В чем измеряется угловая скорость вращения: Угловая скорость и угловое ускорение

Содержание

Угловая скорость и угловое ускорение

Рассмотрим понятия угловой скорости и углового ускорения при вращении твердого тела:

Угловая скорость

Угловой скоростью называют скорость вращения тела, определяющаяся приращением угла поворота тела за промежуток времени.

Обозначение: ω (омега).

Формулы угловой скорости

Формула для расчета угловой скорости в зависимости от заданных параметров вращения может иметь вид:

  • если известно количество оборотов n за единицу времени t:
  • если задан угол поворота φ за единицу времени:

Размерности:

  • Количество оборотов за единицу времени [об/мин], [c-1].
  • Угол поворота за единицу времени [рад/с].

Быстрота изменения угла φ (перемещения из положения П1 в положение П2) – это и есть угловая скорость:

ω=dφ/dt=φ’, рад/с; с-1    (2.3)

Например, тело совершающее 1,5 оборота за одну секунду имеет угловую скорость

ω=1,5 с-1=9,42 рад/с.

Приняв k как единичный орт положительного направления оси, получим:

Вектор угловой скорости – скользящий вектор: он может быть приложен к любой точке оси вращения и всегда направлен вдоль оси, при положительном значении угловой скорости направления ω и k совпадают, при отрицательном – противоположны.

Угловое ускорение

Угловое ускорение характеризует величину изменения угловой скорости при вращении твердого тела:

Единицы измерения углового ускорения: [рад/с2], [с-2]

Вектор углового ускорения так же направлен по оси вращения. При ускоренном вращении их направления совпадают, при замедленном — противоположны.

Другими словами, при положительном ускорении угловая скорость нарастает, а при отрицательном вращение замедляется.

Для некоторых частных случаев вращательного движения твердого тела могут быть использованы формулы:

В технике угловая скорость часто задается в оборотах в минуту n [об/мин]. Один оборот – это  радиан:

ω=n2π/60=nπ/30 рад/с; с

-1.

Глава 7. Вращательное движение. Кинематика и динамика

Как правило, в любом варианте задания ЕГЭ по физике представлены несколько задач на вращательное движение. Приведем основные определения и законы, необходимые для решения такого рода задач. Угловой скоростью тела, совершающего вращательное движение, называется отношение угла поворота к тому времени , за которое этот поворот произошел

(7.1)

В этом определении угол должен измеряться в радианах, поэтому размерность угловой скорости рад/с (или 1/с поскольку радиан - безразмерная величина). В принципе, определение (7.1) позволяет найти как среднюю (для больших интервалов времени ), так и мгновенную (при ) угловую скорость. Однако в школьном курсе физики рассматривается только движение с постоянной угловой скоростью, для которого определение (7.1) дает один и тот же результат для любых интервалов времени . Применяя определение (7.1) к полному обороту тела (угол поворота - радиан), получим связь угловой скорости и периода вращения

(7.2)

Угловую скорость можно ввести не только для точечного тела, но и для протяженного тела. Действительно, при вращении неточечного тела вокруг любой оси все его точки поворачиваются за одинаковое время на одинаковый угол. Поэтому можно говорить об угловой скорости всего тела.

Из формулы (7.2) легко получить связь угловой и обычной скорости вращающегося точечного тела (в этом контексте последнюю всегда называют линейной скоростью). Умножая правую и левую часть формулы (7.2) на радиус окружности и учитывая, что – это длина пути, пройденного за период, получим

(7.3)

Конечно, для неточечного вращающегося тела нельзя ввести понятие линейной скорости, поскольку у разных точек этого тела линейные скорости будут разными.

Очевидно, при вращательном движении тело всегда имеет ускорение. Действительно, согласно определению (2.1) ускорение тела равно нулю, если не меняется вектор скорости этого тела (т.е. как величина скорости, так и ее направление). При вращательном движении направление скорости обязательно меняется. Можно доказать, что при вращательном движении точечного тела с постоянной по величине линейной скоростью вектор его ускорения в любой момент направлен от тела к центру траектории тела, а его величина равна

(7.4)

Ускорение (7.3) принято называть центростремительным. Если использовать связь линейной и угловой скорости тела при вращательном движении (7.3), то формулу для центростремительного ускорения можно записать и в таких формах

(7.5)

Согласно второму закону Ньютона ускорения сообщаются телам силами. Поэтому если тело совершает движение по окружности радиуса с постоянной по величине скоростью (и соответственно угловой скоростью ), на него должна действовать сила, направленная к центру окружности и равная по величине

(7.6)

Силу (7.6) принято называть центростремительной. Отметим, что термин «центростремительная» связан не с природой этой силы, а с тем, как она действует: в разных ситуациях центростремительной силой может быть и сила тяжести, и сила трения, и сила реакции, и другие силы или их комбинации.

Перечисленных законов и определений достаточно для решения любых задач ЕГЭ на вращательное движение. Рассмотрим их применение к решению задач, приведенных в первой части.

Если период вращения тела задан, то его угловая скорость может быть однозначно определена независимо от размеров тела или радиуса орбиты для точечного тела. В частности, секундная стрелка любых часов поворачивается на угол за одну минуту (конечно, при условии, что они идут «правильно»). Поэтому угловая скорость секундных стрелок любых часов равна рад/мин (задача 7.1.1 – ответ 2).

Для нахождения линейной скорости конца секундной стрелки часов (задача 7.1.2) используем связь угловой и линейной скоростей (7.5). Имеем

(правильный ответ – 2).

Применяя определение угловой скорости к колесу (задача 7.1.3), получаем

(правильный ответ 1).

Из формулы (7.2) имеем

(задача 7.1.4 – правильный ответ 4).

Используя известное расстояние от первой точки до оси вращения и ее центростремительное ускорение (задача 7.1.5), из формулы (7.5) находим квадрат угловой скорости диска

А теперь по формуле (7.5) для второй точки получаем

(ответ 2).

Поскольку скорость автомобиля в задаче 7.1.6 не меняется в процессе движения для сравнения центростремительных ускорений автомобиля в разных точках траектории следует использовать формулу (7.4), из которой находим, что ускорение тем больше, чем меньше радиус траектории (правильный ответ – 3).

Ускорение мальчика из задачи 7.1.7 будет равно нулю, если его скорость относительно земли будет равна нулю. Поэтому при движении мальчика против движения карусели, его скорость относительно карусели равна скорости карусели относительно земли . Если мальчик пойдет в другую сторону с той же скоростью относительно карусели, его скорость относительно земли будет равна . Поэтому центростремительное ускорение мальчика будет равно

(ответ 4).

Тело, находящееся на поверхности вращающегося диска и вращающееся вместе с ним (задача 7.1.8), участвует в следующих взаимодействиях. Во-первых, тело притягивается к земле (сила тяжести), и на него действует поверхность диска (сила нормальной реакции и трения), причем сила трения в каждый момент времени направлена к оси вращения (см. рисунок). Действительно, в отсутствии силы трения тело либо будет оставаться на месте, а диск под ним будет вращаться, либо (если тело имеет скорость) слетит с поверхности диска. Именно сила трения «заставляет» тело вращаться вместе с диском. Поэтому сила трения служит в данной задаче цен-тростремительной силой. Остальные перечисления, данные в условии: «на тело действуют силы тяжести, трения, реакции опоры, центростремительная (или центробежная)» являются неправильными, поскольку в них смешиваются характеристики сил разных типов – первые три касаются природы взаимодействий, вторые – результат действия. Поэтому правильный ответ на вопрос задачи –

1. Кроме того, отметим, что центробежная сила возникает только в неинерциальных системах отсчета и в школьном курсе физики не рассматривается (поэтому лучше этим понятием вообще не пользоваться).

Поскольку тело в задаче 7.1.9 вращается с постоянной по величине скоростью по окружности, то его ускорение направлено к центру окружности, и, следовательно, согласно второму закону Ньютона, туда же направлена и результирующая сила, действующая на тело (ответ 2).

Применяя к данному в задаче 7.1.10 телу второй закон Ньютона и учитывая, что его ускорение равно м/с2, получим для равнодействующей =2 Н (ответ 2).

Используя формулу для центростремительного ускорения , находим отношение ускорений материальных точек из задачи 7.2.1

(ответ 1).

Для сравнения центростремительных ускорений материальных точек в

задаче 7.2.2 удобно использовать формулу , поскольку в этой задаче одинаковы угловые скорости точек. Получаем

(ответ 3).

Для сравнения центростремительных ускорений тел в задаче 7.2.3 выразим ускорение через радиус окружности и период. Используя формулу (7.2) для периода и (7.5) для центростремительного ускорения, получим

(7.5)

Поэтому

(ответ 1).

Используя связь угловой и линейной скорости, находим скорости концов часовой и минутной стрелки (задача 7.2.4)

где и – угловые скорости часовой и минутной стрелки соответственно (в рад/час), и – длины часовой и минутной стрелок. Учитывая, что , получаем

(ответ

2).

Телу, вращающемуся вместе с диском на его горизонтальной поверхности (задача 7.2.5), центростремительное ускорение сообщается силой трения

Поэтому при увеличении угловой скорости вращения диска возрастает и сила трения между телом и диском. При некоторой угловой скорости сила трения достигнет максимально возможного для нее значения . Если еще увеличить угловую скорость диска, сила трения уже не сможет удержать тело на диске: тело начнет скользить по поверхности и слетит с поверхности диска. Поэтому значения угловой скорости, при которой тело может вращаться вместе с диском, находится из неравенства

(ответ 4).

В задаче 7.2.6 центростремительной силой является сила натяжения нити. Поэтому из второго закона Ньютона с учетом формулы (7.5) для центростремительного ускорения имеем

(ответ 3).

В задаче 7.2.7 нужно использовать второй закон Ньютона для каждого тела. Силы, действующие на тела, показаны на рисунке. Проекция второго закона Ньютона для дальнего тела на координатную ось, направленную к центру диска, дает

(1)

На ближнее тело действуют силы натяжения и двух нитей (см. рисунок). Поэтому для него из второго закона Ньютона имеем

Подставляя в эту формулу силу из формулы (1), находим (ответ 2).

В задаче 7.2.8 необходимо использовать то обстоятельство, что угловая скорость всех точек стержня одинакова. Обозначая расстояния от оси вращения до концов стержня как и , имеем

где = 1 м/с и = 2 м/с – линейные скорости концов стержня, м – его длина. Решая эту систему уравнений, найдем расстояния и , а затем и угловую скорость стержня . В результате получим

(ответ 3).

Среднее ускорение тела за некоторый интервал времени (не обязательно малый) определяется по формуле (2.1):

где и – скорости тела в конце и начале интервала времени . За половину периода вектор скорости поворачивается на 180°, поэтому величина разности равна . Поэтому среднее ускорение тела за половину периода равно

(задача 7.2.9 – ответ 1).

Очевидно, при зубчатой передаче совпадают линейные скорости точек на ободе шестерней. Действительно, если бы эти скорости были разными, между поверхностями шестерней было бы проскальзывание, которому препятствуют зубцы шестерней (задача 7.2.10 – ответ 2).

В каких единицах измеряется угловая скорость

Углова́я ско́рость — векторная физическая величина, характеризующая скорость вращения тела. Вектор угловой скорости по величине равен углу поворота тела в единицу времени:

,

а направлен по оси вращения согласно правилу буравчика, то есть, в ту сторону, в которую ввинчивался бы буравчик с правой резьбой, если бы вращался в ту же сторону.

Единица измерения угловой скорости, принятая в системах СИ и СГС — радианы в секунду. (Примечание: радиан, как и любые единицы измерения угла, — физически безразмерен, поэтому физическая размерность угловой скорости — просто [1/секунда]). В технике также используются обороты в секунду, намного реже — градусы в секунду, грады в секунду. Пожалуй, чаще всего в технике используют обороты в минуту — это идёт с тех времён, когда частоту вращения тихоходных паровых машин определяли просто «вручную», подсчитывая число оборотов за единицу времени.

Вектор (мгновенной) скорости любой точки (абсолютно) твердого тела, вращающегося с угловой скоростью , определяется формулой:

где — радиус-вектор к данной точке из начала координат, расположенного на оси вращения тела, а квадратными скобками обозначено векторное произведение. Линейную скорость (совпадающую с модулем вектора скорости) точки на определенном расстоянии (радиусе) от оси вращения можно считать так: Если вместо радианов применять другие единицы углов, то в двух последних формулах появится множитель, не равный единице.

  • В случае плоского вращения, то есть когда все векторы скоростей точек тела лежат (всегда) в одной плоскости («плоскости вращения»), угловая скорость тела всегда перпендикулярна этой плоскости, и по сути — если плоскость вращения заведомо известна — может быть заменена скаляром — проекцией на ось, ортогональную плоскости вращения. В этом случае кинематика вращения сильно упрощается, однако в общем случае угловая скорость может менять со временем направление в трехмерном пространстве, и такая упрощенная картина не работает.
  • Производная угловой скорости по времени есть угловое ускорение.
  • Движение с постоянным вектором угловой скорости называется равномерным вращательным движением (в этом случае угловое ускорение равно нулю).
  • Угловая скорость (рассматриваемая как свободный вектор) одинакова во всех инерциальных системах отсчета, однако в разных инерциальных системах отсчета может различаться ось или центр вращения одного и того же конкретного тела в один и тот же момент времени (то есть будет различной «точка приложения» угловой скорости).
  • В случае движения одной единственной точки в трехмерном пространстве можно написать выражение для угловой скорости этой точки относительно выбранного начала координат:

, где — радиус-вектор точки (из начала координат), — скорость этой точки. — векторное произведение, — скалярное произведение векторов. Однако эта формула не определяет угловую скорость однозначно (в случае единственной точки можно подобрать и другие векторы , подходящие по определению, по другому — произвольно — выбрав направление оси вращения), а для общего случая (когда тело включает более одной материальной точки) — эта формула не верна для угловой скорости всего тела (так как дает разные для каждой точки, а при вращении абсолютно твёрдого тела по определению угловая скорость его вращения — единственный вектор). При всём при этом, в двумерном случае (случае плоского вращения) эта формула вполне достаточна, однозначна и корректна, так как в этом частном случае направление оси вращения заведомо однозначно определено.

  • В случае равномерного вращательного движения (то есть движения с постоянным вектором угловой скорости) декартовы координаты точек вращающегося так тела совершают гармонические колебания с угловой (циклической) частотой, равной модулю вектора угловой скорости.
  • При измерении угловой скорости в оборотах в секунду (об/с), модуль угловой скорости равномерного вращательного движения совпадает с частотой вращения f, измеренной в герцах (Гц), то есть в таких единицах . В случае использования обычной физической единицы угловой скорости — радианов в секунду — модуль угловой скорости связан с частотой вращения так: . Наконец, при использовании градусов в секунду связь с частотой вращения будет: .

Связь с конечным поворотом в пространстве

  • Пусть поворот, изменяющийся во времени, задан величиной угла и ортом оси конечного поворота в пространстве. Тогда угловая скорость, соответствующая этому повороту, равна

.

.

  • Если для описания поворота используется кватернион, выражаемый через угол и орт оси поворота как , то угловая скорость находится из выражения .

.

