ΠžΡ‚ Ρ‡Π΅Π³ΠΎ зависит Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ скорости: ГармоничСскиС колСбания. | ОбъСдинСниС ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ Π‘Π°Π½ΠΊΡ‚-ΠŸΠ΅Ρ‚Π΅Ρ€Π±ΡƒΡ€Π³Π°

ГармоничСскиС колСбания. | ОбъСдинСниС ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ Π‘Π°Π½ΠΊΡ‚-ΠŸΠ΅Ρ‚Π΅Ρ€Π±ΡƒΡ€Π³Π°

Π“ΠΠ ΠœΠžΠΠ˜Π§Π•Π‘ΠšΠ˜Π• ΠšΠžΠ›Π•Π‘ΠΠΠ˜Π―

КолСбания, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… измСнСния физичСских Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ происходят ΠΏΠΎ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ косинуса ΠΈΠ»ΠΈ синуса (гармоничСскому Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ), Π½Π°Π·. гармоничСскими колСбаниями.

НапримСр, Π² случаС мСханичСских гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ:.

Π’ этих формулах ω – частота колСбания,Β xm – Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° колСбания,Β Ο†0Β ΠΈΒ Ο†0’ – Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„Π°Π·Ρ‹ колСбания. ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„Π°Π·Ρ‹ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΒ Ο†0’ =Β Ο†0Β +Ο€/2 ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚.

гармоничСскими колСбаниями

Β 

гармоничСскими колСбаниями

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄ пСриодичСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ. ΠšΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ Π²ΠΈΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (синус ΠΈΠ»ΠΈ косинус) зависит ΠΎΡ‚ способа вывСдСния систСмы ΠΈΠ· полоТСния равновСсия. Если Π²Ρ‹Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ происходит Ρ‚ΠΎΠ»Ρ‡ΠΊΠΎΠΌ (сообщаСтся кинСтичСская энСргия), Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΒ t=0  смСщСниС Ρ…=0, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉΒ sin, ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠ²Β Ο†0’=0; ΠΏΡ€ΠΈ ΠΎΡ‚ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚ полоТСния равновСсия (сообщаСтся ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ энСргия) ΠΏΡ€ΠΈΒ t=0 смСщСниС х=Ρ…m, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉΒ cosΒ ΠΈΒ Ο†0=0.

Β 

Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, стоящСС ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΒ cosΒ ΠΈΠ»ΠΈΒ sin, Π½Π°Π·.Β Ρ„Π°Π·ΠΎΠΉ колСбания:Β Ρ„Π°Π·Π° колСбания.

Π€Π°Π·Π° колСбания измСряСтся Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ… ΠΈ опрСдСляСт Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ смСщСния (ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π»ΡŽΡ‰Π΅ΠΉΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹) Π² Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ.

Ρ„Π°Π·Π° колСбания

Амплитуда колСбания зависит Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΡ‚ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ отклонСния (Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ энСргии, сообщСнной ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ систСмС).

Β 

Π‘ΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ ускорСниС ΠΏΡ€ΠΈ гармоничСских колСбаниях.

Богласно ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ скорости, ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ – это производная ΠΎΡ‚ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΏΠΎ врСмСни Богласно ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ скорости, ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ – это производная ΠΎΡ‚ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΏΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ

Β 

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ при гармоничСском ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈΒ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ измСняСтся ΠΏΠΎ гармоничСскому Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ, Π½ΠΎ колСбания скорости ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΆΠ°ΡŽΡ‚ колСбания смСщСния ΠΏΠΎ Ρ„Π°Π·Π΅ Π½Π°Β 

Ο€/2.

Β 

Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°Β  максимальная ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ двиТСния (Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ скорости)Β — максимальная ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ двиТСния (Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ скорости).

 максимальная ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ двиТСния (Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ скорости)

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, для скорости ΠΏΡ€ΠΈ гармоничСском ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ: для скорости ΠΏΡ€ΠΈ гармоничСском ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΈ,Β Β Π° для случая Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ фазы для случая Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„Π°Π·Ρ‹

Β (см. Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ).

Π‘ΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ ускорСниС ΠΏΡ€ΠΈ гармоничСских колСбаниях

Богласно ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ ускорСния, ускорСниС – это производная ΠΎΡ‚ скорости ΠΏΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ:

Богласно ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ ускорСния, ускорСниС – это производная ΠΎΡ‚ скорости ΠΏΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈΒ — вторая производная ΠΎΡ‚ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΏΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°: УскорСниС ΠΏΡ€ΠΈ гармоничСском ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ.

УскорСниС при гармоничСском ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈΒ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ измСняСтся ΠΏΠΎ гармоничСскому Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ, Π½ΠΎ колСбания ускорСния ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΆΠ°ΡŽΡ‚ колСбания скорости Π½Π°Β Ο€/2 ΠΈ колСбания смСщСния на π (говорят, Ρ‡Ρ‚ΠΎ колСбания происходят 

Π² ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ„Π°Π·Π΅).

Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°Β ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ускорСниС (Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ ускорСния). Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, для ускорСния ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ

— максимальноС ускорСниС (Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ ускорСния). Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, для ускорСния ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ: для ускорСния ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ,Β Π° для случая Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„Π°Π·Ρ‹: для случая Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„Π°Π·Ρ‹Β (см. Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ).

максимальноС ускорСниС (Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ ускорСния). Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, для ускорСния ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ

Из Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° процСсса ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ двиТСния, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΈ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… матСматичСских Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π»ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΡΡ Ρ‚Π΅Π»ΠΎΠΌ полоТСния равновСсия (смСщСниС Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π½ΡƒΠ»ΡŽ) ускорСниС Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Π° ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π΅Π»Π° максимальна (Ρ‚Π΅Π»ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ равновСсия ΠΏΠΎ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ), Π° ΠΏΡ€ΠΈ достиТСнии Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния смСщСния – ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Π° ускорСниС максимально ΠΏΠΎ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŽ (Ρ‚Π΅Π»ΠΎ мСняСт Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ своСго двиТСния).

Π‘Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΠΌ выраТСния для смСщСния ΠΈ ускорСния ΠΏΡ€ΠΈ гармоничСских колСбаниях:

Π‘Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΠΌ выраТСния для смСщСния ΠΈ ускорСния ΠΏΡ€ΠΈ гармоничСских колСбаниях   и    Бравним выраТСния для смСщСния ΠΈ ускорСния ΠΏΡ€ΠΈ гармоничСских колСбаниях.

Β 

МоТно Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ: вторая производная смСщСния прямо ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Π° (с ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΌ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ) ΡΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΡŽ

Β —

Ρ‚.Π΅. вторая производная смСщСния прямо ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Π° (с ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΌ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ) ΡΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΡŽ. Π’Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°Π·. ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ гармоничСского колСбания. Π­Ρ‚Π° Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ выполняСтся для любого гармоничСского колСбания, нСзависимо ΠΎΡ‚ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ΄Ρ‹. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΌΡ‹ Π½ΠΈΠ³Π΄Π΅ Π½Π΅ использовали ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ систСмы, Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‚ Π½ΠΈΡ… ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π·Π°Π²ΠΈΡΠ΅Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ цикличСская частота.

вторая производная смСщСния прямо ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Π° (с ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΌ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ) ΡΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΡŽ

Часто Π±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ уравнСния для ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅:Β  уравнСния для ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ,

Π³Π΄Π΅Β T – ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ колСбания. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°, Ссли врСмя Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Π² долях ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° подсчСты Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π°Ρ‚ΡŒΡΡ. НапримСр, Ссли Π½Π°Π΄ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ смСщСниС Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· 1/8 ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π°, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:Β 

Π’ΠΎΠ³Π΄Π°, Ссли врСмя Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Π² долях ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° подсчСты Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π°Ρ‚ΡŒΡΡ. Аналогично для скорости ΠΈ ускорСния.

 уравнСния для ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

Π‘ΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ ускорСниС гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ

Π‘ΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ гармоничСскиС колСбания

Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ эту Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ, Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ смСщСния ΠΏΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ:

Β  Β 

Из ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ гармоничСскиС колСбания, Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ измСняСтся ΠΏΠΎ гармоничСскому Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ ΠΈ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎ Ρ„Π°Π·Π΅ смСщСниС Π½Π° .

УскорСниС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ гармоничСскиС колСбания

Β  Β 

Π­Ρ‚ΠΎ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ получаСтся ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ диффСрСнцирования ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ скорости Π½Π° ось x:

Β  Β 

ΠŸΡ€ΠΈ гармоничСских колСбаниях ускорСниС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ измСняСтся ΠΏΠΎ гармоничСскому Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ ΠΈ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎ Ρ„Π°Π·Π΅ смСщСниС Π½Π° .

Из послСднСго ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ проСкция ускорСния Π½Π° ось x:

Β  Β 

ΠΈΠ»ΠΈ

Β  Β 

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ , послСднСС ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅:

Β  Β 

ПослСднСС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прСдставляСт собой Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ, Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ являСтся ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ

Β  Β 

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡

ΠŸΠΎΠ½Ρ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡΡ сайт? РасскаТи Π΄Ρ€ΡƒΠ·ΡŒΡΠΌ!

КолСбания ΠΈ Π²ΠΎΠ»Π½Ρ‹: скорости ΠΈ ускорСния

Π’ этой ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅ ΠΌΡ‹ вспомним ΠΊΠΈΠ½Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΡƒ: Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ  – производная ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹, Π° ускорСниС – производная скорости ΠΈΠ»ΠΈ вторая производная ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹. Π—Π°ΠΎΠ΄Π½ΠΎ потрСнируСмся Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚ слоТных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.


Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 1. ΠœΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ гармоничСскиС колСбания ΠΏΠΎ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ x = 1,2 \cos \pi (\frac{2t}{3}+\frac{1}{4}). ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρƒ, ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ²ΡƒΡŽ частоту, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ„Π°Π·Ρƒ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ. Найти Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρ‹ скорости ΠΈ ускорСния. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ зависимости ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹. скорости ΠΈ ускорСния Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΎΡ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ.

Амплитуда Ρ€Π°Π²Π½Π° A=1,2, круговая частота (ΠΈΠ»ΠΈ цикличСская, ΠΈΠ»ΠΈ угловая) Ρ€Π°Π²Π½Π° \omega=\frac{2\pi}{3}

, Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ„Π°Π·Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° \psi_0=\frac{\pi}{4}, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ – T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi \cdot 3}{2\pi}=3 с.

Π‘ΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ – производная ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹. Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ:

Β  Β  \[\upsilon=x^{\prime}=A \omega \sin \pi (\frac{2t}{3}+\frac{1}{4})\]

Β  Β  \[a=\upsilon^{\prime}=x

Вогда \upsilon_{max}= A \omega=1,2\frac{2\pi}{3}=0,8\pi=2,51 м/с.

Β  Β  \[a_{max}= A\omega^2=1,2\left(\frac{2\pi}{3}\right)^2=5,26\]

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° A=1,2, круговая частота \omega=\frac{2\pi}{3}, Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ„Π°Π·Π° \psi_0=\frac{\pi}{4}, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ – T=3 с, \upsilon_{max}=2,51 ΠΌ/с, a_{max}=5,26 ΠΌ/с^2

Β 

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 2. ΠœΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ гармоничСскиС колСбания с частотой f= 0,5 Π“Ρ†. Амплитуда ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ А =3 см. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π² ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° смСщСниС x= 1,5 см.

Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π΅ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ, ΠΏΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌΡƒ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ ΠΎΠ½ΠΈ ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ, Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ косинус.

Β  Β  \[x=A\cos(\omega t+\psi_0)\]

Β  Β  \[\omega=2 \pi f=\pi\]

Β  Β  \[\frac{x}{A}=\cos(\omega t+\psi_0)\]

Β  Β  \[\frac{x^2}{A^2}=\cos^2(\omega t+\psi_0)\]

Β  Β  \[1-\frac{x^2}{A^2}=\sin^2(\omega t+\psi_0)\]

Β  Β  \[\sin(\omega t+\psi_0)=\sqrt{1-\frac{x^2}{A^2}}\]

Π‘ΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ – производная ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹. Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ:

Β  Β  \[\upsilon=x^{\prime}=-A \omega  \sin (\omega t+\psi_0)\]

Β  Β  \[\upsilon=x^{\prime}=- A \omega  \sqrt{1-\frac{x^2}{A^2}}=-\omega \sqrt{A^2-x^2}\]

Β  Β  \[\upsilon=-\pi \sqrt{9-2,25}=-8,16\]

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: \upsilon=-8,16 см/с.

Β 

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 3. ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ гармоничСского колСбания Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Ссли максимальноС ускорСниС Π΅Π΅ a_{max}= 49,3 см/с2, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ T = 2 с ΠΈ смСщСниС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΎΡ‚ полоТСния равновСсия Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ x_0 = 2,5 см. КолСбания ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠΎ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ синуса.

Β  Β  \[x=A\sin(\omega t+\psi_0)\]

Β  Β  \[\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{2}=\pi\]

Π’ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ t=0 смСщСниС Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 2,5 см:

Β  Β  \[x_0=A\sin(\psi_0)= 2,5\]

Выясним, какая Ρƒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ. Для этого ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ (ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ) ΠΈ ускорСниС(Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ):

Β  Β  \[\upsilon=x^{\prime}=-A \omega \cos( \omega t+\psi_0)\]

Β  Β  \[a=\upsilon^{\prime}=x

МаксимальноС ускорСниС – это Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° ускорСния, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ

Β  Β  \[a_{max}= A\omega^2\]

ΠžΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° A:

Β  Β  \[A=\frac{ a_{max}}{\omega^2}=5\]

Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π² ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ t=0:

Β  Β  \[x_0=\frac{ a_{max}}{\omega^2}\sin(\psi_0)\]

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ„Π°Π·Ρƒ:

Β  Β  \[\sin(\psi_0)=\frac{x_0 \omega^2}{ a_{max}}\]

Β  Β  \[\sin(\psi_0)=\frac{2,5 \pi^2}{49,3}=0,5\]

Β  Β  \[\alpha=\arcsin(0,5)=30^{\circ}\]

Π—Π°ΠΊΠΎΠ½ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ:

Β  Β  \[x=5\sin(\pi t+\frac{\pi}{6})\]

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: x=5\sin(\pi t+\frac{\pi}{6}) см.

