Формула зависимости частоты вращения от периода: Период и частота колебаний, теория и онлайн калькуляторы

7. Выводы

Реакция VAWT с прямыми лопастями на пульсирующий ветер исследовалась путем изменения момента инерции, цикла ветра и амплитуды ветра.Фазовая задержка между скоростью вращения и изменением ветра оставалась постоянной, становясь примерно такой, когда амплитуда ветра была большой. Скорость изменения скорости вращения, деленная на цикл ветра, была обратно пропорциональна моменту инерции и не зависела от цикла ветра. Этот результат предполагает связь между шириной скорости вращения и амплитудой пульсирующего ветра. Энергетическая эффективность VAWT при пульсирующем ветре с неизменной амплитудой оставалась почти постоянной как при изменении момента инерции, так и при изменении ветрового цикла, но при большой амплитуде ветра эффективность использования энергии снижалась.

Аналогичным образом, численное моделирование теоретической VAWT большего размера, чем экспериментальный ротор, показало, что энергоэффективность практически не зависит от ветрового цикла и момента инерции в условиях постоянного момента нагрузки. Однако в случае длительного ветрового цикла и небольшого момента инерции ожидается, что эффективность использования энергии будет изменяться и будет зависеть от кривых крутящего момента.

Произошла ошибка при настройке пользовательского файла cookie

Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности.Если ваш браузер не принимает файлы cookie, вы не можете просматривать этот сайт.

Настройка вашего браузера для приема файлов cookie

Существует множество причин, по которым cookie не может быть установлен правильно. Ниже приведены наиболее частые причины:

• В вашем браузере отключены файлы cookie. Вам необходимо сбросить настройки своего браузера, чтобы он принимал файлы cookie, или чтобы спросить вас, хотите ли вы принимать файлы cookie.
• Ваш браузер спрашивает вас, хотите ли вы принимать файлы cookie, и вы отказались.Чтобы принять файлы cookie с этого сайта, нажмите кнопку «Назад» и примите файлы cookie.
• Ваш браузер не поддерживает файлы cookie. Если вы подозреваете это, попробуйте другой браузер.
• Дата на вашем компьютере в прошлом. Если часы вашего компьютера показывают дату до 1 января 1970 г., браузер автоматически забудет файл cookie. Чтобы исправить это, установите правильное время и дату на своем компьютере.
• Вы установили приложение, которое отслеживает или блокирует установку файлов cookie.Вы должны отключить приложение при входе в систему или проконсультироваться с системным администратором.

Почему этому сайту требуются файлы cookie?

Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности, запоминая, что вы вошли в систему, когда переходите со страницы на страницу. Чтобы предоставить доступ без файлов cookie потребует, чтобы сайт создавал новый сеанс для каждой посещаемой страницы, что замедляет работу системы до неприемлемого уровня.

Что сохраняется в файле cookie?

Этот сайт не хранит ничего, кроме автоматически сгенерированного идентификатора сеанса в cookie; никакая другая информация не фиксируется.

Как правило, в файле cookie может храниться только информация, которую вы предоставляете, или выбор, который вы делаете при посещении веб-сайта. Например, сайт не может определить ваше имя электронной почты, пока вы не введете его. Разрешение веб-сайту создавать файлы cookie не дает этому или любому другому сайту доступа к остальной части вашего компьютера, и только сайт, который создал файл cookie, может его прочитать.

Теория мелководных волн — Coastal Wiki

Введение

В этой статье объясняются некоторые теории периодических прогрессивных волн и их взаимодействия с береговой линией и прибрежными структурами.В первом разделе дается описательный обзор генерации ветровых волн, их характеристик, процессов, управляющих их движением и преобразованием. В следующих разделах описываются некоторые аспекты волновой теории конкретного применения в прибрежной инженерии. Некоторые результаты цитируются без вывода, поскольку выводы часто бывают длинными и сложными. Заинтересованный читатель должен обратиться к предоставленным ссылкам для получения более подробной информации.

Следует отметить, что эта статья была взята из учебника «Береговая инженерия: процессы, теория и практика проектирования» 2-е издание (2012 г.) и 3-е издание (в печати) ^[1] , с разрешения Spon Нажмите.

Волновое поколение

Океанские волны в основном возникают в результате воздействия ветра на воду. Волны изначально образуются в результате сложного процесса резонанса и сдвига, в котором возникают волны разной высоты, длины и периода, которые распространяются в разных направлениях. После образования океанские волны могут распространяться на огромные расстояния, распространяться по площади и уменьшаться в высоте, но сохраняя длину волны и период, как показано на рисунке 1.

В зоне генерации штормовой зоны энергия высокочастотных волн (например, волн с малым периодом) как рассеивается, так и передается на более низкие частоты. Волны разной частоты распространяются с разной скоростью, и поэтому за пределами области генерации шторма состояние моря изменяется, поскольку различные частотные составляющие разделяются. Низкочастотные волны распространяются быстрее, чем высокочастотные, что приводит к зыби на море, а не к штормовому морю. Этот процесс известен как дисперсия.Таким образом, ветровые волны можно охарактеризовать как нерегулярные, с короткими гребнями и крутые, содержащие большой диапазон частот и направлений. С другой стороны, волны зыби можно охарактеризовать как довольно регулярные, с длинными гребнями и не очень крутые, содержащие небольшой диапазон низких частот и направлений.

Когда волны приближаются к береговой линии, их высота и длина изменяются в результате процессов преломления и мелководья, прежде чем они обрушатся на берег.Как только волны разбиваются, они попадают в то, что называется зоной прибоя. Здесь происходят некоторые из наиболее сложных процессов трансформации и затухания, включая возникновение поперечных и прибрежных течений, установление среднего уровня воды и интенсивный перенос наносов материала пляжа. Некоторые из этих процессов очевидны на Рисунке 2.

При наличии прибрежных структур, будь то на береговой линии или в прибрежной зоне, волны также могут дифрагировать и отражаться, что приводит к дополнительным сложностям в движении волн.На рисунке 3 показана упрощенная концепция основных процессов преобразования и затухания волн, которые должны быть приняты во внимание инженерами береговой линии при проектировании схем защиты побережья.

Кроме того, наличие групп волн имеет большое значение, поскольку было показано, что они ответственны за структурные разрушения некоторых морских сооружений, спроектированных с использованием традиционного подхода. Существование групп волн также порождает вторичные волновые формы гораздо более низкой частоты и амплитуды, называемые связанными длинными волнами (см. Инфрагравитационные волны).Внутри зоны прибоя эти волны отделяются от «коротких» волн, и было показано, что они имеют большое влияние на перенос наносов и морфологию пляжа, вызывая длинные и поперечные береговые изменения в волновом поле зоны прибоя.

Теория волн малой амплитуды

Самое раннее математическое описание периодических прогрессивных волн было приписано Эйри в 1845 году. Теория волн Эйри строго применима только к условиям, в которых высота волны мала по сравнению с длиной волны и глубиной воды.Ее обычно называют линейной теорией или теорией волн первого порядка из-за упрощающих предположений, сделанных при ее выводе.

Вывод уравнений волн Эйри

Волна Эйри была получена с использованием концепции двумерного потока идеальной жидкости. Это разумная отправная точка для океанских волн, на которые не сильно влияют вязкость, поверхностное натяжение или турбулентность.

На рисунке 4 показана синусоидальная волна с длиной волны [math] L [/ math], высотой [math] H [/ math] и периодом [math] T [/ math], распространяющаяся по воде с невозмущенной глубиной [math] h [ / математика].Изменение высоты поверхности во времени от уровня стоячей воды обозначается [math] \ eta [/ math] (называемое экскурсией) и выражается как

[математика] \ eta = \ Large \ frac {H} {2} \ normalsize \ cos \ left \ {2 \ pi \ left (\ Large \ frac {x} {L} \ normalsize — \ Large \ frac { t} {T} \ normalsize \ right) \ right \}, \ qquad (1) [/ math]

где [math] x [/ math] — это расстояние, измеренное по горизонтальной оси, а [math] t [/ math] — время. Скорость волны, скорость [math] c [/ math], с которой волна движется в [math] x [/ math] -направлении, задается [math] c = L / T [/ math].{2} \ normalsize}, [/ math]

где [math] u [/ math] — скорость в направлении [math] x [/ math] [math] w [/ math] — скорость в направлении [math] z [/ math] [math] \ phi [/ math] — потенциал скорости, а

[математика] u = \ Large \ frac {\ partial \ phi} {\ partial x} \ normalsize, \ quad w = \ Large \ frac {\ partial \ phi} {\ partial z} \ normalsize. [/ Math ]

Ищется решение для [math] \ phi [/ math], которое удовлетворяет уравнению Лапласа во всем теле потока. Кроме того, это решение должно удовлетворять граничным условиям на дне и на поверхности.{2} \ right) + g \ eta + \ Large \ frac {\ partial \ phi} {\ partial t} \ normalsize = C (t), \ quad z = \ eta. [/ математика]

Предположения, что [math] H \ ll L [/ math] и [math] H \ ll h [/ math] приводят к линеаризованным граничным условиям (в которых не учитываются члены меньшего, высшего порядка и произведения). Полученные кинематические и динамические граничные уравнения затем применяются на уровне спокойной воды, задаваемом формулой

[математика] w = \ Large \ frac {\ partial \ eta} {\ partial t} \ normalsize, \ quad g \ eta + \ Large \ frac {\ partial \ phi} {\ partial t} \ normalsize = 0 , \ quad г = 0.[/ математика]

Результирующее решение для [math] \ phi [/ math] дается формулой

[математика] \ phi = -gH \ Large \ frac {T} {4 \ pi} \ normalsize \ Large \ frac {\ cosh \ left \ {\ left (\ frac {2 \ pi} {L} \ normalsize \ right) \ left (h + z \ right) \ right \}} {\ ch \ left \ {\ left (\ Large \ frac {2 \ pi} {L} \ right) h \ right \}} \ normalsize \ sin \ left (\ Large \ frac {2 \ pi x} {L} \ normalsize — \ Large \ frac {2 \ pi t} {T} \ normalsize \ right) [/ math]

Подставляя это решение для [math] \ phi [/ math] в два линеаризованных граничных условия поверхности, мы получаем профиль поверхности, указанный в уравнении (1), и скорость волны [math] c [/ math], определяемую выражением

[математика] c = (gT / 2 \ pi) \ tanh (2 \ pi h / L) = (g / \ omega) \ tanh (kh), \ qquad (2) [/ math]

, где волновое число [math] k = 2 \ pi / L [/ math], а угловая частота волны [math] \ omega = 2 \ pi / T [/ math].{2} = gk \ tanh \ left (kh \ right). \ qquad (3) [/ математика]

Уравнение (3) известно как уравнение волновой дисперсии.