См. также

Литература

  • Лурье А. И. Аналитическая механика\ А. И. Лурье. – М.: ГИФМЛ, 1961. – С. 100-136

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Угловая скорость" в других словарях:

УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ — векторная величина, характеризующая быстроту вращения твёрдого тела. При равномерном вращении тела вокруг неподвижной оси численно его У. с. w=Dj/Dt, где Dj приращение угла поворота j за промежуток времени Dt, а в общем случае w=dj/dt. Вектор У.… … Физическая энциклопедия

УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ — УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ, скорость изменения угловой позиции предмета относительно фиксированной точки. Средняя величина угловой скорости w предмета, движущегося от угла q1 до угла q2 за время t выражается как (q2 q1)w)/t. Мгновенной угловой скоростью… … Научно-технический энциклопедический словарь

УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ — УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ, величина, характеризующая быстроту вращения твердого тела. При равномерном вращении тела вокруг неподвижной оси абсолютная величина его угловой скорости w=Dj/Dt, где Dj приращение угла поворота за промежуток времени Dt … Современная энциклопедия

УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ — векторная величина, характеризующая быстроту вращения твердого тела. При равномерном вращении тела вокруг неподвижной оси абсолютная величина его угловой скорости , где приращение угла поворота за промежуток времени ?t … Большой Энциклопедический словарь

угловая скорость — Кинематическая мера вращательного движения тела, выражаемая вектором, равным по модулю отношению элементарного угла поворота тела к элементарному промежутку времени, за который совершается этот поворот, и направленным вдоль мгновенной оси… … Справочник технического переводчика

угловая скорость — векторная величина, характеризующая быстроту вращения твердого тела. При равномерном вращении тела вокруг неподвижной оси абсолютная величина его угловой скорости ω = Δφ/Δt, где Δφ приращение угла поворота за промежуток времени Δt. * * * УГЛОВАЯ … Энциклопедический словарь

угловая скорость — kampinis greitis statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. angular speed; angular velocity vok. Winkelgeschwindigkeit, f rus. угловая скорость, f pranc. vitesse angulaire, f … Automatikos terminų žodynas

угловая скорость — kampinis greitis statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Vektorinis dydis, lygus kūno pasisukimo kampo pirmajai išvestinei pagal laiką: ω = dφ/dt; čia dφ – pasisukimo kampo pokytis, dt – laiko tarpas. Kai kūnas sukasi tolygiai … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

угловая скорость — kampinis greitis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. angular speed; angular velocity vok. Winkelgeschwindigkeit, f rus. угловая скорость, f pranc. vitesse angulaire, f … Fizikos terminų žodynas

Угловая скорость — величина, характеризующая быстроту вращения твёрдого тела. При равномерном вращении тела вокруг неподвижной оси численно его У. с. ω =Δφ/ Δt, где Δφ приращение угла поворота φ за промежуток времени Δt. В общем случае У. с. численно равна… … Большая советская энциклопедия

Угловой скоростью называется величина, численно равная скорости точек, расположенных от оси на расстоянии единицы длины.

При вращении тела вокруг неподвижной оси АВ каждая точка тела М описывает окружность, перпендикулярную к оси, центр Р которой лежит на оси.

Скорость точки M направлена нормально к плоскости МАВ в сторону вращения. Равномерное вращение точки характеризуется постоянной угловой скоростью.

Угловой скоростью тела называют отношение угла поворота к интервалу времени, в течение которого совершен этот поворот. Если угловую скорость обозначить через w, то:

Угловая скорость выражается в радианах в секунду (рад/с).

При равномерном вращении, когда известна угловая скорость в начальный момент времени t = 0, можно определить угол поворота тела за время t и тем самым положение точек тела:

За один период (промежуток времени Т, в течение которого тело совершает один оборот по окружности) угол поворота φ равен рад: = wT, откуда:

Связь угловой скорости с периодом Т и частотой вращения ν выражается соотношением:

А связь между линейной и угловой скоростями определяется соотношением:

Тестирование онлайн

Так как линейная скорость равномерно меняет направление, то движение по окружности нельзя назвать равномерным, оно является равноускоренным.

Угловая скорость

Выберем на окружности точку 1. Построим радиус. За единицу времени точка переместится в пункт 2. При этом радиус описывает угол. Угловая скорость численно равна углу поворота радиуса за единицу времени.

Период и частота

Период вращения T – это время, за которое тело совершает один оборот.

Частота вращение – это количество оборотов за одну секунду.

Частота и период взаимосвязаны соотношением

Связь с угловой скоростью

Линейная скорость

Каждая точка на окружности движется с некоторой скоростью. Эту скорость называют линейной. Направление вектора линейной скорости всегда совпадает с касательной к окружности. Например, искры из-под точильного станка двигаются, повторяя направление мгновенной скорости.

Рассмотрим точку на окружности, которая совершает один оборот, время, которое затрачено – это есть период T. Путь, который преодолевает точка – это есть длина окружности.

Центростремительное ускорение

При движении по окружности вектор ускорения всегда перпендикулярен вектору скорости, направлен в центр окружности.

Используя предыдущие формулы, можно вывести следующие соотношения

Точки, лежащие на одной прямой исходящей из центра окружности (например, это могут быть точки, которые лежат на спице колеса), будут иметь одинаковые угловые скорости, период и частоту. То есть они будут вращаться одинаково, но с разными линейными скоростями. Чем дальше точка от центра, тем быстрей она будет двигаться.

Закон сложения скоростей справедлив и для вращательного движения. Если движение тела или системы отсчета не является равномерным, то закон применяется для мгновенных скоростей. Например, скорость человека, идущего по краю вращающейся карусели, равна векторной сумме линейной скорости вращения края карусели и скорости движения человека.

Вращение Земли

Земля участвует в двух основных вращательных движениях: суточном (вокруг своей оси) и орбитальном (вокруг Солнца). Период вращения Земли вокруг Солнца составляет 1 год или 365 суток. Вокруг своей оси Земля вращается с запада на восток, период этого вращения составляет 1 сутки или 24 часа. Широтой называется угол между плоскостью экватора и направлением из центра Земли на точку ее поверхности.

Связь со вторым законом Ньютона

Согласно второму закону Ньютона причиной любого ускорения является сила. Если движущееся тело испытывает центростремительное ускорение, то природа сил, действием которых вызвано это ускорение, может быть различной. Например, если тело движется по окружности на привязанной к нему веревке, то действующей силой является сила упругости.

Если тело, лежащее на диске, вращается вместе с диском вокруг его оси, то такой силой является сила трения. Если сила прекратит свое действие, то далее тело будет двигаться по прямой

Как вывести формулу центростремительного ускорения

Рассмотрим перемещение точки на окружности из А в В. Линейная скорость равна vA и vB соответственно. Ускорение – изменение скорости за единицу времени. Найдем разницу векторов.

Разница векторов есть . Так как , получим

Движение по циклоиде*

В системе отсчета, связанной с колесом, точка равномерно вращается по окружности радиуса R со скоростью , которая изменяется только по направлению. Центростремительное ускорение точки направлено по радиусу к центру окружности.

Теперь перейдем в неподвижную систему, связанную с землей. Полное ускорение точки А останется прежним и по модулю, и по направлению, так как при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой ускорение не меняется. С точки зрения неподвижного наблюдателя траектория точки А — уже не окружность, а более сложная кривая (циклоида), вдоль которой точка движется неравномерно.

Мгновенная скорость определяется по формуле

Угловая скорость - это... Что такое Угловая скорость?

Угловая скорость (синяя стрелка) в полторы единицы по часовой стрелке Угловая скорость (синяя стрелка) в одну единицу против часовой стрелки

Углова́я ско́рость — векторная физическая величина, характеризующая скорость вращения тела. Вектор угловой скорости по величине равен углу поворота тела в единицу времени:

,

а направлен по оси вращения согласно правилу буравчика, то есть, в ту сторону, в которую ввинчивался бы буравчик с правой резьбой, если бы вращался в ту же сторону.

Единица измерения угловой скорости, принятая в системах СИ и СГС — радианы в секунду. (Примечание: радиан, как и любые единицы измерения угла, — физически безразмерен, поэтому физическая размерность угловой скорости — просто [1/секунда]). В технике также используются обороты в секунду, намного реже — градусы в секунду, грады в секунду. Пожалуй, чаще всего в технике используют обороты в минуту — это идёт с тех времён, когда частоту вращения тихоходных паровых машин определяли просто «вручную», подсчитывая число оборотов за единицу времени.

Вектор (мгновенной) скорости любой точки (абсолютно) твердого тела, вращающегося с угловой скоростью , определяется формулой:

где  — радиус-вектор к данной точке из начала координат, расположенного на оси вращения тела, а квадратными скобками обозначено векторное произведение. Линейную скорость (совпадающую с модулем вектора скорости) точки на определенном расстоянии (радиусе) от оси вращения можно считать так: Если вместо радианов применять другие единицы углов, то в двух последних формулах появится множитель, не равный единице.

  • В случае плоского вращения, то есть когда все векторы скоростей точек тела лежат (всегда) в одной плоскости («плоскости вращения»), угловая скорость тела всегда перпендикулярна этой плоскости, и по сути — если плоскость вращения заведомо известна — может быть заменена скаляром — проекцией на ось, ортогональную плоскости вращения. В этом случае кинематика вращения сильно упрощается, однако в общем случае угловая скорость может менять со временем направление в трехмерном пространстве, и такая упрощенная картина не работает.
  • Производная угловой скорости по времени есть угловое ускорение.
  • Движение с постоянным вектором угловой скорости называется равномерным вращательным движением (в этом случае угловое ускорение равно нулю).
  • Угловая скорость (рассматриваемая как свободный вектор) одинакова во всех инерциальных системах отсчета, однако в разных инерциальных системах отсчета может различаться ось или центр вращения одного и того же конкретного тела в один и тот же момент времени (то есть будет различной «точка приложения» угловой скорости).
  • В случае движения одной единственной точки в трехмерном пространстве можно написать выражение для угловой скорости этой точки относительно выбранного начала координат:
, где  — радиус-вектор точки (из начала координат),  — скорость этой точки.  — векторное произведение,  — скалярное произведение векторов. Однако эта формула не определяет угловую скорость однозначно (в случае единственной точки можно подобрать и другие векторы , подходящие по определению, по другому — произвольно — выбрав направление оси вращения), а для общего случая (когда тело включает более одной материальной точки) — эта формула не верна для угловой скорости всего тела (так как дает разные для каждой точки, а при вращении абсолютно твёрдого тела по определению угловая скорость его вращения — единственный вектор). При всём при этом, в двумерном случае (случае плоского вращения) эта формула вполне достаточна, однозначна и корректна, так как в этом частном случае направление оси вращения заведомо однозначно определено.
  • При измерении угловой скорости в оборотах в секунду (об/с), модуль угловой скорости равномерного вращательного движения совпадает с частотой вращения f, измеренной в герцах (Гц), то есть в таких единицах . В случае использования обычной физической единицы угловой скорости — радианов в секунду — модуль угловой скорости связан с частотой вращения так: . Наконец, при использовании градусов в секунду связь с частотой вращения будет: .

Связь с конечным поворотом в пространстве

  • Пусть поворот, изменяющийся во времени, задан величиной угла и ортом оси конечного поворота в пространстве . Тогда угловая скорость, соответствующая этому повороту, равна
.
.
  • Если для описания поворота используется кватернион, выражаемый через угол и орт оси поворота как , то угловая скорость находится из выражения .
.

См. также

Литература

  • Лурье А. И. Аналитическая механика\\ А. И. Лурье. - М.: ГИФМЛ, 1961. - С. 100-136

Новости- Лазерные гироскопы применены для уникальных измерений нестабильности угловой скорости вращения Земли.- Санкт-Петербург

Лазерные гироскопы применены для уникальных измерений нестабильности угловой скорости вращения Земли.

Дата публикации: 01/12/2009

Категория: Новости лазерных технологий
Версия для печати Лазерные гироскопы уже долгое время являются важным инструментом в инерциальной навигации и управлении движением различных высокодинамичных объектов гражданского и специального назначения. Исследования и разработки в области лазерной гироскопии были начаты впервые в России практически одновременно (в 1962 году) в НИИ «Попюс» по инициативе М.Ф.Стельмаха и Б.В.Рыбакова и в РНИИ КП по инициативе В.П.Васильева.
В дальнейшем аналогичные работы были развёрнуты в НИИ-801, в НПО «Ротор» и на других предприятиях. Сравнительно недавно лазерные гироскопы нашли новое уникальное применение - для измерения нестабильности угловой скорости вращения Земли.
До появления лазерных гироскопов не существовало датчиков, способных измерить малые изменения вращательного движения Земли, включая нестабильности угловой скорости её вращения, т.е. всех изменений этой скорости, которые могут быть вызваны сейсмическими причинами - землетрясениями, приливными волнами, движением воздушных масс в атмосфере и т.п.
Лазерные гироскопы оказались как раз теми высокоточными датчиками, которые необходимы для применения в подобных геофизических исследованиях. Что касается движения Земли, то в результате многочисленных исследований было установлено, что угловая скорость вращения нашей планеты непостоянна, т.е. вращение Земли неравномерно.
Изменения скорости ее вращения делятся на 3 типа: вековые, нерегулярные (скачкообразные) и периодические, или сезонные. Скачкообразные изменения скорости вращения могут увеличить или уменьшить продолжительность суток. Причина этих изменений с достоверностью ещё не установлена. В результате сезонных изменений скорости вращения Земли продолжительность суток в течение года может отличаться от их средней (за год) продолжительности. При этом самые короткие сутки приходятся на июль - август, самые длинные - на март.
Наиболее вероятной причиной периодических изменений угловой скорости вращения Земли являются сезонные перераспределения воздушных и водных масс на поверхности Земли. Эти изменения скорости вращения Земли были обнаружены в 40-х годах нашего века экспериментально с помощью кварцевых часов.
Неравномерность вращения Земли векового и нерегулярного характера проявляется в расхождениях наблюдаемых положений Луны и близких к Земле планет (Меркурий, Венера) с вычисленными (эфемеридными) положениями этих тел. Ещё в середине XIX в. в наблюдаемом движении Луны были обнаружены отклонения от вычисленного движения, не объяснимые теорией тяготения.
Уже тогда было высказано предположение, что эти отклонения кажущиеся и могут быть вызваны неравномерным вращением Земли вокруг оси.
Действительно, когда вращение Земли замедляется, нам кажется, что Луна движется по своей орбите быстрее, а когда оно ускоряется, движение Луны кажется замедленным. Это объяснение подтвердилось, когда в XX в. были обнаружены отклонения в движениях Меркурия и Венеры, аналогичные отклонениям в движении Луны, одновременные с ними и пропорциональные средним параметрам движения этих планет. Вследствие неравномерного вращения Земли средние сутки, оказываются величиной непостоянной. Поэтому в астрономии пользуются двумя системами счёта времени: неравномерным временем, которое получается из наблюдений и определяется действительным вращением Земли, и равномерным временем, которое является аргументом при вычислении эфемерид планет и определяется по движению Луны и планет. Равномерное время называется ньютоновским или эфемеридным временем.
Заметим, что измерения неравномерности вращения Земли уже давно вышли из области чисто научных исследований и приобрели существенную практическую ценность в связи со все более разрастающейся сферой использования спутниковых систем в современной навигации и связи, требующих прецизионных измерений времени и координат космических объектов.
Глобальный угловой момент вращения Земли (с учётом влияния Луны, Солнца и планет) является величиной постоянной. Для того, чтобы создать флуктуации угловой скорости вращения Земли, требуется мощность порядка 1014-1015 Вт.
Эту мощность можно сравнить с характерными мощностями глобальных изменений на Земле: так, средняя мощность движения воздушных масс в атмосфере имеет порядок 2 х 1015 Вт, океанических течений - 1014 Вт, выделения тепла из недр - 1013 Вт, землетрясений и извержений вулканов - 1011 Вт. Таким образом, нестабильность вращения Земли может быть связана в основном с движением воздушных масс и в меньшей степени - с океаническими течениями.
Земля совершает один оборот за эталонное время 86400 сек; типичные внутригодовые колебания отклонения от этого значения составляют величину порядка 1-1,5 мс (за период 1873-2005 г.г. отклонения находились в интервале минус 2,1 - плюс 3,9 мс).
Почему именно лазерные гироскопы оказались тем инструментом, который позволил измерить столь малые отклонения от равномерного вращения Земли?
Здесь дело в том, что из всех типов гироскопов только лазерные гироскопы позволяют с относительной легкостью увеличить их геометрические размеры и тем самым обеспечить требуемые точности измерений.
Таким образом, на базе больших и сверхбольших лазерных гироскопов создан уникальный геофизический инструмент для измерения малых и сверхмалых вращательных движений Земли. С использованием большого лазерного гироскопа УО-1 с периметром 77 м получена точность измерения порядка 10-8 от угловой скорости вращения Земли, а на сверхбольшом лазерном гироскопе У6-2 с площадью оптического контура 833,7 м2 с периметром более 110 м предполагается достичь чувствительности гироскопа к вращению 10-9 от скорости вращения Земли, т.е. 1,5-10-8угл. град/час.
Это позволит с высокой точностью измерять не только вековые, годовые и суточные изменения угловой скорости вращения Земли, но и более высокочастотные её сверхмалые нерегулярные нестабильности.

Источник: «ЛазерИнформ», 2009, № 19 (418), с.1-5 / www.cislaser.com.

Статьи по теме:

ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ ВРАЩЕНИЯ КОНТАКТНЫМИ МЕТОДАМИ

ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ ВРАЩЕНИЯ КОНТАКТНЫМИ МЕТОДАМИ

Цель работы: ознакомление с устройством и работой приборов для измерения угловой скорости вращения контактным методом.

ОПИСАНИЕ ТАХОМЕТРОВ

Приборы, предназначенные для измерения угловой скорости вращения валов машин и механизмов называются тахометрами. По принципу действия тахометры классифицируются следующим образом:

1. Механические тахометры – их измерительная цепь состоит из механических преобразователей. К числу механических относятся центробежные, часовые, фрикционные, вибрационные и пневматические тахометры.

2. Магнитные тахометры наряду с механическими преобразователями содержат в составе измерительной цепи магнитный индукционный преобразователь.

3. Электрические тахометры наряду с другими содержат в измерительной цепи электромеханические преобразователи. К числу электрических относятся электромашинные электроимпульсные и фотоэлектрические тахометры.

4. Стробоскопические тахометры основаны применении стробоскопического преобразователя.

 

Тахометры подразделяются на стационарные, которые предназначены для постоянной установки на каком-либо объекте, и на переносные. Кроме того, различают тахометры, измеряющие скорость контактным и бесконтактным методом. К первой группе относятся все выше названные приборы за исключением фотоэлектрического и стробоскопического тахометров, работающих бесконтактным методом. Рассмотрим устройство и работу некоторых тахометров, работающих контактным методом.

Среди большого разнообразия механических тахометров наибольшее распространение имеют центробежные тахометры, принципиальная схема одного из которых приведена на рис.1а.

Рис.1.

Тахометр состоит из нескольких грузиков (чаще всего трех), симметрично расположенных относительно оси АА, на шарнирно связанных тягах l. Тяги крепятся к муфтам, одна из которых жестко связана с валом, а вторая (нижняя) имеет возможность перемещаться вдоль оси вала, вращающегося со скоростью

. Между муфтами находится пружина, которая стремится приблизить грузики к оси вращения.

При вращении вала развивается центробежная сила Q, расположенная в плоскости, перпендикулярной к оси вращения вала, и направленная радиально. Сила Q может быть разложена на составляющие Q1 и Q3 направленные вдоль тяг и Q2 – параллельно оси АА вверх. Сила Q2 вызывает перемещение муфты, вверх на величину

, являющуюся выходной величиной тахометрического чувствительного элемента. Это перемещение посредством передаточного механизма преобразуется в поворот.

Структурная схема тахометрического чувствительного элемента состоит из звеньев 1; 2; 3, входные и выходные величины которого из них показаны на рис.1б.

Общей статической характеристикой чувствительного элемента без учета сил трения и силы тяжести подвижных деталей является нелинейная зависимость

где,

– текущая координата в м; – угловая скорость в рад/с;

k – число грузов;

m – масса груза в кг;

z – расстояние между втулками (текущее) в м

r0 – Радиус подвеса тяги в м;

l – длина тяги в м;

с – жесткость пружины в Н/м

Центробежные тахометры не имеют методических погрешностей. Им свойственны только инструментальные и динамические погрешности. Инструментальные погрешности возникают из-за упругого гистерезиса и последействия пружины, температурных влияний на модуль упругости и густоту смазки, неточностей при изготовлении и сборке деталей.

Достоинствами центробежного тахометрического узла являются простота конструкции, сравнительно высокая точность измерения, и независимость показаний от направления вращения. К недостаткам следует отнести нелинейность статической характеристики, особенно заметную в начале шкалы; сравнительно малый диапазон измерения скорости вращения, который характеризуется величиной отношения

от 4 до 6, малую дистанционность измерения; ограниченную предельно допустимой длиной гибкого валика (2,5м).

Для расширения диапазона измерения центробежных тахометров применяют в одних случаях пружины переменной жесткости, а в других – специальные механические редукторы с ручным переключением скоростей вращения вала тахометра при переходе с одного предела на другой. Так, например, переносные (ручные) тахометры часто выполняются многопредельными, т.е. снабжаются коробкой скоростей, позволяющей менять диапазон измеряемых скоростей. Ручной тахометр ИО-10 имеет следующие диапазоны измерения скоростей: 25-100; 75-500; 250-1000; 750-5000; 2500-10000 об/мин. Тахометр имеет циферблат с двумя концентричными шкалами, соответствующими двум группам диапазонов скоростей.

Принцип действия часового тахометра состоит в том, что угловая скорость измеряется по числу оборотов испытуемого вала за определенный промежуток времени. Таким образом, с помощью часового тахометра определяется не мгновенное значение угловой скорости

, а ее среднее значение за известный промежуток времени .                      ( 2 )

или

                      ( 3 )

где             

– число оборотов испытуемого вала за промежуток времени ;

Выражая угловую скорость числом оборотов в минуту, получаем зависимость ( 3 ) в виде:

                      ( 4 )

Часовые тахометры часто называют тахометрами средней скорости, а также тахоскопами. Для определения промежутка времени

в часовом тахометре имеется часовой механизм, отчего эта группа тахометров и получила свое название.

По степени автоматизации процесса измерения часовые тахометры могут быть неавтоматические, полуавтоматические и автоматические.

Механизм ручного неавтоматического часового тахометра (тахоскопа) состоят из счетчика оборотов, секундомера с ценой оборота стрелки 60с, пускового устройства и устройства для установки счетчика оборотов и секундомера на нулевое показание. Приводной валик тахоскопа соединяется с испытуемым валом, после чего оператор нажатием на пусковую кнопку одновременно включает счетчик оборотов и секундомер. Наблюдая показания секундомера оператор через 60с выключает счетчик, показания которого дают среднюю за 60с скорость испытуемого вала в об/мин.

Полуавтоматический часовой тахометр отличается тем, что выключение счетчика оборотов происходит автоматически через определенный промежуток времени после пуска. Пуск и установка счетчика в нулевое положение производится оператором вручную. Шкала счетчика градуируется в об/мин.

Схема полуавтоматического часового тахометра типа 9ЧП приведена на рис.2.

Рис.2.

Пуск механизма производится нажатием на кнопку пускового рычага 1. При нажатии заводится пружина 14 часового механизма. Одновременно пусковой рычаг поворачивает сердечко (кулачок) 11 сидящее фрикционно на центральной оси 10, возвращая стрелку 12 на нулевую отметку циферблата 13. После опускания кнопки стрелка и центральная ось остаются застопоренными собачкой 6, сцепленной с колесом 9, неподвижно сидящим на центральной оси. Приводной валик 7 был присоединен к испытуемому валу перед пуском тахометра: он может вращаться благодаря проскальзыванию во фрикционной муфте 8. Заведенная пружина 14 приводит в действие часовой механизм, спусковое колесо 2 начинает вращаться, палец 5 спускового колеса нажимает на собачку 6, освобождая колесо 9 и ось 10. Стрелка начинает вращаться. По истечении определенного времени (обычно 3 или 6с.) палец 5 освобождает собачку 6, которая стопорит колесо 9 и ось 10. Стрелка останавливается и по шкале можно произвести отсчет измеренной угловой скорости. После измерения прибор отключают от испытуемого вала. Характеристика этого тахометра имеет вид:

             ( 5 )

или

         ( 6 )

где,

– угол поворота стрелки счетчика в рад; – передаточное отношение передачи между осью -стрелки и приводным валиком тахометра; – время роботы счетчика в с.

Относительная приведенная погрешность тахометров этого типа не должна превышать ±1% при установке прибора в нормальном положении (шкала горизонтальна, приводной вал и проверяемый соосны) и при температуре в пределах 20±5 °С.

Непрерывное измерение угловой скорости осуществляется автоматическими часовыми тахометрами. В этих приборах включение и выключение счетчика осуществляется периодически часовым механизмом, приводимым в действие от приводного валика тахометра через фрикцион. Указатель счетчика после каждого измерения не устанавливается на нулевую отметку шкалы, а показывает результат последнего измерения до завершения следующего измерения.

Простейшая схема фрикционного тахометра представлена на рис.3.

Через зубчатую передачу 1-2 электродвигатель вращает диск 3 с постоянной угловой скоростью

. Диск приводит во вращение ролик 4 за счет трения между ними. Угловая скорость ролика будет пропорциональна угловой скорости диска и расстоянию от ролика до оси вращения диска и обратно пропорциональна радиусу ролика.

Рис.3.

Если скорость винта 5 и ролика 4 неодинаковы, ролик будет перемещаться вдоль винта. Направление перемещения таково, что скорость ролика будет приближаться к скорости винта. При установившейся скорости винта ролик займет такое положение, при котором его скорость будет равна скорости винта:

. При этом получается               ( 7 )

или

              ( 8 )

где,

– расстояние ролика от оси вращения диска; – радиус ролика.

Так как

– величина постоянная для данного тахометра, то следовательно расстояние ролика до оси вращения диска пропорционально измеряемой угловой скорости.

Следовательно, соединенный с роликом указатель будет показывать по шкале величину измеряемой угловой скорости.

Чувствительным элементом вибрационного тахометра является ряд упругих стальных полос, закрепленных одним концом, каждая из которых настроена на определенную собственную частоту колебаний. Настройка достигается за счет изменения толщины или длины пластин, а также за счет изменения величины масс на свободных концах полосок. Для измерения скорости вала какой-либо машины или станка тахометр крепится к станине или кожуху машины. При вращении вала возникает вибрация частей машины; эта вибрация передается основанию тахометра; при этом возбуждаются резонансные колебания одной-двух полосок, собственные частоты которых близки к частоте вибраций машины.

Принцип действия измерительного механизма магнитоиндукционного тахометра (рис.4) основан на силовом взаимодействии поля постоянного магнита и токов, возникающих в металлическом теле при его движении в магнитном поле.

Рис.4.

Постоянный магнит 4 соединен с осью тахометра 5. При движении магнита его магнитное поле непрерывно пересекает цилиндрический колпачок 3 из алюминия. Возникающие в толще алюминия вихревые токи взаимодействуют с магнитным полем и увлекают колпачок в сторону вращения магнита. С осью колпачка связана стрелка указателя 1. Противодействующий момент создается спиральной пружиной 2. Сила взаимодействия вихревых токов, индуктируемых во вращающемся колпачке, и магнитного поля зависит от скорости вращения. Поэтому угол отклонения стрелки пропорционален скорости вращения выходного вала и шкала магнитного тахометра равномерная.

Магнитоиндукционные тахометры очень просты и надежны в эксплуатации. Они нашли широкое применение на самолетах, в автомобильных спидометрах и во многих других приборах. Приводной валик автомобильного спидометра соединяется с одним из валов коробки передач автомобиля посредством гибкого валика. Механизм самолетного тахометра обычно соединяется с контролируемым валом при помощи электрической синхронной передачи.

В электрических тахометрах измеряемая угловая скорость, преобразуется в постоянный, переменный или импульсный ток. В зависимости от рода тока и преобразователя, можно выделить электромашинные тахометры постоянного и переменного тока, электроимпульсные емкостные тахометры и счетно-импульсные тахометры.

Тахометр с электрическим генератором представляет собой сочетание генератора постоянного (рис.5) или переменного (рис.6) и вторичного электроизмерительного прибора.

Рис.5.

Принцип действия электрического генератора заключается в том, что при движении проводника в магнитном поле возникает электродвижущая сила. Величина электродвижущей силы пропорциональна магнитной индукции, длине проводника и скорости его движения.

Рис.6.

У электрических тахометров постоянного тока характеристика линейная, а у тахометров переменного тока – нелинейная. Тем не менее, более широкое применение получили электромашинные тахометры переменного тока. Их основное преимущество перед тахометрами постоянного тока состоит в том, что генератор переменного тока не имеет коллектора, благодаря чему тахометр лучше сохраняет свою первоначальную точность в процессе длительной работы.

Тахометры с электрическими генераторами в отличие от центробежных и магнитных дают возможность дистанционной передачи показаний, так как вторичный прибор мотет быть удален на значительное расстояние от места измерения. В авиации находят широкое применение электрические тахометры типа ТЭ. Дистанционный электрический тахометр типа ТЭ представляет собой сочетание синхронной передачи и указателя, аналогичного магнитоиндукционному тахометру (рис.7).

Рис.7.

Датчиком синхронной передачи служит трехфазный генератор (1) с ротором в виде постоянного магнита. При вращении ротора в обмотках статора возникает переменный ток, частота которого соответствует угловой скорости ротора. Датчик связан трехпроводной линией с приемником (2), в котором имеется синхронный электродвигатель. Для улучшения пусковых характеристик в роторе электродвигателя, кроме постоянных магнитов, установлены три стальных диска (3). Магниты посажены на ось ротора свободно и связаны с ней через пружину. Это обеспечивает быстрый переход вращения ротора электродвигателя из асинхронного в синхронный режим. На конце вала электродвигателя укреплен магнитный узел (4), содержащий шесть пар полюсов постоянных магнитов, между которыми расположен металлический диск (5) подвижной части указателя. В результате взаимодействия вращающегося магнитного узла с вихревыми токами в металлическом диске возникнет вращающий момент, пропорциональный измеряемой скорости. На одной оси с диском расположены: противодействующая спиральная пружина (6), индукционный успокоитель (7) и стрелка указателя прибора (8).

Дистанционные магнитные тахометры обладают сравнительно высокой точностью (погрешность не более 0,2-0,5%) имеют равномерную шкалу, достаточно надежны в работе.

РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗМЕРЕНИЙ (табл.1) И ГРАФИКИ

Угловые эффекты / Хабр

Добрый день, дорогой читатель! Это

вторая

переводная статья из цикла статей о создании физического движка авторства Chris Hecker. Если Вы ещё не ознакомились с

первой

, то рекомендую это сделать, т. к. всё сразу станет понятнее. Большое спасибо за поддержку первого перевода: это очень стимулирует работать дальше и больше! Приятного чтения!



Только что я захотел подпереть дверь чем-нибудь тяжёлым, чтобы ко мне не вошёл злоумышленник. Неужели я многого прошу? Я хочу, чтобы его машина перевернулась и взорвалась в определенным месте. Я хочу, чтобы огромные шестерни заело перед тем, как меня расплющит. И я хочу наспех построить штуку, похожую на качели, для того, чтобы катапультировать милый пылающий подарок через крепостную стену замка. Кто же может мне помешать воплотить это всё в реальность? Вы предположите, что мой соперник в игровом мире, но в действительности – программист физического движка, потому что в основе всего вышеперечисленного лежит угловой эффект. Можно пересчитать по пальцам те игры, где реализованы угловые эффекты, не говоря уж о том, чтобы найти хотя бы одну, в которой это сделано правильно.

Основная причина, почему угловые (или иначе вращательные) эффекты не реализованы в играх на сегодняшний день – это то, что программисты считают, что физика, описывающая вращательное движение, слишком сложная для понимания и воплощения в реальность. На уроках физики в старшей школе (где мы все узнали второй закон Ньютона) обычно не рассказывают о вращательных эффектах, и это не совсем очевидно, как перейти от силы, приложенной к объекту, ко вращению этого объекта. Конечно, динамика вращательного движения немного труднее для понимания, чем динамика линейного движения, но она проще, чем кажется. Любой, кто может создать физический движок в соответствии с тем материалом, что представлен в первой статье цикла, справится и с тем, чтобы включить в него угловые эффекты, описанные в этой статье. Есть надежда, что после публикации данной статьи мир наполнится играми, которые используют все возможности и преимущества угловых эффектов, или, по меньшей мере, вы сможете создать игру, в которой вы, выгнувшись, выстрелите в ногу вашего друга в смертельном бою.

Краткое повторение

Несмотря на то, что каждая моя статья на какую-то единственную тему, я всегда перечитываю то, что написал ранее, для того, чтобы понять, где закончил. Я только что посмотрел свою первую статью о физике, и я в восторге: мы успели выучить так много, и притом, ни разу не писали программный код и не читали дополнительную литературу! Прежде, чем начнем, давайте освежим в памяти материал из последней статьи.

Таблица 1 содержит важнейшие выводы для динамики твердых тел. Из Уравнения 1 следует, что вектор коодинаты ( r ), вектор скорости (v), и вектор ускорения (a) связаны производными (и интегралами, если читать в обратном порядке). Как напоминание – мы отмечаем дифференцирование по времени штрихом (r’). r’ – это то же самое, что dr/dt, а r’’ – это то же, что и вторая производная по времени. Из Уравнения 2 следует, что сила связана с линейным импульсом (произведение массы на скорость), массой, и ускорением. Определение центра масс можно почерпнуть из Уравнения 3 (это точка, где все массы и расстояния уравновешивают друг друга). Уравнение 4 гласит, что полный линейный импульс твердого тела – это сумма всех его импульсов, которые, к нашей удаче, просто равны импульсу центра масс (CM). Уравнение 5 – это настоящий драгоценный камень. В нем используется Уравнение 4 для демонстрации того, что ускорение центра масс объекта связано с полной силой (вектором суммы всех сил, действующих на объект в данное время) посредством скалярной величины, массы объекта.

Подведем итоги всему, что описано в первой статье: мы узнали, что общая сила, действующая на наш центр масс, равна сумме всех сил, приложенных к телу (включая силу гравитации, фуру злодея, взрыв неподалёку, импульс тяги нашего двигателя и т. д.). После мы разделили этот вектор суммы на массу тела для того, чтобы получить ускорение CM, и затем интегрировали ускорение по времени, чтобы получить скорость и координату тела.

Уравнение 5 – это просто шедевр! Вы увидите, что в нём нет понятия точек приложения сил к телу, а это является ключевым моментом для определения, как тело будет вращаться под их действием. Уравнение 5 правильное. В действительности, оно превосходно подходит для нахождения линейного ускорения. Мы упускаем половину дела. Но всё по порядку…

Каков твой угол?

В первой статье игнорировалось вращение, поэтому нам были необходимы лишь радиус-вектор и его производная для описания конфигурации нашего тела в 2D. Теперь добавим еще одну величину кинематики, ориентацию (обозначается заглавной буквой омега – Ω), для того, чтобы работать с угловыми эффектами. Для того, чтобы задать Ω, нам необходимо выбрать систему координат относительно твёрдого тела и систему координат игрового мира, и величина Ω будет равна разнице углов между ними в радианах, как показано на Рисунке 1.

Рисунок 1. Определение Ω

На рисунке оси xw, yw – оси координат игрового мира, а xb, yb – оси координат твердого тела. Ω больше 0, если считать против часовой стрелки. Здесь важно прояснить, почему мы изучаем динамику двумерного мира прежде, чем перейти в трёхмерный: ориентация в 2D – это скалярная величина (угол между системами координат в радианах), тогда как определение ориентации в трехмерном мире гораздо труднее.

По ходу того, как тело вращается, величина Ω изменяется. Это изменение приводит нас к другой величине кинематики – угловой скорости (обозначается строчной буквой омега – ω). В отличие от координаты и линейной скорости тела, мы не обозначаем угловую скорость следующим образом – Ω’. Тем не менее, иногда мы обозначаем производную скорости по времени, или угловое ускорение, как ω’ (это еще одна величина кинематики) или как α (строчная альфа). Не вините меня: не я придумал все эти обозначения; и в каждой книге, что я прочел, имеются небольшие расхождения. Наш угловой аналог для Уравнения 1 – это:

Уравнение 6

Как и в Уравнении 1, мы дифференцируем ω по времени, чтобы получить α; и если мы интегрируем α по времени, получаем ω и т. д. Все по аналогии с предыдущей статьей: зная угловое ускорение α, мы можем дважды проинтегрировать его, чтобы получить новую ориентацию. Но ключевой момент здесь – надо знать величину α.

Как можно предположить, наша цель на эту статью – вывести угловой аналог для каждого из линейных уравнений в Таблице 1, и затем, учтя линейные и угловые уравнения и силу, приложенную к объекту, мы можем подсчитать его линейное ускорение a и угловое ускорение α. Наконец, мы можем численно проинтегрировать эти ускорения для нахождения новых позиции и ориентации нашего тел.

Для начала свяжем линейные и угловые величины вместе. А это довольно неочевидная проделка, в которой используется угловая скорость. При подсчетах в динамике нам нередко надо найти скорость произвольной точки объекта. Например, когда мы рассчитываем столкновения твердых тел, надо знать скорость столкнувшихся точек для того, чтобы понять, как сильно они ударили друг по другу. Если наши тела не вращаются, скорость каждой точки тела одинакова. Мы можем просто следить за скорость центра масс тела, и этого будет достаточно. Тогда как если наши тела вращаются, каждая точка этих тел может иметь разную скорость. Очевидно, что мы не можем просчитывать скорость бесконечного количества точек нашего твердого тела, поэтому нам необходимо иное, лучшее решение.

Один из простых способов, которые применяются для нахождения линейной скорости любой точки внутри объекта, использует угловую скорость объекта. Рассмотрим случай, когда тело вращается лишь вокруг одной зафиксированной точки O, без изменения координаты тела. Т. е. тело вращается, но не перемещается. Из Уравнения 7 следует, как вычислить скорость точки B вращающегося тела:

Уравнение 7

Надо прояснить пару моментов в Уравнении 7, давайте потратим на это немного времени.B. Говоря русским языком, Уравнение 7 показывает, что Скорость точки вращающегося тела вычисляется умножением перпендикулярного вектора, проведённого из центра вращения, на угловую скорость. Как я это понял? Что ж, я прочел об этом в книге, но, очевидно, что такого объяснения недостаточно, поэтому докажем, что это истина.

Докажем истинность выводов из Уравнения 7 в два этапа. Сначала докажем, что величина результирующего вектора скорости правильная; затем – что его направление правильное. Для первой части доказательства рассмотрим Рисунок 2.

Рисунок 2. C = Ωr

Рисунок 2 демонстрирует вращение точки B на угол, равный Ω радиан по ходу вращения твердого тела с радиус-вектором длины r, направленным из центра вращения тела O в точку B. B прошла длину дуги C, где C = Ωr из определения радианов. (Радианная мера угла – это мера дуги, ограниченной радиусом окружности. Длина окружности C = 2πr, потому что радианная мера дуги окружности – это 2π [или 360 градусов]).

Скорость точки – это изменение ее координаты по времени.OB – это радиус-вектор, направленный из O к B. Фух, мы на полпути.

Для того, чтобы удостовериться в правильности направление вектора скорости в Уравнении 7, начнем того, что убедимся в том, что вектор скорости должен быть перпендикулярен к радиус-вектору. Это предположение понятно интуитивно, потому что точка, вращающаяся вокруг какой-либо другой заданной точки, может двигаться только перпендикулярно вектору между этими точками. Она не может приблизиться к центру вращения или отдалиться от него, или это движение попросту перестанет быть вращением. Можем подкрепить наше предположение расчетами для векторов, но я зажат в определенные рамки по объему статьи, поэтому будем считать, что наше предположение правильное. (Если вы горите желанием доказать это самостоятельно, продифференцируйте скалярное произведение вектора фиксированной длины на самого себя.)

Наконец, мы должны убедиться, что вектор обозначен правильно, т. к. на рисунке представлены два вектора, равной длины, перпендикулярных радиусу: v и -v. Т. к. величина Ω измеряется против часовой стрелки, ω > 0, когда точка вращается по часовой стрелке. Перпендикуляр указывает в направлении по часовой стрелке, как и радиус-вектор. На Рисунке 3 демонстрируются выводы из Уравнения 7:

Рисунок 3. Связь линейной скорости и угловой

Дополним Уравнение 7, чтобы оно описывало вращение движущихся тел. Рассмотрим движение твердого тела, как простое перемещение центра вращения тела и простое вращение остальной части тела вокруг этой точки. Для тех, кому интересно, это Теорема Шаля о классификации движений.

Теорема Шаля разбивает наше движение на две составляющие – линейное и угловое. Пусть центр вращения тела O – это единственная перемещающаяся точка, затем используем ω, для вычисления вращения вокруг точки O, и это дает нам общую форму Уравнения 7:

Уравнение 9

Уравнение 9 гласит, что мы можем подсчитать скорость любой точки движущегося тела, используя линейную скорость центра вращения тела и, в дополнение к этому, скорость, приобретенную при вращении тела.B (синус – это еще один ключ к разгадке связи между векторным и скалярным произведением). Уравнение 10 даёт меру того, какая часть импульса точки B «смотрит» во «вращательном направлении» относительно точки A.

Также, как мы использовали производную линейного импульса для определения силы, мы будем использовать производную момента импульса для определения углового близнеца силы – момента силы (обозначается строчной буквой тау – τ).

Уравнение 11

Для экономии места я немного смухлевал в Уравнении 11, пропустив пару трудных шагов, которые включают в себя нахождение производных. Из всего вышесказанного следует, что момент силы связан с силой в определенной точке посредством скалярного произведения.

Наконец, мы получили уравнение динамики, в котором используется точка приложения силы, которая ранее игнорировалась в уравнениях линейного импульса. В Уравнении 11 используется скалярное произведение с перпендикуляром как мера того, какая часть силы, приложенной к точке B, «вращает вокруг» точки A; эта «вращательная сила» называется моментом силы.i как произведение массы на скорость (mv). Это пригодится мне в будущем для того, чтобы сделать из Уравнения 12 что-то с более выраженным прикладным характером. Уравнение гласит, что для нахождения полного момента импульса для нашего объекта, необходимо просуммировать моменты импульса всех его точек. Для твердого тела, состоящего из граней (а не из отдельных точек), необходимо вычислить интеграл, на не дискретную сумму.

К счастью, можно упростить наши вычисления, введя новую величину под названием «момент инерции», аналогично тому, как мы ввели центр масс для упрощения уравнения полного импульса. Вспомним о том, что благодаря Уравнению 7 мы можем найти скорость точки через угловую скорость. Пусть точка A в Уравнении 12 – это цент вращения из Уравнения 7, и индекс суммирования i в Уравнении 12 – это точка B из Уравнения 7, то возможно преобразовать Уравнение 7 в Уравнение 12. Получим:

Уравнение 13

Распишу Уравнение 13 подробнее, шаг за шагом. Сначала заменим Уравнение 7 на 12 для того, чтобы получить сумму в Уравнении 13.A – это константа, вынесем ее за знак дифференцирования):

Уравнение 14

Это уравнение – угловой эквивалент Уравнения 5; по факту, это F = ma для угловой динамики. Это уравнение связи полного момента силы и угловое ускорение тела посредством скалярного момента инерции. Если мы знаем момент силы, оказываемой на наше тело, мы можем найти его угловое ускорение, а дальше – угловую скорость и ориентацию в пространстве посредством интегрирования – поделив момент силы на момент инерции.

Алгоритм динамики

Он с трудом видится нам через этот вихрь уравнений, но все они – его составная часть. Мы вывели достаточно уравнений для того, чтобы получить великолепную динамику двумерного мира с произвольно заданными силами и моментами сил, перемещающими и вращающими наши объекты. Как же использовать эти уравнения? Ниже представлен базовый алгоритм:

  1. Найти величину центра масс и момент инерции в центре масс.
  2. Задать начальные координаты тела, его ориентацию в пространстве, его линейную и угловую скорости.
  3. Учесть все силы, действующие на тело и точки их приложения.
  4. Найти равнодействующую всех сил и разделить ее на массу тела для того, чтобы найти линейное ускорение центра масс (Уравнение 5).
  5. Для каждой силы построить скалярное произведение с перпендикуляром между вектором, направленным из центра масс в точку приложения силы, и вектором приложенной силы, добавить эту величину в полный момент силы в уравнении центра масс (Уравнение 11).
  6. Найти частное для полного момента силы и момента инерции в центре масс для нахождения углового ускорения (Уравнение 14).
  7. Численно интегрировать линейное ускорение и угловое ускорение для обновления координаты, линейной скорости, ориентации в пространстве и угловой скорости (смотри последнюю статью).
  8. Отрисовать объект в полученной координате, и перейти к Шагу 3.

В алгоритме выше есть лишь два шага, которые я не объяснил. Во-первых, как подсчитать момент инерции в Шаге 1 для сплошного объекта? Во-вторых, как решить проблему с силами из Шага 3? Ответ на первый вопрос может быть найден в простом примере кода, который я оставлю в приложении в конце этой статьи (вы выполните интегрирование объекта по его площади). Множество книг по динамике содержат рассчитанный момент инерции для часто встречающихся форм объектов в приложении в самом конце, поэтому вам не придется каждый раз выводить их самостоятельно.

Ответ на вопрос, как подсчитать силы из Шага 3, зависит от приложения, но немного общих рекомендаций я дам. Во-первых, такие силы, как гравитация, всегда направленные в одну сторону (вниз, в случае с гравитацией), не создают момент силы, т. к. они тянут все точки в одно и то же время в одном направлении, хотя мы и прикладываем эти силы напрямую к центру масс. Силы, подобные силе упругости, приложены к определенной точке объекта, они создадут момент силы, поэтому рассматриваем их в общем случае. Как мы увидели в первой статье, сила трения – это та же сила, направленная в противоположную от скорости тела сторону.

Вы можете сделать простую физическую модель, демонстрирующую силу трения, и просто приложить силу к центру масс, или вы можете выбрать, к каким частям объекта будут приложены силы трения, и сделать это, что может создать момент силы, действующий на объект. Силы, которые тела испытывают при столкновениях, немного труднее, и мы познакомимся с ними в следующей статье. Силы, подобные тяге ракетного двигателя, нужно рассматривать, как силы с точкой приложения (вы этом случае, если один из двигателей откажет, вы начнете крутиться вокруг своей оси до тех пор, пока не отрегулируете руль, чтобы обеспечить уравновешивание момента силы!). Если вы хотите что-то, похожее на гравитационные лучи из НЛО, то эта сила должна рассчитываться, как сила гравитации и не создавать момент силы, или она должна быть приложена к определенной точке объекта, и он будет вращаться вокруг этой точки, пока поднимается ввысь? Выбор за вами. Ключевой момент – не бояться экспериментировать с различными силами, рассчитанными разными способами, ведь уже сейчас у вас есть настоящий симулятор двумерной графики, попробуйте разные виды сил!

Я оставил весь необходимый вам код и ссылки на своем веб-сайте, потому что здесь закончилось свободное место. В своем простом приложении я воплотил в жизнь алгоритм динамики двумерного мира, а также добавил объекты, скрепленные пружиной; они вращаются вокруг своей оси, и иногда даже сталкиваются со стенами, крутсясь. Но об этом я расскажу в другой раз. Перейдите по ссылке за дополнительной литературой и простым приложением для Windows 32 и Macintosh.

Очень редко Chris Hecker испытывает на себе действие момента инерции, но обычно это проходит и довольно быстро. Силы можно прикладывать к [email protected]

Примечания переводчика: здесь представлена игра слов, обыгрывается тема статьи и ее содержание.

P.S. Обратная связь приветствуется. Ваши комментарии позволяют повысить качество работ. Спасибо!

P.P.S. Автор перевода выражает отдельную благодарность пользователям berez и Василий Терешков за правки перевода. Спасибо!

6.1 Угол вращения и угловая скорость - Физика

Задачи обучения разделу

К концу этого раздела вы сможете делать следующее:

  • Опишите угол поворота и свяжите его с его линейным аналогом
  • Опишите угловую скорость и свяжите ее с ее линейным аналогом
  • Решение задач, связанных с углом поворота и угловой скоростью

Поддержка учителей

Поддержка учителей

Цели обучения в этом разделе помогут вашим ученикам овладеть следующими стандартами:

  • (4) Научные концепции.Учащийся знает и применяет законы движения в самых разных ситуациях. Ожидается, что студент:
    • (C) анализировать и описывать ускоренное движение в двух измерениях с помощью уравнений, включая примеры снарядов и кругов.

Раздел Ключевые термины

угол поворота угловая скорость длина дуги круговое движение
радиус кривизны вращательное движение отжим тангенциальная скорость

Угол поворота

Что именно мы подразумеваем под круговым движением или вращением ? Вращательное движение - это круговое движение объекта вокруг оси вращения.Мы обсудим конкретно круговое движение и вращение. Круговое движение - это когда объект движется по круговой траектории. Примеры кругового движения включают гоночный автомобиль, разгоняющийся по круговой кривой, игрушку, прикрепленную к веревке, раскачивающуюся по кругу вокруг вашей головы, или круговой loop-the-loop на американских горках. Вращение - это вращение вокруг оси, проходящей через центр масс объекта, например, вращение Земли вокруг своей оси, вращение колеса на своей оси, вращение торнадо на его пути разрушения или фигурист, вращающийся во время выступление на Олимпиаде.Иногда объекты будут вращаться во время кругового движения, например, Земля вращается вокруг своей оси при вращении вокруг Солнца, но мы сосредоточимся на этих двух движениях по отдельности.

Поддержка учителя

Поддержка учителя

[BL] [OL] Объясните разницу между круговым и вращательным движением, используя вращение Земли вокруг своей оси и ее вращение вокруг Солнца. Объясните, что вращение Земли слегка эллиптическое, хотя почти круглое.

[OL] [AL] Попросите студентов придумать примеры кругового движения.

При решении задач, связанных с вращательным движением, мы используем переменные, которые аналогичны линейным переменным (расстояние, скорость, ускорение и сила), но учитываем кривизну или вращение движения. Здесь мы определяем угол поворота, который является угловым эквивалентом расстояния; и угловая скорость, которая является угловым эквивалентом линейной скорости.

Когда объекты вращаются вокруг некоторой оси - например, когда компакт-диск на рис. 6.2 вращается вокруг своего центра - каждая точка в объекте движется по круговой траектории.

Рис. 6.2. Все точки на компакт-диске движутся по круговой траектории. Ямки (точки) вдоль линии от центра к краю все перемещаются на один и тот же угол ΔθΔθ за время ΔtΔt.

Длина дуги , - это расстояние, пройденное по круговой траектории. Радиус кривизны r - это радиус круговой траектории. Оба показаны на рисунке 6.3.

Рис. 6.3 Радиус ( r ) окружности повернут на угол ΔθΔθ. Длина дуги ΔsΔs - это расстояние, пройденное по окружности.

Рассмотрим линию от центра компакт-диска до его края. В заданное время каждая яма (используемая для записи информации) на этой линии перемещается на один и тот же угол. Угол поворота - это величина вращения, являющаяся угловым аналогом расстояния. Угол поворота ΔθΔθ - это длина дуги, деленная на радиус кривизны.

Угол поворота часто измеряется в радианах. (Радианы на самом деле безразмерны, потому что радиан определяется как отношение двух расстояний, радиуса и длины дуги.) Оборот - это один полный оборот, при котором каждая точка круга возвращается в исходное положение. Один оборот покрывает 2π2π радиан (или 360 градусов) и, следовательно, имеет угол поворота 2π2π радиан и длину дуги, которая равна длине окружности. Мы можем преобразовывать радианы, обороты и градусы, используя соотношение

1 оборот = 2π2π рад = 360 °. См. Таблицу 6.1 для преобразования градусов в радианы для некоторых распространенных углов.

2π рад = 360 ° 1рад = 360 ° 2π≈57.3 ° 2π рад = 360 ° 1рад = 360 ° 2π≈57,3 °

6,1

Меры градуса Меры радиана
30∘30∘ π6π6
60∘60∘ π3π3
90∘90∘ π2π2
120–120– 2π32π3
135∘135∘ 3π43π4
180∘180∘ ππ

Таблица 6.1 Обычно используемые углы в градусах и радианах

Угловая скорость

Поддержка учителя

Поддержка учителя

[BL] Проверьте смещение, скорость, скорость, ускорение.

[AL] Спросите студентов, изменяется ли скорость при равномерном круговом движении. А как насчет скорости? А как насчет разгона?

Насколько быстро вращается объект? Мы можем ответить на этот вопрос, используя понятие угловой скорости. Рассмотрим сначала угловую скорость (ω) (ω) - это скорость, с которой изменяется угол поворота.В форме уравнения угловая скорость равна

ω = ΔθΔt, ω = ΔθΔt,

6,2

, что означает, что угловое вращение (Δθ) (Δθ) происходит за время ΔtΔt. Если объект поворачивается на больший угол поворота в данный момент времени, он имеет большую угловую скорость. Единицы измерения угловой скорости - радианы в секунду (рад / с).

Теперь давайте рассмотрим направление угловой скорости, а это значит, что теперь мы должны называть ее угловой скоростью. Направление угловой скорости - вдоль оси вращения.Для объекта, вращающегося по часовой стрелке, угловая скорость указывает от вас вдоль оси вращения. Для объекта, вращающегося против часовой стрелки, угловая скорость указывает на вас вдоль оси вращения.

Угловая скорость (ω) - это угловая версия линейной скорости v . Тангенциальная скорость - это мгновенная линейная скорость объекта во вращательном движении . Чтобы получить точное соотношение между угловой скоростью и тангенциальной скоростью, снова рассмотрим углубление на вращающемся компакт-диске.Эта яма перемещается по длине дуги (Δs) (Δs) за короткое время (Δt) (Δt), поэтому его тангенциальная скорость равна

Из определения угла поворота, Δθ = ΔsrΔθ = Δsr, мы видим, что Δs = rΔθΔs ​​= rΔθ. Подставляя это в выражение для v , получаем

v = rΔθΔt = rω. v = rΔθΔt = rω.

Уравнение v = rωv = rω говорит, что тангенциальная скорость v пропорциональна расстоянию r от центра вращения. Следовательно, тангенциальная скорость больше для точки на внешнем крае компакт-диска (с большим r ), чем для точки ближе к центру компакт-диска (с меньшим r ).Это имеет смысл, потому что точка, находящаяся дальше от центра, должна покрыть большую длину дуги за то же время, что и точка ближе к центру. Обратите внимание, что обе точки по-прежнему будут иметь одинаковую угловую скорость, независимо от их расстояния от центра вращения. См. Рисунок 6.4.

Рисунок 6.4 Точки 1 и 2 вращаются на один и тот же угол (ΔθΔθ), но точка 2 перемещается на большую длину дуги (Δs2Δs2), поскольку она дальше от центра вращения.

Teacher Support

Teacher Support

[AL] Объясните, что период времени ΔtΔt в уравнении, определяющем тангенциальную скорость (v = ΔsΔtv = ΔsΔt), должен быть коротким, чтобы дугу, описываемую движущимся объектом, можно было приблизительно представить как прямую. линия.Это позволяет нам определить направление касательной скорости как касательное к окружности. Это приближение становится все более точным по мере того, как ΔtΔt становится все меньше и меньше.

Теперь рассмотрим другой пример: шину движущегося автомобиля (см. Рис. 6.5). Чем быстрее вращается шина, тем быстрее движется автомобиль - большое ωω означает большое v , потому что v = rωv = rω. Точно так же шина большего радиуса, вращающаяся с той же угловой скоростью ωω, будет создавать для автомобиля большую линейную (тангенциальную) скорость v, .Это связано с тем, что больший радиус означает, что большая длина дуги должна касаться дороги, поэтому автомобиль должен двигаться дальше за то же время.

Рисунок 6.5 Автомобиль, движущийся со скоростью v, вправо, имеет шину, вращающуюся с угловой скоростью ωω. Скорость протектора шины относительно оси составляет v , такая же, как если бы автомобиль был поднят домкратом и колеса вращались, не касаясь дороги. Непосредственно под осью, где шина касается дороги, протектор шины движется назад по отношению к оси с тангенциальной скоростью v = rωv = rω, где r - радиус шины.Поскольку дорога неподвижна относительно этой точки шины, автомобиль должен двигаться вперед с линейной скоростью v . Чем больше угловая скорость шины, тем больше линейная скорость автомобиля.

Однако есть случаи, когда линейная скорость и тангенциальная скорость не эквивалентны, например, когда автомобиль вращает свои колеса по льду. В этом случае линейная скорость будет меньше тангенциальной скорости. Из-за отсутствия трения под шинами автомобиля на льду длина дуги, по которой движутся протекторы шины, больше, чем линейное расстояние, по которому движется автомобиль.Это похоже на бег на беговой дорожке или на велотренажере; вы буквально никуда не денетесь.

Советы для успеха

Угловая скорость ω и тангенциальная скорость v являются векторами, поэтому мы должны включить величину и направление. Направление угловой скорости - вдоль оси вращения и указывает от вас для объекта, вращающегося по часовой стрелке, и к вам для объекта, вращающегося против часовой стрелки. В математике это описывается правилом правой руки.Тангенциальная скорость обычно описывается как вверх, вниз, влево, вправо, север, юг, восток или запад, как показано на рисунке 6.6.

Рис. 6.6. Поскольку муха на краю старинной виниловой пластинки движется по кругу, ее мгновенная скорость всегда направлена ​​по касательной к кругу. Направление угловой скорости в данном случае указано на странице.

Watch Physics

Взаимосвязь между угловой скоростью и скоростью

В этом видео рассматриваются определение и единицы угловой скорости и их связь с линейной скоростью.Здесь также показано, как преобразовать число оборотов в радианы.

Проверка захвата

Для объекта, движущегося по круговой траектории с постоянной угловой скоростью, изменится ли линейная скорость объекта при увеличении радиуса пути?

  1. Да, потому что тангенциальная скорость не зависит от радиуса.
  2. Да, потому что тангенциальная скорость зависит от радиуса.
  3. Нет, поскольку тангенциальная скорость не зависит от радиуса.
  4. Нет, потому что тангенциальная скорость зависит от радиуса.

Решение задач, связанных с углом вращения и угловой скоростью

Snap Lab

Измерение угловой скорости

В этом упражнении вы будете создавать и измерять равномерное круговое движение, а затем сравнивать его с круговыми движениями с разными радиусами.

  • Одна струна (длина 1 м)
  • Один предмет (резиновая пробка с двумя отверстиями) для привязки к концу
  • Один таймер

Процедура

  1. Привяжите объект к концу строки.
  2. Раскачивайте объект по горизонтальному кругу над головой (качаясь с запястья). Важно, чтобы круг был горизонтальным!
  3. Поддерживайте постоянную скорость вращения объекта.
  4. Измерьте таким образом угловую скорость объекта. Измерьте время в секундах, за которое объект совершит 10 оборотов. Разделите это время на 10, чтобы получить угловую скорость в оборотах в секунду, которую вы можете преобразовать в радианы в секунду.
  5. Какова приблизительная линейная скорость объекта?
  6. Переместите руку вверх по тетиве так, чтобы ее длина составляла 90 см.Повторите шаги 2–5.
  7. Переместите руку вверх по струне так, чтобы ее длина была 80 см. Повторите шаги 2–5.
  8. Переместите руку вверх по струне так, чтобы ее длина составила 70 см. Повторите шаги 2–5.
  9. Переместите руку вверх по струне так, чтобы ее длина составляла 60 см. Повторите шаги 2–5
  10. .
  11. Переместите руку вверх по струне так, чтобы ее длина была 50 см. Повторите шаги 2–5
  12. .
  13. Постройте графики зависимости угловой скорости от радиуса (т. Е. Длины струны) и линейной скорости от радиуса. Опишите, как выглядит каждый график.

Проверка захвата

Если вы поворачиваете объект медленно, он может вращаться со скоростью менее одного оборота в секунду. Какими были бы обороты в секунду для объекта, который совершает один оборот за пять секунд? Какова была бы его угловая скорость в радианах в секунду?

  1. Объект будет вращаться в \ frac {1} {5} \, \ text {rev / s}. Угловая скорость объекта будет \ frac {2 \ pi} {5} \, \ text {rad / s}.
  2. Объект будет вращаться в \ frac {1} {5} \, \ text {rev / s}.Угловая скорость объекта будет \ frac {\ pi} {5} \, \ text {rad / s}.
  3. Объект будет вращаться со скоростью 5 \, \ text {об / с}. Угловая скорость объекта будет 10 \ pi \, \ text {rad / s}.
  4. Объект будет вращаться со скоростью 5 \, \ text {об / с}. Угловая скорость объекта будет 5 \ pi \, \ text {rad / s}.

Теперь, когда у нас есть понимание понятий угла поворота и угловой скорости, мы применим их к реальным ситуациям, когда башня с часами и вращающееся колесо.

Рабочий пример

Угол поворота часовой башни

Часы на часовой башне имеют радиус 1,0 м. (а) На какой угол поворота движется часовая стрелка часов, когда она движется с 12 часов дня. до 15:00? (b) Какова длина дуги по внешнему краю часов между часовой стрелкой в ​​эти два момента времени?

Стратегия

Мы можем вычислить угол поворота, умножив полный оборот (2π2π радиан) на долю 12 часов, покрытых часовой стрелкой при переходе от 12 к 3.Когда у нас есть угол поворота, мы можем найти длину дуги, переписав уравнение Δθ = ΔsrΔθ = Δsr, поскольку радиус задан.

Решение для (а)

При переходе с 12 на 3 часовая стрелка покрывает 1/4 из 12 часов, необходимых для совершения полного оборота. Следовательно, угол между часовой стрелкой в ​​точках 12 и 3 равен 14 × 2πrad = π214 × 2πrad = π2 (т.е. 90 градусов).

Решение пункта (b)

Преобразование уравнения

получаем

Вставка известных значений дает длину дуги

Δs = (1.0 м) (π2рад) = 1,6 м Δs = (1,0 м) (π2рад) = 1,6 м

6,6

Обсуждение

Нам удалось отбросить радианы из окончательного решения в часть (b), потому что радианы фактически безразмерны. Это потому, что радиан определяется как отношение двух расстояний (радиуса и длины дуги). Таким образом, формула дает ответ в метрах, как и ожидалось для длины дуги.

Рабочий пример

Как быстро вращается автомобильная шина?

Вычислить угловую скорость 0.Автомобильная шина с радиусом 300 м при движении автомобиля со скоростью 15,0 м / с (около 54 км / ч). См. Рисунок 6.5.

Стратегия

В этом случае скорость протектора шины по отношению к оси шины такая же, как и скорость автомобиля по отношению к дороге, поэтому мы имеем v = 15,0 м / с. Радиус покрышки r = 0,300 м. Поскольку мы знаем v и r , мы можем переписать уравнение v = rωv = rω, чтобы получить ω = vrω = vr и найти угловую скорость.

Решение

Чтобы найти угловую скорость, воспользуемся соотношением: ω = vrω = vr.

Вставка известных величин дает

ω = 15,0 м / с 0,300 м = 50,0 рад / с. ω = 15,0 м / с 0,300 м = 50,0 рад / с.

6,7

Обсуждение

Когда мы отменяем единицы в приведенном выше вычислении, мы получаем 50,0 / с (то есть 50,0 в секунду, что обычно записывается как 50,0 с -1 ). Но угловая скорость должна иметь единицы рад / с. Поскольку радианы безразмерны, мы можем вставить их в ответ для угловой скорости, потому что мы знаем, что движение является круговым. Также обратите внимание, что если землеройный трактор с гораздо большими шинами, скажем, 1.Радиус 20 м, двигался с той же скоростью 15,0 м / с, его колеса вращались медленнее. У них будет угловая скорость

ω = 15,0 м / с 1,20 м = 12,5 рад / с ω = 15,0 м / с 1,20 м = 12,5 рад / с

6,8

Практические задачи

1.

Какой угол в градусах между часовой стрелкой и минутной стрелкой часов, показывающих 9:00 утра?

  1. 0 °
  2. 90 °
  3. 180 °
  4. 360 °
2.

Каково приблизительное значение длины дуги между часовой и минутной стрелками часов, показывающих 10:00 a.м, если радиус часов 0,2 м?

  1. 0,1 м
  2. 0,2 м
  3. 0,3 м
  4. 0,6 м

Проверьте свое понимание

3.

Что такое круговое движение?

  1. Круговое движение - это движение объекта по линейному пути.
  2. Круговое движение - это движение объекта по зигзагообразной траектории.
  3. Круговое движение - это движение объекта по круговой траектории.
  4. Круговое движение - это движение объекта по окружности или вращение по круговой траектории.
4.

Что подразумевается под радиусом кривизны при описании вращательного движения?

  1. Радиус кривизны - это радиус круговой траектории.
  2. Радиус кривизны - это диаметр круговой траектории.
  3. Радиус кривизны - это длина окружности круговой траектории.
  4. Радиус кривизны - это площадь круговой траектории.
5.

Что такое угловая скорость?

  1. Угловая скорость - это скорость изменения диаметра круговой траектории.
  2. Угловая скорость - это скорость изменения угла, образованного круговой траекторией.
  3. Угловая скорость - это скорость изменения площади круговой траектории.
  4. Угловая скорость - это скорость изменения радиуса круговой траектории.
6.

Какое уравнение определяет угловую скорость \ omega? Предположим, что r - радиус кривизны, \ theta - угол, а t - время.

  1. \ omega = \ frac {\ Delta \ theta} {\ Delta {t}}
  2. \ omega = \ frac {\ Delta {t}} {\ Delta \ theta}
  3. \ omega = \ frac {\ Delta {r}} {\ Delta {t}}
  4. \ omega = \ frac {\ Delta {t}} {\ Delta {r}}
7.

Назовите три примера объекта, совершающего круговое движение.

  1. искусственный спутник, вращающийся вокруг Земли, гоночный автомобиль, движущийся по круговой гоночной трассе, и волчок, вращающийся вокруг своей оси
  2. искусственный спутник, вращающийся вокруг Земли, гоночный автомобиль, движущийся по круговой гоночной трассе, и мяч, привязанный к веревке, вращающийся по кругу вокруг головы человека
  3. Земля вращается вокруг своей оси, гоночный автомобиль движется по круговой гоночной трассе, и мяч, привязанный к веревке, вращается по кругу вокруг головы человека
  4. Земля вращается вокруг своей оси, лопасти рабочего потолочного вентилятора и волчок, вращающийся вокруг собственной оси
8.

Какова относительная ориентация векторов радиуса и тангенциальной скорости объекта при равномерном круговом движении?

  1. Вектор тангенциальной скорости всегда параллелен радиусу круговой траектории, по которой движется объект.
  2. Вектор тангенциальной скорости всегда перпендикулярен радиусу круговой траектории, по которой движется объект.
  3. Вектор тангенциальной скорости всегда находится под острым углом к ​​радиусу круговой траектории, по которой движется объект.
  4. Вектор тангенциальной скорости всегда находится под тупым углом к ​​радиусу круговой траектории, по которой движется объект.

Teacher Support

Teacher Support

Используйте вопросы Check Your Understanding , чтобы оценить, усвоили ли учащиеся учебные цели этого раздела. Если учащиеся борются с определенной целью, формирующая оценка поможет определить, какая цель вызывает проблему, и направит учащихся к соответствующему содержанию.

Angular Velocity ω - обзор

5.3.2.1 Электромагнитный датчик угловой скорости

Электромагнитные датчики угловой скорости используют основной принцип электрического генератора, согласно которому при относительном движении между проводником и магнитным полем в проводнике индуцируется или генерируется напряжение. дирижер. Относительное движение между полем и проводником приводит к изменению интенсивности измерения.

На Рис. 5.27 показаны типичные принципиальные схемы: измерители угловой скорости с вращающимся сердечником (A) и вращающейся катушкой (B).

Рисунок 5.27. Типовые принципиальные схемы электромагнитных преобразователей угловой скорости (A) с вращающимся сердечником и (B) с вращающейся катушкой. Для круговых траекторий, как обычно являются петли катушки, следует, что угловая скорость ω = v / r , где r - радиус петли катушки.

Преобразователь вращающегося генератора вырабатывает сигнал выходного напряжения, пропорциональный скорости вращения входного вала. На рис. 5.27A показан электромагнитный преобразователь угловой скорости, состоящий из неподвижной катушки и подвижного ферромагнитного сердечника.Катушка соединена с объектом с угловым смещением. Когда катушка вращается, силовые линии магнитного поля, проходящие через ее обмотки, изменяются, вызывая электромагнитную силу, которая пропорциональна скорости катушки. На рисунке 5.27B движущийся объект прикреплен к движущейся катушке, в то время как ферромагнитный сердечник остается неподвижным. Тот же самый основной уравнение. (5.59), связывающее напряжение, генерируемое со скоростью проводника в магнитном поле, используется для вычисления скорости вращающегося объекта на рисунке 5.27A и B. В обоих случаях интенсивность выходного напряжения пропорциональна скорости, а ее полярность указывает направление вращения.

На Рис. 5.28 показана типичная принципиальная схема генератора тахометра с постоянными магнитами. Катушки намотаны вокруг фиксированных полюсов самого статора, а электромагнит или ротор с постоянным магнитом создает магнитное поле. Магнитное поле вращается вместе с объектом, скорость которого измеряется. Когда магнитный ротор вращается внутри статора, в обмотках статора индуцируется ЭДС, амплитуда и частота которой прямо пропорциональны скорости вращения.Эта конфигурация обеспечивает переменный выходной сигнал, который имеет преимущества по сравнению с постоянным напряжением, например, сигналы шума и пульсации могут быть более легко отфильтрованы перед дальнейшим усилением сигнала, а калибровка может быть выполнена с точки зрения выходной интенсивности или частоты.

Рисунок 5.28. Типовая принципиальная схема генератора тахометра с постоянным магнитом для измерения угловой скорости.

На Рис. 5.29 показаны принципиальные схемы тахометра генератора постоянного тока и тахометра генератора переменного тока.Тахометр постоянного тока (рисунок 5.29A) аналогичен тахометру с постоянным магнитом, за исключением перевернутого расположения магнита, установленного на статоре, и катушек в роторе. Когда ротор вращается в магнитном поле статора, в его обмотках генерируется электрический ток. Тахометр переменного тока (рисунок 5.29B) имеет две катушки, намотанные на статор. Напряжение переменного тока возбуждает одну катушку, что вызывает напряжение в другой катушке. Ротор прикреплен к движущемуся объекту и вращается внутри двух катушек статора, влияя на соотношение между двумя обмотками, что, в свою очередь, влияет на выходное напряжение.Выходное переменное напряжение имеет амплитуду и частоту, пропорциональные угловой скорости статора.

Рисунок 5.29. Типовая принципиальная схема генераторов тахометров постоянного тока (А) и переменного тока (В) для измерения угловой скорости.

Путем измерения напряжения, производимого тахогенератором, можно легко определить скорость вращения, обычно указываемую в об / мин, оборотов в минуту, к чему бы он ни был механически прикреплен. Цепь кондиционирования может представлять собой простой вольтметр, откалиброванный по частоте вращения, или электронные схемы с усилителем, фазовым детектором, фильтрами и интеграторами.Значение выходной скорости может отображаться для визуализации или использоваться для управления скоростью насосов, двигателей, станков, смесителей, вентиляторов, конвейерных лент и т. Д.

Типичные тахогенераторы постоянного тока имеют такие характеристики, как ток до 200 мА, скорости до 10 000 об / мин, выходное напряжение 4–200 В на 1000 об / мин и погрешность линейности <1%. Выходное напряжение постоянного тока пропорционально скорости его движителя и широко используется в приложениях для обратной связи и отображения. Тахогенераторы переменного тока обычно используются в устройствах отображения, и их типичные характеристики: скорость до 4000 об / мин, ток до 50 мА, выходное напряжение 4–40 В на 1000 об / мин и погрешность линейности <1%.В зависимости от количества полюсов в конструкции статора, 2, 8 или 48, выходная частота будет соответственно 16,66, 66,66 и 400 Гц.

Измерение угловой скорости воздушного винта с помощью видеокамеры с использованием электронного рольставни

Бесконтактное измерение вращательного движения имеет преимущества по сравнению с традиционным методом измерения вращательного движения посредством установки на объекте некоторых устройств, таких как датчик угла поворота. Камеры могут использоваться в качестве датчиков дистанционного мониторинга или проверки для измерения угловой скорости воздушного винта из-за их обычной доступности, простоты и потенциально низкой стоимости.Недостатком измерения с помощью камер является обработка массивных данных, генерируемых камерами. Чтобы уменьшить количество данных, собираемых камерой, камера, использующая ERS (электронный скользящий затвор), применяется для измерения угловых скоростей, превышающих скорость камеры. Эффект рольставни может вызвать геометрическое искажение изображения, когда пропеллер вращается во время захвата изображения. Чтобы выявить взаимосвязь между угловой скоростью и искажением изображения, была создана модель вращения.Предложенный метод применен для измерения угловых скоростей двухлопастного винта и многолопастного винта. Результаты экспериментов показали, что этот метод позволяет обнаруживать угловые скорости, превышающие скорость камеры, и точность является приемлемой.

1. Введение

Вращение - это одно из основных движений, которое часто встречается в таких машинах, как двигатели, шестерни и другие колеса. Вращение должно находиться под контролем, чтобы машины работали нормально, и многие механические поломки вызваны вращательным движением.Поэтому важно измерить угловую скорость. Для измерения угловых скоростей широко используются датчики контактного типа, такие как механические тахометры, оптические тахометры, фотоэлектрические энкодеры и оптические энкодеры [1]. Эти методы обычно основаны на механическом контакте, и в результате на них легко влияет вращение цели или небольшая инерция цели. За последние двадцать лет были разработаны бесконтактные методы, такие как томография, ультразвук, лазер и компьютерное зрение [2].Усовершенствованные датчики могут преодолеть недостатки датчиков контактного типа, и компьютерное зрение может быть более широко использовано по сравнению с другими бесконтактными датчиками.

За последнее десятилетие некоторые исследователи сосредоточились на угловых измерениях на основе компьютерного зрения. Wang et al. [3] измеряли угловые скорости двигателя с помощью нечетких изображений, которые содержали информацию о движении. Угловые скорости могут быть извлечены из этих размытых движущихся изображений в полярных координатах. Ait-Aider et al. [4, 5] получили позу и скорость объекта с помощью камеры с электронным скользящим затвором (ERS).Его метод был основан на предположении, что все линии в реальном мире прямые, а эти линии искажены на изображении, полученном камерой ERS. Magerand et al. [6] измерили позу и движение объекта на одном изображении ERS с автоматическим сопоставлением 2D-3D. Он и Вэй [7] измерили скорость вала с помощью камеры ERS. Чжу и Ю [2] измерили угловые скорости объекта с помощью преобразования Хафа.

Измерение угловой скорости с помощью компьютерного зрения также имеет некоторые недостатки, такие как качество воздуха в окружающей среде и трудоемкость процесса.Есть два способа повысить скорость обработки. Один из способов - уменьшить разрешение камеры, но этот способ не согласуется с тенденцией развития камер [8, 9]. Другой способ - снизить скорость камеры [10]. Другими словами, он измеряет высокоскоростное вращение с помощью низкоскоростной камеры. Но когда угловая скорость намного превышает скорость камеры, трудно определить угол неоднозначности или искажения изображения. Исследования по измерению высокоскоростного вращения с помощью низкоскоростной камеры немногочисленны.Скорость ряда камеры ERS намного выше скорости камеры. Это особое свойство поможет измерить высокоскоростное вращение некоторых объектов, таких как колеса или пропеллеры, которые имеют симметричную структуру. Эти объекты очень часто встречаются в машинах, и их легко анализировать для определения угловых скоростей. Предыдущие исследования не пытались измерить высокоскоростное вращение камерой ERS [4–7].

В этом документе камера ERS работает как датчик для измерения угловой скорости пропеллера, который вращается быстрее, чем скорость камеры.Для измерения угловой скорости создается симуляция, демонстрирующая с помощью изображений, что пропеллер вращается с разными скоростями. По геометрическим особенностям изображений предложен алгоритм расчета угловой скорости воздушного винта. Также демонстрируются эксперименты для проверки и проверки предложенного метода измерения угловой скорости. Оставшаяся часть теста организована следующим образом. В разделе 2 представлен принцип работы ERS, а также предложен алгоритм, проверенный на моделировании.В разделе 3 установлены два эксперимента для проверки предложенного метода в реальных условиях. Наконец, раздел 4 завершает статью.

2. Метод

В области цифровой обработки сигналов теорема Найквиста – Шеннона устанавливает достаточное условие для частоты дискретизации, которое позволяет дискретной последовательности выборок захватывать всю информацию из непрерывного сигнала с конечной полосой пропускания. . Достаточная частота дискретизации должна как минимум вдвое превышать максимальную частоту дискретизации; более того, на практике частота дискретизации обычно четырехкратная.Чтобы измерить угловую скорость камерой, необходимо обработать большой массив данных. Чтобы уменьшить количество данных, генерируемых камерой, можно использовать низкоскоростную камеру с ERS. Камера ERS имеет специальную функцию, которая записывает изображения строка за строкой, и эта функция может некоторым образом увеличить скорость камеры.

2.1. Принцип работы ERS

Камера ERS - это тип датчика изображения CMOS, который очень распространен в мобильных телефонах. Количество сигнала, генерируемого датчиком изображения, зависит от количества света, падающего на изображения, с точки зрения экспозиции.

Следовательно, требуется встроенный электронный затвор для управления интенсивностью и продолжительностью экспонирования. Затвор CMOS имеет два типа: глобальный затвор и рольставни. С датчиками изображения с глобальным затвором каждая строка пикселей изображения экспонируется одновременно. Таким образом, в результирующем изображении нет артефактов движения. При использовании датчиков изображения с рольставнями ряды изображения экспонируются последовательно, начиная сверху и постепенно снизу. Для каждой строки изображения время интегрирования и задержка строки фиксированы, что приводит к равномерному смещению времени по всему кадру.Когда направление движения объекта ортогонально направлению строки изображения, на захваченном изображении будут возникать визуальные артефакты. Принцип работы ERS показан на рисунке 1. Поскольку датчик изображения эффективно интегрирует каждую строку массива пикселей в разный момент времени, статический фонарный столб, расположенный вертикально по отношению к скоростной автомагистрали, становится наклонным, как показано на рисунке 1 (b ). Обладая такими характеристиками камеры ERS, низкоскоростная камера может записывать больше информации о быстро движущемся объекте.Хотя в некоторых работах это свойство применялось для измерения линейного движения или вибрации [7, 11], в большинстве работ пытались устранить этот эффект на изображении [12–14]. В данной статье это свойство используется для измерения угловой скорости воздушного винта.

2.2. Фоновая сегментация

Перед вычислением скорости вращения гребной винт должен быть сегментирован от фона. Модель смеси Гаусса (GMM) [15] используется как неконтролируемое обнаружение изменения изображения для извлечения пропеллера.Максимизация ожидания (EM) [16] - популярный метод, используемый для определения параметров смеси с заранее заданным числом компонентов. Алгоритм EM предоставляет особый способ, который реализует оценку максимального правдоподобия для параметра в GMM. Но M-шаг алгоритма EM не может оценить априорное распределение в закрытой форме из-за сложности оценки максимального правдоподобия. Следовательно, для каждой итерации в EM-алгоритме к M-шагу применяется корректирующий шаг [17] проекции с целью, чтобы априорные вероятности были положительными и в сумме равнялись единице.

Сегментация с помощью GMM имеет много дефектов, таких как дыры и шумы на изображении. Перед сегментацией изображения удаляются с помощью метода, предложенного Xu et al. [18]. Расчет вращения во многом зависит от геометрических характеристик гребного винта, сегментированного от фона. Эти дефекты гребного винта могут привести к ошибкам в результатах расчетов. Отверстия должны быть заполнены, а небольшая изолированная область должна быть стерта.

2.3. Расчет угловой скорости

Пропеллер выбран в качестве измеряемой величины, как показано на рисунке 2.Этот пропеллер имеет две изолированные лопасти, а его начальный угол определяется величиной. Чтобы продемонстрировать закономерности, записанные камерой ERS, моделирование показано на рисунке 3 (в этой статье все единицы угловой скорости - об / с). Пропеллер находится в центре одиночного изображения размером 1000 × 1000. Последовательность экспозиции камеры ERS - сверху вниз. Время задержки строки составляет 996 мкм с, а время экспонирования каждой строки составляет 4996 мкм с. Задержки кадра нет, поэтому время всего изображения составляет одну секунду.Пропеллер вращается по часовой стрелке с разными скоростями, как показано на рисунке 3. Начальный угол изображений первого ряда на рисунке 3 равен 0,25; начальный угол изображений второго ряда на рис. 3 равен 0,5. Чтобы извлечь угловую скорость из одного изображения, процедура состоит из двух частей: поиск центра пропеллера и определение угла поворота. Все операции основаны на предположении, что двухлопастной винт имеет центральную симметрию.



Точки на разных краях лезвия группируются в разные наборы:, где - количество изолированных лезвий.Точка выбирается на изображении случайным образом. Расстояние от точки до точки в

Пусть, где max () - математическая функция для нахождения максимальных значений входных данных. Если может удовлетворять условию в (2), центр есть.

Но этот метод вычисления центра чувствителен к шуму и в некоторых ситуациях неоднозначен, как показано на Рисунке 3 (iic, iid). Таким образом, этот метод нельзя использовать для поиска центра, но он может работать как быстрый поиск и сужение области вращающегося центра.Пусть будет ожидание:

Вращающийся центр относится к области где - порог из диапазона (0, 0,1). Когда, области цвета на рисунке 4 являются диапазоном центра. Чтобы найти точный центр от, следует учитывать угловую скорость.


Для лучшего решения предлагается метод сканирования. Точка выбирается из, и она работает как центр круга с радиусом. Этот круг сканирует лезвие против часовой стрелки, и его исходное положение находится на его левой горизонтальной оси.На круге есть нарастающие и спадающие кромки. Точки на передних фронтах обозначены, где - количество передних фронтов на окружности. Между тем, точки на спадающих кромках обозначаются. Ординаты этих краевых точек равны и соответственно. Углы между исходным положением и этими краевыми точками равны и соответственно. Пусть и, где min () - математическая функция для поиска минимальных значений входных данных. Пропеллер вращается от до как где - количество лопастей, а его значение в моделировании равно двум.Когда значение из первого класса в (5), направление вращения - по часовой стрелке. Когда значение из второго класса в (5), направление вращения - против часовой стрелки. Угловая скорость может быть вычислена по точкам на передних фронтах. где - время задержки строки камеры ERS. Точки на задних кромках также можно использовать при вычислении угловой скорости: где, и аналогично. Позвольте быть накопленной ошибкой, соответствующей радиусу в точке.

Пусть, где - функция. Значения различных точек нормализованы и проиндексированы с помощью цветовой карты, как показано на рисунке 4. Пусть. Точка - это центр пропеллера. Для повышения точности расчета оптимизированное значение угловой скорости взвешивается на.

Результат моделирования показан в Таблице 1. Фактическое положение центра составляет (500 500), а наибольшее отклонение центра гребного винта находится в пределах 5 пикселей. Относительные погрешности угловой скорости не более 2%.


Рисунок Измеренное центральное положение (пиксель) Фактическая скорость (об / с) Измеренная скорость (об / с)

(ia ) (500, 500) 0,5 0,510
(ib) (500, 502) 1 1,006
(ic) (497, 500) 2 2.003
(iia) (501, 499) 0,5 0,508
(iib) (497, 502) 1 0,999
(iic) (503, 502) 2 2,012

3. Эксперименты и результаты

Для проверки измерения угловой скорости с помощью камеры ERS были разработаны и проведены два эксперимента. в контролируемых условиях.Измеряемый винт имел две или несколько лопастей. Все обнаруживаемые угловые скорости были выше скорости камеры.

3.1. Экспериментальная установка для двухлопастного винта

Измерительная система включала камеру ERS, дополнительный свет и пропеллер, как показано на рисунке 5 (а). Камера была изготовлена ​​компанией Basler в Германии, модель acA3800-14uc. У него был датчик изображения MT9J003 с типом затвора ERS. Задержка строки MT9J003 составляла 23,09 мк с, а время экспозиции могло быть выбрано от 35 мк с до 1599 535 мк с с помощью программного обеспечения.Выбранное разрешение камеры составляло 3840 × 2748, а максимальная частота кадров составляла 14 кадров в секунду. Винт имел две центросимметричные лопасти диаметром 135 мм. Из-за того же цвета пропеллера и фона, черный плакатный щит обычно использовался в качестве фона для контраста. Пропеллер приводился в движение двигателем с энкодером, и двигатель был установлен на вершине треноги. Когда ось пропеллера не параллельна оси камеры, изображение пропеллера на видео будет ухудшаться.Следовательно, ось камеры и ось воздушного винта должны быть установлены соосно. Значение времени экспозиции ряда составляло 350 мкм с, и дополнительный свет был отрегулирован соответствующим образом, чтобы камера получала снимки хорошего качества. Вид с камеры показан на рисунке 5 (б). Перед регистрацией вращения пропеллера камера ДЗЗ была откалибрована по методу, предложенному Хейккилой и Сильвеном [19].


3.2. Результаты для двухлопастного гребного винта

Фотоэлектрический кодировщик на двигателе регистрировал скорость гребного винта, в то время как камера ERS фиксировала вращение гребного винта.Пропеллер вращался против часовой стрелки с разными скоростями, как показано на рисунке 6. Контуры гребного винта были извлечены GMM, и они были отремонтированы с помощью технологии, которая включала заполнение отверстий и фильтрацию шума. Результаты сегментации фона показаны на рисунке 7. Цветные области на рисунке 7 представляют собой диапазон центра двухлопастного винта при значении 0,05. Разные цвета в этих областях указывают стоимость разных точек. Камера делала четыре изображения за раз, а для получения 16 изображений потребовалось четыре раза.Фактические скорости этих изображений показаны в третьем столбце таблицы 2. Во втором столбце таблицы 2 показано отклонение центра гребного винта. Максимальное отклонение центра - в пределах шести пикселей. Угловые скорости получены с помощью метода, предложенного в этой статье, и они приведены в четвертом столбце таблицы 2. Соответствующая ошибка скорости составляет менее 4%.



Номер кадра Центральное отклонение (пиксель) Фактическая скорость (об / с) Измеренная скорость (об / с) Относительная ошибка скорости (%)

1 (5, 2) 8.51 8,27 2,8
2 (0, 1) 8,53 8,36 2,0
3 (3, 5) 8,57 8,44 1,5
4 (5, −2) 8,59 8,51 0,9
5 (6, −1) 15,88 15,37 3,2
6 (3, 5) 15.91 15,72 1,2
7 (-1, 3) 15,93 15,87 0,3
8 (5, -2) 15,95 16,12 1,1
9 (1, −7) 21,87 21,32 2,5
10 (0, 1) 22,00 21,44 2,6
11 (3, 4) 22.11 22,00 0,1
12 (−3, −2) 22,18 22,10 0,3
13 (−8, −2) 25,07 25,31 1,0
14 (0, 3) 25,11 25,32 0,8
15 (−3, 5) 25,18 25,52 1,4
16 (-5, 2) 25.21 25,73 2,1

3.3. Эксперимент на многолопастном винте

Многолопастной винт также был измерен с помощью почти того же оборудования в эксперименте с двухлопастным винтом. Воздушный винт в воздуховоде был частью инженерного оборудования, как показано на Рисунке 8 (а), которое являлось продуктом QX MOTOR. Винт имел пять лопастей и его диаметр составлял 64 мм. Время экспозиции ряда было отрегулировано до 350 с, и вид с камеры был показан на рисунке 8 (b).Из-за отсутствия энкодера для измерения угловых скоростей гребного винта использовался портативный тахометр.


3.4. Результаты многолопастного гребного винта

Тахометр регистрировал скорости многолопастного гребного винта, когда камера ERS фиксировала вращение гребного винта. На рисунке 9 показаны образцы изображений, снятых при вращении с разными скоростями. Когда значение установлено на 0,06, цветные области на рисунке 10 представляют собой диапазон центра многолопастного гребного винта.Камера ERS также делала четыре изображения за раз и 16 изображений за четыре раза. С помощью метода, предложенного в этой статье, угловые скорости были получены, как показано в таблице 3. Максимальное отклонение центра находится в пределах семи пикселей, а соответствующая ошибка скорости составляет менее 5%. Максимальная угловая скорость в шесть раз больше скорости камеры.



Номер кадра Центральное отклонение (пиксель) Фактическая скорость (об / с) Измеренная скорость (об / с) Относительная ошибка скорости (%)

1 (3, 3) 29.06 28,25 2,8
2 (2, 8) 29,18 29,34 0,5
3 (7, −4) 28,86 29,32 1,6
4 (5, −2) 28,90 28,97 0,2
5 (1, −1) 57,77 56,67 1,9
6 (-2, 6) 58.26 57,93 0,6
7 (−5, 7) 58,10 56,54 2,7
8 (−2, 3) 58,14 56,60 2,6
9 (1, 5) 75,28 74,12 1,5
10 (6, 3) 75,45 73,65 2,4
11 (10, 2) 75.55 73,80 2,3
12 (3, 4) 75,89 73,56 3,1
13 (−2, 3) 109,50 107,10 2,2
14 (-1, 0) 109,45 105,48 3,6
15 (-8, 3) 109,12 104,04 4,7
16 (3, −5) 108.93 103,86 4,7

4. Выводы

Компьютерное зрение обеспечивает эффективный способ измерения угловых скоростей. В данной работе предложен алгоритм измерения угловой скорости воздушного винта с помощью тихоходной камеры. В его основе лежит принцип рольставни. Путем анализа процедуры экспонирования камеры была создана имитационная модель для имитации движения пропеллера, зафиксированного камерой ERS.По зарегистрированной форме контура винта был предложен метод поиска центра вращения и угловой скорости. Для проверки этого метода с помощью этого метода были измерены угловые скорости двухлопастного винта и трехлопастного винта. Результаты экспериментов показывают, что предложенный метод может быть использован для измерения высокоскоростного вращения воздушного винта с помощью тихоходной камеры. Максимальная угловая скорость могла быть в шесть раз больше скорости камеры. Кроме того, моделирование и эксперименты показывают, что этот метод является эффективным, применимым, бесконтактным и менее дорогостоящим для измерения угловой скорости воздушного винта.

Метод, предложенный в этой статье, все еще имеет некоторые ограничения и несовершенные аспекты. Точность обнаружения зависит от освещенности. Увеличение времени выдержки позволяет получить изображения хорошего качества, но захваченное изображение будет очень размытым при быстром вращении пропеллера. В дальнейшем в систему следует добавить оборудование для автоматического экспонирования и соответствующий алгоритм. Этот метод основан на точном контуре пропеллера. Таким образом, сегментация фона сильно влияет на результат. Для улучшения качества фоновой сегментации в будущем будет применяться искусственная нейронная сеть.

Конфликт интересов

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

Выражение признательности

Эта статья поддержана Национальным фондом естественных наук Китая (№ 51175145) и Программой поддержки науки и технологий провинции Хэбэй (№ 13211910D).

Угловая скорость | Медицинские журналы

В физике угловая скорость относится к тому, насколько быстро объект вращается или вращается относительно другой точки, т.е.е. насколько быстро угловое положение или ориентация объекта меняется со временем. Есть два типа угловой скорости: орбитальная угловая скорость и угловая скорость вращения. Угловая скорость вращения означает, насколько быстро твердое тело вращается относительно центра вращения. Орбитальная угловая скорость относится к тому, насколько быстро точечный объект вращается вокруг фиксированного начала координат, то есть скорость изменения его углового положения относительно начала координат во времени. Угловая скорость вращения не зависит от выбора начала координат, в отличие от орбитальной угловой скорости, которая зависит от выбора начала координат.

Обычно угловая скорость измеряется в углах в единицу времени, например радиан в секунду (угол, заменяющий расстояние от линейной скорости от времени в целом). Единица измерения угловой скорости в системе СИ выражается в радианах в секунду, причем радиан имеет безразмерное значение, равное единице, поэтому единицы измерения угловой скорости в системе СИ обозначаются как 1 / с или с − 1. Угловая скорость обычно обозначается символом омега (ω, иногда Ω). По соглашению, положительная угловая скорость означает вращение против часовой стрелки, а отрицательная - по часовой стрелке.

Например, геостационарный спутник совершает один оборот в день над экватором, или 360 градусов за 24 часа, и имеет угловую скорость ω = (360 °) / (24 ч) = 15 ° / ч, или (2π рад) / (24 ч) ≈ 0,26 рад / ч. Если угол измеряется в радианах, линейная скорость равна радиусу, умноженному на угловую скорость, {\ displaystyle v = r \ omega} {\ displaystyle v = r \ omega}. Таким образом, с радиусом орбиты 42000 км от центра Земли скорость спутника в космосе составляет v = 42000 км × 0,26 / ч ≈ 11000 км / ч.Угловая скорость положительна, поскольку спутник движется на восток вместе с вращением Земли (против часовой стрелки от северного полюса). В трех измерениях угловая скорость является псевдовектором, величина которого измеряет скорость вращения или вращения объекта, и его направление перпендикулярно плоскости мгновенного вращения или углового смещения. Ориентация угловой скорости условно задается правилом правой руки.

В физике угловая скорость относится к тому, насколько быстро объект вращается или вращается относительно другой точки, т.е.е. насколько быстро угловое положение или ориентация объекта меняется со временем. Есть два типа угловой скорости: орбитальная угловая скорость и угловая скорость вращения. Угловая скорость вращения означает, насколько быстро твердое тело вращается относительно центра вращения. Орбитальная угловая скорость относится к тому, насколько быстро точечный объект вращается вокруг фиксированного начала координат, то есть скорость изменения его углового положения относительно начала координат во времени. Угловая скорость вращения не зависит от выбора начала координат, в отличие от орбитальной угловой скорости, которая зависит от выбора начала координат.

Обычно угловая скорость измеряется в углах в единицу времени, например радиан в секунду (угол, заменяющий расстояние от линейной скорости от времени в целом). Единица измерения угловой скорости в системе СИ выражается в радианах в секунду, причем радиан имеет безразмерное значение, равное единице, поэтому единицы измерения угловой скорости в системе СИ обозначаются как 1 / с или с − 1. Угловая скорость обычно обозначается символом омега (ω, иногда Ω). По соглашению, положительная угловая скорость означает вращение против часовой стрелки, а отрицательная - по часовой стрелке.

Например, геостационарный спутник совершает один оборот в день над экватором, или 360 градусов за 24 часа, и имеет угловую скорость ω = (360 °) / (24 ч) = 15 ° / ч, или (2π рад) / (24 ч) ≈ 0,26 рад / ч. Если угол измеряется в радианах, линейная скорость равна радиусу, умноженному на угловую скорость, {\ displaystyle v = r \ omega} {\ displaystyle v = r \ omega}. Таким образом, с радиусом орбиты 42000 км от центра Земли скорость спутника в космосе составляет v = 42000 км × 0,26 / ч ≈ 11000 км / ч.Угловая скорость положительна, поскольку спутник движется на восток вместе с вращением Земли (против часовой стрелки от северного полюса). В трех измерениях угловая скорость является псевдовектором, величина которого измеряет скорость вращения или вращения объекта, и его направление перпендикулярно плоскости мгновенного вращения или углового смещения. Ориентация угловой скорости условно задается правилом правой руки.

Соответствующие темы общих наук

Угловая скорость Земли - Вселенная сегодня

[/ caption]
Планета Земля совершает три движения: она вращается вокруг своей оси, что дает нам день и ночь; он вращается вокруг Солнца, давая нам времена года, и проходит через Млечный Путь вместе с остальной частью Солнечной системы.В каждом случае ученые пытались рассчитать не только время, необходимое для этого, но и соответствующие относительные скорости. Когда речь идет о вращении Земли вокруг своей оси, процесс, который занимает 23 часа 56 минут и 4,09 секунды, этот процесс известен как звездные сутки, а скорость, с которой она движется, известна как угловая скорость Земли. Это в равной степени относится к Земле, вращающейся вокруг оси Солнца и центра Галактики Млечный Путь.

В физике угловая скорость - это векторная величина, которая определяет угловую скорость объекта и ось, вокруг которой объект вращается.Единица измерения угловой скорости в системе СИ - радианы в секунду, хотя она может быть измерена в других единицах, таких как градусы в секунду, обороты в секунду и т. Д., И обычно обозначается символом омега (ω, реже Ω). Радиан по определению - это единица измерения, которая связывает радиус дуги, длину дуги и угол, образованный дугой. Полный радиан равен 360 градусам, следовательно, мы знаем, что Земля совершает два радиана при полном вращении вокруг оси. Однако иногда ее также называют скоростью вращения, и ее величина - скорость вращения - обычно измеряется в циклах или оборотах в единицу времени (например,г. число оборотов в минуту). Кроме того, когда объект вращается вокруг оси, каждая точка объекта имеет одинаковую угловую скорость.

Математически средняя угловая скорость объекта может быть представлена ​​следующим уравнением: ω среднее значение = Δθ / Δt, где ω - радианы / обороты в секунду (в среднем), Δ - изменение количества, θ - скорость, а t - время. При вычислении угловой скорости Земли, когда она совершает полный оборот вокруг своей оси (солнечные сутки), это уравнение представляется как: ω avg = 2πrad / 1day (86400 секунд), что соответствует умеренным угловым значениям. скорость 7.2921159 × 10 -5 радиан / сек. В случае солнечного года, где ω ср. = 2πрад / 1 год (3,2 × 10 7 секунд), мы видим, что угловая скорость составляет 2,0 × 10 -7 рад / с.

Мы написали много статей об угловой скорости Земли для Universe Today. Вот статья об угловой скорости, а вот статья о том, почему Земля вращается.

Если вам нужна дополнительная информация об угловой скорости Земли, ознакомьтесь со следующими статьями:
Угловая скорость Земли
Вращение Земли

Мы также записали серию Astronomy Cast, посвященную планете Земля.Послушайте, Эпизод 51: Земля.

Источники:
http://en.wikipedia.org/wiki/Angular_velocity
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/rotq.html
http://hypertextbook.com/facts/2002/ JasonAtkins.shtml
http://en.wikipedia.org/wiki/Earth%27s_rotation#Rotation_period
http://www.livephysics.com/tables-of-physical-data/mechanical/angular-speed-of-earth. html

Как это:

Нравится Загрузка ...

6.1: Угол поворота и угловая скорость

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

  • Определите длину дуги, угол поворота, радиус кривизны и угловую скорость.
  • Вычислить угловую скорость вращения колеса автомобиля.

В «Кинематике» мы изучали движение по прямой и ввели такие понятия, как смещение, скорость и ускорение. Двумерная кинематика имеет дело с движением в двух измерениях. Движение снаряда - это частный случай двумерной кинематики, в котором объект проецируется в воздух, находясь под действием силы тяжести, и приземляется на некотором расстоянии. В этой главе мы рассматриваем ситуации, когда объект не приземляется, а движется по кривой.Мы начинаем изучение равномерного кругового движения с определения двух угловых величин, необходимых для описания вращательного движения.

Угол поворота

Когда объекты вращаются вокруг некоторой оси - например, когда компакт-диск (компакт-диск) на рисунке вращается вокруг своего центра - каждая точка в объекте движется по дуге окружности. Рассмотрим линию от центра компакт-диска до его края. Каждая яма, используемая для записи звука вдоль этой линии, перемещается под одним и тем же углом за одно и то же время. Угол поворота - это величина поворота, аналогичная линейному расстоянию.Угол поворота \ (\ Delta \ theta \) определяется как отношение длины дуги к радиусу кривизны:

\ [\ Delta \ theta = \ dfrac {\ Delta s} {r}. \]

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): Все точки на компакт-диске перемещаются по дугам окружности. Ямы вдоль линии от центра к краю все перемещаются на один и тот же угол \ (\ Delta \ theta \) за время \ (\ Delta t \). Рисунок \ (\ PageIndex {2} \): Радиус круг поворачивается на угол \ (\ Delta \ theta \). Длина дуги \ (\ delta s \) описывается на окружности.

Длина дуги \ (\ Delta s \) - это расстояние, пройденное по круговой траектории, как показано на рисунке. Обратите внимание, что это радиус кривизны круговой траектории. Мы знаем, что за один полный оборот длина дуги равна длине окружности радиуса \ (r \). Окружность круга равна \ (2 \ pi r \).

Таким образом, за один полный оборот угол поворота равен \ [\ Delta \ theta = \ dfrac {2 \ pi r} {r} = 2 \ pi. \]

Этот результат является основой для определения единиц, используемых для измерения углов поворота, \ (\ Delta \ theta \) как радиан (рад), определяемых так, чтобы

\ [2 \ pi \, радианы = 1 \ космический оборот.о \]

Угловая скорость

Насколько быстро вращается объект? Мы определяем угловую скорость \ (\ omega \) как скорость изменения угла. В символах это

.

\ [\ omega = \ dfrac {\ Delta \ theta} {\ Delta t}, \]

, где угловое вращение \ (\ Delta \ theta \) происходит за время \ (\ Delta t \). Чем больше угол поворота за заданный промежуток времени, тем больше угловая скорость. Единицы измерения угловой скорости - радианы в секунду (рад / с). Угловая скорость \ (\ omega \) аналогична линейной скорости \ (v \).Чтобы получить точное соотношение между угловой и линейной скоростью, мы снова рассмотрим ямку на вращающемся CD. Эта яма перемещается на длину дуги \ (\ Delta s \) за время \ (\ Delta t \), поэтому она имеет линейную скорость

\ [v = \ dfrac {\ Delta s} {\ Delta t}. \]

Из \ (\ Delta \ theta = \ frac {\ Delta s} {r} \) мы видим, что \ (\ Delta s = r \ Delta \ theta \). Подставляя это в выражение для \ (v \), получаем

\ [v = \ dfrac {r \ Delta \ theta} {\ Delta t} = r \ omega. \]

Мы записываем эту взаимосвязь двумя разными способами и получаем два разных вывода:

\ [v = r \ omega, \ или \, \ omega = \ dfrac {v} {r}.\]

Первое соотношение в \ (v = r \ omega, \ или \, \ omega = \ dfrac {v} {r} \) утверждает, что линейная скорость \ (v \) пропорциональна расстоянию от центра вращение, таким образом, оно является наибольшим для точки на ободе (наибольшее значение \ (r \)), как и следовало ожидать. Мы также можем назвать эту линейную скорость \ (v \) точки на ободе тангенциальной скоростью . Второе соотношение в \ (v = r \ omega, \ или \, \ omega = \ dfrac {v} {r} \) можно проиллюстрировать на примере шины движущегося автомобиля.Обратите внимание, что скорость точки на ободе шины такая же, как скорость \ (v \) автомобиля. См. Рисунок. Таким образом, чем быстрее движется машина, тем быстрее вращается шина - большой \ (v \) означает большой \ (\ omega \), потому что \ (v = r \ omega \). Точно так же шина большего радиуса, вращающаяся с той же угловой скоростью \ ((\ omega) \), создаст большую линейную скорость \ ((v) \) для автомобиля.

Рисунок \ (\ PageIndex {4} \): Автомобиль, движущийся со скоростью \ (v \) вправо, имеет шину, вращающуюся с угловой скоростью \ (\ omega \).Скорость протектора шины относительно оси равна \ (v \), как если бы автомобиль был поднят домкратом. Таким образом, автомобиль движется вперед с линейной скоростью \ (v = r \ omega \), где \ (r \) - радиус шины. Чем больше угловая скорость шины, тем больше скорость автомобиля.

Пример \ (\ PageIndex {1} \): Как быстро вращается автомобильная шина?

Рассчитайте угловую скорость автомобильной шины радиусом 0,300 м, когда автомобиль движется со скоростью \ (15,0 м / с \) (примерно \ (54 \, км / ч \)). См. Рисунок.

Стратегия

Поскольку линейная скорость обода шины такая же, как и скорость автомобиля, мы имеем \ (v = 15.0 м / с \). Радиус шины равен \ (r = 0,300 \, м \). Зная \ (v \) и \ (r \), мы можем использовать второе соотношение в \ (v = \ omega r \), \ (\ omega = \ frac {v} {r} \) для вычисления угловой скорости .

Решение

Для вычисления угловой скорости воспользуемся следующим соотношением:

\ [\ omega = \ dfrac {v} {r}. \]

Замена известных,

\ [\ omega = \ dfrac {15,0 \, м / с} {0,300 \, м} = 50,0 \, рад / с. \]

Обсуждение

Когда мы отменяем единицы в приведенном выше вычислении, мы получаем 50.0 / с. Но угловая скорость должна иметь единицы рад / с. Поскольку радианы на самом деле безразмерны (радианы определяются как отношение расстояний), мы можем просто вставить их в ответ для угловой скорости. Также обратите внимание, что если бы землерой с гораздо большими шинами, скажем, радиусом 1,20 м, двигался с той же скоростью 15,0 м / с, его шины вращались бы медленнее. У них была бы угловая скорость

\ [\ omega = (15,0 \, м / с) / (1,20 \, м) = 12,5 \, рад / с. \]

У \ (\ omega \) и \ (v \) есть направления (следовательно, это угловая и линейная скорости соответственно).Угловая скорость имеет только два направления относительно оси вращения - либо по часовой стрелке, либо против часовой стрелки. Линейная скорость касается пути, как показано на рисунке.

ЭКСПЕРИМЕНТ НА ​​ДОМУ

Привяжите какой-либо предмет к концу веревки и поверните его по горизонтальному кругу над головой (взмахнув запястьем). Поддерживайте равномерную скорость при качании объекта и измеряйте угловую скорость движения. Какая примерная скорость объекта? Определите точку рядом с вашей рукой и выполните соответствующие измерения, чтобы рассчитать линейную скорость в этой точке.Определите другие круговые движения и измерьте их угловые скорости.

Рисунок \ (\ PageIndex {5} \): Когда объект движется по кругу, здесь муха на краю старомодной виниловой пластинки, его мгновенная скорость всегда касается круга. Направление угловой скорости в этом случае - по часовой стрелке.

ФЕТ ИССЛЕДОВАНИЯ: РЕВОЛЮЦИЯ БОЖЬЕЙ КОРОВКИ

Присоединяйтесь к божьей коровке и исследуйте вращательное движение. Вращайте карусель, чтобы изменить ее угол, или выберите постоянную угловую скорость или угловое ускорение.Изучите, как круговое движение связано с координатами x, y, скоростью и ускорением жука, используя векторы или графики.

Сводка раздела

  • Равномерное круговое движение - это движение по окружности с постоянной скоростью. Угол поворота \ (\ delta \ theta \) определяется как отношение длины дуги к радиусу кривизны:

\ [\ Delta \ theta = \ dfrac {\ Delta s} {r} \]

, где длина дуги \ (\ delta s \) - это расстояние, пройденное по круговой траектории, а \ (r \) - радиус кривизны круговой траектории.о. \]

  • Угловая скорость \ (\ omega \) - это скорость изменения угла,
  • \ [\ omega = \ dfrac {\ Delta \ theta} {\ Delta t}, \]

    , где вращение \ (\ Delta \ theta \) происходит за время \ (\ Delta t \). Единицы угловой скорости - радианы в секунду (рад / с). Линейная скорость \ (v \) и угловая скорость \ (\ omega \) связаны соотношением

    \ [v = r \ omega, \ или \, \ omega = \ dfrac {v} {r}. \]

    Глоссарий

    длина дуги
    Δs, расстояние, пройденное объектом по круговой траектории
    приямок
    крошечное углубление на спиральной дорожке, отформованной в верхней части слоя поликарбоната CD
    .
    угол поворота
    отношение длины дуги к радиусу кривизны на круговой траектории: \ (Δθ = \ frac {Δs} {r} \)
    радиус кривизны
    радиус круговой траектории
    радиан
    единица измерения угла
    угловая скорость
    \ (ω \), скорость изменения угла, под которым объект движется по круговой траектории

    Авторы и авторство

    • Пол Питер Урон (почетный профессор Калифорнийского государственного университета, Сакраменто) и Роджер Хинрикс (Государственный университет Нью-Йорка, колледж в Освего) с участвующими авторами: Ким Диркс (Оклендский университет) и Манджула Шарма (Сиднейский университет).Эта работа лицензирована OpenStax University Physics в соответствии с лицензией Creative Commons Attribution License (4.0).

    Угловое смещение, скорость, ускорение

    Мы живем в мире, который определяется тремя пространственными измерениями и одним измерение времени. Объекты перемещаются в этом домене двумя способами. Объект переводит, или меняет адрес , с одного указать на другое. И объект вращает , или меняет свою ориентацию .В общем, движение объекта включает как перемещение во всех трех направлениях, так и вращение вокруг три основных оси.

    На этой странице мы будем рассматривать только вращение твердого объекта вокруг одна ось. Вращение объекта аналогично перемещению в номере переменных, которые мы должны учитывать, но обозначения очень сбивают с толку, потому что он традиционно описывался с использованием греческих символов. На слайде в вверху страницы мы использовали традиционные греческие обозначения. Чтобы упростить соблюдение статьи 508, мы просто укажем названия переменных. здесь в тексте, а не использовать символьный шрифт. Theta - это символ, который выглядит как 0 с горизонтальной линией, проходящей через него. Phi - это символ, который выглядит как 0 с вертикальной линией, проходящей через него. Омега - это символ, который выглядит как фигурный w . Альфа - это символ, похожий на перекрещенную ленту.

    Поскольку объект вращается вокруг оси вращения самым простым способом для описания движения использовать полярные координаты. Мы можем указать угловую ориентацию объекта на в любое время t , указав угол theta , на который объект повернулся от некоторой опорной линии. Изначально наш объект находится в ориентации «0», заданной углом theta 0 в момент времени t0 . Мы нарисовали красную линию на диске с указанием исходной ориентации.Объект вращается до тех пор, пока time t1 , а красная линия поворачивается на угол theta 1 . Мы можем определить угловое смещение - фи как разница угла между условием «0» и условием «1».

    фи = тета 1 - тета 0

    Угловое смещение - это векторная величина, означающая, что угловое смещение имеет размер и направление, связанные с ним. Направление важно для более поздних математических процессов, но определение немного сбивает с толку.Как объект вращается из точки «0» в точку «1», вращается вокруг оси, поэтому направление угловое смещение измеряется по оси. Положительное значение направления оси определяется правилом правой руки . Вытяните правую руку, как если бы пожать кому-нибудь руку. Согните пальцы с основанием в точке «0» и наконечниками в точке «1». Ваш большой палец указывает перпендикулярно плоскости вращения в положительном направлении вдоль оси вращения.

    Угловое смещение измеряется в единицах радиан . Два радиана пи равны 360 градусов. Угловое перемещение не является длиной (не измеряется в метрах или футах), поэтому угловое смещение отличается чем линейное перемещение. Поскольку твердый объект вращается вокруг оси вращения, все точек объекта испытывают такое же угловое смещение, но точки дальше от оси перемещаются дальше, чем точки ближе к оси.На слайде мы рассматриваем две точки; один расположен на радиусе ra на краю диска, и другой расположен на радиусе rb , что меньше ra . Как объект вращается за счет углового смещения фи , точка на краю диска перемещает расстояние до по круговой траектории. Точка руб. также движется в круговой путь, но расстояние сб короче, чем расстояние сб .В целом, длина кругового пути с равна радиус r в раз больше углового смещения phi , выраженного в радианах.

    для углового перемещения фи ,

    s = phi * r

    ra> rb

    sa> sb

    Угловая скорость - омега объекта изменение угла во времени.Средняя угловая скорость - это угловое смещение, разделенное по временному интервалу:

    омега = (тета 1 - тета 0) / (t1 - t0)

    Это средняя угловая скорость за промежуток времени от t0 до t1 , но объект может ускоряться и замедляться в течение определенного промежутка времени. В любой момент объект может иметь угловую скорость, отличную от средней.Если мы сократим разница во времени вплоть до очень небольшого (дифференциального) размера, мы можем определить мгновенная угловая скорость - это дифференциальное изменение угла, деленное на дифференциальное изменение во времени;

    омега = д тета / дт

    где символ d / dt - это дифференциал от исчисления. Угловая скорость равна векторная величина и имеет как величину, так и направление. Направление совпадает с направлением углового смещения, от которого мы определили угловая скорость.

    Угловая скорость измеряется в радианах в секунду , или оборотов в секунду или оборотов в минуту (об / мин). Угловая скорость разная чем линейная скорость, которая измеряется длиной за время (футы в секунду или метры в секунду). Все точки объекта вращаются с одинаковой угловой скоростью, но находятся дальше от ось вращения движется с другой тангенциальной скоростью , чем точки ближе к оси вращения.Тангенциальная скорость измеряется по круговой траектории. s , который мы рассматривали ранее. Касательная скорость В равна угловой скорость омега в раз больше радиуса r :

    для углового перемещения фи ,

    V = омега * г

    ra> rb

    Va> Vb

    Когда мы изначально укажите вращение нашего объекта с theta 0, и т0 , мы также должны указать начальную мгновенную угловую скорость omega 0 .Аналогично в конечной позиции theta 1, и t1 , угловая скорость меняется на угловую скорость omega 1 .

    Среднее угловое ускорение - альфа объекта - это изменение угловой скорости во времени.

    альфа = (омега 1 - омега 0) / (t1 - t0)

    Как и угловая скорость, это только средняя угловая скорость. ускорение.В любой момент объект может иметь угловое ускорение, отличное от среднего. Если мы сократим разница во времени вплоть до очень небольшого (дифференциального) размера, мы можем определить мгновенное угловое ускорение быть разницей в изменении угловая скорость, деленная на дифференциальное изменение во времени:

    альфа = d омега / dt

    Точно так же, как силы производят линейные ускорения, a крутящий момент производит угловые ускорения.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *