От чего зависит амплитудное значение угловой скорости: Гармонические колебания. | Объединение учителей Санкт-Петербурга

Гармонические колебания. | Объединение учителей Санкт-Петербурга

ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
Колебания, при которых изменения физических величин происходят по закону косинуса или синуса (гармоническому закону), наз. *гармоническими колебаниями. Например, в случае механических гармонических колебаний:. В этих формулах ω – частота колебания, x_m* – амплитуда колебания, φ₀ и φ₀’ – начальные фазы колебания. Приведенные формулы отличаются определением начальной фазы и при φ₀’ = φ₀+π/2 полностью совпадают.
Это простейший вид периодических колебаний. Конкретный вид функции (синус или косинус) зависит от способа выведения системы из положения равновесия. Если выведение происходит толчком (сообщается кинетическая энергия), то при t=0 смещение х=0, следовательно, удобнее пользоваться функцией sin, положив φ₀’=0; при отклонении от положения равновесия (сообщается потенциальная энергия) при t=0 смещение х=х_m, следовательно, удобнее пользоваться функцией cos и φ₀=0.
Выражение, стоящее под знаком cos или sin, наз. фазой колебания: . Фаза колебания измеряется в радианах и определяет значение смещения (колеблющейся величины) в данный момент времени.
Амплитуда колебания зависит только от начального отклонения (начальной энергии, сообщенной колебательной системе).
Скорость и ускорение при гармонических колебаниях.
Согласно определению скорости, скорость – это производная от координаты по времени
Таким образом, мы видим, что скорость при гармоническом колебательном движении также изменяется по гармоническому закону, но колебания скорости опережают колебания смещения по фазе на π/2.
Величина — максимальная скорость колебательного движения (амплитуда колебаний скорости).
Следовательно, для скорости при гармоническом колебании имеем: , а для случая нулевой начальной фазы (см. график).
Согласно определению ускорения, ускорение – это производная от скорости по времени: — вторая производная от координаты по времени. Тогда: . Ускорение при гармоническом колебательном движении также изменяется по гармоническому закону, но колебания ускорения опережают колебания скорости на π/2 и колебания смещения на π (говорят, что колебания происходят в противофазе).
Величина — максимальное ускорение (амплитуда колебаний ускорения). Следовательно, для ускорения имеем: , а для случая нулевой начальной фазы: (см. график).
Из анализа процесса колебательного движения, графиков и соответствующих математических выражений видно, что при прохождении колеблющимся телом положения равновесия (смещение равно нулю) ускорение равно нулю, а скорость тела максимальна (тело проходит положение равновесия по инерции), а при достижении амплитудного значения смещения – скорость равна нулю, а ускорение максимально по модулю (тело меняет направление своего движения).
Сравним выражения для смещения и ускорения при гармонических колебаниях: и .
Можно записать: — т.е. вторая производная смещения прямо пропорциональна (с противоположным знаком) смещению. Такое уравнение наз. уравнением гармонического колебания. Эта зависимость выполняется для любого гармонического колебания, независимо от его природы. Поскольку мы нигде не использовали параметров конкретной колебательной системы, то от них может зависеть только циклическая частота.
Часто бывает удобно записывать уравнения для колебаний в виде: , где T – период колебания. Тогда, если время выражать в долях периода подсчеты будут упрощаться. Например, если надо найти смещение через 1/8 периода, получим: . Аналогично для скорости и ускорения.

Содержание

Скорость и ускорение гармонических колебаний

Скорость точки, совершающей гармонические колебания

Для того чтобы получить эту зависимость, найдем производную от величины смещения по времени:

Из полученного соотношения видно, что скорость точки, совершающей гармонические колебания, также изменяется по гармоническому закону и опережает по фазе смещение на .

Ускорение точки, совершающей гармонические колебания

Это соотношение получается путем дифференцирования проекции скорости на ось x:

При гармонических колебаниях ускорение точки изменяется по гармоническому закону и опережает по фазе смещение на .

Из последнего соотношения следует, что проекция ускорения на ось x:

или

Так как , последнее соотношение можно переписать в виде:

Последнее уравнение представляет собой дифференциальное уравнение гармонических колебаний, решением которого является синусоидальная зависимость

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Колебания и волны: скорости и ускорения

В этой статье мы вспомним кинематику: то, что скорость – производная координаты, а ускорение – производная скорости или вторая производная координаты. Заодно потренируемся брать производные от сложных функций.

Задача 1. Материальная точка совершает гармонические колебания по закону $x = 1,2 \cos \pi (\frac{2t}{3}+\frac{1}{4})$ . Определить амплитуду, круговую частоту, период и начальную фазу колебаний. Найти амплитуды скорости и ускорения. Построить графики зависимости координаты. скорости и ускорения точки от времени.

Амплитуда равна A=1,2 , круговая частота (или циклическая, или угловая) равна $\omega=\frac{2\pi}{3}$

, начальная фаза равна $\psi_0=\frac{\pi}{4}$ , период колебаний – $T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi \cdot 3}{2\pi}=3$

с.

Скорость – производная координаты. Возьмем производную:

$\upsilon=x^{\prime}=A \omega \sin \pi (\frac{2t}{3}+\frac{1}{4})$

$\[a=\upsilon^{\prime}=x$

Тогда $\upsilon_{max}= A \omega=1,2\frac{2\pi}{3}=0,8\pi=2,51$ м/с.

$a_{max}= A\omega^2=1,2\left(\frac{2\pi}{3}\right)^2=5,26$

Ответ: амплитуда A=1,2 , круговая частота $\omega=\frac{2\pi}{3}$ , начальная фаза $\psi_0=\frac{\pi}{4}$ , период колебаний – T=3 с, $\upsilon_{max}=2,51$ м/с, $a_{max}=5,26$ м/с

Задача 2. Материальная точка совершает гармонические колебания с частотой f= 0,5 Гц. Амплитуда колебаний А =3 см. Определить скорость точки в момент времени, когда смещение x= 1,5 см.

Запишем закон колебаний. Так как не указано, по какому закону они совершаются, то выберем косинус.

$x=A\cos(\omega t+\psi_0)$

$\omega=2 \pi f=\pi$

$\frac{x}{A}=\cos(\omega t+\psi_0)$

$\frac{x^2}{A^2}=\cos^2(\omega t+\psi_0)$

$1-\frac{x^2}{A^2}=\sin^2(\omega t+\psi_0)$

$\sin(\omega t+\psi_0)=\sqrt{1-\frac{x^2}{A^2}}$

Скорость – производная координаты. Возьмем производную:

$\upsilon=x^{\prime}=-A \omega \sin (\omega t+\psi_0)$

$\upsilon=x^{\prime}=- A \omega \sqrt{1-\frac{x^2}{A^2}}=-\omega \sqrt{A^2-x^2}$

$\upsilon=-\pi \sqrt{9-2,25}=-8,16$

Ответ: $\upsilon=-8,16$ см/с.

Задача 3. Написать закон гармонического колебания точки, если максимальное ускорение ее $a_{max}= 49,3$ см/с2, период колебаний T = 2 с и смещение точки от положения равновесия в начальный момент времени см. Колебания совершаются по закону синуса.