Численное решение уравнения волновой дисперсии

Чтобы решить эту проблему из первых принципов, сначала необходимо решить уравнение дисперсии волн для [math] k = 2 \ pi / L [/ math] с любой глубиной [math] h [/ math]. Это можно сделать, подставив в уравнение (3) последовательные оценки [math] L [/ math], начиная с начальной оценки [math] L = L_0 [/ math], в [math] \ tan (kh) [/ math ] срок.{5}} \ normalsize, [/ math]

где [math] D = k_0 h [/ math], что с точностью до 0,1 [math] \% [/ math] для [math] 0 \ lt D \ lt \ infty [/ math].

Скорость, ускорение и траектория частиц воды

Уравнения для горизонтальной [math] u [/ math] и вертикальной [math] w [/ math] скорости частицы на средней глубине [math] -z [/ math] ниже уровня стоячей воды. может быть определено из [math] \ partial \ phi / \ partial x [/ math] и [math] \ partial \ phi / \ partial z [/ math] соответственно.Соответствующие локальные ускорения, [math] a_x [/ math] и [math] a_z [/ math], затем могут быть найдены из [math] \ partial u / \ partial t [/ math] и [math] \ partial w / \ partial t [/ math].

Наконец, горизонтальное [math] \ zeta [/ math] и вертикальное [math] \ xi [/ math] смещения могут быть получены путем интегрирования соответствующих скоростей за период волны. Полученные уравнения имеют вид

[математика] \ zeta = — \ Large \ frac {H} {2} \ normalsize \ left [\ Large \ frac {\ ch \ left \ {k \ left (z + h \ right) \ right \}} {\ sinh kh} \ normalsize \ right] \ sin \ left \ {2 \ pi \ left (\ Large \ frac {x} {L} \ normalsize — \ Large \ frac {t} {T} \ normalsize \ right) \ right \}, \ qquad (4a) [/ math]

[математика] u = \ Large \ frac {\ pi H} {T} \ normalsize \ left [\ Large \ frac {\ ch \ left \ {k \ left (z + h \ right) \ right \}} {\ sinh kh} \ normalsize \ right] \ cos \ left \ {2 \ pi \ left (\ Large \ frac {x} {L} \ normalsize — \ Large \ frac {t} {T} \ normalsize \ right) \ right \}, \ qquad (4b) [/ math]

[математика] a_ {x} = \ Large \ frac {2 \ pi ^ {2} H} {T ^ {2}} \ normalsize \ left [\ Large \ frac {\ ch \ left \ {k (z + h) \ right \}} {\ sinh kh} \ normalsize \ right] \ sin \ left \ {2 \ pi \ left (\ Large \ frac {x} {L} \ normalsize — \ Large \ frac {t} {T} \ normalsize \ right) \ right \}, \ qquad (4c) [/ math]

[математика] \ xi = \ Large \ frac {H} {2} \ normalsize \ left [\ Large \ frac {\ sinh \ left \ {k \ left (z + h \ right) \ right \}} { \ sinh kh} \ normalsize \ right] \ cos \ left \ {2 \ pi \ left (\ Large \ frac {x} {L} \ normalsize — \ Large \ frac {t} {T} \ normalsize \ right) \ вправо \}, \ qquad (5a) [/ math]

[математика] w = \ Large \ frac {\ pi H} {T} \ normalsize \ left [\ Large \ frac {\ sinh \ left \ {k \ left (z + h \ right) \ right \}} {\ sinh kh} \ normalsize \ right] \ sin \ left \ {2 \ pi \ left (\ Large \ frac {x} {L} \ normalsize — \ Large \ frac {t} {T} \ normalsize \ right) \ right \}, \ qquad (5b) [/ math]

[математика] a_ {z} = \ Large \ frac {\ begin {array} {l} \ normalsize {} \ normalsize \\ {-2 \ pi ^ {2} H} \ end {array}} {T ^ {2}} \ normalsize \ left [\ Large \ frac {\ sinh \ left \ {k \ left (z + h \ right) \ right \}} {\ sinh kh} \ normalsize \ right] \ cos \ left \ {2 \ pi \ left (\ Large \ frac {x} {L} \ normalsize — \ Large \ frac {t} {T} \ normalsize \ right) \ right \}. {\ circ} [/ math] out фазы со смещениями.Эти уравнения графически проиллюстрированы на рисунке 5.

Читатели, желающие увидеть полный вывод волновых уравнений Эйри, могут в первую очередь обратиться к Соренсену ^[4] и Дину и Далримплу ^[5] за их ясность и инженерный подход.

Изменение давления, вызванное волновым движением

Уравнение изменения давления под волной получается путем подстановки выражения для потенциала скорости в нестационарное уравнение Бернулли и приравнивания энергии на поверхности к энергии на любой глубине.После линеаризации полученного уравнения в предположении, что скорости малы, получается уравнение для давления, которое определяется следующим образом:

[математика] p = — \ rho gz + \ rho g \ Large \ frac {H} {2} \ normalsize \ cos (kx- \ omega t) \ Large \ frac {\ ch \ left \ {k (h + z) \ right \}} {\ ch kh} \ normalsize = — \ rho gz + \ rho g \ eta K_ {p} (z), \ quad z = 0, [/ math]

действительно на уровне стоячей воды или ниже, где [math] K_p (z) [/ math] известен как коэффициент ослабления давления, определяемый по формуле

[математика] K_ {p} (z) = \ Large \ frac {\ ch \ left \ {k (h + z) \ right \}} {\ ch kh} \ normalsize [/ math].

Коэффициент ослабления давления равен единице на уровне стоячей воды, уменьшаясь до нуля на пределе глубокой воды (т.е. [математика] h / L \ geq 0,5 [/ математика]). На любой глубине ([math] -z [/ math]) под гребнем волны давление является максимальным и включает статическое давление [math] p_0 = — \ rho gz [/ math] плюс динамическое давление [ math] \ rho gH K_ {p} (z) / 2 [/ math]. Причина, по которой он является максимальным под гребнем волны, заключается в том, что именно в этом месте вертикальные ускорения частиц максимальны и отрицательны.Обратное верно под впадиной волн.

Датчики давления, расположенные на морском дне, поэтому могут использоваться для измерения высоты волны при условии, что они расположены в переходной области глубины воды. Высота волны может быть рассчитана по изменению давления путем вычисления [math] K_p (z) [/ math] и вычитания гидростатического давления (среднего значения зарегистрированного давления). Это требует решения уравнения дисперсии волн для длины волны на определенной глубине, зная период волны.Это легко сделать для простой последовательности волн постоянного периода. Однако в реальном море, состоящем из смеси высот и периодов волн, сначала необходимо определить период каждой волны (применяя методы анализа Фурье). Кроме того, учитывая, что датчик давления будет расположен на определенной глубине, он не будет обнаруживать волны, период которых достаточно мал, чтобы они могли быть глубоководными волнами на этой глубине.

Влияние глубины воды на волновые характеристики

Глубоководный

Уравнения смещения частиц (4a) и (5a) описывают круговые модели движения в (так называемой) глубокой воде.{1/2}, \ qquad (6) [/ math]

, где индекс 0 относится к глубокой воде. Таким образом, скорость и длина волны на глубокой воде определяются исключительно периодом волны.

Мелководье

Для [математики] h / L \ le 0,04, \ quad \ tanh (kh) \ приблизительно 2 \ pi h / L [/ math]. Обычно это считается верхним пределом для волн на мелководье. Следовательно, уравнение (3b) сводится к [math] c = ghT / L [/ math] и подстановка этого в уравнение (2) дает [math] c = \ sqrt {gh} [/ math]. Таким образом, скорость волны на мелководье определяется глубиной, а не периодом волны.Следовательно, волны на мелководье не обладают частотной дисперсией, в отличие от глубоководных волн.

Переходная вода

Это зона между глубокой и мелкой водой, то есть [математика] 0,5 \ gt h / L \ gt 0,04 [/ math]. В этой зоне [math] \ tanh (kh) \ lt 1 [/ math], следовательно,

[математика] c = \ Large \ frac {gT} {2 \ pi} \ normalsize \ tanh \ left (kh \ right) = c_ {0} \ tanh \ left (kh \ right) \ lt c_ {0} [/ математика].

Это имеет важные последствия, проявляющиеся в явлениях преломления и мелководья.Кроме того, уравнения смещения частиц показывают, что на морском дне вертикальные компоненты подавляются, поэтому теперь имеют место только горизонтальные смещения (см. Рисунок 5). Это имеет важные последствия для переноса наносов.

Групповая скорость и распространение энергии

Энергия, содержащаяся в волне, представляет собой сумму потенциальной, кинетической энергии и энергии поверхностного натяжения всех частиц в пределах длины волны и указывается как полная энергия на единицу площади поверхности моря.{2} / 8. [/ математика]

Это значительное количество энергии. Например, шторм (сила Бофорта) силой 8 в течение 24 часов вызовет волну высотой более 5 м, что даст энергию волны, превышающую 30 кДж / м2.

Можно было бы ожидать, что мощность волны (или скорость передачи энергии волны) будет равна энергии волны, умноженной на скорость волны. Это неверно, и вывод уравнения для мощности волны приводит к интересному результату, который имеет большое значение.{2}} {8} \ normalsize \ Large \ frac {c} {2} \ normalsize \ left (1+ \ Large \ frac {2kh} {\ sinh 2kh} \ normalsize \ right) = E c_ {g}, \ qquad (8) [/ математика]

где [math] c_g [/ math] — скорость групповой волны, определяемая

[математика] c_ {g} = \ Large \ frac {c} {2} \ normalsize \ left (1+ \ Large \ frac {2kh} {\ sinh 2kh} \ normalsize \ right). \ qquad (9) [/ математика].

На большой глубине ([math] h / L \ gt 0,5 [/ math]) скорость групповой волны [math] c_g = c / 2 [/ math], а на мелководье [math] c_g = c [/ math ]. Следовательно, в глубокой воде энергия волны передается вперед только со скоростью, равной половине скорости волны.

Радиационное напряжение (поток импульса)

Радиационное напряжение определяется как избыточный поток количества движения из-за наличия волн (в единицах силы на единицу длины). Он возникает из-за орбитального движения отдельных частиц воды в волнах. Эти движения частиц создают результирующую силу в направлении распространения ([math] S_ {XX} [/ math]) и чистую силу под прямым углом к ​​направлению распространения ([math] S_ {YY} [/ math]) . Первоначальная теория была разработана Лонге-Хиггинсом и Стюартом ^[6] .Его применение к прибрежным течениям было впоследствии разработано Лонге-Хиггинсом ^[7] . Заинтересованным читателям настоятельно рекомендуется обратиться к этим статьям, которые элегантны с научной точки зрения и представлены в удобочитаемом стиле. Дополнительные подробности также можно найти в Horikawa ^[8] и Komar ^[9] . Здесь представлена ​​только сводка основных результатов.

Радиационные напряжения были получены из уравнений теории линейных волн путем интегрирования динамического давления по всей глубине под волной и за период волны и вычитания из этого интегрального статического давления ниже глубины стоячей воды.{0} p_0 dz, [/ math]

где [math] v [/ math] — горизонтальная составляющая орбитальной скорости в [math] y [/ math] -направлении, а [math] p_0 [/ math] гидростатическое давление. Первый интеграл — это среднее значение подынтегральной функции за период волны, где [math] u [/ math] — горизонтальная составляющая орбитальной скорости в направлении [math] x [/ math]. После значительных манипуляций можно показать, что

[математика] S_ {XX} = E \ left (\ Large \ frac {2kh} {\ sinh 2kh} \ normalsize + \ Large \ frac {1} {2} \ normalsize \ right).\ qquad (10) [/ математика]

Для волн, распространяющихся в [math] X [/ math] -направлении ([math] v = 0 [/ math])

[математика] S_ {YY} = E \ left (\ Large \ frac {kh} {\ sinh 2kh} \ normalsize \ right). \ qquad (11) [/ математика]

В глубокой воде [математика] S_ {XX} = \ Large \ frac {1} {2} \ normalsize E, \ quad S_ {YY} = 0 [/ math]; на мелководье [математика] S_ {XX} = \ Large \ frac {3} {2} \ normalsize E, \ quad S_ {YY} = \ Large \ frac {1} {2} \ normalsize E. [/ math] Таким образом, и [math] S_ {XX} [/ math], и [math] S_ {YY} [/ math] увеличиваются при уменьшении глубины воды.

Процессы преобразования и затухания волн

Когда волны приближаются к береговой линии, они входят в переходную область глубин, в которой на волновые движения влияет морское дно. Эти эффекты включают уменьшение скорости волны и длины волны и, таким образом, изменение направления гребней волны (преломление) и высоты волны (обмеление), при этом энергия волны рассеивается за счет трения о дно и, наконец, разрушается.

Преломление

Скорость волны и длина волны связаны уравнениями (2, 3a) с периодом волны (который является единственным параметром, который остается постоянным для отдельной последовательности волн):

[математика] c / c_0 = \ tanh (kh) = L / L_0 [/ математика].

Чтобы найти скорость волны и длину волны на любой глубине h, эти два уравнения должны решаться одновременно. Решение всегда таково, что [math] c \ lt c_o [/ math] и [math] L \ lt L_0 [/ math] для [math] h \ lt h_0 [/ math] (где нижний индекс o относится к глубокой воде условия).

Рассмотрим глубоководную волну, приближающуюся к переходному пределу глубины ([math] h / L_0 = 0,5 [/ math]), как показано на рисунке 6. Волна, движущаяся от A до B (на большой глубине), проходит расстояние [ math] L_0 [/ math] за период одной волны [math] T [/ math].Однако волна, распространяющаяся от C к D, проходит меньшее расстояние L за то же время, что и в переходной области глубины. Следовательно, новый волновой фронт теперь — это BD, который повернулся относительно AC.

Если угол [math] \ alpha [/ math] представляет угол фронта волны к контуру глубины, тогда

[математика] \ sin \ alpha = L / BC [/ math] и [математика] \ sin \ alpha_0 = L_0 / BC [/ math]. Следовательно

[математика] \ Large \ frac {\ sin \ alpha} {\ sin \ alpha _ {0}} \ normalsize = \ Large \ frac {L} {L_ {0}} \ normalsize = \ Large \ frac {c } {c_ {0}} \ normalsize = \ tanh \ left (kh \ right).\ qquad (12) [/ математика]

Если [math] c \ lt c_0 [/ math], то [math] \ alpha \ lt \ alpha_0 [/ math], что означает, что когда волна приближается к береговой линии под косым углом, фронты волн стремятся выровняться с подводные контуры. На рисунке 7 показано изменение [math] c / c_0 [/ math] с [math] h / L_0 [/ math] и [math] \ alpha / \ alpha_0 [/ math] с [math] h / L_0 [/ math] (последний специально для случая параллельных контуров).Следует отметить, что [math] L_0 [/ math] используется вместо [math] L [/ math], поскольку первое является фиксированной величиной.

В случае непараллельных контуров необходимо проследить отдельные волновые лучи (т. Е. Ортогонали к волновым фронтам). Рисунок 7 все еще можно использовать для нахождения [math] \ alpha [/ math] на каждом контуре, если [math] \ alpha_0 [/ math] взять за угол (скажем, [math] \ alpha_1 [/ math]) на одном контуре. и [math] \ alpha [/ math] принимается как новый угол (скажем, [math] \ alpha_2 [/ math]) к следующему контуру.Волновой луч обычно используется для изменения направления на полпути между контурами. Эта процедура может выполняться вручную с использованием таблиц или рисунков ^[10] или с помощью компьютера, как описано ниже в этом разделе.

Уравнение (12) также известно как закон Снеллиуса, согласно которому [math] \ sin \ alpha / c [/ math] = константа вдоль волнового луча. Умножение на радиальную частоту [math] \ omega [/ math] показывает, что аналогичное постоянство имеет место для компоненты волнового вектора [math] \ vec k [/ math], параллельной контуру глубины (волновой вектор [math] \ vec k [/ math] следует направлению распространения волны, и его длина равна волновому числу [math] k = \ omega / c [/ math]).

Можно показать, что закон Снеллиуса также может быть выражен как

[математика] \ vec \ nabla \ times \ vec k | _ {вертикальный компонент} \ Equiv \ partial (k \ sin \ alpha) / \ partial x — \ partial (k \ cos \ alpha) / \ partial y = 0. \ qquad (13) [/ математика]

Доказательство того, что это уравнение эквивалентно (12), приведено в Dean & Dalrymple ^[5] .

Уравнение сохранения энергии волн имеет вид

[математика] \ partial (E c_g \ cos \ alpha) / \ partial x + \ partial (E c_g \ sin \ alpha) / \ partial y = — \ epsilon_d, \ qquad (14) [/ math]

где [math] \ epsilon_d [/ math] представляет потери энергии (из-за трения о морское дно, см. Уравнение (14)).Koutitas ^[11] дает рабочий пример численного решения уравнений (13) и (14).

Обмеление

Сначала рассмотрим волновой фронт, распространяющийся параллельно контурам морского дна (т.е. преломления не происходит). Если предположить, что волновая энергия передается в сторону берега без потерь из-за трения о дно или турбулентности, то из уравнения (8),

[математика] \ Large \ frac {P} {P_ {0}} \ normalsize = 1 = \ Large \ frac {Ec_ {g}} {E_ {0} c_ {g_ {0}}} \ normalsize.{-1/2}. \ qquad (15) [/ математика]

Вариация [math] K_S [/ math] с [math] d / L_0 [/ math] показана на рисунке 8.

Комбинированное преломление и обмеление

Рассмотрим затем волновой фронт, движущийся под углом к ​​контурам морского дна, как показано на рисунке 9. В этом случае, когда волновые лучи изгибаются, они могут сходиться или расходиться по мере продвижения к берегу. На контуре [математика] h / L_0 = 0,5, \ quad BC = b_0 / \ cos \ alpha _0 = b / \ cos \ alpha. [/ math] Таким образом

[математика] b / b_0 = \ cos \ alpha / \ cos \ alpha _0.{1/2} [/ math] называется коэффициентом преломления.

Для случая параллельных контуров [math] K_R [/ math] можно найти с помощью рисунка 9. В более общем случае [math] K_R [/ math] можно найти из диаграммы преломления непосредственно путем измерения [math ] b [/ math] и [math] b_0 [/ math].

Когда преломленные волны входят в мелководье, они разбиваются, не доходя до береговой линии. Вышеприведенный анализ не является строго применимым к этой области, потому что волновые фронты становятся более крутыми и больше не описываются формой волны Эйри.Однако общепринято применять анализ рефракции до так называемой линии разрыва. Это оправдано тем, что присущие неточности невелики по сравнению с первоначальными прогнозами для глубоководных волн и находятся в пределах приемлемых инженерных допусков. Чтобы найти линию обрыва, необходимо оценить высоту волны по мере продвижения волны к берегу и сравнить ее с расчетной высотой обрушивающейся волны на любой конкретной глубине. Как правило, волны ломаются, когда

[математика] h_ {b} = 1.28H_ {b}, \ qquad (17) [/ math]

, где нижний индекс b указывает на точку разрыва. Тема обрушения волн представляет значительный интерес как с теоретической, так и с практической точки зрения.

