Связь угловой скорости с линейной: Линейная и угловая скорость, теория и онлайн калькуляторы
Связь между векторами угловой и линейной скоростей точки
Связь между векторами угловой и линейной скоростей точки [c.159]Связь между линейными и угловыми величинами. Найдем скорость v произвольной точки А твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси 00 с угловой скоростью (О. Пусть положение точки А относительно некоторой точки О оси вращения характеризуется радиусом-вектором г (рис. 1.8). Воспользуемся формулой (1.11), поделив ее на соответствующий промежуток времени dif. Так как dr/d/ = v и d
[c.20]
Эта формула дает связь между сигналом s° датчика линейного ускорения точки А. и приведенным ускорением в° = в —g точки О, а также вектором и угловой скорости тела. [c.174]
Путь, пройденный точкой за один период по окружности радиуса Я, равен 2пЯ, а угол поворота радиус-вектора точки за тот же промежуток времени равен 2л рад, т.
Для кинематического описания вращательного движения абсолютно твердого тела вокруг какой-то неподвижной оси используются те луравнения связи между ними), что и для описания движения точки по окружности угловая координата какой-либо точки тела (ф), угол поворота радиус-вектора г точки тела (Аф), средняя и мгновенная угловые скорости ( .р и со), линейные скорости различных точек тела (v). Промежуток времени Т, в течение которого тело совершает один полный оборот вокруг оси, называется периодом враш,ения, а величина V, обратная периоду,— частотой вращения. [c.35]
В заключение выпишем формулы, связывающие модули линейных и угловых скоростей и ускорений. Они вытекают из соотношения AS = RA
длиной дуги Д5, углом А(р и радиусом R окружности (модулем радиуса-вектора Л точки) (рис. 7 а). Разделив обе части равенства на At и переходя к пределу при At—>0, получим соотношение между модулями линейной и угловой скоростей v = Ra, а продифференцировав еще раз по времени, найдем связь между ускорениями а.
= Л/3 (подчеркнем, что слева стоит не полное, а тангенциальное ускорение а. = dvjdt). Выразим также центростремительное ускорение через угловую скорость = v /R = a R в векторной форме
[c.25]Равномерное движение по прямой и вращение по окружности. Связь угловой и линейной скорости
Раздел физики, который изучает движение тел по различным траекториям, называется кинематикой. Практически полезными типами перемещения объектов являются движение по прямой и по окружности. Рассмотрим в статье, что представляют собой эти типы движения, какими формулами они описываются, а также приведем связь угловой и линейной скорости.
Движение по прямой
Связь угловой и линейной скорости можно определить, если знать, о каких величинах идет речь. Начнем со скорости линейной.
Со школьной скамьи каждый знает, что перемещение объектов в пространстве характеризуется тремя главными величинами:
- пройденный путь S;
- время движения t;
- скорость v.
Формула, связывающая в единое равенство названные величины, приведена ниже:
S = v * t.
Приведенное выражение описывает равномерное движение тела по прямой линии. В международной системе единиц СИ величина S измеряется в метрах (м), t — в секундах (с), v — в метрах в секунду (м/с). Помимо названных единиц, путь и время могут измеряться в километрах (км) и часах (ч), соответственно. Тогда скорость будет выражаться в километрах в час (км/ч).
Записанная формула может применяться для решения широкого круга практических задач, например, движение транспортных средств по дорогам, движение кораблей и лодок по рекам, полет птиц и так далее.
Движение по окружности
Перед тем как перейти к выводу формулы связи линейной и угловой скорости, следует рассмотреть последнюю с точки зрения физики.
Угловая скорость появляется в физике, когда речь идет о вращающихся объектах. Примерами могут быть вращение колеса велосипеда, маховика автомобиля или планеты вокруг своей звезды.
Угловая скорость тела показывает, на какой угол в радианах оно поворачивается за единицу времени. Обычно эту величину обозначают греческой буквой ω (омега). Она измеряется в радианах в секунду (рад/с).
По аналогии с линейным случаем можно назвать три главных величины, которые описывают движение по окружности с постоянной скоростью угловой:
- угол поворота θ;
- время t;
- угловая скорость ω.
Соответствующая формула, которая связывает эти величины, выглядит так:
θ = ω * t.