Π“Π»Π°Π²Π° 11. ΠœΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ колСбания ΠΈ Π²ΠΎΠ»Π½Ρ‹

ΠšΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ называСтся любоС пСриодичСски ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰Π΅Π΅ΡΡ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ зависимости ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΈ скорости Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΎΡ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ колСбаниях ΠΎΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ пСриодичСскими функциями Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ. Π’ школьном курсС Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ колСбания, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… зависимости ΠΈ скорости Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ собой тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΡ… ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΡŽ, Π³Π΄Π΅ β€” Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ число. Π’Π°ΠΊΠΈΠ΅ колСбания Π½Π°-Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ гармоничСскими (Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ часто Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ гармоничСскими функциями). Для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ Π½Π° колСбания, входящих Π² ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡƒ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΎΠ³ΠΎ государствСнного экзамСна ΠΏΠΎ Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ опрСдСлСния основных характСристик ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ двиТСния: Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρ‹, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π°, частоты, ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠΉ (ΠΈΠ»ΠΈ цикличСской) частоты ΠΈ Ρ„Π°Π·Ρ‹ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ. Π”Π°Π΄ΠΈΠΌ эти опрСдСлСния ΠΈ свяТСм пСрСчислСнныС Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ с ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°ΠΌΠΈ зависимости ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΎΡ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ , которая Π² случаС гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ всСгда ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ прСдставлСна Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅

(11.1)

Π³Π΄Π΅ , ΠΈ β€” Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ числа.

Амплитудой ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ называСтся максимальноС ΠΎΡ‚ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π»ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎΡΡ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΎΡ‚ полоТСния равновСсия. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ максимальноС ΠΈ минимальноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ косинуса Π² (11.1) Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Β±1, Ρ‚ΠΎ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‚Π΅Π»Π°, ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ колСбания (11.1), Ρ€Π°Π²Π½Π° Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅ . ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ β€” это минимальноС врСмя, Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅Π»Π° повторяСтся. Для зависимости (11.1) ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… сообраТСний. ΠšΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡ β€” пСриодичСская функция с ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ . ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ повторяСтся Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ , Ρ‡Ρ‚ΠΎ . ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ

(11.2)

Частотой ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‚Π΅Π»Π° называСтся число ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ, ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°Π΅ΠΌΡ‹Ρ… Π² Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ. ΠžΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ частота ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ связана с ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅

(11.3)

ΠšΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠΉ (ΠΈΠ»ΠΈ цикличСской) частотой ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ называСтся число ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ, ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°Π΅ΠΌΡ‹Ρ… Π·Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ. Из Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ (11.3) Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠΉ частотой являСтся Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° ΠΈΠ· Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ (11.1).

Π€Π°Π·ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ называСтся Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ тригономСтричСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΎΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΎΡ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ. Из Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ (11.1) Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„Π°Π·Π° ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‚Π΅Π»Π°, Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ описываСтся Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ (11.1), Ρ€Π°Π²Π½Π° . Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„Π°Π·Ρ‹ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Π² ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ = 0 называСтся Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„Π°Π·ΠΎΠΉ. Для зависимости (11.1) Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ„Π°Π·Π° ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅ . ΠžΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ„Π°Π·Π° ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ зависит ΠΎΡ‚ Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€Π° Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° отсчСта Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ (ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° = 0), ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ всСгда являСтся условным. ИзмСнСниСм Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° отсчСта Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ„Π°Π·Π° ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ всСгда ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ «сдСлана» Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΉ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Π° синус Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ (11.1) Β«ΠΏΡ€Π΅Π²Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½Β» Π² косинус ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚.

Π’ ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡƒ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΎΠ³ΠΎ государствСнного экзамСна Π²Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π·Π½Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» для частоты ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ матСматичСского маятников. ΠŸΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π½Ρ‹ΠΌ маятником принято Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π΅Π»ΠΎ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ колСбания Π½Π° Π³Π»Π°Π΄ΠΊΠΎΠΉ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΠΎΠ΄ дСйствиСм ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Ρ‹, Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ† ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π·Π°ΠΊΡ€Π΅ΠΏΠ»Π΅Π½ (Π»Π΅Π²Ρ‹ΠΉ рисунок). ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΌ маятником называСтся массивноС Ρ‚Π΅Π»ΠΎ, Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π°ΠΌΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π½Π΅Π±Ρ€Π΅Ρ‡ΡŒ, ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°ΡŽΡ‰Π΅Π΅ колСбания Π½Π° Π΄Π»ΠΈΠ½Π½ΠΎΠΉ, нСвСсомой ΠΈ нСрастяТимой Π½ΠΈΡ‚ΠΈ (ΠΏΡ€Π°Π²Ρ‹ΠΉ рисунок). НазваниС этой систСмы – «матСматичСский маятник» связано с Ρ‚Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½Π° прСдставляСт собой Π°Π±ΡΡ‚Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ модСль Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ (физичСского) маятника. НСобходимо ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° (ΠΈΠ»ΠΈ частоты) ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ матСматичСского маятников. Для ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ маятника

(11.4)

Π³Π΄Π΅ β€” коэффициСнт ТСсткости ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Ρ‹, β€” масса Π³Ρ€ΡƒΠ·Π°. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ матСматичСского маятника опрСдСляСтся ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ

(11.5)

Π³Π΄Π΅ β€” Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π½ΠΈΡ‚ΠΈ, β€” ускорСниС свободного падСния. Рассмотрим ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ этих ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠ² Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ†ΠΈΠΊΠ»ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ частоту ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Π³Ρ€ΡƒΠ·Π° Π² Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ 11.1.1 Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ сначала ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ (11.2). ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ 10 ΠΌ 28 с β€” это 628 с, ΠΈ Π·Π° это врСмя Π³Ρ€ΡƒΠ· ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ 100 ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Π³Ρ€ΡƒΠ·Π° Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 6,28 с. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ цикличСская частота ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Π° 1 c-1 (ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ 2). Π’ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ 11.1.2 Π³Ρ€ΡƒΠ· Π·Π° 600 с ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ» 60 ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ, поэтому частота ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ β€” 0,1 с-1 (ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ 1).

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΏΡƒΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΉΠ΄Π΅Ρ‚ Π³Ρ€ΡƒΠ· Π·Π° 2,5 ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° (Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 11.1.3), прослСдим Π·Π° Π΅Π³ΠΎ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. Π§Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Π³Ρ€ΡƒΠ· вСрнСтся Π½Π°Π·Π°Π΄ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ максимального отклонСния, ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ² ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠ΅. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Π·Π° это врСмя Π³Ρ€ΡƒΠ· ΠΏΡ€ΠΎΠΉΠ΄Π΅Ρ‚ расстояниС, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ΠΌ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π°ΠΌ: Π΄ΠΎ полоТСния равновСсия β€” ΠΎΠ΄Π½Π° Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π°, ΠΎΡ‚ полоТСния равновСсия Π΄ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ максимального отклонСния Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ сторону β€” вторая, Π½Π°Π·Π°Π΄ Π² ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ равновСсия β€” Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΡ, ΠΈΠ· полоТСния равновСсия Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ β€” чСтвСртая. Π—Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Π³Ρ€ΡƒΠ· снова ΠΏΡ€ΠΎΠΉΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρ‹, Π° Π·Π° ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡˆΠΈΠ΅ΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Ρƒ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° β€” Π΄Π²Π΅ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρ‹. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΠΉΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡƒΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ дСсяти Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π°ΠΌ (ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ 4).

Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° пСрСмСщСния Ρ‚Π΅Π»Π° β€” расстояниС ΠΎΡ‚ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π΄ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ. Π—Π° 2,5 ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° Π² Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ 11.1.4 Ρ‚Π΅Π»ΠΎ успССт ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Ρƒ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ³ΠΎ колСбания, Ρ‚.Π΅. окаТСтся Π½Π° максимальном ΠΎΡ‚ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½ΠΈΠΈ, Π½ΠΎ с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ стороны ΠΎΡ‚ полоТСния равновСсия. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° пСрСмСщСния Ρ€Π°Π²Π½Π° Π΄Π²ΡƒΠΌ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π°ΠΌ (ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ 3).

По ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ Ρ„Π°Π·Π° ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ β€” это Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ тригономСтричСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ описываСтся Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π»ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎΡΡ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΎΡ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π² Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ 11.1.5 β€” 3.

ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ β€” это врСмя ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ³ΠΎ колСбания. Π­Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅Π»Π° Π½Π°Π·Π°Π΄ Π² Ρ‚Ρƒ ΠΆΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ, ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅Π»ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π΅Ρ‰Π΅ Π½Π΅ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡˆΠ΅Π» ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄: Ρ‚Π΅Π»ΠΎ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π²Π΅Ρ€Π½ΡƒΡ‚ΡŒΡΡ Π² Ρ‚Ρƒ ΠΆΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ с Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ. НапримСр, Ρ‚Π΅Π»ΠΎ, Π½Π°Ρ‡Π°Π² колСбания ΠΈΠ· полоТСния равновСсия, Π·Π° ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ успССт ΠΎΡ‚ΠΊΠ»ΠΎΠ½ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π½Π° ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ Π² ΠΎΠ΄Π½Ρƒ сторону, Π²Π΅Ρ€Π½ΡƒΡ‚ΡŒΡΡ Π½Π°Π·Π°Π΄, отклонится Π½Π° максимум Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ сторону ΠΈ снова Π²Π΅Ρ€Π½ΡƒΡ‚ΡŒΡΡ Π½Π°Π·Π°Π΄. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Π·Π° ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ‚Π΅Π»ΠΎ успССт Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π·Π° ΠΎΡ‚ΠΊΠ»ΠΎΠ½ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π½Π° ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ ΠΎΡ‚ полоТСния равновСсия ΠΈ Π²Π΅Ρ€Π½ΡƒΡ‚ΡŒΡΡ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚ полоТСния равновСсия Π΄ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ максимального отклонСния (Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 11.1.6) Ρ‚Π΅Π»ΠΎ Π·Π°Ρ‚Ρ€Π°Ρ‡ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° (ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ 3).

ГармоничСскими Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ колСбания, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π»ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎΡΡ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΎΡ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ описываСтся тригономСтричСской (синус ΠΈΠ»ΠΈ косинус) Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ. Π’ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ 11.1.7 Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ , нСсмотря Π½Π° Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ входящиС Π² Π½ΠΈΡ… ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ ΠΊΠ°ΠΊ 2 ΠΈ 2. Ѐункция ΠΆΠ΅ β€” тригономСтричСская функция ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ гармоничСскими ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ колСбания Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ ΠΈ (ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ 4).

ΠŸΡ€ΠΈ гармоничСских колСбаниях ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π΅Π»Π° измСняСтся ΠΏΠΎ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ , Π³Π΄Π΅ β€” Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ скорости (Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ отсчСта Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ„Π°Π·Π° ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π²Π½ΡΠ»Π°ΡΡŒ Π±Ρ‹ Π½ΡƒΠ»ΡŽ). ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ кинСтичСской энСргии Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΎΡ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ (Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 11.1.8). Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Π΄Π°Π»Π΅Π΅ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡ‚Π½ΡƒΡŽ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ

Из этой Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ кинСтичСская энСргия Ρ‚Π΅Π»Π° измСняСтся ΠΏΡ€ΠΈ гармоничСских колСбаниях Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠΎ гармоничСскому Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ, Π½ΠΎ с ΡƒΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ частотой (ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ 2).

Π—Π° ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ кинСтичСской энСргий Π³Ρ€ΡƒΠ·Π° ΠΈ ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ энСргиСй ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Ρ‹ (Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 11.1.9) Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… сообраТСний. Когда Ρ‚Π΅Π»ΠΎ ΠΎΡ‚ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½ΠΎ Π½Π° ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ ΠΎΡ‚ полоТСния равновСсия, ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π΅Π»Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ, ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ энСргия ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Ρ‹ большС кинСтичСской энСргии Π³Ρ€ΡƒΠ·Π°. Напротив, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Ρ‚Π΅Π»ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ равновСсия, ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ энСргия ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ, ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, кинСтичСская энСргия большС ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ полоТСния равновСсия ΠΈ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΎΡ‚ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ кинСтичСская ΠΈ ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ энСргия ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Ρ€Π°Π· ΡΡ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ. А ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π·Π° ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ‚Π΅Π»ΠΎ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ Ρ€Π°Π·Π° ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΎΡ‚ полоТСния равновСсия Π΄ΠΎ максимального отклонСния ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎ, Ρ‚ΠΎ Π·Π° ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ кинСтичСская энСргия Π³Ρ€ΡƒΠ·Π° ΠΈ ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ энСргия ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Ρ‹ ΡΡ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ Ρ€Π°Π·Π° (ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ 2).

Амплитуду ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ скорости (Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 11.1.10) ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅ всСго Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΠΎ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ сохранСния энСргии. Π’ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ максимального отклонСния энСргия ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ систСмы Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ энСргии ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Ρ‹ , Π³Π΄Π΅ β€” коэффициСнт ТСсткости ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Ρ‹, β€” Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ. ΠŸΡ€ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ полоТСния равновСсия энСргия Ρ‚Π΅Π»Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° кинСтичСской энСргии , Π³Π΄Π΅ β€” масса Ρ‚Π΅Π»Π°, β€” ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ полоТСния равновСсия, которая являСтся максимальной ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Ρ‚Π΅Π»Π° Π² процСссС ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, прСдставляСт собой Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρƒ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ скорости. ΠŸΡ€ΠΈΡ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Ρ эти энСргии, Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ

(ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ 1), Π³Π΄Π΅ использовано Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ для ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠΉ частоты ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Π³Ρ€ΡƒΠ·Π° Π½Π° ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π΅:

По Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ (11.4) ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Π² Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ 11.2.1

(ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ 4).

Из Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ (11.5) Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅ΠΌ (Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 11.2.2), Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‚ массы матСматичСского маятника Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Π½Π΅ зависит, Π° ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ Π² 4 Ρ€Π°Π·Π° ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ увСличиваСтся Π² 2 Ρ€Π°Π·Π° (ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ 1).