Влияние батиметрии на рефракцию

В целом контуры морского дна не прямые и параллельные, а изогнутые. Это приводит к некоторым значительным эффектам преломления. В заливе преломление обычно распространяет волновые лучи на большую область, что приводит к уменьшению высоты волны.И наоборот, на поворотной полосе волновые лучи будут сходиться, что приведет к увеличению высоты волны. Над прибрежными мелководьями волны могут быть сосредоточены, в результате чего образуется небольшая область, где высота волн намного больше. Если фокусировка настолько сильна, что предсказывается пересечение волновых лучей, то высота волны становится настолько большой, что вызывает обрушение волны.

Обмеление и преломление спектров направленных волн

До сих пор обсуждение мелководья и преломления ограничивалось рассмотрением волн одного периода, высоты и направления (монохроматическая волна).Однако реальное состояние моря более реалистично представлено как состоящее из большого количества компонентов различных периодов, высот и направлений (известных как спектр направлений). Следовательно, при определении состояния прибрежного моря следует должным образом учитывать спектр направленности на берегу.

Это может быть достигнуто относительно простым способом при условии применения принципа линейной суперпозиции. Это означает, что исключены нелинейные процессы, такие как трение о морское дно и волновые теории более высокого порядка.Принцип метода состоит в том, чтобы выполнить анализ преломления и мелководья для каждой отдельной составляющей частоты и направления волны, а затем суммировать результирующие прибрежные энергии в новых прибрежных направлениях на каждой частоте и, следовательно, собрать прибрежный направленный спектр.

Goda ^[2] представляет собой набор расчетных диаграмм для эффективного коэффициента преломления ([math] K_R [/ math]) и преобладающего направления волны ([math] \ alpha_0 [/ math]) по параллельным контурам для диапазона относительных глубин с использованием частотного спектра Бетчнайдера-Мицуясу и функции расширения Мицуясу, которые облегчают быстрое применение описанного выше метода.На рисунке 10 показаны некоторые результаты Года для [math] K_R [/ math] как функции относительной глубины для типичного состояния ветровой волны. На рисунке 11 показано сравнение результатов для [math] K_R [/ math] между монохроматической волной и результатом Года для направленного спектра типичного состояния ветровой волны. На рисунке 12 показаны некоторые результаты Года для основного направления волны в диапазоне относительных глубин для типичного состояния ветровой волны.

Трение морского дна

В предыдущем анализе преломления и мелководья предполагалось, что потери энергии отсутствуют, поскольку волны распространяются на берег.В действительности волны на переходных и мелководных глубинах будут ослабляться за счет рассеяния энергии волн за счет трения о морское дно. Такие потери энергии можно оценить, используя теорию линейных волн, аналогично соотношению трения потока в трубе и открытом канале. В отличие от профиля скорости в установившемся течении, фрикционные эффекты под воздействием волн создают колебательный волновой пограничный слой, который очень мал (несколько миллиметров или сантиметров). Как следствие, градиент скорости намного больше, чем в эквивалентном однородном токе, что, в свою очередь, означает, что коэффициент волнового трения будет во много раз больше.{2}, \ qquad (18) [/ math]

где [math] f_w [/ math] — коэффициент волнового трения, а [math] u_m [/ math] — максимальная орбитальная скорость около кровати; [math] f_w [/ math] является функцией местного числа Рейнольдса ([math] Re_w [/ math]), определенного в терминах [math] u_m [/ math] (для скорости) и либо [math] a_b [ / math], амплитуда волны на дне или размер зерна морского дна [math] k_s [/ math] (для характерной длины). Диаграмма, связывающая [math] f_w [/ math] с [math] Re_w [/ math] для различных соотношений [math] a_b / k_s [/ math], принадлежащая Йонссону, приведена в Dyer ^[12] .{2}} {3 \ pi \ sinh (kh) (\ sinh (2kh) + 2kh)} \ normalsize. \ qquad (20) [/ математика]

Затухание высоты волны из-за трения о морское дно, конечно, является функцией расстояния, пройденного волной, а также глубины, длины волны и высоты волны. Таким образом, общая потеря высоты волны ([math] \ Delta H_f [/ math]) из-за трения может быть найдена путем интегрирования по траектории волнового луча.

BS6349 ^[15] представляет диаграмму, из которой можно получить коэффициент уменьшения высоты волны.За исключением больших волн на мелководье, трение о морское дно имеет относительно небольшое значение. Следовательно, при проектировании морских сооружений на глубине 10 м и более трение о морское дно часто игнорируется. Однако при определении волнового климата вдоль берега трение о морское дно теперь обычно включается в численные модели, хотя соответствующее значение коэффициента волнового трения остается неопределенным и может изменяться в зависимости от формы дна, вызванного волнами. Кроме того, потери энергии волн из-за других физических процессов, таких как разрыв, могут быть более значительными.

Взаимодействие волны с током

До сих пор рассмотрение волновых свойств ограничивалось случаем генерируемых волн, движущихся по неподвижной воде. В целом, однако, океанские волны обычно передаются посредством течений, вызванных приливами и другими способами. Эти токи также, как правило, изменяются как в пространстве, так и во времени. Следовательно, здесь необходимо рассмотреть два различных случая. Первый — это волны, движущиеся по течению, а второй, когда волны, генерируемые в спокойной воде, встречаются с течением (или распространяются по изменяющемуся полю течения).

Для волн, бегущих по течению, необходимо учитывать две системы отсчета. Первая — это движущаяся или относительная система отсчета, движущаяся с текущей скоростью. В этой системе координат все полученные до сих пор волновые уравнения все еще применимы. Вторая система отсчета — это стационарная или абсолютная система отсчета. Концепция, которая дает ключ к пониманию этой ситуации, заключается в том, что длина волны одинакова в обеих системах отсчета. Это связано с тем, что длина волны в относительной системе отсчета определяется дисперсионным уравнением, и эта волна просто перемещается с другой скоростью в абсолютной системе отсчета.Как следствие, абсолютный и относительный периоды волн различаются.

Рассмотрим случай, когда течение с величиной ([math] u [/ math]) следует за волной со скоростью волны ([math] c [/ math]), скоростью волны относительно морского дна ([math] c_a [/ math]) превращается в [math] c + u [/ math]. Поскольку длина волны одинакова в обеих системах отсчета, абсолютный период волны будет меньше относительного периода волны. Следовательно, если волны на токе измеряются в фиксированном месте (например, в абсолютном кадре), то измеряется абсолютный период ([math] T_a [/ math]).{1/2} + u. \ qquad (21) [/ математика]

Таким образом, это уравнение дает неявное решение для длины волны в присутствии тока, когда был измерен абсолютный период волны.

И наоборот, когда волны, распространяющиеся в спокойной воде, сталкиваются с течением, происходят изменения в высоте и длине волны. Это связано с тем, что при перемещении волн из одной области в другую необходимо, чтобы абсолютный период волны оставался постоянным для сохранения волн.Рассмотрим случай встречного течения, скорость волны относительно морского дна уменьшается, и, следовательно, длина волны также будет уменьшаться. Таким образом, высота и крутизна волны увеличатся. В пределе волны будут разбиваться, когда достигнут предельной крутизны. Кроме того, поскольку волновая энергия передается со скоростью групповой волны, волны не могут проникать через ток, величина которого равна или превышает скорость групповой волны, и, таким образом, в этих условиях будет происходить разрушение волны и дифракция. Такие условия могут возникать во входных каналах в устья рек, когда идут сильные отливы, создающие область высоких, крутых и прибывающих волн.

Другой пример взаимодействия волны с током — это рефракция тока. Это происходит, когда волна наклонно пересекает область неподвижной воды в область, в которой выходит ток, или в меняющемся поле тока. Простейший случай проиллюстрирован на Рисунке 13, показывающем преломление глубоководной волны течением.

Аналогично рефракции, вызванной изменениями глубины, Йонссон показал, что в случае текущей рефракции

[математика] \ sin \ alpha _ {c} = \ Large \ frac {\ sin \ alpha} {\ left (1- \ frac {u} {c} \ sin \ alpha \ right) ^ {2}} \нормальный размер .\ qquad (22) [/ математика]

Высота волны также изменяется и будет уменьшаться, если ортогонали волн расходятся (как показано), или увеличиваться, если ортогонали волн сходятся. Для получения дополнительных сведений о взаимодействиях волна-ток, читатель может сначала обратиться к Hedges ^[16] .

Отражение волны

Волны, обычно падающие на твердые вертикальные границы (например, стенки гавани и морские стенки), отражаются таким образом, что отраженная волна имеет ту же фазу, но противоположное направление и по существу такую ​​же амплитуду, что и падающая волна.Это соответствует необходимому граничному условию, что горизонтальная скорость всегда равна нулю. Результирующая волновая картина называется стоячей волной, как показано на рисунке 14. Отражение также может происходить, когда волны входят в гавань или устье реки. Это может привести к «резонансу», когда волны усиливаются.

Уравнение стоячей волны (индекс s) можно найти, сложив две формы падающей (индекс i) и отраженной (индекс r) волн. Таким образом,

[математика] \ eta _ {s} = \ eta _ {i} + \ eta _ {r}, \ qquad \ eta _ {i} = \ Large \ frac {H_ {i}} {2} \ normalsize \ cos \ left \ {2 \ pi \ left (\ Large \ frac {x} {L} \ normalsize — \ Large \ frac {t} {T} \ normalsize \ right) \ right \}, \ qquad \ eta _ {r} = \ Large \ frac {H_ {r}} {2} \ normalsize \ cos \ left \ {2 \ pi \ left (\ Large \ frac {x} {L} \ normalsize + \ Large \ frac {t } {T} \ normalsize \ right) \ right \}, \ qquad (23) [/ math]

Принимая [math] H_r = H_i = H_s / 2 [/ math], тогда

[математика] \ eta_s = H_s \ cos (2 \ pi x / L) \ cos (2 \ pi t / T).\ qquad (24) [/ математика]

В узловых точках нет вертикального движения во времени. Напротив, в пучностях попеременно появляются гребни и впадины. В случае больших волн на мелководье и если отраженная волна имеет такую ​​же амплитуду, что и падающая волна, продвигающийся и удаляющийся гребни эффектно сталкиваются, образуя шлейф, известный как clapotis (см. Рисунок 15). Это обычно наблюдается у морских стен. Стоячие волны могут нанести значительный ущерб морским сооружениям и вызвать значительную эрозию.

Clapotis Gaufre

Когда падающая волна находится под углом [math] \ alpha [/ math] к нормали от вертикальной границы, тогда отраженная волна будет в направлении [math] \ alpha [/ math] на противоположной стороне обычный. Это показано на рисунках 16 и 17.Результирующее волновое движение (clapotis gaufre) является сложным, но по существу состоит из ромбовидного узора островных гребней, которые движутся параллельно границе. Иногда это называют системой с коротким гребнем. Гребни образуются на пересечении фронтов падающей и отраженной волн. Результирующие смещения частиц также сложны, но включают в себя создание модели движущихся вихрей. Подробное описание этих движений можно найти в Silvester ^[10] . Последствия этого с точки зрения переноса наносов могут быть серьезными.Может иметь место очень значительная эрозия и прибрежный перенос. Учитывая, что атака косой волной на морские стены является скорее нормой, чем исключением, существование clapotis gaufre оказывает глубокое влияние на долгосрочную стабильность и эффективность береговых оборонительных сооружений. Похоже, что это не было полностью понято в традиционных конструкциях морских стен, в результате чего произошло обрушение морских стен и размывание береговых линий.

Шток механизма

Когда периодические или одиночные волны приближаются к крутому препятствию под косым углом, амплитуда волны на препятствии может быть увеличена из-за явления, известного как стержень Маха. Вершина, непосредственно примыкающая к стене, меняет свое выравнивание, создавая волну, бегущую по поверхности стены с увеличенной высотой гребня, и это волна Маха, изображенная на Рисунке 17. Это явление отражения было впервые обнаружено в аэродинамике, но в равной степени имеет место. применимо к водным волнам, для которых это может начаться, когда угол наклона к стене станет меньше примерно 45 градусов.Высота гребня дает скорость, эквивалентную составляющей скорости падающей волны в направлении выравнивания стены. Поскольку волны не ударяются о стенку из-за растущей зоны скользящего потока, отражение значительно уменьшается до тех пор, пока при углах наклона менее 20 градусов отражение перестает существовать.

Майлз ^[17] теоретически продемонстрировал, что волна Ствола Маха может быть усилена в четыре раза больше приходящих волн, что в два раза больше, чем при линейной суперпозиции падающей и отраженной волны.Однако Melville ^[18] не смог воспроизвести такие большие коэффициенты усиления в лаборатории. Совсем недавно Юн и Лю ^[19] использовали параболические приближения для изучения стволовых волн, индуцированных косой кноидальной волной перед вертикальным барьером, а Honda и Mase ^[20] применили нелинейную волну в частотной области. 2 [/ математике].{2} \ cot \ beta} \ normalsize, \ qquad (25) [/ math]

где [math] d_t [/ math] (m) — глубина воды на носке конструкции, [math] L_0 [/ math] — длина волны глубокой воды на пиковой частоте, [math] H_i [/ ​​math] — значительный инцидент. высота волны, [math] D [/ math] — это характерный диаметр каменной брони, а [math] \ tan \ beta [/ math] — это градиент конструкции. [math] R [/ math] оказался лучшим параметром, чем [math] \ xi [/ math] при прогнозировании отражения волн. Коэффициент отражения тогда определяется выражением

[математика] K_r = 0.{0.5}} \ normalsize. \ qquad (27) [/ математика]

Отражение волны за счет преломления

Отражение волн только из-за преломления может также происходить из-за очень быстрых изменений морского дна. В частности, когда волны приближаются к глубокому углубленному каналу с направлением или распространением под достаточно острым углом к ​​углубленному боковому откосу, и имеется достаточно большое изменение глубины воды, что, в свою очередь, приводит к большому и быстрому изменению скорости волны. , волна может отражаться от края канала.Аналогичным примером этого явления является внутреннее отражение световых лучей в стеклянной призме из-за изменений скорости волны между стеклом (мелкая вода) и воздухом (глубокая вода), при этом существенная разница состоит в том, что скорость волны зависит от глубина воды, она не постоянна на подходе к волнам или на боковом склоне канала. Это вполне реальное явление, и, если его не распознать, оно может привести к непреднамеренному отражению энергии волны в зону порта. Обратное также применимо, поскольку этот процесс также может быть использован для отражения энергии волн от входа в гавань.Также следует понимать, что волны с более длинным периодом также будут более восприимчивы к этому явлению из-за их относительно большей скорости на более глубокой воде. Когда дело доходит до волнового моделирования, описанного в разделе 3.9, следует, что любая числовая сетка, используемая в волновой модели, должна быть достаточно тонкой, чтобы уловить детали углубленного канала, чтобы правильно воспроизвести этот эффект.

Дифракция волн

Это процесс, при котором волны огибают препятствия излучением волновой энергии.На рис. 18 показан цуг наклонных волн, падающих на оконечность волнолома. Есть три различных региона:

1. область тени, в которой происходит дифракция;
2. короткая гребешковая область, в которой падающая и отраженная волны образуют clapotis gaufre;
3. невозмущенная область падающих волн.

В области (1) волны дифрагируют волновыми фронтами, образуя дуги окружности с центром в точке волнолома. Когда волны дифрагируют, высота волн уменьшается по мере того, как энергия падающей волны распространяется по области.Реальная ситуация, однако, сложнее, чем та, которая представлена ​​на рисунке 18. Отраженные волны в области (2) будут дифрагировать в область (3) и, следовательно, распространить систему с коротким гребнем в область (3).

Математическая формулировка дифракции волн

Математические решения для дифракции волн были разработаны для случая постоянной глубины воды с использованием теории линейных волн. 2 F (х, у) = 0 [/ математика].

Решения уравнения Гельмгольца

Решение уравнения Гельмгольца было впервые найдено Зоммерфельдом в 1896 году, который применил его к дифракции света (подробности можно найти в Dean & Dalrymple (1991)). Несколько позже Пенни и Прайс (1952) показали, что это же решение применимо к волнам на воде и представили решения для волн, падающих с разных направлений, проходящих через полубесконечный барьер, и для нормально падающих волн, проходящих через промежуток между барьерами [math] b [/ math ].Для случая нормального падения на полубесконечный барьер можно отметить, что для монохроматической волны коэффициент дифракции [math] K_d [/ math] (отношение высоты падающей и дифрагированной волны) составляет примерно 0,5 на краю. области тени и что [math] K_d [/ math] превышает 1.0 в «невозмущенной» области из-за дифракции отраженных волн, вызванной (идеально) отражающим барьером. Их решение для случая барьерной щели, по сути, представляет собой суперпозицию результатов для двух зеркальных полубесконечных барьеров.

Их диаграммы применимы для диапазона ширины зазора к длине волны ([math] b / L [/ math]) от 1 до 5. Когда [math] b / L [/ math] превышает 5, дифракционные картины от каждого барьера изменяются. не перекрываются, и, следовательно, применимо решение с полубесконечным барьером. Если [math] b / L [/ math] меньше единицы, зазор действует как точечный источник, и энергия волны излучается, как если бы она исходила из одной точки в центре зазора. Здесь важно отметить, что эти диаграммы не следует использовать для конструкции .Это связано с важностью учета спектров направленных волн.

Года (2000) впервые применил спектры направленности волн для определения дифракции волн. Подобно методике, описанной в разделе о преломлении и обмелении направленных спектров, он рассчитал эффективный коэффициент дифракции на основе суперпозиции дифракции всех направлений и частот составляющих волн, присутствующих в типичном состоянии ветровой волны, и, следовательно, построил новый набор дифракционных диаграмм.

Эти диаграммы показывают, что дифракция направленного случайного состояния моря весьма заметно отличается от случая монохроматического моря.На краю зоны тени для полубесконечного барьера [math] K_d [/ math] составляет приблизительно 0,7 (ср. [Math] K_d [/ math] = 0,5 для монохроматической волны), а волны большей высоты проникают через зона тени в эквивалентных точках. Это проиллюстрировано на рисунке 19. Для случая зазора барьера (ширина [math] b [/ math]) вариации высоты волны сглаживаются по сравнению с монохроматическим случаем, с меньшей высотой в области прямого проникновения и большей высотой. в теневых областях, как показано на рисунке 20.

Комбинированное преломление и дифракция

Преломление и дифракция часто возникают вместе. Например, использование модели волновых лучей над нерегулярной батиметрией может привести к образованию каустики (т.е. области пересечения волновых лучей). Здесь будет происходить дифракция, распространяющая энергию волны от областей с большой высотой волны. Другой пример — вокруг морских волноломов; здесь дифракция часто преобладает вблизи структуры, а преломление становится более важным при удалении от структуры.Требуется решение уравнения Лапласа над нерегулярной батиметрией, которое допускает как дифракцию, так и преломление. Такое решение было впервые получено в 1972 г. Berkhoff ^[23] . Это обычно известно как уравнение мягкого уклона, потому что решение ограничено медленной батиметрией, которая медленно изменяется в зависимости от длины волны. Это можно записать как

[математика] \ Large \ frac {\ partial} {\ partial x} \ normalsize \ left (cC_ {g} \ Large \ frac {\ partial \ phi} {\ partial x} \ normalsize \ right) + \ Large \ frac {\ partial} {\ partial y} \ normalsize \ left (cC_ {g} \ Large \ frac {\ partial \ phi} {\ partial y} \ normalsize \ right) + \ omega ^ {2} \ Large \ гидроразрыв {C_ {g}} {c} \ normalsize \ phi = 0 , \ qquad (28) [/ math]

где [math] \ phi (x, y) [/ math] — комплексная волновая потенциальная функция.Решение этого уравнения очень сложное и выходит за рамки этого текста. Тем не менее, заинтересованный читатель может обратиться к Dingemans ^[24] для обзора предмета. Одним из последних достижений в решении уравнения умеренного наклона является изобретение Li ^[25] . Эта версия уравнения мягкого наклона позволяет одновременно решать вопросы преломления, дифракции и отражения.