Угол поворота тела θ вокруг оси вращения измеряется в радианах. Напомним, что окружность имеет 2 * pi радиан (около 6,28). Если полученное по формуле значение θ оказалось больше, чем 2 * pi, то это означает, что тело сделало больше одного оборота вокруг оси.
Таким образом, записанное выражение позволяет рассчитать число оборотов, совершаемых телом за известный промежуток времени t.
Связь угловой и линейной скорости
Теперь можно рассмотреть этот вопрос.
Предположим, что тело, имеющее линейную скорость v, вращается по окружности радиусом R. Чтобы получить между линейной и угловой скоростью связь, рассмотрим, какое время понадобится телу, чтобы сделать полный один оборот. Поскольку пройденный путь будет равен длине окружности, то следующее выражение будет справедливым:
t = S/v = 2 * pi * R/v.
Теперь воспользуемся угловыми величинами. За найденное время одного оборота t, тело повернется точно на 2 * pi радиан. Последнее означает, что его угловая скорость будет равна:
ω = θ/t = 2 * pi/t.
Подставим рассчитанное выше время t и получим между угловой и линейной скоростью связь:
ω = 2 * pi/t = 2 * pi/(2 * pi * R/v) = v/R.
Полученную формулу можно записать в двух видах:
ω = v/R;
v = ω * R.
Каждое из выражений применяется в зависимости от того, какая величина в условии задачи известна.
Формулы позволяют сделать важный вывод: чем больше радиус орбиты вращение, тем больше будет линейная скорость при постоянной угловой скорости.
Далее решим интересную задачу на применение полученных формул.
Что быстрее — Земля или Марс?
Известно, что Земля и Марс являются 3-й и 4-й планетами Солнечной системы, соответственно. Обе планеты движутся приблизительно по круглым орбитам. Расстояние от нашей звезды до Земли равно 149 597 870,691 км, а один оборот вокруг нее она делает за 365,256 дней. Марс расположен от Солнца на расстоянии 227 936 640 км, и один оборот вокруг него делает за 686,971 земных дня. Необходимо определить и сравнить линейные скорости планет.
Угловая скорость планеты может быть рассчитана по формуле:
ω = 2 * pi/T.
Где T — период (время совершения одного оборота вокруг звезды). Подставляя ω в формулу для v, получаем:
v = 2 * pi * R/T.
Переведем время оборота планет в часы и подставим данные в это равенство, получим:
- для Земли: v = 2 * 3,14 * 149597870,691/(365,256 * 24) ≈ 107,2 тыс. км/ч;
- для Марса: v = 2 * 3,14 * 227936640/(686,971 * 24) ≈ 86,8 тыс. км/ч.
км/ч;Обе цифры являются огромными. Так, Земля за один час пролетает в космосе расстояние, практически равное трем ее окружностям по экватору. Полученные скорости свидетельствуют, что Земля движется быстрее Марса, и ее скорость на 24 % больше марсианской.
Угловая и линейная скорость | Облепиха
Представьте перевернутый велосипед, у которого могут свободно вращаться колеса. Помимо всего прочего, нужно, чтобы у него на передней шине была нарисована небольшая яркая точка.
В этом параграфе мы попробуем найти связь между угловой и линейной скоростями этого пятнышка (линейная скорость – это скорость, с которой тело (в нашем случае точка) движется по окружности).
Допустим, длина велосипедной спицы (стержня, соединяющего центр колеса c его ободом) составляет 30 сантиметров. Предположим, что наше пятнышко за 2 секунды переместилось следующим образом:
Чтобы найти угловую скорость, нам нужно взять угловое перемещение и разделить его на время вращения.
Чему равен угол поворота спицы, на конце которой расположена точка? Мы легко можем ответить на этот вопрос:
\varDelta{\vec{\varphi}}=\varphi_2-\varphi_1=\pi-\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi}{2}\thickspaceрад
Точно таким же будет и модуль углового перемещения:
\varDelta{\varphi}=\dfrac{\pi}{2}\thickspaceрад
А теперь найдем модуль угловой скорости (нас в данном случае не интересует направление этой векторной величины):
\omega=\dfrac{\varDelta{\varphi}}{\varDelta{t}}=\dfrac{\pi}{2}\thickspaceрад\div2\thickspaceс=\dfrac{\pi}{4}\thickspaceрад/с
А как найти линейную скорость? Нужно просто взять расстояние, пройденное точкой, и разделить его на время движения:
v=\dfrac{d}{\varDelta{t}}
Теперь вспомним соотношение, связывающее путь и угловое перемещение:
d=\varDelta{\varphi}r
Объединим оба выражения:
v=\dfrac{\varDelta{\varphi}r}{\varDelta{t}}
В этом уравнении “спряталась” формула для расчета угловой скорости:
v=\dfrac{\varDelta{\varphi}}{\varDelta{t}}×r
\boxed{v={\omega}r}
Вот мы и нашли ту связь, которую искали.
Нам осталось дать ответ на поставленный изначально вопрос:
v={\omega}r=\dfrac{\pi}{4}\thickspaceрад/с×0.3\thickspaceм\approx0.24\thickspaceм/с=24\thickspaceсм/с
Связь между линейными и угловыми величинами
Следующий: Центростремительное ускорение Вверх: Круговое движение и Предыдущий: Формулы для постоянной угловой
Рассмотрим объект, который движется из точки P в P ‘ по круговая траектория радиусом
Определение: Тангенциальная скорость
Средняя тангенциальная скорость такого объекта определяется быть длина дуги, с , пройденное расстояние, деленное на интервал времени, т :
| знак равно | (11) |
v t = . | (12) |
| с = г | (13) |
| v t = r = r . | (14) |
Примечание :
- Мгновенная тангенциальная скорость Вектор всегда перпендикулярно радиус-вектор кругового движения.
Определение: Тангенциальное ускорение
Тангенциальное ускорение скорость изменения тангенциального
скорость. То среднее тангенциальное ускорение равно:
| знак равно | |||
| знак равно | r = r | (15) |
Мгновенное тангенциальное ускорение определяется по формуле: | а т | знак равно | ||
| знак равно | р | (16) |
Примечание:
- Приведенная выше формула действительна, только если угловая скорость выражается в радианах в секунду .
- Направление вектора тангенциального ускорения всегда параллельно тангенциальной скорости и перпендикулярно радиус-вектор кругового движения.
Следующий: Центростремительное ускорение Вверх: Круговое движение и Предыдущий: Формулы для постоянной угловой www-admin@теория.
uwinnipeg.ca 9/10/1997
Формулы движения — линейные и круговые
линейные движения формулы
Средняя скорость / скорость движущегося объекта можно рассчитать как
3V = S / T (1A)
, где
v = скорость или скорость (м/с, фут/с)
с = пройденное линейное расстояние (м, фут)
t = время (с)
- расстояние — это длина пути тело следует при перемещении из одной точки в другую — смещение — это расстояние по прямой линии между начальным и конечным положениями тела
- мы используем скорость и скорость как взаимозаменяемые — но имейте в виду, что скорость является мерой того, насколько быстро или медленно проходит расстояние пройдено, скорость, с которой пройдено расстояние — скорость является вектором, указывающим, насколько быстро или медленно пройдено расстояние и направление
Если ускорение постоянно, то скорость c Вы выражены как:
V = V 0 + A T (1b)
, где
V 0 = начальная линейная скорость (м / с, футов / с)
a = ускорение (м/с 2 , фут/с 2 )
Линейное расстояние может быть выражено как (если ускорение постоянно):
с = v 1/2 A T 2 (1C)
Объединение 1B и 1C для высказывания конечной скорости
V = (V 0 2 + 2 AS) 1 / 2 (1D)
скорость может быть выражена как (скорость переменной)
V = DS / DT (1F)
, где
DS = изменение Стойка (м, футов)
dt = изменение во времени (ы)
Ускорение может быть выражено как
A = DV / DT (1G)
, где
dv = изменение скорости (м/с, фут/с)
Пример — марафонский забег
, Кения — 29 сентября 2013 г.
