для углового момента нет зависимости от времени, то чистый крутящий момент равен нулю.

Пример

Угловой момент и крутящий момент на метеоре

Метеор входит в атмосферу Земли ((Рисунок)) и кто-то наблюдает за ним на земле, прежде чем он сгорит в атмосфере.Вектор

показывает положение метеора относительно наблюдателя. В тот момент, когда наблюдатель видит метеор, он имеет импульс

, а он разгоняется с постоянной

по его пути, который для наших целей можно принять за прямую линию. (а) Каков угловой момент метеора относительно начала координат, которое находится в месте нахождения наблюдателя? б) Каков момент вращения метеора относительно начала координат?

Рисунок 11.10 Наблюдатель на земле видит метеор в позиции

с импульсом

.

Стратегия

Мы разлагаем ускорение на компоненты x и y и используем кинематические уравнения для выражения скорости как функции ускорения и времени. Мы вставляем эти выражения в линейный импульс, а затем вычисляем угловой момент, используя перекрестное произведение. Поскольку векторы положения и импульса находятся в плоскости xy , мы ожидаем, что вектор углового момента будет располагаться вдоль оси z .Чтобы найти крутящий момент, мы берем производную по времени от углового момента.

Решение

Метеор входит в атмосферу Земли под углом

°.

ниже горизонтали, поэтому компоненты ускорения в направлениях x и y равны

Запишем скорости, используя кинематические уравнения.

1. Угловой момент равен

   по адресу

   , момент количества движения метеора относительно начала координат равен

   Это момент, когда наблюдатель видит метеор.

2. Чтобы найти крутящий момент, возьмем производную по времени от углового момента. Взяв производную по времени от

   как функция времени, что является вторым уравнением непосредственно выше, мы имеем

   Тогда, начиная с

   , у нас

   Единицы крутящего момента даны как ньютон-метры, не путать с джоулями. В качестве проверки отметим, что плечо рычага является x -компонентом вектора

   .

   в (рисунок), поскольку он перпендикулярен силе, действующей на метеор, который движется по его пути.По второму закону Ньютона эта сила равна

   .

   Плечо рычага

   Таким образом, крутящий момент

Значение

Поскольку метеор ускоряется вниз к Земле, его радиус и вектор скорости изменяются. Следовательно, с

, угловой момент изменяется как функция времени. Крутящий момент на метеоре относительно начала координат, однако, постоянен, потому что плечо рычага

и сила, действующая на метеор, постоянны.Этот пример важен тем, что показывает, что угловой момент зависит от выбора начала координат, относительно которого он рассчитывается. Методы, использованные в этом примере, также важны для определения углового момента для системы частиц и твердого тела.

Проверьте свое понимание

Протон, вращающийся вокруг магнитного поля, совершает круговое движение в плоскости бумаги, как показано ниже. Круговой путь имеет радиус 0,4 м и скорость протона

.

.Каков угловой момент протона относительно начала координат?

[показать-ответ q = ”878379 ″] Показать ответ [/ раскрыть-ответ]
[скрытый-ответ a =” 878379 ″] Из рисунка мы видим, что перекрестное произведение радиус-вектора и вектора импульса дает вектор направлен за пределы страницы. Подставляя радиус и импульс в выражение для углового момента, получаем

[/ hidden-answer]

Угловой момент системы частиц

Угловой момент системы частиц важен во многих научных дисциплинах, одной из которых является астрономия.Рассмотрим спиральную галактику, вращающийся остров звезд, подобный нашему Млечному Пути. Отдельные звезды можно рассматривать как точечные частицы, каждая из которых имеет свой угловой момент. Векторная сумма отдельных угловых моментов дает полный угловой момент галактики. В этом разделе мы разрабатываем инструменты, с помощью которых мы можем вычислить полный угловой момент системы частиц.

В предыдущем разделе мы ввели угловой момент одиночной частицы около указанной точки начала координат.Выражение для этого момента количества движения равно

где вектор

— от источника до частицы, а

— импульс частицы. Если у нас есть система из N частиц, каждая из которых имеет вектор положения от начала координат, заданный как

и каждый имеющий импульс

, то полный угловой момент системы частиц около начала координат равен векторной сумме индивидуальных угловых моментов относительно начала координат.То есть

Аналогично, если на частицу i действует чистый крутящий момент

относительно начала координат, то мы можем найти чистый крутящий момент вокруг начала координат, обусловленный системой частиц, путем дифференцирования (рисунок):

Сумма отдельных крутящих моментов создает чистый внешний крутящий момент в системе, который мы обозначаем

Таким образом,

(рисунок) утверждает, что скорость изменения полного углового момента системы равна чистому внешнему крутящему моменту, действующему на систему, когда обе величины измеряются относительно данного источника. (рисунок) может применяться к любой системе, имеющей чистый угловой момент, включая твердые тела, как обсуждается в следующем разделе.

Пример

Угловой момент трех частиц

Ссылаясь на (Рисунок) (а), определите полный угловой момент трех частиц около начала координат. б) Какова скорость изменения углового момента?

Рис. 11.11. Три частицы в плоскости xy с разными векторами положения и импульса.

Стратегия

Запишите векторы положения и импульса для трех частиц. Вычислите отдельные угловые моменты и сложите их как векторы, чтобы найти полный угловой момент. Затем проделайте то же самое с крутящими моментами.

Решение

1. Частица 1:

   Частица 2:

   ,

   Частица 3:

   ,

   Мы складываем отдельные угловые моменты, чтобы найти общую сумму относительно начала координат:

2. Отдельные силы и рычаги

   Следовательно:

Значение

Этот пример иллюстрирует принцип суперпозиции для углового момента и момента системы частиц.Следует соблюдать осторожность при оценке радиус-векторов

.

частиц для расчета угловых моментов и рычагов

для расчета крутящих моментов, так как это совершенно разные величины.

Угловой момент твердого тела

Мы исследовали угловой момент отдельной частицы, который мы обобщили на систему частиц. Теперь мы можем использовать принципы, рассмотренные в предыдущем разделе, для развития концепции углового момента твердого тела.У небесных объектов, таких как планеты, есть угловой момент из-за их вращения и орбит вокруг звезд. В технике все, что вращается вокруг оси, несет угловой момент, например, маховики, пропеллеры и вращающиеся части в двигателях. Знание угловых моментов этих объектов имеет решающее значение для проектирования системы, частью которой они являются.

Чтобы развить угловой момент твердого тела, мы моделируем твердое тело как состоящее из небольших массовых сегментов,

В (Рисунок) твердое тело вынуждено вращаться вокруг оси z с угловой скоростью

.Все массовые сегменты, составляющие твердое тело, совершают круговое движение вокруг оси z с одинаковой угловой скоростью. На части (а) рисунка показан массовый сегмент

.

с вектором положения

от начала координат и радиус

до оси z . Величина его тангенциальной скорости

. Поскольку векторы

перпендикулярны друг другу, величина момента импульса этого массового сегмента равна

.

Рисунок 11.12 (a) Твердое тело вынуждено вращаться вокруг оси z. Твердое тело симметрично относительно оси z. Массовый сегмент

находится на позиции

, что составляет угол

относительно оси z. Показано круговое движение бесконечно малого массового сегмента. (б)

— угловой момент массового сегмента и имеет составляющую по оси z

.

Используя правило правой руки, вектор углового момента указывает в направлении, показанном в части (b). Сумма угловых моментов всех массовых сегментов содержит компоненты как вдоль, так и перпендикулярно оси вращения. Каждый массовый сегмент имеет перпендикулярную составляющую углового момента, которая компенсируется перпендикулярной составляющей идентичного массового сегмента на противоположной стороне твердого тела. Таким образом, компонент вдоль оси вращения является единственным компонентом, который дает ненулевое значение при суммировании по всем массовым сегментам.Из части (б) компонент

по оси вращения —

Чистый момент количества движения твердого тела вдоль оси вращения равен

.

Суммирование

— это просто момент инерции I твердого тела относительно оси вращения. Для тонких пялец, вращающихся вокруг оси, перпендикулярной плоскости пялец, все

равны R , поэтому суммирование сводится к

.

, который представляет собой момент инерции тонкого обруча, показанного на (Рисунок).Таким образом, величина момента количества движения вдоль оси вращения твердого тела, вращающегося с угловой скоростью

вокруг оси

Это уравнение аналогично величине импульса

. Направление вектора углового момента направлено вдоль оси вращения, заданной правилом правой руки.

Пример

Угловой момент манипулятора робота

Робот-манипулятор на марсоходе, например Curiosity , показанный на (Рисунок), равен 1.Длина 0 м, на свободном конце есть щипцы для захвата камней. Масса руки 2,0 кг, масса щипцов 1,0 кг. См. (Рисунок). Рука робота и щипцы переходят из состояния покоя в положение

.

за 0,1 с. Он вращается вниз и поднимает марсианский камень массой 1,5 кг. Ось вращения — это точка, в которой рука робота соединяется с марсоходом. (a) Каков угловой момент манипулятора робота вокруг оси вращения через 0,1 с, когда рука перестала ускоряться? (б) Каков угловой момент манипулятора робота, когда он держит в своих щипцах марсианский камень и вращается вверх? (c) Когда рука не имеет камня в щипцах, каков крутящий момент в точке, где рука соединяется с марсоходом, когда он ускоряется от состояния покоя до своей конечной угловой скорости?

Рисунок 11.13 Робот-манипулятор на марсоходе наклоняется и поднимает марсианский камень. (кредит: модификация работы NASA / JPL-Caltech)

Стратегия

Мы используем (рисунок), чтобы найти угловой момент в различных конфигурациях. Когда рука вращается вниз, правило правой руки дает вектор углового момента, направленный за пределы страницы, который мы будем называть положительным направлением z . Когда рука вращается вверх, правило правой руки задает направление вектора углового момента на страницу или в отрицательном направлении z- .Момент инерции — это сумма отдельных моментов инерции. Рука может быть аппроксимирована твердым стержнем, а щипцы и камень Марса могут быть аппроксимированы как точечные массы, расположенные на расстоянии 1 м от начала координат. В части (c) мы используем второй закон Ньютона для вращения, чтобы найти крутящий момент на руке робота.

Решение

1. Записывая отдельные моменты инерции, имеем Робот-манипулятор:

   Щипцы:

   Марс рок:

   Следовательно, без горной породы Марса полный момент инерции равен

   .

   , а величина углового момента равна

   .

   Вектор углового момента направлен за пределы страницы в

   , поскольку манипулятор робота вращается против часовой стрелки.

2. Мы должны включить камень Марса в расчет момента инерции, поэтому мы имеем

   и

   Теперь вектор углового момента направлен на страницу в

   по правилу правой руки, так как теперь манипулятор робота вращается по часовой стрелке.

3. Мы находим крутящий момент, когда рычаг не имеет породы, взяв производную углового момента, используя (Рисунок)

   Но с

   , и понимая, что направление векторов углового момента и крутящего момента находится вдоль оси вращения, мы можем опустить векторные обозначения и найти

   , который является вторым законом Ньютона для вращения.С

   , мы можем рассчитать чистый крутящий момент:

Значение

Угловой момент в (а) меньше, чем в (б) из-за того, что момент инерции в (б) больше, чем (а), в то время как угловая скорость такая же.

Проверьте свое понимание

Который имеет больший угловой момент: твердая сфера массой м , вращающаяся с постоянной угловой частотой

относительно оси z или сплошной цилиндр той же массы и скорости вращения относительно оси z ?

[показывать-ответ q = ”fs-id1165038013710 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1165038013710 ″]

; Из отношения угловых моментов получаем:

.Таким образом, в цилиндре

больше угловой момент. Это связано с тем, что масса цилиндра распределена дальше от оси вращения.

[/ hidden-answer]

Сводка

• Угловой момент

  одиночной частицы в указанной точке отсчета является векторным произведением вектора положения в данной системе координат и линейного импульса частицы.

• Угловой момент

  системы частиц с обозначенной точкой отсчета — это векторная сумма индивидуальных импульсов частиц, составляющих систему.

• Чистый крутящий момент в системе относительно данной точки начала координат является производной по времени углового момента относительно этой точки начала координат:

  .

• Жесткое вращающееся тело имеет угловой момент.

  направлен по оси вращения. Производная момента количества движения

  передает чистый крутящий момент на твердое тело и направлен вдоль оси вращения.

Концептуальные вопросы

Можно ли присвоить частице угловой момент без предварительного определения точки отсчета?

Есть ли у частицы, движущейся по прямой линии, точки, в которых угловой момент равен нулю? Предположим, что линия пересекает начало координат.

[показывать-ответ q = ”fs-id1165038304636 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1165038304636 ″]

Все точки на прямой дадут нулевой угловой момент, потому что вектор, пересекающийся с параллельным вектором, равен нулю.

[/ hidden-answer]

При каких условиях твердое тело имеет угловой момент, но не линейный момент?

Если частица движется относительно выбранной точки начала координат, она имеет линейный импульс.Какие условия должны существовать для того, чтобы угловой момент этой частицы был равен нулю относительно выбранного начала координат?

[show-answer q = ”fs-id1165038313442 ″] Показать решение [/ show-answer]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1165038313442 ″]

Частица должна двигаться по прямой, проходящей через выбранную точку начала координат.

[/ hidden-answer]

Если вы знаете скорость частицы, можете ли вы сказать что-нибудь об угловом моменте частицы?

Проблемы

А 0.Частица весом 2 кг движется по линии

со скоростью

. Каков угловой момент частицы относительно начала координат?

Птица летит над вашим местом на высоте 300,0 м со скоростью 20,0 м / с по горизонтали относительно земли. Птица имеет массу 2,0 кг. Радиус-вектор к птице составляет угол

относительно земли. Радиус-вектор птицы и ее вектор импульса лежат в плоскости xy .Каков момент количества движения птицы относительно точки, в которой вы стоите?

[показывать-ответ q = ”fs-id1165036984700 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1165036984700 ″]

Величина векторного произведения радиуса птицы и ее вектора импульса дает

, что дает

как высота птицы ч . Направление углового момента перпендикулярно векторам радиуса и импульса, которые мы произвольно выбираем как

.

, который находится в плоскости земли:

[/ hidden-answer]

Болид Формулы-1 массой 750.0 кг преодолевает дистанцию ​​в Монако и входит в круговой поворот со скоростью 220,0 км / ч против часовой стрелки относительно начала круга. На другом участке дистанции автомобиль входит во второй круговой поворот на скорости 180 км / ч также против часовой стрелки. Если радиус кривизны первого поворота составляет 130,0 м, а радиус второго — 100,0 м, сравните угловые моменты гоночного автомобиля в каждом повороте относительно начала кругового поворота.

Частица массы 5.0 кг имеет вектор положения

в конкретный момент времени, когда его скорость равна

относительно происхождения. а) Каков угловой момент частицы? (б) Если сила

действует на частицу в этот момент, каков крутящий момент относительно начала координат?

[show-answer q = ”fs-id1165037011854 ″] Показать решение [/ show-answer]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1165037011854 ″]

а.

;
г.

[/ hidden-answer]

Используйте правило правой руки, чтобы определить направления угловых моментов относительно начала координат частиц, как показано ниже. Ось z- находится вне страницы.

Предположим, что частицы в предыдущей задаче имеют массу

. Скорости частиц

,

,

,

.(а) Вычислите угловой момент каждой частицы относительно начала координат. (б) Каков полный угловой момент четырехчастичной системы относительно начала координат?

[показывать-ответ q = ”fs-id1165038225062 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1165038225062 ″]

а.

,

,

; б.

[/ hidden-answer]

Две частицы равной массы движутся с одинаковой скоростью в противоположных направлениях по параллельным линиям, разделенным расстоянием d .Покажите, что угловой момент этой двухчастичной системы один и тот же, независимо от того, какая точка используется в качестве ориентира для вычисления углового момента.

Самолет массой

летит горизонтально на высоте 10 км с постоянной скоростью 250 м / с относительно Земли. (а) Какова величина углового момента самолета относительно наземного наблюдателя непосредственно под самолетом? (b) Меняется ли угловой момент при движении самолета по своей траектории?

[show-answer q = ”fs-id1165037975868 ″] Показать решение [/ show-answer]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1165037975868 ″]

а.

; б. Нет, угловой момент остается неизменным, поскольку перекрестное произведение включает только перпендикулярное расстояние от плоскости до земли независимо от того, где он находится на своем пути.
[/ hidden-answer]

В конкретный момент положение частицы весом 1,0 кг составляет

, его скорость

, а сила на нем

. а) Каков угловой момент частицы относительно начала координат? б) Каков крутящий момент частицы относительно начала координат? (c) Какова скорость изменения углового момента частицы в данный момент?

Частица массой м падает в точку

и падает вертикально в гравитационном поле Земли

(a) Каково выражение для углового момента частицы вокруг оси z , которая указывает прямо за пределы страницы, как показано ниже? (b) Рассчитайте крутящий момент на частицу вокруг оси z .(c) Равен ли крутящий момент скорости изменения углового момента во времени?

а.

;
г.

; c. да

(a) Вычислите угловой момент Земли на ее орбите вокруг Солнца. (b) Сравните этот угловой момент с угловым моментом Земли вокруг своей оси.

Валун массой 20 кг и радиусом 20 см катится с холма высотой 15 м. Каков его угловой момент, когда он на полпути вниз по склону? (б) Внизу?

[показывать-ответ q = ”fs-id1165038295181 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1165038295181 ″]

а.

;

;

;

г.

;

[/ hidden-answer]

Спутник вращается со скоростью 6,0 об / с. Спутник состоит из основного корпуса в форме шара радиусом 2,0 м и массой 10 000 кг, а также двух антенн, выступающих из центра масс основного корпуса, которые можно аппроксимировать стержнями длиной 3,0 м и массой 10. кг.Антенна лежит в плоскости вращения. Какой угловой момент спутника?

Винт состоит из двух лопастей длиной 3,0 м каждая и массой 120 кг каждая. Пропеллер можно представить как один стержень, вращающийся вокруг своего центра масс. Пропеллер запускается из состояния покоя и вращается с постоянной скоростью до 1200 об / мин за 30 секунд. (а) Какой угловой момент пропеллера на

?

(b) Каков крутящий момент на гребном винте?

[show-answer q = ”fs-id1165037978194 ″] Показать решение [/ show-answer]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1165037978194 ″]

а.

;

;

;

;

;

г.

[/ hidden-answer]

Пульсар — это быстро вращающаяся нейтронная звезда. Пульсар Крабовидной туманности в созвездии Тельца имеет период

.

, радиус 10,0 км, масса

Период вращения пульсара со временем будет увеличиваться из-за испускания электромагнитного излучения, которое не изменяет его радиус, но снижает его вращательную энергию.а) Что такое угловой момент пульсара? (b) Предположим, что угловая скорость уменьшается со скоростью

. Какой крутящий момент у пульсара?

Лопасти ветряной турбины имеют длину 30 м и вращаются с максимальной скоростью 20 об / мин. (a) Если лопатки весят 6000 кг каждая, а роторный узел состоит из трех лопастей, вычислите угловой момент турбины при этой скорости вращения. (b) Какой крутящий момент требуется для вращения лопастей до максимальной скорости за 5 минут?

[show-answer q = ”fs-id1165037027769 ″] Показать решение [/ show-answer]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1165037027769 ″]

а.

;
г.

[/ hidden-answer]

Американские горки имеют массу 3000,0 кг и должны безопасно пройти через вертикальную круговую петлю радиусом 50,0 м. Каков минимальный угловой момент подставки в нижней части петли, чтобы она могла безопасно пройти? Пренебрегайте трением на трассе. Возьмите каботажное судно за точечную частицу.

Маунтинбайкер совершает прыжок в гонке и взлетает в воздух. Горный велосипед едет в 10.0 м / с до взлета. Если масса переднего колеса велосипеда составляет 750 г и имеет радиус 35 см, каков момент количества движения вращающегося колеса в воздухе в момент отрыва велосипеда от земли?

[Показать-ответ q = ”fs-id1165036996469 ″] Показать решение [/ раскрыть-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1165036996469 ″]

[/ hidden-answer]

Глоссарий

угловой момент

вращательный аналог количества движения, полученный произведением момента инерции на угловую скорость

Веб-сайт класса физики

Равномерное круговое движение

Равномерное круговое движение можно описать как движение объекта по кругу с постоянной скоростью.Когда объект движется по кругу, он постоянно меняет свое направление. Во всех случаях объект движется по касательной к окружности. Поскольку направление вектора скорости совпадает с направлением движения объекта, вектор скорости также направлен по касательной к окружности. Анимация справа изображает это с помощью векторной стрелки.

Объект, движущийся по кругу, ускоряется. Ускоряющиеся объекты — это объекты, которые меняют свою скорость — либо скорость (т.е., величина вектора скорости) или направление. Объект, совершающий равномерное круговое движение, движется с постоянной скоростью. Тем не менее, он ускоряется из-за изменения направления. Направление ускорения внутрь. Анимация справа изображает это с помощью векторной стрелки.

Конечной характеристикой движения объекта, совершающего равномерное круговое движение, является чистая сила. Чистая сила, действующая на такой объект, направлена ​​к центру круга.Чистая сила называется направленной внутрь или центростремительной силой . Без такой внутренней силы объект продолжал бы движение по прямой линии, никогда не отклоняясь от своего направления. Тем не менее, с внутренней чистой силой, направленной перпендикулярно вектору скорости, объект всегда меняет свое направление и испытывает внутреннее ускорение.

---

Для получения дополнительной информации о физических описаниях движения посетите The Physics Classroom Tutorial. Доступна подробная информация по следующим темам:

Скорость

Ускорение

Чистая сила и ускорение

Круговое движение и тангенциальная скорость

Круговое движение и ускорение

Требование центростремительной силы

Угловая скорость и ускорение

Угловая скорость и ускорение

---

Далее: Момент инерции Up: Описание ротационного Предыдущая: Описание ротационной

---

Угловая скорость и ускорение

Угловая скорость связана со скоростью вращения, то есть количество оборотов в секунду.Удобнее всего использовать для измерения углов, потому что угол в радианах длины дуги связано с радиусом дуги соотношением

Для всего круга угол субтендирован на длину окружности (360

) является

Единицы угловой скорости — r / s (радианы в секунду). Угловая скорость — это векторная величина. Ясно вращающийся объект (например, велосипедное колесо) имеет плоскость вращения и чувство вращения.Векторная угловая скорость вращающегося объект по соглашению направлен перпендикулярно плоскости вращения и в направлении от плоскости для вращения по часовой стрелке и от плоскости для вращения против часовой стрелки. Этот это правило правой руки, то есть сгибать пальцы правой руки в направлении вращения, а большой палец указывает на обычную вектор углового момента. Угловая скорость обозначена символом

. Чаще всего мы будем рассматривать движение в плоскости, а стрелку, указывающую на вектор, удобно убрать.

Рассмотрим вращающийся диск, угол, на который он поворачивается за время

есть

Кусок диска на расстоянии

от оси вращения будет двигаться по дуге на длину

А величина скорости части объекта равна

Угловое ускорение — это скорость изменения

. Базовый описание углового движения прямо аналогично описанию линейного движения, которое следует из исчисления Ньютона.В таблице указаны величины углового перемещения.

---

Скотт Д. Декстер
Вт 5 декабря 15:33:45 EST 1995

Взаимное угловое ускорение голеностопных и тазобедренных суставов у людей при спокойном стоянии

Человеческое спокойное стояние часто моделируется как единственный перевернутый маятник, вращающийся вокруг голеностопного сустава, при условии, что движение вокруг тазобедренного сустава довольно невелико.Однако несколько недавних исследований показали, что движение вокруг тазобедренного сустава может играть важную роль в эффективном поддержании центра массы тела (ЦМТ) над опорной зоной. Целью этого исследования было изучить, как контролируется координация между тазобедренным и голеностопным суставами во время спокойного стояния человека. Субъекты спокойно стояли в течение 30 секунд с открытыми (EO) или закрытыми (EC) глазами, и мы измерили незначительные угловые смещения вокруг голеностопных (тетаа) и тазобедренных (тета) суставов, используя три высокочувствительных лазерных датчика смещения CCD.Были получены достоверные данные как по угловому смещению, так и по угловой скорости (первая производная от углового смещения). Кроме того, ошибка измерения не была преобладающей даже среди данных углового ускорения, которые были получены путем взятия второй производной углового смещения. Было обнаружено, что угловое смещение, скорость и ускорение бедра значительно больше (P <0,001), чем у голеностопного сустава, что подтверждает, что движение тазобедренного сустава нельзя игнорировать даже во время спокойного стояния.Мы также обнаружили, что существует постоянная взаимная взаимосвязь между угловыми ускорениями тазобедренного и голеностопного суставов, а именно положительное или отрицательное угловое ускорение голеностопного сустава компенсируется противоположно направленным угловым ускорением тазобедренного сустава. Анализ главных компонентов показал, что это соотношение может быть выражено как: thetah = gammathetaa с гаммой = -3,15 +/- 1,24 и gamma = -3,12 +/- 1,46 (среднее +/- SD) для EO и EC, соответственно, где theta - это угловое ускорение.