Он также был предметом полевого исследования. Первоначальные результаты можно найти в Ilic and Chadwick ^[26] . Они испытали эту модель на месте схемы морского волнолома Элмер (показано на рисунке 21), где преломление и отражение являются основными процессами в сторону моря от волноломов с дифракцией и преломлением, происходящими на берегу волноломов, и в физической модели (показанной на Рисунок 22).На рисунке 23 показана дифракция волн на схеме Хапписбург-Винтертон, Норфолк, Англия.

Волны конечной амплитуды

Уже отмечалось, что уравнения волн Эйри строго применимы только к волнам относительно небольшой высоты по сравнению с их длиной волны и глубиной воды. Для крутых волн и волн на мелководье профиль становится асимметричным с высокими гребнями и пологими впадинами. Для таких волн скорость и длина волны зависят от высоты волны и лучше описываются другими волновыми теориями.{3} [/ math]), впервые представленный в 1953 году.

Первая теория волн конечной амплитуды была разработана Стоксом в 1847 году. Она применима к крутым волнам на больших и переходных глубинах. Вслед за Стоксом Кортевег и де Фриз в 1895 году разработали теорию волн конечной амплитуды на мелководье. Они назвали эту теорию Кноидальной, аналогичной синусиодальной теории волн Эйри. Обе эти теории ослабляют предположения, сделанные в теории Эйри, которая, как описано ранее, линеаризует кинематические и динамические граничные условия на поверхности.В волновой теории Стокса [math] H / L [/ math] предполагается малым, а [math] h / L [/ math] может принимать широкий диапазон значений. Кинематическое граничное условие свободной поверхности затем выражается в виде степенного ряда в терминах [math] H / L [/ math], и ищутся решения вплоть до n-го порядка этого степенного ряда. Стокс получил решение второго порядка. В теории Кноида [math] H / h [/ math] предполагается малым, а [math] U_r [/ math] порядка единицы. Кортевег и де Фрис получили решение первого порядка.Гораздо позже (с 1960-х по 1980-е годы) эти две теории были расширены до более высоких порядков (третьего и пятого). Математика сложна, и впоследствии другие исследователи разработали новые методы, с помощью которых можно было получить решения любого произвольного порядка путем численного решения.

Решение Стокса для профиля поверхности определяется как:

[математика] \ eta = \ Large \ frac {H} {2} \ normalsize \ cos \ left \ {2 \ pi \ left (\ Large \ frac {x} {L} \ normalsize — \ Large \ frac { t} {T} \ normalsize \ right) \ right \} + \ Large \ frac {\ pi H} {8} \ normalsize \ left (\ Large \ frac {H} {L} \ normalsize \ right) \ Large \ frac {\ ch (kh) (2+ \ ch (2kh))} {\ sinh ^ {3} kh} \ normalsize \ cos \ left \ {4 \ pi \ left (\ Large \ frac {x} {L} \ normalsize — \ Large \ frac {t} {T} \ normalsize \ right) \ right \}.\ qquad (29) [/ математика]

Это уравнение отличается от линейного решения добавлением члена второго порядка. Его частота вдвое больше, чем у члена первого порядка, что, следовательно, увеличивает высоту гребня, уменьшает глубину впадины и, таким образом, увеличивает крутизну волны. Во втором порядке скорость волны остается такой же, как в линейной теории. Однако до третьего порядка скорость волны увеличивается с увеличением крутизны волны и примерно на 20 [математических] \% [/ математических] значений выше, чем дает линейная теория для глубоководных участков при предельной крутизне (1/7).

Полное математическое описание всех этих теорий выходит за рамки этой книги, и читателю отсылаем к Dean and Dalrymple ^[5] и Sorensen ^[4] для получения дополнительных сведений. Однако здесь полезно предоставить некоторую информацию об обстоятельствах, при которых могут применяться эти теории волн конечной амплитуды. Рисунок 24, взятый из Hedges ^[27] , дает полезные рекомендации.Можно отметить, что диапазон применимости линейной теории обнадеживающе широк, охватывая все переходные глубины воды для большинства крутых волн, встречающихся на практике. Для целей инженерного проектирования основным следствием использования линейной теории за пределами области ее применимости является то, что скорость волны и длина волны не являются строго правильными, что приводит к (некоторым) неточностям в анализе рефракции и мелководья. Кроме того, наличие асимметричных форм волн приведет к возникновению гармоник в Фурье-анализе записанных волновых следов, которые могут быть неправильно интерпретированы как свободные волны более высокой частоты.

Волновые силы

Волновые силы, воздействующие на береговые сооружения, сильно различаются и зависят как от волновых условий, так и от типа рассматриваемого сооружения. Необходимо рассмотреть три случая волновых условий, включая непрерывные, разрушающиеся и сломанные волны. Прибрежные сооружения также могут рассматриваться как принадлежащие к одному из трех типов: вертикальные стены (например, морские стены, кессонные волноломы), сооружения из каменных насыпей (например, каменные волноломы, бетонные бронированные волнорезы) и отдельные сваи (например, волноломы из бетона).грамм. для строительства причала). Здесь рассмотрение ограничивается изложением некоторых концепций и упоминанием некоторых разработанных расчетных уравнений. Более подробные сведения о конструкции и устойчивости прибрежных сооружений под воздействием волн и течений можно найти в Руководстве по горным породам ^[21] и Руководстве по прибрежным инженерным сооружениям ^[28]

Вертикальные стены

Силы, действующие на вертикальную стену под действием волн, можно рассматривать как состоящие из трех частей: сил статического давления, сил динамического давления и импульсных сил.Если конструкция размещена так, что падающие волны не прерываются, то стоячая волна будет существовать в сторону моря от стены, и будут существовать только статические и динамические силы. Их легко определить из теории линейных волн. Поскольку стоячая волна состоит из двух наложенных друг на друга прогрессивных волн, распространяющихся в противоположных направлениях, результирующее уравнение для давления под стоячей волной имеет ту же форму, что и для прогрессирующей волны. В уравнении следует использовать высоту стоячей волны, а не высоту падающей волны.Однако чаще конструкция должна будет противостоять силам, создаваемым разрушающимися или ломающимися волнами. Наиболее широко используемые формулы для оценки квазистатических пульсирующих сил как для сломанных, так и для непрерывных волн принадлежат Году ^{[29] [2]} .

Кроме того, очень высокие локализованные импульсные силы также могут возникать из-за обрушения волн. Эти карманы с воздухом, которые быстро сжимаются, что приводит к сильно изменяющимся импульсным силам (в 10-50 раз превышающим пульсирующие силы).Изучение этого явления является продолжающейся областью исследований, и в настоящее время нет общепринятых формул для предсказания таких сил (недавние результаты см. В Cuomo et al. ^[30] ). Силы ударного давления имеют очень короткую продолжительность (порядка десятых долей секунды) и, следовательно, обычно влияют на динамический отклик конструкции, а не на ее статическое равновесие.

Курган

В случае конструкций из каменных насыпей, волны обычно разбиваются о конструкцию, и их энергия частично рассеивается за счет турбулентности и трения, а оставшаяся энергия отражается и, возможно, передается.Многие волнорезы построены из больших каменных блоков («броневых единиц»), размещенных случайным образом над подходящими фильтрующими слоями. В последнее время на смену камню пришли многочисленные формы массивных бетонных блоков (например, долос, четвероногие и глыбы). Необходимый размер единиц брони зависит от нескольких взаимосвязанных факторов (высота волны, тип и плотность боевой единицы, наклон конструкции и проницаемость). Традиционно использовалась формула Гудзона. Это было получено из анализа всесторонней серии испытаний физической модели волноломов с относительно проницаемыми кернами и с использованием регулярных волн.Совсем недавно (1985–1993 гг.) Эти формулы были заменены формулами, разработанными на основе обширной серии испытаний физических моделей. В этих испытаниях использовались случайные волны, а также учитывалось влияние периода волн и количества штормовых волн. Разработаны новый критерий повреждения и условный коэффициент проницаемости керна. Уравнения предназначены для использования в тех случаях, когда конструкция находится на глубокой воде, когда волны либо разбиваются о конструкцию, либо вызывают нагон. Для получения дополнительной информации см. «Устойчивость волноломов и береговых укреплений из каменных насыпей» и «Руководство по камням» ^[21] .

Вертикальные сваи

Наконец, для случая непрерывных волновых сил, действующих на сваи, уравнение Моррисона ^[31] является вариантом, который используется для расчета. Это уравнение предполагает, что действуют две силы. Это сила сопротивления ([math] F_D [/ math]), вызванная отрывом потока вокруг сваи, и сила инерции ([math] F_I [/ math]) из-за ускорения потока. В случае вертикальной сваи необходимо учитывать только горизонтальные скорости ([math] u [/ math]) и ускорения ([math] a_x [/ math]) (см. Уравнения 4b, 4c).2/4) a_x [/ math], где [math] C_M [/ math] — коэффициент инерции.