v = (42195 м) / (7403 с)
= 5.7 м/с
= 20,5 км/ч
Ускорение можно рассчитать путем преобразования
(1b) вa = (v — v 0 ) / t
= ((100 км/ч) (1000 м/км) / (3600 с/ч) — (0 км/ч) ( 1000 м/км) / (3600 с/ч)) / (10 с)
= 2.78 (м/с 2 )
Калькуляторы линейного движения
Средняя скорость
с — расстояние (м, км, футы, мили)
t — использованное время (с) Расстояние
v 0 — начальная скорость (м/с, фут/с)
а — ускорение (м/с 2 , фут/с 2 ) 9t1 (с, ч)
Конечная скорость
v 0 — начальная скорость (м/с, фут/с)
а — ускорение (м/с 2 , 2 фут/с 90 )
с — расстояние (м, фут)
Ускорение
v — конечная скорость (м/с, фут/с)
v 4 — 9006 м/с начальная скорость /с)
t — использованное время (с)
Круговое движение — вращение
Угловая скорость 90 342
Угловая скорость может быть выражена как (угловая скорость = постоянная):
ω = θ / t (2)
, где
Ω = угловая скорость (RAD / S)
θ = Угловое расстояние (рад)
T = время (ы)
угловая скорость и об / мин:
ω = 2 π N / 60 (2A)
, где
N = число оборотов в минуту (об/мин)
π = 3.
Тангенциальная скорость точки в угловой скорости — в метрических или имперских единицах, таких как м/с или фут/с — может быть рассчитана как
v = ω r )
где
v = тангенциальная скорость (м/с, фут/с, дюйм/с)
r = расстояние от центра до точки (м, фут, дюйм) Пример — Тангенциальная скорость велосипедной шины
Велосипедное колесо 26 дюймов вращается с угловой скоростью π радиан/с (0.5 оборотов в секунду) . Тангенциальная скорость шины может быть рассчитана как
v = ( π радиан/с ) ((26 дюймов) / 2)
= 40,8 дюйма/с
3 Угловая скорость 2 4 00911
Угловая скорость. Угловая скорость также может быть выражена как (угловое ускорение = постоянная):
+ ω O + α T (2C), где
ω o = угловая скорость во время нуля (рад/с)
α = угловое ускорение или замедление (рад/с 2 )
Угловое смещение
Угловое расстояние может быть выражено как (угловое ускорение является постоянным):
9002 Ω O O T + 1/2 α T 2 T 2 (2D)
Берлинский марафон) — среднюю скорость можно рассчитать
14… Объединение 2A и 2C:
Ω = (Ω 900 63 O 2 + 2 α θ) 1/2 1/2
Углощение углового ускорения
Угловое ускорение может быть выражено как:
α = dω / dt = d 2 θ / dt 2 (2e)
(2e)
, где
dθ = смена углового расстояния (rad)
dt = изменение во времени (ы)
Пример — замедление маховика
с помощью Geni (Фото Пользователь: geni) [GFDL или CC-BY-SA-3.
0-2.5-2.0-1.0], через Wikimedia Commons
Маховик замедляется с 2000 об/мин ( оборотов об/мин) до 1800 об/мин через 10 с . Замедление маховика можно рассчитать как
α = ((2000 об/мин ) — (1800 об/мин )) (0,01667 мин/с) (2 π рад / 2 π рад / / ) ) / (10 с)
= 2,1 рад /с 2
= (2.1 рад/с 2 ) (360 / (2 π) градусов/рад)
= 120 градусов/с 2
Угловой момент — или крутящий момент
Angular Moment
T = α I (2f) I (2F)
где
T = угловой момент или крутящий момент (N m)
I = момент инерции (LB M FT 2 , кг м 2 )
Связь между линейными и вращательными величинами
Определение кругового движения
Описание кругового движения лучше описывается в терминах угловой величины, чем его линейный аналог.
Причины легко понять. Например, рассмотрим случай равномерного кругового движения. Здесь скорость частицы меняется — хотя движение «равномерное». Эти две концепции несовместимы. Общий оттенок термина «равномерный» означает «постоянный», но на самом деле скорость постоянно меняется.
Вращающийся корпус
Каждая частица, составляющая тело, совершает равномерное круговое движение вокруг неподвижной оси. Для описания движения лучше всего подходят угловые величины.
Когда мы описываем равномерное круговое движение с точки зрения угловой скорости, противоречия нет. Скорость (то есть угловая скорость) действительно постоянна. Это первое преимущество описания равномерного кругового движения с точки зрения угловой скорости.
Второе преимущество заключается в том, что угловая скорость передает физический смысл вращения частицы, в отличие от линейной скорости, которая указывает на поступательное движение. В качестве альтернативы, угловое описание подчеркивает различие между двумя типами движения (поступательным и вращательным).
Связь между линейной и угловой скоростью
Для простоты рассмотрим равномерное круговое движение. Для длины дуги, образующей угол » в начале координат, а «r» — это радиус окружности, содержащей положение частицы, мы имеем $s=r\theta $.
Дифференцируя по времени, мы имеем
$\frac{ds}{dt} = \frac{dr}{dt} \theta + r\frac{d\theta}{dt}$
Потому что $\frac{dr}{dt} = 0$ для равномерного кругового движения получаем $v = \omega r$.Точно так же мы также получаем $a = \alpha r$, где $a$ означает линейное ускорение, а $\alpha$ означает угловое ускорение (в более общем случае соотношение между угловыми и линейными величинами задается как $\bf {v = \omega \times r}, ~~ \bf{a = \alpha \times r + \omega \times v}$. )
Кинематические уравнения вращения
Со связью линейной и угловой скорости/ускорения , мы можем вывести следующие четыре уравнения кинематики вращения для постоянных $a$ и $\alpha$:
$\omega =\omega 0+\alpha t : v=v0+at$
$\theta =\omega 0t+(1/2)\alpha t2 : x=v0t+(1/2)at2$
$\omega 2=\omega 02+2 : v2=v02+2ax$
Поскольку мы используем массу, импульс, поступательную кинетическую энергию и второй закон Ньютона для описания линейного движения, мы можем описать общее вращательное движение, используя соответствующий скаляр /векторные/тензорные величины:
Например, так же, как мы используем уравнение движения $F = ma$ для описания линейного движения, мы можем использовать его аналог $\bf{\tau} = \frac{d\bf{ L}}{dt} = \bf{r} \times \bf{F}$ для описания углового движения.
Описания равнозначны, а выбор можно сделать исключительно для удобства использования.
√ Соотношение между угловой скоростью и линейной скоростью — вывод
Вот полное обсуждение угловой скорости и линейной скорости. Как связь между угловой скоростью и линейной скоростью, их вывод и формула в векторной форме. Итак, прежде чем мы обсудим связь между угловой скоростью и линейной скоростью. Мы должны сначала узнать, что такое определение угловой скорости? Что такое линейная скорость? Итак, начнем с угловой скорости.
Что такое угловая скорость?
Угловая скорость показывает, насколько быстро или медленно движется тело. С другой стороны, мы можем сказать, что угловая скорость означает, что тело движется под некоторым углом. Другими словами, это скорость изменения углового смещения во времени.
Угловое перемещение означает, что тело проходит некоторое расстояние под некоторым углом 𝛉. Например, если тело вращается по окружности радиуса r с некоторым углом 𝛉, то 𝛉 можно назвать угловым смещением.
Обозначается 𝛉. следовательно, формула углового смещения 𝛉 = L/r.
Итак, как мы обсуждали ранее, угловая скорость – это скорость изменения углового смещения. Обозначается ⍵. следовательно, формула угловой скорости имеет вид
Пример угловой скорости
Тело движется по круговой траектории и преодолевает расстояние 100 м.Тело имеет фиксированный радиус 5 м и движется 5 сек. тогда угловая скорость тела будет
Угловое смещение 𝛉 = L/r = 100/5 = 20 радиан
Теперь, если мы хотим измерить, насколько быстро и медленно движется тело, мы должны найти угловую скорость.
Угловая скорость ⍵ = d𝛉/dt
⍵ = 20/5 = 4 рад/сек
Следовательно, тело движется со скоростью 4 рад/сек.
Теперь угловая скорость является векторной величиной. Итак, как мы можем найти направление угловой скорости.Ответ: Направление угловой скорости определяется по правилу большого пальца правой руки.
Что такое линейная скорость?
Линейная скорость определяется как скорость изменения длины дуги дуги (по окружности) во времени.
Например,
Здесь расстояние по дуге равно «S». Угловая скорость означает, что тело проходит некоторое расстояние по окружности под некоторым углом тета.
Линейная скорость обозначается буквой V. Направление линейной скорости определяется касательной, проведенной перпендикулярно радиусу окружности.
В основном мы можем сказать, что когда объект движется по кругу. На самом деле у него две скорости: одна — угловая скорость из-за угла тета, а другая — линейная скорость из-за длины окружности. Таким образом, существует уникальная связь между угловой скоростью и линейной скоростью.
Связь между угловой скоростью и линейной скоростью
Угловая скорость – это скорость изменения углового смещения. С другой стороны, линейная скорость — это скорость изменения дугового расстояния.Таким образом, соотношение между угловой скоростью и линейной скоростью таково: линейная скорость равна произведению радиуса на угловую скорость. Это определяется как
Линейная скорость = радиус ✕ угловая скорость
V = r✕ω
мы также можем сказать, что существует прямая связь между линейной скоростью и угловой скоростью.
Это означает, что если линейная скорость увеличивается, угловая скорость также увеличивается, и наоборот.
Обратите внимание, что линейная скорость круговых движущихся частиц всегда больше, чем угловая скорость.
Теперь у нас есть представление о связи между угловой скоростью и линейной скоростью. Но помимо этого мы проводим эксперимент, чтобы продемонстрировать связь между угловой скоростью и линейной скоростью.
Эксперимент, чтобы показать, что существует связь между угловой скоростью и линейной скоростью .
Предположим, что тело произвольной формы движется по круговой траектории с осью вращения ‘P’. Теперь пусть протяженная часть тела будет частицами, и эти частицы тоже движутся через какую-то ось.
Поскольку мы знаем, что между угловой скоростью и линейной скоростью существует связь, то есть линейная скорость равна радиусу, умноженному на угловую скорость. т. е. V = r ✕ ⍵.
Теперь у этого тела произвольной формы также есть зависимость между линейной и угловой скоростями.
поэтому мы заключаем, что нет необходимости в том, какова форма тела, единственное, что тело должно вращаться на некоторый угол в круговом движении.
Выведите соотношение между угловой скоростью и линейной скоростью
Предположим, что объект вращается в круговом поле и составляет угол θ с центром.Создав угол θ с центром, Объект также проходит некоторое расстояние «L» по окружности круга.
Теперь, как известно, когда объект вращается вокруг неподвижной оси. На самом деле у него есть две скорости: угловая и линейная: угловая скорость из-за угла θ в центре и линейная скорость из-за расстояния «L» по окружности.
Теперь, если мы хотим найти, как быстро или медленно движется тело. Мы должны рассчитать угловую скорость, то есть
⍵ = d𝛉/dt
⍵ = скорость изменения углового смещения / время
Здесь θ — угловое смещение.
Сейчас,
Угловая скорость = скорость изменения углового смещения/время
В = dl/dt ——————— (1)
мы знаем, что
Угловое смещение (θ) = L / r
L = θ ✕ r
поместите значение ‘L’ в уравнение (1), мы получим,
V = d θ r / dt
V = r dθ /dt
V = r ✕ ⍵
Это соотношение имеет форму скалярной величины.
Следовательно, соотношение между угловой скоростью и формулой линейной скорости равно V = r ✕ ⍵.
зависимость между угловой скоростью и линейной скоростью в векторной формеСвязь между линейной скоростью и угловой скоростью
Угловая скорость
Скорость изменения углового смещения называется угловой скоростью частицы.
Пусть dθ – угловое смещение, совершаемое частицей за время dt , тогда угловая скорость частицы равна dθ /dt ω = . Его единица измерения – рад с-1, а размерная формула – Т-1.
За один полный оборот угол, охватываемый радиус-вектором, составляет 360o или 2π радиан. Если T — время, необходимое для одного полного оборота, известное как период, то угловая скорость частицы равна
ω= θ/t = 2 π/T.
Если частица совершает n оборотов в секунду, то ω=2π(1/T) = 2πn
, где n = 1/T – частота обращения.
Связь между линейной скоростью и угловой скоростью
Рассмотрим тело P, движущееся по окружности окружности радиуса r с линейной скоростью v и угловой скоростью ω, как показано на рис.. Пусть оно движется от P до Q за время dt, а dθ — угол, заметаемый радиус-вектором.
Пусть PQ = ds, длина дуги, пройденная частицей, движущейся по окружности, тогда угловое смещение d θ выражается как dθ = ds/r.Но дс=вдт.
d θ/dt=v/r
(т.е.) угловая скорость ω = v/r или v =ω r
В векторной записи
Вектор v = вектор ω x Вектор r
при заданной угловой скорости ω линейная скорость v частицы прямо пропорциональна расстоянию частицы от центра круговой траектории (т. е. для тела, совершающего равномерное круговое движение, угловая скорость одинакова для всех точках тела, но линейная скорость различна для разных точек тела.
Учебный материал, Лекционные заметки, Задание, Справочник, Вики-описание, пояснение, краткое описание
11-й 12-й стандартный класс Физика Высшая средняя школа Примечания для колледжа: Связь между линейной скоростью и угловой скоростью |
Угловая скорость | Равномерное круговое движение и гравитация
Угловая скорость
Как быстро вращается объект? Определим угловую скорость \(\omega \) как скорость изменения угла.
В символах это
\(\omega =\frac{\text{Δ}\theta}{\text{Δ}t}\text{,}\)
, где угловое вращение \(\text{Δ }\theta\) происходит за время \(\text{Δ}t\). Чем больше угол поворота за данный промежуток времени, тем больше угловая скорость. Единицами угловой скорости являются радианы в секунду (рад/с).
Угловая скорость \(\omega \) аналогична линейной скорости \(v\). Чтобы получить точное соотношение между угловой и линейной скоростью, мы снова рассмотрим ямку на вращающемся компакт-диске.Эта яма перемещается на длину дуги \(\text{Δ}s\) за время \(\text{Δ}t\), поэтому ее линейная скорость
\(v=\frac{\text{Δ }s}{\text{Δ}t}\text{.}\)
Из \(\text{Δ}\theta =\frac{\text{Δ}s}{r}\) мы видим, что \ (\текст{Δ}s=r\текст{Δ}\тета\). Подстановка этого выражения в выражение для \(v\) дает
\(v=\frac{r\text{Δ}\theta}{\text{Δ}t}=\mathrm{r\omega}\text{. }\)
Мы запишем это отношение двумя разными способами и получим два разных понимания:
\(v=\mathrm{r\omega }\text{ или }\omega =\frac{v}{r}\text {.
}\)
Первое соотношение в \(v=\mathrm{r\omega }\text{ или }\omega =\frac{v}{r}\) утверждает, что линейная скорость \(v\) пропорциональна к расстоянию от центра вращения, таким образом, она является наибольшей для точки на ободе (наибольшая \(r\)), как и следовало ожидать. Мы также можем назвать эту линейную скорость \(v\) точки на ободе тангенциальной скоростью . Второе соотношение в \(v=\mathrm{r\omega }\text{ или }\omega =\frac{v}{r}\) можно проиллюстрировать, рассмотрев шину движущегося автомобиля.Обратите внимание, что скорость точки на ободе шины равна скорости \(v\) автомобиля. См. рисунок ниже.
Таким образом, чем быстрее движется автомобиль, тем быстрее вращается шина — большое \(v\) означает большое \(\omega \), потому что \(v=\mathrm{r\omega }\). Точно так же шина большего радиуса, вращающаяся с той же угловой скоростью (\(\omega\)) будет производить большую линейную скорость (\(v\)) для автомобиля.
Автомобиль, движущийся со скоростью \(v\) вправо, имеет шину, вращающуюся с угловой скоростью \(\omega \).
Скорость протектора шины относительно оси равна \(v\), такая же, как если бы автомобиль был поднят на домкрат. Таким образом, автомобиль движется вперед с линейной скоростью \(v=\mathrm{r\omega}\), где \(r\) — радиус шины. Большая угловая скорость шины означает большую скорость автомобиля.
Пример. Как быстро вращается автомобильная шина?
Рассчитайте угловую скорость автомобильной шины радиусом 0,300 м, когда автомобиль движется со скоростью \(\text{15}\text{.}0\phantom{\rule{0.25em}{0ex}}\text{м/с }\) (о \(\text{54}\phantom{\rule{0.25em}{0ex}}\text{км/ч}\)). См. рисунок выше.
СтратегияПоскольку линейная скорость обода шины равна скорости автомобиля, мы имеем \(v=\text{15,0 м/с}.\) Радиус шины определяется как быть \(r=\text{0,300 м}.\) Зная \(v\) и \(r\), мы можем использовать второе соотношение в \(v=\mathrm{r\omega }\mathrm{, } \omega =\frac{v}{r}\) для вычисления угловой скорости.
