Формула угловой скорости вращения через радиус: 404 — Страница не найдена

Содержание

Движение по окружности | LAMPA

Найдем угловую скорость. Известно, что ω=φt\omega=\frac{\varphi}{t}ω=tφ​. В качестве угла φ\varphiφ можно взять полный оборот, то есть угол 2π2\pi2π радиан, а в качестве времени — время одного полного оборота, то есть период TTT. Поэтому

ω=2πT,\omega=\frac{2\pi}{T}{,}ω=T2π​,ω=2πT=2π⋅1T=2πν.\omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi\cdot\frac{1}{T}=2\pi\nu{.}ω=T2π​=2π⋅T1​=2πν.

Эти формулы мы тоже рекомендуем запомнить. Это будет полезно.

Единица измерения угловой скорости [ω]=радс[\omega]=\frac{\text{рад}}{\text{с}}[ω]=срад​.

Оказывается, что линейная скорость VVV и угловая скорость ω\omegaω связаны друг с другом. Рассмотрим пример из жизни. На детских площадках наверняка все видели карусель. Представьте, что карусель вращается. Вы сами сидите на сиденьи этой карусели, а ваш друг не стал сидеть на сиденьи, а «пролез» поближе к центру карусели.

Поскольку каждый из вас поворачивается вокруг карусели на один и тот же угол за то же время, то угловые скорости у вас равны: ωвы=ωдруг\omega_{вы}=\omega_{друг}ωвы​=ωдруг​. Но вот линейные скорости у вас не равны: Vвы≠VдругV_{вы}\neq V_{друг}Vвы​≠Vдруг​. Это нам подсказывает наш жизненный опыт. Тот, кто сидит поближе, двигается медленнее.

Чем ближе к центру находится тело — тем меньше его линейная скорость VVV. И наоборот: чем дальше от центра (чем больше расстояние от центра), тем больше скорость VVV.

Линейная скорость VVV также будет больше и в том случае, если будет больше быстрота поворота вокруг оси, то есть угловая скорость ω\omegaω.

По-простому: чем дальше сидишь от оси (чем больше RRR) и чем быстрее вращается тело (чем больше ω\omegaω), тем больше линейная скорость VVV.

Линейную скорость VVV можно пойти по формуле:

V=ω⋅R.V=\omega\cdot R{.}V=ω⋅R.

Эту формулу можно вывести строго. Возьмем уже известные нам формулы:

V=2πR⋅νV=2\pi R\cdot \nuV=2πR⋅ν и ω=2π⋅ν\omega=2\pi\cdot \nuω=2π⋅ν.

Из них видно, что в первой формуле вместо 2πν2\pi\nu2πν можно подставить ω\omegaω:

V=2πR⋅ν=2πνR=(2πν)⋅R=ω⋅RV=2\pi R\cdot \nu=2\pi\nu R=(2\pi\nu)\cdot R=\omega\cdot RV=2πR⋅ν=2πνR=(2πν)⋅R=ω⋅R.

Мы получили формулу V=ω⋅RV=\omega\cdot RV=ω⋅R.

Как найти угол поворота формула

Законы, определяющие движение тела по окружности, аналогичны законам поступательного движения. Уравнения, описывающие вращательное движение, можно вывести из уравнений поступательного движения, произведя в последних следующие замены:

Если:
перемещение s — угловое перемещение (угол поворота) φ,
скорость u — угловая скорость ω,
ускорение a — угловое ускорение α

Вращательное движение, характеристики

Вращательное движениеУгловая скоростьУгловое ускорение
РавномерноеПостояннаяРавно нулю
Равномерно ускоренноеИзменяется равномерноПостоянно
Неравномерно ускоренноеИзменяется неравномерноПеременное

Угол поворота

Во всех уравнения вращательного движения углы задаются в радианах, сокращенно (рад).

Если
φ — угловое перемещение в радианах,
s — длина дуги, заключенной
между сторонами угла поворота,

r — радиус,
то по определению радиана

Соотношение между единицами угла

Обратите внимание: Наименование единицы радиан (рад) обычно указывается в формулах только в тех случаях, когда ее можно спутать с градусом. Поскольку радиан равен отношению длин двух отрезков
( 1 рад = 1 м/ 1 м = 1 ), он не имеет размерности.

Соотношение между угловой скоростью, угловым перемещением и временем для всех видов движения по окружности наглядно видны на графике угловой скорости (зависимость ω от t). Поэтому графику можно определить, какой угловой скоростью обладает тело в тот или иной момент времени и на какой угол с момента начала движения оно повернулось (он характеризуется площадью под кривой).

Кроме того, для представления соотношений между названными величинами используют график углового перемещения (зависимость φ от t) и график углового ускорения (зависимость α от t).

Число оборотов

Характеристикой всех видов вращения является число оборотов n или равноценная ей характеристика — частота f. Обе величины характеризуют число оборотов в единицу времени.

Единица СИ частоты (или числа оборотов)

В технике число оборотов обычно измеряется в оборотах в минуту (об/мин) = 1/мин.

Таким образом, величина, обратная числу оборотов, есть продолжительность одного оборота.

Если
n — число оборотов,
f — частота,
T — продолжительность одного оборота, период,
φ — угловое перемещение,
N — полное число оборотов,
t — время, продолжительность вращения,
ω — угловая частота,
то

Период

Угловое перемещение

Угловое перемещение равно произведению полного числа оборотов на 2π:

Угловая скорость

Из формулы для одного оборота следует:

Обратите внимание:
• формулы (1)—(6) справедливы для всех видов вращательного движения — как для равномерного движения, так и для ускоренного. В них могут входить постоянные величины, средние значения, начальные и конечные значения, а также любые мгновенные значения.

• вопреки своему названию число оборотов n — это не число, а физическая величина.
• следует различать число оборотов n и полное число оборотов N.

Движение по окружности – простейший случай криволинейного движения тела. Когда тело движется вокруг некоторой точки, наряду с вектором перемещения удобно ввести угловое перемещение ∆ φ (угол поворота относительно центра окружности), измеряемое в радианах.

Зная угловое перемещение, можно вычислить длину дуги окружности (путь), которую прошло тело.

Если угол поворота мал, то ∆ l ≈ ∆ s .

Угловая скорость

При криволинейном движении вводится понятие угловой скорости ω , то есть скорости изменения угла поворота.

Определение. Угловая скорость

Угловая скорость в данной точке траектории – предел отношения углового перемещения ∆ φ к промежутку времени ∆ t , за которое оно произошло. ∆ t → 0 .

ω = ∆ φ ∆ t , ∆ t → 0 .

Единица измерения угловой скорости – радиан в секунду ( р а д с ).

Существует связь между угловой и линейной скоростями тела при движении по окружности. Формула для нахождения угловой скорости:

Нормальное ускорение

При равномерном движении по окружности, скорости v и ω остаются неизменными. Меняется только направление вектора линейной скорости.

При этом равномерное движение по окружности на тело действует центростремительное, или нормальное ускорение, направленное по радиусу окружности к ее центру.

a n = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0

Модуль центростремительного ускорения можно вычислить по формуле:

a n = v 2 R = ω 2 R

Докажем эти соотношения.

Рассмотрим, как изменяется вектор v → за малый промежуток времени ∆ t . ∆ v → = v B → – v A → .

В точках А и В вектор скорости направлен по касательной к окружности, при этом модули скоростей в обеих точках одинаковы.

По определению ускорения:

a → = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0

Взглянем на рисунок:

Треугольники OAB и BCD подобны. Из этого следует, что O A A B = B C C D .

Если значение угла ∆ φ мало, расстояние A B = ∆ s ≈ v · ∆ t . Принимая во внимание, что O A = R и C D = ∆ v для рассмотренных выше подобных треугольников получим:

R v ∆ t = v ∆ v или ∆ v ∆ t = v 2 R

При ∆ φ → 0 , направление вектора ∆ v → = v B → – v A → приближается к направлению на центр окружности. Принимая, что ∆ t → 0 , получаем:

a → = a n → = ∆ v → ∆ t ; ∆ t → 0 ; a n → = v 2 R .

При равномерном движении по окружности модуль ускорения остается постоянным, а направление вектора изменяется со временем, сохраняя ориентацию на центр окружности. Именно поэтому это ускорение называется центростремительным: вектор в любой момент времени направлен к центру окружности.

Запись центростремительного ускорения в векторной форме выглядит следующим образом:

Здесь R → – радиус вектор точки на окружности с началом в ее центре.

Тангенциальное ускорение

В общем случае ускорение при движении по окружности состоит из двух компонентов – нормальное, и тангенциальное.

Рассмотрим случай, когда тело движется по окружности неравномерно. Введем понятие тангенциального (касательного) ускорения. Его направление совпадает с направлением линейной скорости тела и в каждой точке окружности направлено по касательной к ней.

a τ = ∆ v τ ∆ t ; ∆ t → 0

Здесь ∆ v τ = v 2 – v 1 – изменение модуля скорости за промежуток ∆ t

Направление полного ускорения определяется векторной суммой нормального и тангенциального ускорений.

Движение по окружности в плоскости можно описывать при помощи двух координат: x и y. В каждый момент времени скорость тела можно разложить на составляющие v x и v y .

Если движение равномерное, величины v x и v y а также соответствующие координаты будут изменяться во времени по гармоническому закону с периодом T = 2 π R v = 2 π ω

Законы, определяющие движение тела по окружности, аналогичны законам поступательного движения. Уравнения, описывающие вращательное движение, можно вывести из уравнений поступательного движения, произведя в последних следующие замены:

Если:
перемещение s — угловое перемещение (угол поворота) ?,
скорость u — угловая скорость ?,
ускорение a — угловое ускорение ?

Угол поворота

Во всех уравнения вращательного движения углы задаются в радианах, сокращенно (рад).

Если
? — угловое перемещение в радианах,
s — длина дуги, заключенной
между сторонами угла поворота,
r — радиус,
то по определению радиана

Соотношение между единицами угла

Обратите внимание: Наименование единицы радиан (рад) обычно указывается в формулах только в тех случаях, когда ее можно спутать с градусом. Поскольку радиан равен отношению длин двух отрезков
(1рад = 1м/ 1м = 1), он не имеет размерности.

Соотношение между угловой скоростью, угловым перемещением и временем для всех видов движения по окружности наглядно видны на графике угловой скорости (зависимость

? от t). Поэтому графику можно определить, какой угловой скоростью обладает тело в тот или иной момент времени и на какой угол с момента начала движения оно повернулось (он характеризуется площадью под кривой).

Кроме того, для представления соотношений между названными величинами используют график углового перемещения (зависимость ? от t) и график углового ускорения (зависимость ? от t).

Число оборотов

Характеристикой всех видов вращения является число оборотов n или равноценная ей характеристика — частота f. Обе величины характеризуют число оборотов в единицу времени.

Единица СИ частоты (или числа оборотов)

В технике число оборотов обычно измеряется в оборотах в минуту (об/мин) = 1/мин.

Таким образом, величина, обратная числу оборотов, есть продолжительность одного оборота.

Если
n — число оборотов,
f — частота,
T — продолжительность одного оборота, период,
? — угловое перемещение,
N — полное число оборотов,
t — время, продолжительность вращения,
? — угловая частота,
то

Период

Угловое перемещение

Угловое перемещение равно произведению полного числа оборотов на 2?:

Угловая скорость

Из формулы для одного оборота следует:

Обратите внимание:
формулы справедливы для всех видов вращательного движения — как для равномерного движения, так и для ускоренного. В них могут входить постоянные величины, средние значения, начальные и конечные значения, а также любые мгновенные значения.
вопреки своему названию число оборотов n — это не число, а физическая величина.
следует различать число оборотов n и полное число оборотов N.

Равномерное движение тела по окружности

Говорят, что тело движется по окружности равномерно, если его угловая скорость постоянна, т.е. тело за равные промежутки времени поворачивается на один и тот же угол.

? — угловая скорость (постоянная в течение времени t)
? — угловое перемещение
t — время поворота на угол ?

Поскольку на графике угловой скорости площадь прямоугольника соответствует угловому перемещению, имеем:

Постоянная угловая скорость — есть отношение углового перемещения (угла поворота) ко времени, затраченному на это перемещение.

Единица СИ угловой скорости:

Равномерно ускоренное движение по окружности без начальной угловой скорости

Тело начинает двигаться из состояния покоя, и его угловая скорость равномерно возрастает.

? — мгновенная угловая скорость тела в момент времени t
? — угловое ускорение, постоянное в течение времени t
? — угловое перемещение тела за время

t, (? в радианах)
t — время

Поскольку на графике скорости угловое перемещение равно площади треугольника, имеем:

Поскольку вращение тела начинается из состояния покоя, изменение угловой скорости ?? равно достигнутой в результате ускорения угловой скорости ?. Поэтому формула принимает следующий вид:

Равномерно ускоренное движение по окружности с начальной угловой скоростью

Начальная скорость тела, равная ?0 в момент t = 0, изменяется равномерно на величину ??. (Угловое ускорение при этом постоянно.)

?0 — начальная угловая скорость
? — конечная угловая скорость
? — угловое перемещение тела за время t в радианах
t — время
? — угловое ускорение постоянное в течение времени t

Поскольку на графике скорости угловое перемещение соответствует площади трапеции под кривой скорости, имеем:

Так как площадь трапеции равна сумме площадей образующих ее треугольника и прямоугольника, получаем:

Далее из графика скорости следует

Совместив формулы мы получим

После преобразования получаем выражение, не содержащее времени:

Неравномерно ускоренное движение тела по окружности

Движение тела по окружности будет неравномерно ускоренным, если изменение угловой скорости происходит не пропорционально времени, т. е. если угловое ускорение не остается постоянным. В этом случае и угловая скорость и угловое ускорение являются функциями времени.

Связь величин ?, ? и ? представлена на соответствующих графиках.

Мгновенная угловая скорость

Полный угол поворота тела в любой момент времени можно определить по графику углового перемещения. Чем круче график, тем больше в данный момент времени мгновенная угловая скорость.

? — угол между касательной и осью времени t
? — мгновенная угловая скорость
? — угловое перемещение к моменту времени t

Мгновенной угловой скоростью называется первая производная функции ? = ?(t) по времени.

Обратите внимание:
1) чтобы вычислить мгновенную угловую скорость ?, необходимо знать зависимость углового перемещения от времени.
2) формула углового перемещения при равномерном движении тела по окружности и формула углового перемещения при равномерно ускоренном движении по окружности без начальной угловой скорости являются частными случаями формулы (2) соответственно для ? = 0 и ? = const.

Из формул следует:

Проинтегрировав обе части выражения, получим

Угловое перемещение есть интеграл по времени от угловой скорости.

Обратите внимание:
Для вычисления углового перемещения ? необходимо знать зависимость угловой скорости от времени.

Средняя угловая скорость

Средняя угловая скорость для некоторого интервала времени

Среднее число оборотов определяется аналогично формуле:

Вращательное движение тела, формулы

При вращательном движении твердого тела все элементы его массы, не лежащие на оси вращения, совершают движение по окружности. Аналогично и материальная точка, находящаяся на расстоянии r > 0 от оси вращения, также совершает движение по окружности, как и любое тело, достаточно удаленное от оси вращения.

Линейное перемещение Sл, линейная скорость uл и линейное ускорение aл при таком движении связаны между собой обычными для поступательного движения соотношениями.

Кроме того, эти величины связаны определенным образом с угловым перемещением ?, угловой скоростью ? и угловым ускорением ?.

перемещение тела по траектории,метр
скорость тела при движении по траектории,метр / секунда
ускорение данного тела при движении по траектории,метр / секунда2
rрадиус траектории,метр
dдиаметр траектории,метр
?угловое перемещение тела,радиан
?угловая скорость тела,радиан / секунда
?угловое ускорение тела,радиан / секунда2
fчастота,Герц

Примечание:Формулы справедливы для постоянных, мгновенных и средних величин, во всех случаях движения тела по окружности.

Векторные величины, характеризующие вращательное движение тела

Угловая скорость и угловое ускорение тела являются векторными величинами. Эти векторы направлены вдоль оси вращения (аксиальные векторы), а их длина определяет величину соответствующих характеристик вращательного движения. Направление векторов определяется по правилу буравчика, т. е. совпадает с направлением поступательного движения буравчика, рукоятка которого движется в том же направлении, что и тело.

Определение:Если тело участвует одновременно в нескольких вращательных движениях, то результирующая угловая скорость определяется по правилу векторного (геометрического) сложения:

Величина результирующей угловой скорости определяется по аналогии с формулой (Сложение движений):

или, если оси вращения перпендикулярны друг другу

Примечание: Результирующее угловое ускорение определяется аналогичным образом. Графически результирующую можно найти как диагональ параллелограмма скоростей или ускорений.

Расчет RCF-RPM on-line

Расчет RCF-RPM on-line

Он-лайн калькулятор может быть использован для:

  • расчета параметра RPM (обороты в минуту) при работе по протоколам к нашим наборам или методикам, приведенным в статьях;
  • указания универсальной величины центрифугирования RCF (g) в своих публикациях.

Отличие

RCF от RPM

В статьях рекомендуется указывать универсальную величину — относительное ускорение центрифуги (RCF, Relative Centrifugal Force), которая измеряется в g. Это дает возможность воспроизвести методику в любой лаборатории. Если установить одно и то же значение RCF на разных центрифугах, они будут осаждать образец с одинаковой эффективностью.

Некоторые модели центрифуг не позволяют задать ускорение RCF, на них возможно установить только частоту вращения (RPM, Rotation Per Minute), которая измеряется в оборотах в минуту. RPM характеризует условия центрифугирования только на выбранной модели центрифуги: если установить одно и то же значение RPM на центрифугах с разными роторами, они будут осаждать образец с разной эффективностью.

RCF, RPM и радиус ротора центрифуги связаны формулой:

, где:

RPM — частота вращения в оборотах в минуту,
RCF — относительное ускорение центрифуги в g,
r — радиус ротора в сантиметрах.

Из этой формулы следует два вывода:

  • Чем больше радиус ротора, тем меньше нужно оборотов в минуту, чтобы поддерживать то же относительное ускорение. Информацию о роторе указывают в руководстве по эксплуатации центрифуги.
  • Любое изменение частоты вращения сильно влияет на эффективность центрифугирования, поскольку RCF прямо пропорционально квадрату RPM.

Перевести

g в об/мин или наоборот

Радиус ротора (см):

Введите радиус ротора центрифуги в сантиметрах.

RCF (g):

При заполнении поля RCF (g) или RPM (об/мин),
второе значение рассчитается автоматически.

Урок 5. поступательное движение. вращательное движение твердого тела — Физика — 10 класс

Физика, 10 класс

Урок 05. Поступательное движение. Вращательное движение твёрдого тела

Перечень вопросов, рассматриваемых на уроке:

  1. Поступательное и вращательное движение абсолютно твердого тела.
  2. Характеристики вращательного движения абсолютно твердого тела.

Глоссарий по теме

1. Абсолютно твердое тело – это тело, расстояние между любыми двумя точками которого остается постоянным при его движении.

2. Поступательным называется такое движение абсолютно твердого тела, при котором любой отрезок, соединяющий любые две точки тела, остается параллельным самому себе. Одинаковыми остаются при поступательном движении перемещение, траектория, путь, скорость, ускорение.

3. Вращением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое движение, при котором все точки тела описывают окружности, центры которых находятся на одной прямой перпендикулярной плоскостям этих окружностей. Сама эта прямая есть ось вращения.

4. Угол поворота – угол, на который поворачивается радиус-вектор, соединяющий центр окружности с точкой вращающегося тела.

5. Угловая скорость — отношение угла поворота φ к промежутку времени, в течение которого совершен этот поворот при равномерном движении.

6. Линейная скорость – отношение длины дуги окружности пройденной точкой тела к промежутку времени, в течение которого этот поворот совершен.

7. Период — промежуток времени, за который тело делает один полный оборот.

8. Частота обращения тела – число оборотов за единицу времени

Основная и дополнительная литература по теме урока:

Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б., Сотский Н.Н.. Физика.10 класс. Учебник для общеобразовательных организаций М.: Просвещение, 2016. – С. 57-61

Рымкевич А.П. Сборник задач по физике. 10-11 класс.-М.:Дрофа,2009.-С.20-22

Открытые электронные ресурсы:

http://kvant.mccme.ru/1986/11/kinematika_vrashchatelnogo_dvi.htm

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Вы знаете, что в физике для упрощения исследования реальных ситуаций часто используются модели. Одной из механических моделей, используемых при описании движения и взаимодействия тел, является абсолютно твёрдое тело- тело, расстояние между любыми двумя точками которого остаётся постоянным при его движении.

2. Поступательным называется такое движение абсолютно твёрдого тела, при котором любой отрезок, соединяющий любые две точки тела, остаётся параллельным самому себе. Примером поступательного движения может служить свободное падение тел, движение лифта, поезда на прямолинейном участке дороги. При поступательном движении все точки тела описывают одинаковые траектории, совершают одинаковые перемещения, проходят одинаковые пути, в каждый момент времени имеют равные скорости и ускорения.

Для описания поступательного движения абсолютно твёрдого тела достаточно написать уравнение движения одной из его точек.

3. Вращательным движением абсолютно твёрдого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором все точки тела описывают окружности, центры которых находятся на одной прямой, называемой осью вращения. При этом плоскости, которым принадлежат эти окружности, перпендикулярны оси вращения.

Вращательное движение позволяет осуществить непрерывный процесс работы с использованием больших скоростей. Вращающиеся механизмы более компактны и более экономичны, так как потери энергии на преодоление сил трения качения меньше, чем на преодоление сил трения скольжения. Поэтому в современной технике вращательное движение рабочих частей машин всё более вытесняет возвратно-поступательное. Например, вместо ножовочной пилы в технике используют вращающуюся дисковую пилу, поршневые насосы в большинстве случаев вытесняются центробежными.

4. Угловой скоростью тела при равномерном вращении называется величина, равная отношению угла поворота тела ∆φ к промежутку времени ∆t, за которое этот поворот произошёл.

Будем обозначать угловую скорость греческой буквой ω (омега). Тогда по определению запишем формулу угловой скорости;

При равномерном вращательном движении угловая скорость у всех точек вращающегося тела одинаковая. Поэтому угловая скорость, так же как и угол поворота, является характеристикой движения всего вращающегося тела, а не только отдельных его частей.

Примером вращательного движения, близкого к равномерному, может служить вращение Земли вокруг своей оси.

Угловая скорость в СИ выражается в радианах в секунду (рад/с).

Один радиан – это центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности.

Угловая скорость положительна, если угол между радиусом вектором, определяющим положение одной из точек твердого тела, и осью ОХ увеличивается, и отрицательным, когда он уменьшается

5.Число полных оборотов за единицу времени называют частотой обращения.

Частоту обозначают греческой буквой «ню». Единица измерения частоты является секунда в минус первой степени

Время, за которое тело совершает один полный оборот, называют периодом обращения и обозначают буквой Т.

7. Связь между линейной и угловой скоростями:

8. Связь между ускорением и угловой скоростью:

Итак, мы рассмотрели два простейших движения абсолютно твердого тела – поступательное и вращательное. В жизни мы чаще встречаем сложное движение абсолютно твердого тела, однако, в этом случае любое сложное движение можно представить как сумму двух независимых движений: поступательного и вращательного.

Примеры и разбор типового тренировочного задания

  1. Ротор мощной паровой турбины делает 100 оборотов за 2 с. Определите угловую скорость.

Дано:

N=100 об.

t = 2 c

Найти: ω.

Решение:

2. Два шкива, соединенные друг с другом ремнем, вращаются вокруг неподвижных осей (см.рис). Больший шкив радиусом 20см делает 50 оборотов за 10 секунд, а частота вращения меньшего шкива 2400 оборотов в минуту. Чему равен радиус меньшего шкива? Шкивы вращаются без проскальзывания.

Дано:

Найти —

Решение:

Из условия задачи ученик видит что, шкивы соединены ремнем, следовательно, линейные скорости их равны:

но частота вращения разная.

Сокращает на 2π обе части.

Отсюда имеем:

и так, как в условии известно , то можем записать:

Отсюда находим радиус второго шкива:

Вторая неизвестная величина

Запишем формулу периода обращения для большего шкива:

так как по условию задачи нам известно число оборотов за 10 секунд.

Подставим в формулу (1) и получим конечную формулу:

Угловая скорость

Положение материальной точки на окружности определяется радиусом-вектором $ \overrightarrow {r}$, проведенным из центра окружности. Модуль радиуса-вектора равен радиусу окружности R (рис. 1).

Рисунок 1. Радиус-вектор, перемещение, путь и угол поворота при движении точки по окружности

При этом движение тела по окружности можно однозначно описать с помощью таких кинематических характеристик, как угол поворота, угловая скорость и угловое ускорение.

За время ∆t тело, двигаясь из точки А в точку В, совершает перемещение $\triangle r$, равное хорде АВ, и проходит путь, равный длине дуги l. Радиус-вектор поворачивается на угол ∆$ \varphi $.

Помощь со студенческой работой на тему


Угловая скорость

Угол поворота можно характеризовать вектором углового перемещения $d\overrightarrow{{\mathbf \varphi }}$, модуль которого равен углу поворота ∆$ \varphi $, а направление совпадает с осью вращения, причем так, что направление поворота отвечает правилу правого винта по отношению к направлению вектора $d\overrightarrow{{\mathbf \varphi }}$.

Вектор $d\overrightarrow{{\mathbf \varphi }}$ называется аксиальным вектором (или псевдо-вектором), тогда как вектор перемещения $\triangle \overrightarrow{r}$ является полярным вектором (к ним также относятся векторы скорости и ускорения). Они отличаются тем, что полярный вектор кроме длины и направления имеет точку приложения (полюс), а аксиальный вектор имеет только длину и направление (ось — по латыни axis), но не имеет точки приложения. Векторы такого типа часто применяются в физике. К ним, например, относятся все вектора, являющиеся векторным произведением двух полярных векторов.

Скалярная физическая величина, численно равная отношению угла поворота радиуса-вектора к промежутку времени, за который этот поворот произошел, называется средней угловой скоростью: $\left\langle \omega \right\rangle =\frac{\triangle \varphi }{\triangle t}$. В СИ единицей угловой скорости является радиан в секунду $( \frac {рад} {c})$.

Определение

Угловой скоростью вращения называется вектор, численно равный первой производной угла поворота тела по времени и направленный вдоль оси вращения по правилу правого винта:

\[\overrightarrow{{\mathbf \omega }}\left(t\right)={\mathop{lim}_{\triangle t\to 0} \frac{\triangle {\mathbf \varphi }}{\triangle t}=\frac{d\overrightarrow{{\mathbf \varphi }}}{dt}\ }\]

При равномерном движении по окружности угловая скорость и модуль линейной скорости — величины постоянные: ${\mathbf \omega }=const$; $v=const$.

Учитывая, что $\triangle \varphi =\frac{l}{R}$, получаем формулу связи между линейной и угловой скоростью: $\omega =\frac{l}{R\triangle t}=\frac{v}{R}$.2R$

При неравномерном движении по окружности вектор угловой скорости является векторной функцией от времени $\overrightarrow{\omega }\left(t\right)={\overrightarrow{\omega }}_0+\overrightarrow{\varepsilon }\left(t\right)t$, где ${\overrightarrow{{\mathbf \omega }}}_0$ — начальная угловая скорость, $\overrightarrow{{\mathbf \varepsilon }}\left(t\right)$ — угловое ускорение. В случае равнопеременного движения, $\left|\overrightarrow{{\mathbf \varepsilon }}\left(t\right)\right|=\varepsilon =const$, и $\left|\overrightarrow{{\mathbf \omega }}\left(t\right)\right|=\omega \left(t\right)={\omega }_0+\varepsilon t$.

Задача 1

Опишите движение вращающегося твердого тела в случаях, когда угловая скорость изменяется согласно графикам 1 и 2, изображенным на рис.2.

Рисунок 2.

Решение

Вращение бывает в двух направлениях — по часовой стрелке и против. С направлением вращения связан псевдовектор угла поворота и угловой скорости. Пусть положительным будем считать направление вращения по часовой стрелке.

Для движения 1 угловая скорость возрастает, но угловое ускорение $\varepsilon $=d$\omega $/dt (производная) уменьшается, оставаясь положительным. Следовательно, это движение является ускоренным по часовой стрелке с уменьшающимся по величине ускорением.

Для движения 2 угловая скорость уменьшается, затем достигает в точке пересечения с осью абсцисс нуля, а далее становится отрицательной и возрастает по модулю. Угловое ускорение отрицательно и уменьшается по модулю. Таким образом, сначала точка двигалась по часовой стрелке замедленно с уменьшающимся по модулю угловым ускорением, остановилась и стала вращаться ускоренно с уменьшающимся по модулю ускорением.

Задача 2

Найти радиус R вращающегося колеса, если известно, что линейная скорость $v_1$ точки, лежащей на ободе, в 2,5 раза больше линейной скорости $v_2$ точки, лежащей на расстоянии $r = 5 см$ ближе к оси колеса.

Решение

Рисунок 3.

Дано:

$$R_2 = R_1 — 5$$ $$v_1 = 2,5v_2$$ $$R_1 = ?$$

Точки движутся по концентрическим окружностям, вектора их угловых скоростей равны, $\left|{\overrightarrow{\omega }}_1\right|=\left|{\overrightarrow{\omega }}_2\right|=\omega $ , следовательно, можно записать в скалярной форме:

\[v_1=\omega R_1; v_2=\omega R_2;\frac{v_1}{v_2}=\frac{\omega R_1}{\omega R_2}=\frac{R_1}{R_1-5}=2,5;;\ R_1=\frac{5\times 2,5}{1.5}=8,3\ см\ \ \]

Ответ: радиус колеса R = 8,3 см

Угловая скорость на время

Тестирование онлайн

Так как линейная скорость равномерно меняет направление, то движение по окружности нельзя назвать равномерным, оно является равноускоренным.

Угловая скорость

Выберем на окружности точку 1. Построим радиус. За единицу времени точка переместится в пункт 2. При этом радиус описывает угол. Угловая скорость численно равна углу поворота радиуса за единицу времени.

Период и частота

Период вращения T – это время, за которое тело совершает один оборот.

Частота вращение – это количество оборотов за одну секунду.

Частота и период взаимосвязаны соотношением

Связь с угловой скоростью

Линейная скорость

Каждая точка на окружности движется с некоторой скоростью. Эту скорость называют линейной. Направление вектора линейной скорости всегда совпадает с касательной к окружности. Например, искры из-под точильного станка двигаются, повторяя направление мгновенной скорости.

Рассмотрим точку на окружности, которая совершает один оборот, время, которое затрачено – это есть период T. Путь, который преодолевает точка – это есть длина окружности.

Центростремительное ускорение

При движении по окружности вектор ускорения всегда перпендикулярен вектору скорости, направлен в центр окружности.

Используя предыдущие формулы, можно вывести следующие соотношения

Точки, лежащие на одной прямой исходящей из центра окружности (например, это могут быть точки, которые лежат на спице колеса), будут иметь одинаковые угловые скорости, период и частоту. То есть они будут вращаться одинаково, но с разными линейными скоростями. Чем дальше точка от центра, тем быстрей она будет двигаться.

Закон сложения скоростей справедлив и для вращательного движения. Если движение тела или системы отсчета не является равномерным, то закон применяется для мгновенных скоростей. Например, скорость человека, идущего по краю вращающейся карусели, равна векторной сумме линейной скорости вращения края карусели и скорости движения человека.

Вращение Земли

Земля участвует в двух основных вращательных движениях: суточном (вокруг своей оси) и орбитальном (вокруг Солнца). Период вращения Земли вокруг Солнца составляет 1 год или 365 суток. Вокруг своей оси Земля вращается с запада на восток, период этого вращения составляет 1 сутки или 24 часа. Широтой называется угол между плоскостью экватора и направлением из центра Земли на точку ее поверхности.

Связь со вторым законом Ньютона

Согласно второму закону Ньютона причиной любого ускорения является сила. Если движущееся тело испытывает центростремительное ускорение, то природа сил, действием которых вызвано это ускорение, может быть различной. Например, если тело движется по окружности на привязанной к нему веревке, то действующей силой является сила упругости.

Если тело, лежащее на диске, вращается вместе с диском вокруг его оси, то такой силой является сила трения. Если сила прекратит свое действие, то далее тело будет двигаться по прямой

Как вывести формулу центростремительного ускорения

Рассмотрим перемещение точки на окружности из А в В. Линейная скорость равна vA и vB соответственно. Ускорение – изменение скорости за единицу времени. Найдем разницу векторов.

Разница векторов есть . Так как , получим

Движение по циклоиде*

В системе отсчета, связанной с колесом, точка равномерно вращается по окружности радиуса R со скоростью , которая изменяется только по направлению. Центростремительное ускорение точки направлено по радиусу к центру окружности.

Теперь перейдем в неподвижную систему, связанную с землей. Полное ускорение точки А останется прежним и по модулю, и по направлению, так как при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой ускорение не меняется. С точки зрения неподвижного наблюдателя траектория точки А — уже не окружность, а более сложная кривая (циклоида), вдоль которой точка движется неравномерно.

Мгновенная скорость определяется по формуле

Поворот тела на некоторый угол можно задать в виде отрезка, длина которого равна j, а направление совпадает с осью, вокруг которой производится поворот. Направление поворота и изображающего его отрезка связано правилом правого винта.

При вращательном движении твердого тела каждая точка движется по окружности, центр которой лежит на общей оси вращения (рис. 7). При этом радиус-вектор R, направленный от оси вращения к точке, поворачивается за время Dt на некоторый угол Dj. Для характеристики вращательного движения вводится угловая скорость и угловое ускорение.

Угловой скоростью называется векторная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени:

Угол в 1 радиан – это центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности; 360 о = 2p рад.

Направление угловой скорости задается правилом правого винта: вектор угловой скорости сонаправлен с , то есть с поступательным движением винта, головка которого вращается в направлении движения точки по окружности.

Линейная скорость точки связана с угловой скоростью:

.

В векторной форме .

Если в процессе вращения угловая скорость изменяется, то возникает угловое ускорение.

Угловое ускорение – векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени:

Вектор угловой скорости сонаправлен с вектором элементарного изменения угловой скорости , происшедшего за время dt.

При ускоренном движении вектор сонаправлен (рис. 8), при замедленном – противонаправлен (рис. 9).

Найдем связь между угловым и тангенциальным ускорениями:

.

Изменение направления скорости при криволинейном движении характеризуется нормальным ускорением :

.

Таким образом, связь между линейными и угловыми величинами выражается следующими формулами:

.

Типы вращательного движения

а) переменное – вращательное движение, при котором изменяются и :

б) равнопеременное – вращательное движение с постоянным угловым ускорением:

.

в) равномерное – вращательное движение с постоянной угловой скоростью:

.

Равномерное вращательное движение можно характеризовать периодом и частотой вращения .

Период – это время, за которое тело совершает один полный оборот.

, [T] = c.

Частота вращения – это число оборотов совершаемых за единицу времени.

, [n] = c -1 .

За один оборот: ,

, .

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Для студентов недели бывают четные, нечетные и зачетные. 9640 – | 7526 – или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Угловой скоростью называется величина, численно равная скорости точек, расположенных от оси на расстоянии единицы длины.

При вращении тела вокруг неподвижной оси АВ каждая точка тела М описывает окружность, перпендикулярную к оси, центр Р которой лежит на оси.

Скорость точки M направлена нормально к плоскости МАВ в сторону вращения. Равномерное вращение точки характеризуется постоянной угловой скоростью.

Угловой скоростью тела называют отношение угла поворота к интервалу времени, в течение которого совершен этот поворот. Если угловую скорость обозначить через w, то:

Угловая скорость выражается в радианах в секунду (рад/с).

При равномерном вращении, когда известна угловая скорость в начальный момент времени t = 0, можно определить угол поворота тела за время t и тем самым положение точек тела:

За один период (промежуток времени Т, в течение которого тело совершает один оборот по окружности) угол поворота φ равен рад: = wT, откуда:

Связь угловой скорости с периодом Т и частотой вращения ν выражается соотношением:

А связь между линейной и угловой скоростями определяется соотношением:

Глава 7. Движемся по орбитам – FIZI4KA

В этой главе. . .

  • Постигаем равномерное вращательное движение
  • Изучаем угловое ускорение
  • Испытываем влияние центростремительной силы
  • Учитываем перемещение, скорость и ускорение
  • Движемся по орбите под действием законов Ньютона и силы гравитационного притяжения
  • Поддерживаем вращение в вертикальной плоскости

Вращательное движение выполняют искусственные спутники вокруг планет, гоночные автомобили по трекам и даже пчелы вокруг ульев. В предыдущих разделах рассматривались такие характеристики прямолинейного движения, как перемещение, скорость и ускорение. В этой главе мы снова рассмотрим их, но теперь уже для вращательного движения.

Для перечисленных выше характеристик прямолинейного движения есть аналоги, характеризующие вращательное движение, а именно: угловое перемещение, угловая скорость и угловое ускорение. Как видно из их названия, роль перемещения во вращательном движении играет угол. Угловая скорость обозначает величину угла поворота за единицу времени, а угловое ускорение — изменение угловой скорости за единицу времени. Все, что нужно сделать, чтобы освоить премудрости вращательного движения, это взять уравнения прямолинейного движения и заменить в них одни характеристики другими: перемещение поменять на угол, скорость — на угловую скорость и ускорение — на угловое ускорение.

Держим курс: равномерное вращательное движение

Если объект движется с постоянной по величине скоростью по окружности, то такое движение называется равномерным вращательным движением. Примерами такого движения являются движение гоночного автомобиля по круглому треку и стрелки на циферблате часов. На рис. 7.1 показан мяч для игры в гольф, привязанный нитью к шесту и совершающий движение по окружности. Мяч совершает движение с одинаковой по величине скоростью, но с изменяющимся направлением. Потому такое движение мяча называется равномерным вращательным движением.

Время, которое требуется мячику (или какому-либо другому объекту), чтобы полностью обогнуть окружность, называется периодом и обозначается символом ​\( T \)​. Период и линейную скорость можно легко связать, если известно пройденное расстояние, т.е. длина окружности ​\( 2\pi r \)​, а точнее ее радиус ​\( r \)​. Итак, линейная скорость мячика ​\( v \)​ равна:

а период вращения ​\( T \)​ равен:

Допустим, что длина нити равна 1 м, а период вращения равен 0,5 с. Чему в таком случае будет равна линейная скорость мячика? Подставим численные значения в одно из предыдущих соотношений и получим:

Итак, мячик вращается с линейной скоростью 13 м/с!

Меняем направление: центростремительное ускорение

При вращательном движении по окружности линейная скорость мячика постоянно меняет направление, как показано на рис. 7.2. Ускорение, характеризующее такое изменение скорости, называется центростремительным (или центробежным). В любой точке вращательного движения с постоянной величиной и меняющимся направлением вектор линейной скорости перпендикулярен радиусу.

Это правило справедливо для всех объектов: вектор линейной скорости объекта, равномерно вращающегося по окружности, всегда перпендикулярен радиусу окружности.

Если в показанных на рис. 7.2 положениях нить, удерживающая мяч, оборвется, то куда полетит мяч? Если в этот момент вектор линейной скорости направлен влево, то мяч полетит влево, а если этот вектор направлен вправо, то мяч полетит вправо, и т.д. Этот, казалось бы, простой и интуитивно понятный момент часто вызывает трудности у тех, кто впервые постигает физику.

Всегда следует помнить, что вектор линейной скорости объекта, выполняющего равномерное вращательное движение, всегда направлен под прямым углом к радиусу вращения в текущей точке траектории. (В общем случае неравномерного криволинейного движения эта компонента вектора скорости, перпендикулярная радиусу вращения и касательная к траектории движения, называется тангенциальной компонентой, а перпендикулярная ей компонента — нормальной компонентой. — Примеч. ред.)

Управляем скоростью с помощью центростремительного ускорения

Особенностью равномерного вращательного движения является постоянство величины линейной скорости. Это значит, что вектор ускорения не имеет компоненты, параллельной вектору линейной скорости, поскольку в противном случае величина линейной скорости менялась бы. Однако при равномерном вращательном движении меняется только направление линейной скорости. Такое изменение линейной скорости поддерживается центростремительным ускорением, направленным к центру окружности вращения и перпендикулярно вектору линейной скорости.

В примерах на рис. 7.1 и 7.2 на мяч со стороны нити действует сила натяжения нити, которая поддерживает его движение по окружности. Именно эта сила сообщает мячу центростремительное ускорение ​\( a_ц \)​, вектор которого показан на рис. 7.1. (Попробуйте раскрутить мяч с помощью привязанной к нему нити, и вы сразу же почувствуете действие этой силы со стороны нити.)

Часто возникает вопрос: если вектор ускорения мяча направлен к центру окружности, то почему мяч не движется к центру? Дело в том, что при равномерном вращательном движении это ускорение меняет только направление, а не величину линейной скорости.

Определяем величину центростремительного ускорения

Нам уже известно направление вектора центростремительного ускорения, а чему же равна его величина? Итак, величина центростремительного ускорения объекта, равномерно движущегося с линейной скоростью ​\( v \)​ по окружности с радиусом ​\( r \)​, равна:

Как видите, величина центростремительного ускорения обратно пропорциональна радиусу окружности ​\( r \)​ и прямо пропорциональна квадрату скорости ​\( v \)​. Поэтому не удивительно, что автомобиль на более крутых поворотах испытывает более сильное центростремительное ускорение.

Стремимся к центру: центростремительная сила

На крутых поворотах действие центростремительного ускорения обеспечивается трением шин по дороге. Какую силу нужно приложить, чтобы удержать движущийся со скоростью ​\( v \)​ автомобиль на повороте с радиусом кривизны ​\( r \)​?

Допустим, что в примере на рис. 7.1 легкий мяч заменили на тяжелое пушечное ядро. Теперь, чтобы поддерживать движение ядра по окружности с тем же радиусом и периодом вращения, потребуется гораздо большая сила.

Дело в том, что сила ​\( F=ma \)​ равна произведению ускорения ​\( a \)​ и массы ​\( m \)​, а значит, увеличение массы объекта (замена мяча на ядро) неизбежно приводит к необходимости увеличения силы для обеспечения прежнего ускорения.

Центростремительная сила ​\( F_ц \)​, необходимая для равномерного вращения по окружности с радиусом ​\( r \)​ объекта массой ​\( m \)​ с постоянной скоростью ​\( v \)​, равна:

С помощью этого уравнения можно легко определить силу, необходимую для равномерного вращения объекта по окружности с известной массой, скоростью и радиусом окружности.

Обратите внимание, что если объект движется по той же окружности, но с разной скоростью, то он будет испытывать разную центростремительную силу.

В примерах на рис. 7.1 и 7.2 мяч движется со скоростью ​\( v \)​ = 13 м/с и удерживается нитью длиной 1,0 м, т.е. в данном случае радиус окружности ​\( r \)​ = 1 м. Какая сила потребуется, чтобы поддерживать такое же движение для пушечного ядра с массой 10 кг? Подставляя численные значения в уже известную нам формулу, получим:

Приличная сила! Остается только надеяться, что ваши руки достаточно сильны, чтобы удержать ядро.

Является ли центростремительная сила реальной силой?

Центростремительная сила не является каким-то особым типом взаимодействия. Она имеет отношение только к объекту, движущемуся по криволинейной траектории, и необходима для удержания объекта на данной траектории. Поэтому ее часто называют центростремительно-необходимой силой. Довольно часто новички считают центростремительную силу каким-то новым фундаментальным типом взаимодействия. И это понятно, поскольку известные нам силы (например, сила гравитации и сила трения) имеют вполне определенный источник, который не зависит от траектории движения. Но это совсем не так для центростремительной силы. Центростремительная сила возникает из необходимости удержания объекта на криволинейной траектории. Сумма всех остальных сил, действующих на объект, который движется по криволинейной траектории, должна быть равна центростремительной силе. (Если объект движется по прямолинейной траектории, а затем ему нужно изменить направление движения, то для этого придется приложить силу, равную центростремительной силе. — Примеч. ред.)

Вписываемся в повороты: учитываем радиус и наклон

Если вам приходилось ехать на автомобиле или велосипеде или даже бежать трусцой, то наверняка вы заметили, что в крутой поворот проще вписаться, если поверхность дороги немного наклонена внутрь поворота. Из опыта известно, что чем больше наклон, тем проще вписаться в поворот. Это объясняется тем, что в таком случае на вас действует меньшая центростремительная сила. Центростремительная сила обеспечивается силой трения о поверхность дороги. Если поверхность дороги покрыта льдом, то сила трения становится меньше и потому часто не удается вписаться в поворот на обледеневшей дороге на большой скорости.

Представьте, что автомобилю с массой 1000 кг нужно вписаться в поворот с радиусом Юм, а коэффициент трения покоя (подробнее о нем см. главу6) равен 0,8. (Здесь используется коэффициент трения покоя, поскольку предполагается, что шины по поверхности дороги.) Какую максимальную скорость может развить этот автомобиль без риска не вписаться в поворот. Итак, сила трения покоя шин о поверхность дороги ​\( F_{трение\,покоя} \)​ должна обеспечивать центростремительную силу:

где ​\( m \)​ — это масса автомобиля, ​\( v \)​ — его скорость, ​\( r \)​ — радиус, ​\( \mu_п \)​ — коэффициент трения покоя, a ​\( g \)​ = 9,8 м/с2 — ускорение свободного падения под действием силы гравитации. Отсюда легко находим скорость:

(Обратите внимание, что максимальная безопасная скорость прохождения поворота не зависит от массы автомобиля. — Примеч. ред.)

Это выражение выглядит очень просто, а после подстановки в него численных значений получим:

Итак, максимальная скорость безопасного проезда при таком повороте равна 8,9 м/с. Пересчитаем в единицы “км/ч”, в которых скорость указана на спидометре, и сравним. Получается, что 8,9 м/с = 32 км/ч, а на спидометре всего 29 км/ч. Прекрасно, но далеко не все водители умеют так быстро рассчитывать безопасную скорость прохождения поворотов. Поэтому конструкторы дорог часто строят повороты с наклоном внутрь, чтобы обеспечить центростремительное ускорение не только за счет силы трения, но и за счет горизонтальной компоненты силы гравитации.

На рис. 7.3 показан пример поворота дороги с некоторым наклоном под углом ​\( \theta \)​ к горизонтали. Предположим, что конструкторы решили полностью обеспечить центростремительное ускорение только за счет горизонтальной компоненты силы гравитации (т.е. без учета силы трения) ​\( F_н\sin\theta \)​, где ​\( F_н \)​ — это нормальная сила (подробнее о ней см. в главе 6). Тогда:

В вертикальном направлении на автомобиль действует сила гравитации ​\( mg \)​, которая уравновешивается вертикальной компонентой нормальной силы \( F_н\cos\theta \):

или, иначе выражая это соотношение, получим:

Подставляя это выражение в прежнее соотношение между центростремительной силой и нормальной силой, получим:

Поскольку ​\( \sin\theta/\!\cos\theta=tg\,\theta \)​ в то

Отсюда легко получаем, что угол наклона поворота дороги ​\( \theta \)​ равен:

Именно это уравнение используют инженеры при проектировании дорог. Обратите внимание, что масса автомобиля не влияет на величину угла, при котором центростремительная сила полностью обеспечивается только горизонтальной компонентой нормальной силы. Попробуем теперь определить величину угла наклона поворота с радиусом 200 м для автомобиля, движущегося со скоростью 100 км/ч или 27,8 м/с:

Для обеспечения безопасного движения автомобиля со скоростью 100 км/ч в повороте с радиусом 200 м без учета силы трения, инженеры должны создать наклон около 22°. Отлично, из вас может получиться неплохой инженер-конструктор автомагистралей!

Вращательное движение: перемещение, скорость и ускорение

Если вы привыкли решать задачи о прямолинейном движении типа “некто движется из пункта А в пункт Б”, то задачи о вращательном движении можно формулировать аналогично, но для этого нужно приобрести некоторый опыт. На рис. 7.1 мяч движется криволинейно по окружности, а не прямолинейно по линии. Это движение можно было бы описать как комбинацию прямолинейных движений с координатами X и Y. Однако гораздо удобнее характеризовать его иначе, а именно как вращательное движение с одной координатой ​\( \theta \)​. В данном примере вращательного движения перемещение можно характеризовать углом \( \theta \) так же, как в прямолинейном движении перемещение характеризуется расстоянием \( s \). (Более подробно перемещение при прямолинейном движении описывается в главе 3.)

Стандартной единицей измерения перемещения при вращательном движении является радиан (рад), а не градус. Полная окружность охватывает угол величиной ​\( 2\pi \)​ радиан, что равно 360°. Соответственно, половина окружности охватывает угол величиной ​\( \pi \)​ радиан, а четверть окружности — ​\( \pi/2 \)​.

Как преобразуются величины углов из градусов в радианы и обратно? Достаточно определить, сколько радиан приходится на один градус, т.е. вычислить отношение ​\( 2\pi \)​/360°. Например, величина угла 45° в радианах равна:

Аналогично, для преобразования величины угла из радианов в градусы следует определить, сколько градусов приходится на один радиан, т.е. вычислить отношение 360°/​\( 2\pi \)​. Например, величина угла ​\( \pi/2 \)​ в градусах равна:

Формулировка вращательного движения в терминах прямолинейного движения очень удобна. Напомним основные формулы прямолинейного движения, которые подробно описываются в главе 3:

Теперь для вывода аналогичных основных формул вращательного движения достаточно в формулах прямолинейного движения вместо расстояния ​\( s \)​, которое характеризует прямолинейное перемещение, подставить угол ​\( \theta \)​, который характеризует угловое перемещение. А как определяется угловая скорость? Очень просто. Угловая скорость ​\( \omega \)​ определяется аналогично, как изменение угла за единицу времени, и равна количеству радианов, пройденных за секунду:

Обратите внимание, как похоже это выражение для угловой скорости на выражение для линейной скорости:

Давайте теперь вычислим угловую скорость мяча на рис. 7.1. Он совершает полный круг, охватывающий ​\( 2\pi \)​ радиан, за 1/2 с, а значит, его угловая скорость равна:

(Величина угла, выраженная в радианах, равна отношению длины дуги окружности к длине ее радиуса.{-1} \), то чему равно угловое ускорение? Подставим эти численные значения в предыдущую формулу и получим:

Итак, для описания вращательного движения у нас есть следующие аналоги: для линейного перемещения ​\( s \)​ — угловое перемещение ​\( \theta \)​, для линейной скорости ​\( v \)​ — угловая скорость ​\( \omega \)​ и для линейного ускорения ​\( a \)​ — угловое ускорение ​\( \alpha \)​.

На основании этой аналогии можно легко вывести основные формулы вращательного движения (подобно основным формулам прямолинейного движения, которые подробно описываются в главе 3):

Более подробно эти выражения рассматриваются далее в главе 10 при описании момента импульса и момента силы.

Бросаем яблоко: закон всемирного тяготения Ньютона

Чтобы проводить опыты с вращательным движением, необязательно привязывать мячики к нитям и вращать их вокруг себя. Например, Луне совсем не нужны никакие нити, чтобы вращаться вокруг Земли. А дело в том, что необходимую центростремительную силу, вместо силы натяжения нити, обеспечивает сила гравитационного притяжения.

Один из важнейших законов физики, а именно закон всемирного тяготения, вывел еще сэр Исаак Ньютон. Согласно этому закону любые два тела притягиваются друг к другу с некоторой силой. Величина этой силы притяжения между телами с массами ​\( m_1 \)​ и ​\( m_2 \)​, которые находятся на расстоянии ​\( r \)​ друг от друга, равна:

где ​\( G \)​ — это константа, равная 6,67·10-11 Н·м2/кг2.

Благодаря этому уравнению можно легко вычислить силу гравитационного притяжения между двумя телами. Например, какова сила гравитационного притяжения между Землей и Солнцем? Солнце имеет массу около 1,99·1030 кг, Земля — 5,97·1024 кг, а расстояние между ними равно 1,50·1011 м. Подставляя эти числа в закон всемирного тяготения Ньютона, получим:

Историческая яблоня

Как известно, яблоко упало на голову Исаака Ньютона, и он открыл закон всемирного тяготения. Неужели это так и было? Правда ли, что какое-то падающее яблоко натолкнуло его на верную мысль или, по крайней мере, привлекло внимание Ньютона к данной теме? Согласно последним историческим исследованиям, весьма маловероятно, что именно падение яблока на голову великого ученого вдохновило его.2 \)​ для силы гравитационного притяжения справедливо независимо от расстояния между двумя массивными телами. В обыденных ситуациях часто приходится иметь дело с небольшими (по сравнению с размерами Земли) объектами на поверхности Земли, т.е. на фиксированном расстоянии между центром Земли и центром небольшого объекта. Силу гравитационного притяжения (или силу тяжести), действующую на небольшой объект, часто называют весом. Вес ​\( F_g \)​ равен произведению массы ​\( m \)​ на ускорение свободного падения ​\( g \)​, т.е. ​\( F_g = mg \)​. Массу измеряют в граммах, килограммах, центнерах, каратах и т.д., а вес — в динах, ньютонах и даже фунт-силах.

Попробуем вычислить ускорение свободного падения на поверхности Земли, пользуясь законом всемирного тяготения. Формула веса тела с массой ​\( m_1 \)​ нам известна:

Она создается силой гравитационного притяжения между этим телом и Землей и равна этой силе:

Здесь ​\( r \)​ — это радиус Земли, равный 6,38·106 м, а ​\( m_2 \)​ — ее масса, равная 5,97·1024 кг.

Сокращая массу тела ​\( m_1 \)​ в обеих половинах предыдущего равенства, получим:

Подставляя численные значения, получим:

Так, благодаря закону всемирного тяготения Ньютона мы смогли вычислить значение ускорения свободного падения, уже известное нам из прежних глав. Как видите, для этого нам потребовались значения константы всемирного тяготения ​\( G \)​, радиуса Земли ​\( r \)​ и ее массы ​\( m_2 \)​. (Конечно, значение ускорения свободного падения ​\( g \)​ можно определить экспериментально, измеряя время падения предмета с известной высоты. Но, согласитесь, гораздо интересней использовать последнюю формулу, для применения которой потребуется экспериментально измерить… радиус и массу Земли. Шутка!)

Исследуем орбитальное движение с помощью закона всемирного тяготения

Небесные тела в космическом пространстве из-за силы гравитационного притяжения вращаются друг относительно друга: спутники — вокруг своих планет (как Луна — вокруг Земли), планеты — вокруг звезд (как Земля — вокруг Солнца в Солнечной системе), а звезды — вокруг центра Галактики (как Солнце — вокруг центра нашей галактики, т.е. Млечного пути), а Галактика — вокруг местной группы галактик (как Млечный путь — вокруг нашей Местной группы галактик). Во всех этих случаях тела удерживаются центростремительной силой, которую обеспечивает сила гравитации. Как показано ниже, такая центростремительная сила несколько отличается от той, которая известна нам по прежнему примеру с вращающимся на нитке мячом для игры в гольф. В следующих разделах рассматриваются широко известные законы вращения тел под действием силы гравитационного притяжения, так называемые законы Кеплера, т.е. соотношения между параметрами вращательного движения: периодами вращения, радиусами и площадями орбит вращения.

Вычисляем скорость спутника

Чему равна скорость спутника, вращающегося вокруг планеты по орбите с постоянным радиусом? Ее можно легко определить, приравнивая центростремительную силу:

и силу гравитации:

В итоге получаем:

После простых алгебраических операций получим следующее выражение для скорости вращения:

Это уравнение определяет скорость вращения спутника по постоянной орбите независимо от его происхождения, будь-то искусственный спутник Земли, как рукотворный космический корабль на постоянной орбите, или естественный спутник Земли, как Луна.

Подсчитаем скорость вращения искусственного спутника Земли, вращающегося вокруг Земли. Для этого нужно в предыдущую формулу подставить массу Земли и расстояние от космического орбитального спутника до центра Земли.

Рукотворные спутники Земли обычно вращаются на высоте около 640 км, а радиус Земли, как известно, равен 6,38·106 м. Можно считать, что искусственные спутники вращаются на круговой орбите с радиусом около 7,02·106 м. Подставляя это и другие известные нам численные значения в предыдущую формулу, получим:

В этом месте нужно сделать несколько важных замечаний.

Значение 7,02·106 м в знаменателе обозначает расстояние от спутника до центра Земли, а не расстояние от спутника до поверхности Земли, равное 640 км. Помните, что в законе всемирного тяготения под расстоянием между телами подразумевается расстояние между их центрами масс, а не между их поверхностями.

В данном примере предполагается, что космический корабль находится достаточно высоко и не испытывает влияние атмосферы, например силу трения от соприкосновения с ней. На самом деле это не так. Даже на такой большой высоте как 640 км, космический корабль теряет скорость, вследствие трения в разреженных слоях атмосферы. В результате его скорость уменьшается, а сам корабль постепенно снижается. (Более подробно об этом рассказывается ниже.)

Движение искусственного спутника вокруг Земли можно рассматривать как “вечное” падение. От фактического падения его “удерживает” только то, что вектор скорости всегда направлен перпендикулярно радиусу окружности вращения. Действительно, именно из-за такого “вечного” падения космонавты испытывают чувство невесомости. Дело в том, что космонавты и их космический корабль “вечно” падают по касательной к орбите вращения вокруг Земли, но при этом нисколько не приближаются к Земле.

В практических целях часто важнее знать период обращения искусственного спутника, а не его скорость. Это нужно, например, в ситуации, когда требуется определить момент выхода на связь с космическим кораблем.

Вычисляем период обращения спутника

Периодом обращения спутника называется время, которое необходимо ему, чтобы совершить полный цикл вращательного движения по орбите. Если нам известна орбитальная скорость движения ​\( v \)​ спутника по окружности с радиусом ​\( r \)​ (см. предыдущий раздел), то можно легко и просто вычислить период обращения ​\( T \)​. За период обращения спутник преодолевает расстояние, равное длине окружности ​\( 2\pi r \)​. Это значит, что орбитальная скорость ​\( v \)​ спутника равна \( 2\pi r/T \). Приравнивая это соотношение и полученное ранее выражение для орбитальной скорости

где ​\( m \)​ — масса Земли, получим:

Отсюда легко получить следующее выражение для периода обращения спутника:

А на какой высоте должен находиться спутник, чтобы вращаться с периодом обращения Земли вокруг своей оси, равным 24 часам или 86400 с? Это вовсе не праздный вопрос. Такие спутники действительно существуют и используются для обеспечения непрерывной связи в данном регионе. Действительно, ведь, обращаясь вокруг Земли с тем же периодом, что и Земля, спутник на такой геостационарной орбите постоянно находится над одной и той же точкой поверхности Земли. Несколько таких спутников образуют систему глобального позиционирования. Итак, с помощью предыдущей формулы вычислим радиус окружности вращения спутника на стационарной орбите:

Подставляя численные значения, получим:

Отнимая от этой величины 4,23·107 м, значение радиуса Земли, равное 6,38·106 м, получим приблизительно 3,59·107 м, т.е. около 35900 км. Именно на таком расстоянии от Земли вращаются спутники глобальной системы позиционирования.

На практике спутники на геостационарной орбите все же теряют скорость из- за взаимодействия с магнитным полем Земли (подробнее о магнитном поле рассказывается в следующих главах). Поэтому спутники оборудованы небольшими двигателями для корректировки их положения на геостационарной орбите.

Вращаемся вдоль вертикальной плоскости

Наверняка вам приходилось наблюдать, как отважные мотоциклисты, велосипедисты или скейтбордисты вращаются внутри круглого трека, расположенного в вертикальной плоскости. Почему сила тяжести не опрокидывает их в самой верхней точке, где они находятся вверх ногами? Как быстро им нужно двигаться, чтобы сила гравитации не превышала центростремительной силы?

Рассмотрим эту ситуацию подробнее с помощью схемы на рис. 7.4. Для простоты предположим, что вместо отважных спортсменов маленький мячик совершает движение по окружности, расположенной в вертикальной плоскости. Итак, предыдущий вопрос формулируется следующим образом: “Какой минимальной скоростью должен обладать мячик, чтобы совершить полный цикл движения по вертикально расположенной окружности?”. Какому основному условию должно отвечать движение мячика, чтобы он совершил полный цикл движения по такой окружности и не упал в самой верхней точке?

Для прохождения самой верхней точки без падения мячик должен обладать минимальной скоростью, достаточной для создания такой центростремительной силы, которая была бы не меньше силы гравитации.

При таких условиях нормальная сила со стороны трека будет равна нулю, а единственной силой, которая будет удерживать объект на окружности, является сила гравитации. Поскольку центростремительная сила равна:

а сила гравитации равна:

то, приравнивая их, получим:

Отсюда получим выражение для минимально необходимой скорости для безопасного движения по окружности, расположенной в вертикальной плоскости:

Обратите внимание, что на величину минимально необходимой скорости для безопасного движения объекта по окружности, расположенной в вертикальной плоскости, не влияет масса объекта, будь-то мячик, мотоцикл или гоночный автомобиль.

Любой объект, движущийся с меньшей скоростью, в самой верхней точке трека неизбежно отклонится от траектории движения по окружности и упадет. Давайте вычислим величину минимально необходимой скорости для безопасного движения по окружности с радиусом 20 м. Подставляя численные значения в предыдущую формулу, получим:

Итак, для безопасного движения по окружности с радиусом 20 м объект (мячик, мотоцикл или гоночный автомобиль) должен иметь скорость не менее 14 м/с, т.е. около 50 км/ч.

Учтите, что для безопасного движения по окружности такую минимальную скорость объект должен иметь в самой верхней точке! Для того чтобы развить такую скорость в верхней точке, объекту в нижней точке нужно иметь гораздо большую скорость. Действительно, ведь чтобы добраться до верхней точки объекту придется какое-то время преодолевать силу гравитации с неизбежной потерей скорости.

Возникает вопрос: какую минимальную скорость в нижней точке должен иметь объект для безопасного движения по такой окружности? Подробный ответ на этот вопрос будет дан в части III этой книги, в которой рассматриваются такие понятия, как “кинетическая энергия”, “потенциальная энергия” и “преобразование энергии из одной формы в другую”.

Глава 7. Движемся по орбитам

1 (20%) 1 vote

Формула линейной скорости (вращающийся объект)

Линейная скорость точки на вращающемся объекте зависит от ее расстояния от центра вращения. Угловая скорость — это угол, под которым объект движется за определенный промежуток времени. Угловая скорость измеряется в радианах в секунду (рад / с). В полном круге 2π радиана. На расстоянии r от центра вращения точка на объекте имеет линейную скорость, равную угловой скорости, умноженной на расстояние r. Единицы измерения линейной скорости — метры в секунду, м / с.

линейная скорость = угловая скорость x радиус вращения

v = ωr

v = линейная скорость (м / с)

ω = угловая скорость (радиан / с)

r = радиус вращения (м)

Формула линейной скорости (вращающийся объект) Вопросы:

1) Электродрель включена и вращается со скоростью 10,0 оборотов в секунду (об / с). Диаметр сверла 4,00 мм. Какова линейная скорость точки на поверхности сверла в метрах в секунду?

Ответ: Первый шаг — найти угловую скорость сверла.Число оборотов в секунду необходимо перевести в радианы в секунду. В полном круге 2π радиана.

ω = 10,0 об / с

Расстояние между центром вращения и точкой на поверхности сверла равно радиусу. Диаметр сверла указан в миллиметрах. Радиус в метрах:

∴r = 0,002 м

Используя формулу v = ωr, линейная скорость точки на поверхности бурового долота составляет

v = ωr

∴v = (62.8 радиан / с) (0,002 м)

Линейная скорость точки на поверхности сверла составляет приблизительно 0,126 м / с. Радианы — это единица измерения «заполнитель», поэтому они не включаются при записи решенного значения для линейной скорости.

2) Еще вопрос.

Датчик, подключенный к автомобильному колесу, измеряет линейную скорость. Датчик находится на 0,080 м от центра вращения. В этом положении датчик показывает, что линейная скорость колеса равна 8.00 м / с. Если радиус колеса 0,220 м, какова линейная скорость на внешней кромке колеса?

Ответ: Линейная скорость различается на разных расстояниях от центра вращения, но угловая скорость одинакова везде на колесе. Чтобы решить эту проблему, сначала найдите угловую скорость, используя линейную скорость в положении датчика, 0,080 м. Формулу v = ωr можно переписать, чтобы найти угловую скорость ω:

Это также угловая скорость на внешней кромке колеса, где радиус r = 0.220 м. Формулу v = ωr можно снова использовать для определения линейной скорости на этом радиусе:

v = ωr

v = (100 рад / с) (0,220 м)

∴v = 22,0 м / с

Линейная скорость автомобильного колеса по внешнему краю 22,0 м / с.

Угловая скорость

Привет, Бен.

Линейная скорость — это расстояние, пройденное по прямой за единицу времени. Угловая скорость — это угол, пройденный за единицу времени.

Самый простой пример — это равномерное круговое движение.Например, камешек, застрявший в покрышке велосипеда, движется равномерно по кругу.

Допустим, у вашей велосипедной шины внешний диаметр 70 см, и вы двигаетесь со скоростью 40 км / ч. Помните, что (игнорируя занос) шина всегда сохраняет сцепление с дорогой, поэтому расстояние, которое вы проедете, и скорость, которую вы путешествуете, совпадают со скоростью шины. Если преобразовать эту скорость в метры в секунду, мы получим:

.

Это скорость велосипеда, значит, это линейная скорость велосипеда.Поскольку байк и шина находятся в постоянном контакте, это также линейная скорость гальки в шине.

Угловая скорость связана с углами, как подсказывает название. Выражается в том, на какой угол поворачивается за определенный промежуток времени.

Углы можно измерить разными способами: вращение, градусы и радианы. Например, жесткий диск на 10000 об / мин относится к его угловой скорости: 10000 оборотов в минуту. Итак, насколько быстро вращается наш камешек?