Общее «встроенное» изображение определяется как [математика] F = F_D + F_I. \ qquad (30) [/ математика]

Уравнение Моррисона получено из комбинации теоретических соображений и эмпирических данных, а не из первых принципов. Уравнение не включает подъемную силу и силу удара и наиболее целесообразно применять к тонким круглым сваям или трубам, подверженным непрерывным волнам. С учетом линейных волн скорость [math] u [/ math] и соответствующая составляющая ускорения задаются уравнениями 4b и 4c соответственно.{\ circ} [/ math] не в фазе. Полная сила, действующая на вертикальную сваю, должна быть найдена как их сумма, проинтегрированная по длине сваи. Типичные значения [math] C_D [/ math] и [math] C_M [/ math] для цилиндров равны 1 и 2 соответственно. Число A / D имеет особое значение и известно как число Келегана-Карпентера. Точные значения [math] C_D [/ math] и [math] C_M [/ math] трудно установить на основе полевых измерений, но рекомендуемые значения были опубликованы (см. Руководство по прибрежной инженерии ^[28] и BS6349 ^{[15] ]} ).5 [/ математика] [математика] 0,6–0,7 [/ математика]

Если используются эти таблицы, то число Рейнольдса должно быть рассчитано с использованием максимальной скорости, связанной с волной.

Процессы зоны прибоя

Общее описание зоны серфинга

Для простоты рассмотрим случай побережья с морским дном и пляжем, состоящим из песка. Наклон пласта обычно будет довольно пологим (скажем, 0,01 [math] \ lt \ beta \ lt [/ math] 0.03). Поэтому волны будут иметь тенденцию разбиваться на некотором расстоянии от берега или береговой линии (т. Е. Контурной линии пляжа, которая соответствует уровню спокойной воды, см. Рисунок 25). В этой начальной точке излома волна будет иметь высоту [math] H_b [/ math] и угол [math] \ alpha_b [/ math] к линии пляжа. Область между этой начальной точкой и пляжем известна как зона прибоя. В этом регионе высота отдельной волны во многом определяется глубиной воды. Высота волны будет постепенно уменьшаться по мере приближения к пляжу, и характерная пена или образование прибоя будут видны на фронте волны (см. Рис. 26 для реального примера).

Механика этого прогрессивного разрушения очень сложна. Краткое изложение выглядит следующим образом:

• Обеспечивает турбулентность и аэрацию.
• Значительные скорости изменения индуцируются в импульсе элементов жидкости, которые составляют волну. Это создает импульсную силу, которую можно разделить на две составляющие (рис. 25). Компонент, расположенный параллельно береговой линии, является причиной соответствующего «прибрежного течения».Компонент, который перпендикулярен береговой линии, вызывает увеличение глубины воды над уровнем спокойной воды, и это обычно называется «установкой».
• Энергия теряется из-за трения в слое и из-за создания турбулентности. Потери на трение возникают как из-за колебательного движения на морском дне, вызванного волной, так и из-за однонаправленного движения прибрежного течения. Эти два движения не являются полностью независимыми, и их взаимодействие оказывает значительное влияние на трение в постели.

Разрушение волн

Есть два критерия, которые определяют, когда волна сломается. Первый — это ограничение крутизны волны, а второй — ограничение отношения высоты волны к глубине воды. Теоретические пределы были выведены из теории уединенной волны, которая представляет собой одиночную волну с гребнем и без впадины. Такую волну впервые наблюдал Рассел в 1840 году, когда она создавалась баржей на канале Форт и Клайд. Эти два критерия определяются:

1. Крутизна [математика] H / L \ lt 1/7 [/ математика].Обычно это ограничивает высоту глубоководных волн.
2. Отношение высоты к глубине: индекс разрушения [математика] \ gamma = H / h = 0,78 [/ math].

На практике [math] \ gamma [/ math] может варьироваться примерно от 0,4 до 1,2 в зависимости от наклона пляжа и типа волнолома.

Goda ^[2] предоставляет расчетную диаграмму для предельной высоты прерывателя регулярных волн, которая основана на компиляции ряда лабораторных результатов. Он также представляет уравнение, которое является приближением к расчетной диаграмме и выражается следующим образом:

[математика] \ Large \ frac {H_ {b}} {L_ {o}} \ normalsize = 0.{4/3} \ beta \ right) \ right] \ right \}. \ qquad (32) [/ математика]

где [math] \ tan \ beta [/ math] — это наклон пляжа, [math] H_b [/ math] высота волны при обрушении и [math] L_0 [/ math] длина волны на глубине. Для случая случайного Goda ^[2] также представляет набор уравнений для прогнозирования высоты волны в зоне прибоя на основе совокупности полевых, лабораторных и теоретических результатов.

Типы выключателей

Разрывные волны можно классифицировать по одному из трех типов, как показано на Рисунке 27.Тип можно приблизительно определить по значению параметра схожести серфинга (или числа Ирибаррена) [math] \ xi _ {b} = \ tan \ beta / \ sqrt {H_ {b} / L_ {b}}, [/ math], где [math] L_b [/ math] — длина волны при разрыве.

Выталкиватели (рис. 28) возникают, когда [математика] \ xi _ {b} \ lt [/math visible0.4, врезные выключатели (рис. 29), когда 0,4 [математика] \ le \ xi _ {b} \ le [/ math] 2.0 и импульсные прерыватели, когда [math] \ xi _ {b} \ gt [/math visible2.0.

Battjes ^[32] найдено из реальных данных, что для 0.{0,17} +0,08. \ qquad (33) [/ математика]

Дополнительную информацию можно найти в Horikawa ^[8] и Fredsoe and Deigaard ^[33] ; см. также Указатель выключателя.

Установка и настройка волны

В случае падения волны перпендикулярно берегу береговой импульсный поток (т.е. радиационное напряжение) [математика] S_ {XX} [/ математика], определенный в разделе «Теория радиационного напряжения», должен уравновешиваться равной и противоположной силой для достижения равновесия. .Это проявляется в виде наклона среднего уровня стоячей воды (определяемого как [math] d \ eta / dx [/ math]).

Рассмотрим контрольный объем, показанный на рисунке 30, в котором существует установка [math] \ overline {\ eta} [/ math] на уровне стоячей воды, вызванная воздействием волн. Действующие силы — это силы давления [math] F_p [/ math], сила реакции на дне [math] R_x [/ math] и радиационные напряжения (все силы — это усредненные по периоду волны).{2} = \ rho g (h + \ overline {\ eta}) \ left (\ Large \ frac {dh} {dx} \ normalsize + \ Large \ frac {d \ overline {\ eta}} {dx} \ normalsize \ right) \ qquad (35) [/ math]

и как [math] R_x [/ math] для пологого дна происходит из-за давления на дно,

[математика] R_ {x} = \ overline {p} \ delta h = \ overline {p} \ Large \ frac {dh} {dx} \ normalsize \ delta x = \ rho g (h + \ overline {\ eta }) \ Large \ frac {dh} {dx} \ normalsize \ delta x. \ qquad (36) [/ математика]

После подстановки уравнений (35, 36) в уравнение (34) окончательный результат будет

[математика] \ Large \ frac {dS_ {XX}} {dx} \ normalsize + \ rho g (h + \ overline {\ eta}) \ Large \ frac {d \ overline {\ eta}} {dx} \ normalsize = 0, \ qquad (37) [/ math]

где [math] \ overline {\ eta} [/ math] — это разница между уровнем стоячей воды и средним уровнем воды при наличии волн.{2}} {\ sinh (2kh)} \ normalsize. \ qquad (38) [/ математика]

Это называется набором ([math] \ overline {\ eta _ {d}} [/ math]) и демонстрирует, что средний уровень воды уменьшается на мелководье. Внутри зоны прерывателя поток импульса быстро уменьшается с уменьшением высоты волны. Это вызывает установку на ([math] \ overline {\ eta _ {u}} [/ math]) среднего уровня спокойной воды. В предположении, что внутри зоны прибоя высота изломанной волны определяется глубиной, такой что

[математика] H = \ gamma (\ overline {\ eta} + h), \ qquad (39) [/ math]

где [математика] \ гамма \ приблизительно [/ математика] 0.2} {8} \ normalsize (h_ {b} -h) + \ overline {\ eta _ {d_ {b}}}, \ qquad (41) [/ математика]

демонстрирует, что внутри зоны прибоя наблюдается быстрое повышение среднего уровня воды. Таким образом, можно понять, что установка довольно мала, а установка намного больше. В общем, установка волны составляет менее 5 [математических] \% [/ math] глубины обрушения, а установка волны составляет около 20-30 [математических] \% [/ math] глубины обрушения. Также можно отметить, что в реальном море, состоящем из волн различной высоты и периодов, волновая структура будет меняться вдоль береговой линии в любой момент.Это может вызвать явление, называемое волнами прибоя (см. Инфрагравитационные волны). Волны также способствуют выходу за пределы морских защитных сооружений во время шторма и, таким образом, могут быть фактором, способствующим затоплению побережья.

Компоненты радиационного напряжения для наклонных волн

Радиационные напряжения [math] S_ {XX} [/ math], [math] S_ {YY} [/ math], по сути, являются основными напряжениями. Используя теорию главных напряжений, напряжения сдвига также будут действовать в любой плоскости под углом к ​​главным осям. Это показано на рисунке 31 для случая падения косой волны на береговую линию. Угол падения волны [math] \ alpha [/ math] обычно принимается равным углу падения волны на линии разлома, который определяется как контур глубины, на котором волны начинают разбиваться в соответствии с критерием разлома [math] H = \ gamma ч [/ математика].{2} \ alpha + G \ right], [/ math]

[математика] S_ {xy} = S_ {XX} \ sin \ alpha \ cos \ alpha -S_ {YY} \ sin \ alpha \ cos \ alpha = \ Large \ frac {1} {2} \ normalsize E \ left [\ left (1 + G \ right) \ sin \ alpha \ cos \ alpha \ right], \ qquad (42) [/ math]

где [математика] G = 2х / \ sinh (2х). [/ math] Выражения с правыми членами следуют из уравнений (10, 11).

Береговые течения

Теория радиационного напряжения успешно использовалась для объяснения наличия прибрежных течений. Первоначальная теория красноречиво объяснена Лонге-Хиггинсом ^[7] .Впоследствии Комар ^[9] , в результате его собственных теоретических и полевых исследований, развил теорию дальше и представил пересмотренные уравнения. Все вышесказанное кратко изложено в Hardisty ^[13] . Здесь приводится краткое изложение основных принципов вместе с формулировкой основных уравнений.

Выражение для средней продольной скорости за период волны ([math] \ overline {\ nu _ {l}} [/ math]) было получено из следующих соображений.Во-первых, за пределами зоны прибоя поток энергии к берегу ([math] P_x [/ math]) волны, бегущей под косым углом ([math] \ alpha [/ math]), постоянен и определяется выражением (см. Уравнение (8 ))

[математика] P_ {x} = Ec_ {g} \ cos \ alpha. \ qquad (43) [/ математика]

Во-вторых, радиационное напряжение ([math] S_ {xy} [/ math]), которое представляет собой поток [math] y [/ math] -импульса, параллельный береговой линии, через плоскость [math] x [/ math] = константа определяется выражением

[математика] S_ {xy} = \ Large \ frac {1} {2} \ normalsize E (1 + G) \ cos \ alpha \ sin \ alpha = E \ left (\ Large \ frac {c_ {g} } {c} \ normalsize \ right) \ cos \ alpha \ sin \ alpha.\ qquad (44) [/ математика]

Следовательно, комбинируя уравнения (43, 44), [математика] S_ {xy} = P_ {x} c / \ sin \ alpha [/ math] вне зоны прибоя. Из-за закона Снеллиуса [math] \ sin \ alpha / c [/ math] = constant, [math] S_ {xy} [/ math] также является постоянным. Однако внутри зоны прибоя это уже не так, поскольку поток волновой энергии быстро рассеивается. Чистая тяга ([math] F_y [/ math]) на единицу площади, создаваемую волнами, определяется выражением

[математика] F_ {y} = \ Large \ frac {- \ partial S_ {xy}} {\ partial x} \ normalsize.{2} \ tan \ beta \ sin \ alpha. \ qquad (46) [/ математика]

Наконец, предположив, что эта тяга уравновешивается сопротивлением трения в береговом ([math] y [/ math]) -направлении, он получил выражение для средней скорости вдоль берега [math] \ overline {\ nu _ {l} } [/ math], заданный

[математика] \ overline {\ nu _ {l}} = \ Large \ frac {5 \ pi} {8C} \ normalsize u_ {mb} \ tan \ beta \ sin \ alpha, \ qquad (47) [/ математика]

где [math] C [/ math] — коэффициент трения.

Впоследствии Комар ^[9] обнаружил на основе анализа полевых данных, что [math] \ tan \ beta / C [/ math] был фактически постоянным, и поэтому он предложил модифицированную формулу, которая

[математика] \ overline {\ nu _ {l}} = 2.7u_ {mb} \ sin \ alpha \ cos \ alpha, \ qquad (48) [/ математика]

, в котором термин [math] \ cos \ alpha [/ math] был добавлен для учета больших углов падения (Longuet-Higgins ^[7] предполагал [math] \ alpha [/ math] малым и, следовательно, [ math] \ cos \ alpha \ to 1 [/ math]).

Распределение прибрежных течений в зоне прибоя также изучалось Лонге-Хиггинсом и Комаром. Распределение зависит от предположений, сделанных относительно коэффициента горизонтального вихря, который имеет эффект передачи горизонтального импульса через зону прибоя.Komar ^[9] представляет набор уравнений для прогнозирования распределения.

Дополнительная литература

• Рив Д., Чедвик А. Дж., Флеминг К. (2012). Береговая инженерия: процессы, теория и практика проектирования (2-е изд) E & FN Spon.
• Открытый университет, 1989. Волны, приливы и процессы на мелководье, Pergamon Press, Оксфорд.
• Хорикава, К. (редактор), 1988. Прибрежная динамика и прибрежные процессы, теоретические измерения и прогностические модели, Токийский университет, Токио.

Статьи по теме

Инфрагравитационные волны

Статистическое описание параметров волн

Прибрежный дрейф и моделирование береговой линии

Список литературы

1. ↑ Рив, Д., Чедвик, А. Дж., Флеминг, К. (2012). Береговая инженерия: процессы, теория и практика проектирования (2-е изд) E & FN Spon.
2. ↑ ^{2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2.6 2,7 2,8 2,9} Года, Ю., 2000. Случайные моря и проектирование морских сооружений, Продвинутая серия по океанотехнике, Vol. 15, World Scientific.
3. ↑ Хант, Дж. Н., 1979. Решение волнового дисперсионного уравнения по направлению. Журнал инженерии водных путей, портов, прибрежных районов и океана (ASCF), 105 (WW4), 457-459.
4. ↑ ^{4,0 4,1} Соренсен Р.М., 1993. Основы волновой механики для инженеров прибрежных районов и океанов, John Wiley & Sons, Нью-Йорк.
5. ↑ ^{5,0 5,1 5,2} Dean, R.G. & Dalrymple, R.A., 1991. Механика волн на воде для инженеров и ученых, Advanced Series on Ocean Engineering, Vol. 2, World Scientific, Сингапур.
6. ↑ Лонге-Хиггинс, М. И Стюарт Р.В., 1964. Радиационные напряжения в водных волнах: физическое обсуждение, с приложениями, Deep Sea Res., 11, 529-562.
7. ↑ ^{7,0 7,1 7,2 7,3} Лонге-Хиггинс, М.С., 1970. Прибрежные течения, создаваемые наклонно падающими морскими волнами. Журнал геофизических исследований, 75, 6778-6789.
8. ↑ ^{8,0 8,1} Хорикава, К., 1978 г. Прибрежная инженерия, Университет Токио, Токио.
9. ↑ ^{9,0 9,1 9,2 9,3} Комар, П.Д., 1976. Процессы на пляже и отложения, Прентис-Холл, Энглвуд-Клифс, Нью-Джерси.
10. ↑ ^{10,0 10,1} Сильвестр Р., 1974.Coastal Engineering, тома 1 и 2, Elsevier, Oxford.
11. ↑ Кутитас, Г.К., 1988. Математические модели в прибрежной инженерии, Pentech Press, Лондон.
12. ↑ Дайер, К.Д., 1986. Динамика прибрежных и эстуарных отложений, Уайли, Чичестер.
13. ↑ ^{13.0 13.1} Hardisty, J., 1990. Beaches Form and Process, Unwin Hyman, London
14. ↑ Соулсби Р.Л., 1997. Динамика морских песков. Томас Телфорд, Лондон
15. ↑ ^{15,0 15.1} BSI, BS6349, 1984. Морские сооружения, Британский институт стандартов, Лондон, Великобритания
16. ↑ Hedges, T.S., 1987. Комбинации волн и токов: введение. Proc. Inst. Civ. Engrs, Part 1, 1987, июнь, 567-585.
17. ↑ Майлз Дж., 1980, Уединенные волны. Annual Review of Fluid Mechanics}, 12, 11-43, январь.
18. ↑ Мелвилл, W.K., 1980. О маховском отражении уединенной волны. Journal of Fluid Mechanics}, 98, 285-297.
19. ↑ Юн, С. и Лю П.Л.-Ф., 1989. Стволовые волны вдоль волнолома. Журнал водного пути, порта, побережья и океанической инженерии (ASCE), 115, 635-648.
20. ↑ Хонда К. и Мейз Х., 2007. Применение нелинейной волновой модели в частотной области к эволюции станка и преобразованию волн на рифе. Труды 5-й Международной конференции по береговым сооружениям, ASCE, Венеция, Италия.
21. ↑ ^{21,0 21,1 21,2} CIRIA / CUR / CETMEF 2007. Руководство по камням. Использование горных пород в гидротехнике (2-е изд.). C683. Лондон: CIRIA
22. ↑ Дэвидсон, М.А., Берд, П.А.Д., Баллок, Г.Н. и Хантли, Д.А., 1996. Новое безразмерное число для анализа отражения волн от волноломов из каменных насыпей. Береговая инженерия, 28, с. 93—120.
23. ↑ Berkhoff, J.C.W., 1972. Расчет комбинированной рефракции-дифракции, Proc. 13-я Международная конференция по прибрежной инженерии, Лиссабон, 55-69.
24. ↑ Dingemans, M.W., 1997. Распространение водных волн на неровном дне. Продвинутая серия по океанической инженерии, том 13.World Scientific, Лондон.
25. ↑ Ли Б., 1994. Обобщенная модель сопряженного градиента для уравнения мягкого уклона, Coastal Engineering, 23, 215-225.
26. ↑ Ilic, S. & Chadwick, A.J., 1995. Оценка и проверка модели уравнения эволюции мягкого уклона для комбинированной рефракции-дифракции с использованием полевых данных, Coastal Dynamics 95, Гданьск, Польша, стр. 149-160.
27. ↑ Хеджес, Т.С., 1995. Области применимости аналитических волновых теорий. Proc. Inst. Civ. Англ., Wat., Marit., & Energy, 112, июнь, 111–114.
28. ↑ ^{28,0 28,1} USACE, 2012. Руководство по прибрежному проектированию. Отчет № 110-2-1100. Вашингтон, округ Колумбия: Инженерный корпус армии США https://www.publications.usace.army.mil/USACE-Publications/Engineer-Manuals/u43544q/636F617374616C20656E67696E656572696E67206D616E75616C/
29. ↑ Года Ю., 1974. Новые формулы волнового давления для составных волноломов, Тр. 14-й Int. Конференция по прибрежной инженерии, ASCE, Нью-Йорк
30. ↑ Куомо, Г., Оллсоп, В., Брюс, Т. и Пирсон, Дж. (2010). Разрушающие волновые нагрузки на вертикальные дамбы и волноломы. Береговая инженерия 57, 424-439
31. ↑ Моррисон, Дж. Р., Джонсон, Дж. У., О’Брайен, М. и Шааф, С.А., 1950. Силы, оказываемые поверхностными волнами на сваи, Нефтяные операции, Американский институт горных инженеров, Том 189, 145-154.