РешениеДля вычисления угловой скорости воспользуемся следующим соотношением:
\(\omega =\frac{v}{r}\text{.
}\)
Подстановка известных,
\(\omega =\frac{\text{15}\text{.}0\phantom{\rule{0.25em}{0ex}}\text{м/с} }{0\text{.}\text{300}\phantom{\rule{0.25em}{0ex}}\text{m}}=\text{50}\text{.}0\phantom{\rule{ 0.25em}{0ex}}\text{рад/с.}\)
ОбсуждениеКогда мы исключаем единицы измерения в приведенном выше расчете, мы получаем 50,0/с. Но угловая скорость должна иметь единицы рад/с. Поскольку радианы на самом деле безразмерны (радианы определяются как отношение расстояния), мы можем просто вставить их в ответ для угловой скорости.Также обратите внимание, что если бы землеройная машина с гораздо большими шинами, скажем, радиусом 1,20 м, двигалась с той же скоростью 15,0 м/с, ее шины вращались бы медленнее. У них будет угловая скорость
\(\omega =\left(\text{15}\text{.}0\phantom{\rule{0.25em}{0ex}}\text{м/с}\right) /\left(1\text{.}\text{20}\phantom{\rule{0.25em}{0ex}}\text{m}\right)=\text{12}\text{.}5\phantom {\rule{0.25em}{0ex}}\text{rad/s.}\)
Обе \(\omega \) и \(v\) имеют направления (следовательно, они являются угловой и линейной скоростями , соответственно ).
Угловая скорость имеет только два направления относительно оси вращения — либо по часовой стрелке, либо против часовой стрелки. Линейная скорость касается пути, как показано на рисунке ниже.
Дополнительный эксперимент для домашнего использования
Привяжите предмет к концу веревки и раскачивайте его по горизонтальному кругу над головой (покачивая на запястье). Поддерживайте постоянную скорость при раскачивании объекта и измеряйте угловую скорость движения. Какова примерная скорость объекта? Определите точку рядом с вашей рукой и выполните соответствующие измерения, чтобы рассчитать линейную скорость в этой точке.Определите другие круговые движения и измерьте их угловые скорости.
Поскольку объект движется по кругу, здесь муха на краю старомодной виниловой пластинки, ее мгновенная скорость всегда касается окружности. Направление угловой скорости в этом случае – по часовой стрелке.
Исследования PhET: Революция божьей коровки
Революция божьей коровки
Присоединяйтесь к божьей коровке в исследовании вращательного движения.
Вращайте карусель, чтобы изменить ее угол, или выберите постоянную угловую скорость или угловое ускорение.Изучите, как круговое движение связано с положением жука по осям x, y, скоростью и ускорением, используя векторы или графики.
СВЯЗЬ МЕЖДУ ЛИНЕЙНОЙ СКОРОСТЬЮ И УГЛОВОЙ СКОРОСТЬЮ | |||
| Рассмотрим частицу «P» в объекте (в плоскости XY), движущемся по круговой траектории радиуса «r» вокруг оси , проходящей через «O», перпендикулярной плоскости фигуры i.е. ось Z. Предположим, что частица проходит угол 9000° Dq за время Dt сек. | |||
| Если DS его расстояние для вращения через угол dq Тогда, D Q = DS / R Разделив обе стороны от Dt, мы получаем D кв / Dt = (DS / г.  DT) R D R D R / DT = DS / DT , если Если временной интервал Dt очень мал, то угол, на который движется частица, также очень мал, и поэтому отношение Dq/Dt дает мгновенную угловую скорость w ins . т.е. | |||
| В = rw | |||
ТАНГЕНЦИАЛЬНАЯ СКОРОСТЬ | |||
| Если частица «P» движется по окружности радиуса «r», то ее линейная скорость в любой момент времени равна тангенциальной скорости, которая равна: | |||
В = RW | |||
ТАНГЕНЦИАЛЬНОЕ УСКОРЕНИЕ | |||
| Предположим, что объект, вращающийся вокруг неподвижной оси, меняет свою угловую скорость на Dw за время D t сек, , тогда изменение тангенциальной скорости DV t в конце этого интервала составит | |||
D V t = r D w | |||
| Изменение скорости в единицу времени определяется как: | |||
D В/Dt = r. | |||