Этот камешек, как мы знаем, перемещает эквивалент 11.11 м / с линейно, но движется по окружности шины. Если внешний диаметр шины d составляет 70 см, то длина окружности составляет πd , что составляет около 2,199 м.

Если мы разделим линейную скорость на длину окружности шины, мы узнаем, сколько оборотов в секунду совершает эта шина (и, следовательно, камешек) — под углом:

, где R = обороты.

Это угловая скорость: сколько она поворачивает в единицу времени.Если вы хотите преобразовать это в градусы, просто умножьте на количество градусов на один оборот (360), если вы хотите вместо этого использовать радианы, умножьте на 2π радиан на один оборот.

А теперь попробуем другое направление. Допустим, вы знаете угловую скорость и пытаетесь вычислить соответствующую линейную скорость. Подсказка: это довольно быстро!

Возьмем для примера вращение Земли. Вы знаете, какова его угловая скорость: сколько он поворачивается в единицу времени.Очевидно, это одна ротация в день!

Давайте спросим себя, какова линейная скорость шлюза на Панамском канале. Это достаточно близко к экватору, чтобы мы могли использовать диаметр Земли на экваторе (12756 км) в качестве ориентира. Какова окружность Земли в этой точке?

Если вы вычислите длину окружности, вы можете умножить ее на угловую скорость, и вы получите линейную скорость.

Вот кое-что действительно интересное : Поскольку угловая скорость зависит от длины окружности (и, как следствие, радиуса), у вас может быть что-то, что движется с одинаковой угловой скоростью, но с разными линейными скоростями.

Давайте подумаем о (передней) звездочке, установленной на вашем велосипеде. Если вы перейдете с маленькой звездочки на большую и будете двигать ногами с одинаковым числом оборотов в минуту (с той же угловой скоростью), то вы будете двигаться быстрее. Это потому, что линейная скорость цепи — это то, что движет скоростью велосипеда. Таким образом, когда вы меняли шестерни, вы переходили от звездочки с малым радиусом (и, следовательно, с малой окружностью) к звездочке с большим радиусом (окружностью).Когда вы умножаете эти два значения на одинаковую угловую скорость, вы получаете большую линейную скорость с большой звездочкой!

Значит, большая звездочка с двойным радиусом маленькой звездочки должна заставить вас преодолеть вдвое большее расстояние за такое же количество оборотов ног.

Суммируем:

  • Разделите линейную скорость на длину окружности, чтобы получить угловую скорость (в оборотах за единицу времени, которые затем можно преобразовать в любые другие единицы, которые вас интересуют).
  • Умножьте угловую скорость (в оборотах в единицу времени — преобразуйте сначала, если нужно) на длину окружности, чтобы получить линейную скорость.

Надеюсь, это проясняет вам это!
Стивен Ла Рок>

Решение задач угловой скорости — Precalculus

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Тангенциальная скорость: определение, формула и уравнение

Тангенциальная скорость — это составляющая движения вдоль края окружности, измеренная в любой произвольный момент времени.Тангенциальная скорость описывает движение объекта по краю этого круга, направление которого в любой заданной точке круга всегда вдоль касательной к этой точке.

Тангенциальная скорость измеряется в любой точке, касательной к вращающемуся колесу. Таким образом, угловая скорость ω связана с тангенциальной скоростью Vt формулой: Vt = ω r. Здесь r — радиус колеса. Тангенциальная скорость — это составляющая движения по краю круга, измеренная в любой произвольный момент времени.Как следует из названия, тангенциальная скорость описывает движение объекта по краю этого круга, направление которого в любой заданной точке круга всегда вдоль касательной к этой точке.

Спрыгивать с движущегося автобуса опасно, поэтому осознанное решение совершить прыжок вызывает чувство восторга. Прыжок с края крутящейся карусели — это ее 9-летняя версия, если только у вас нет брата или сестры, который добровольно дает вам пинок в стиле «Это спарта» и отправляет в небытие.

Помимо того, что я обычно отклоняюсь от того, что важно, и без необходимости делюсь тем, что я считаю травмами, меняющими мою жизнь, я также обладал чем-то, известным как тангенциальная скорость . Ага! Вот о чем эта статья!

Что такое касательная?

Касательная — это линия, которая касается функции только в одной точке. Термин функция здесь используется для определения любой нелинейной кривой. Он представляет собой уравнение — взаимосвязь между координатами «x» и «y» на двухмерном графике.

Например, рассмотрим кривую, с которой мы больше всего знакомы — старый добрый круг. Круг определяется уравнением. Это означает, что для постоянного радиуса «r» конкретные значения «x» и «y» очерчивают великолепную дугу, которая, как конец игры Snake , встречает свой собственный конец.

Визуализация обведения круга с центром в исходной точке.

Однако для простоты я специально рассмотрел уравнение, описывающее ортодоксальную окружность, центр которой лежит в начале координат — опорной точке или координатах (0,0), а радиус r — это расстояние. от начала до края этого круга.

Как следует из названия, тангенциальная скорость описывает движение объекта по краю этой окружности, направление которого в любой заданной точке окружности всегда вдоль касательной к этой точке. Однако концепция не ограничивается только равномерным круговым движением; это также применимо ко всем с нелинейным перемещением . Если объект движется из точки A в точку B по нелинейной кривой, то красные стрелки представляют тангенциальную скорость в различных точках этой траектории.

А пока остановимся на круге.

Формула для тангенциальной скорости

Сначала мы вычисляем угловое смещение «q», которое представляет собой отношение длины дуги «s», которую объект описывает на этой окружности, к ее радиусу «r». Это угловая часть под тенью дуги, между двумя линиями, исходящими из центра и соединенными с ее концами. Измеряется в радианах.

Скорость изменения углового смещения объекта называется его угловой скоростью.Он обозначается буквой «w», а его стандартная единица измерения — радианы в секунду (рад / с). Она отличается от линейной скорости, поскольку имеет дело только с объектами, движущимися по кругу. По сути, он измеряет скорость, с которой изменяется угловое смещение.

Вычисление линейной или тангенциальной скорости при равномерном круговом движении.

Линейная составляющая угловой скорости известна как линейная скорость, которая представляет собой скорость изменения линейного смещения объекта на . Линейное смещение — это указанная выше дуга, то есть длина дуги.Скорость изменения произведения радиуса «r» и углового смещения «q» представляет собой линейную скорость объекта. Радиус исключается из операции, так как он постоянный. Мы понимаем, что скорость — это произведение угловой скорости объекта и радиуса круга, который он отслеживает.

Линейная скорость объекта , движущегося по окружности, измеренная в произвольный момент времени, и есть его тангенциальная скорость!

Другой способ определить линейную скорость — это период времени.Если период времени — это время, необходимое объекту для того, чтобы один раз обойти круг, то скорость, с которой он это делает, равна «s / t» (расстояние / время).

Связь между линейной или тангенциальной скоростью «v» и периодом времени «T».

Величина, обратная «T», известна как частота и обозначается буквой «f». Это количество циклов, выполняемых за секунду. Произведение 2pf известно как угловая частота и обозначается буквой «w», что помогает нам прийти к ранее полученному результату.

Перекрестное произведение

Крайне важно знать, что тангенциальная скорость — это вектор, то есть он имеет размер и направление.Векторы обозначены стрелкой над их стандартным символом. Хотя их направление постоянно меняется, их общая ценность остается неизменной. Каждый вектор представляет собой крест или векторное произведение двух векторов, которое является произведением их величин и синуса угла между ними. Результирующий вектор имеет направление, перпендикулярное обоим задействованным векторам.

Почему значение тангенциальной скорости безразлично к ее непрерывно меняющемуся направлению и тангенциальным скоростям с одинаковой величиной, но разными направлениями на произвольных краях окружности.

Два вектора, произведение которых нам требуется, — это радиус «r» и угловая скорость «w». Правило правой руки гласит, что если вы удерживаете ось правой рукой и вращаете пальцы в направлении движения вращающегося тела, то ваш большой палец будет указывать в направлении угловой скорости , явно подразумевает, что и перпендикулярны друг другу. И поскольку синус 90 равен единице, результирующий перпендикулярный вектор этих величин в любой точке на окружности всегда будет оставаться неизменным.

Интересно, что объекты внутри или на круге имеют одинаковую угловую скорость, но разные тангенциальные скорости. Это связано с его зависимостью от радиуса, как видно из его формулы. Следовательно, люди на краю карусели будут улетать с большей скоростью, чем те, кто сидит в ней глубже.

Почему объекты приобретают большую линейную скорость по мере удаления от центра круга.

Важность тангенциальной скорости

Тангенциальная скорость может наблюдаться во многих случаях, включая любое нелинейное движение, такое как резкий скачок от качания или отклонение спутника или самой Земли от его круговой орбиты.Круговое движение спутника или нашей Земли происходит в оккультной зоне , где центростремительная сила, тянущая его внутрь, компенсируется линейной скоростью, толкающей его прямо вперед.

Земля перемещается в космос из-за своей линейной или тангенциальной скорости.

Статьи по теме

Статьи по теме

Однако, когда Земля или Солнце внезапно исчезают, мы прерываем наш цикл и мгновенно выбрасываемся в космос из-за нашей линейной скорости.Движение проводит прямую линию через точку в пространстве и времени, которая отмечает момент, когда сила тяжести исчезла — касательная.

Калькулятор угловой скорости — вычисление угловой скорости объекта

Легко вычислить угловую скорость объекта при круговом движении. Вход поддерживает метрические и британские единицы измерения, радианы и градусы. Калькулятор угловой скорости также можно использовать для вычисления линейной скорости и радиуса. Может также преобразовывать угловую скорость в линейную и наоборот.

Быстрая навигация:

  1. Использование калькулятора угловой скорости
  2. Уравнения угловой скорости
  3. Примеры расчета угловой скорости

Использование калькулятора угловой скорости

Угловая скорость объекта или частицы — это скорость, с которой они вращаются вокруг выбранной центральной точки, или, другими словами: какое угловое расстояние проходит объект вокруг чего-либо за период времени, и измеряется в углах в единицу времени.Стандартное измерение — в радианах в секунду, хотя на практике часто используются градусы в секунду, обороты в минуту (об / мин) и другие единицы, и наш калькулятор поддерживает большинство из них в качестве единиц вывода.

Этот калькулятор угловой скорости полезен для оценки угловой скорости тела, движущегося по круговой траектории. Например, его можно использовать для расчета угловой скорости колеса обозрения, карусели, CD-ROM или DVD и практически любого объекта, который вращается или движется по круговой траектории.Он даже работает достаточно хорошо для вычисления углового момента на поверхности Земли и угловой скорости на ее орбите вокруг Солнца (см. Пример № 3 ниже), хотя это не точные круги. Если частота вращения известна, она может служить вычислителем от числа оборотов к угловой скорости.

Этот онлайн-инструмент можно использовать для расчета угловой скорости на основе известного расстояния поворота и времени (пройденное угловое расстояние и время его преодоления), а также на основе линейной скорости и радиуса круговой траектории, по которой находится объект или частица.Инструмент также можно использовать для нахождения линейной скорости или радиуса с учетом угловой скорости и другого из двух, таким образом, функционируя как линейная скорость в угловую скорость, так и угловая скорость в линейную скорость. преобразователь (калькулятор линейной скорости ).

Выходные данные при вычислении линейной скорости в метрических и британских единицах измерения: м / с, фут / с, км / с, км / ч, мили / с и миль / ч. Когда на выходе получается радиус пути, указываемый в метрах, футах, километрах, милях и даже световых годах и парсеках для действительно больших расстояний.

Уравнения угловой скорости

Вектор угловой скорости всегда проходит перпендикулярно плоскости, в которой вращается объект, что делает уравнения для его поиска довольно простыми. Формула для угловой скорости ( ω , греческая строчная буква омега) в радианах, выраженная через частоту вращения тела ( f ), представляет собой первое уравнение ниже:

, тогда как второе уравнение представляет угловую скорость в радианах.Третья формула предназначена для угловой скорости, когда мы знаем линейную скорость объекта и радиус круговой траектории. Путем простого преобразования третьего уравнения получаем формулу линейной скорости:

Эти формулы верны для твердых тел и работают для нежестких только приблизительно.

Примеры расчета угловой скорости

Пример 1: Детская карусель вращается со скоростью 10 оборотов в минуту.Какова его угловая скорость в градусах в секунду? Сначала преобразуйте количество оборотов в минуту в градусы в минуту. Поскольку один оборот равен 360 °, 10 оборотов будут 3600 ° в минуту. В минуте 60 секунд, поэтому мы просто делим 3600 на 60, чтобы получить 60 ° / с. Этот расчет также можно выполнить, используя первое и второе уравнения угловой скорости, приведенные выше: f = 60/10 = 6 секунд на один оборот, поэтому ω град = 360/6 = 60 ° / сек и ω рад = 2 · π / 60 ° / с = 6,283184 / 6 = 1,0471973 радиана в секунду.

Пример 2: Колесо обозрения с радиусом 20 метров вращается с линейной скоростью 0,5 м / с. Какова угловая скорость колеса обозрения в радианах в секунду? Мы просто используем формулу ω рад = r / v = 20 / 0,5 = 0,0250 радиан в секунду. Использование вышеуказанного инструмента в режиме калькулятора линейной скорости подтвердит математические расчеты.

Пример 3: Найдите расстояние от Земли до Солнца , если вы знаете, что орбитальная скорость Земли составляет 29 800 м / с и, конечно, что она делает один оборот вокруг Солнца за 1 год.Во-первых, нам нужно преобразовать количество оборотов в год в радианы в секунду, умножив 1 год на 2 · π = 6,283184, а затем нам нужно разделить на (86 400 сек * 365,2421 дня), чтобы получить 0,000000199106434243010 радиан в секунду. Тогда решение будет простым, используя формулу r = v / ω = 29800 м / с / 0,000000199106434243010 = 149668694099,701 метр или около 149,667 км (~ 93000 миль), что является точным расчетным расстоянием между Землей и Солнцем (проверьте расчет) .

Конечно, при использовании нашего калькулятора вам не нужно будет выполнять эти преобразования единиц измерения, так как они обрабатываются для вас «на лету».

Список литературы

[1] Специальная публикация NIST 330 (2008) — «Международная система единиц (СИ)», под редакцией Барри Н. Тейлора и Амблера Томпсона, стр. 52

[2] «Международная система единиц» (СИ) (2006 г., 8-е изд.). Bureau International des Poids et mesures pp. 142–143. ISBN 92-822-2213-6

6.1 Угол вращения и угловая скорость — College Physics chapters 1-17

Резюме

  • Определите длину дуги, угол поворота, радиус кривизны и угловую скорость.
  • Вычислить угловую скорость вращения колеса автомобиля.

В главе 2 «Кинематика» мы изучили движение по прямой и ввели такие понятия, как смещение, скорость и ускорение. В главе 3 «Двумерная кинематика» рассматривается движение в двух измерениях. Движение снаряда — это частный случай двумерной кинематики, в котором объект проецируется в воздух, находясь под действием силы тяжести, и приземляется на некотором расстоянии. В этой главе мы рассматриваем ситуации, когда объект не приземляется, а движется по кривой.Мы начинаем изучение равномерного кругового движения с определения двух угловых величин, необходимых для описания вращательного движения.

Когда объекты вращаются вокруг некоторой оси — например, когда компакт-диск (компакт-диск) на рисунке 1 вращается вокруг своего центра, — каждая точка в объекте движется по дуге окружности. Рассмотрим линию от центра компакт-диска до его края. Каждая яма, используемая для записи звука вдоль этой линии, перемещается под одним и тем же углом за одно и то же время. Угол поворота — это величина поворота, аналогичная линейному расстоянию.Мы определяем угол поворота [latex] \ boldsymbol {\ Delta \ theta} [/ latex] как отношение длины дуги к радиусу кривизны:

[латекс] \ boldsymbol {\ Delta \ theta \: =} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {\ Delta {s}} {r}}. [/ Latex]

Рис. 1. Все точки на компакт-диске движутся по дугам окружности. Ямки вдоль линии от центра к краю все перемещаются на один и тот же угол Δ θ за время Δ t . Рис. 2. Радиус круга повернут на угол Δ θ .Длина дуги Δ s описана на окружности.

Длина дуги [latex] \ boldsymbol {\ Delta {s}} [/ latex] — это расстояние, пройденное по круговой траектории, как показано на рисунке 2. Обратите внимание, что [latex] \ boldsymbol {r} [/ latex] радиус кривизны круговой траектории.

Мы знаем, что для одного полного оборота длина дуги равна окружности круга радиусом [латекс] \ boldsymbol {r}. [/ Latex] Окружность круга равна [латексу] \ boldsymbol {2 \ pi {r }}.[/ latex] Таким образом за один полный оборот угол поворота составляет

[латекс] \ boldsymbol {\ Delta \ theta \: =} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {2 \ pi {r}} {r}} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {= \: 2 \ pi}. [/ Latex]

Этот результат является основой для определения единиц измерения, используемых для измерения углов поворота, [latex] \ boldsymbol {\ Delta \ theta} [/ latex] равным радианам (рад), таким образом, что

[латекс] \ boldsymbol {2 \ pi \ textbf {rad} = 1 \ textbf {Revolution}.} [/ Latex]

Сравнение некоторых полезных углов, выраженных как в градусах, так и в радианах, показано в таблице 1.0} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ pi} [/ латекс] Таблица 1. Сравнение угловых единиц. Рис. 3. Точки 1 и 2 вращаются на один и тот же угол θ ) , но точка 2 перемещается по большей длине дуги s ) , потому что она находится на большем расстоянии от центра вращения ( r ) .

Если [latex] \ boldsymbol {\ Delta \ theta = 2 \ pi \ textbf {rad}}, [/ latex], то компакт-диск сделал один полный оборот, и каждая точка на компакт-диске вернулась в исходное положение.0}. [/ Latex]

Насколько быстро вращается объект? Мы определяем угловую скорость [латекс] \ boldsymbol {\ omega} [/ latex] как скорость изменения угла. В символах это

.

[латекс] \ boldsymbol {\ omega \: =} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {\ Delta \ theta} {\ Delta {t}}}, [/ латекс]

, где угловое вращение [латекс] \ boldsymbol {\ Delta \ theta} [/ latex] происходит за время [latex] \ boldsymbol {\ Delta {t}}. [/ Latex] Чем больше угол поворота в данном количество времени, тем больше угловая скорость.Единицы измерения угловой скорости — радианы в секунду (рад / с).

Угловая скорость [латекс] \ boldsymbol {\ omega} [/ latex] аналогична линейной скорости [латекс] \ boldsymbol {v}. [/ Latex] Чтобы получить точное соотношение между угловой и линейной скоростью, мы снова рассмотрим яму на вращающемся компакт-диске. Эта яма перемещает длину дуги [латекс] \ boldsymbol {\ Delta {s}} [/ latex] за время [латекс] \ boldsymbol {\ Delta {t}}, [/ latex] и поэтому имеет линейную скорость

[латекс] \ boldsymbol {v \: =} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {\ Delta {s}} {\ Delta {t}}}.[/ латекс]

Из [latex] \ boldsymbol {\ Delta \ theta = \ frac {\ Delta {s}} {r}} [/ latex] мы видим, что [latex] \ boldsymbol {\ Delta {s} = r \ Delta \ theta }. [/ latex] Подставляя это в выражение для [latex] \ boldsymbol {v} [/ latex], получаем

[латекс] \ boldsymbol {v \: =} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {r \ Delta \ theta} {\ Delta {t}}} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {= \: r \ omega}. [/ latex]

Мы записываем эту взаимосвязь двумя разными способами и получаем два разных вывода:

[латекс] \ boldsymbol {v = r \ omega \ textbf {или} \ omega \: =} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {v} {r}}.[/ латекс]

Первое соотношение в [latex] \ boldsymbol {v = r \ omega \ textbf {or} \ omega \: = \ frac {v} {r}} [/ latex] утверждает, что линейная скорость [латекс] \ boldsymbol { v} [/ latex] пропорционален расстоянию от центра вращения, таким образом, он является наибольшим для точки на ободе (самый большой [латекс] \ boldsymbol {r} [/ latex]), как и следовало ожидать. Мы также можем назвать эту линейную скорость [латекс] \ boldsymbol {v} [/ latex] точки на ободе тангенциальной скоростью . Вторую взаимосвязь в [latex] \ boldsymbol {v = r \ omega \ textbf {или} \ omega \: = \ frac {v} {r}} [/ latex] можно проиллюстрировать на примере шины движущегося автомобиля.Обратите внимание, что скорость точки на ободе шины такая же, как скорость [latex] \ boldsymbol {v} [/ latex] автомобиля. См. Рис. 4. Таким образом, чем быстрее движется машина, тем быстрее вращается шина — большой [латекс] \ boldsymbol {v} [/ latex] означает большой [латекс] \ boldsymbol {\ omega}, [/ latex], потому что [латекс ] \ boldsymbol {v = r \ omega}. [/ latex] Аналогичным образом, шина большего радиуса, вращающаяся с той же угловой скоростью ([latex] \ boldsymbol {\ omega} [/ latex]), будет иметь большую линейную скорость ( [латекс] \ boldsymbol {v} [/ латекс]) для автомобиля.

Рис. 4. Автомобиль, движущийся со скоростью v вправо, имеет шину, вращающуюся с угловой скоростью ω . Скорость протектора шины относительно оси v , такая же, как если бы автомобиль был поднят домкратом. Таким образом, автомобиль движется вперед с линейной скоростью v = r ω , где r — радиус шины. Чем больше угловая скорость шины, тем больше скорость автомобиля.

Пример 1: Как быстро вращается автомобильная шина?

Рассчитайте угловую скорость автомобильной шины радиусом 0,300 м, когда автомобиль движется со скоростью [латекс] \ boldsymbol {15.0 \ textbf {м / с}} [/ latex] (примерно [латекс] \ boldsymbol {54 \ textbf {км / h}} [/ latex]). См. Рисунок 4.

Стратегия

Поскольку линейная скорость обода шины такая же, как и скорость автомобиля, мы имеем [latex] \ boldsymbol {v = 15.0 \ textbf {m / s}}. [/ Latex] Дан радиус шины быть [латексом] \ boldsymbol {r = 0.300 \ textbf {m}}. [/ Latex] Зная [латекс] \ boldsymbol {v} [/ latex] и [latex] \ boldsymbol {r}, [/ latex], мы можем использовать второе соотношение в [latex] \ жирный символ {v = r \ omega, \: \ omega = \ frac {v} {r}} [/ latex] для вычисления угловой скорости.

Решение

Для вычисления угловой скорости воспользуемся следующим соотношением:

[латекс] \ boldsymbol {\ omega \: =} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {v} {r}}. [/ Latex]

Подстановка известных,

[латекс] \ boldsymbol {\ omega \: =} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {15.0 \ textbf {m / s}} {0.300 \ textbf {m}}} [/ latex] [latex] \ boldsymbol {= \: 50.0 \ textbf {rad / s}}. [/ Latex]

Обсуждение

Когда мы отменяем единицы в приведенном выше вычислении, мы получаем 50,0 / с. Но угловая скорость должна иметь единицы рад / с. Поскольку радианы на самом деле безразмерны (радианы определяются как отношение расстояний), мы можем просто вставить их в ответ для угловой скорости. Также обратите внимание, что если бы землерой с гораздо большими шинами, скажем, радиусом 1,20 м, двигался с той же скоростью 15.0 м / с, его колеса будут вращаться медленнее. У них будет угловая скорость

[латекс] \ boldsymbol {\ omega = (15.0 \ textbf {m / s}) / (1.20 \ textbf {m}) = 12.5 \ textbf {rad / s}}. [/ Latex]

У [latex] \ boldsymbol {\ omega} [/ latex] и [latex] \ boldsymbol {v} [/ latex] есть направления (следовательно, они имеют угловую и линейную скорости соответственно). Угловая скорость имеет только два направления относительно оси вращения — либо по часовой стрелке, либо против часовой стрелки. Линейная скорость касается пути, как показано на рисунке 5.

ЭКСПЕРИМЕНТ НА ​​ДОМУ


Привяжите какой-либо предмет к концу веревки и поверните его по горизонтальному кругу над головой (взмахнув запястьем). Поддерживайте равномерную скорость при качании объекта и измеряйте угловую скорость движения. Какая примерная скорость объекта? Определите точку рядом с вашей рукой и выполните соответствующие измерения, чтобы рассчитать линейную скорость в этой точке. Определите другие круговые движения и измерьте их угловые скорости.

Рисунок 5. Когда объект движется по кругу, здесь муха на краю старомодной виниловой пластинки, его мгновенная скорость всегда касается круга. Направление угловой скорости в этом случае — по часовой стрелке.

ФЕТ ИССЛЕДОВАНИЯ: РЕВОЛЮЦИЯ БОЖЬЕЙ КОРОВКИ

Рисунок 6. Ladybug Revolution

Присоединяйтесь к божьей коровке и исследуйте вращательное движение. Вращайте карусель, чтобы изменить ее угол, или выберите постоянную угловую скорость или угловое ускорение. Изучите, как круговое движение связано с координатами x, y, скоростью и ускорением жука, используя векторы или графики.

  • Равномерное круговое движение — это движение по окружности с постоянной скоростью. Угол поворота [латекс] \ boldsymbol {\ Delta \ theta} [/ latex] определяется как отношение длины дуги к радиусу кривизны:

    [латекс] \ boldsymbol {\ Delta \ theta \: =} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {\ Delta {s}} {r}}, [/ латекс]

    где длина дуги [латекс] \ boldsymbol {\ Delta {s}} [/ latex] — это расстояние, пройденное по круговой траектории, а [латекс] \ boldsymbol {r} [/ latex] — это радиус кривизны круговой траектории.0}. [/ Latex]

  • Угловая скорость [латекс] \ boldsymbol {\ omega} [/ latex] — это скорость изменения угла,

    [латекс] \ boldsymbol {\ omega \: =} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {\ Delta \ theta} {\ Delta {t}}}, [/ латекс]

    , где вращение [латекс] \ boldsymbol {\ Delta \ theta} [/ latex] происходит за время [latex] \ boldsymbol {\ Delta {t}}. [/ Latex] Единицы угловой скорости — радианы в секунду (рад / с). Линейная скорость [латекс] \ boldsymbol {v} [/ latex] и угловая скорость [латекс] \ boldsymbol {\ omega} [/ latex] связаны соотношением

    [латекс] \ boldsymbol {v = r \ omega \ textbf {или} \ omega \: =} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {v} {r}}.[/ латекс]

Концептуальные вопросы

1: Существует аналогия между вращательными и линейными физическими величинами. Какие вращательные величины аналогичны расстоянию и скорости?

Задачи и упражнения

1: Грузовики с полуприцепом имеют одометр на одной ступице колеса прицепа. Ступица утяжеляется таким образом, что она не вращается, но в ней есть шестерни для подсчета количества оборотов колеса — затем она вычисляет пройденное расстояние.Если колесо имеет диаметр 1,15 м и совершает 200 000 оборотов, сколько километров должен показывать одометр?

2: Микроволновые печи вращаются со скоростью около 6 об / мин. Что это в оборотах в секунду? Какова угловая скорость в радианах в секунду?

3: Автомобиль с шинами радиусом 0,260 м проезжает 80 000 км, прежде чем износится. Сколько оборотов делают шины без учета поддержки и любого изменения радиуса из-за износа?

4: а) Каков период вращения Земли в секундах? б) Какова угловая скорость Земли? (c) Учитывая, что Земля имеет радиус [латекс] \ boldsymbol {6.6 \ textbf {m}} [/ latex] на его экваторе, какова линейная скорость у поверхности Земли?

5: Бейсбольный питчер выносит руку вперед во время подачи, поворачивая предплечье вокруг локтя. Если скорость мяча в руке питчера составляет 35,0 м / с, а мяч находится на расстоянии 0,300 м от локтевого сустава, какова угловая скорость предплечья?

6: В лакроссе мяч выбрасывается из сетки на конец клюшки путем вращения клюшки и предплечья вокруг локтя.Если угловая скорость мяча относительно локтевого сустава составляет 30,0 рад / с, а мяч находится на 1,30 м от локтевого сустава, какова скорость мяча?

7: Грузовик с шинами радиусом 0,420 м движется со скоростью 32,0 м / с. Какова угловая скорость вращающихся шин в радианах в секунду? Что это в об / мин?

8: Комплексные концепции

При ударе по футбольному мячу игрок, выполняющий удар, вращает ногой вокруг тазобедренного сустава.

(a) Если скорость носка ботинка кикера равна 35.0 м / с, а тазобедренный сустав находится на расстоянии 1,05 м от кончика обуви, какова угловая скорость кончика обуви?

(b) Башмак находится в контакте с первоначально неподвижным футбольным мячом весом 0,500 кг в течение 20,0 мс. Какая средняя сила прилагается к футбольному мячу, чтобы придать ему скорость 20,0 м / с?

(c) Найдите максимальную дальность полета футбольного мяча, пренебрегая сопротивлением воздуха.

9: Создайте свою проблему

Рассмотрим аттракцион в парке развлечений, в котором участники вращаются вокруг вертикальной оси в цилиндре с вертикальными стенками.Как только угловая скорость достигает своего полного значения, пол опускается, и трение между стенами и пассажирами препятствует их скольжению. Постройте задачу, в которой вы вычисляете необходимую угловую скорость, которая гарантирует, что всадники не соскользнут со стены. Включите свободную диаграмму тела одного всадника. Среди переменных, которые следует учитывать, — радиус цилиндра и коэффициенты трения между одеждой гонщика и стеной.

Глоссарий

длина дуги
[latex] \ boldsymbol {\ Delta {s}}, [/ latex] расстояние, пройденное объектом по круговой траектории.
приямок
крошечная выемка на спиральной дорожке, отформованной в верхней части слоя поликарбоната CD
.
угол поворота
отношение длины дуги к радиусу кривизны на круговой траектории:

[латекс] \ boldsymbol {\ Delta \ theta \: =} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {\ Delta {s}} {r}} [/ латекс]

радиус кривизны
радиус круговой траектории
радиан
единица измерения углов
угловая скорость
[latex] \ boldsymbol {\ omega}, [/ latex] скорость изменения угла, под которым объект движется по круговой траектории. 7 \ textbf {вращения}} [/ латекс]

5:

117 рад / с

7:

8:

(а) 33.3 рад / с

(б) 500 Н

(в) 40,8 м

Угловая скорость

— обзор

3.09.4.1.1 Вековая тенденция, приливная диссипация и ледниковая изостатическая корректировка

Приливная диссипация вызывает уменьшение угловой скорости Земли и, следовательно, углового момента вращения ( см. Глава 3.07). Поскольку угловой момент системы Земля – Луна сохраняется, орбитальный угловой момент Луны должен увеличиваться, чтобы уравновесить уменьшение углового момента вращения Земли.Увеличение орбитального углового момента Луны достигается за счет увеличения радиуса орбиты Луны и уменьшения орбитальной угловой скорости Луны. Но ранние наблюдения за положением Луны показали, что она явно ускоряется, а не замедляется на своей орбите. Это кажущееся ускорение Луны было результатом предположения, что Земля вращается с постоянной, а не уменьшающейся угловой скоростью при прогнозировании положения Луны. Если угловая скорость Земли на самом деле уменьшается, но предполагается, что она постоянна при прогнозировании положения Луны, то наблюдаемое положение Луны будет опережать ее прогнозируемое положение, то есть Луна будет казаться ускоряющейся в его орбита.То, что Луна явно ускоряется по своей орбите, было впервые отмечено Галлеем (1695). Но только в 1939 году Спенсер Джонс (1939) смог убедительно продемонстрировать, что угловая скорость Земли на самом деле уменьшается и что видимое ускорение Луны на ее орбите было артефактом предположения, что угловая скорость Земли был постоянным.

Галлей (1695) также, кажется, был первым, кто оценил важность древних и средневековых записей о лунных и солнечных затмениях для определения видимого ускорения Луны и соответствующего уменьшения угловой скорости Земли за последние несколько лет. тысяча лет.Изменение скорости вращения Земли можно вывести из несоответствия между тем, когда и где должны были наблюдаться затмения, если бы угловая скорость Земли была постоянной, а когда и где они действительно наблюдались, как записано на вавилонских глиняных табличках и на китайских, европейских и арабские книги и рукописи (Stephenson, 1997).

При использовании наблюдений за затмениями для определения векового изменения продолжительности дня за последние несколько тысяч лет необходимо точно знать положение Солнца и Луны.Первостепенное значение в этом отношении имеет значение приливного ускорения n ̇ Луны, поскольку оно определяет долгосрочное поведение Луны. Приливное ускорение Луны может быть определено из наблюдений за временем прохождения Меркурия (например, Spencer Jones, 1939; Morrison and Ward, 1975), а также из спутниковых и лунных лазерных измерений. Приливные силы искажают фигуру Земли и, следовательно, ее гравитационное поле, которое, в свою очередь, нарушает орбиты искусственных спутников.Измерения SLR могут обнаруживать эти приливные возмущения на орбитах спутников и, следовательно, могут использоваться для построения моделей приливов и, следовательно, определения приливного ускорения Луны. Используя этот подход, Christodoulidis et al. (1988) сообщает о величине -25,27 ± 0,61 угловой секунды в столетие 2 (″ / cy 2 ) для приливного ускорения n ̇ Луны из-за рассеяния твердой Землей и океанскими приливами. Другие полученные из SLR значения для n ̇ были сообщены Cheng et al. (1990, 1992), Marsh et al. (1990, 1991), Dickman (1994), Lerch et al. (1994) и Рэй (1994).

Подобно орбитам искусственных спутников, орбита Луны также подвержена влиянию приливных сил. Поскольку измерения LLR могут обнаруживать приливные возмущения на орбите Луны, их можно использовать для определения приливного ускорения Луны. Помимо чувствительности к орбитальным возмущениям, вызванным приливами на Земле, измерения LLR, в отличие от измерений SLR, также чувствительны к орбитальным возмущениям, вызванным приливами на Луне.Используя измерения LLR, Williams et al. (2001) сообщает о значении -25,73 ± 0,5 ″ / cy 2 для приливного ускорения Луны, что по закону Кеплера соответствует увеличению на 3,79 ± 0,07 см в год −1 в большой полуоси Орбита Луны, которая включает вклад в +0.29 ″ / cy 2 от рассеяния внутри самой Луны. В настоящее время изучена лишь половина расхождения между значениями, полученными из SLR и LLR для n ̇ из-за рассеяния справедливыми приливами на Земле (Williams et al., 2001). Другие полученные значения LLR для n ̇ были представлены Newhall et al. (1988), Dickey et al. (1994a) и Chapront et al. , (2002).

По a priori принимая значение приливного ускорения n ̇ Луны, наблюдения за лунными и солнечными затмениями могут использоваться для определения векового увеличения продолжительности дня за последние несколько тысяч лет. Самые последние повторные редукции наблюдений за лунными и солнечными затмениями на предмет изменений LOD сделаны Стефенсоном и Моррисоном (1995) и Моррисоном и Стивенсоном (2001).Помимо наблюдений за затмениями в период с 700 г. до н.э. до 1600 г. н.э., они также использовали наблюдения за лунным затмением в период с 1600 по 1955,5 годы и оптические астрометрические и космически-геодезические измерения за период с 1955,5 по 1990 год. Приняв значение -26,0 ″ / cy 2 для n ̇, Моррисон и Стивенсон (2001) обнаружили, что LOD увеличивался со скоростью +1,80 ± 0,1 мс / цикл в среднем за последние 2700 лет (см. Рисунок 3 ). В дополнение к вековой тенденции Стефенсон и Моррисон (1995) и Моррисон и Стефенсон (2001) также обнаружили свидетельства флуктуации LOD, имеющей размах амплитуды около 8 мс и период около 1500 лет ( Рисунок 3 ).

Рис. 3. Вековые изменения LOD за последние 2500 лет, оцененные по данным лунных и солнечных затмений, затмения Луны, оптических астрометрических и космических геодезических наблюдений. Разница между наблюдаемым вековым трендом и трендом, вызванным приливным трением, обусловлена ​​эффектами изостатической регулировки ледников и другими процессами, такими как изменение массы ледяного покрова и сопутствующее нестерическое изменение уровня моря. Из Morrison LV и Stephenson FR (2001) Исторические затмения и изменчивость вращения Земли. Журнал геодинамики 32: 247–265.

По сохранению углового момента приливное ускорение Луны на -26,0 ″ / cy 2 должно сопровождаться увеличением продолжительности дня на +2,3 мс / cy (Stephenson and Morrison, 1995). Поскольку наблюдаемое увеличение продолжительности дня составляет всего +1,8 мс / с (Morrison and Stephenson, 2001), должен действовать какой-то другой механизм или комбинация механизмов, чтобы изменить продолжительность дня на -0,5 мс / с. Согласно уравнениям [43] и [58], изменения как осевой составляющей относительного углового момента, так и полярного момента инерции Земли могут вызвать изменение LOD.Вековая тенденция общей циркуляции флюидов, таких как атмосфера и океаны, и, следовательно, атмосферного и океанического углового момента, вряд ли сохранится в течение нескольких тысяч лет. Фактически, используя результаты 100-летнего прогона модели общей циркуляции атмосферы Центра Хэдли, de Viron et al. (2004) обнаружил, что смоделированный вековой тренд атмосферного углового момента (AAM) в течение 1870–1997 гг. Вызывает вековой тренд LOD всего +0,08 мс / с.

Одним из наиболее важных механизмов, вызывающих вековой тренд LOD на временных масштабах в несколько тысяч лет, является изостатическое регулирование ледникового покрова (GIA).Изостатическая регулировка твердой Земли в ответ на уменьшающуюся нагрузку на нее после последней дегляциации вызывает изменение фигуры Земли и, следовательно, изменение LOD. Поскольку твердая Земля отскакивает в регионах на высоких широтах, где раньше находилась ледяная нагрузка, фигура Земли становится менее сжатой, вращение Земли ускоряется, а LOD уменьшается. Модели GIA показывают, что его влияние на LOD очень чувствительно к предполагаемому значению вязкости нижней мантии (например.g., Wu and Peltier, 1984; Пельтье и Цзян, 1996; Vermeersen et al. , 1997; Митровица и Милн, 1998; Джонстон и Ламбек, 1999; Tamisea et al. , 2002; Сабадини и Вермеерсен, 2004). Но, создав модель для профиля радиальной вязкости Земли, которая соответствует как временам послеледникового распада, так и аномалиям силы тяжести в свободном воздухе, связанным с мантийной конвекцией, Митровица и Форте (1997) обнаружили, что GIA должна вызывать вековую тенденцию в LOD, составляющую — 0,5 мс / цикл, значение, которое замечательно согласуется с тем, что необходимо для объяснения разницы между наблюдаемым вековым трендом продолжительности дня и трендом, вызванным приливной диссипацией.

Однако GIA — не единственный механизм, который вызовет вековой тренд продолжительности дня. Современное изменение массы ледников и ледникового покрова и сопутствующее изменение нестерического уровня моря также вызовет вековую тенденцию в LOD (например, Peltier, 1988; Trupin et al. , 1992; Mitrovica and Peltier, 1993; Trupin , 1993; Джеймс и Айвинс, 1995, 1997; Накада и Окуно, 2003; Този и др. , 2005). Но влияние этого механизма на LOD очень чувствительно к неизвестному в настоящее время массовому изменению ледников и ледяных щитов, особенно антарктического ледяного покрова.Принимая различные сценарии массового изменения Антарктиды, модели предсказывают, что только ее массовое изменение должно вызвать вековой тренд LOD в диапазоне от -0,72 до +0,31 мс / с (Джеймс и Айвинс, 1997). Другие механизмы, которые могут вызывать вековой тренд LOD, включают тектонические процессы, происходящие в неизостатических условиях (Vermeersen and Vlaar, 1993; Vermeersen et al.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.