Часы β€” это ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ процСсс, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ для измСрСния ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠ² Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ (Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 11.2.3). Π‘Π»ΠΎΠ²Π° часы Β«ΡΠΏΠ΅ΡˆΠ°Ρ‚Β» ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ этого процСсса мСньшС Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ½ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ для уточнСния Ρ…ΠΎΠ΄Π° этих часов Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ процСсса. Богласно Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ (11.5) для увСличСния ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ матСматичСского маятника Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ (ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ 3).

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρƒ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Π² Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ 11.2.4, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΎΡ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ тригономСтричСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Для Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π² условии Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ это ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ввСдСния Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°. УмноТая ΠΈ дСля эту Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π½Π° ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ слоТСния тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ

Π³Π΄Π΅ β€” Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ», Ρ‡Ρ‚ΠΎ . Из этой Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‚Π΅Π»Π° β€” (ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ 4).

Π’ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ 11.2.5 ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈ см. ΠžΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° см (ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ 2).

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ 11.2.6 ΠΈ 11.2.7 посвящСны мСханичСским Π²ΠΎΠ»Π½Π°ΠΌ. Π’ΠΎΠ»Π½Π° – Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ процСсс, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Ρ€Π°ΡΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Ρ€Π°Π½ΡΡ‚ΡŒΡΡ Π² срСдС. ΠŸΡ€ΠΈ этом каТдая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° срСды ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ колСбания ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ полоТСния ΠΈ Π² срСднСм Π½Π΅ пСрСмСщаСтся Π² пространствС. Π’ΠΎΠ»Π½Π° характСризуСтся ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ (ΠΈΠ»ΠΈ связанной с Π½ΠΈΠΌ частотой ), ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ Π²ΠΎΠ»Π½Ρ‹ , которая опрСдСляСтся ΠΊΠ°ΠΊ минимальноС расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ, ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π»ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈΡΡ Π² ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Ρ„Π°Π·Π΅. Для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ Π•Π“Π­ ΠΏΠΎ этой Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ, Π΄Π°ΡŽΡ‰ΡƒΡŽ связь ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°ΠΌΠΈ Π²ΠΎΠ»Π½Ρ‹

(11.6)

ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ эта связь ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ Π²ΠΈΠ΄ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ расстояниСм, ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΈ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π΅ΠΌ. НапримСр, Π² Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ 11.2.6 ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ (11.6) Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ Π²ΠΎΠ»Π½Ρ‹ ΠΌ (ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ 2).

Как слСдуСт ΠΈΠ· рисунка Π² Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ 11.2.7 Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π²ΠΎΠ»Π½Ρ‹, Ρ€Π°ΡΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Ρ€Π°Π½ΡΡŽΡ‰Π΅ΠΉΡΡ ΠΏΠΎ ΡˆΠ½ΡƒΡ€Ρƒ, Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΌ. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ (11.6) ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Π“Ρ† (ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ 4).

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π² ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ максимального отклонСния ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ маятника, мСханичСская энСргия систСмы Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ энСргии ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Ρ‹, Ρ‚ΠΎ

Π³Π΄Π΅ β€” Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ, β€” ΠΆΠ΅ΡΡ‚ΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Ρ‹. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ мСханичСской энСргии ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ маятника Π² 2 Ρ€Π°Π·Π° Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ»Π°ΡΡŒ Π² Ρ€Π°Π· (Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 11.2.8 – ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ 1).

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡ‚Π½ΡƒΡŽ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Π² Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ 11.2.9

Π­Ρ‚Π° Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ прСдставляСт собой Π³Π°Ρ€ΠΌΠΎΠ½ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, Π½ΠΎ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π»ΡŽΡ‰ΡƒΡŽΡΡ Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ . Амплитудой этих ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ являСтся ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ косинусом β€” (Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ сам косинус мСняСтся Π² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ ΠΎΡ‚ -1 Π΄ΠΎ 1). ЦикличСской частотой β€” Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° (ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ 4).

Π’Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π½Ρ‹ΠΉ маятник отличаСтся ΠΎΡ‚ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ (Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 11.2.10) Π½Π°Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ΠΌ силы тяТСсти. Однако сила тяТСсти ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΊ сдвигу полоТСния равновСсия маятника, Π° Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ сила ΠΏΠΎ ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ½Π΅ΠΌΡƒ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π·Π°Π²ΠΈΡΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚ смСщСния маятника ΠΎΡ‚ полоТСния равновСсия ΠΏΠΎ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ (Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ силой Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ силы упругости ΠΈ постоянной силы тяТСсти). ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Π³Ρ€ΡƒΠ·Π° Π½Π° Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π΅ β€” ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ² (ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, ΠΏΡ€ΠΈ условии, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ сам Π³Ρ€ΡƒΠ· ΠΈ ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Ρ‹ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹). ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π² Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ β€” 3.

Π‘ΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ ускорСниС ΠΏΡ€ΠΈ гармоничСском ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΈ.

=

— Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ скорости

Π‘ΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ смСщСниС ΠΏΠΎ Ρ„Π°Π·Π΅ Π½Π° .

=

Π‘Π΄Π²ΠΈΠ³ Ρ„Π°Π· ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΈΡ€Π°Π²Π΅Π½, ΠΎΠ½ΠΈ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π»ΡŽΡ‚ΡΡ Π² ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ„Π°Π·Π°Ρ….

Π‘ΠΈΠ»Π°.

Π‘ΠΈΠ»Ρ‹, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Ρ‡ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ ΡƒΠΏΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ силы, Π½ΠΎ ΠΏΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ΄Π΅ своСй Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΡƒΠΏΡ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠ²Π°Π·ΠΈΡƒΠΏΡ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ.

ГармоничСскиС колСбания – это колСбания, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ происходят ΠΏΠΎΠ΄ дСйствиСм ΠΊΠ²Π°Π·ΠΈΡƒΠΏΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ силы, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ силы, ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΡŽ.

  1. ЭнСргия гармоничСского осциллятора.

(кинСтичСская ЭнСргия, Π’ + ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ энСргия, П = ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ энСргии, Π•).

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ

.

Π’ΠΎΠ³Π΄Π°

=

=

=+=.

— полная энСргия мСханичСского осциллятора Π½Π΅ зависит ΠΎΡ‚ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Π°. ΠœΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ осциллятор Π΅ΡΡ‚ΡŒ консСрвативная систСма, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ.

Π’Ρ‹Π²ΠΎΠ΄Ρ‹:

ΠšΠΈΠ½Π΅Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ ΠΈ ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ энСргии ΠΏΠΎ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ зависят ΠΎΡ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ.

Максимальная кинСтичСская энСргия Ρ€Π°Π²Π½Π° максимальной ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ энСргии ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ энСргии.

БрСдняя кинСтичСская энСргия Ρ€Π°Π²Π½Π° срСднСй ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ энСргии ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ энСргии.

Полная энСргия Π½Π΅ зависит ΠΎΡ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Ρƒ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρ‹.

ЛСкция 8. Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ.

Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ – Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° слоТная ΠΈ часто ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ искусствСнными ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌΠ°ΠΌΠΈ для Π΅Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠΌ гармоничСскоС ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠ΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρ‹.

Π’ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ проСкция Π½Π° ΠΎΡΡŒΠ²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°Ρ€Π°Π²Π½Π°. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, всякому гармоничСскому колСбанию ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΠΏΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρ‹, Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉΡΡ с ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΉ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠΉ частотС колСбания. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° проСкция этого Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° ΠΎΡΡŒΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ гармоничСскиС колСбания. ЀизичСского смысла здСсь Π½Π΅Ρ‚, Π½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ облСгчаСтся.

  1. Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ направлСния ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ частоты.

.

Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΠΌ ΠΈΡ… графичСски:

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΈΠ²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅ΠΌ с. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ частоты Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌ, Π½Π΅ Π΄Π΅Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠΈΡ€ΡƒΡΡΡŒ, вращаСтся с Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ частотой. Π”Π»ΠΈΠ½Π°Π½Π΅ мСняСтся. Π•Π³ΠΎ проСкция ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ гармоничСскиС колСбания.

, Π½ΠΎ.

Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠ΅ гармоничСскоС, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‚Ρƒ ΠΆΠ΅ частоту, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ слагаСмыС колСбания. Амплитуду Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΈΠ· Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… условий ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅

,

  1. БиСния.

Рассмотрим слоТСниС ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρ‹ ΠΈ Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΈΡ… частот ,,. РСшСниС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ услоТняСтся.

.

Если ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ эти колСбания с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρ‹, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‚ΡΡ с Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ скоростями, ΠΈ всСгда Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° . Π€Π°Π·Ρ‹ Π² этот ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‚ Π·Π° Π½ΡƒΠ»ΡŒ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°

.

==

= .

=

— ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π±ΠΈΠ΅Π½ΠΈΠΉ. ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΌΠ΅Π΄Π»Π΅Π½Π½ΠΎ мСняСтся, Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ – быстро. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅

Π‘Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΠΌ с ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ

.

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π±ΠΈΠ΅Π½ΠΈΠΉ – нСгармоничСскоС, Π½ΠΎ мСняСтся ΠΌΠ΅Π΄Π»Π΅Π½Π½ΠΎ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊΠΌΠ°Π»ΠΎ.

.

ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ биСния – ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ гармоничСскиС колСбания с ΠΌΠ΅Π΄Π»Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‰Π΅ΠΉΡΡ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄ΠΎΠΉ, ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ большС ΠΈ мСньшС нуля.

— Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π°. Для гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ

— ΠΌΠ°Π»ΠΎ,

Π²Π΅Π»ΠΈΠΊΠΎ.

— частота Π±ΠΈΠ΅Π½ΠΈΠΉ.

Амплитуда ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ . (ΠŸΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΡˆΡ‚Ρ€ΠΈΡ…Π°ΠΌΠΈ ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΡƒΡŽ Π²Π½ΠΈΠ·Ρƒ).Частота.. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ биСния – усилСниС ΠΈ ослаблСниС ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ.

ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π±ΠΈΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΎ примСняСтся Π½Π° ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ΅. Основан Π½Π° сравнСнии искомой частоты с частотой эталона. ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π±ΠΈΠ΅Π½ΠΈΠΉ – это ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ² измСрСния частот, СмкостСй, индуктивностСй. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ для настройки ΠΌΡƒΠ·Ρ‹ΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… инструмСнтов.

Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ — угловая ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ — Π‘ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠ°Ρ ЭнциклопСдия НСфти ΠΈ Π“Π°Π·Π°, ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡ, страница 1

Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ — угловая ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ

CΡ‚Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π° 1

Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ скорости ш Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎΡΡ Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π° Π½Π΅ зависит ΠΎΡ‚ Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π’, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π”Π΅Ρ€, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ поворачиваСтся Π·Π° Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ врСмя Π« радиус ΠžΠ’, Π½Π΅ зависит ΠΎΡ‚ полоТСния Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π’.  [1]

ЗначСния ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ скорости сошаиб ΠΈ шшаим ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· срСднСС арифмСтичСскоС ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ скорости сокр ( сошаиб со.  [2]

ЗначСния ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… скоростСй ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΌΡƒ Ρ†ΠΈΠΊΠ»Ρƒ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ компрСссора, ΠΏΡ€ΠΈ этом исходят ΠΈΠ· прСдполоТСния, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π°Π» являСтся Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎ ТСстким ΠΈ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΡˆΠΈΠΏΠ°ΠΌΠΈ Π½Π΅ измСняСтся.  [3]

Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ скорости, ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ рСзонансу, называСтся критичСской ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ.  [4]

Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ скорости Ρ‚Π΅Π»Π° для Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π² зависимости ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Π² ΠΊΠ°ΠΊΡƒΡŽ сторону вращаСтся Ρ‚Π΅Π»ΠΎ. Когда Ρ‚Π΅Π»ΠΎ вращаСтся ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² часовой стрСлки, Ссли ΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π° оси вращСния, Ρ‚ΠΎ Аф О, dy / dt 0 ΠΈ угловая ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ со ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°. Если Ρ‚Π΅Π»ΠΎ вращаСтся ΠΏΠΎ часовой стрСлкС, Ρ‚ΠΎ угловая ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°.  [5]

ΠŸΡ€ΠΈ значСниях ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ скорости мСньшС сотщ ΠΈ большС сотах рСгулятор Π½Π΅ Ρ€Π΅Π°Π³ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ Π½Π° ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ скорости. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ²Π΅ΡΠ½ΡƒΡŽ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΡƒΡŽ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ (26.7) для Π³, ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎΡΡ Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°Ρ… Ρ…ΠΎΠ΄Π° h, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΡƒΡŽ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… скоростСй Π²Π°Π»Π° рСгулятора ( рис. 26.7) ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… рСгулятор Ρ€Π΅Π°Π³ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ Π½Π° ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ скорости Π²Π°Π»Π° ΠΌΠ°ΡˆΠΈΠ½Ρ‹.  [7]

Π’Π°ΠΊ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ значСния ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ скорости со Π·Π²Π΅Π½Π° привСдСния ΠΌΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΠ·ΠΌΠ°.  [9]

Π’Π°ΠΊ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ значСния ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ скорости ш Π·Π²Π΅Π½Π° привСдСния ΠΌΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΠ·ΠΌΠ°.  [11]

Π’Π°ΠΊ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ значСния ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ скорости ΠΎ Π·Π²Π΅Π½Π° привСдСния ΠΌΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΠ·ΠΌΠ°.  [13]

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ скорости Ρ‚Π΅Π»Π° Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡ‚ ΡƒΠ³Π»Π° Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π° ΠΏΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ.  [14]

ΠšΡ€ΠΈΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ значСния ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… скоростСй Ρ€ΠΎΡ‚ΠΎΡ€Π°, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρ‹ Π²Ρ‹Π½ΡƒΠΆΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎ Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‚.  [15]

Π‘Ρ‚Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹:      1    2    3    4

ΠœΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ колСбания — ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Ρ‹ для ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠΈ ΠΊ Π•Π“Π­ ΠΏΠΎ Π€ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅

Β 


Автор β€” ΠΏΡ€ΠΎΡ„Π΅ΡΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π΅ΠΏΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΠΎΡ€, Π°Π²Ρ‚ΠΎΡ€ ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½Ρ‹Ρ… пособий для ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠΈ ΠΊ Π•Π“Π­ Π˜Π³ΠΎΡ€ΡŒ ВячСславович Π―ΠΊΠΎΠ²Π»Π΅Π²

Π’Π΅ΠΌΡ‹ ΠΊΠΎΠ΄ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΠΎΡ€Π° Π•Π“Π­ : гармоничСскиС колСбания; Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π°, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄, частота, Ρ„Π°Π·Π° ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ; свободныС колСбания, Π²Ρ‹Π½ΡƒΠΆΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ колСбания, рСзонанс.

КолСбания — это ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ Π²ΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ измСнСния состояния систСмы. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΎΡ…Π²Π°Ρ‚Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΈΠΉ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ явлСний.

КолСбания мСханичСских систСм, ΠΈΠ»ΠΈ мСханичСскиС колСбания — это мСханичСскоС Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΈΠ»ΠΈ систСмы Ρ‚Π΅Π», ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΠ΅ΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π²ΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠΈ происходит Π² окрСстности полоТСния равновСсия. ПолоТСниСм равновСсия называСтся Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ состояниС систСмы, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΎΠ½Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΎΡΡ‚Π°Π²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ сколь ΡƒΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Π΄ΠΎΠ»Π³ΠΎ, Π½Π΅ испытывая Π²Π½Π΅ΡˆΠ½ΠΈΡ… воздСйствий.

НапримСр, Ссли маятник ΠΎΡ‚ΠΊΠ»ΠΎΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ ΠΎΡ‚ΠΏΡƒΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‚ΠΎ начнутся колСбания. ПолоТСниС равновСсия — это ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ маятника ΠΏΡ€ΠΈ отсутствии отклонСния. Π’ этом ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ маятник, Ссли Π΅Π³ΠΎ Π½Π΅ Ρ‚Ρ€ΠΎΠ³Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΡ€Π΅Π±Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ сколь ΡƒΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Π΄ΠΎΠ»Π³ΠΎ. ΠŸΡ€ΠΈ колСбаниях маятник ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π· ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ равновСсия.

Π‘Ρ€Π°Π·Ρƒ послС Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡ‚ΠΊΠ»ΠΎΠ½Ρ‘Π½Π½Ρ‹ΠΉ маятник отпустили, ΠΎΠ½ Π½Π°Ρ‡Π°Π» Π΄Π²ΠΈΠ³Π°Ρ‚ΡŒΡΡ, ΠΏΡ€ΠΎΡˆΡ‘Π» ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ равновСсия, достиг ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅Π³ΠΎ полоТСния, Π½Π° ΠΌΠ³Π½ΠΎΠ²Π΅Π½ΠΈΠ΅ остановился Π² Π½Ρ‘ΠΌ, двинулся Π² ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, снова ΠΏΡ€ΠΎΡˆΡ‘Π» ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ равновСсия ΠΈ вСрнулся Π½Π°Π·Π°Π΄. Π‘ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ»ΠΎΡΡŒ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠ΅. Π”Π°Π»ΡŒΡˆΠ΅ этот процСсс Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ пСриодичСски ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡ‚ΡŒΡΡ.

Амплитуда ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‚Π΅Π»Π° — это Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° Π΅Π³ΠΎ наибольшСго отклонСния ΠΎΡ‚ полоТСния равновСсия.

ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ — это врСмя ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ³ΠΎ колСбания. МоТно ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π·Π° ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ‚Π΅Π»ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΏΡƒΡ‚ΡŒ Π² Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρ‹.

Частота ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ — это Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°, обратная ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Ρƒ: . Частота измСряСтся Π² Π³Π΅Ρ€Ρ†Π°Ρ… (Π“Ρ†) ΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, сколько ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ Π·Π° ΠΎΠ΄Π½Ρƒ сСкунду.

ГармоничСскиС колСбания.

Β 

Π‘ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π»ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎΡΡ Ρ‚Π΅Π»Π° опрСдСляСтся ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ-СдинствСнной ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΠΉ . ПолоТСнию равновСсия ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ . Основная Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° ΠΌΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΠΊΠΈ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС состоит Π² Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , Π΄Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρƒ Ρ‚Π΅Π»Π° Π² любой ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ.

Для матСматичСского описания ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ СстСствСнно ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ пСриодичСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π’Π°ΠΊΠΈΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ, Π½ΠΎ Π΄Π²Π΅ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… — синус ΠΈ косинус — ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ самыми Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ. Π£ Π½ΠΈΡ… ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΈΡ… свойств, ΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ тСсно связаны с ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΈΠΌ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ физичСских явлСний.

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ синус ΠΈ косинус ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ ΠΈΠ· Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π° сдвигом Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° Π½Π° , ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ…. ΠœΡ‹ для опрСдСлённости Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ косинус.

ГармоничСскиС колСбания — это колСбания, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° зависит ΠΎΡ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠΏΠΎ гармоничСскому Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ:

(1)

Выясним смысл входящих Π² эту Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½.

ΠŸΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° являСтся наибольшим ΠΏΠΎ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŽ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ (Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ максимальноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ модуля косинуса Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅), Ρ‚. Π΅. наибольшим ΠΎΡ‚ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΡ‚ полоТСния равновСсия. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ — Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ.

АргумСнт косинуса называСтся Ρ„Π°Π·ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ. Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° , равная Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ Ρ„Π°Π·Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈ , называСтся Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„Π°Π·ΠΎΠΉ. ΠΠ°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ„Π°Π·Π° ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π΅ Ρ‚Π΅Π»Π°: .

Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° называСтся цикличСской частотой. Найдём Π΅Ρ‘ связь с ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΈ частотой . ΠžΠ΄Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΌΡƒ колСбанию ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„Π°Π·Ρ‹, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½: , ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π°

(2)

(3)

Π˜Π·ΠΌΠ΅Ρ€ΡΠ΅Ρ‚ΡΡ цикличСская частота Π² Ρ€Π°Π΄/с (Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½ Π² сСкунду).

Π’ соотвСтствии с выраТСниями (2) ΠΈ (3) ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Π΅Ρ‰Ρ‘ Π΄Π²Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ записи гармоничСского Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π° (1):

.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (1), Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΎΡ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ гармоничСских колСбаниях, ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Ρ‘Π½ Π½Π° рис. 1.

x=Acos(\frac{\displaystyle 2\pi t }{\displaystyle T}+ \alpha), x=Acos(2 \pi \nu t + \alpha)
Рис. 1. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ

Β 

ГармоничСский Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ Π²ΠΈΠ΄Π° (1) носит самый ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€. Он ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ситуации, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° с маятником ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Π΄Π²Π° Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… дСйствия: ΠΎΡ‚ΠΊΠ»ΠΎΠ½ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π° Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ΄Π°Π»ΠΈ Π΅ΠΌΡƒ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ. Π˜ΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ΡΡ Π΄Π²Π° Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹Ρ… частных случая, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· этих дСйствий Π½Π΅ ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°Π»ΠΎΡΡŒ.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ маятник ΠΎΡ‚ΠΊΠ»ΠΎΠ½ΠΈΠ»ΠΈ, Π½ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ скорости Π½Π΅ сообщали (отпустили Π±Π΅Π· Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ скорости). Ясно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² этом случаС , поэтому ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ . ΠœΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ косинуса:

.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Π² этом случаС прСдставлСн Π½Π° рис. 2.

x=Acos \omega t
Рис. 2. Π—Π°ΠΊΠΎΠ½ косинуса

Β 

Допустим Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ маятник Π½Π΅ отклоняли, Π½ΠΎ ΡƒΠ΄Π°Ρ€ΠΎΠΌ сообщили Π΅ΠΌΡƒ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· полоТСния равновСсия. Π’ этом случаС , Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ . ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ синуса:

.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ прСдставлСн Π½Π° рис. 3.

x=Asin \omega t
Рис. 3. Π—Π°ΠΊΠΎΠ½ синуса

Β 

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ.

Β 

ВСрнёмся ΠΊ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌΡƒ гармоничСскому Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ (1). Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ это равСнство:

. (4)

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ равСнство (4):

. (5)

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ сопоставим Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (1) для ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (5) для ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ускорСния. ΠœΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ проСкция ускорСния отличаСтся ΠΎΡ‚ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ лишь ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ :

. (6)

Π­Ρ‚ΠΎ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ называСтся ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ. Π•Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΈ Π² Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅:

. (7)

C матСматичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ зрСния ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (7) являСтся Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. РСшСниями Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ слуТат Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (Π° Π½Π΅ числа, ΠΊΠ°ΠΊ Π² ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅).
Π’Π°ΠΊ Π²ΠΎΡ‚, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ:

-Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ уравнСния (7) являСтся всякая функция Π²ΠΈΠ΄Π° (1) с ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ ;

-никакая другая функция Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния Π½Π΅ являСтся.

Π˜Π½Ρ‹ΠΌΠΈ словами, ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ (6), (7) ΠΎΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ гармоничСскиС колСбания с цикличСской частотой ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΈΡ…. Π”Π²Π΅ константы ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΈΠ· Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… условий — ΠΏΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ значСниям ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΈ скорости.

ΠŸΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π½Ρ‹ΠΉ маятник.

Β 

ΠŸΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π½Ρ‹ΠΉ маятник — это Π·Π°ΠΊΡ€Π΅ΠΏΠ»Ρ‘Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π½Π° ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π΅ Π³Ρ€ΡƒΠ·, способный ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ колСбания Π² Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ.

Найдём ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΌΠ°Π»Ρ‹Ρ… Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ маятника (рис. 4). КолСбания Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΌΠ°Π»Ρ‹ΠΌΠΈ, Ссли Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° Π΄Π΅Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Ρ‹ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ мСньшС Π΅Ρ‘ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ². ΠŸΡ€ΠΈ ΠΌΠ°Π»Ρ‹Ρ… дСформациях ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌ Π“ΡƒΠΊΠ°. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Ρ‘Ρ‚ ΠΊ Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ колСбания окаТутся гармоничСскими.

Π’Ρ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€Π΅Π½Π΅Π±Ρ€Π΅Π³Π°Π΅ΠΌ. Π“Ρ€ΡƒΠ· ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ массу , ΠΆΡ‘ΡΡ‚ΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° .

ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π΅ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ равновСсия, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π° Π½Π΅ Π΄Π΅Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π°. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° Π΄Π΅Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŽ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π³Ρ€ΡƒΠ·Π°.

x=0
Рис. 4. ΠŸΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π½Ρ‹ΠΉ маятник

Β 

Π’ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π° Π³Ρ€ΡƒΠ· дСйствуСт Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ сила упругости со стороны ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Ρ‹. Π’Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π° для Π³Ρ€ΡƒΠ·Π° Π² ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ось ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄:

. (8)

Если (Π³Ρ€ΡƒΠ· смСщён Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π° рисункС), Ρ‚ΠΎ сила упругости Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Π° Π² ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡƒΡŽ сторону, ΠΈ . Наоборот, Ссли , Ρ‚ΠΎ . Π—Π½Π°ΠΊΠΈ ΠΈ всё врСмя ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹, поэтому Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ Π“ΡƒΠΊΠ° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ:

Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (8) ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄:

ΠΈΠ»ΠΈ

.

ΠœΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄Π° (6), Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ

.

ЦикличСская частота ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ маятника, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ρ€Π°Π²Π½Π°:

. (9)

ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° ΠΈ ΠΈΠ· ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ маятника:

. (10)

Если ΠΏΠΎΠ΄Π²Π΅ΡΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€ΡƒΠ· Π½Π° ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π΅, Ρ‚ΠΎ получится ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π½Ρ‹ΠΉ маятник, ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ колСбания Π² Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ. МоТно ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π² этом случаС для ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ справСдлива Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° (10).

ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ маятник.

Β 

ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ маятник — это нСбольшоС Ρ‚Π΅Π»ΠΎ, подвСшСнноС Π½Π° нСвСсомой нСрастяТимой Π½ΠΈΡ‚ΠΈ (рис. 5). ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ маятник ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ колСбания Π² Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ плоскости Π² ΠΏΠΎΠ»Π΅ силы тяТСсти.
T=2 \pi \sqrt{\frac{\displaystyle m}{\displaystyle k}}
Рис. 5. ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ маятник

Β 

Найдём ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΌΠ°Π»Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ матСматичСского маятника. Π”Π»ΠΈΠ½Π° Π½ΠΈΡ‚ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Π° . Π‘ΠΎΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²ΠΎΠ·Π΄ΡƒΡ…Π° ΠΏΡ€Π΅Π½Π΅Π±Ρ€Π΅Π³Π°Π΅ΠΌ.

Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ для маятника Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π°:

,

ΠΈ спроСктируСм Π΅Π³ΠΎ Π½Π° ось :

.

Если маятник Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π° рисункС (Ρ‚. Π΅. ), Ρ‚ΠΎ:

.

Если ΠΆΠ΅ маятник находится ΠΏΠΎ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ сторону ΠΎΡ‚ полоТСния равновСсия (Ρ‚. Π΅. ), Ρ‚ΠΎ:

.

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΏΡ€ΠΈ любом ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ маятника ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:

. (11)

Когда маятник покоится Π² ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ равновСсия, Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΎ равСнство . ΠŸΡ€ΠΈ ΠΌΠ°Π»Ρ‹Ρ… колСбаниях, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° отклонСния маятника ΠΎΡ‚ полоТСния равновСсия ΠΌΠ°Π»Ρ‹ (ΠΏΠΎ ΡΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ с Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ Π½ΠΈΡ‚ΠΈ), Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΡ‘Π½Π½ΠΎΠ΅ равСнство . Π’ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ ΠΈΠΌ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ (11):

,

ΠΈΠ»ΠΈ

.

Π­Ρ‚ΠΎ — ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄Π° (6), Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ

.

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, цикличСская частота ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ матСматичСского маятника Ρ€Π°Π²Π½Π°:

. (12)

ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ матСматичСского маятника:

. (13)

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ (13) Π½Π΅ Π²Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ масса Π³Ρ€ΡƒΠ·Π°. Π’ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ маятника, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ матСматичСского маятника Π½Π΅ зависит ΠΎΡ‚ Π΅Π³ΠΎ массы.

Π‘Π²ΠΎΠ±ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ Π²Ρ‹Π½ΡƒΠΆΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ колСбания.

Β 

Говорят, Ρ‡Ρ‚ΠΎ систСма ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ свободныС колСбания, Ссли ΠΎΠ½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎ Π²Ρ‹Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π° ΠΈΠ· полоТСния равновСсия ΠΈ Π² дальнСйшСм прСдоставлСна сама сСбС. Никаких пСриодичСских Π²Π½Π΅ΡˆΠ½ΠΈΡ…
воздСйствий систСма ΠΏΡ€ΠΈ этом Π½Π΅ испытываСт, ΠΈ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ… Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½ΠΈΡ… источников энСргии, ΠΏΠΎΠ΄Π΄Π΅Ρ€ΠΆΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… колСбания, Π² систСмС Π½Π΅Ρ‚.

РассмотрСнныС Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ колСбания ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ матСматичСского маятников ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°ΠΌΠΈ свободных ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ.

Частота, с ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ свободныС колСбания, называСтся собствСнной частотой ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ систСмы. Π’Π°ΠΊ, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ (9) ΠΈ (12) Π΄Π°ΡŽΡ‚ собствСнныС (цикличСскиС) частоты ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ матСматичСского маятников.

Π’ ΠΈΠ΄Π΅Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ситуации ΠΏΡ€ΠΈ отсутствии трСния свободныС колСбания ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π΅Π·Π°Ρ‚ΡƒΡ…Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ, Ρ‚. Π΅. ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΏΠΎΡΡ‚ΠΎΡΠ½Π½ΡƒΡŽ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρƒ ΠΈ длятся Π½Π΅ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎ Π΄ΠΎΠ»Π³ΠΎ. Π’ Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… систСмах всСгда присутствуСт Ρ‚Ρ€Π΅Π½ΠΈΠ΅, поэтому свободныС колСбания постСпСнно Π·Π°Ρ‚ΡƒΡ…Π°ΡŽΡ‚ (рис. 6).

T=2\pi \sqrt{\frac{\displaystyle l}{\displaystyle g}}
Рис. 6. Π—Π°Ρ‚ΡƒΡ…Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ колСбания

Β 

Π’Ρ‹Π½ΡƒΠΆΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ колСбания — это колСбания, ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ систСмой ΠΏΠΎΠ΄ воздСйствиСм внСшнСй силы , пСриодичСски ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‰Π΅ΠΉΡΡ Π²ΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ (Ρ‚Π°ΠΊ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΉ Π²Ρ‹Π½ΡƒΠΆΠ΄Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ силы).

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ собствСнная частота ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ систСмы Ρ€Π°Π²Π½Π° , Π° Π²Ρ‹Π½ΡƒΠΆΠ΄Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ сила зависит ΠΎΡ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠΏΠΎ гармоничСскому Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ:

.

Π’ Ρ‚Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ происходит установлСниС Π²Ρ‹Π½ΡƒΠΆΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ: систСма ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ слоТноС Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ являСтся Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Ρ‹ΡƒΠΆΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ свободных ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ. Π‘Π²ΠΎΠ±ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ колСбания постСпСнно Π·Π°Ρ‚ΡƒΡ…Π°ΡŽΡ‚, ΠΈ Π² ΡƒΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΠ²ΡˆΠ΅ΠΌΡΡ Ρ€Π΅ΠΆΠΈΠΌΠ΅ систСма ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ Π²Ρ‹Π½ΡƒΠΆΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ колСбания, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ гармоничСскими. Частота ΡƒΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΠ²ΡˆΠΈΡ…ΡΡ Π²Ρ‹Π½ΡƒΠΆΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ совпадаСт с частотой
Π²Ρ‹Π½ΡƒΠΆΠ΄Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ силы (внСшняя сила ΠΊΠ°ΠΊ Π±Ρ‹ навязываСт систСмС свою частоту).

Амплитуда ΡƒΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΠ²ΡˆΠΈΡ…ΡΡ Π²Ρ‹Π½ΡƒΠΆΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ зависит ΠΎΡ‚ частоты Π²Ρ‹Π½ΡƒΠΆΠ΄Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ силы. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ этой зависимости ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ Π½Π° рис. 7.

\omega
Рис. 7. РСзонанс

Β 

ΠœΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π±Π»ΠΈΠ·ΠΈ частоты наступаСт рСзонанс — явлСниС возрастания Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρ‹ Π²Ρ‹Π½ΡƒΠΆΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ. РСзонансная частота ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΡ‘Π½Π½ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½Π° собствСнной частотС ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ систСмы: , ΠΈ это равСнство выполняСтся Ρ‚Π΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Π΅Π΅, Ρ‡Π΅ΠΌ мСньшС Ρ‚Ρ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² систСмС. ΠŸΡ€ΠΈ отсутствии трСния рСзонансная частота совпадаСт с собствСнной частотой ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ, , Π° Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ возрастаСт Π΄ΠΎ бСсконСчности ΠΏΡ€ΠΈ .

Β 

Как ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ скорости

  1. ΠžΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅
  2. Наука
  3. Π€ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ°
  4. Как ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ скорости

Π‘Ρ‚ΠΈΠ²Π΅Π½ Π₯ΠΎΠ»ΡŒΡ†Π½Π΅Ρ€

Π’ Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° колСсо вращаСтся, ΠΎΠ½ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΡƒΡŽ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Π½ΠΎ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π’ΠΎΡ‚ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ Π²Π°ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ скорости:

  • Π Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ скорости Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ Π²Π°ΠΌ ΠΎΠ± ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ скорости.

  • НаправлСниС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ Π²Π°ΠΌ ΠΎΠ± оси вращСния, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, Π²Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ происходит ΠΏΠΎ часовой стрСлкС ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² часовой стрСлки.

Π‘ΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ колСсо ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΡΡ‚ΠΎΡΠ½Π½ΡƒΡŽ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΡƒΡŽ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ,

ΠœΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π»ΠΈ Π²Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π΅Π³ΠΎ угловая ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ,

Π±Π°Π»Π»ΠΎΠ²? Он Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π° ΠΎΠ±ΠΎΠ΄ колСса, ΠΊΠ°ΠΊ это Π΄Π΅Π»Π°Π΅Ρ‚ Ρ‚Π°Π½Π³Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡƒΡŽ сСкунду. ЀактичСски, СдинствСнный Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ для Π΅Π³ΠΎ направлСния — пСрпСндикулярно колСсу.

НаправлСниС ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ скорости всСгда застаСт людСй врасплох: угловая ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ,

Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ вдоль оси колСса (ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ Π½Π° рисункС).

Угловая ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, пСрпСндикулярном колСсу.

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ скорости ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½ Π΄Π΅Π»Π°Π΅Ρ‚, ΠΎΠ½ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Π° вдоль колСса. КолСсо вращаСтся, поэтому Ρ‚Π°Π½Π³Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ (линСйная) ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² любой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ колСса постоянно мСняСт Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ — Π·Π° ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ самой Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ колСса, Π³Π΄Π΅ находится основаниС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ скорости.Если колСсо Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π½Π° Π·Π΅ΠΌΠ»Π΅ Ρ€ΠΎΠ²Π½ΠΎ, Π³ΠΎΠ»ΠΎΠ²Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Π° ​​ввСрх ΠΈΠ»ΠΈ Π²Π½ΠΈΠ· ΠΎΡ‚ колСса Π² зависимости ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Π² ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ вращаСтся колСсо.

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ Ρ€ΡƒΠΊΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ для опрСдСлСния направлСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ скорости. ΠžΠ±Π΅Ρ€Π½ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΡƒΡŽ Ρ€ΡƒΠΊΡƒ Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ колСса Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ваши ΠΏΠ°Π»ΡŒΡ†Ρ‹ ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π»ΠΈ Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ‚Π°Π½Π³Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ двиТСния Π² любой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ — ΠΏΠ°Π»ΡŒΡ†Ρ‹ Π½Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ Ρ€ΡƒΠΊΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π΄Π²ΠΈΠ³Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π²Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ колСса. Когда Π²Ρ‹ ΠΎΠ±ΠΎΡ€Π°Ρ‡ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΡƒΡŽ Ρ€ΡƒΠΊΡƒ Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ колСса, большой ΠΏΠ°Π»Π΅Ρ† ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ скорости,

На рисункС ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ колСсо, Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π΅ Ρ€ΠΎΠ²Π½ΠΎ ΠΈ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€Π°Ρ‡ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰Π΅Π΅ΡΡ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² часовой стрСлки, Ссли ΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ свСрху.ΠžΠ±Π΅Ρ€Π½ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Π»ΡŒΡ†Ρ‹ Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ вращСния. Π’Π°Ρˆ большой ΠΏΠ°Π»Π΅Ρ†, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ прСдставляСт Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ скорости, ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ…; ΠΎΠ½ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ вдоль оси колСса. Если Π±Ρ‹ вмСсто этого колСсо ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€Π°Ρ‡ΠΈΠ²Π°Π»ΠΎΡΡŒ ΠΏΠΎ часовой стрСлкС, ваш большой ΠΏΠ°Π»Π΅Ρ† — ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ — Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Π»ΠΈ Π±Ρ‹ ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π²Π½ΠΈΠ·, Π² ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ.

Об Π°Π²Ρ‚ΠΎΡ€Π΅ ΠΊΠ½ΠΈΠ³ΠΈ

Π‘Ρ‚ΠΈΠ²Π΅Π½ Π₯ΠΎΠ»ΡŒΡ†Π½Π΅Ρ€, Π΄ΠΎΠΊΡ‚ΠΎΡ€ философии, Π±Ρ‹Π» отвСтствСнным Ρ€Π΅Π΄Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π² PC Magazine ΠΈ ΠΏΡ€Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π°Π²Π°Π» Π² MIT ΠΈ ΠšΠΎΡ€Π½Π΅Π»Π»ΡŒΡΠΊΠΎΠΌ унивСрситСтС.Он написал Π€ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ° II для Ρ‡Π°ΠΉΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² , Π€ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ° основы для Ρ‡Π°ΠΉΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΈ ΠšΠ²Π°Π½Ρ‚ΠΎΠ²Π°Ρ Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ° для Ρ‡Π°ΠΉΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² .

,
с ++ — ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ скорости, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠΉ для Ρ€Π΅Π³ΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ ΠΎΡ€ΠΈΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π° основС ΠΊΠ²Π°Ρ‚Π΅Ρ€Π½ΠΈΠΎΠ½ΠΎΠ² ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ стСка
  1. Π’ΠΎΠ²Π°Ρ€Ρ‹
  2. ΠšΠ»ΠΈΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹
  3. Π‘Π»ΡƒΡ‡Π°ΠΈ использования
  1. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ стСка ΠŸΡƒΠ±Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ вопросы ΠΈ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρ‹
  2. ΠšΠΎΠΌΠ°Π½Π΄Ρ‹ ЧастныС вопросы ΠΈ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρ‹ для вашСй ΠΊΠΎΠΌΠ°Π½Π΄Ρ‹
  3. прСдприятиС ЧастныС вопросы ΠΈ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρ‹ для вашСго прСдприятия
  4. Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ ΠŸΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ связанныС с Π½ΠΈΠΌ тСхничСскиС возмоТности ΠΊΠ°Ρ€ΡŒΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ роста
  5. Π’Π°Π»Π°Π½Ρ‚ ΠΠ°Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ тСхничСский Ρ‚Π°Π»Π°Π½Ρ‚
  6. Ρ€Π΅ΠΊΠ»Π°ΠΌΠ° Π‘Π²ΡΠ·Π°Ρ‚ΡŒΡΡ с Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‡ΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΏΠΎ всСму ΠΌΠΈΡ€Ρƒ
.

Π’Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅, крутящий ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚, прСцСссия


Π­Ρ‚Π° дСмонстрация, Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ показанная Π² ΠΌΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΠΌΠ΅Π΄ΠΈΠΉΠ½ΠΎΠΌ руководствС ΠΏΠΎ Π²Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΡŽ, ΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΊΠΈΠ½Π΅Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ ΡΠ½Π΅Ρ€Π³ΠΈΡŽ вращСния . ΠœΠ΅Π΄Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ катится Π½Π° Π΄Π²ΡƒΡ… Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π½Ρ‹Ρ… Ρ€Π΅Π»ΡŒΡΠ°Ρ…, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Π΄Π΅Ρ€ΠΆΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ Π΅Π³ΠΎ, контактируя с Π΅Π³ΠΎ ΡˆΠ°Ρ…Ρ‚ΠΎΠΉ. Π’ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° ΠΎΠ½ достигаСт Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π΄ΠΎΡ€ΠΎΠΆΠΊΠΈ, ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΎΠ½ катится ΠΏΠΎ ΠΊΡ€Π°ΡŽ.Π­Ρ‚ΠΎ происходит ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ t = 4 с Π½Π° ΠΊΠ»ΠΈΠΏΠ΅.

Π’Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΊΠΈ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚, ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅ΠΊΠΎ ΠΎΠ½ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡƒΡŽ сСкунду. Π‘ΠΏΡƒΡΠΊΠ°ΡΡΡŒ ΠΏΠΎ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΡƒ, ΠΎΠ½ ΠΏΠ»Π°Π²Π½ΠΎ ускоряСтся. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ Π²Π½Π΅Π·Π°ΠΏΠ½ΠΎ ускоряСтся, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° достигаСт Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π΄ΠΎΡ€ΠΎΠΆΠΊΠΈ. Π­Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ΡƒΠ΄ΠΈΠ²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ: ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π° ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠΊΠ° двиТСтся быстрСС, Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π²Π°Π»Π° (см. ΠŸΡ€ΠΎΠΊΠ°Ρ‚ΠΊΡƒ). Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠΊΠ° соприкасаСтся с Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π΄ΠΎΡ€ΠΎΠΆΠΊΠΎΠΉ, ΠΎΠ½Π° ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π° Π½Π΅Π΅ силу трСния. Π’Ρ€Π°ΠΊΡ‚ ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π½ΡƒΡŽ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡƒΡŽ силу, которая ускоряСт Π΅Π³ΠΎ.

Π­Ρ‚ΠΎ Π²Π½Π΅Π·Π°ΠΏΠ½ΠΎΠ΅ ускорСниС ΠΏΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎ энСргии: Π³Π΄Π΅ ΠΎΠ½ΠΎ Ρ…Ρ€Π°Π½ΠΈΠ»ΠΎΡΡŒ?

Когда быстро двиТущийся ΠΊΡ€Π°ΠΉ соприкасался с Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π΄ΠΎΡ€ΠΎΠΆΠΊΠΎΠΉ, Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ кинСтичСской энСргии прСобразуСтся Π² ΠΏΠΎΡΡ‚ΡƒΠΏΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΊΠΈΠ½Π΅Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ ΡΠ½Π΅Ρ€Π³ΠΈΡŽ: Π½Π° Π΄ΠΎΡ€ΠΎΠΆΠΊΠ΅ уровня ΠΎΠ½Π° двиТСтся быстрСС, Π½ΠΎ вращаСтся ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ быстро. (Однако нСкоторая кинСтичСская энСргия Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ тСряСтся, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π²ΠΎ врСмя этого процСсса Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΡΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ скольТСниС, поэтому Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ энСргии тСряСтся. Π‘ΠΌ. Π Π°Π·Π΄Π΅Π» ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Π°ΠΊΡ‚Π½Ρ‹Ρ… силах.)

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ количСствСнный.

ΠšΠΈΠ½Π΅Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ энСргия вращСния

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΠΌ Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠ΅ Ρ‚Π΅Π»ΠΎ, Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰Π΅Π΅ΡΡ с ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Ο‰, ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ Π—Π΅ΠΌΠ»Π΅ Π½Π° этом рисункС. ΠœΡ‹ΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎ, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ это Π½Π° ΠΊΠΎΠ»Π»Π΅ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΌΠ°Π»Π΅Π½ΡŒΠΊΠΈΡ… масс. Π§Ρ‚ΠΎ касаСтся оси вращСния, СдинствСнная масса m Π½Π° радиусС r двиТСтся со ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ

(Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° этом этапС.) Π•Π³ΠΎ кинСтичСская энСргия составляСт Β½ mv 2 . Π’Π°ΠΊ Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ прСдставим, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ дСлится Π½Π° мноТСство масс m ΠΈ Π½Π° расстоянии r ΠΈ ΠΎΡ‚ оси. ΠšΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ v i = r i Ο‰, Π³Π΄Π΅ Ο‰ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ для всСх масс, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ являСтся (ΠΏΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡŽ) ТСстким. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, полная кинСтичСская энСргия вращСния

    K гниль = Ξ£ K i = Ξ£ Β½ ΠΌ i r i 2 Ο‰ 2

, Π³Π΄Π΅ суммированиС ΠΏΠΎ всСм я.Β½ Ο‰ 2 являСтся ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΌ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ Ρ‡Π»Π΅Π½Π΅ суммы, поэтому

Π­Ρ‚ΠΎ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ для Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π° дискрСтных масс, ΠΌ ΠΈ . Для сплошного Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΌΡ‹ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ Π½Π° малСнькиС элСмСнты объСма, dV. (Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ исчислСниС.) Из опрСдСлСния плотности ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ массу

ВмСсто ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ суммирования ΠΌΡ‹ Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» (эквивалСнт суммирования для ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΠΌΠ°Π»Π΅Π½ΡŒΠΊΠΈΡ… Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ), ΠΈ ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ

ΠΈ Π³Π΄Π΅ интСграция ΠΏΠΎ всСму ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΌΡƒ, занятому Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄Ρ‹ΠΌ Ρ‚Π΅Π»ΠΎΠΌ.

    Π‘Ρ‚ΡƒΠ΄Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ часто ΡΠΏΡ€Π°ΡˆΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ Π½Π° этом этапС: Β«Π― знаю, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· x, y ΠΈ Ρ‚. Π”., Но ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠ½Π΅ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ массовых ?Β» ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, ρ. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ распрСдСлСниС массы, Π²Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ρ ( r ) ΠΈΠ»ΠΈ ρ (x, y, z). Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΌΡ‹ рассмотрим нСбольшой элСмСнт объСма dV ΠΈ напишСм dm = ρ.dV. Если Π±Ρ‹ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ ΠΈΠΌΠ΅Π» ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡŽ, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π±Ρ‹ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ dV ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΡƒΠ± со сторонами dx, dy ΠΈ dz ΠΈ Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€,
    дм = ρ.dV.z = ρ.dx.dy.dz.
    Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΌΡ‹ просто ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°Ρ… x, y ΠΈ z, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌΡ‹ΠΉ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚. Однако для сфСры ΠΈΠ»ΠΈ сплошного Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° (ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΈΡ… осСй) элСмСнты объСма Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ собой ΠΏΠΎΠ»Ρ‹Π΅ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Ρ‹ Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ оси, ΠΈ интСграция Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠ΄Ρ‚ΠΈ ΠΎΡ‚ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠ³ΠΎ радиуса ΠΊ радиусу сфСры.

    Π’ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π½ΠΈΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€ΡƒΡ‡Π° ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ: вся масса находится Π½Π° расстоянии r, поэтому I = mr 2 . Π’ этом случаС диск Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ своСй оси ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°Π±ΠΎΡ€ ΠΎΠ±Ρ€ΡƒΡ‡Π΅ΠΉ, каТдая ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΠ»Ρ‰ΠΈΠ½Ρƒ t ΠΈ ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Ρƒ dr ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ массу dm = ρdV = ρ.2Ο€t.r.dr. Π‘Ρ„Π΅Ρ€Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°Π±ΠΎΡ€ дисков с Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹ΠΌΠΈ радиусами. ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΈ диск ΠΎ Π΅Π³ΠΎ Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π΅ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°Π±ΠΎΡ€ стСрТнСй. Π’ Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠ½ΡΡ‚Π²Π΅ ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠΎΠ² Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹. Π― скоро Π²Ρ‹Π»ΠΎΠΆΡƒ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ здСсь, Π½ΠΎ ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΡƒ это, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½ΠΎ ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΡƒ Π² html!

ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ

Π’ΠΎΡ‚ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ случаи, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹Ρ‚Π΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ ΠΈΠ· ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΎΠ², упомянутых Π²Ρ‹ΡˆΠ΅.

ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΊΠ°Ρ‚ΠΊΠΈ

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· Π·Π°Π³Π°Π΄ΠΎΠΊ, прСдставлСнных Π² ΠΌΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΠΌΠ΅Π΄ΠΈΠΉΠ½ΠΎΠΌ ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ΅.Π”Π²Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Π±Π°Π½ΠΊΠΈ, ΠΎΠ΄Π½Π° полная Π²ΠΎΠ΄Ρ‹ (низкая Π²ΡΠ·ΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ) ΠΈ ΠΎΠ΄Π½Π° полная ΠΌΠ΅Π΄Π° (высокая Π²ΡΠ·ΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ). Какой ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… катится быстрСС? ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Π΄ Ρ‚Π΅ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ Π·Π°ΠΏΡƒΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΈΠ»ΡŒΠΌ, Π·Π°Π΄Π°ΠΉΡ‚Π΅ сСбС ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ вопросы: Ссли ΠΈΡ… вСс ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ², Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ± ΠΈΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ энСргии? Когда ΠΎΠ½ΠΈ достигнут Π΄Π½Π°, Ρƒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ большС Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ кинСтичСской энСргии? И поэтому, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ большС ΠΏΠΎΡΡ‚ΡƒΠΏΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ кинСтичСской энСргии?

Π’Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π² состоянии ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ ΠΈ значСния ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ, ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠ½ΡΡ‚Π²Π° Β«Π³ΠΎΠ½ΠΎΠΊΒ», ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Π½ΠΈΠΆΠ΅.Но сначала ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠΏΡ€ΠΎΡΠΈΡ‚ΡŒ, Π²Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π»ΠΈ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ Π² Π½Π΅Π³ΠΎ, Π»ΠΈΠ±ΠΎ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· радиус, Π»ΠΈΠ±ΠΎ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· массу. Клип Π½ΠΈΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π΄Π²Π° Π°Π»ΡŽΠΌΠΈΠ½ΠΈΠ΅Π²Ρ‹Ρ… диска Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ², Π½ΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ массы. Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ Π³ΠΎΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ диском (сплошной Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€) ΠΈ ΠΏΠΎΠ»Ρ‹ΠΌ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€ΠΎΠΌ. Бплошная сфСра (Π±ΠΈΠ»ΡŒΡΡ€Π΄Π½Ρ‹ΠΉ ΡˆΠ°Ρ€) ΠΈ сплошной диск (ΠΈΠ· алюминия). И, Π½Π°ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†, сфСры Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² ΠΈ масс. (Π΄Π²Π° ΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡˆΠ°Ρ€ΠΈΠΊΠ°)
Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ смСщСниС, ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ ускорСниС для Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ двиТСния с постоянным ускорСниСм (слСва) ΠΈ для ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ двиТСния с постоянным ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ ускорСниСм.ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΎ для ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠΈ, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π²Ρ‹Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Π½ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ уравнСния (ΠΈ пСрСсмотрим Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» ΠΊΠΈΠ½Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ, Ссли это выглядит слоТно!) Если ΠΌΡ‹ рассмотрим Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ с постоянным ускорСниСм ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ξ± = dΟ‰ / dt, ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ
    Ο‰ = ∫ Ξ± dt = Ξ±t + Ο‰ 0
А ΠΈΠ· Ο‰ = dΞΈ / dt ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ снова ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ:
    ΞΈ = ∫ Ο‰ dt = Β½Ξ±t 2 + Ο‰t + ΞΈ 0
Из Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ t, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ
    Ο‰ 2 — Ο‰ 0 2 = 2Ξ± (ΞΈ — ΞΈ 0 ).
Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ уравнСния, ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ уравнСниям Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠΈΠ½Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ:
    Ο‰ = Ο‰ 0 + Ξ±t ΠΈ ΞΈ = ΞΈ 0 + Ο‰ 0 t + Β½Ξ±t 2 ΠΈ Ο‰ 2 — Ο‰ 0 2 = 2Ξ± (ΞΈ — ΞΈ 0 )
    v = v 0 + Π² ΠΈ s = s 0 + v 0 t + Β½at 2 ΠΈ v 2 — v 0 2 = 2a (с — s 0 ) ,

Как ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄Π΅Π»ΠΈ Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅, силы Π²Ρ‹Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ускорСния.Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ‡Ρ‚ΠΎ-Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Π½ΡƒΡ‚ΡŒ, ΠΌΡ‹ примСняСм крутящий ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚. Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΌΡ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ объясним, ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ это ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ. ПозТС ΠΌΡ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ»Π½ΡƒΡŽ аналогию с Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π°ΠΌΠΈ ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π° для Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ двиТСния.

ΠšΡ€ΡƒΡ‚ΡΡ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Ο„ опрСдСляСтся

, Π³Π΄Π΅ сила F дСйствуСт Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, смСщСнной Π½Π° r ΠΎΡ‚ оси. Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° крутящСго ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° опрСдСляСтся ΠΊΠ°ΠΊ

Π³Π΄Π΅ ΞΈ — ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ r ΠΈ F .(Π’ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Π²Π°ΠΌ придСтся Π²Π·Π³Π»ΡΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ Π½Π° Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» пСрСкрСстных ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚ΠΎΠ² Π½Π° страницС ΠΏΠΎΠ΄Π΄Π΅Ρ€ΠΆΠΊΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ².) Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΌΡ‹ обсудим Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅.

На фотографиях справа ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ‹ Ρ‚Ρ€ΠΈ способа использования Π³Π°Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°. Π’ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΏΠ°Ρ€Π΅ ΠΌΡ‹ сравниваСм нСбольшоС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ r (ΠΌΠ°Π»Ρ‹ΠΉ крутящий ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚) с большим r ΠΈ большим Ο„. Π’ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΌΡ‹ сравниваСм ΞΈ = ноль ΠΈ ΞΈ = 90. Π’ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ случаС крутящий ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ. Из ΠΎΠΏΡ‹Ρ‚Π° Π²Ρ‹ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для получСния максимального крутящСго ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° Π²Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½Ρ‹ большиС r, ΞΈ = 90 ΠΈ большиС F.

    ΠšΡ€ΡƒΡ‚ΡΡ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ извСстСн ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ силы ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° просто ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚.r sin ΞΈ называСтся ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ€ΡƒΠΊΠΎΠΉ.

Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΈΠΉ Π½Π°Π±ΠΎΡ€ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌ справа ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ крутящСго ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΎΡ‚ ΡƒΠ³Π»Π° ΞΈ. ΠœΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ крутящий ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π΅Ρ‚, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰Π°Ρ F ΠΏΠΎΠ΄ прямым ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΊ ​​ r являСтся максимальной, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΞΈ = 90 Β°. Π¦Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Ρ‚Π°Π½Π³Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ F , ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ являСтся F sin ΞΈ.

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅

ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€ΠΏΡ€Π΅Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ двумя Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ способами, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… рисунках:
    Ο„ = r (F sin ΞΈ) ΠΈΠ»ΠΈ Ο„ = F (r sin ΞΈ).
ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ r, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½Π° Ρ‚Π°Π½Π³Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΡƒΡŽ F (Π»Π΅Π²Ρ‹ΠΉ эскиз ΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅), ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ F ΠΊΡ€Π°Ρ‚Ρ‡Π°ΠΉΡˆΠ΅Π΅ расстояниС (r sin ΞΈ) ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ осью ΠΈ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠ΅ΠΉ, вдоль ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ дСйствуСт F ( ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ эскиз ΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅).
ΠšΡ€ΡƒΡ‚ΡΡ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ — это Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€
ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ο„ = r X F Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ο„ . Он находится ΠΏΠΎΠ΄ прямым ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΊ ​​ r ΠΈ F Π² правостороннСм смыслС: Ссли Π²Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ большой ΠΏΠ°Π»Π΅Ρ† ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ Ρ€ΡƒΠΊΠΈ Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ r ΠΈ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠ°Π»Π΅Ρ† Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ F , ваш ΠΏΡ€Π°Π²Ρ‹ΠΉ срСдний ΠΏΠ°Π»Π΅Ρ† ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Ο„ .Вторая фотография ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ крутящий ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Ο„ , создаваСмый натяТСниСм Π² струнС Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ оси шкива.

Π’ ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ΅ ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄Π΅Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‹ ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π° для Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ двиТСния ΠΎΠ±ΡŠΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ

Π‘ΠΈΠ»Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‚Π΅Π½Π΄Π΅Π½Ρ†ΠΈΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ускорСниС, Π° масса сопротивляСтся Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΌΡƒ ΡƒΡΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΡŽ. Для вращСния крутящий ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‚Π΅Π½Π΄Π΅Π½Ρ†ΠΈΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ускорСниС, Π° ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ противостоит ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΌΡƒ ΡƒΡΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΡŽ .Учитывая Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π²Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π²ΠΈΠΆΠ½ΠΎΠΉ оси, ΠΌΡ‹ записываСм Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π° для ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ двиТСния ΠΊΠ°ΠΊ

Π’ этих ΠΏΠ»Π΅Π½ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠ»ΠΈΠΏΠ°Ρ… ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… крутящих ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² Ο„, приводящих ΠΊ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ ускорСниям Ξ± для ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ² с ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ I. Π₯отя ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈ Ρ‚Π° ΠΆΠ΅ масса ΠΏΡ€ΠΈΠΊΡ€Π΅ΠΏΠ»Π΅Π½Π° ΠΊ струнС, силы Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹: сила Π² ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ справа Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ мСньшС, Ρ‡Π΅ΠΌ слСва. (Π’Ρ‹ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚Π΅, ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ? ΠŸΠΎΠ΄ΡƒΠΌΠ°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΎΠ± ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ двиТСния для нисходящСй массы.)

НСсмотря Π½Π° нСсколько ΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΡƒΡŽ силу Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ случаС, большСС смСщСниС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ прилоТСния ΠΎΡ‚ оси ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² этом случаС крутящий ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ большС, ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΎΠ½ Π²Ρ‹Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ большСС ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ускорСниС.

Π’ этих ΠΊΠ»ΠΈΠΏΠ°Ρ… ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ эффСкт , ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ . ΠžΠΏΡΡ‚ΡŒ ΠΆΠ΅, хотя ΠΊ струнС ΠΏΡ€ΠΈΠΊΡ€Π΅ΠΏΠ»Π΅Π½Π° ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈ Ρ‚Π° ΠΆΠ΅ масса, силы Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹, Π½ΠΎ Π² этом ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅. Π’ этих Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… случаях радиус, Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ дСйствуСт сила, ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ², поэтому крутящиС ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹.

Π’ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ Ρ„ΠΈΠ»ΡŒΠΌΠ΅ вращаСтся алюминиСвая Ρ‚Ρ€ΡƒΠ±Π°.Π’ΠΎ-Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ…, массы привязаны ΠΊ Π½Π΅ΠΌΡƒ, увСличивая Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ. Π‘ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠ°Ρ масса, большС I, мСньшС Ξ±. Бравнивая Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΡŽ ΠΏΠ»Π΅Π½ΠΊΠΈ, ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ масса, Π½ΠΎ ΠΈ распрСдСлСниС массы ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ: ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° массы находятся Π½Π° Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΡ… радиусах, I большС, Π° Ξ± мСньшС.


Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ экспСримСнт ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ оси Π² ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ.Π― Π½Π°ΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄ΡƒΡŽ Π΄Π°Ρ‚ΡŒ Π²Π°ΠΌ ΠΏΠΎΡ‡ΡƒΠ²ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ο„ = IΞ±. ΠœΡ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ уравнСния для I, ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ ΡΡ‚Π΅Ρ€ΠΆΠ΅Π½ΡŒ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ массу m, радиус r ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ L. По ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΊ Π΄Π»ΠΈΠ½Π½ΠΎΠΉ оси стСрТня Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρƒ диска, Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ составляСт всСго I , = 2 /2. (ЀактичСски, возмущСния I ΠΈΠ·-Π·Π° Π΅Π³ΠΎ ΠΈΠ·Π³ΠΈΠ±Π° большС, Ρ‡Π΅ΠΌ это.) О Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ оси, I , Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ = ml 2 /12. О ΠΏΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ оси Π½Π° ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ I ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ† = ΠΌΠ» 2 /3.ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ L ~ 50 * r, это ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ сильно влияСт Π½Π° (ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅) ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ ускорСния, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ я ΠΌΠΎΠ³Ρƒ ΠΎΠ±Π΅ΡΠΏΠ΅Ρ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π² направлСниях, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… стрСлками. (ВСрсия Ρ„ΠΈΠ»ΡŒΠΌΠ° находится Π² ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ΅.)

ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ ΡΡ‚Π΅Ρ€ΠΆΠ΅Π½ΡŒ ΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ‚ быстрСС ΡˆΠ°Ρ€Π°? Или это вопрос с ΠΏΠΎΠ΄Π²ΠΎΡ…ΠΎΠΌ?

Π­Ρ‚Π° малСнькая дСмонстрация — Π·Π°Π³Π°Π΄ΠΊΠ°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ я ΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡŽ Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŽ.Однако для Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° я нарисовал Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡƒ.

ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠΌΠΏΡƒΠ»ΡŒΡΠ°: Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‹ ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π° для вращСния

Π£Π³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ L частицы с ΠΈΠΌΠΏΡƒΠ»ΡŒΡΠΎΠΌ p смСщСн Π½Π° r ΠΎΡ‚ оси вращСния L = r X Ρ€ . Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ возьмСм ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ

    Π΄ Π» / Π΄Ρ‚ = Π΄ / Π΄Ρ‚ ( Ρ€ Ρ… Ρ€ ) = Π΄ Ρ€ / Π΄ Ρ… Ρ€ + Ρ€ Ρ… Π΄ Ρ€ / Π΄Ρ‚

Если ось вращСния фиксирована, Ρ‚ΠΎ d r / dt Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ v , Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ p , поэтому ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ справа Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ.Π’Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π° для Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ двиТСния устанавливаСт ΠΎΠ±Ρ‰ΡƒΡŽ силу F , Ρ€Π°Π²Π½ΡƒΡŽ d p / dt, поэтому Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ справа составляСт r X F . ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ этого ΠΊ Π²Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΈ использованиС опрСдСлСния ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΈΠΌΠΏΡƒΠ»ΡŒΡΠ° L ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ крутящий ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ r X F , ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ являСтся ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ крутящСго ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° Ο„ . Π’Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΌ Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΡƒΡŽ аналогию ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΈ Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ:

    F = 9009 Ρ€ / Ρ‚ ΠΈ Ρ‚ = Π» / Ρ‚

Как слСдствиС, , Ссли внСшниС ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠΌΠΏΡƒΠ»ΡŒΡΠ° сохраняСтся .

ΠŸΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° Π΄Π΅ΠΌΠΎΠ½ΡΡ‚Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡŽ Π² ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΌ Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½Π΅ΠΌ ΡƒΠ³Π»Ρƒ. Π‘Ρ‚ΡƒΠ» вращаСтся свободно, прСдполагая, Ρ‡Ρ‚ΠΎ внСшниС крутящиС ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ Π½Π΅Π²Π΅Π»ΠΈΠΊΠΈ. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, вопросы: ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° я Ρ€ΠΈΡΡƒΡŽ Π½Π° Ρ€ΡƒΠΊΠ°Ρ…,

  • Ρ‡Ρ‚ΠΎ происходит с ΠΌΠΎΠΈΠΌ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠΌ?
  • Ρ‡Ρ‚ΠΎ происходит с ΠΌΠΎΠ΅ΠΉ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ?
  • Ρ‡Ρ‚ΠΎ происходит с ΠΌΠΎΠ΅ΠΉ кинСтичСской энСргиСй?

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ I Π”ΠΆΠΎ = MK 2 , Π³Π΄Π΅ я ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΈΠ²Π°ΡŽ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ k, ΠΌΠΎΠΉ радиус вращСния, составляСт ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ 0.15 ΠΌ. Моя масса 70 ΠΊΠ³ Ρ‚Π°ΠΊ

    I Π”ΠΆΠΎ = ΠΌΠΊ 2 ~ (70 ΠΊΠ³) (0,15 ΠΌ) 2 β‰… 1,6 ΠΊΠ³.ΠΌ 2

Масса, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ я Π΄Π΅Ρ€ΠΆΡƒ, составляСт 2,2 ΠΊΠ³ каТдая. Они находятся Π½Π° расстоянии ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ 0,8 ΠΌ ΠΎΡ‚ оси вращСния, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΠΎΠΈ Ρ€ΡƒΠΊΠΈ вытянуты, ΠΈ ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ 0,15 ΠΌ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΠΎΠΈ Ρ€ΡƒΠΊΠΈ втянуты. Π’ этих условиях ΠΈΡ… ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚

.
    I ΠΌ = Π³-Π½ 2 ~ (2,2 ΠΊΠ³) (0,8 ΠΌ) 2 β‰… 1,4 ΠΊΠ³.ΠΌ 2 (вытянув Ρ€ΡƒΠΊΠΈ) ΠΈ
    I ΠΌ = Π³-Π½ 2 ~ (2.2 ΠΊΠ³) (0,2 ΠΌ) 2 β‰… 0,1 ΠΊΠ³.ΠΌ 2 (Π² Ρ€ΡƒΠΊΠ°Ρ…).

ΠŸΡ€Π΅Π½Π΅Π±Ρ€Π΅Π³Π°Ρ внСшними ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°ΠΌΠΈ

    L Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ = L конСчная

Для этого Π³Ρ€ΡƒΠ±ΠΎΠ³ΠΎ расчСта, ΠΏΡ€Π΅Π½Π΅Π±Ρ€Π΅Ρ‡ΡŒ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°ΠΌΠΈ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΈΡ… Ρ€ΡƒΠΊ ΠΈ стула, ΠΈ Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ

    (I Π”ΠΆΠΎ + 2I ΠΌ ) Ο‰ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ~ (I Π”ΠΆΠΎ + 2I ‘ ΠΌ ) Ο‰ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΉ

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ο‰ , конСчная / Ο‰ , Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ составляСт ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ (I Π”ΠΆΠΎ + 2I ΠΌ ) / (I Π”ΠΆΠΎ + 2I ‘ ΠΌ ) ~ 2.Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ это, рассчитав ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Ρ‹ с ΠΎΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ΅ΠΌ Π² Π΄Π²ΡƒΡ… позициях (ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ я даю ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌΠΎΠΉ Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Π΅.

А ΠΊΠ°ΠΊ насчСт кинСтичСской энСргии? K = Β½IΟ‰ 2 . Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ L = IΟ‰, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ это ΠΊΠ°ΠΊ K = Β½LΟ‰. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Π² этом случаС моя кинСтичСская энСргия увСличиваСтся ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ Π² 2 Ρ€Π°Π·Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° я Ρ€ΠΈΡΡƒΡŽ Π½Π° Ρ€ΡƒΠΊΠ°Ρ…. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, вопрос для вас: ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ моя мСханичСская энСргия Π½Π΅ сохраняСтся?

ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠΌΠΏΡƒΠ»ΡŒΡΠ° ΠΏΡ€ΠΈ столкновСниях

Π’ этом ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ Π² мяч Π±Ρ€ΠΎΡˆΠ΅Π½ справа ΠΎΡ‚ ΠΌΠΎΠ΅ΠΉ оси, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ (Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ) оси, Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ крСсло ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Ρ‚ΡŒΡΡ.Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΏΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΊ этой оси ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠΌΠΏΡƒΠ»ΡŒΡΠ° ΡˆΠ°Ρ€Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ½ Π±Ρ€ΠΎΡˆΠ΅Π½ ΠΌΠ½Π΅, Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ Π²Π½ΠΈΠ· (ΠΈΠ»ΠΈ, Ссли Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅, ΠΏΠΎ часовой стрСлкС, Ссли ΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ свСрху).

Рассмотрим ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠΌΠΏΡƒΠ»ΡŒΡΠ° мСня, стула ΠΈ мяча, всС Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ этой оси. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ крСсло Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ поворачиваСтся ΠΏΠΎ этой оси, внСшний крутящий ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ (Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· подшипники крСсла) Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π½Π΅Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΈΠΌΠΏΡƒΠ»ΡŒΡ, поэтому ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ этой оси сохраняСтся: послС (ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ нСэластичного) столкновСния ΠΌΡ‹ поворачиваСмся вмСстС.

Π’ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ столкновСнии я Π±Ρ€ΠΎΡΠ°ΡŽ мяч, давая Π΅ΠΌΡƒ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠΌΠΏΡƒΠ»ΡŒΡΠ° (всСгда ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ оси), ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… (ΠΈΠ»ΠΈ, Ссли Π²Ρ‹ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅Ρ‚Π΅, ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² часовой стрСлки).Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ являСтся ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠ΅Π³ΠΎ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π²Π½ΠΈΠ·.

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡƒΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎ бСзопасности: Π±Ρ€ΠΎΡˆΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ мяч Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠΌΠΏΡƒΠ»ΡŒΡΠ° Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ оси Π½Π° ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ»Π°. Если Π΅Π³ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ достаточно высокоС, это ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ привСсти ΠΊ ΠΎΠΏΡ€ΠΎΠΊΠΈΠ΄Ρ‹Π²Π°Π½ΠΈΡŽ крСсла Π½Π°Π·Π°Π΄. Π’Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ бросайтС это сильно.

Гироскопы

Гироскоп состоит ΠΈΠ· ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π° с сущСствСнным ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠΌ — Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ достаточно большой ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ ΠΈ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ вращаСтся с большой ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ.Он часто ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΊΠ°Ρ€Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΊΡ€Π΅ΠΏΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС: Π΅Π³ΠΎ ось установлСна ​​с Π½ΠΈΠ·ΠΊΠΈΠΌ крутящим ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠΌ трСния Π² Ρ€Π°ΠΌΠ΅ с осью ΠΏΠΎΠ΄ прямым ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΊ ​​нСму, ΠΈ это ΠΊΡ€Π΅ΠΏΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ смонтировано Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ Ρ€Π°ΠΌΠ΅, ось ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ снова находится ΠΏΠΎΠ΄ прямым ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΎΠΏΡΡ‚ΡŒ ΠΆΠ΅ с Π½ΠΈΠ·ΠΊΠΈΠΌ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠΌ трСния. Π­Ρ‚ΠΎ позволяСт Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Ρ‚ΡŒ послСдний ΠΊΠ°Π΄Ρ€ Π² любом Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ направлСния оси гироскопа, Π½Π΅ создавая большого крутящСго ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° Π½Π° гироскопС.

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠΌΠΏΡƒΠ»ΡŒΡΠ° гироскопа (ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ) сохраняСтся Π² ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ систСмС отсчСта.Π’Π°ΠΊ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΈΠ΄Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ гироскоп, ось вращСния ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π° Π΄Π°Π»Π΅ΠΊΡƒΡŽ Π·Π²Π΅Π·Π΄Ρƒ, Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π° эту Π·Π²Π΅Π·Π΄Ρƒ, Π΄Π°ΠΆΠ΅ Ссли транспортноС срСдство / Π»Π΅Ρ‚Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π°ΠΏΠΏΠ°Ρ€Π°Ρ‚ ΠΈ Ρ‚. Π”., На ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΎΠ½ Π±Ρ‹Π» установлСн, ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎ поворачиваСтся, наклоняСтся ΠΈΠ»ΠΈ поворачиваСтся.


ΠŸΡ€Π΅Ρ†Π΅ΡΡΠΈΡ

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ

ΠΊ двиТСнию быстро Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎΡΡ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°, Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ колСсо Π² Ρ„ΠΈΠ»ΡŒΠΌΠ΅ справа.Π’ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΈΠΌ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π²ΠΈΠΆΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΠ°Π΄Ρ€ΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ, колСсо вращаСтся ΠΏΠΎ часовой стрСлкС, Ссли ΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ слСва, поэтому Π΅Π³ΠΎ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ L справа, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ стрСлка. Если ΠΌΡ‹ рассмотрим крутящиС ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° колСса, вСс Π½Π΅ ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ крутящСго ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π½ΠΎ струна ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… усилиС. F смСщСны Π½Π° r ΠΎΡ‚ этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, поэтому крутящий ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Ο„ = r X F ΠΈΠ·-Π·Π° струны находится Π² ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ.БСйчас Ξ” , Π» , , смСна ΠΏΠΎ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΌΡƒ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρƒ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅Π½ Ο„ , поэтому L , ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ располоТСн вдоль оси, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ, Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π΄Π²ΠΈΠ³Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π½Π°Ρ€ΡƒΠΆΡƒ ΠΊ Π½Π°Π±Π»ΡŽΠ΄Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŽ. ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, крутящий ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ всСгда (ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ) пСрпСндикулярСн L , поэтому Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ — это называСтся прСцСссиСй .

Как быстро ΠΎΠ½ прСцСссируСт? Если ΠΌΡ‹ сдСлаСм ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π°Π» Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»Π΅Π½, Ρ‚ΠΎ ΡƒΠ³ΠΎΠ», Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΎΠ½ прСцСссируСт Π²ΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ dt, составляСт всСго

Π‘ΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ прСцСссии ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Π° крутящСму ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρƒ, поэтому ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Ρ€Ρ‹Ρ‡Π°Π³ для вСса позволяСт ΠΏΡ€Π΅Ρ†Π΅ΡΡΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ быстрСС.Но ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ скорости вращСния Ο‰ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ»ΠΎ Π±Ρ‹ L ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΌ самым заставило Π±Ρ‹ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Ρ†Π΅ΡΡΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ΅Π΄Π»Π΅Π½Π½Π΅Π΅.
    ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡƒΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅: крутящий ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Π΅Π΄ΡƒΡ‚ сСбя Π½Π΅ Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹, Π² ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ симмСтрии. НапримСр, ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ Π·Π΅Ρ€ΠΊΠ°Π»ΠΎ, располоТСнноС справа ΠΎΡ‚ этой Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΈ, ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ. Π—Π΅Ρ€ΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ колСса Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚, ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ. По этой ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅ крутящий ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠΌΠΏΡƒΠ»ΡŒΡΠ° ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ псСвдовСкторами. Π’ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹, Ρ‡Π΅ΠΌ, скаТСм, сила ΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠΌΠΏΡƒΠ»ΡŒΡ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ, указывая, Ρ‡Ρ‚ΠΎ, Ссли Π±Ρ‹ ΠΌΡ‹ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ пСрСкрСстного произвСдСния Π½Π° Ο€, наши Π½Π΅ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ уравнСния всС Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π»ΠΈ Π±Ρ‹, Π½ΠΎ всС ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ ΠΈ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ ΠΈΠΌΠΏΡƒΠ»ΡŒΡΡ‹ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π±Ρ‹Π»ΠΈ Π±Ρ‹ Π² ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅.ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΠΎ этой самой ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ:
ΠŸΡ€Π΅Ρ†Π΅ΡΡΠΈΡ Π±Π΅Π· Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²

МоТСм Π»ΠΈ ΠΌΡ‹ ΠΎΠ±ΡŠΡΡΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π΅Ρ†Π΅ΡΡΠΈΡŽ Π±Π΅Π· Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²? ΠšΠ°Ρ‡Π΅ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ — Π΄Π°. Π‘ΠΏΡ€Π°Π²Π°, ΠΏΠΎΠ΄ Ρ„ΠΈΠ»ΡŒΠΌΠΎΠΌ, взяты Π΄Π²Π΅ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΈ: посмотритС Π½Π° Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΡŽΡŽ. Π¨Π½ΡƒΡ€ с ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ стороны (смотритС Π½Π° Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ) тянСт Π²Π°Π» Π²Π²Π΅Ρ€Ρ…, вСс Π²Π°Π»Π° тянСт Π΅Π³ΠΎ Π²Π½ΠΈΠ·. Если Π±Ρ‹ ΠΎΠ½ΠΎ Π½Π΅ Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π»ΠΎΡΡŒ, ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ вСсь Π°ΠΏΠΏΠ°Ρ€Π°Ρ‚ наклонился Π±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² часовой стрСлки: вСрхняя Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ колСса двигалась Π±Ρ‹ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ, Π° ниТняя — Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ.Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅ Π²Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ заставляСт Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Ρ†Π΅ΡΡΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ, Π° Π½Π΅ ΠΏΠ°Π΄Π°Ρ‚ΡŒ?

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ рассмотрим Π½Π΅Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±ΠΎΠ΄Π° колСса свСрху — Π½Π°Π·ΠΎΠ²ΠΈΡ‚Π΅ Π΅Π΅ Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½Π΅ΠΉ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ, ΠΈ Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ раскрасим Π΅Π΅ Π² красный Ρ†Π²Π΅Ρ‚. Π’ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ получСния Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½Π΅ΠΉ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΈ вСрхняя Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ двиТСтся (Π² Ρ‚Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΠΊΠΎΡ€ΠΎΡ‚ΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ) Π² Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, Π½Π°Ρ€ΡƒΠΆΡƒ ΠΎΡ‚ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΈ, Π½Π° высокой скорости. Но совокупный эффСкт вСса ΠΈ натяТСния ΡˆΠ½ΡƒΡ€Π°, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ ΡƒΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π»ΠΈ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅, заставляСт Π΅Π³ΠΎ Π΄Π²ΠΈΠ³Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ. На самом Π΄Π΅Π»Π΅, ΠΎΠ½ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ, Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ быстро ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΊ Π½Π°ΠΌ.ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΎ для этого объяснСния, скаТСм, Ρ‡Ρ‚ΠΎ послС Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½ пСрСмСстился Π½Π° Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π° Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ Π²Π°Π»Π°, ΠΎΠ½ Π²Ρ‹ΠΉΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΊ Π½Π°ΠΌ ΠΈ станСт Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ блиТайшСй ΠΊ Π½Π°ΠΌ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ колСса (ΠΈ двиТСтся Π²Π½ΠΈΠ·), Π½ΠΎ ΠΎΠ½ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ смСщСн Ρ‡ΡƒΡ‚ΡŒ-Ρ‡ΡƒΡ‚ΡŒ ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΠΎΡΡŒ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ стороны ΠΎΠ±ΠΎΠ΄Π° Π½Π° (Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½Π΅ΠΉ) Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΈ.

Аналогично, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ рассмотрим Π½Π΅Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±ΠΎΠ΄Π° колСса Π²Π½ΠΈΠ·Ρƒ ΠΈ раскрасим Π΅Π³ΠΎ Π² Π·Π΅Π»Π΅Π½Ρ‹ΠΉ Ρ†Π²Π΅Ρ‚. Π’ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΈ ниТняя Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ пСрСмСщаСтся Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π° Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΡŽ.На этот Ρ€Π°Π· совокупный эффСкт вСса ΠΈ натяТСния ΡˆΠ½ΡƒΡ€Π° заставляСт Π΅Π³ΠΎ Π΄Π²ΠΈΠ³Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Π΅Ρ‰Π΅ Ρ€Π°Π·, скаТСм, Ρ‡Ρ‚ΠΎ послС Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½ пСрСмСстился Π½Π° Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π° Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ Π²Π°Π»Π°, ΠΎΠ½ ΡƒΠΉΠ΄Π΅Ρ‚ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΡŒ, ΠΎΡ‚ нас ΠΈ станСт самой дальнСй Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ колСса ΠΎΡ‚ нас (ΠΈ ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ…), Π½ΠΎ ΠΎΠ½ смСстится Π½Π° НСмного ΠΏΡ€Π°Π²Π΅Π΅ ΠΏΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΊ ΠΎΠ±ΠΎΠ΄Ρƒ Π½Π° Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½Π΅ΠΌ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π²ΠΈΠΆΠ½ΠΎΠΌ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ.

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π° блиТайший Π±ΠΈΡ‚ колСса Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ смСстится Π²Π»Π΅Π²ΠΎ, Π° дальняя сторона колСса Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ смСстится Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ.Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΌΡ‹ смотрим Π½Π° Π΄Π½ΠΎ Π΅Ρ‰Π΅ — ΠΈ Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ запускаСм Ρ„ΠΈΠ»ΡŒΠΌ — ΠΈ ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ происходит. Π”Π²Π΅ Ρ†Π²Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ части колСса двиТутся Π² соотвСтствии с ΠΈΡ… вСсом ΠΈ натяТСниСм ΡˆΠ½ΡƒΡ€Π° (Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ внСшним крутящим ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠΌ), Π½ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π΅ ΡƒΡΠΏΠ΅Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π²ΠΈΠ½ΡƒΡ‚ΡŒΡΡ слишком Π΄Π°Π»Π΅ΠΊΠΎ ΠΈΠ·-Π·Π° ΠΈΡ… быстрого вращСния. Π‘ΠΎΡ‡Π΅Ρ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ этих ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΌ ΠΏΡ€Π΅Ρ†Π΅ΡΡΠΈΡŽ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‡Π΅ΠΌ быстрСС вращаСтся колСсо, Ρ‚Π΅ΠΌ мСньшС Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΡƒΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π½Π° Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ куски двигались Π²Π±ΠΎΠΊ, ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΌΠ΅Π΄Π»Π΅Π½Π½Π΅Π΅ прСцСссия, ΠΊΠ°ΠΊ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π² ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ.

Π­Ρ‚ΠΎ объяснСниС довольно Π΄Π»ΠΈΠ½Π½ΠΎΠ΅, Ρ‡Π΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ объяснСниС, ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅, ΠΈ ΠΎΠ½ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ качСствСнноС. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΡƒ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅Ρ€Ρƒ Π½ΡƒΠΆΠ΅Π½ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹ΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·, ΠΈ ΠΎΠ½ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ быстро ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ. Π’ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, ΠΎΠ½ / ΠΎΠ½Π° ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ качСствСнноС объяснСниС, ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ΅ этому, Π½ΠΎ это ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΠΌΠ΅Π΄Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡƒΡ‚ΡŒ ΠΊ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ качСствСнному Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρƒ.

.
Угловая ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ — ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚Π°Ρ английская ВикипСдия, свободная энциклопСдия Угловая ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ описываСт ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ вращСния ΠΈ ΠΎΡ€ΠΈΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΡŽ оси, Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ происходит Π²Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅. НаправлСниС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ скорости Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ вдоль оси вращСния; Π² этом случаС (Π²Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² часовой стрСлки) Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π° зритСля.

Π’ Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅ угловая ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ опрСдСляСт ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΡƒΡŽ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ, с ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ вращаСтся вмСстС с Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΎΠ½ вращаСтся.

Π­Ρ‚ΠΎ вСкторная Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°. [1] Π•Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π° ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ скорости БИ — Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹ Π² сСкунду. Но Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€ΡΡ‚ΡŒ ΠΈ Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π°Ρ… (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, градусы Π² сСкунду, градусы Π² час ΠΈ Ρ‚. Π”.). Когда Π΅Π³ΠΎ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€ΡΡŽΡ‚ Π² Ρ†ΠΈΠΊΠ»Π°Ρ… ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π°Ρ… Π² Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Ρ‹ Π² ΠΌΠΈΠ½ΡƒΡ‚Ρƒ), Π΅Π³ΠΎ часто Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ вращСния, Π° Π΅Π΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ — ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ вращСния. Угловая ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ прСдставляСтся символом ΠΎΠΌΠ΅Π³Π° ( Ξ© ΠΈΠ»ΠΈ Ο‰ ). НаправлСниС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ скорости пСрпСндикулярно плоскости вращСния Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ задаСтся ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ Ρ€ΡƒΠΊΠΈ.

English Wiktionary
  1. ↑ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Π΅Π΅ псСвдовСктор
,

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *