Угловая скорость обозначение: 404 — Страница не найдена

Содержание

angular velocity – phrases – Multitran dictionary

Subject areaEnglishRussian
automat.analog of the angular velocity of a linkаналог угловой скорости звена
nanoangular tracking velocityугловая скорость слежения
automat.angular velocities comparing mechanismмеханизм сравнения угловых скоростей (ssn)
Makarov.angular velocityскорость вращения
Makarov.angular velocityциклическая частота
roll.angular velocityугловая скорость (валков)
cablesangular velocityкруговая угловая частота
tech.angular velocityкруговая скорость
automat.angular velocityчастота вращения
math.angular velocityугловая скорость
tech.angular velocityугловая частота
tech.angular velocityкруговая частота
gear.tr.angular velocityугловая скорость ЗК (Александр Рыжов)
tech.angular velocity componentсоставляющая угловой скорости
avia.angular velocity conventionусловное обозначение угловой скорости
gyrosc.angular velocity feedback voltageнапряжение обратной связи, пропорциональное угловой скорости
astronaut.angular velocity in pitchугловая скорость тангажа
tech.angular velocity in pitchугловая скорость килевой качки
astronaut.angular velocity in rollугловая скорость крена
tech.angular velocity in rollугловая скорость бортовой качки
nautic.angular velocity in yawугловая скорость рыскания
aerohydr.angular velocity indicatorуказатель угловой скорости
aerohydr.angular velocity of airscrewугловая скорость вращения воздушного винта
aerohydr.angular velocity of body-axis systemугловая скорость в связанной системе осей координат
nautic.angular velocity of rotationугловая скорость вращения
aerohydr.angular velocity of slipstreamугловая скорость вращения струи за винтом
mil., artil.angular velocity of vehicleугловая скорость реактивного снаряда
nautic.angular velocity on yawугловая скорость рыскания
automat.angular velocity ratioпередаточное отношение
avia.angular velocity sensorдатчик угловой скорости
gyrosc.angular velocity signal generatorтахометр
avia.angular velocity transducerдатчик угловой скорости
Makarov.angular velocity vectorвектор угловой скорости
nanoangular-velocity derivativeпроизводная по составляющей угловой скорости
avia.angular-velocity vectorвектор угловой скорости
Gruzovik, missil.azimuth component of angular velocityгоризонтальная составляющая угловой скорости
nautic.coefficient of angular velocity rotary derivatives of hydrodynamic forces and momentsкоэффициент вращательных производных гидродинамических сил и моментов по угловой скорости (Himera)
telecom.constant angular velocityпостоянная угловая скорость вращения (компакт-диска)
ITconstant angular velocityспособ записи информации на лазерный диск (с постоянной угловой скоростью)
house.constant angular velocityпостоянная угловая скорость (CAV)
comp., net.Constant Angular Velocityсоответствующий способ записи информации на лазерный диск
comp., net.Constant Angular Velocityсоответствующий формат лазерного диска (поддерживающий пошаговый захват)
tech.constant angular velocityпостоянная скорость вращения диска
astronaut.earth angular velocityугловая скорость вращения Земли
avia.force coefficient derivative with respect to an angular velocityпроизводная коэффициента силы по угловой скорости
gyrosc.gyro unit input angular velocityугловая скорость на входе гироприбора (то же, что угловая скорость управляемого звена испытательного устройства с сервоприводом)
astronaut.gyroscopic angular velocity sensorгироскопический измеритель вектора угловой скорости (muzungu)
gyrosc.inertial angular velocityугловая скорость относительно инерциального пространства
mil.initial angular velocityначальная угловая скорость
astronaut.local angular velocityместная угловая скорость
aerohydr.moment coefficient per unit angular velocityпроизводная коэффициента момента по угловой скорости
avia.normalized angular velocityприведенная угловая скорость
avia.normalized angular velocityотносительная угловая скорость
astronaut.orbit angular velocity vectorвектор угловой скорости орбиты
astronaut.orbital angular velocityугловая скорость движения по орбите
Gruzovik, tech.partial constant angular velocityчастичная постоянная угловая скорость (abbr. PCAV; a qualifier for the rated speed of an optical disc drive, and may also be applied to the writing speed of recordable discs; a drive or disc operating in CAV mode maintains a constant angular velocity, contrasted with a constant linear velocity [CLV])
aerohydr.pitching angular velocityугловая скорость тангажа
aerohydr.pitching-moment coefficient per unit angular velocityпроизводная коэффициента момента тангажа по угловой скорости
gyrosc.positive angular velocity about input axisположительное направление угловой скорости (относительно входной оси)
Makarov.potential flow of an incompressible ideal fluid in an ellipsoidal vessel rotating about a principal axis with constant angular velocityпотенциальное движение идеальной несжимаемой жидкости в эллипсоидальном сосуде, вращающимся вокруг одной из своих главных осей с постоянной угловой скоростью
astronaut.residual angular velocityостаточная угловая скорость
avia., med.response to angular velocityреакция на угловую скорость
aerohydr.rolling angular velocityугловая скорость крена
aerohydr.rolling-moment coefficient per unit angular velocityпроизводная коэффициента момента крена по угловой скорости
gyrosc.sensed angular velocity boundariesдиапазон измеряемой угловой скорости (muzungu)
Makarov.steady flow between two infinite coaxial cylinders rotating about their axis with different angular velocitiesстационарное движение жидкости между двумя бесконечными коаксиальными цилиндрами, вращающимися вокруг своей оси с различными угловыми скоростями
gyrosc.test table angular velocity control consoleблок управления угловой скоростью испытательного стола
gyrosc.test table angular velocity control gyro unitгироприбор, контролирующий угловую скорость испытательного стола
math.the angular velocity becomes larger in magnitudeпо модулю
math.the disk rotates at a constant angular velocity in the a counter-clockwise directionв направлении против часовой стрелки
math.the value of angular velocity depends on the direction of the axis of rotation and the rate of rotationвеличина угловой скорости
mil., mil., arm.veh.turret angular velocityугловая скорость вращения башни
railw.uniform angular velocityпостоянная угловая скорость
astronaut.yaw angular velocityугловая скорость рыскания
aerohydr.yawing angular velocityугловая скорость рыскания
aerohydr.yawing-moment coefficient per unit angular velocityпроизводная коэффициента момента рыскания по угловой скорости
ITzoned constant angular velocityзонная постоянная угловая скорость
ITzoned-constant angular velocityзонально-постоянная угловая скорость

Перевод единиц измерения угловой скорости — таблица.


Навигация по справочнику TehTab.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Алфавиты, номиналы, коды / / Перевод единиц измерения. / / Единицы измерения углов («угловых размеров»). Перевод единиц измерения угловой скорости и углового ускорения.  / / Перевод единиц измерения угловой скорости — таблица.

Таблица перевода единиц измерения угловой скорости.

 

Таблица перевода единиц измерения угловой скорости.
Перевести из: Перевести в:

рад/день

рад/ч

рад/м

рад/с

градус/день

градус/ч

градус/м

градус/с

оборот/день

оборот/час

оборот/мин

оборот/с

рад/день это: 1 4.16*10-2
6.94*10-4
1.1574*10-5 5.7295*10 2.3873 3.9788*102 6.6314*10-4 1.5915*10-1 6.6314*10-3 1.1052*10-4 1.842*10-6

рад/ч это:

2.4*10 1 1.6*10-2 2.7*10-4 1.375*103 5.7295*10 9.5492*10-1 1.5915*10-2 3.8197 1.5915*10-1 2.6525*10-3 4.421*10-5
рад/м это:
1.44*103
6*10 1 1.6*10-2 8.2505*104 3.4377*103 5.7295*10 9.5492*10-1 2.2918*102 9.5492 1.5915*10-1 2.6525*10-3
рад/с это: 8.64*104 3,6*103 6*10 1 4.9503*106 2.0626*105 3.4377*103 5.7295*10 1.375*104 5.7295*102 9.5492 1.5915*10-1
градус/день это:
1.7453*10-2 7,2722*10-4 1.212*10-5 2.02*10-7 1 4.16*10-2 6.94*10-3 1.1574*10-5 2.7*10-3 1.1574*10-4 1.929*10-6 3.2*10-8
градус/ч это: 4.1887*10-2 1.7453*10-2 2.9088*10-4 4.848*10-6 2.4*10 1 1.6*10-2 2.7*10-4 6.6*10-2 2.7*10-3
4.6296*10-5
7.72*10-7
градус/м это: 2.5132*10 1.0471 1.7453*10-2 2.9088*10-4 1.44*103 6*10 1 1.6*10-2 4 1.6*10-1 2.7*10-3 4.6296*10-5
градус/с это: 1.5079*103 6.2831*10 1.0471 1.7453*10-2 8,64*104 3.6*103 6*10 1 2.4*102 10
1.6*10-1
2.7*10-3
оборот/день это: 6.2831 2.6179*10-1 4.3633*10-3 7.2722*10-5 3.6*102 1.5*10 2.5*10-1 4.16*10-3 1 4.16*10-2 6.94*10-4 1.1574*10-5
оборот/час это: 1.5079*102 6.2831 1.0471*10-1 1.7453*10-3 8,64*103 3.6*102 6 10-1 2.4*10
1
1.6*10-2 2.7*10-4
оборот/мин это: 9.0477*103 3.7699*102 6.2831 1.0471*10-1 5,184*105 2.16*104 3.6*102 6 1.44*103 6*10 1 1.6*10-2
оборот/с это: 5.4286*105 2.2619*104 3.7699*102 6.2831 3.1104*107 1.296*106 2.16*104
3.6*102 8,64*104 3.6*103 6*10 1



Нашли ошибку? Есть дополнения? Напишите нам об этом, указав ссылку на страницу.
TehTab.ru

Реклама, сотрудничество: [email protected]

Обращаем ваше внимание на то, что данный интернет-сайт носит исключительно информационный характер. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Все риски за использование информаци с сайта посетители берут на себя. Проект TehTab.ru является некоммерческим, не поддерживается никакими политическими партиями и иностранными организациями.

Криволинейное движение. Равномерное движение точки по окружности.

Криволинейное движение.
При криволинейном движении вектор скорости всегда направлен по касательной к траектории движения. Любое криволинейное движение можно представить в виде суммы прямолинейных движений и движений по окружностям разных радиусов.Скорость изменяется как по величине, так и по направлению. Вектор ускорения направлен под углом к вектору скорости.
РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО ОКРУЖНОСТИ.

Равномерное движение точки по окружности — движение точки с постоянной по модулю скоростью (v=const) по траектории, представляющей собой окружность. Но, т.к. скорость всегда направлена по касательной к траектории движения, то по направлению она изменяется. Значит равномерное движение по окружности – ускоренное движение! Точка совершает перемещение с постоянной по модулю скоростью, следовательно:.

В этом случае скорость точки называется

линейной скоростью (ℓдлина дуги). Вектор линейной скорости направлен по касательной к окружности в данной точке.

Можно характеризовать изменение положения тела с помощью углового перемещения (угла поворота) φ. Возьмем несколько концентрических окружностей и построим для всех центральный угол φ так, чтобы радиусы этих окружностей, образующие угол, накладывались друг на друга. Из рисунка видно, что одному и тому же углу φ соответствуют у одной окружности дуга и радиус r, а у другой – дуга L и радиус R. За меру угла можно принять отношение длины дуги к радиусу:.

Единица измерения угла в этом случае наз. радианом(сокращение – рад).

Центральный угол равен одному радиану, если длина дуги равна радиусу окружности. Если точка совершила полный оборот, то длина дуги равна длине окружности. Следовательно:  — полный оборот точки соответствует радиан. Для перевода единиц составим пропорцию: . Следовательно:

Равномерное движение точки по окружности – это движение, при котором точка за любые равные промежутки времени совершает одинаковые угловые перемещения (поворачивается на одинаковые углы).

Если характеризовать движение углом поворота, то удобно ввести угловую скорость: — угловая скорость показывает, на какой угол поворачивается точка при равномерном движении по окружности за единицу времени. Единица измерения в СИ  — рад/с.

Можно сказать, что равномерным движением по окружности наз. движение  с постоянной угловой скоростью. Линейная и угловая скорости связаны между собой: , т.е. .

К важным характеристикам вращательного движения относятся частота и период. Период физическая величина, показывающая, чему равно время, за которое точка совершает один полный оборот. Если обозначить N – число оборотов, а Т – период, то: .

Единица измерения в СИ – с. Т.к. за период точка поворачивается на угол , то .

Частота – количество оборотов, которое совершила точка за единицу времени: .

 

Единица измерения в СИ – Гц (герц). Частота равна одному герцу, если за 1 секунду точка совершает один полный оборот (1Гц=1с-1). Частота и период – взаимно обратные величины: . Следовательно: .

 

Стабилизация — угловая скорость — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 3

Стабилизация — угловая скорость

Cтраница 3

Выход из этого режима возможен, если одновременно с включением системы стабилизации угловой скорости с помощью реактивных сопел осуществить возврат выдвижных масс к первоначальному положению. При достижении 1 1та х система вновь становится работоспособной.  [31]

Управление КА, стабилизированным вращением, имеет ряд специфических особенностей. Поэтому в предлагаемой монографии основное внимание уделяется раскрытию этих особенностей применительно к системам стабилизации угловой скорости собственного вращения и к системам угловой стабилизации и ориентации главной оси КА. Ограниченный объем книги, а также трудности, обусловленные новизной исследуемых задач, не позволили, хотя бы в первом приближении, рассмотреть вопросы, связанные с управлением вращающимся КА при наиболее типичных маневрах — сближении, стыковке, переходе с орбиты на орбиту.  [32]

Наиболее экономичным способом стабилизации углового положения КА является стабилизация вращением в заданном, ориентируемом положении и управление скоростью вращения. Настоящая книга посвящена вопросам аналитического анализа динамики КА, стабилизированного вращением, с учетом воздействия на него внешних факторов — аэродинамических сил, геомагнитного поля, особенностей конструкции, а также исследованию систем угловой стабилизации, ориентации и систем стабилизации угловой скорости собственного вращения. В книге представлены материалы по возможному использованию искусственных спутников Земли, стабилизированных вращением, и основные особенности деятельности экипажа в условиях искусственной гравитации.  [33]

В блок управления БУП вводят программу в виде цифрового кода, и БУП формирует аналоговый сигнал, определяющий направление и угловую скорость исполнительного двигателя ИД. Исполнительный двигатель через механизмы перемещения МП перемещает руку робота-манипулятора РМ по соответствующей координате. Стабилизация угловой скорости ИД достигается с помощью тахогенератора ДС, реализующего отрицательную обратную связь. Выходной сигнал ДС, пропорциональный угловой скорости, подается на блок БСС и сравнивается с заданным сигналом. При превышении заданной угловой скорости суммарный сигнал от БСС, являющийся сигналом управления ИД, уменьшается и угловая скорость снижается. Цифровой код АЦП сравнивается с кодом, заданным в БУП программой. При совпадении кодов подается команда на отключение двигателя.  [34]

Системы стабилизации угловой скорости с маховиками могут быть созданы на основе нелинейных законов управления. Техническая реализация таких систем возможна с применением надежных бесколлекторных электрических двигателей переменного тока. Основные теоретические положения нелинейных систем стабилизации угловой скорости с использованием реактивных сопел применимый для нелинейных систем с маховиками. Однако некоторые особенности, связанные с наличием сил сопротивления в опорах маховика, могут привести к количественным и незначительным качественным изменениям этих положений.  [35]

В книге излагаются методы динамического анализа и синтеза управляемых машин, основанные на рассмотрении взаимодействия источника энергии ( двигателя), механической системы и системы управления. Излагаются способы построения адекватной модели управляемой машины в форме, удобной для применения ЭВМ. Рассмотрены системы управления движением машин ( системы стабилизации угловой скорости, позиционирования и контурного управления), их эффективность и устойчивость. Изложены особенности управления машинами с двигателями ограниченной мощности. В основу исследования многомерных динамических моделей управляемых машинных агрегатов положены структурные преобразования и методы динамических графов. Последовательно развивается концепция составной динамической модели, на базе которой решается проблема собственных спектров и определяются частотные характеристики моделей.  [36]

Это усложняет конструкцию прибора, снижает его надежность и долговечность, так как раму необходимо вращать относительно корпуса КА с угловой скоростью, равной по величине, но противоположно направленной угловой скорости собственного вращения. Однако получаемая при этом информация в виде трех углов, один из которых можно использовать в системе стабилизации угловой скорости собственного вращения, компенсирует указанные выше недостатки.  [38]

Условное графическое изображение диода и тиристора показано на рис. 4.5, о, б соответственно. Применение вентильных преобразователей позволило создать бесконтактные двигатели ПТ, в которых щеточно-коллек-торный узел заменен надежной полупроводниковой схемой. В коллекторных малоинерционных двигателях ПТ подобные преобразователи используются для преобразования переменного входного напряжения в постоянное, а также в схемах стабилизации угловой скорости, что позволяет получить коммутацию без искрения, увеличивая срок службы щеток в 2 — 3 раза и стабильность характеристик двигателя.  [40]

За один оборот ротора конденсатор С два раза включается в колебательный контур; первый раз — при соприкосновении контакта q пластин с неподвижным контактом М нулевой точкой шкалы биметаллического термометра Т; второе включение происходит при соприкосновении контакта q с контактом г на указательном рычажке термометра. Таким образом, угол поворота стрелки опрашивается тем методом засечек, который является основным во время-импульсных устройствах. Однако метод телепередачи здесь не время-импульсный, а частотный; длительность интервала времени между засечками не имеет измерительного значения и ее изменение не влияет на точность передачи, ибо измерение производится по разности частот засечек, каждая из которых представляет кратковременный импульс колебаний высокой частоты. Поэтому стабилизация угловой скорости механизма вра-шения ротора не нужна.  [41]

Страницы:      1    2    3

Вращательное движение | Физика

Расскажу вам о вращательном движении.

На первый взгляд может даже показаться, что вращательное движение нарушает законы механики.

В чем же нарушение и каких законов? Ну, скажем, закон инерции. Ведь всякое тело, если на него не действуют уравновешенные силы, должно или покоиться, или двигаться равномерно и прямолинейно. Но вот я даю боковой толчок этому глобусу, и он начинает вращаться. Если бы не трение, он, вероятно, вращался бы вечно, как вращается земной шар, никем не подталкиваемый. Как же быть с первым законом Ньютона? Или есть два закона инерции: одни для прямолинейного, а другой для вращательного движения?

Не торопитесь, мы сейчас выясним, в чем тут дело, и убедимся, что беспокоиться за законы Ньютона не приходится.

Вращательное движение отличается от поступательного. Однако есть в них и много общего, и весьма полезно сопоставить эти два вида движения. Много путаницы в головах учащихся происходит оттого, что в курсе физики средней школы не строго разграничивают механику материальной точки и механику материального тела. Скажите, вы помните, что называется поступательным движением?

– Конечно. Движение тела, при котором все его точки движутся одинаково.

– А как вы это понимаете?

– Я понимаю это так, что все точки тела в каждый момент времени имеют одинаковую по модулю и направлению скорость. Все точки описывают одинаковые траектории.

– Вот именно. Поэтому и можно рассматривать поступательное движение тела как движение одной точки, вернее, заменить движение тела движением его центра масс. Если на такое тело (материальную точку) не действуют другие тела, т. е. если оно не испытывает на себе действия неуравновешенных сил, то оно покоится или движется равномерно и прямолинейно.

Вращение тела характеризуют угловой скоростью, показывающей, на какой угол оно повернется за единицу времени. В технике угловую скорость часто выражают числом оборотов в минуту. Если угловая скорость постоянна, то мы говорим, что тело вращается равномерно. Если угловая скорость равномерно возрастает, то вращение называют равноускоренным. Сходство законов поступательного и вращательного движения поразительное. Только буквенные обозначения различны, а формулы получаются совершенно одинаковые. Вот первая параллель:

Все задачи по кинематике как вращательного, так и поступательного движения решаются по этим формулам аналогично.

– Это все понятно. Но как же быть с законом Ньютона?

– Не торопитесь, слушайте дальше. Рассмотрим движение одной материальной точки. Если хотите, вы можете представить себе ее как маленький тяжелый шарик. Можно сделать так, чтобы он двигался по окружности? (Катим маленький шарик от шарикоподшипника по столу.)

– Конечно, нет, он катится по прямой.

Можно, конечно, вести шарик по окружности, поддерживая его все время пальцами. Но стоит только убрать руку, как он будет продолжать движение по прямой линии.

– Итак, материальная точка может двигаться по окружности только под действием силы. Я вел шарик рукой, можно было бы привязать к нему веревочку или катить его внутри желобка. Как только прекратится действие силы, шарик начнет двигаться прямолинейно и равномерно.

В твердом теле не одна точка, а множество. Как вы думаете, они (точки) свободны или связаны?

– На них действует сила сцепления.

– Верно. Они-то и удерживают точки на круговой орбите. Не будь этих сил, материальные точки вращающегося тела разлетелись бы, как грязь слетает с вращающихся колес.

Есть еще одно сходство между поступательным и вращательным движением. При поступательном движении все точки тела движутся в данный момент времени с одинаковой линейной скоростью v. Если тело вращается, тоо все точки вращающегося тела движутся с одинаковой угловой скоростью ω.

Например, угловые скорости всех точек вращающейся спицы AB (рис. 59) одинаковы, а линейные различны.

На уроке физики вам говорили. Что равномерное движение точки по окружность есть в то же время движение с ускорением. Это ускорение называется центростремительным ускорением. Оно не характеризует изменение скорости по модулю, а характеризует только изменение направления скорости. Тут нелегко разобраться.

Я бы отстаивал определение равномерного вращательного движения только по угловой скорости. Тогда те параллельные формулы, о которых я говорил, будут всем понятны. Да и в технике, когда речь идет о равномерном вращении маховика или ротора электрического генератора или двигателя, подразумевают постоянной угловую скорость. Постоянное число оборотов якоря генератора обеспечивает постоянное напряжение в сети; постоянное число оборотов маховика обеспечивает плавный ход машины и экономичность ее работы. Это постоянство стараются поддержать, регулируя работу машины.

Теперь проведем параллель динамическую. По второму закону Ньютона ускорение, получаемое телом, вычисляется из формулы a = F/m. При вращении тела изменение угловой скорости будет зависеть от силы. Теперь скажите, все ли равно, где приложить силу при завинчивании, скажем, гайки: к концу рукоятки гаечного ключа или к самой гайке?

Вращающее действие силы, или момент силы, – вот что здесь важно, вот что является аналогом силы поступательного движения. Параллель найдена: силе в поступательном движении соответствует момент силы во вращательном движении. Так продолжим нашу сравнительную табличку.

– Я еще не написал формулу второго закона Ньютона, потому что об этом законе следует сказать подробнее. В формулу закона Ньютона входит масса m. Что она характеризует?

– Инертность тела.

– Правильно. Теперь подумайте, характеризует ли масса инертность вращающегося тела?

– Инертность вращающегося тела характеризуется не массой, а особой величиной, называемой моментом инерции, в которую входит как составная часть и масса. Момент инерции обозначается буквой I. Он зависит от массы тела и распределения этой массы, т. е. от формы тела. Тела различной формы имеют различные моменты инерции.

Простейший случай — движение материальной точки по окружности. Момент инерции такой точки равен произведению массы точки на квадрат расстояние ее от оси вращения, т. е. I = mr2. Если массу отнести от оси вращения на расстояние, вдвое большее, то инертность этой массы, или устойчивость вращательного движения, будет больше в четыре раза. Вот почему маховые колеса делают большими. Но слишком увеличивать радиус нельзя. С увеличением радиуса колеса увеличивается линейная скорость точек обода колеса: v = ωr. Учитывая, что центростремительное ускорение есть a = v2/r, получаем отсюда: a = ω2r. Это означает, что с увеличением радиуса колеса растет центростремительное ускорение точек его обода. Создающая это ускорение сила сцепления молекул может оказаться недостаточной для удержания их на круговом пути, и тогда колесо разрушится.

Каждое тело можно представить состоящим из множества точек. Для вычисления момента инерции тела надо суммировать моменты инерции отдельных точек. Эта задача вам пока не под силу. Скажу только, что для диска и сплошного цилиндра, вращающихся вокруг собственной оси, I = ½ mr2. В телах такой формы разные точки тела находятся на разных расстояниях от оси вращения, начиная от 0 и до r. Момент инерции тонкого круглого кольца (есть сходство с ободом маховика) I = mr2. Обо всем этом вы узнаете из курса теоретической механики, когда будете учиться в техникуме или институте. Сейчас же вы должны понять, что во вращательном движении роль массы играет момент инерции и закон динамики вращательного движения, аналогичный второму закону Ньютона, примет вид: M = Iα. Теперь мы можем закончить сравнительную таблицу, включив в нее формулы для основного уравнения динамики, импульса и кинетической энергии:

Страница не найдена | Институт науки и технологий Сатьябамы (считается университетом)

Состояние

Выберите StateAndaman и NicobarAndhra PradeshArunachal PradeshAssamBiharChandigarhChhattisgarhDadra И Нагар HaveliDaman И DiuDelhiGoaGujaratHaryanaHimachal PradeshJammu и KashmirJharkhandKarnatakaKeralaLakshadweepMadhya PradeshMaharashtraManipurMeghalayaMizoramNagalandOdishaPuducherryPunjabRajasthanSikkimTamil NaduTelanganaTripuraUttar PradeshUttarakhandWest Бенгальский

Курсы

— Select -Undergraduate Courses (UG) Инженерные курсы (B.E. / B.Tech / B.Arch / B.Des) BE — Компьютерные науки и инженерия B.E — Компьютерные науки и инженерия со специализацией в области искусственного интеллектаB.E — Компьютерные науки и инженерия со специализацией в Интернете вещей B.E — Компьютеры Наука и инженерия со специализацией в области науки о данных B.E — компьютерные науки и инженерия со специализацией в области искусственного интеллекта и робототехники B.E — компьютерные науки и инженерия со специализацией в области искусственного интеллекта и машинного обучения B.E — Информатика и информатика со специализацией в технологии цепочек блоков B.E — Информатика и информатика со специализацией в области кибербезопасности B.E — Электротехника и электроника B.E — Электроника и техника связи B.E — Машиностроение B.E — Автомобильная инженерия B.E — Мехатроника B.E — Авиационная техника B.E — Гражданское строительство B.Tech — Информационные технологии B.Tech — Химическая инженерия B.Tech — БиотехнологияB.Tech — Биомедицинская инженерия B.Arch — Бакалавр архитектуры B.Des. — Бакалавр дизайна, инженерные курсы (BE / B.Tech) — Неполный рабочий деньB.E — Компьютерные науки и инженерияB.E — Электротехника и электроникаB.E — Электроника и коммуникационная инженерияB.E — МашиностроениеB.E — Гражданское строительствоB.Tech — Химическая промышленность Инженерное искусство и научные курсыB.BA — Бакалавр делового администрированияB.Com. — Бакалавр коммерцииB.Com. — Финансовый учет — Визуальная коммуникация, бакалавр наук — Медицинские лабораторные технологии, бакалавриат — Клиника, питание и диетология.Sc. — Физика — Химия — Компьютерные науки — Математика — Биохимия, бакалавр наук. — Дизайн одежды — BioTechnologyB.Sc. — MicroBiologyB.Sc. — Психология — Английский — биоинформатика и наука о данных, бакалавр — компьютерные науки, искусственный интеллект. — Бакалавр медсестер — Курсы авиационного права LL.B. (С отличием) B.B.A. LL.B. (С отличием) B.Com.LL.B. (С отличием) Бакалавр фармацевтических курсов, степень бакалавра фармацевтики, степень бакалавра фармацевтики, диплом магистра фармации, Инженерные курсы для аспирантов, M.E. Компьютерные науки и инженерия Прикладная электроника Компьютерный дизайн Структурная инженерия Силовая электроника и промышленные приводы Биотехнология Медицинское оборудование Встраиваемые системы и IoTM.Arch. Устойчивая архитектура Программа управления зданием MBA — Магистр делового администрирования Заочная аспирантура Компьютерные науки и инженерия Прикладная электроника Компьютерный дизайн Структурная инженерияМедицинское оборудование Биотехнология Магистр делового администрированияПрием на курсы PPG Arts & Science MA — английский и наук Бакалавр стоматологической хирургии (BDS) BDS — Бакалавр стоматологической хирургииМастер стоматологической хирургии (MDS) MDS — Ортодонтия и челюстно-лицевая ортопедия М.D.S — Консервативная стоматология и эндодонтияM.D.S — Педодонтия и профилактическая стоматология

6.3 Вращательное движение | Texas Gateway

Кинематика вращения

В разделе о равномерном круговом движении мы обсуждали движение по кругу с постоянной скоростью и, следовательно, с постоянной угловой скоростью. Однако бывают случаи, когда угловая скорость непостоянна — вращательное движение может увеличиваться, замедляться или изменяться в обратном направлении. Угловая скорость непостоянна, когда вращающаяся фигуристка тянет за руки, когда ребенок толкает карусель, чтобы заставить ее вращаться, или когда компакт-диск останавливается, когда он выключен.Во всех этих случаях угловое ускорение возникает из-за изменения угловой скорости ωω. Чем быстрее происходит изменение, тем больше угловое ускорение. Угловое ускорение αα — это скорость изменения угловой скорости. В форме уравнения угловое ускорение равно

.

где ΔωΔω — изменение угловой скорости, а ΔtΔt — изменение во времени. Единицы углового ускорения: (рад / с) / с, или рад / с 2 . Если ωω увеличивается, то αα положительно. Если ωω уменьшается, то αα отрицательно.Имейте в виду, что, по соглашению, против часовой стрелки — положительное направление, а по часовой стрелке — отрицательное направление. Например, фигуристка на рис. 6.10 вращается против часовой стрелки, если смотреть сверху, поэтому ее угловая скорость положительна. Ускорение будет отрицательным, например, когда объект, вращающийся против часовой стрелки, замедляется. Было бы положительно, если бы объект, вращающийся против часовой стрелки, ускорялся.

Рисунок 6.10 Фигуристка вращается против часовой стрелки, поэтому ее угловая скорость обычно считается положительной.(Луу, Wikimedia Commons)

Связь между величинами тангенциального ускорения, a , и углового ускорения,

6.10 α, является a = rα или α = ar.α, является a = rα или α = ar.

Эти уравнения означают, что величины тангенциального ускорения и углового ускорения прямо пропорциональны друг другу. Чем больше угловое ускорение, тем больше изменение тангенциального ускорения, и наоборот. Например, представьте себе гонщиков в своих стручках на колесе обозрения в состоянии покоя.Колесо обозрения с большим угловым ускорением даст гонщикам большее тангенциальное ускорение, потому что по мере того, как колесо обозрения увеличивает скорость вращения, оно также увеличивает свою тангенциальную скорость. Обратите внимание, что радиус вращающегося объекта также имеет значение. Например, при заданном угловом ускорении αα меньшее колесо обозрения приводит к меньшему тангенциальному ускорению для гонщиков.

Советы для успеха

Касательное ускорение иногда обозначается как a t .Это линейное ускорение в направлении, касательном к окружности в интересующей точке, при круговом или вращательном движении. Помните, что тангенциальное ускорение параллельно тангенциальной скорости (либо в том же направлении, либо в противоположном направлении). Центростремительное ускорение всегда перпендикулярно тангенциальной скорости.

Итак, мы определили три вращательные переменные: θθ, ωω и αα. Это угловые версии линейных переменных x , v и a .Таблица 6.2 показывает, как они связаны.

Вращающийся Линейный Отношения
θθ х θ = xrθ = xr
ωω в ω = vrω = vr
αα а α = arα = ar

Таблица 6.2 вращательные и линейные переменные

Теперь мы можем начать видеть, как вращательные величины, такие как θθ, ωω и αα, связаны друг с другом. Например, если колесо мотоцикла, которое запускается в состоянии покоя, имеет большое угловое ускорение в течение довольно длительного времени, оно быстро вращается и совершает много оборотов. Рассматривая это в терминах переменных, если угловое ускорение αα колеса велико в течение длительного периода времени t , то конечная угловая скорость ωω и угол поворота θθ будут большими.В случае линейного движения, если объект стартует в состоянии покоя и претерпевает большое линейное ускорение, то он имеет большую конечную скорость и пройдет большое расстояние.

Кинематика вращательного движения описывает отношения между углом поворота, угловой скоростью, угловым ускорением и временем. Он только описывает движение — он не включает никаких сил или масс, которые могут повлиять на вращение (это часть динамики). Напомним уравнение кинематики для линейного движения: v = v0 + atv = v0 + at (постоянная a ).

Как и в линейной кинематике, мы предполагаем, что a является постоянной величиной, что означает, что угловое ускорение αα также является постоянной величиной, поскольку a = rαa = rα. Уравнение кинематической связи между ωω, αα и t составляет

ω = ω0 + αt (постоянная α), ω = ω0 + αt (постоянная α),

где ω0ω0 — начальная угловая скорость. Обратите внимание, что уравнение идентично линейной версии, за исключением угловых аналогов линейных переменных. Фактически, все уравнения линейной кинематики имеют вращательные аналоги, которые приведены в таблице 6.3. Эти уравнения могут использоваться для решения задачи вращательной или линейной кинематики, в которой , и αα постоянны.

Вращающийся Линейный
θ = ω¯tθ = ω¯t x = v¯tx = v¯t
ω = ω0 + αtω = ω0 + αt v = v0 + αtv = v0 + αt постоянная αα, a
θ = ω0t + 12αt2θ = ω0t + 12αt2 х = v0t + 12αt2x = v0t + 12αt2 постоянная αα, а
ω2 = ω02 + 2αθω2 = ω02 + 2αθ v2 = v02 + 2αxv2 = v02 + 2αx постоянная αα, а

Таблица 6.3 Уравнения вращательной кинематики

В этих уравнениях ω0ω0 и v0v0 являются начальными значениями, t0t0 равно нулю, а средняя угловая скорость ω¯ω¯ и средняя скорость v¯v¯ равны

6.11ω¯ = ω0 + ω2 и v¯ = v0 + v2.ω¯ = ω0 + ω2 и v¯ = v0 + v2.

Развлечение по физике

Погоня за штормом

Рис. 6.11 Торнадо спускаются с облаков в форме воронки, которые сильно вращаются. (Дафна Зарас, Национальное управление океанических и атмосферных исследований США)

Охотники за штормами, как правило, делятся на одну из трех групп: любители, преследующие торнадо в качестве хобби, исследователи атмосферы, собирающие данные для исследований, наблюдатели погоды для средств массовой информации или ученые, развлекающиеся под видом работы.Погоня за штормом — опасное времяпрепровождение, потому что торнадо может быстро менять курс без особого предупреждения. Поскольку преследователи штормов следуют за разрушением, оставленным торнадо, замена спущенных шин из-за мусора, оставленного на шоссе, является обычным делом. Самая активная часть мира для торнадо, называемая аллеей торнадо , находится в центральной части Соединенных Штатов, между Скалистыми горами и Аппалачскими горами.

Торнадо — прекрасный пример вращательного движения в природе.Они возникают в результате сильных гроз, называемых суперячейками, которые имеют столб воздуха, вращающийся вокруг горизонтальной оси, обычно около четырех миль в поперечнике. Разница в скоростях ветра между сильными холодными ветрами выше в атмосфере в реактивном потоке и более слабыми ветрами, идущими к северу от Мексиканского залива, заставляет столб вращающегося воздуха смещаться так, что он вращается вокруг вертикальной оси, создавая торнадо.

Торнадо создают скорость ветра до 500 км / ч (примерно 300 миль / ч), особенно внизу, где воронка наиболее узкая, поскольку скорость вращения увеличивается с уменьшением радиуса.Они сносят дома, как будто они сделаны из бумаги и, как известно, пробивают стволы деревьев кусочками соломы.

Проверка захвата

Каков физический термин для обозначения очага бури? Почему ветер в центре торнадо слабее, чем у его внешнего края?

  1. Глаз бури — это центр вращения. Ветры на глазах у смерча слабее, потому что тангенциальная скорость прямо пропорциональна радиусу кривизны.
  2. Глаз бури — это центр вращения. Ветры на месте урагана слабее, потому что тангенциальная скорость обратно пропорциональна радиусу кривизны.
  3. Глаз бури — центр вращения. Ветры на месте урагана слабее, потому что тангенциальная скорость прямо пропорциональна квадрату радиуса кривизны.
  4. Глаз бури — центр вращения.Ветры на месте урагана слабее, потому что тангенциальная скорость обратно пропорциональна квадрату радиуса кривизны.

Безразмерные единицы в SI

Притча о безразмерных единицах

Bert имеет поворотный стол, работающий с частотой вращения 33 оборотов в минуту. Его друг Эрни спрашивает Берта: «С какой частотой вращается ваш проигрыватель?» Если бы Берт ответил «0,555 Гц», Эрни знал бы частоту вращения.Точно так же, если бы Берт ответил «3,49 радиана в секунду», Эрни знал бы частоту вращения. И если бы Берт сказал «200 градусов в секунду», Эрни был бы хорошо информирован. С другой стороны, если бы Берт ответил «частота вращения 3,49», мы все согласились бы, что Эрни не знал бы частоту вращения. Также Эрни не будет полезен ответ «3,49 в секунду», как и ответ «200 в секунду». Чтобы передать полезную информацию, Берт должен сообщить Эрни единицы измерения, в которых он сообщает частоту вращения, включая так называемые безразмерные единицы цикла, радианы или градусы.Текущая формулировка СИ специально позволяет заменять единицы «радиан» или «цикл» на безразмерную единицу «единица», а также позволяет заменять радианы в секунду и циклы в секунду (Гц) на обратные секунды. Ясно, что если бы Берт следовал этому рецепту, разрешенному нынешним СИ, он оставил бы Эрни в неведении относительно частоты вращения.

Если бы Берт дал неинформативный ответ о скорости вращения, Эрни мог бы спросить: «Какова концентрация кислорода в воздухе, которым вы дышите?» Берт мог ответить «примерно 10 25 атомов на m -3 » или «5 × 10 24 молекул на m -3 ».Это четкие ответы. Двоякая двусмысленность возникла бы, если бы он не указал подсчитываемый объект; Фактически, нынешняя СИ говорит, что «атомы» или «молекулы» являются безразмерными единицами, которые должны быть установлены равными «единице». Если бы Берт сказал: «5 × 10 24 м −3 », Эрни мог бы интерпретировать это как атомную плотность и задаться вопросом, не повлияло ли кислородное голодание на остроту ума его друга.

Такие ситуации, допускаемые неоднозначными единицами, несостоятельны, что является одним из основных моментов данной статьи.Решить проблему будет непросто, о чем свидетельствует тот факт, что она сохранялась в течение многих лет после учреждения СИ в 1960 году. Эта ситуация привела к таким проблемным заявлениям, как «радиан и стерадиан — особые названия для номер один … »[1]. Одна из отправных точек — признать, что замена радианов, циклов или подобных безразмерных единиц на «единицу» приводит к проблемам, а замена молекул на «единицу» в выражениях для молекулярной концентрации также может привести к проблемам.Эти и подобные аргументы явным образом изложены ниже, как и наши предложения по пересмотру SI, который имеет большое значение для решения проблемы 1 .

Международная система единиц (СИ) определяет единицы, которые используются для выражения значений физических величин [1]. В обозримом будущем ожидается переопределение SI на основе заданных значений некоторых фундаментальных констант [2]. Это представляет собой драматическое изменение, одним из последствий которого является то, что больше не будет четкого различия между базовыми единицами и производными единицами [3, 4].Ввиду этого изменения настало время пересмотреть единицы СИ и их определения. Одна из целей состоит в том, чтобы гарантировать, что все такие единицы являются связными, то есть они составляют единую систему единиц.

В действующих СИ различные величины обозначены как безразмерные. То есть считается, что они не имеют единицы или имеют так называемую когерентную производную единицу «единицу». В некоторых случаях такое обозначение приводит к неоднозначным результатам для этих величин. В этой статье мы исследуем единицы СИ, которые считаются безразмерными, и другие единицы, в настоящее время не включенные в СИ, которые могут быть добавлены, чтобы привести их в большее соответствие с широко распространенным научным использованием.

Как правило, единицы используются для передачи информации о результатах измерений или теоретических расчетов. Например, для передачи измерения длины результат выражается числом и единицей измерения, которые в системе СИ — это метр. Число указывает длину результата измерения в метрах.

Для простых алгебраических вычислений с использованием единиц можно записать выражение и отдельно собрать единицы, которые для удобства можно заменить эквивалентной единицей.Например, кинетическая энергия E массы м = 2 кг, движущейся со скоростью v = 3 м с -1 , рассчитывается как

где J — символ джоуля, единицы энергии в системе СИ. Этот расчет иллюстрирует важный принцип СИ, заключающийся в том, что единицы согласованы. То есть, когда комбинация единиц заменяется эквивалентной единицей, дополнительный числовой коэффициент отсутствует. Для уравнения (1) это соответствует соотношению

Обозначение q = { q } [ q ] для количества с единицами измерения различает единицу [ q ] и числовое значение { q } [5].Например, для скорости света мы имеем c = 299 792 458 м с -1 , где { c } = 299 792 458 и [ c ] = м с -1 . Очевидно, оба этих фактора зависят от системы единиц, но произведение { q } [ q ] описывает одну и ту же физическую величину. Коэффициенты { q } и [ q ] по отдельности следуют алгебраическим правилам умножения и деления, что позволяет проводить последовательный анализ размеров и преобразование между различными единицами.

В этих обозначениях расчет в уравнении (1) может быть записан как

или

Таким образом, вычисления разделяются на чисто числовую часть и часть, включающую единицы. Для нетривиальных уравнений отдельная работа только с числовыми значениями обеспечивает практический способ проведения расчетов. В частности, когда задействованы математические функции, такие как экспоненциальные, тригонометрические или функции Бесселя, аргументами обязательно являются числа без единиц, а вычисления выполняются только с числовыми значениями.Это еще больше упрощается, если используется связная система единиц, поэтому дополнительный числовой коэффициент отсутствует.

Физическая наука основана на математических уравнениях, которые следуют правилам анализа, изложенным в многочисленных математических справочниках. Как правило, в справочных математических текстах расстояния, площади и углы, например, безразмерны. С другой стороны, в физической науке используются единицы.

Одним из следствий этого различия является то, что математика не дает информации о том, как включать единицы измерения в анализ физических явлений.Одна из функций СИ — обеспечить систематическую основу для включения единиц в уравнения, описывающие физические явления.

Углы играют важную роль в математике, физике и инженерии. Они попадают в категорию величин с безразмерными единицами измерения в текущей системе СИ, что приводит к неоднозначности в приложениях. Этот вопрос широко обсуждался в литературе, и аргументы приводятся с обеих сторон вопроса о том, являются ли углы величинами, которые должны иметь единицы [6].

Частично из-за того, что единицы измерения редко рассматриваются в математике, единица радиан для углов редко упоминается в справочной литературе по математике, так же как редко упоминается метр. В чисто математическом анализе единицы измерения не нужны. Точно так же необходимо с осторожностью делать выводы о единицах измерения, основанные на чисто математических соображениях. Например, в нынешней системе СИ указано, что углы безразмерны на основе определения, что угол в радианах — это длина дуги, деленная на радиус, поэтому предполагается, что единица измерения является производной единицей или безразмерной единицей.Однако это рассуждение неверно, как показывает следующий пример. Угол также можно определить как «удвоенную площадь сектора, который угол отсекает от единичной окружности, центр которой находится в вершине угла» [7]. Это дает тот же результат для числового значения угла, что и определение, указанное в брошюре SI, однако, следуя аналогичным рассуждениям, предполагается, что углы имеют размерность квадрата длины, а не безразмерные. Это показывает, что выводы о размерах величин, основанные на таких рассуждениях, явно бессмысленны.

Независимо от того, рассматриваем ли мы углы как имеющие размер или нет, их можно измерить, а результаты можно выразить, например, в градусах, радианах или оборотах. В элементарной плоской геометрии или повседневной жизни обычно используются градусы, и интуитивно знакомо думать об угле 45 ° или 90 ° и о том, что 360 ° — это полный оборот. В данном случае единицы измерения — градусы, а [90 °] = °.

В расчетах и ​​физике удобно использовать радианы или рад для единиц измерения углов.Угол в радианах между двумя линиями, которые пересекаются в точке, равен длине дуги окружности s , проведенной между линиями на радиус-вектор длиной r от точки пересечения, деленный на длину радиус-вектора. Угол θ , таким образом, определяется как

что соответствует { θ } = с / r и [ θ ] = рад.

Преобразование между радианами и градусами следует из соотношения 360 ° = 2 π рад, которое дает, например,

где правила алгебры применяются к единицам, чтобы исключить степени из уравнения.

В этом контексте, очевидно, полезную роль играют единицы измерения углов. Как и в случае любой измеряемой величины, данный угол будет иметь разные числовые значения в зависимости от единиц, в которых он выражен. Такие единицы, как градусы или радианы, преобразуются в другие единицы с помощью алгебраических вычислений, как в уравнении (6).

Ниже мы рассмотрим последствия последовательной обработки единиц измерения углов. Для бесконечно малого сегмента плоской кривой изменение угла d θ касательной к кривой пропорционально бесконечно малому изменению положения d s вдоль кривой, где мы определяем константу пропорциональности как угловой кривизна:

где рад м −1 .Очевидно, угловая кривизна — это мера степени изгиба сегмента кривой. (Это отличается от кривизны графика в элементарном исчислении или кривизны в дифференциальной геометрии, оба из которых безразмерны и не содержат углов.) Если угловой радиус кривизны определяется как

тогда

Величину в единицах м рад −1 следует отличать от r в уравнении (5), которое имеет единицы измерения m. Если кривая является частью круга, то мы имеем

по аналогии с уравнением (5) и.Фактически, уравнение (5) совпадает с уравнением (10), если выполняется замена rad → 1.

Это естественно распространяется на стерадианы телесного угла, сокращенно sr, для которого бесконечно малый телесный угол, заключенный в область d a на поверхности сферы, определяется выражением

в котором есть единицы рад 2 . В таблице 1 собраны несколько величин, включая углы и связанные с ними единицы.

Таблица 1. Величины с указанием углов и их единиц.

В приложениях углы появляются в экспоненциальных и тригонометрических функциях, и эти функции определены для аргумента, который является безразмерным числом, то есть числовым значением угла, выраженным в радианах. Показательная функция дается своим степенным рядом

и отношение

следует из разложения в ряд функций косинуса и синуса. Единицу измерения «радиан» нельзя включать в качестве множителя в аргументы этих функций, потому что каждый член в степенном ряду должен иметь одну и ту же единицу.

Связь этих функций с углами следует из того факта, что уравнение (13) представляет собой точку в комплексной плоскости на единичной окружности под углом θ = y рад в направлении против часовой стрелки от положительного вещественного числа. ось. Периодичность функции e i y фиксирует единицу угла как [ θ ] = рад, потому что и угол θ = y рад, и функция e i y пройти один полный цикл, так как y = { θ } находится в диапазоне от 0 до 2 π .Выбор любой другой единицы для [ θ ] не согласовал бы эти два периода.

Однако обычной практикой в ​​физике является запись экспоненциальной функции угла θ = y рад как e i θ , а не e i y или e i { θ } . Фактически, при проведении расчетов ученые обычно не различают θ и { θ }, что равносильно рассмотрению рад как 1.

Это показывает конфликт между последовательным применением анализа размеров и обычным использованием. Последовательное применение анализа размерностей необходимо для того, чтобы СИ можно было использовать в качестве основы для любой программы компьютерной алгебры, которая принимает во внимание единицы измерения [8, 9]. Скорее всего, это будет все более популярным способом проведения расчетов, и для предотвращения ошибок необходимо иметь надежную основу. Для таких приложений важно использовать числовое значение углов, выраженное в радианах, θ / рад, в экспоненциальных и тригонометрических функциях, а также более общие функции углов в математической физике, чтобы избежать ошибок 2 π , которые иначе могло бы произойти.(Например, можно спутать Гц и рад с −1 , как описано в разделе 4.) С другой стороны, для общего использования в печатных уравнениях, следуя общепринятой практике, аргумент экспоненциальной и тригонометрической функций просто записывается как θ , что соответствует замене рад на 1. Конечно, эта замена может быть сделана только для единицы рад, а не для оборотов (циклов) или градусов, замены, которые вводят числовые коэффициенты. В этом смысле рад является согласованной единицей в СИ, тогда как обороты и градусы — нет.

Периодические явления в физике включают вращение объекта, циклы или повторение волны или серию любых регулярных, повторяющихся событий. Такие периодические явления характеризуются частотой, единицами измерения которой могут быть угловой коэффициент или цикл, деленный на время. В SI, цикл / секунда = цил / с называется герц или Гц, а

где второе равенство следует из того, что один цикл и 2 π радиан каждый соответствуют периоду периодического явления. Гц можно рассматривать как эквивалент оборотов в секунду, но часто «вращения» используются для механического движения, а «циклы» — для волн.

Отметим, что если цикл не включен в Гц, а радиан заменен на 1, оба из которых указаны в текущей брошюре SI, то уравнение (14) будет бессмысленным.

Традиционный символ, используемый для угловой частоты — ω , что означает частоту в единицах рад с -1 , тогда как символы ν или f используются для обозначения частоты, выраженной в герцах. Соотношение между числовым значением конкретной частоты, выраженным в Гц или рад с -1 , определяется следующим образом:

или

где второе равенство в уравнении (15) следует из уравнения (14).Как уже отмечалось, радианы действуют как согласованные единицы для СИ, поэтому мы производим идентификацию, где фигурные скобки без нижнего индекса указывают, что числовое значение соответствует согласованной единице СИ. Однако следствием этого соглашения является то, что единица Гц не является согласованной единицей СИ, как показано уравнением (16). Это противоречит нынешней системе СИ, в которой Гц рассматривается как согласованная единица СИ, только потому, что цил заменяется единицей. Поскольку это приводит к несогласованности, мы предлагаем модифицировать СИ таким образом, чтобы Гц не рассматривался как связная единица СИ и не заменялся на s -1 .

Отметим, что если и rad, и cyl заменены на ‘one’, как разрешено в текущих SI, то уравнение (16) принимает форму (сомнительного) соотношения

мы используем этот символ, чтобы подчеркнуть, что уравнение верно только с этими несоответствующими заменами. Фактически, правильное уравнение дается уравнением (16), которое включает только числовые значения. Мы понимаем, что когда люди записывают уравнение (17) как равенство, они имеют в виду то, что указано в уравнении (16). Другими словами, когда для данной частоты люди ошибочно пишут, что ω равно 2 π ν , они правильно означают, что числовое значение в радианах в секунду для ω составляет 2 π , умноженное на числовое значение. в герцах ν .

Основное уравнение для волн — это соотношение между длиной волны и частотой. Это вообще написано

где λ — длина волны от гребня до гребня, а c — скорость волны, которая для электромагнитного излучения в свободном пространстве является скоростью света. Из требования, что единицы по обе стороны от равенства должны быть одинаковыми, и условных обозначений, что c имеет единицу m s -1 в системе СИ, а ν имеет единицу Гц, уравнение (18) подразумевает, что блок для λ

которое имеет самоочевидную интуитивную интерпретацию.Ни Гц, ни м цил -1 не являются когерентными единицами. Для «когерентной» версии уравнения (18), то есть уравнения, в котором c имеет единицу m s -1 , а частота имеет единицу рад s -1 , мы запишем

что означает, что приведенная длина волны имеет единицы

и это

где, как и раньше, отсутствие индекса в фигурных скобках указывает на то, что числовое значение относится к когерентным единицам СИ, которыми в данном случае являются м рад -1 .Опять же, когда отношение

рассматривается как равенство, имеется в виду уравнение (22).

Еще одна величина, связанная с волнами, — это волновой вектор.

Он имеет единицы радиан на метр или рад м −1 . (Величину волнового вектора следует отличать от волнового числа λ −1 , используемого в спектроскопии.) С помощью этих единиц для k ковариантная фаза kx ω t для волны распространение в направлении x , где x — координата, а t — время, однородно в единице рад.Это согласуется с квантово-механическим выражением для импульса.

В классической механике вращательное движение твердого тела можно описать углом θ вокруг фиксированной оси вращения как функцией времени t , угловой скоростью ω

и угловое ускорение α , определяемое формулой

Очевидно, θ , ω и α имеют единицы рад, рад с −1 и рад с −2 .Единицы для других величин, связанных с вращательным движением, таких как момент инерции, могут быть выведены из определяющих уравнений. Как показывает опыт, для получения связного набора единиц необходимо принять радиус r , который появляется в таких выражениях, как угловой радиус кривизны с единицами измерения м рад −1 , определенным в уравнении (8 ). В таблице 2 перечислены различные величины, связанные с вращательным движением точечной массы на расстоянии от оси вращения, соответствующие уравнения и соответствующие единицы.Более длинный список дает Эдер [6].

Таблица 2. Величины, включающие вращательное движение, и их единицы.

В электромагнетизме и квантовой механике произведение угловой частоты и времени ω t часто появляется в экспоненциальной функции. Это похоже на случай углов, обсуждаемых в разделе 3. В квантовой механике, например, принято писать

где на самом деле имеется ввиду

Здесь, что касается углов, принято рассматривать рад как «единицу», что не приводит к проблемам, если рад является когерентной единицей СИ.

Многие научные приложения включают подсчет событий или сущностей. Например, при радиоактивном распаде события происходят в случайные моменты времени, но все же имеют четко определенную скорость при усреднении за достаточно долгое время с достаточно большой выборкой. Результатом измерения, при котором количество импульсов срабатывания детектора затухает, является количество отсчетов в секунду или отсчетов в секунду. Единица СИ для активности радиационного образца — беккерель или Бк, что означает количество распадов в секунду, что связано с количеством импульсов в секунду через общую эффективность обнаружения.Однако в нынешней системе СИ сказано, что беккерель имеет единицы s -1 , что означает, что спад или счет в числителе опущены. Здесь мы не согласны с этим предписанием и утверждаем, что следует сохранить единицу «распад» или «счет», потому что она предоставляет информацию о числе, которое предшествует ей в выражении для количества. Кроме того, поскольку текущая SI заменяет и Гц, и Бк на -1 с, различие между этими единицами теряется и иногда приводит к опасному и, к сожалению, ошибочному использованию Гц, который относится к периодическим циклам, для скорости случайных События.(Нерадиоактивный распад, например распад возбужденных состояний атома, также является случайным процессом и правильно измеряется в количествах распадов в секунду, но не традиционно в Бк и, конечно, не в Гц.)

Это частный случай счета в целом. . Вещи, которые можно подсчитать, включают события, такие как распады или щелчки детектора, и объекты, такие как атомы или молекулы. Для таких счетных вещей полезно включать обозначение того, что считается в единице для соответствующих количеств.Количества, включающие подсчет, не ограничиваются числами и ставками. Например, если в определенном временном интервале есть распады = 200 ссн и детектор регистрирует отсчеты = 20 сНт, то эффективность обнаружения η равна

Преобразование между скоростью счета и скоростью затухания может быть выполнено с использованием эффективности обнаружения в качестве коэффициента преобразования. Для этого детектора, если наблюдается скорость счета cnt s −1 , это указывает на скорость затухания, определяемую выражением

В этом случае эффективность детектора выражается в единицах, в отличие от рекомендаций нынешней системы СИ, где это было бы просто число.Единицы предоставляют полезную информацию в форме, которую можно использовать в расчетах.

Подсчет также применяется к таким объектам, как атомы или молекулы. Средняя числовая плотность n молекул в данном объеме — это количество молекул, деленное на объем V

который в нынешней системе СИ имеет единицы измерения m −3 . Однако это еще один случай, когда полезно указать, что означает плотность. Это сделало бы числовую плотность совместимой с другими формами плотности, такими как массовая плотность или плотность заряда, которые имеют единицы измерения кг · м -3 и К · м -3 , соответственно.Для числовой плотности единица измерения должна быть mcl m −3 , что естественно следует, когда есть единица mcl, где mcl — предлагаемая единица для количества молекул. Для макроскопического числа молекул или атомов удобно использовать единицу моль или моль, где

где ent — предлагаемый символ для объекта. Это выражение проясняет, что моль, представляющая собой единицу количества вещества, — это не просто число, а несколько единиц. Это соотношение можно использовать как коэффициент преобразования между числовой плотностью и молярной плотностью, которые различаются только своими единицами измерения.В качестве примера

Наличие единиц делает преобразование более ясным, чем было бы, если бы единица mcl отсутствовала в уравнении (33), как предписывает текущая СИ, а для многоатомных молекул устраняет любую двусмысленность относительно того, подсчитываются ли атомы или молекулы.

Список предлагаемых имен модулей для событий и сущностей приведен в таблице 3. Другие элементы могут быть названы по мере необходимости.

Таблица 3. Количества, требующие подсчета, и их символы единиц.

Кол-во Условное обозначение
События эвт
Кол-во отсчетов cnt
Количество распадов dcy
Объекты энт
Количество молекул мкл
Число атомов атм
Количество частиц шт

Фундаментальные константы — это параметры в уравнениях, которые описывают физические явления и имеют единицы измерения, необходимые для согласованности размеров.Рекомендуемые CODATA значения и единицы измерения для констант [10] основаны на соглашениях текущей системы СИ, и любые изменения этих соглашений будут иметь последствия для единиц.

Например, уравнение

связывает E , энергию фотона, с его угловой частотой ω . Эти величины связаны через постоянную Планка ℏ, и для того, чтобы уравнение было размерно согласованным с учетом рассматриваемых модификаций СИ, единица измерения ℏ должна быть Дж с рад -1 или, что более предположительно, Дж / (рад с −1 ).Это контрастирует с табличным значением CODATA для ℏ, которое имеет единицы измерения J s. Аналогично уравнение

где ν — частота фотонов в герцах, означает, что единицей измерения для ч является Дж Гц -1 . И J s rad -1 , и J Hz -1 уменьшаются до J s в текущей системе СИ, но они различны, когда единицы обрабатываются согласованно. Из двух выражений для энергии фотона для данной частоты следует

и вместе с уравнением (16) приводят к обычному соотношению

между числовыми значениями постоянной Планка, выраженными в разных единицах.Часто можно увидеть

но, как и раньше, когда уравнение (38) рассматривается как равенство, имеется в виду уравнение (37).

Другая основная константа, включающая, — это уменьшенная комптоновская длина волны электрона, определяемая выражением

который имеет единицы

в соответствии с уравнением (21). Точно так же радиус Бора a 0 связан с уменьшенной комптоновской длиной волны соотношением

где α — безразмерная постоянная тонкой структуры, так что

что согласуется с использованием углового радиуса кривизны для механического вращательного движения.Для постоянной Ридберга определение

предлагает единицы

для согласования с формулой Ридберга

Соответствующая угловая версия постоянной Ридберга дается выражением

с единицами рад м −1 , где

Выражение для постоянной тонкой структуры α в текущей СИ имеет вид

где e — это единичный заряд, а 0 — диэлектрическая проницаемость вакуума (электрическая постоянная).Можно видеть, что знак ℏ в этом выражении возникает из-за формы электромагнитных взаимодействий в уравнении Шредингера следующим образом. Для атома водорода

где, V ( x ) = — e 2 / (4 π 0 | x |), ψ ( x ) — волновая функция, а E — собственное значение энергии. Если координата записана как безразмерный множитель, умноженный на приведенную комптоновскую длину волны электрона, то уравнение имеет полностью безразмерный вид

где и.Однако, когда обратный радиан включен в ℏ, уравнение (48) должно быть изменено, чтобы α было безразмерным. Это можно сделать, хотя и не однозначно, используя свободу определения электрических величин, как обсуждал Джексон [11] в его приложении о единицах и измерениях. Если заменить определения единичных коэффициентов по формуле k 1 k 1 / рад и k 2 k 2 / рад, то изменений нет. к форме СИ уравнений Максвелла, кроме модификации единиц 0 и μ 0 , чтобы быть

а также

где μ 0 — проницаемость вакуума (магнитная постоянная).

Теперь обратимся к константам, связанным со счетом. Константа Авогадро N A — это количество объектов в одном моле, которое можно записать как

в соответствии с уравнением (32). Очевидно, эту константу можно рассматривать как коэффициент преобразования между сущностями и молями. Он также обеспечивает связь между молярной газовой постоянной Дж моль -1 K -1 и постоянной Больцмана k , которая, таким образом, определяется выражением

Аналогично, постоянная Авогадро связывает постоянную Фарадея F = 9.64 … × 10 4 Кл моль −1 до единичного заряда, который можно записать как

Очевидно, это выражение допускает явное преобразование между числовой плотностью и плотностью заряда, которое принимает форму [ ρ ] = [C m −3 ] = [ e n ], где n как определено в уравнении (31).

Таблица 4 дает частичный список фундаментальных констант, на которые влияет явное выражение радианов или сущностей; схема включения таких единиц в другие константы, где это необходимо, должна быть ясной.С другой стороны, большинство констант остается неизменным.

Таблица 4. Фундаментальные константы и их единицы.

Константы Символ шт.
Приведенная постоянная Планка Дж с рад −1
Постоянная Планка ч Дж Гц −1
Электронно-восстановленная длина волны Комптона м рад −1
Радиус электронного Бора а 0 м рад −1
Постоянная Ридберга рад м −1
Диэлектрическая проницаемость вакуума (электрическая постоянная) 0 C 2 J −1 рад м −1
Вакуумная проницаемость (магнитная постоянная) мкм 0 кг · м рад −1 C −2
Константа Авогадро N A энт моль −1
Постоянная Больцмана к Дж К −1 энт −1
Элементарная оплата e Цент -1

Были выявлены и обсуждены модификации SI для устранения несогласованности, возникающей в результате отбрасывания так называемых безразмерных величин.Существует некоторая свобода в том, как модификации могут быть приняты во внимание пользователями SI. Однако один вывод, который не является необязательным, заключается в том, что единицу герц нельзя рассматривать как согласованную единицу СИ, в отличие от ее обозначения в текущей форме СИ, где циклы игнорируются, а Гц можно заменить на s — 1 .

В то же время мы показали, что радиан может играть полезную роль в обеспечении согласованности единиц и должен рассматриваться как связная единица для углов в системе СИ.Поэтому мы рекомендуем сообщать величины, включающие вращение, углы или угловые частоты, в радианах как единицу измерения. Однако мы не рекомендуем менять обычную практику написания таких выражений, как cos ω t , на более педантичную форму cos { ω t }. Было бы слишком сложно требовать от СИ различать угол и его числовое значение.

Для единиц, участвующих в подсчете, преобладает практика включать их в выражения для таких количеств.Это контрастирует с нынешним SI, где они опущены. Здесь приводится согласованная формулировка использования таких количеств.

Что касается фундаментальных констант, публикации Рабочей группы CODATA по фундаментальным константам основаны на текущем SI [10]. Мы рекомендуем, чтобы будущие списки значений фундаментальных констант давали полные единицы, включая радианы и единицы счета, чтобы обеспечить руководство для последовательного использования констант, особенно компьютерными программами, которые включают единицы.Пользователи констант могут по-прежнему опускать радианы или единицы счета, но включение их в перечисленные значения побудит пользователей использовать их последовательно, если они захотят.

Мы благодарны профессору И. Миллсу за много ценных бесед и за внесение основополагающих идей, связанных с этой статьей.

(PDF) Краткое примечание о выводе уравнения углового момента внешней керны

Краткое примечание о выводе углового момента внешнего керна

Уравнение

Чжилян Гуо1, Венбин Шен2, Леонид Зотов3,4

1 Школа географии и геоматика, Уханьский университет, Ухань, Китай

e-mail: zhlg1128 @ whu.edu.cn

2Ключевая лаборатория геокосмической среды и геодезии Министерства образования,

Уханьский университет, Ухань, Китай, e-mail: [email protected]

3Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики, Москва Институт электроники и математики

, Россия, e-mail: [email protected]

4 Астрономический институт им. Штернберга, МГУ им. М. В. Ломоносова, Россия

РЕФЕРАТ. В этой короткой заметке мы представляем более подробный вывод уравнения углового момента

внешнего ядра (ВОК), приведенный в Mathews et al.(1991) статья [1]. Наша исследовательская заметка написана

в соответствии с традициями комментариев к комментариям, ее можно рассматривать как дополнительный материал, который помогает понять вывод

. Мы также обсуждаем важность правильных понятий и обозначений,

, которые могут упростить понимание основных уравнений.

1. Введение

Вращение Земли с жидким ядром изучается во многих работах [5, 6, 7]. Но вывод основных

уравнений достаточно фундаментален и не всегда четко объясняется.В первой части приложения B к статье

[1] обсуждается динамика ВОК и выводится уравнение углового момента для нее. Он составляет

основу приближения Сасао-Окубо-Сайто (SOS) [3] для сжимаемого, расслоенного, аксиально-симметричного

внешнего жидкого ядра (ВОК) с пренебрежением давления и гравитационных моментов связи, действующих на него. В

вторая часть приложения B [1] проводится набор выводов для проверки приближения SOS. В

, последней части приложения B к [1], получены давление и гравитационные моменты, действующие на твердый внутренний сердечник с константами связи

α1, α2, α3.Довольно краткое объяснение, данное в оригинальной статье [1],

, богато представлено более подробно в [2].

Прежде чем мы начнем вывод, нам потребуется четкое понимание различных величин и производных

tives, систем координат, к которым они принадлежат, и используемых обозначений. К сожалению, терминология

, уже используемая в исследованиях вращения Земли, иногда может привести к неправильному пониманию.

Например, в книге [2] основное уравнение баланса углового момента в инерционных и вращающихся

системах записано в виде: dH

dt S

= L, dH

dt + Ω × H = Γ,

, где S обозначает производную в пространственно-фиксированной небесной системе отсчета, Ω — вектор угловой скорости вращающейся системы отсчета

относительно инерциальной системы отсчета, Land Γ представляет вектор крутящего момента, приписываемый

небесной и земной системе отсчета, соответственно. , но момент импульса His обозначен единицей

и

одной и той же буквой в обеих системах, что вводит в заблуждение.В книге [6] предлагается подчеркнуть вектор как

H, когда он задан во вращающейся системе отсчета. Представление d

dt S = d

dt + Ω × дано в форме d

dt = ∂

∂t + Ω ×

в [8] и некоторых других работах, но с использованием частичного производная выглядит странно. В книге Ландау и Лифшица

[9] штрихованная производная d ‘

dt используется для представления изменения величины во вращающейся системе отсчета. В наших выводах

мы будем использовать D

Dt = d

dt + Ω × для абсолютной производной, как в [11].

Вероятно, наилучшее обозначение преобразования между инерциальной системой OX Y Z и движущейся системой

Cxyz дано в книге [4]. Если обозначить радиус-вектор точечной массы в OXY Z заглавными буквами

, R, чтобы обозначить положение начала координат C относительно OX YZ вектором RC, то ввести

Γ для ортогонального преобразования вращения из оси Cxyz к осям OXY Z и использовать маленькие

букв для векторов, заданных в Cxyz, например r, тогда преобразование из Cxyz в OX YZ и скорость

точечной массы может быть задано как

R = RC + Γr , dR

dt = dRc

dt + ˙

Γr + Γdr

dt = Vc + Γ (Γ − 1˙

Γ) r + Γv.

1

Коэффициент демпфирования — обзор

В гидродинамической модели смазки распределение давления рассчитывается с учетом изовязкости масляной пленки. В термогидродинамической модели смазки распределение давления итеративно решается с распределением температуры. После распределения давления рассчитываются гидродинамические силы и определяется положение равновесия вала в подшипнике. Наконец, коэффициенты динамики приближены методом возмущений.

2.1 Смазка Модель

Коэффициенты жесткости и демпфирования в гидродинамических подшипниках рассчитываются на основе гидродинамических сил, действующих в подшипнике, полученных путем интегрирования распределения давления в подшипнике. Распределение давления получается из решения уравнения Рейнольдса [5,6].

(1) ∂∂xh4μ∂P∂x + ∂∂zh4μ∂P∂z = 6⋅ω⋅RS⋅∂h∂x + 12⋅∂h∂t

Где P (x, z) — распределение давления в масляной пленке x и z — прямоугольные координаты, μ — абсолютная вязкость, R S — радиус вала, h — толщина масляной пленки, ω — частота вращения вала и т время.

Толщина масляной пленки для каждой колодки подшипника может быть получена из геометрических параметров [7], эксцентриситета вала и углового смещения колодки как:

(2) hβ = RP − RS − sinβ⋅yS + α⋅RP + hP + cosβ⋅xS + RP − RS − h0

Согласно рисунку 1 β — угловое положение в подушке, R P — радиус площадки, h P — толщина колодки, h 0 — радиальный зазор, α — угловое смещение колодки, x S и y S — положение вала в местной системе отсчета.

Рисунок 1. Схематическое изображение; (а) Вид спереди на подшипник ротора; (б) Перспективный вид подушки.

Как упоминалось ранее, распределение давления вычисляется итеративно с распределением температуры. По этой причине уравнение энергии применяется для определения распределения температуры в масляной пленке. В этом случае передача тепла через осевую координату не рассматривалась, поскольку ее влияние очень мало относительно радиального и окружного направлений в системе, как показано Кэмероном [8].Следовательно, уравнение энергии задается следующим выражением [9,10]:

(3) ρ⋅Cf⋅u⋅∂T∂x + v⋅∂T∂y = kf⋅u⋅∂2T∂x2 + v ⋅∂2T∂y2 + μ⋅ΦΦ = 2⋅∂u∂x2 + ∂v∂y2 + ∂u∂y + ∂v∂x2 + ∂w∂y2 + ∂w∂x2

Где T (x, y) — распределение температуры, x и y — прямоугольные координаты, k f — теплопроводность, C f — удельная теплоемкость, u, v и w — линейные скорости по x, y и z соответственно, а Ф — вязкая рассеивание масла. Уравнение (3) дает распределение температуры в плоскости xy (в радиальном и окружном направлении) для различных осевых положений, таких как центральная плоскость и плоскости оконечностей подшипника, приближаясь к изменению температуры в осевом направлении.Хотя теплопроводность через осевую координату не рассматривается, температура изменяется в этом направлении подшипника, поскольку в осевом направлении изменяется распределение давления и, следовательно, поле скоростей и тепловое рассеяние. Фактически, изменение температуры в осевом направлении очень мало, что доказывает, что теплопередача также очень низкая, что приводит к пренебрежению теплопередачей в этом направлении, учитывая, что температура практически постоянна. Что касается граничных условий, учитывалась теплопроводность между жидкостью и цапфой, при которой цапфа была изотермической, а теплообмен между жидкостью и несущей стенкой отсутствовал (адиабатические условия).Эти предположения были взяты из ранее проведенных исследований [11,12]. Более того, граничные условия на входе и выходе подушки считались заданными температурными и адиабатическими соответственно. Температура на входе колодки — это температура смеси, полученная между потоком предыдущей колодки и потоком подачи масла. Из-за вращения шейки скорость масла на выходе из колодки высока, в результате чего эта зона перемешивания возникает возле входа в следующую колодку.По этой причине на выходе из подушки отсутствует область смешения, т.е. на этой границе не происходит теплопередача, что позволяет рассматривать эту границу как адиабатическую.

2.2 Динамические коэффициенты

После распределения давления рассчитываются гидродинамические силы. Положение равновесия вала внутри подшипника определяется балансом сил и момента. Определение коэффициентов жесткости и демпфирования в подшипнике выполняется на основе коэффициентов жесткости и демпфирования каждой подушки подшипника.Следовательно, коэффициенты жесткости и демпфирования для каждой подушки должны быть рассчитаны и преобразованы в инерциальную систему отсчета. Следовательно, можно наложить динамические характеристики каждой колодки и получить динамическое поведение подшипника. Этот метод обычно применяется и действителен для описания поведения подшипника, поскольку каждая колодка действует независимо с валом, т. Е. Динамические характеристики каждой колодки зависят от взаимодействия этой колодки с валом, а динамические характеристики подшипника являются следствие динамических характеристик каждого пэда.Эти коэффициенты получены с помощью концепции пружинного демпфера, чтобы представить присущую масляной пленке гибкость и демпфирование. Связь между гидродинамическими силами и перемещениями (и скоростями) центра вала и колодок дает эквивалентные коэффициенты. Силы реакции зависят от смещения вала и колодки (x, y и a), а также от мгновенных скоростей вала и колодки (x˙, y˙ и α˙, где «точка» обозначает производную от времени. ). Следовательно, для небольшого возмущения от положения статического равновесия гидродинамические силы реакции могут быть записаны через разложение в ряд Тейлора первого порядка как [13,14]:

(4) Fx′j = Fx0′j + kx′x′Δx ′ + Kx′y′Δy ′ + kx′αjΔαj + cx′x′Δx˙ ′ + cx′y′Δy˙ ′ + cx′αjΔα˙jFy′j = Fy0′j + ky′x′Δx ′ + ky ′ y′Δy ′ + ky′αjΔαj + cy′x′Δx˙ ′ + cy′y′Δy˙ ′ + cy′αjΔα˙jMj = M0j + kαjx′Δx ′ + kαjy′Δy ′ + kαjαjΔαj + cαjx′Δx˙ ′ + cαjy′Δy˙ ′ + cαjαjΔα˙j

Где ‘(апостроф) обозначает местную систему отсчета, j — номер прокладки, F — сила, M — момент, k — коэффициент жесткости, c — коэффициент демпфирования, Δ x ′, Δ y ′ и ∆a — возмущения смещения по x ′, y ′ и a соответственно, а Δx˙ ′, Δy˙ ′ и Δα˙ — возмущения скорости по x ′ , y ′ и a соответственно.Таким образом, задав коэффициенты жесткости в матрице для каждой площадки j:

(5) Kj ′ = kx′x′ky′x′kαjx′kx′y′ky′y′kαjy′kx′αjky′αjkαjαj

В отличие от цилиндрического радиального подшипника, матрица коэффициентов жесткости имеет порядок 3 × 3 для каждой колодки подшипника, где третье измерение относится к степени свободы колодки, то есть к углу наклона колодки. Коэффициенты жесткости и демпфирования для каждой подушки получают в локальной системе координат (координаты x’y ‘), расположенной в подушке.После определения этих коэффициентов необходимо выполнить преобразование координат, чтобы получить коэффициенты в инерциальной системе отсчета. Преобразование координат задается уравнением (6):

(6) Kj = TRφj + αjT⋅Kj′⋅TRφj + αj

(7) TRφj + αj = cosαj + φjsinαj + φj0 − sinαj + φjcosαj + φj0001

Где φ j и a j — угловое положение шарнира в подушке и угловое смещение подушки, соответственно. Следует отметить, что как оценка, так и преобразование коэффициентов демпфирования аналогично выполняются для коэффициентов жесткости.

2.2.1 Полная модель

Как описано ранее, для опорных подшипников с наклонными накладками необходимо воздействовать на вал и колодки. Согласно Allaire [14], каждая колодка дает восемнадцать (18) коэффициентов (девять коэффициентов жесткости и девять коэффициентов демпфирования) из-за коэффициентов прямой и перекрестной связи в x, y и a. Следовательно, эти коэффициенты могут быть записаны в квадратную матрицу порядка N + 2 (глобальная матрица), где N — количество подушек в подшипнике с наклонной подушкой. Из глобальных матриц коэффициентов жесткости и демпфирования динамическое поведение системы подшипников может быть записано в полной модели через уравнение движения, представленное в уравнении (8):

(8) Mglobalr¨ + Cglobalr¨ + Kglobalr = Fglobal

Уравнение (8) может быть записано в развернутой форме как [8]:

(9) mS000 ⋯ 00mS00 ⋯ 000JP10 ⋯ 0000JP2 ⋯ 0 ⋮⋮⋮⋮ ⋱ ⋮ 0000 ⋯ JPNx¨y¨α¨1α¨2 ⋮ α¨N + ∑j = 1Ncxxj∑j = 1Ncxyjcxa1cxα2 ⋯ cxαN∑j = 1Ncyxj∑j = 1Ncyyjcyα1cyα2 ⋯ cyαNcα1xcα1ycα1α10 ⋯ 0cα2xcα2y0cαN αNα αN0 αN0 αN αN0 αN j = 1Nkxxj∑j = 1Nkxyjkxα1kxα2 ⋯ kxαN∑j = 1Nkyxj∑j = 1Nkyyjkyα1kyα2 ⋯ kyαNkα1xkα1ykα1α10 ⋯ 0kα2xkα2y0kα2α2 0 αNα3 29 000 000 αNα1 900 29 вал, J Pj представляет собой момент инерции массы для каждой колодки j вокруг оси.

2.2.2 Уменьшенная модель

Поскольку большая часть динамического анализа вращающейся системы учитывает только боковое движение ротора внутри подшипников (плоскость xy), глобальные матрицы коэффициентов жесткости и демпфирования должны быть записаны с учетом только этих степеней свободы. Следовательно, можно уменьшить глобальную матрицу коэффициентов до матрицы порядка 2 × 2 и, как следствие, получить 4 коэффициента жесткости и 4 коэффициента демпфирования подшипника, связанных с поперечным движением ротора (координаты x и y) .Уменьшение и определение коэффициентов жесткости и демпфирования зависит от частоты колебаний. В данной работе частота колебаний задается равной частоте вращения вала. Восемь пониженных коэффициентов для подшипника с наклонной подушкой обозначаются «синхронно пониженными» коэффициентами подшипника. Разделив термины, относящиеся к валу и колодкам, уравнение (8) можно переписать как [8]:

(10) MS00JPu¨α¨ + CuuCuαCαuCααu˙α˙ + KuuKuαKαuKααuα = fS0

(11) u = xyandα α1α2 ⋮ αN

Уравнение (10) можно записать отдельно как:

(12) MS {u¨} + [Cuu] {u˙} + [Cuα] {α˙} + [Kuu] {u} + [ Kuα] {α} = {fS} JP {α˙} + [Cαu] {u˙} + [Cαα] {α˙} + [Kαu] {u} + [Kαα] {α} = {0}

Динамическое снижение коэффициентов осуществляется в частотной области.Для этого предполагается экспоненциальное решение, представленное в уравнении (13):

(13) u = U⋅eλt; α = Φ⋅eλt; fS = FS⋅eλt;

Где собственное значение (λ) — комплексное число:

(14) λ = Y + iω

Уравнение (14) — это частота затухающего возбуждения. Обычно эта частота является несинхронной, за исключением характеристики дисбаланса. Уравнение движения, представленное в уравнении ( 12 ), может быть записано в частотной области как:

(15) λCuu + KuuU + (λCuα + Kuα) Φ = FS − λ2MSU (a) λCαu + KαuU + (λ2JP + λCαα + Kαα) Φ = 0 (b)

Подстановка уравнения (15b) в (15a):

(16) λCuu + Kuu − GuuU = FS − λ2MSU

Где G uu определяется как:

(17) Guu = λCuα + Kuα⋅λ2JP + λCαα + Kαα − 1⋅λCαu + Kαu

Таким образом, уравнение (16) можно переписать в редукционной форме относительно поступательных координат (x, y) вала как:

( 18) Sλ2 × 2XY = fx − λ2MSXfy − λ2MSY

Наконец, члены матрицы S являются комплексными и могут быть связаны только со степенями свободы поступательного движения, например:

(19) Kλ = realSλ2 × 2

(20) Cλ = мнимая1λSλ2 × 2

матриц — Прямое доказательство угловой скорости из матрицы направляющих косинусов

Я пытаюсь проработать математику того, что должно быть относительно простым доказательством прямого определения матрицы угловой скорости, начиная с матрицы направляющего косинуса.Ссылка на эту проблему — пример 490 из: Jazar, Reza (2011) Advanced Dynamics: Rigid Body, Mulitbody and Aerospace Applications. Хоббокен, Нью-Джерси: John Wiley & Sons, Inc. Стр. 717.

Пусть {I, J, K} обозначает ортонормированную триаду единичных векторов, которые характеризуют декартово представление инерциальной системы отсчета (G-системы отсчета). Пусть {i, j, k} обозначает ортонормированную триаду единичных векторов, которые характеризуют декартово представление фрейма тела (B-фрейма), вращающегося в G-фрейме.G dk} {dt} \ end {pmatrix} $$

Отношения единичного вектора $ e_i \ cdot e_j = 0, e_i \ cdot e_i = 1, e_i \ cdot de_i = 0 $ и $ e_i \ cdot de_j = -e_j \ cdot de_i $ показывают, что показанный выше результат дает правильный кососимметричная форма матрицы угловых скоростей.

Проблема, с которой я столкнулся, заключается в том, каким должен быть простой промежуточный шаг на пути к последнему шагу. Поскольку единичные векторы для каждого кадра фиксированы в своей собственной системе отсчета, производная G любого $ E_i \ cdot e_j $ должна быть $ E_i \ cdot \ frac {^ G de_j} {dt} $.G dk} {dt} $$

Я не уверен, где я ошибаюсь, так как каждый член имеет посторонний мультипликативный множитель, равный трем. Любая помощь будет оценена по достоинству.

Широта и Долгота | Encyclopedia.com

Широта и долгота создают систему координатной сетки для уникального выражения любого места на поверхности Земли.

Широты, также известные как параллели, отмечают и измеряют расстояние к северу или югу от экватора. Экватор Земли (большой круг или средняя окружность) обозначается 0 ° широты.Северный и южный географические полюса, соответственно, составляют 90 ° северной широты и 90 ° южной широты от экватора. Угол широты определяется как угол между поперечной плоскостью, пересекающей экватор Земли, и прямым углом (90 °) полярной оси. Расстояние между линиями широты остается постоянным. Один градус широты равен 60 морским милям (примерно 69 статутных миль или 111 км).

Долготы или меридианы — это большие круги, идущие на север и юг, сходящиеся на северном и южном географических полюсах.Поскольку обозначение долготы 0 ° является произвольным, международная конвенция, проводимая со времен британского военно-морского превосходства, устанавливает линию долготы 0 °, также известную как нулевой меридиан, как большой круг, проходящий через Королевскую обсерваторию в Гринвиче. Англия. Линейное расстояние между линиями долготы варьируется и зависит от широты. Линейное расстояние между линиями долготы наибольшее на экваторе, уменьшаясь до нуля на полюсах. Есть 360 ° долготы, разделенные на 180 ° восточной и 180 ° западной долготы нулевого меридиана.Линия долготы, измеряющая 180 ° западной долготы, конечно же, является той же линией долготы, измеряемой на 180 ° восточнее нулевого меридиана, и, за исключением некоторых геополитических локальных вариаций, служит международной линией дат. Поскольку Земля совершает один оборот чуть менее чем за 24 часа, угловая скорость вращения составляет примерно 15 ° долготы в час. Эта скорость вращения является основой для дифференциации часовых поясов.

Расстояние между линиями долготы меняется на разных широтах, уменьшаясь по мере увеличения широты.На экваторе 69,171 статутная миля разделяет линии долготы, но на 30 ° широты она опускается до 59,956 статутной мили. На 60 ° широты только 34,697 статутных миль разделяют большие продольные круги на этой широте. Все линии долготы сходятся на полюсах.

Каждую точку на Земле можно выразить с помощью уникального набора координат широты и долготы (широта / долгота). Широта, обозначенная как градусы севера (N) или юга (S), и долгота, обозначенная как градусы востока (E) или запада (W), выражаются в градусах, угловых минутах и ​​секундах дуги (e.g., широта / долгота 39: 46: 05N, 104: 52: 22W указывает точку в Денвере, Колорадо).

На картах обычно отображаются линии широты и долготы. Хотя существует множество карт, поскольку карты Земли представляют собой двухмерные представления изогнутой трехмерной сжатой сферической поверхности, все карты искажают линии широты и долготы.

Например, с экваториальными цилиндрическими проекциями (например, проекцией Меркатора) низкоширотные области несут небольшие искажения. На более высоких широтах наблюдается сильное искажение расстояний из-за ошибочно сходящихся линий широты (на поверхности Земли они параллельны).Несмотря на этот недостаток, проекции Меркатора остаются полезными в навигации, потому что нет искажения направления, а вертикальные линии, нарисованные на такой карте, указывают истинный север или юг. Многие карты включают в себя вставки, показывающие полярные конические проекции, чтобы минимизировать искажение широты вблизи полюсов.

Хотя определить широту относительно легко — особенно в северном полушарии, где высота Полярной звезды (Полярной звезды) над горизонтом дает довольно точную оценку широты, точное определение долготы оказалось одним из важнейших пост- Просвещение научные вызовы.

Неспособность точно оценить долготу часто дорого обходится или даже фатальна в морском судоходстве.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.