$x=A\sin(\omega t+\psi_0)$

$\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{2}=\pi$

В момент времени t=0 смещение равно 2,5 см:

$x_0=A\sin(\psi_0)= 2,5$

Выясним, какая у точки амплитуда колебаний. Для этого определим скорость (первую производную) и ускорение(вторую производную):

$\upsilon=x^{\prime}=-A \omega \cos( \omega t+\psi_0)$

$\[a=\upsilon^{\prime}=x$

Максимальное ускорение – это амплитуда ускорения, то есть

$a_{max}= A\omega^2$

Откуда :

$A=\frac{ a_{max}}{\omega^2}=5$

Тогда в момент времени t=0 :

$x_0=\frac{ a_{max}}{\omega^2}\sin(\psi_0)$

Определим начальную фазу:

$\sin(\psi_0)=\frac{x_0 \omega^2}{ a_{max}}$

$\sin(\psi_0)=\frac{2,5 \pi^2}{49,3}=0,5$

$\alpha=\arcsin(0,5)=30^{\circ}$

Закон колебаний тогда будет таким:

$x=5\sin(\pi t+\frac{\pi}{6})$

Ответ: $x=5\sin(\pi t+\frac{\pi}{6})$ см.

Глава 11. Механические колебания и волны

Колебательным называется любое периодически повторяющееся движение. Поэтому зависимости координаты и скорости тела от времени при колебаниях описываются периодическими функциями времени. В школьном курсе физики рассматриваются такие колебания, в которых зависимости и скорости тела представляют собой тригонометрические функции , или их комбинацию, где — некоторое число. Такие колебания на-зываются гармоническими (функции и часто называют гармоническими функциями). Для решения задач на колебания, входящих в программу единого государственного экзамена по физике, нужно знать определения основных характеристик колебательного движения: амплитуды, периода, частоты, круговой (или циклической) частоты и фазы колебаний. Дадим эти определения и свяжем перечисленные величины с параметрами зависимости координаты тела от времени , которая в случае гармонических колебаний всегда может быть представлена в виде

(11.1)

где , и — некоторые числа.

Амплитудой колебаний называется максимальное отклонение колеблющегося тела от положения равновесия. Поскольку максимальное и минимальное значение косинуса в (11.1) равно ±1, то амплитуда колебаний тела, совершающего колебания (11.1), равна величине . Период колебаний — это минимальное время, через которое движение тела повторяется. Для зависимости (11.1) период можно установить из следующих соображений. Косинус — периодическая функция с периодом . Поэтому движение полностью повторяется через такое значение , что . Отсюда получаем

(11.2)

Частотой колебаний тела называется число колебаний, совершаемых в единицу времени. Очевидно, что частота колебаний связана с периодом колебаний по формуле

(11.3)

Круговой (или циклической) частотой колебаний называется число колебаний, совершаемых за единиц времени. Из формулы (11.3) заключаем, что круговой частотой является величина из формулы (11.1).

Фазой колебаний называется аргумент тригонометрической функции, описывающей зависимость координаты от времени. Из формулы (11.1) видим, что фаза колебаний тела, движение которого описывается зависимостью (11.1), равна . Значение фазы колебаний в момент времени = 0 называется начальной фазой. Для зависимости (11.1) начальная фаза колебаний равна величине . Очевидно, начальная фаза колебаний зависит от выбора начала отсчета времени (момента = 0), которое всегда является условным. Изменением начала отсчета времени начальная фаза колебаний всегда может быть «сделана» равной нулю, а синус в формуле (11.1) «превращен» в косинус или наоборот.

В программу единого государственного экзамена входит также знание формул для частоты колебаний пружинного и математического маятников. Пружинным маятником принято называть тело, которое может совершать колебания на гладкой горизонтальной поверхности под действием пружины, второй конец которой закреплен (левый рисунок). Математическим маятником называется массивное тело, размерами которого можно пренебречь, совершающее колебания на длинной, невесомой и нерастяжимой нити (правый рисунок). Название этой системы – «математический маятник» связано с тем, что она представляет собой абстрактную математическую модель реального (физического) маятника. Необходимо помнить формулы для периода (или частоты) колебаний пружинного и математического маятников. Для пружинного маятника

(11.4)

где — коэффициент жесткости пружины, — масса груза. Период колебаний математического маятника определяется следующим соотношением

(11.5)

где — длина нити, — ускорение свободного падения. Рассмотрим применение этих определений и законов на примере решения задач.

Чтобы найти циклическую частоту колебаний груза в задаче 11.1.1 найдем сначала период колебаний, а затем воспользуемся формулой (11.2). Поскольку 10 м 28 с — это 628 с, и за это время груз совершает 100 колебаний, период колебаний груза равен 6,28 с. Поэтому циклическая частота колебаний равна 1 c^-1 (ответ 2). В задаче 11.1.2 груз за 600 с совершил 60 колебаний, поэтому частота колебаний — 0,1 с^-1 (ответ 1).

Чтобы понять, какой путь пройдет груз за 2,5 периода (задача 11.1.3), проследим за его движением. Через период груз вернется назад в точку максимального отклонения, совершив полное колебание. Поэтому за это время груз пройдет расстояние, равное четырем амплитудам: до положения равновесия — одна амплитуда, от положения равновесия до точки максимального отклонения в другую сторону — вторая, назад в положение равновесия — третья, из положения равновесия в начальную точку — четвертая. За второй период груз снова пройдет четыре амплитуды, а за оставшиеся половину периода — две амплитуды. Поэтому пройденный путь равен десяти амплитудам (ответ 4).

Величина перемещения тела — расстояние от начальной точки до конечной. За 2,5 периода в задаче 11.1.4 тело успеет совершить два полных и половину полного колебания, т.е. окажется на максимальном отклонении, но с другой стороны от положения равновесия. Поэтому величина перемещения равна двум амплитудам (ответ 3).

По определению фаза колебаний — это аргумент тригонометрической функции, которой описывается зависимость координаты колеблющегося тела от времени. Поэтому правильный ответ в задаче 11.1.5 — 3.

Период — это время полного колебания. Это значит, что возвращение тела назад в ту же точку, из которой тело начало движение, еще не означает, что прошел период: тело должно вернуться в ту же точку с той же скоростью. Например, тело, начав колебания из положения равновесия, за период успеет отклониться на максимальную величину в одну сторону, вернуться назад, отклонится на максимум в другую сторону и снова вернуться назад. Поэтому за период тело успеет два раза отклониться на максимальную величину от положения равновесия и вернуться обратно. Следовательно, на прохождение от положения равновесия до точки максимального отклонения (задача 11.1.6) тело затрачивает четвертую часть периода (ответ 3).

Гармоническими называются такие колебания, при которых зависимость координаты колеблющегося тела от времени описывается тригонометрической (синус или косинус) функцией времени. В задаче 11.1.7 таковыми являются функции и , несмотря на то, что входящие в них параметры обозначены как ² и ². Функция же — тригонометрическая функция квадрата времени. Поэтому гармоническими являются колебания только величин и (ответ 4).

При гармонических колебаниях скорость тела изменяется по закону , где — амплитуда колебаний скорости (начало отсчета времени выбрано так, чтобы начальная фаза колебаний равнялась бы нулю). Отсюда находим зависимость кинетической энергии тела от времени (задача 11.1.8). Используя далее известную тригонометрическую формулу, получаем

Из этой формулы следует, что кинетическая энергия тела изменяется при гармонических колебаниях также по гармоническому закону, но с удвоенной частотой (ответ 2).

За соотношением между кинетической энергий груза и потенциальной энергией пружины (задача 11.1.9) легко проследить из следующих соображений. Когда тело отклонено на максимальную величину от положения равновесия, скорость тела равна нулю, и, следовательно, потенциальная энергия пружины больше кинетической энергии груза. Напротив, когда тело проходит положение равновесия, потенциальная энергия пружины равна нулю, и, следовательно, кинетическая энергия больше потенциальной. Поэтому между прохождением положения равновесия и максимальным отклонением кинетическая и потенциальная энергия один раз сравниваются. А поскольку за период тело четыре раза проходит от положения равновесия до максимального отклонения или обратно, то за период кинетическая энергия груза и потенциальная энергия пружины сравниваются друг с другом четыре раза (ответ 2).

Амплитуду колебаний скорости (задача 11.1.10) проще всего найти по закону сохранения энергии. В точке максимального отклонения энергия колебательной системы равна потенциальной энергии пружины , где — коэффициент жесткости пружины, — амплитуда колебаний. При прохождении положения равновесия энергия тела равна кинетической энергии , где — масса тела, — скорость тела при прохождении положения равновесия, которая является максимальной скоростью тела в процессе колебаний и, следовательно, представляет собой амплитуду колебаний скорости. Приравнивая эти энергии, находим

(ответ 1), где использовано выражение для круговой частоты колебаний груза на пружине:

По формуле (11.4) получаем в задаче 11.2.1

(ответ 4).

Из формулы (11.5) заключаем (задача 11.2.2), что от массы математического маятника его период не зависит, а при увеличении длины в 4 раза период колебаний увеличивается в 2 раза (ответ 1).

Часы — это колебательный процесс, который используется для измерения интервалов времени (задача 11.2.3). Слова часы «спешат» означают, что период этого процесса меньше того, каким он должен быть. Поэтому для уточнения хода этих часов необходимо увеличить период процесса. Согласно формуле (11.5) для увеличения периода колебаний математического маятника необходимо увеличить его длину (ответ 3).

Чтобы найти амплитуду колебаний в задаче 11.2.4, необходимо представить зависимость координаты тела от времени в виде одной тригонометрической функции. Для данной в условии функции это можно сделать с помощью введения дополнительного угла. Умножая и деля эту функцию на и используя формулу сложения тригонометрических функций, получим

где — такой угол, что . Из этой формулы следует, что амплитуда колебаний тела — (ответ 4).

В задаче 11.2.5 имеем при см. Откуда см (ответ 2).

Задачи 11.2.6 и 11.2.7 посвящены механическим волнам. Волна – некоторый колебательный процесс, который может распространяться в среде. При этом каждая точка среды совершает колебания около определенного положения и в среднем не перемещается в пространстве. Волна характеризуется периодом (или связанной с ним частотой ), скоростью и длиной волны , которая определяется как минимальное расстояние между точками, колеблющимися в одинаковой фазе. Для решения задач ЕГЭ по этой теме необходимо помнить формулу, дающую связь между параметрами волны

(11.6)

которую легко запомнить, поскольку эта связь имеет такой же вид как обычное соотношение между расстоянием, скоростью и временем. Например, в задаче 11.2.6 по формуле (11.6) находим длину волны м (ответ 2).

Как следует из рисунка в задаче 11.2.7 длина волны, распространяющейся по шнуру, равна м. Поэтому по формуле (11.6) имеем Гц (ответ 4).

Поскольку в момент максимального отклонения пружинного маятника, механическая энергия системы равна потенциальной энергии пружины, то

где — амплитуда колебаний, — жесткость пружины. Поэтому при увеличении механической энергии пружинного маятника в 2 раза амплитуда колебаний увеличилась в раз (задача 11.2.8 – ответ 1).

Используя известную тригонометрическую формулу, получим в задаче 11.2.9

Эта зависимость представляет собой гармоническую функцию, но колеблющуюся вокруг точки . Амплитудой этих колебаний является множитель перед косинусом — (так как сам косинус меняется в интервале от -1 до 1). Циклической частотой — величина (ответ 4).

Вертикальный пружинный маятник отличается от горизонтального (задача 11.2.10) наличием силы тяжести. Однако сила тяжести приводит только к сдвигу положения равновесия маятника, а возвращающая сила по прежнему будет зависеть от смещения маятника от положения равновесия по закону (так как возвращающей силой будет разность силы упругости и постоянной силы тяжести). Поэтому период колебаний груза на вертикальной и горизонтальной пружине — одинаков (конечно, при условии, что и сам груз и пружины одинаковы). Правильный ответ в задаче — 3.

Скорость и ускорение при гармоническом колебании.

— амплитудное значение скорости

Скорость опережает смещение по фазе на .

Сдвиг фаз между иравен, они колеблются в противофазах.

Сила.

Силы, которые подчиняются закону упругой силы, но по природе своей не являются упругими называются квазиупругими.

Гармонические колебания – это колебания, которые происходят под действием квазиупругой силы, то есть силы, пропорциональной смещению.

Энергия гармонического осциллятора.

(кинетическая Энергия, Т + потенциальная энергия, П = полной энергии, Е).

Пусть

Тогда

=+=.

— полная энергия механического осциллятора не зависит от и пропорциональна. Механический осциллятор есть консервативная система, так как.

Выводы:

Кинетическая и потенциальная энергии по отдельности зависят от времени.

Максимальная кинетическая энергия равна максимальной потенциальной энергии и равна полной энергии.

Средняя кинетическая энергия равна средней потенциальной энергии и равна половине полной энергии.

Полная энергия не зависит от времени и пропорциональна квадрату амплитуды.

Лекция 8. Сложение колебаний.

Сложение колебаний – задача сложная и часто пользуются искусственными приемами для ее решения. Представим гармоническое колебание в виде вектора амплитуды.

В момент проекция на осьвектораравна. Получили уравнение гармонических колебаний. Итак, всякому гармоническому колебанию можно сопоставить вектор амплитуды, вращающийся с угловой скоростью, равной круговой частоте колебания. Тогда проекция этого вектора на осьсовершает гармонические колебания. Физического смысла здесь нет, но решение задачи облегчается.

Сложение гармонических колебаний одного направления и одной частоты.

Изобразим их графически:

Векторы ивращаем с. Поскольку частоты равны, то параллелограмм, не деформируясь, вращается с той же частотой. Длинане меняется. Его проекция совершает гармонические колебания.

, но.

То есть результирующее колебание гармоническое, имеет ту же частоту, что и слагаемые колебания. Амплитуду находим из начальных условий по формуле

Биения.

Рассмотрим сложение колебаний одинаковой амплитуды и близких частот ,,. Решение задачи усложняется.

Если изобразить эти колебания с помощью вектора амплитуды, то они вращаются с разными угловыми скоростями, и всегда будет момент, когда . Фазы в этот момент принимают за нуль. Тогда

= .

— уравнение биений. Первый множитель медленно меняется, второй – быстро. Уравнение можно представить в виде

Сравним с уравнением гармонических колебаний

Уравнение биений – негармоническое, но меняется медленно, так какмало.

Поэтому биения – приблизительно гармонические колебания с медленно меняющейся амплитудой, может быть больше и меньше нуля.

— амплитуда. Для гармонических колебаний

— мало,

велико.

— частота биений.

Амплитуда ограничивает . (Проводим штрихами симметричную кривую внизу).Частота.. Получили биения – усиление и ослабление колебаний.

Метод биений широко применяется на практике. Основан на сравнении искомой частоты с частотой эталона. Метод биений – это один из наиболее точных методов измерения частот, емкостей, индуктивностей. Применяют для настройки музыкальных инструментов.

Значение — угловая скорость — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1

Значение — угловая скорость

Cтраница 1

Значение угловой скорости ш данного вращающегося твердого тела не зависит от выбора точки В, так как угол Дер, на который поворачивается за данное время Ы радиус ОВ, не зависит от положения точки В. [1]

Значения угловой скорости сошаиб и шшаим можно выразить через среднее арифметическое угловой скорости сокр ( сошаиб со. [2]

Значения угловых скоростей соответствуют полному циклу работы компрессора, при этом исходят из предположения, что вал является абсолютно жестким и угол между кривошипами не изменяется. [3]

Значение угловой скорости, соответствующее резонансу, называется критической угловой скоростью. [4]

Значение угловой скорости тела для данного момента времени может быть положительным или отрицательным в зависимости от того, в какую сторону вращается тело. Когда тело вращается против часовой стрелки, если смотреть с положительного конца оси вращения, то Аф О, dy / dt 0 и угловая скорость со положительна. Если тело вращается по часовой стрелке, то угловая скорость отрицательна. [5]

При значениях угловой скорости меньше сотщ и больше сотах регулятор не реагирует на изменение угловой скорости. Определяя равновесную угловую скорость по формуле (26.7) для г, изменяющегося в пределах хода h, можно построить кривую угловых скоростей вала регулятора ( рис. 26.7) и, следовательно, найти пределы, в которых регулятор реагирует на изменение угловой скорости вала машины. [7]

Так определяются значения угловой скорости со звена приведения механизма. [9]

Так определяются значения угловой скорости ш звена приведения механизма. [11]

Так определяются значения угловой скорости о звена приведения механизма. [13]

Итак, значение угловой скорости тела равно первой производной от угла его поворота по времени. [14]

Критическими называются значения угловых скоростей ротора, при которых амплитуды вынужденных колебаний неограниченно возрастают. [15]

Страницы: 1 2 3 4

Механические колебания — материалы для подготовки к ЕГЭ по Физике

Автор — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ : гармонические колебания; амплитуда, период, частота, фаза колебаний; свободные колебания, вынужденные колебания, резонанс.

Колебания — это повторяющиеся во времени изменения состояния системы. Понятие колебаний охватывает очень широкий круг явлений.

Колебания механических систем, или механические колебания — это механическое движение тела или системы тел, которое обладает повторяемостью во времени и происходит в окрестности положения равновесия. Положением равновесия называется такое состояние системы, в котором она может оставаться сколь угодно долго, не испытывая внешних воздействий.

Например, если маятник отклонить и отпустить, то начнутся колебания. Положение равновесия — это положение маятника при отсутствии отклонения. В этом положении маятник, если его не трогать, может пребывать сколь угодно долго. При колебаниях маятник много раз проходит положение равновесия.

Сразу после того, как отклонённый маятник отпустили, он начал двигаться, прошёл положение равновесия, достиг противоположного крайнего положения, на мгновение остановился в нём, двинулся в обратном направлении, снова прошёл положение равновесия и вернулся назад. Совершилось одно полное колебание. Дальше этот процесс будет периодически повторяться.

Амплитуда колебаний тела — это величина его наибольшего отклонения от положения равновесия.

Период колебаний — это время одного полного колебания. Можно сказать, что за период тело проходит путь в четыре амплитуды.

Частота колебаний — это величина, обратная периоду: . Частота измеряется в герцах (Гц) и показывает, сколько полных колебаний совершается за одну секунду.

Гармонические колебания.

Будем считать, что положение колеблющегося тела определяется одной-единственной координатой . Положению равновесия отвечает значение . Основная задача механики в данном случае состоит в нахождении функции , дающей координату тела в любой момент времени.

Для математического описания колебаний естественно использовать периодические функции. Таких функций много, но две из них — синус и косинус — являются самыми важными. У них много хороших свойств, и они тесно связаны с широким кругом физических явлений.

Поскольку функции синус и косинус получаются друг из друга сдвигом аргумента на , можно ограничиться только одной из них. Мы для определённости будем использовать косинус.

Гармонические колебания — это колебания, при которых координата зависит от времени по гармоническому закону:

(1)

Выясним смысл входящих в эту формулу величин.

Положительная величина является наибольшим по модулю значением координаты (так как максимальное значение модуля косинуса равно единице), т. е. наибольшим отклонением от положения равновесия. Поэтому — амплитуда колебаний.

Аргумент косинуса называется фазой колебаний. Величина , равная значению фазы при , называется начальной фазой. Начальная фаза отвечает начальной координате тела: .

Величина называется циклической частотой. Найдём её связь с периодом колебаний и частотой . Одному полному колебанию отвечает приращение фазы, равное радиан: , откуда

(2)

(3)

Измеряется циклическая частота в рад/с (радиан в секунду).

В соответствии с выражениями (2) и (3) получаем ещё две формы записи гармонического закона (1):

График функции (1), выражающей зависимость координаты от времени при гармонических колебаниях, приведён на рис. 1.

$x=Acos(\frac{\displaystyle 2\pi t }{\displaystyle T}+ \alpha), x=Acos(2 \pi \nu t + \alpha)$

Рис. 1. График гармонических колебаний

Гармонический закон вида (1) носит самый общий характер. Он отвечает, например, ситуации, когда с маятником совершили одновременно два начальных действия: отклонили на величину и придали ему некоторую начальную скорость. Имеются два важных частных случая, когда одно из этих действий не совершалось.

Пусть маятник отклонили, но начальной скорости не сообщали (отпустили без начальной скорости). Ясно, что в этом случае , поэтому можно положить . Мы получаем закон косинуса:

График гармонических колебаний в этом случае представлен на рис. 2.

$x=Acos \omega t$

Рис. 2. Закон косинуса

Допустим теперь, что маятник не отклоняли, но ударом сообщили ему начальную скорость из положения равновесия. В этом случае , так что можно положить . Получаем закон синуса:

График колебаний представлен на рис. 3.

$x=Asin \omega t$

Рис. 3. Закон синуса

Уравнение гармонических колебаний.

Вернёмся к общему гармоническому закону (1). Дифференцируем это равенство:

. (4)

Теперь дифференцируем полученное равенство (4):

. (5)

Давайте сопоставим выражение (1) для координаты и выражение (5) для проекции ускорения. Мы видим, что проекция ускорения отличается от координаты лишь множителем :

. (6)

Это соотношение называется уравнением гармонических колебаний. Его можно переписать и в таком виде:

. (7)

C математической точки зрения уравнение (7) является дифференциальным уравнением. Решениями дифференциальных уравнений служат функции (а не числа, как в обычной алгебре).
Так вот, можно доказать, что:

-решением уравнения (7) является всякая функция вида (1) с произвольными ;

-никакая другая функция решением данного уравнения не является.

Иными словами, соотношения (6), (7) описывают гармонические колебания с циклической частотой и только их. Две константы определяются из начальных условий — по начальным значениям координаты и скорости.

Пружинный маятник.

Пружинный маятник — это закреплённый на пружине груз, способный совершать колебания в горизонтальном или вертикальном направлении.

Найдём период малых горизонтальных колебаний пружинного маятника (рис. 4). Колебания будут малыми, если величина деформации пружины много меньше её размеров. При малых деформациях мы можем пользоваться законом Гука. Это приведёт к тому, что колебания окажутся гармоническими.

Трением пренебрегаем. Груз имеет массу , жёсткость пружины равна .

Координате отвечает положение равновесия, в котором пружина не деформирована. Следовательно, величина деформации пружины равна модулю координаты груза.

Рис. 4. Пружинный маятник

В горизонтальном направлении на груз действует только сила упругости со стороны пружины. Второй закон Ньютона для груза в проекции на ось имеет вид:

. (8)

Если (груз смещён вправо, как на рисунке), то сила упругости направлена в противоположную сторону, и . Наоборот, если , то . Знаки и всё время противоположны, поэтому закон Гука можно записать так:

Тогда соотношение (8) принимает вид:

или

Мы получили уравнение гармонических колебаний вида (6), в котором

Циклическая частота колебаний пружинного маятника, таким образом, равна:

. (9)

Отсюда и из соотношения находим период горизонтальных колебаний пружинного маятника:

. (10)

Если подвесить груз на пружине, то получится пружинный маятник, совершающий колебания в вертикальном направлении. Можно показать, что и в этом случае для периода колебаний справедлива формула (10).

Математический маятник.

Математический маятник — это небольшое тело, подвешенное на невесомой нерастяжимой нити (рис. 5). Математический маятник может совершать колебания в вертикальной плоскости в поле силы тяжести.

$T=2 \pi \sqrt{\frac{\displaystyle m}{\displaystyle k}}$

Рис. 5. Математический маятник

Найдём период малых колебаний математического маятника. Длина нити равна . Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Запишем для маятника второй закон Ньютона:

и спроектируем его на ось :

Если маятник занимает положение как на рисунке (т. е. ), то:

Если же маятник находится по другую сторону от положения равновесия (т. е. ), то:

Итак, при любом положении маятника имеем:

. (11)

Когда маятник покоится в положении равновесия, выполнено равенство . При малых колебаниях, когда отклонения маятника от положения равновесия малы (по сравнению с длиной нити), выполнено приближённое равенство . Воспользуемся им в формуле (11):

или

Это — уравнение гармонических колебаний вида (6), в котором

Следовательно, циклическая частота колебаний математического маятника равна:

. (12)

Отсюда период колебаний математического маятника:

. (13)

Обратите внимание, что в формулу (13) не входит масса груза. В отличие от пружинного маятника, период колебаний математического маятника не зависит от его массы.

Свободные и вынужденные колебания.

Говорят, что система совершает свободные колебания, если она однократно выведена из положения равновесия и в дальнейшем предоставлена сама себе. Никаких периодических внешних
воздействий система при этом не испытывает, и никаких внутренних источников энергии, поддерживающих колебания, в системе нет.

Рассмотренные выше колебания пружинного и математического маятников являются примерами свободных колебаний.

Частота, с которой совершаются свободные колебания, называется собственной частотой колебательной системы. Так, формулы (9) и (12) дают собственные (циклические) частоты колебаний пружинного и математического маятников.

В идеализированной ситуации при отсутствии трения свободные колебания являются незатухающими, т. е. имеют постоянную амплитуду и длятся неограниченно долго. В реальных колебательных системах всегда присутствует трение, поэтому свободные колебания постепенно затухают (рис. 6).

$T=2\pi \sqrt{\frac{\displaystyle l}{\displaystyle g}}$

Рис. 6. Затухающие колебания

Вынужденные колебания — это колебания, совершаемые системой под воздействием внешней силы , периодически изменяющейся во времени (так называемой вынуждающей силы).

Предположим, что собственная частота колебаний системы равна , а вынуждающая сила зависит от времени по гармоническому закону:

В течение некоторого времени происходит установление вынужденных колебаний: система совершает сложное движение, которое является наложением выужденных и свободных колебаний. Свободные колебания постепенно затухают, и в установившемся режиме система совершает вынужденные колебания, которые также оказываются гармоническими. Частота установившихся вынужденных колебаний совпадает с частотой
вынуждающей силы (внешняя сила как бы навязывает системе свою частоту).

Амплитуда установившихся вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы. График этой зависимости показан на рис. 7.

$\omega$

Рис. 7. Резонанс

Мы видим, что вблизи частоты наступает резонанс — явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний. Резонансная частота приближённо равна собственной частоте колебаний системы: , и это равенство выполняется тем точнее, чем меньше трение в системе. При отсутствии трения резонансная частота совпадает с собственной частотой колебаний, , а амплитуда колебаний возрастает до бесконечности при .

Как определить направление угловой скорости

Образование
Наука
Физика
Как определить направление угловой скорости

Стивен Хольцнер

В физике, когда колесо вращается, оно имеет не только угловую скорость, но и направление. Вот что говорит вам вектор угловой скорости:

Размер вектора угловой скорости говорит вам об угловой скорости.
Направление вектора говорит вам об оси вращения, а также о том, вращение происходит по часовой стрелке или против часовой стрелки.

Скажите, что колесо имеет постоянную угловую скорость,

Можете ли вы определить направление, в котором его угловая скорость,

баллов? Он не может указывать на обод колеса, как это делает тангенциальная скорость, потому что его направление будет меняться каждую секунду. Фактически, единственный реальный выбор для его направления — перпендикулярно колесу.

Направление угловой скорости всегда застает людей врасплох: угловая скорость,

точек вдоль оси колеса (как вы можете видеть на рисунке).

Угловая скорость указывает в направлении, перпендикулярном колесу.

Поскольку вектор угловой скорости указывает, как он делает, он не имеет компонента вдоль колеса. Колесо вращается, поэтому тангенциальная (линейная) скорость в любой точке колеса постоянно меняет направление — за исключением самой центральной точки колеса, где находится основание вектора угловой скорости.Если колесо лежит на земле ровно, голова вектора направлена вверх или вниз от колеса в зависимости от того, в каком направлении вращается колесо.

Правило правой руки можно использовать для определения направления вектора угловой скорости. Оберните правую руку вокруг колеса так, чтобы ваши пальцы указывали в направлении тангенциального движения в любой точке — пальцы на правой руке должны двигаться в том же направлении, что и вращение колеса. Когда вы оборачиваете правую руку вокруг колеса, большой палец указывает в направлении вектора угловой скорости,

На рисунке показано колесо, лежащее ровно и поворачивающееся против часовой стрелки, если смотреть сверху.Оберните пальцы в направлении вращения. Ваш большой палец, который представляет вектор угловой скорости, указывает вверх; он проходит вдоль оси колеса. Если бы вместо этого колесо поворачивалось по часовой стрелке, ваш большой палец — и вектор — должны были бы указывать вниз, в противоположном направлении.

Об авторе книги

Стивен Хольцнер, доктор философии, был ответственным редактором в PC Magazine и преподавал в MIT и Корнелльском университете.Он написал Физика II для чайников , Физика основы для чайников и Квантовая физика для чайников .

с ++ — Определение угловой скорости, необходимой для регулировки ориентации на основе кватернионов Переполнение стека

Товары
Клиенты
Случаи использования

Переполнение стека Публичные вопросы и ответы
Команды Частные вопросы и ответы для вашей команды
предприятие Частные вопросы и ответы для вашего предприятия
работы Программирование и связанные с ним технические возможности карьерного роста
Талант Нанимать технический талант
реклама Связаться с разработчиками по всему миру

Вращение, крутящий момент, прецессия

Эта демонстрация, также показанная в мультимедийном руководстве по вращению, иллюстрирует кинетическую энергию вращения . Медный предмет первоначально катится на двух наклонных рельсах, которые поддерживают его, контактируя с его шахтой. В конце наклона он достигает горизонтальной дорожки, по которой он катится по краю.Это происходит примерно при t = 4 с на клипе.

Вертикальные метки времени показывают, как далеко он проходит каждую секунду. Спускаясь по трапу, он плавно ускоряется. Обратите внимание, что он внезапно ускоряется, когда достигает горизонтальной дорожки. Это неудивительно: относительно центра объекта кромка движется быстрее, чем поверхность вала (см. Прокатку). Таким образом, когда кромка соприкасается с горизонтальной дорожкой, она оказывает на нее силу трения. Тракт оказывает равную и противоположную силу, которая ускоряет его.

Это внезапное ускорение потребовало энергии: где оно хранилось?

Когда быстро движущийся край соприкасался с горизонтальной дорожкой, часть вращательной кинетической энергии преобразуется в поступательную кинетическую энергию: на дорожке уровня она движется быстрее, но вращается менее быстро. (Однако некоторая кинетическая энергия также теряется, поскольку во время этого процесса будет происходить скольжение, поэтому часть энергии теряется. См. Раздел о контактных силах.)

Теперь давайте получим количественный.

Кинетическая энергия вращения

Давайте изобразим твердое тело, вращающееся с угловой скоростью ω, подобно Земле на этом рисунке. Мысленно, давайте разделим это на коллекцию маленьких масс. Что касается оси вращения, единственная масса m на радиусе r движется со скоростью

(Вы можете пересмотреть круговое движение на этом этапе.) Его кинетическая энергия составляет ½ mv ². Так давайте представим, что объект делится на множество масс m _и на расстоянии r _и от оси. Каждый из них имеет v _i = r _i ω, где ω имеет одинаковое значение для всех масс, поскольку объект является (по предположению) жестким. Таким образом, полная кинетическая энергия вращения

_гниль

, где суммирование по всем я.½ ω ² является общим фактором в каждом члене суммы, поэтому

Это результат для набора дискретных масс, м _и. Для сплошного тела мы обычно должны делить его на маленькие элементы объема, dV. (Вы можете пересмотреть исчисление.) Из определения плотности ρ каждый имеет массу

Вместо обычного суммирования мы делаем интеграл (эквивалент суммирования для очень маленьких делений), и мы имеем

и где интеграция по всему объему, занятому данным твердым телом.

Студенты часто спрашивают на этом этапе: «Я знаю, как интегрировать через x, y и т. Д., Но как мне интегрировать более массовых ?» Ответ через плотность, ρ. Чтобы узнать распределение массы, вам нужно знать ρ ( r ) или ρ (x, y, z). Итак, мы рассмотрим небольшой элемент объема dV и напишем dm = ρ.dV. Если бы объект имел прямоугольную симметрию, мы могли бы выбрать dV как куб со сторонами dx, dy и dz и написать, например,
дм = ρ.dV.z = ρ.dx.dy.dz.
Затем мы просто интегрируем в пределах x, y и z, которые определяют изучаемый объект. Однако для сферы или сплошного цилиндра (относительно их осей) элементы объема будут представлять собой полые цилиндры вокруг оси, и интеграция будет идти от нулевого радиуса к радиусу сферы.

В приведенных ниже примерах значение обруча очевидно: вся масса находится на расстоянии r, поэтому I = mr ². В этом случае диск вокруг своей оси можно рассматривать как набор обручей, каждая из которых имеет толщину t и ширину dr и имеет массу dm = ρdV = ρ.2πt.r.dr. Сфера может рассматриваться как набор дисков с разными радиусами. Прямоугольник и диск о его диаметре анализируются как набор стержней. В большинстве учебников есть примеры. Я скоро выложу некоторые здесь, но отложу это, потому что трудно писать математику в html!

Момент инерции

Вот некоторые полезные общие случаи, которые вытекают из интегралов, упомянутых выше.

проблем прокатки

Это одна из загадок, представленных в мультимедийном учебнике.Две одинаковые банки, одна полная воды (низкая вязкость) и одна полная меда (высокая вязкость). Какой из них катится быстрее? Перед тем, как запустить фильм, задайте себе следующие вопросы: если их вес одинаков, что вы можете сказать об их первоначальной потенциальной энергии? Когда они достигнут дна, у которого будет больше вращательной кинетической энергии? И поэтому, что будет иметь больше поступательной кинетической энергии?

Вы должны быть в состоянии использовать аналогичные аргументы и значения моментов инерции, приведенные выше, чтобы предсказать результаты большинства «гонок», показанных ниже.Но сначала мы можем спросить, входит ли размер в него, либо через радиус, либо через массу. Клип ниже показывает два алюминиевых диска разных размеров, но одинаковой массы. Следующая гонка проходит между диском (сплошной цилиндр) и полым цилиндром. Сплошная сфера (бильярдный шар) и сплошной диск (из алюминия). И, наконец, сферы разных размеров и масс. (два стальных шарика)

Графики выше показывают смещение, скорость и ускорение для линейного движения с постоянным ускорением (слева) и для кругового движения с постоянным угловым ускорением.Просто для практики, давайте выведем новые уравнения (и пересмотрим раздел кинематики, если это выглядит сложно!) Если мы рассмотрим движение с постоянным ускорением и помним, что α = dω / dt, мы имеем

₀

А из ω = dθ / dt мы можем снова интегрировать, чтобы получить:

₀

Из двух приведенных выше уравнений мы можем исключить t, чтобы получить

₀

Итак, у нас есть уравнения, полностью аналогичные уравнениям линейной кинематики:

₀

Как мы видели в предыдущем разделе, силы вызывают ускорения.Чтобы что-то повернуть, мы применяем крутящий момент. Сначала мы определим, а затем объясним, почему это определение логично. Позже мы увидим полную аналогию с законами Ньютона для линейного движения.

Крутящий момент τ определяется

, где сила F действует в точке, смещенной на r от оси. Величина крутящего момента определяется как

где θ — угол между r и F .(Возможно, вам придется взглянуть на раздел перекрестных продуктов на странице поддержки векторов.) Сначала мы обсудим величину, а затем направление.

На фотографиях справа показаны три способа использования гаечного ключа. В первой паре мы сравниваем небольшое значение r (малый крутящий момент) с большим r и большим τ. Во втором мы сравниваем θ = ноль и θ = 90. В первом случае крутящий момент равен нулю. Из опыта вы знаете, что для получения максимального крутящего момента вам нужны большие r, θ = 90 и большие F.

Крутящий момент также известен как момент силы или иногда просто как момент.r sin θ называется моментной рукой.

Этот верхний набор диаграмм справа показывает зависимость крутящего момента от угла θ. Максимальный крутящий момент возникает, когда составляющая F под прямым углом к r является максимальной, то есть когда θ = 90 °. Центральная фигура показывает тангенциальный компонент F , который является F sin θ.

Уравнение

можно интерпретировать двумя различными способами, как показано на следующих рисунках:

τ = r (F sin θ) или τ = F (r sin θ). Мы можем рассматривать его как r, умноженное на тангенциальную составляющую F (левый эскиз и уравнение), или как F кратчайшее расстояние (r sin θ) между осью и линией, вдоль которой действует F ( правильный эскиз и уравнение).

Крутящий момент — это вектор

Определение τ = r X F дает направление τ . Он находится под прямым углом к r и F в правостороннем смысле: если вы положите большой палец правой руки в направлении r и указательный палец в направлении F , ваш правый средний палец указывает в направлении τ .Вторая фотография показывает крутящий момент τ , создаваемый натяжением в струне вокруг оси шкива.

В предыдущем уроке мы видели, что первый и второй законы Ньютона для линейного движения объединяются в уравнении

Сила имеет тенденцию производить линейное ускорение, а масса сопротивляется линейному ускорению. Для вращения крутящий момент имеет тенденцию производить угловое ускорение, а момент инерции противостоит угловому ускорению .Учитывая только вращение вокруг неподвижной оси, мы записываем закон Ньютона для углового движения как
В этих пленочных клипах мы видим различных крутящих моментов τ, приводящих к различным угловым ускорениям α для объектов с одинаковым моментом инерции I. Хотя одна и та же масса прикреплена к струне, силы только приблизительно равны: сила в Пример справа немного меньше, чем слева. (Вы понимаете, почему? Подумайте об уравнении движения для нисходящей массы.)
Несмотря на несколько меньшую силу во втором случае, большее смещение точки приложения от оси означает, что в этом случае крутящий момент больше, и, следовательно, он вызывает большее угловое ускорение.

В этих клипах мы видим эффект , изменяющий момент инерции . Опять же, хотя к струне прикреплена одна и та же масса, силы только приблизительно равны, но в этом примере приближение лучше. В этих трех случаях радиус, вокруг которого действует сила, одинаков, поэтому крутящие моменты примерно равны.

В первом фильме вращается алюминиевая труба.Во-вторых, массы привязаны к нему, увеличивая его момент инерции. Большая масса, больше I, меньше α. Сравнивая вторую и третью пленки, мы видим, что не только масса, но и распределение массы определяют момент инерции: когда массы находятся на больших радиусах, I больше, а α меньше.

Этот эксперимент показывает важность оси в определении момента инерции.Я настоятельно рекомендую дать вам почувствовать τ = Iα. Мы используем уравнения для I, приведенные выше. Пусть стержень имеет массу m, радиус r и длину L. По отношению к длинной оси стержня его момент инерции равен моменту диска, длина которого составляет всего I _, = ²/2. (Фактически, возмущения I из-за его изгиба больше, чем это.) О центральной поперечной оси, I _{, центр} = ml ²/12. О поперечной оси на конце I _конец = мл ²/3.Поскольку L ~ 50 * r, это очень сильно влияет на (колебательные) угловые ускорения, которые я могу обеспечить в направлениях, показанных стрелками. (Версия фильма находится в учебнике.)

Почему стержень падает быстрее шара? Или это вопрос с подвохом?

Эта маленькая демонстрация — загадка, которую я оставлю читателю.Однако для начала я нарисовал диаграмму.

Момент импульса: законы Ньютона для вращения

Угловой момент L частицы с импульсом p смещен на r от оси вращения L = r X р . Давайте возьмем производную по времени

Если ось вращения фиксирована, то d r / dt равно v , что параллельно p , поэтому первый член справа равен нулю.Второй закон Ньютона для линейного движения устанавливает общую силу F , равную d p / dt, поэтому термин справа составляет r X F . Применение этого к вращению и использование определения момента импульса L показывает нам, что крутящий момент r X F , который является определением крутящего момента τ . Так что это дает нам еще одну полезную аналогию между линейным и вращательным движением:

Как следствие, , если внешние моменты равны нулю, момент импульса сохраняется .

Посмотрите на демонстрацию в правом верхнем углу. Стул вращается свободно, предполагая, что внешние крутящие моменты невелики. Итак, вопросы: когда я рисую на руках,

что происходит с моим угловым моментом?
что происходит с моей угловой скоростью?
что происходит с моей кинетической энергией?

Пусть мой момент инерции будет I _Джо = MK ², где я оцениваю, что k, мой радиус вращения, составляет около 0.15 м. Моя масса 70 кг так

_Джо

Масса, которую я держу, составляет 2,2 кг каждая. Они находятся на расстоянии около 0,8 м от оси вращения, когда мои руки вытянуты, и около 0,15 м, когда мои руки втянуты. В этих условиях их моменты инерции составляют

_м

Пренебрегая внешними моментами

_{начальная}

_{конечная}

Для этого грубого расчета, пренебречь моментами инерции моих рук и стула, и у нас есть

_Джо

_м

_{начальный}

_Джо

_м

_{конечный}

Таким образом, соотношение ω _{, конечная} / ω _{, начальная} составляет около (I _Джо + 2I _м) / (I _Джо + 2I ‘_м) ~ 2.Вы можете проверить это, рассчитав периоды с оружием в двух позициях (и обратите внимание, что я даю ответ только одной значимой цифре.

А как насчет кинетической энергии? K = ½Iω ². Используя L = Iω, мы можем записать это как K = ½Lω. Итак, в этом случае моя кинетическая энергия увеличивается примерно в 2 раза, когда я рисую на руках. Итак, вопрос для вас: Почему моя механическая энергия не сохраняется?

Момент импульса при столкновениях

В этом примере в мяч брошен справа от моей оси, а также (вертикальной) оси, вокруг которой кресло может вращаться.Таким образом, по отношению к этой оси момент импульса шара, когда он брошен мне, направлен вниз (или, если хотите, по часовой стрелке, если смотреть сверху).

Рассмотрим момент импульса меня, стула и мяча, все вокруг этой оси. Поскольку кресло легко поворачивается по этой оси, внешний крутящий момент (через подшипники кресла) дает незначительный угловой импульс, поэтому угловой момент вокруг этой оси сохраняется: после (полностью неэластичного) столкновения мы поворачиваемся вместе.

Во втором столкновении я бросаю мяч, давая ему момент импульса (всегда около одной и той же оси), который направлен вверх (или, если вы предпочитаете, против часовой стрелки).Результатом является увеличение моего углового момента в направлении вниз.

Предупреждение о безопасности: брошенный мяч также имеет момент импульса вокруг горизонтальной оси на уровне пола. Если его значение достаточно высокое, это может привести к опрокидыванию кресла назад. Так что не бросайте это сильно.

Гироскопы

Гироскоп состоит из объекта с существенным угловым моментом — что обычно означает, что он имеет достаточно большой момент инерции и что он вращается с большой угловой скоростью.Он часто имеет карданное крепление, как в данном случае: его ось установлена с низким крутящим моментом трения в раме с осью под прямым углом к нему, и это крепление смонтировано в другой раме, ось которой снова находится под прямым углом опять же с низким моментом трения. Это позволяет вращать последний кадр в любом направлении относительно направления оси гироскопа, не создавая большого крутящего момента на гироскопе.

Следовательно, момент импульса гироскопа (приблизительно) сохраняется в инерциальной системе отсчета.Так, например, идеальный гироскоп, ось вращения которого указывает на далекую звезду, будет продолжать указывать на эту звезду, даже если транспортное средство / летательный аппарат и т. Д., На котором он был установлен, многократно поворачивается, наклоняется или поворачивается.

Прецессия

Применим

к движению быстро вращающегося объекта, такого как колесо в фильме справа.В момент, показанный верхним неподвижным изображением под кадром видео, колесо вращается по часовой стрелке, если смотреть слева, поэтому его угловой момент L справа, как показывает стрелка. Если мы рассмотрим крутящие моменты вокруг центра колеса, вес не оказывает никакого крутящего момента относительно этой точки, но струна оказывает направленное вверх усилие. F смещены на r от этой точки, поэтому крутящий момент τ = r X F из-за струны находится в указанном направлении.Сейчас Δ , л , , смена по угловому моменту должен быть параллелен τ , поэтому L , который расположен вдоль оси, как показано, должен двигаться наружу к наблюдателю. Кроме того, крутящий момент всегда (приблизительно) перпендикулярен L , поэтому движение является круговым — это называется прецессией .

Как быстро он прецессирует? Если мы сделаем приближение, что вал горизонтален, то угол, через который он прецессирует во времени dt, составляет всего

Скорость прецессии пропорциональна крутящему моменту, поэтому увеличенный рычаг для веса позволяет прецессировать быстрее.Но увеличение скорости вращения ω увеличило бы L и тем самым заставило бы его прецессировать медленнее.

Предупреждение: крутящий момент и угловой момент ведут себя не так, как некоторые другие векторы, в отношении симметрии. Например, представьте зеркало, расположенное справа от этой фотографии, и его нормальное направление влево. Зеркальное изображение колеса будет иметь угловой момент, указывающий направо. По этой причине крутящий момент и момент импульса иногда называют псевдовекторами. То, что они менее реальны, чем, скажем, сила и линейный импульс, можно утверждать, указывая, что, если бы мы изменили направление перекрестного произведения на π, наши неизмененные уравнения все равно работали бы, но все моменты и угловые импульсы теперь были бы в противоположном направление.Поэтому по этой самой причине вы можете прочитать:

Прецессия без векторов

Можем ли мы объяснить прецессию без векторов? Качественно ответ — да. Справа, под фильмом, взяты две фотографии: посмотрите на верхнюю. Шнур с правой стороны (смотрите на фото) тянет вал вверх, вес вала тянет его вниз. Если бы оно не вращалось, мы знаем, что весь аппарат наклонился бы против часовой стрелки: верхняя часть колеса двигалась бы влево, а нижняя — вправо.Так как же вращение заставляет его прецессировать, а не падать?

Давайте рассмотрим небольшую часть обода колеса сверху — назовите ее верхней частью, и давайте раскрасим ее в красный цвет. В момент получения верхней фотографии верхняя часть движется (в течение очень короткого времени) в горизонтальном направлении, наружу от фотографии, на высокой скорости. Но совокупный эффект веса и натяжения шнура, как мы упоминали выше, заставляет его двигаться влево. На самом деле, он немного уходит влево, но также очень быстро идет к нам.Просто для этого объяснения, скажем, что после того, как он переместился на четверть оборота вокруг вала, он выйдет к нам и станет теперь ближайшей к нам частью колеса (и движется вниз), но он будет смещен чуть-чуть осталось относительно левой стороны обода на (верхней) фотографии.

Аналогично, давайте рассмотрим небольшую часть обода колеса внизу и раскрасим его в зеленый цвет. В момент фотографии нижняя часть перемещается горизонтально на фотографию.На этот раз совокупный эффект веса и натяжения шнура заставляет его двигаться вправо. Итак, еще раз, скажем, что после того, как он переместился на четверть оборота вокруг вала, он уйдет внутрь, от нас и станет самой дальней частью колеса от нас (и идет вверх), но он сместится на Немного правее по отношению к ободу на верхнем неподвижном фото.

Итак, через четверть оборота ближайший бит колеса немного сместится влево, а дальняя сторона колеса немного сместится вправо.Итак, мы смотрим на дно еще — и затем запускаем фильм — и мы видим, что это именно то, что происходит. Две цветные части колеса движутся в соответствии с их весом и натяжением шнура (то есть внешним крутящим моментом), но они не успевают продвинуться слишком далеко из-за их быстрого вращения. Сочетание этих и других движений дает нам прецессию, которую мы видим. Также обратите внимание, что чем быстрее вращается колесо, тем меньше времени уходит на то, чтобы куски двигались вбок, и тем медленнее прецессия, как указано в приведенном выше уравнении.

Это объяснение довольно длинное, чем векторное объяснение, приведенное выше, и оно только качественное. Поэтому физику или инженеру нужен векторный анализ, и он может использовать его быстро и точно. Возможно, он / она иногда также использует качественное объяснение, подобное этому, но это очень медленный путь к только качественному результату.

Угловая скорость — Простая английская Википедия, свободная энциклопедия

Угловая скорость описывает скорость вращения и ориентацию оси, вокруг которой происходит вращение. Направление вектора угловой скорости будет вдоль оси вращения; в этом случае (вращение против часовой стрелки) вектор указывает на зрителя.

В физике угловая скорость определяет угловую скорость, с которой объект вращается вместе с направлением, в котором он вращается.

Это векторная величина. ^[1] Единица угловой скорости СИ — радианы в секунду. Но его можно измерять и в других единицах (например, градусы в секунду, градусы в час и т. Д.). Когда его измеряют в циклах или оборотах в единицу времени (например, обороты в минуту), его часто называют скоростью вращения, а ее величину — скоростью вращения. Угловая скорость обычно представляется символом омега ( Ω или ω ). Направление вектора угловой скорости перпендикулярно плоскости вращения в направлении, которое обычно задается правилом правой руки.

↑ точнее псевдовектор

Скорость и ускорение гармонических колебаний

Скорость точки, совершающей гармонические колебания

Ускорение точки, совершающей гармонические колебания

Примеры решения задач

Колебания и волны: скорости и ускорения

Глава 11. Механические колебания и волны

Энергия гармонического осциллятора.

Лекция 8. Сложение колебаний.

Сложение гармонических колебаний одного направления и одной частоты.

Биения.

Значение — угловая скорость

Гармонические колебания.

Уравнение гармонических колебаний.

Пружинный маятник.

Математический маятник.

Свободные и вынужденные колебания.

Как определить направление угловой скорости

Об авторе книги

Вращение, крутящий момент, прецессия

Кинетическая энергия вращения

Момент инерции

проблем прокатки

Крутящий момент — это вектор

Момент импульса: законы Ньютона для вращения

Момент импульса при столкновениях

Гироскопы

Прецессия

Прецессия без векторов

Добавить комментарий Отменить ответ