Связь ускорения и угловой скорости: Определение движение по окружности. I

Содержание

Движение токи по окружности

I. Механика

Тестирование онлайн

Так как линейная скорость равномерно меняет направление, то движение по окружности нельзя назвать равномерным, оно является равноускоренным.

Угловая скорость

Выберем на окружности точку 1. Построим радиус. За единицу времени точка переместится в пункт 2. При этом радиус описывает угол. Угловая скорость численно равна углу поворота радиуса за единицу времени.

Период и частота

Период вращения T — это время, за которое тело совершает один оборот.

Частота вращение — это количество оборотов за одну секунду.

Частота и период взаимосвязаны соотношением

Связь с угловой скоростью

Линейная скорость

Каждая точка на окружности движется с некоторой скоростью. Эту скорость называют линейной. Направление вектора линейной скорости всегда совпадает с касательной к окружности. Например, искры из-под точильного станка двигаются, повторяя направление мгновенной скорости.

Рассмотрим точку на окружности, которая совершает один оборот, время, которое затрачено — это есть период T. Путь, который преодолевает точка — это есть длина окружности.

Центростремительное ускорение

При движении по окружности вектор ускорения всегда перпендикулярен вектору скорости, направлен в центр окружности.

Используя предыдущие формулы, можно вывести следующие соотношения

Точки, лежащие на одной прямой исходящей из центра окружности (например, это могут быть точки, которые лежат на спице колеса), будут иметь одинаковые угловые скорости, период и частоту. То есть они будут вращаться одинаково, но с разными линейными скоростями. Чем дальше точка от центра, тем быстрей она будет двигаться.

Закон сложения скоростей справедлив и для вращательного движения. Если движение тела или системы отсчета не является равномерным, то закон применяется для мгновенных скоростей. Например, скорость человека, идущего по краю вращающейся карусели, равна векторной сумме линейной скорости вращения края карусели и скорости движения человека.

Вращение Земли

Земля участвует в двух основных вращательных движениях: суточном (вокруг своей оси) и орбитальном (вокруг Солнца). Период вращения Земли вокруг Солнца составляет 1 год или 365 суток. Вокруг своей оси Земля вращается с запада на восток, период этого вращения составляет 1 сутки или 24 часа. Широтой называется угол между плоскостью экватора и направлением из центра Земли на точку ее поверхности.

Связь со вторым законом Ньютона

Согласно второму закону Ньютона причиной любого ускорения является сила. Если движущееся тело испытывает центростремительное ускорение, то природа сил, действием которых вызвано это ускорение, может быть различной. Например, если тело движется по окружности на привязанной к нему веревке, то действующей силой является сила упругости.

Если тело, лежащее на диске, вращается вместе с диском вокруг его оси, то такой силой является сила трения. Если сила прекратит свое действие, то далее тело будет двигаться по прямой

Как вывести формулу центростремительного ускорения

Рассмотрим перемещение точки на окружности из А в В. Линейная скорость равна v_A и v_B соответственно. Ускорение — изменение скорости за единицу времени. Найдем разницу векторов.

Разница векторов есть . Так как , получим

Движение по циклоиде*

В системе отсчета, связанной с колесом, точка равномерно вращается по окружности радиуса R со скоростью , которая изменяется только по направлению. Центростремительное ускорение точки направлено по радиусу к центру окружности.

Теперь перейдем в неподвижную систему, связанную с землей. Полное ускорение точки А останется прежним и по модулю, и по направлению, так как при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой ускорение не меняется. С точки зрения неподвижного наблюдателя траектория точки А — уже не окружность, а более сложная кривая (циклоида), вдоль которой точка движется неравномерно.

Мгновенная скорость определяется по формуле

Источник

Движение материальной точки по окружности. Угловая скорость и угловое ускорение и их связь с линейными характеристиками движения

Движение по окружности – частный случай криволинейного движения. Скорость

тела в любой точке криволинейной траектории направлена по касательной к ней (рис.2.1). Скорость как вектор при этом может изменяться и по модулю (величине) и по направлению. Если модуль скоростиостается неизменным, то говорят оравномерном криволинейном движении.

Пусть тело движется по окружности с постоянной по величине скоростью из точки 1 в точку 2.

При этом тело пройдет путь, равный длине дуги ℓ₁₂между точками 1 и 2 за времяt. За это же времяtрадиус- векторR, проведенный из центра окружности 0 к точке, повернется на угол Δφ.

Вектор скорости в точке 2 отличается от вектора скорости в точке 1 по направлениюна величину ΔV:

;

Для характеристики изменения вектора скорости на величину δv введем ускорение :

(2.4)

Вектор

в любой точке траектории направлен по радиусуRкцентруокружности перпендикулярно к вектору скоростиV₂. Поэтому ускорение, характеризующее при криволинейном движении изменение скоростипо направлению, называютцентростремительным или нормальным. Таким образом, движение точки по окружности с постоянной по модулю скоростью являетсяускоренным.

Если скорость

изменяется не только по направлению, но и по модулю (величине), то кроме нормального ускорениявводят еще икасательное (тангенциальное) ускорение, которое характеризует изменение скорости по величине:

или

Направлен вектор

по касательной в любой точке траектории (т.е. совпадает с направлением вектора). Угол между векторамииравен 90 0 .

Полное ускорение точки, движущейся по криволинейной траектории, определяется как векторная сумма (рис.2.1.).

Модуль вектора

Угловая скорость и угловое ускорение

При движении материальной точки по окружностирадиус-векторR, проведенный из центра окружности О к точке, поворачивается на угол Δφ (рис.2.1). Для характеристики вращения вводятся понятия угловой скорости ω и углового ускорения ε.

Угол φ можно измерять в радианах. 1 радравен углу, который опирается на дугу ℓ, равную радиусуRокружности, т.е.

илиℓ₁₂= Rφ(2.5.)

Продифференцируем уравнение (2.5.)

(2.6.)

Величина dℓ/dt=V_мгн. Величину ω =dφ/dtназываютугловой скоростью(измеряется в рад/с). Получим связь между линейной и угловой скоростями:

еличина ω векторная. Направление вектораопределяетсяправилом винта (буравчика): оно совпадает с направлением перемещения винта, ориентированного вдоль оси вращения точки или тела и вращаемого в направлении поворота тела (рис.2.2), т.е..

Угловым ускорением

называется векторная величина производная от угловой скорости (мгновенное угловое ускорение)

, (2.8.)

Вектор

совпадает с осью вращения и направлен в туже сторону, что и вектор, если вращение ускоренное, и в противоположную, если вращение замедленное.

Число оборотов n тела в единицу времени называют частотой вращения.

Время Т одного полного оборота тела называют периодом вращения. При этом R опишет угол Δφ=2π радиан

С учетом сказанного

, (2.9)

Уравнение (2.8) можно записать следующим образом:

(2.10)

Тогда тангенциальная составляющая ускорения

Нормальное ускорение а_nможно выразить следующим образом:

с учетом (2.7) и (2.9)

(2.12)

Тогда полное ускорение

Для вращательного движения с постоянным угловым ускорением можно записать уравнение кинематики по аналогии с уравнением (2.1) – (2.3) для поступательного движения:

Источник

Движение токи по окружности

При малых углах поворота .

Угловая скорость измеряется в рад/с .

Связь между модулем линейной скорости и угловой скоростью :

При равномерном движении тела по окружности величины и остаются неизменными. В этом случае при движении изменяется только направление вектора

Равномерное движение тела по окружности является движением с ускорением. Ускорение

направлено по радиусу к центру окружности. Его называют нормальным или центростремительным ускорением . Модуль центростремительного ускорения связан с линейной и угловой скоростями соотношениями:

Для доказательства этого выражения рассмотрим изменение вектора скорости за малый промежуток времени . По определению ускорения

Векторы скоростей и в точках и направлены по касательным к окружности в этих точках. Модули скоростей одинаковы .

Из подобия треугольников и (рис. 1.6.2) следует:

При малых значениях угла расстояние . Так как и , из подобия треугольников на рис. 1.6.2 получаем:

При изменении положения тела на окружности изменяется направление на центр окружности. При равномерном движении тела по окружности модуль ускорения остается неизменным, но направление вектора ускорения изменяется со временем. Вектор ускорения в любой точке окружности направлен к ее центру. Поэтому ускорение при равномерном движении тела по окружности называется центростремительным.

В векторной форме центростремительное ускорение может быть записано в виде

где – радиус-вектор точки на окружности, начало которого находится в ее центре.

В этой формуле – изменение модуля скорости за промежуток времени .

Направление вектора полного ускорения определяется в каждой точке круговой траектории величинами нормального и касательного ускорений (рис. 1.6.3).

Движение тела по окружности можно описывать с помощью двух координат и (плоское движение). Скорость тела в каждый момент можно разложить на две составляющие и (рис. 1.6.4).

Источник

Движение по окружности

Наряду с движением вдоль прямой в школьной физике рассматривают движение по окружности. Для него, по аналогии с прямолинейным движением, вводятся понятия пройденного пути, скорости движения и ускорения.

В физике выделяют несколько видов движения тел. Движение по окружности – это один из случаев движения вдоль кривой линии — криволинейного движения.

Сравним понятия пройденного пути, скорости и ускорения для прямолинейного движения и движения по окружности.

Угловой путь

Для начала, вспомним, что линейное перемещение – это разница между конечным и начальным положением точки на оси (рис. 1).

Рассмотрим теперь колесо (рис. 2). На горизонтальной линии, проходящей через диаметр колеса, справа отметим красную точку, от которой мы начнем отсчитывать углы. Условимся считать, что возле этой точки находится нулевой угол.

На ободе колеса выберем точку, например — ниппель. Сначала ниппель находился в точке 1. Точка 1 сдвинута на угол $\gamma_$ относительно начала отсчета.

Будем вращать колесо в направлении, обозначенном синей стрелкой. Повернем колесо на некоторый угол, так, чтобы к концу движения ниппель переместился в точку, обозначенную цифрой 2 на рисунке. Эта точка смещена на угол $\gamma_$ по отношению к началу отсчета.

По аналогии с поступательным движением, угловой путь, который прошел ниппель — это разница (разность) угловых положений точек 1 и 2.

$\varphi \left( \text\right)$ – угловой путь измеряется в радианах.

Угловой путь – это угол, на который повернулся ниппель, по отношению к его начальному положению.

Угловая скорость — куда она направлена

Если тело двигалось равномерно (с неизменной скоростью), то линейную скорость можно определить по формуле

$v \left( \frac> \right)$ — линейная скорость – это путь, деленный на время, поэтому она имеет размерность метров деленных на секунду.

Аналогично линейному случаю, если угловой путь поделить на время движения, получим угловую скорость.

$\omega \left( \frac> \right)$ – угловая скорость – это угловой путь, деленный на время, поэтому она имеет размерность радиан деленных на секунду.

Угловая скорость $ \omega $, так же, как и линейная скорость, является вектором. Но в отличии от линейной скорости его направление можно определить по правилу буравчика (правого винта).

Примечание: Направление вектора угловой скорости $ \vec $ можно определить по правилу буравчика (правого винта)!

На рисунке 3 окружность располагается в горизонтальной плоскости, а вектор $ \vec$ направлен вдоль вертикальной оси вращения. Направление вращения указано синей стрелкой.

При движении по окружности вектор линейной скорости $\vec$ изменяет свое направление. Но в каждой точке окружности вектор $\vec$ направлен по касательной к окружности, т. е. перпендикулярно радиусу.

Примечание: Касательная и радиус перпендикулярны, это известно из геометрии.

Если точка начнет вращаться в противоположную сторону, то векторы линейной и угловой скорости развернутся противоположно направлениям, указанным на рисунке 3.

Связь между линейной и угловой скоростью

Угловая и линейная скорость связаны математически. Линейная скорость – это векторное произведение вектора угловой скорости и вектора радиуса окружности.

Примечание: Радиус окружности – это вектор, он направлен от центра окружности к ее внешней границе.

Скалярный вид записи связи скоростей:

$\omega \left( \frac> \right)$ – угловая скорость;

$v \left( \frac> \right)$ — линейная скорость;

$R \left( \text\right)$ – радиус окружности.

Частота и период

Вращательное движение описывают с помощью таких характеристик, как частота и период.

Период обращения – это время одного полного оборота. В системе СИ период измеряют в секундах. \]

Частота и период связаны обратной пропорциональностью:

Количество оборотов

Двигаясь по окружности достаточное время, тело может пройти не один оборот. Зная угловой путь $\varphi $ мы можем вычислить количество N оборотов.

$ N $ – количество оборотов, скаляр. Обороты считают поштучно.

Связь между угловой скоростью и частотой

Разделим обе части уравнения на время t, в течение которого тело вращалось

Левая часть уравнения – это угловая скорость.

А дробь в правой части – это частота

Таким образом, мы получили связь между угловой скоростью и частотой

Примечание: Решая задачи на равноускоренное движение по окружности, удобно переходить от частоты к угловой скорости. Тогда можно будет применять аналогию с формулами для равноускоренного движения по прямой.

Источник

угловая скорость и угловое ускорение, их связь с линейной скоростью и ускорением

Вращательным называют такое движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной кривой, называемой осью вращения (рис.1.9).Ось вращения может находиться как внутри (рис.1.9.а), так и вне тела (рис.1.9.б).

Поворот тела на некоторый угол можно задать в виде отрезка, длина которого, а направление совпадает с осью вращения. Для того, чтобы указать, в какую сторону совершается поворот вокруг данной оси, связывают направление поворота и изображающего его отрезка правилом правого винта: направление отрезка должно быть таким, чтобы, глядя вдоль него, мы видели поворот совершающимся по часовой стрелке (рис.1.10). Вектор поворотаявляется не истинным вектором, а псевдовектором.

Векторная величина ,

где –время, за которое совершается поворот, называется угловой скоростью тела. Она направлена по оси вращения в сторону, определяемую правилом правого винта, и представляет собой псевдовектор. Модуль угловой скорости равен.

Вращение с постоянной угловой скоростью называют равномерным. Такое движение характеризуют периодом , под которым понимают время полного оборота. При этом, тогда, и. Число оборотов в единицу времени ( частота обращения) равно.

Подставив, получаем:.

Вектор может изменяться как при изменении скорости вращения тела вокруг оси ( по величине), так и при повороте оси вращения в пространстве ( в этом случаеменяется по направлению). Изменение вектора угловой скорости со временем характеризуется угловым ускорением. Угловое ускорение, также как и угловая скорость, является псевдовектором.

Отдельные точки вращающегося тела имеют различные линейные скорости . Скорость каждой из точек непрерывно изменяет свое направление. Величина скоростиопределяется угловой скоростью вращения телаи расстояниемрассматриваемой точки от оси вращения. Пусть за малый промежуток времени тело повернулось на угол(рис.1.11). Точка, находящаяся на расстоянииот оси, проходит при этом путь. Линейная скорость точки равна. (1.9)

Эта формула связывает модули линейной и угловой скоростей. Найдем выражение, связывающее векторы и. Положение рассматриваемой точки тела будем определять радиус-вектором, проведенным из лежащего на оси вращения начала координатО ( рис.1.12). Из рисунка видно, что векторное произведение совпадает по направлению с вектороми имеет модуль, равный. Следовательно,.

Нормальное ускорение точек вращающегося тела равно .

Если ввести перпендикулярный к оси вращения вектор , проведенный в данную точку тела (рис.1.12), это выражение можно записать в векторной форме . Знак минус поставлен, так как векторы и направлены противоположно.

Будем считать, что ось вращения не поворачивается в пространстве. В этом случае расстояние рассматриваемой точки до оси вращения не меняется, , и, взяв производную от выражения (1.9), получаем

Таким образом, нормальное и тангенциальное ускорения растут линейно с увеличением расстояния точки от оси вращения.

В случае сложного вращения, когда тело движется одновременно относительно нескольких осей, необходимо производить сложения угловых скоростей. Рассмотрим движение твердого тела, вращающегося одновременно вокруг двух пересекающихся осей. Сообщим некоторому телу вращение с угловой скоростью вокруг осиОА (рис. 1.13) и затем эту ось приведем во вращение с угловой скоростью вокруг осиOB, неподвижной в К-системе отсчета. Найдем результирующее движение тела в К-системе.

Введем вспомогательную K‘-систему отсчета, жестко связанную с осями ОА и ОВ. Ясно, что эта система вращается с угловой скоростью , и тело вращается относительно нее с угловой скоростью.

За промежуток времени тело совершит поворотвокругоси

АО в K‘— системе и одновременно поворот вокруг оси ОВ вместе с K‘- системой. Суммарный поворот есть = + . Разделив обе части этого равенства на получим

Таким образом, результирующее движение твердого тела в K— системе представляет собой чистое вращение с угловой скоростью вокруг оси, совпадающей в каждый момент с вектором и проходящей через точкуO (рис. 1.13). Эта ось перемещается относительно K— системы — она поворачивается с угловой скоростью вместе с осью ОА вокруг оси ОВ.

Нетрудно сообразить, что даже в том случае, когда угловые скорости и не меняются по модулю, тело будет обладать в K— системе угловым ускорением , направленным, согласно, за плоскость (рис. 1.13).

И последнее замечание. Поскольку вектор угловой скорости удовлетворяет основному свойству векторов — векторному сложению, можно представить как векторную сумму составляющих на определенные направления, т. е. =++…, где все векторы относятся к одной и той же системе отсчета. Этим удобным и полезным приемом часто пользуются при анализе сложного движения твердого тела.

Формула расчета углового ускорения

Среднее угловое ускорение есть отношение изменения угловой скорости ко времени этого изменения.

α	среднее угловое ускорение,	радиан / секунда 2
t₁	начальный момент времени,	секунда
t₂	конечный момент времени,	секунда
ω₁	начальная угловая скорость,	радиан / секунда
ω₂	конечная угловая скорость,	радиан / секунда

то, Среднее угловое ускорение за некоторый интервал времени

Система понятий кинематики включает в себя также такую величину как угловое ускорение тела. Дадим ей определение, рассмотрим основные аспекты с использованием примеров.

Основные понятия

Угловое ускорение – величина, характеризующая изменение скорости с течением времени.

Пусть рассматриваемый промежуток времени это: Δ t = t 1 – t , а изменение угловой скорости составит Δ ω = ω 1 – ω , тогда числовое значение среднего углового ускорения за тот же интервал времени: » open=» ε = ∆ ω ∆ t = ε . Перейдем к пределу, когда Δ t > 0 , тогда формула углового ускорения будет иметь вид: ε = l i m ∆ t → 0 ∆ ω ∆ t = d ω d t = d 2 φ d t = ω ˙ = φ ¨ .

Числовое значение ускорения в заданный момент времени есть первая производная от угловой скорости или вторая производная от угла поворота по времени.

Размерность углового ускорения 1 T 2 (т.е. 1 в р е м я 2 ). Укажем также, в чем измеряется угловое ускорение: за единицу измерения стандартно принимается р а д / с 2 или иначе: 1 с 2 ( с – 2 ) .

Ускоренное вращение тела – это вращение, при котором угловая скорость (ее модуль) возрастает с течением времени.

Замедленное вращение тела – это вращение, при котором угловая скорость (ее модуль) убывает с течением времени.

В общем, довольно просто заметить, что, если ω и ε имеют одинаковые знаки, наблюдается ускоренное вращение, а, когда противоположные знаки – замедленное.

Рисунок 1 . Вектор углового ускорения

Если мы представим угловое ускорение как вектор ε → = d ω → d t , имеющий направление вдоль оси вращения, то в случае ускоренного вращения ε → и ω → совпадут по направлениям (левая часть
рисунка 1 ) и будут противоположны по направлениям в случае замедленного вращения (правая часть
рисунка 1 ).

Закон равнопеременного вращения

Равнопеременное вращение – вращение, при котором угловое ускорение во все время движения является постоянным ( ε = c o n s t ) .

Выведем формульно закон равнопеременного вращения. Пусть в начальный момент времени t 0 угол вращения равен ϕ = ϕ 0 ; угловая скорость – ω = ω 0 (т.е. ω 0 является начальной угловой скоростью).

Выражение ε = d ω d t = ω ˙ = φ ¨ дает нам возможность сделать запись: d ω = ε d t . Проинтегрируем левую часть крайней записи в пределах от ω 0 до ω , а правую – в пределах от 0 до t , тогда:

ω = ω 0 + ε t , d φ = ω 0 d t + ε t d t .

Проинтегрируем вторично и получим формулу, выражающую закон равнопеременного вращения:

Закон равнопеременного вращения: φ = φ 0 + ω t + ε t 2 2 .

Вращение является равноускоренным, когда ω и ε имеют одинаковые знаки.

Вращение является равнозамедленным, когда ω и ε противоположны по знаку.

Угловое ускорение имеет связь с полным и тангенциальным ускорениями. Пусть некоторая точка вращается неравномерно по окружности с радиусом R , тогда: α r = ε R . Нормальное ускорение имеет также связь с угловым: a n = ω 2 R . Учтем это выражение и для полного ускорения получим: a = a r 2 + a n 2 = R ε 2 + ω 4 Для равнопеременного движения: ω = ε t ; a n = ω 2 R = ε 2 t 2 R и a = R ε 2 + ε 4 t 4 = R ε 1 + ε 2 t 4 .

Практические примеры

На рисунке 2 заданы различные типы вращения гироскопа (волчка). С учетом соответствующих подписей необходимо указать, какой рисунок верно демонстрирует направление углового ускорения.

Правило буравчика (правого винта) связывает направление вращения и псевдовектор угловой скорости. Рисунки 2 . 1 . и 2 . 3 . показывают направление псевдовектора вверх, а рисунки 2 . 2 . и 2 . 4 . – вниз.

Когда угловая скорость возрастает, ее приращение и вектор ускорения совпадут с вектором угловой скорости (рисунки 2 . 1 . и 2 . 4 . ). Когда угловая скорость будет уменьшаться, ее приращение и вектор ускорения окажутся противоположно направлены вектору угловой скорости (рисунки 2 . 2 . и 2 . 3 . ). Таким образом, все рисунки демонстрируют верное направление углового ускорения.

Пусть задана некоторая материальная точка, совершающая движение по окружности с радиусом R . При этом выражение ϕ = α t 3 отражает зависимость угла поворота от времени. Необходимо найти полное ускорение заданной точки как функцию времени.

Запишем выражения для угловой скорости и углового ускорения заданной точки:

ω = d φ d t = 3 α t 2 ; ε = 6 α t .

Полное ускорение запишем как:

a = a r 2 + a n 2 = R ε 2 + ω 4 = R 36 a 2 t 2 + 81 a 4 t 8 = 3 a t R 4 + 9 a 2 t 6 .

Рассмотрим твердое тело, которое вращается вокруг неподвижной оси. Тогда отдельные точки этого тела будут описывать окружности разных радиусов, центры которых лежат на оси вращения. Пусть некоторая точка движется по окружности радиуса R (рис.6). Ее положение через промежуток времени t зададим углом . Элементарные (бесконечно малые) углы поворота рассматривают как векторы. Модуль вектора d равен углу поворота, а его направление совпадает с направлением поступательного движения острия винта, головка которого вращается в направлении движения точки по окружности, т. е. подчиняется

правилу правого, винта (рис.6). Векторы, направления которых связываются с направлением вращения, называются псевдовекторами или аксиальными векторами. Эти векторы не имеют определенных точек приложения: они могут откладываться из любой точки оси вращения.

Угловой скоростью называется векторная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени:

Вектор «в направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта, т. е. так же, как и вектор d (рис. 7). Размерность угловой скорости dim=T -1 , a . ее единица — радиан в секунду (рад/с).

Линейная скорость точки (см. рис. 6)

В векторном виде формулу для линейной скорости можно написать как векторное произведение:

При этом модуль векторного произведения, по определению, равен

, а направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от  к R.

Если =const, то вращение равномерное и его можно характеризовать периодом вращения Т — временем, за которое точка совершает один полный оборот, т. е. поворачивается на угол 2. Так как промежутку времени t=T соответствует =2, то = 2/Т, откуда

Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении по окружности, в единицу времени называется частотой вращения:

Угловым ускорением называется векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени:

При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости. При ускоренном движении вектор

 сонаправлен вектору  (рис.8), при замедленном.— противонаправлен ему (рис. 9).

Тангенциальная составляющая ускорения

Нормальная составляющая ускорения

Таким образом, связь между линейными (длина пути s, пройденного точкой по дуге окружности радиуса R, линейная скорость v, тангенциальное ускорение а_, нормальное ускорение а_n) и угловыми величинами (угол поворота , угловая скорость (о, угловое ускорение ) выражается следующими формулами:

В случае равнопеременного движения точки по окружности (=const)

где _{— начальная угловая скорость.}

• Что называется материальной точкой? Почему в механике вводят такую модель?

• Что такое система отсчета?

• Что такое вектор перемещения? Всегда ли модуль вектора перемещения равен отрезку пути,

• Какое движение называется поступательным? вращательным?

• Дать определения векторов средней скорости и среднего ускорения, мгновенной скорости

и мгновенного ускорения. Каковы их направления?

• Что характеризует тангенциальная составляющая ускорения? нормальная составляющая

ускорения? Каковы их модули?

• Возможны ли движения, при которых отсутствует нормальное ускорение? тангенциальное

ускорение? Приведите примеры.

• Что называется угловой скоростью? угловым ускорением? Как определяются их направления?

• Какова связь между линейными и угловыми величинами?

1.1. Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением s = A+Вt+Сt 2 +Dt 3 (С = 0,1 м/с 2 , D = 0,03 м/с 3 ). Определить: 1) через какое время после начала движения ускорение а тела будет равно 2 м/с 2 ; 2) среднее ускорение тела за этот промежуток времени. [ 1) 10 с; 2) 1,1 м/с 2 ]

1.2. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить угол, под которым тело брошено к горизонту, если максимальная высота подъема тела равна 1/4 дальности его полета. [45°]

1.3. Колесо радиуса R = 0,1 м вращается так, что зависимость угловой скорости от времени задается уравнением  = 2At+5Вt 4 (A=2 рад/с 2 и B=1 рад/с 5 ). Определить полное ускорение точек обода колеса через t=1 с после начала вращения и число оборотов, сделанных колесом за это время. [а = 8,5 м/с 2 ; N = 0,48]

1.4. Нормальное ускорение точки, движущейся по окружности радиуса r=4 м, задается уравнением а_n=А+-Bt+Ct 2 (A=1 м/с 2 , В=6 м/с 3 , С=3 м/с 4 ). Определить: 1) тангенциальное ускорение точки; 2) путь, пройденный точкой за время t₁=5 с после начала движения; 3) полное ускорение для момента времени t₂=1 с. [ 1) 6 м/с 2 ; 2) 85 м; 3) 6,32 м/с 2 ]

1.5. Частота вращения колеса при равнозамедленном движении за t=1 мин уменьшилась от 300 до 180 мин -1 . Определить: 1) угловое ускорение колеса; 2) число полных оборотов, сделанных колесом за это время. [1) 0,21 рад/с 2 ; 2) 360]

1.6. Диск радиусом R=10 см вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением =A+Bt+Ct 2 +Dt 3 (B = l рад/с, С=1 рад/с 2 , D=l рад/с 3 ). Определить для точек на ободе колеса к концу второй секунды после начала движения: 1) тангенциальное ускорение а_; 2) нормальное ускорение а_n; 3) полное ускорение а. [ 1) 0,14 м/с 2 ; 2) 28,9 м/с 2 ; 3) 28,9 м/с 2 ]

Тангенциальное ускорение влияет на модуль линейной скорости

Угловое движение можно условно разделить на два вида:

Когда изменяется только направление вектора линейной скорости, а его длина не изменяется.
Или, когда изменяются обе характеристики вектора линейной скорости.

Во втором случае, для описания движения будем применять более сложные формулы кинематики. Так как появится еще один вид ускорения.

Центростремительное (нормальное) ускорение есть всегда, когда есть движение по окружности, при этом не важно, меняется ли скорость тела по модулю, или не меняется.

Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью

Пусть тело движется по окружности, но при этом длина вектора линейной скорости не меняется (рис. 1).

\[\left|\vec{v} \right| = const\]

Рис. 1. Вектор центростремительного ускорения направлен по радиусу к центру окружности, он изменяет направление вектора скорости, но модуль вектора скорости остается неизменным

На рисунке 1 указаны: а) – вид сбоку, б) вид сверху, вектор угловой скорости направлен к нам перпендикулярно рисунку.

Скорость будет меняться только по направлению от точки к точке, потому, что на тело действует центростремительная сила $\displaystyle \vec{F_{\text{ц}}}$ , тело обладает центростремительным $\displaystyle \vec{a_{\text{ц}}}$ (нормальным) ускорением.

\[\large \boxed{ \left| \vec{a_{n}} \right| = \frac{v^{2}}{R} }\]

Кроме линейной, тело обладает угловой скоростью. Если линейная скорость не изменяется по модулю, то длина вектора угловой скорости не меняется.

На рисунке 1а изображен вектор угловой скорости $\displaystyle \vec{\omega}$, на рисунке 1б вектор угловой скорости направлен к нам перпендикулярно плоскости рисунка. Направление, в котором тело движется по окружности, указано синей стрелкой.

Тангенциальное ускорение – когда модуль скорости меняется

Тело может увеличивать или уменьшать свою скорость, когда движется по окружности.

В таком случае, дополнительно к нормальному ускорению возникает тангенциальное $\displaystyle \vec{a_{\tau}}$ ускорение.

Тангенциальное ускорение играет роль линейного ускорения при прямолинейном движении тела. Вектор $\displaystyle \vec{a_{\tau}}$ направлен параллельно вектору $\displaystyle \vec{v}$ скорости.

Подобно движению по прямой, вектор ускорения – это первая производная скорости по времени, или вторая производная перемещения по времени.

\[\large \boxed{ \vec{a_{\tau}} = \frac{d\vec{v}}{dt} }\]

Когда векторы скорости $\vec{v}$ и ускорения $\vec{a_{\tau}}$ сонаправлены (рис. 2), линейная и угловая скорости возрастают.

Рис. 2. Когда тангенциальное ускорение сонаправлено с вектором линейной скорости, эта скорость возрастает

А когда ускорение $\vec{a_{\tau}}$ направлено противоположно (рис. 3) вектору скорости $\vec{v}$, угловая и линейная скорости уменьшаются.

Рис. 3. Когда тангенциальное ускорение направлено противоположно вектору линейной скорости, эта скорость убывает

С линейной скоростью $\vec{v}$ связана угловая $\vec{\omega}$ скорость.

Из рисунков 2, 3 следует: когда появляется тангенциальное ускорение, меняется и угловая скорость. Значит, тангенциальное ускорение $\vec{a_{\tau}}$ появляется совместно с угловым $\vec{\beta}$ ускорением и между ними есть связь.

Связь между тангенциальным и угловым ускорением выглядит аналогично связи между линейной и угловой скоростью.

В векторном виде

\[\large \boxed{ \left[\vec{\beta}, \vec{R} \right] = \vec{a_{\tau}} }\]

В скалярном виде

\[ \large \boxed{ a_{\tau} = \beta \cdot R }\]

$\displaystyle \vec{\beta} \left( \frac{\text{рад}}{c^{2}}\right)$ – угловое ускорение;

$\displaystyle \vec{ a_{\tau}} \left( \frac{\text{м}}{c^{2}}\right)$ – тангенциальное ускорение;

$R \left( \text{м}\right)$ – радиус окружности.2}{2} \end{cases} } \]

Общее ускорение при движении по окружности

Пусть точка движется по окружности и линейная $\vec{v}$ скорость ее изменяется по модулю. При этом, точка обладает двумя видами ускорения — нормальным и тангенциальным. Эти виды ускорения обозначают символом $\vec{a}$.

Примечание: Любое ускорение, обозначаемое символом «a», измеряется в метрах, деленных на секунду в квадрате.

Если мы сложим векторы $\vec{a_{n}}$ и $\vec{a_{\tau}}$ геометрически (рис. 4), то найдем общее $\vec{a}$ ускорение точки. На рисунке вектор общего ускорения отмечен черным цветом и обозначен символом $\vec{a}$. Синей стрелкой указано направление движения точки по окружности.

Рис. 4. Складывая геометрически векторы нормального и тангенциального ускорения, получаем общее ускорение точки, движущейся по окружности

Направление вектора общего ускорения указано на рисунке 4а, а для равнозамедленного – на рисунке 4б.{2} } } \]

Занятие 3. Кинематика вращательного движения материальной точки.

Краткие теоретические сведения

Основные формулы

Положение твердого тела (при заданной оси вращения) задается углом поворота

Кинематическое уравнение вращательного движения

Мгновенная угловая скорость

Угловое ускорение

Связь линейных характеристик с угловыми характеристиками

Уравнение равномерного вращения

Уравнение равнопеременного вращения

Частота вращения (число оборотов в единицу времени)

Период (время одного полного оборота)

Циклическая (круговая) частота

где число оборотов.

Вопросы для ответа у доски:

1. Описание вращательного движения материальной точки. Угловая скорость, угловое ускорение и их связь с соответствующими линейными величинами.

Введите среднюю и мгновенную угловые скорости и ускорение. Определите период и частоту равномерного движения. Установите связь между угловыми и линейными величинами скорости и ускорения. Введите единицы указанных величин и дайте их определение. Приведите пример задания вращательного движения и найдите угловую скорость, угловое ускорение и соответствующие линейные величины.

2. Угловая скорость как векторная величина. Связь между векторами линейной и угловой скоростей.

Покажите, что поворот на малый угол можно сопоставить с вектором углового перемещения. Введите вектор угловой скорости, определив его направление и величину. Получите формулу Эйлера, устанавливающую связь между векторами линейной и угловой скоростей.

3. Угловое ускорение как вектор. Ускорение точки при вращательном движении.

Введите вектор углового ускорения. Определите его направление для ускоренного и замедленного движения. Получите выражение для полного линейного ускорения через угловые величины. Выясните физический смысл каждого слагаемого вектора ускорения изобразите на рисунке расположение векторов, определяющих центростремительное и тангенциальное ускорения для ускоренного и замедленного движения.

4. Сопоставление линейных и угловых характеристик вращательного движения точки. Равномерное и равнопеременное вращение материальной точки и формулы, описывающие это движение.

Покажите, как, не производя вычислений, можно путем замены линейных величин соответствующими угловыми величинами получить различные формулы, описывающие равномерное и равнопеременное движение.

Примеры решения задач:

Задача 1. Период вращения одного колеса вдвое меньше периода другого колеса, а его радиус втрое больше радиуса другого колеса. Сравнить нормальные ускорения для точек обода обоих колес.

Для точек обода первого колеса:

для точек обода второго колеса:

Отношение нормальных ускорений точек обода первого и второго колес:

12.

Ответ: 12.

Задача 2. Найти радиус вращающегося колеса, если известно, что линейная скорость точки, лежащей на ободе, в 2,5 раза больше линейной скорости точки, лежащей на расстоянии 5 см ближе к оси колеса.

Решение:

Вектор перпендикулярен плоскости Рис.1.3.1, следовательно, в скалярном виде:

для первой точки, лежащей на ободе колеса:

для второй точки, лежащей ближе к оси колеса:

Отсюда

2,5; 2,5;

Подставив числовые значения, находим радиус вращающегося колеса:

1,5· 12,5; 0,083 м =8,3 см.

Ответ: 8,3 см.

Задача 3. Точка движется по окружности радиусом 10 см с постоянным тангенциальным ускорением Найти нормальное ускорение точки через время 20 с после начала движения, если известно, что к концу пятого оборота после начала движения линейная скорость точки 10 см/с.

Решение:

Нормальное ускорение:

где , отсюда (1)

При равноускоренном движении среднее число оборотов в единицу времени:

где момент времени, соответствующий концу пятого оборота,

0, значит, ,

Частота оборотов: ,

Угловое ускорение

где

Из уравнения (1) находим :

подставив числовые данные получим:

м/с² =0,01 м/с².

Ответ: 0,01 м/с².

Вопросы для самопроверки:

1. Как описывается вращательное движение материальной точки?

2. Что называется угловой скоростью вращательного движения? Дайте определение единицы измерения угловой скорости. Какая единица измерения угловой скорости часто используется в технике?

3. Что такое период и частота вращательного движения? Какая существует связь между ними?

4. Дайте определение углового ускорения и единицы его измерения.

5. Какая линейная величина аналогична угловому ускорению и как они связаны между собой?

6. Как записывается закон равномерного и равнопеременного движения точки через угловые величины?

7. Как определяется направление вектора угловой скорости? Чем отличается этот вектор отранее рассмотренных векторов?

Задачи для самостоятельного решения:

1. Барабан начинает вращаться с постоянным угловым ускорением вокруг своей оси. По какому закону меняется с течением времени угол между векторами скорости и полного ускорения произвольной точки барабана?

2. Перед наблюдателем в вертикальной плоскости вращается диск, разделенный на одинаковых секторов. Около диска закреплен неподвижный указатель. Наблюдая за вращением диска, установили, что дуга первого сектора прошла мимо указателя за 4 с, дуга соседнего – за 5 с. После этого диск повернулся на угол 0,75 и остановился. Считая движение диска равнозамедленным, определите его угловое ускорение.

3. В некоторый момент времени вращение одного диска описывается уравнением второго — Через время 5с первый диск опережает второй на пять оборотов. На сколько оборотов первый диск будет опережать второй к тому моменту, когда второй диск остановится?

4. Автомобиль движется по прямому шоссе так, что его движение описывается уравнением ( в метрах). Радиус колеса автомобиля 1 м. а) Составьте в параметрической форме уравнение движения какой-либо точки колеса, лежащей на ободе, полагая, что в начальный момент она совпадает с полотном шоссе. б) Найдите скорость и ускорение этой точки в те моменты, когда она в первый раз попадает на уровень горизонтального диаметра и в вершину траектории. в) Определите радиусы кривизны траектории точки в эти моменты. г) Найдите геометрическое место точек колеса, скорости которых численно равны скорости автомобиля.

5. Зубчатое колесо радиусом 1 м зажато между двумя рейками, движущимися в одну сторону со скоростями 1+3 и 1- ( в м/с). а) Составьте уравнения движения, скорости и ускорения оси колеса. Определите: б) скорости и ускорения точек обода, лежащих на концах горизонтального диаметра, к концу второй секунды движения; в) ускорения точек колеса, соприкасающихся с рейками. Решите задачу при условии, что рейки движутся в разные стороны.

6. Найти угловую скорость : а) суточного вращения Земли; б) часовой стрелки на часах; в) минутной стрелки на часах; г) искусственного спутника Земли, движущегося по круговой орбите с периодом вращения 88 мин. Какова линейная скорость движения этого искусственного спутника, если известно, что его орбита расположена на расстоянии 200 км от поверхности Земли.

7. Колесо, вращаясь равноускоренно, через время 1 мин после начала вращения приобретает частоту 720 об/мин. Найти угловое ускорение колеса и число оборотов колеса за это время.

8. Колесо радиусом 0,1 м вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса от времени дается уравнением где 2 рад/с и 1 рад/с². Для точек, лежащих на ободе колеса, найти через время 2c после начала движения: а) угловую скорость ; б) линейную скорость ; в) угловое ускорение ; г) тангенциальное и нормальное ускорения.

9. Колесо вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса от времени дается уравнением , где 1 рад/с, 1 рад/с² , 1 рад/с³. Найти радиус колеса, если известно, что к концу второй секунды движения для точек, лежащих на ободе колеса, нормальное ускорение 3,46·102 м/с².

10. Точка движется, замедляясь, по окружности радиуса так, что в каждый момент ее тангенциальное и нормальное ускорения одинаковы по модулю. В момент 0 скорость точки равна . Найти зависимость: а) скорости точки от времени и пройденного пути ; б) полного ускорения точки от и .

11. Точка движется по дуге окружности радиуса . Ее скорость ~ , где пройденный путь. Найти угол между векторами скорости и полного ускорения как функцию .

12.

Частица движется по окружности радиуса 50 см так, что ее радиус-вектор относительно точки . (Рис.1.3.2) поворачивается с постоянной скоростью 0,4 рад/с. Найти модуль скорости частицы, а также модуль и направление ее полного ускорения.

13. Колесо вращается вокруг неподвижной оси так, что угол поворота зависит от времени как , где 0,2 рад/с² . Найти полное ускорение точки на ободе колеса в момент 2,5 с, если скорость точки в этот момент 0,65 м/с.

14. Снаряд вылетел со скоростью 320 м/с, сделав при этом внутри ствола 2 оборота. Длина ствола 2,0 м. Считая движение снаряда в стволе равноускоренным, найти его угловую скорость вращения вокруг оси в момент вылета.

15. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону , где 6,0 рад/с, 2 рад/с³. Найти средние значения угловой скорости и углового ускорения за промежуток времени от 0 до остановки.

16. Точка находится на ободе колеса радиуса 0,50 м, которое катится без скольжения по горизонтальной поверхности со скоростью 1,0 м/с. Найти: а) модуль и направление ускорения точки ; б) полный путь проходимый точкой между двумя последовательными моментами ее касания поверхности.

17. Поезд движется по закруглению с радиусом 400м, причем его ускорение (тангенциальное) равно 0,2 м/с². Определить его нормальное и полное ускорение в тот момент, когда его скорость равна 10 м/с.

18.

Три самолета выполняют разворот, двигаясь на расстоянии 60 м друг от друга (Рис.1.3.3). Средний самолет летит со скоростью 360 км/ч, двигаясь по дуге окружности радиусом 600 м. Определить ускорение каждого самолета.

19. Колесо, вращающееся с частотой оборотов 1500 мин^-1, при торможении стало вращаться равномерно замедленно и остановилось через 30 с. Найти угловое ускорение и число оборотов с момента начала торможения до остановки.

20. Некоторое тело начинает вращаться с постоянным угловым ускорением 0,04 с^-2. Через сколько времени после начала вращения полное ускорение какой-либо точки тела будет направлено под углом 76⁰ к направлению скорости этой точки?

21.

Шарик радиусом 3 см катится равномерно и без скольжения по двум параллельным линейкам, расстояние между которыми равно 4 см (Рис.1.3.4), и за время, равное 2 с, проходит 120 см. С какими скоростями движутся верхняя и нижняя точки шарика?

Как связаны скорость и угловая скорость

«Физика — 10 класс»

Угловая скорость.

Каждая точка тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, проходящей через точку О, движется по окружности, и различные точки проходят за время Δt разные пути. Так, АА₁ > ВВ₁ (рис. 1.62), поэтому модуль скорости точки А больше, чем модуль скорости точки В. Но радиус-векторы, определяющие положение точек А и В, поворачиваются за время Δt на один и тот же угол Δφ.

Угол φ — угол между осью ОХ и радиус-вектором

определяющим положение точки А (см. рис. 1.62).

Пусть тело вращается равномерно, т. е. за любые равные промежутки времени радиус-векторы поворачиваются на одинаковые углы.

Чем больше угол поворота радиус-вектора, определяющего положение какой-то точки твёрдого тела, за определённый промежуток времени, тем быстрее вращается тело и тем больше его угловая скорость.

Угловой скоростью тела при равномерном вращении называется величина, равная отношению угла поворота тела υφ к промежутку времени υt, за который этот поворот произошёл.

Будем обозначать угловую скорость греческой буквой ω (омега). Тогда по определению

Угловая скорость в СИ выражается в радианах в секунду (рад/с). Например, угловая скорость вращения Земли вокруг оси 0,0000727 рад/с, а точильного диска — около 140 рад/с.

Угловую скорость можно связать с частотой вращения.

Частота вращения — число полных оборотов за единицу времени (в СИ за 1 с).

Если тело совершает ν (греческая буква «ню») оборотов за 1 с, то время одного оборота равно 1/ν секунд.

Время, за которое тело совершает один полный оборот, называют периодом вращения и обозначают буквой Т.

Таким образом, связь между частотой и периодом вращения можно представить в виде

Полному обороту тела соответствует угол Δφ = 2π. Поэтому согласно формуле (1.26)

Если при равномерном вращении угловая скорость известна и в начальный момент времени t_{= 0 угол φ_{= 0, то угол поворота радиус-вектора за время t согласно уравнению (1.26)}}

Если φ_{≠ 0, то φ — φ_{= ωt, или φ = φ_{± ωt.}}}

Радиан равен центральному углу, опирающемуся на дугу, длина которой равна радиусу окружности, 1 рад = 57°17’48». В радианной мере угол равен отношению длины дуги окружности к её радиусу: φ = l/R.

Угловая скорость принимает положительные значения, если угол между радиус-вектором, определяющим положение одной из точек твёрдого тела, и осью ОХ увеличивается (рис. 1.63, а), и отрицательные, когда он уменьшается (рис. 1.63, б).

Тем самым мы можем найти положение точек вращающегося тела в любой момент времени.

Связь между линейной и угловой скоростями.

Скорость точки, движущейся по окружности, часто называют линейной скоростью, чтобы подчеркнуть её отличие от угловой скорости.

Мы уже отмечали, что при вращении абсолютно твёрдого тела разные его точки имеют неодинаковые линейные скорости, но угловая скорость для всех точек одинакова.

Установим связь между линейной скоростью любой точки вращающегося тела и его угловой скоростью. Точка, лежащая на окружности радиусом R, за один оборот пройдёт путь 2πR. Поскольку время одного оборота тела есть период Т, то модуль линейной скорости точки можно найти так:

Так как ω = 2πν, то

Из этой формулы видно, что, чем дальше расположена точка тела от оси вращения, тем больше её линейная скорость. Для точек земного экватора υ = 463 м/с, а для точек на широте Санкт-Петербурга υ = 233 м/с. На полюсах Земли υ = 0.

Модуль центростремительного ускорения точки тела, движущейся равномерно по окружности, можно выразить через угловую скорость тела и радиус окружности:

Запишем все возможные расчётные формулы для центростремительного ускорения:

Мы рассмотрели два простейших движения абсолютно твёрдого тела — поступательное и вращательное. Однако любое сложное движение абсолютно твёрдого тела можно представить как сумму двух независимых движений: поступательного и вращательного.

На основании закона независимости движений можно описать сложное движение абсолютно твёрдого тела.

Источник: «Физика — 10 класс», 2014, учебник Мякишев, Буховцев, Сотский

Кинематика — Физика, учебник для 10 класса — Класс!ная физика

Тестирование онлайн

Угловая скорость

Период и частота

Период вращения T — это время, за которое тело совершает один оборот.

Частота вращение — это количество оборотов за одну секунду.

Частота и период взаимосвязаны соотношением

Связь с угловой скоростью

Линейная скорость

Центростремительное ускорение

Используя предыдущие формулы, можно вывести следующие соотношения

Вращение Земли

Связь со вторым законом Ньютона

Как вывести формулу центростремительного ускорения

Разница векторов есть

. Так как , получим

Движение по циклоиде*

В системе отсчета, связанной с колесом, точка равномерно вращается по окружности радиуса R со скоростью

, которая изменяется только по направлению. Центростремительное ускорение точки направлено по радиусу к центру окружности.

Мгновенная скорость определяется по формуле

Угловая скорость. Связь векторов линейной и угловой скоростей.

Угловая скорость — векторная физическая величина, характеризующая скорость вращения тела. Вектор угловой скорости по величине равен углу поворота тела в единицу времени:

Легко найти связь между линейной скоростью точки v, ее угловой скоростью ω и радиусом r окружности, по которой она движется.

т. е. линейная скорость при движении по окружности равна угловой скорости, умноженной на радиус окружности.

При вращательном движении действуют: тангенциальное и центростремительное ускорения.

В любой точке вращательного движения шара вектор его линейной скорости направлен перпендикулярно радиусу. Нетрудно догадаться, что при таком вращении по окружности, вектор линейной скорости шара постоянно меняет свое направление. Ускорение, характеризующее такое изменение скорости, называется центробежным (центростремительным) ускорением.

Центробежное ускорение можно вычислить по формуле:

Угловое ускорение. Связь линейных и угловых величин.

Угловое ускорение — физическая величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости твёрдого тела.

Существует связь между тангенциальным и угловым ускорениями:

где R — радиус кривизны траектории точки в данный момент времени

Тангенциальное ускорение направлено по касательной в траектории движения тела, а нормальное — перпендикулярно ему.

13. Сформулируйте первый закон Ньютона.
Существуют такие системы отсчёта, относительно которых материальная точка, при отсутствии внешних воздействий, сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.

Что такое замкнутая механическая система.

Замкнутая механическая система, потенциальная энергия которой имеет минимальное значение и в которой отсутствуют движения тел, находится в состоянии равновесия. Примером может служить тяжелый шар, неподвижно; лежащий на дне ямы: его потенциальная энергия Ер имеет минимальное значение, и он находится в равновесии; без воздействия извне шар не может выкатиться из ямы.

20. Радиус-вектор, скорость, импульс, закон движения центра масс.
Радиус- вектор точки — это вектор, начало которого совпадает с началом системы координат, а конец — с данной точкой.
Таким образом, особенностью радиус-вектора, отличающего его от всех других векторов, является то, что его начало всегда находится в точке начала координат.

Скорость — физическая величина, характеризующая движение тела в пространстве. Физический смысл — Изменение координаты в единицу времени.

Импульс тела — это векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость:

. Специальных единиц измерения импульса нет. Размерность импульса — это просто произ- ведение размерности массы на размерность скорости: [p] = [m] · [v] = кг · м /с .

Воспользовавшись законом изменения импульса, получим закон движения центра масс:

dP/dt = M∙dVc/dt = ΣFi

Центр масс системы движется так же, как двигалась бы частица с массой, равной массе системы, под действием силы, равной векторной сумме всех внешних сил, действующих на входящие в систему частицы.

Энергия и работа. В чём разница?

Термин «работа» в механике имеет два смысла: работа как процесс, при котором сила перемещает тело, действуя под углом, отличном от 90°; работа — физическая величина, равная произведению силы, перемещения и косинуса угла между направлением действия силы и перемещением:

Работа равна нулю, когда тело движется по инерции (F = 0), когда нет перемещения (s = 0) или когда угол между перемещением и силой равен 90° (cos а = 0). Единицей работы в СИ служит джоуль (Дж).

1 джоуль — это такая работа, которая совершается силой 1 Н при перемещении тела на 1 м по линии действия силы. Для определения быстроты совершения работы вводят величину «мощность».

Мощность равняется отношению совершенной работы ко времени, за которое она выполнена:

Единицей мощности в СИ служит 1 ватт (Вт). 1 Вт — мощность, при которой совершается работа в 1 Дж за 1 секунду.

Сформулируйте закон Гука.

Закон Гука — утверждение, согласно которому деформация, возникающая в упругом теле (пружине, стержне, консоли, балке и т. п.), пропорциональна приложенной к этому телу силе. Открыт в 1660 году английским учёным Робертом Гуком.

Закон Гука выполняется только при малых деформациях. При превышении предела пропорциональности связь между напряжениями и деформациями становится нелинейной. Для многих сред закон Гука неприменим даже при малых деформациях.

Угловая скорость. Связь векторов линейной и угловой скоростей.

т. е. линейная скорость при движении по окружности равна угловой скорости, умноженной на радиус окружности.

При вращательном движении действуют: тангенциальное и центростремительное ускорения.

Угловая скорость

Круговым движением точки вокруг оси называют движение, где траектория точки – окружность с центром, который лежит на оси вращения, перпендикулярной плоскости окружности.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Угловая скорость $\omega$ – векторная физическая величина, характеризующая скорость изменения угла поворота при круговом движении точки или твердого тела.

При движении по окружности (круговом движении) скорость меняет свое направление, значит такое движение не может считаться равномерным, оно ускоренное или равноускоренное (в частных случаях).

Вектор угловой скорости направлен вдоль оси вращения.

Основные формулы для вычисления угловой скорости

Для равномерного вращения (когда за равные отрезки времени тело поворачивается на один и тот же угол):

$\omega=\frac nt$, где $n$ – количество оборотов за единицу времени $t$.2\varphi}{dt}=\overset.\omega=\overset{..}\varphi\)

Угловое ускорение маховика

$\varepsilon=\frac\omega t=\frac{2\pi n}t$, где $n$ – количество оборотов за единицу времени $t$.

Среднее угловое ускорение

Средним угловым ускорением тела называют отношение изменения угловой скорости к отрезку времени, за который оно совершилось.

$\left\langle\varepsilon\right\rangle=\frac{\triangle\omega}{\triangle t}$

Тангенциальное ускорение

Тангенциальным (касательным) ускорением $a_\tau$ называют ту составляющую полного ускорения, которая направлена по касательной к траектории движения в данной точке. Тангенциальное ускорение описывает изменение скорости по модулю при криволинейном движении.

$a_\tau=\varepsilon r$, где $\varepsilon$ – угловое ускорение, $r$ – радиус кривизны траектории в заданной точке.

Мгновенное угловое ускорение

Мгновенное угловое ускорение $\alpha$ есть первая производная угловой скорости по времени или вторая производная углового перемещения по времени.2}\)

Угловое ускорение | Физика

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

Опишите равномерное круговое движение.
Объясните неравномерное круговое движение.
Вычислить угловое ускорение объекта.
Обратите внимание на связь между линейным и угловым ускорением.

Равномерное круговое движение и гравитация обсуждаются только равномерное круговое движение, то есть движение по кругу с постоянной скоростью и, следовательно, с постоянной угловой скоростью.Напомним, угловая скорость ω определялась как скорость изменения угла θ во времени:

[латекс] \ omega = \ frac {\ Delta \ theta} {\ Delta t} \\ [/ latex]

, где θ — это угол поворота, как показано на рисунке 1. Связь между угловой скоростью ω и линейной скоростью v также была определена в Угол поворота и Угловая скорость как

v = rω

или

[латекс] \ omega = \ frac {v} {r} \\ [/ латекс]

, где r — радиус кривизны, также видно на рисунке 1.Согласно соглашению о знаках, направление против часовой стрелки считается положительным направлением, а направление по часовой стрелке — отрицательным

Рис. 1. На этом рисунке показано равномерное круговое движение и некоторые из его определенных величин.

Угловая скорость непостоянна, когда фигуристка тянет на руках, когда ребенок запускает карусель из состояния покоя или когда жесткий диск компьютера замедляется до полной остановки при выключении. Во всех этих случаях имеется угловое ускорение , при котором изменяется ω .Чем быстрее происходит изменение, тем больше угловое ускорение. Угловое ускорение α определяется как скорость изменения угловой скорости. В форме уравнения угловое ускорение выражается следующим образом:

[латекс] \ alpha = \ frac {\ Delta \ omega} {\ Delta t} \\ [/ latex],

, где Δ ω — это изменение угловой скорости , а Δ t — изменение во времени. Единицы углового ускорения: (рад / с) / с, или рад / с ². Если ω увеличивается, то α положительно.Если ω уменьшается, то α отрицательно.

Пример 1. Расчет углового ускорения и замедления велосипедного колеса

Предположим, что подросток кладет велосипед на спину и запускает заднее колесо, вращающееся от состояния покоя до конечной угловой скорости 250 об / мин за 5,00 с. (а) Рассчитайте угловое ускорение в рад / с ². (b) Если теперь она нажимает на тормоза, вызывая угловое ускорение -87,3 рад / с ², сколько времени потребуется колесу, чтобы остановиться?

Стратегия для (а)

Угловое ускорение можно найти непосредственно из его определения в [latex] \ alpha = \ frac {\ Delta \ omega} {\ Delta t} \\ [/ latex], поскольку даны окончательная угловая скорость и время.Мы видим, что Δ ω составляет 250 об / мин, а Δ t составляет 5,00 с.

Решение для (а)

Вводя известную информацию в определение углового ускорения, получаем

[латекс] \ begin {array} {lll} \ alpha & = & \ frac {\ Delta \ omega} {\ Delta t} \\ & = & \ frac {\ text {250 об / мин}} {\ text {5.00 s}} \ text {.} \ end {array} \\ [/ latex]

Поскольку Δ ω выражается в оборотах в минуту (об / мин), и нам нужны стандартные единицы рад / с ² для углового ускорения, нам нужно преобразовать Δ ω из об / мин в рад / с:

[латекс] \ begin {array} {c} \ Delta {\ omega} & = & 250 \ frac {\ text {rev}} {\ text {min}} \ cdot \ frac {2 \ pi \ text {rad }} {\ text {rev}} \ cdot \ frac {1 \ text {min}} {60 \ text {sec}} \\ & = & 26.{2} \ text {.} \ End {array} \\ [/ latex]

Стратегия для (b)

В этой части мы знаем угловое ускорение и начальную угловую скорость. Мы можем найти время остановки, используя определение углового ускорения и решив для Δ t , что дает

[латекс] \ Delta t = \ frac {\ Delta \ omega} {\ alpha} \\ [/ latex].

Решение для (b)

Здесь угловая скорость уменьшается с 26,2 рад / с (250 об / мин) до нуля, так что Δ ω составляет –26.{2}} \\ & = & \ text {0,300 с.} \ End {array} \\ [/ latex]

Обсуждение

Обратите внимание, что угловое ускорение, когда девушка вращает колесо, небольшое и положительное; для получения заметной угловой скорости требуется 5 с. Когда она нажимает на тормоз, угловое ускорение велико и отрицательно. Угловая скорость быстро стремится к нулю. В обоих случаях отношения аналогичны тому, что происходит с линейным движением. Например, когда вы врезаетесь в кирпичную стену, происходит сильное замедление — изменение скорости велико за короткий промежуток времени.

Если бы велосипед в предыдущем примере был на колесах, а не перевернут, он сначала разогнался бы по земле, а затем остановился бы. Эту связь между круговым движением и линейным движением необходимо исследовать. Например, было бы полезно знать, как связаны линейное и угловое ускорение. При круговом движении линейное ускорение составляет касательной к окружности в интересующей точке, как показано на рисунке 2. Таким образом, линейное ускорение называется касательным ускорением a _t.

Рис. 2. При круговом движении линейное ускорение a возникает по мере изменения величины скорости: a касается движения. В контексте кругового движения линейное ускорение также называется тангенциальным ускорением a _t.

Линейное или тангенциальное ускорение относится к изменениям величины скорости, но не ее направления. Из «Равномерного кругового движения и гравитации» мы знаем, что центростремительное ускорение при круговом движении, a _c, относится к изменениям направления скорости, но не ее величины.Объект, совершающий круговое движение, испытывает центростремительное ускорение, как показано на рисунке 3. Таким образом, a _t и a _c перпендикулярны и независимы друг от друга. Касательное ускорение a _t напрямую связано с угловым ускорением α и связано с увеличением или уменьшением скорости, но не с ее направлением.

Рис. 3. Центростремительное ускорение a _c возникает при изменении направления скорости; он перпендикулярен круговому движению.Таким образом, центростремительное и тангенциальное ускорения перпендикулярны друг другу.

Теперь мы можем найти точное соотношение между линейным ускорением a _t и угловым ускорением α . Поскольку линейное ускорение пропорционально изменению величины скорости, оно определено (как это было в одномерной кинематике) равным

[латекс] {a} _ {\ text {t}} = \ frac {\ Delta v} {\ Delta t} \\ [/ latex].

Для кругового движения обратите внимание, что v = rω , так что

[латекс] {a} _ {\ text {t}} = \ frac {\ Delta \ left (\ mathrm {r \ omega} \ right)} {\ Delta t} \\ [/ latex].

Радиус r постоянен для кругового движения, поэтому Δ ( rω ) = r (Δ ω ). Таким образом,

[латекс] {a} _ {\ text {t}} = r \ frac {\ Delta \ omega} {\ Delta t} \\ [/ latex].

По определению, [латекс] \ alpha = \ frac {\ Delta \ omega} {\ Delta t} \\ [/ latex]. Таким образом,

a _t = rα ,

или

[латекс] \ alpha = \ frac {{a} _ {\ text {t}}} {r} \\ [/ latex]

Эти уравнения означают, что линейное ускорение и угловое ускорение прямо пропорциональны.Чем больше угловое ускорение, тем больше линейное (тангенциальное) ускорение, и наоборот. Например, чем больше угловое ускорение ведущих колес автомобиля, тем больше ускорение автомобиля. Радиус тоже имеет значение. Например, чем меньше колесо, тем меньше его линейное ускорение для данного углового ускорения α .

Пример 2. Расчет углового ускорения колеса мотоцикла

Мощный мотоцикл может разгоняться от 0 до 30.0 м / с (около 108 км / ч) за 4,20 с. Каково угловое ускорение его колес радиусом 0,320 м? (См. Рисунок 4.)

Рис. 4. Линейное ускорение мотоцикла сопровождается угловым ускорением его колес.

Стратегия

Нам дана информация о линейных скоростях мотоцикла. Таким образом, мы можем найти его линейное ускорение a _t. Затем выражение [latex] \ alpha = \ frac {{a} _ {\ text {t}}} {r} \\ [/ latex] может использоваться для определения углового ускорения.{2} \ end {array} \\ [/ latex].

Обсуждение

Радианы безразмерны и присутствуют в любом соотношении между угловыми и линейными величинами.

Итак, мы определили три вращательные величины — θ, ω и α . Эти величины аналогичны трансляционным величинам x, v и a . В таблице 1 показаны вращательные величины, аналогичные поступательные величины и отношения между ними.

Таблица 1. Вращательные и поступательные величины
ротационный	Трансляционный	Отношения
θ	x	[латекс] \ theta = \ frac {x} {r} \\ [/ latex]
ω	в	[латекс] \ omega = \ frac {v} {r} \\ [/ латекс]
α	а	[латекс] \ alpha = \ frac {{a} _ {t}} {r} \\ [/ latex]

Установление соединений: практический эксперимент

Сядьте, поставив ноги на землю, на вращающийся стул.Поднимите одну ногу так, чтобы она была разогнута (выпрямлена). Используя другую ногу, начните вращаться, отталкиваясь от земли. Прекратите толкать землю ногой, но позвольте стулу вращаться. От исходной точки, с которой вы начали, нарисуйте угол, угловую скорость и угловое ускорение вашей ноги как функцию времени в виде трех отдельных графиков. Оцените величину этих величин.

Проверьте свое понимание

Угловое ускорение — это вектор, имеющий как величину, так и направление.Как обозначить его величину и направление? Проиллюстрируйте на примере.

Решение

Величина углового ускорения составляет α , а ее наиболее распространенные единицы — рад / с ². Направление углового ускорения вдоль фиксированной оси обозначается знаком + или a -, так же как направление линейного ускорения в одном измерении обозначается знаком + или a -. Например, представьте, что гимнастка делает сальто вперед. Ее угловой момент был бы параллелен ковру слева от нее.Величина ее углового ускорения будет пропорциональна ее угловой скорости (скорости вращения) и ее моменту инерции относительно оси вращения.

Исследования PhET: Ladybug Revolution

Присоединяйтесь к божьей коровке и исследуйте вращательное движение. Вращайте карусель, чтобы изменить ее угол, или выберите постоянную угловую скорость или угловое ускорение. Изучите, как круговое движение связано с координатами x, y, скоростью и ускорением жука, используя векторы или графики.

Щелкните, чтобы загрузить симуляцию. Запускать на Java.

Сводка раздела

Равномерное круговое движение — это движение с постоянной угловой скоростью [latex] \ omega = \ frac {\ Delta \ theta} {\ Delta t} \\ [/ latex].
При неравномерном круговом движении скорость изменяется со временем, а скорость изменения угловой скорости (т.е. угловое ускорение) равна [latex] \ alpha = \ frac {\ Delta \ omega} {\ Delta t} \\ [/ латекс].
Линейное или тангенциальное ускорение относится к изменениям величины скорости, но не ее направления, заданному как [latex] {a} _ {\ text {t}} = \ frac {\ Delta v} {\ Delta t} \\ [ /латекс].
Для кругового движения обратите внимание, что [latex] v = \ mathrm {r \ omega} [/ latex], так что
[латекс] {a} _ {\ mathrm {\ text {t}}} = \ frac {\ Delta \ left (\ mathrm {r \ omega} \ right)} {\ Delta t} \\ [/ latex] .
Радиус r постоянен для кругового движения, поэтому [latex] \ mathrm {\ Delta} \ left (\ mathrm {r \ omega} \ right) = r \ Delta \ omega \\ [/ latex]. Таким образом,
[латекс] {a} _ {\ text {t}} = r \ frac {\ Delta \ omega} {\ Delta t} \\ [/ latex].
По определению [латекс] \ Delta \ omega / \ Delta t = \ alpha \\ [/ latex].Таким образом,
[латекс] {a} _ {\ text {t}} = \ mathrm {r \ alpha} \\ [/ latex]
или
[латекс] \ alpha = \ frac {{a} _ {\ text {t}}} {r} \\ [/ latex].

Концептуальные вопросы

1. Между вращательными и поступательными физическими величинами существуют аналогии. Определите вращательный член, аналогичный каждому из следующих: ускорение, сила, масса, работа, поступательная кинетическая энергия, линейный импульс, импульс.

2. Объясните, почему центростремительное ускорение меняет направление скорости при круговом движении, но не его величину.

3. При круговом движении тангенциальное ускорение может изменять величину скорости, но не ее направление. Поясните свой ответ.

4. Предположим, что блюдо стоит на краю вращающейся пластины микроволновой печи. Испытывает ли она ненулевое тангенциальное ускорение, центростремительное ускорение или и то, и другое, когда: а) пластина начинает вращаться? (б) Пластина вращается с постоянной угловой скоростью? (c) Пластина замедляется до остановки?

Задачи и упражнения

1.На пике торнадо имеет диаметр 60,0 м и скорость ветра 500 км / ч. Какова его угловая скорость в оборотах в секунду?

2. Integrated Concepts Ультрацентрифуга ускоряется от состояния покоя до 100 000 об / мин за 2,00 мин. а) Каково его угловое ускорение в рад / с ²? б) Каково тангенциальное ускорение точки на расстоянии 9,50 см от оси вращения? (c) Каково радиальное ускорение в м / с ² и кратное g этой точки при полных оборотах в минуту?

3. Integrated Concepts У вас есть точильный камень (диск) весом 90,0 кг, радиусом 0,340 м и вращающимся со скоростью 90,0 об / мин, и вы прижимаете к нему стальной топор с радиальной силой 20,0 Н. (a) Предполагая, что кинетический коэффициент трения между сталью и камнем равен 0,20, рассчитайте угловое ускорение точильного камня. б) Сколько оборотов сделает камень, прежде чем остановится?

4. Необоснованные результаты Вам говорят, что баскетболист вращает мяч с угловым ускорением 100 рад / с ².(а) Какова конечная угловая скорость мяча, если мяч стартует из состояния покоя и ускорение длится 2,00 с? б) Что неразумного в результате? (c) Какие посылки необоснованны или непоследовательны?

Глоссарий

угловое ускорение:: Скорость изменения угловой скорости во времени

изменение угловой скорости:: разница между конечным и начальным значениями угловой скорости

тангенциальное ускорение: ускорение в направлении, касательном к окружности в интересующей точке при круговом движении

Избранные решения проблем и упражнения

1. ω = 0,737 об / с

3. (а) −0.26 рад / с ² (б) 27 об

10.1 Угловое ускорение — Физика колледжа, главы 1-17

Сводка

Опишите равномерное круговое движение.
Объясните неравномерное круговое движение.
Вычислить угловое ускорение объекта.
Обратите внимание на связь между линейным и угловым ускорением.

Глава 6 Равномерное круговое движение и гравитация обсуждали только равномерное круговое движение, то есть движение по кругу с постоянной скоростью и, следовательно, с постоянной угловой скоростью.Напомним, что угловая скорость [латекс] \ boldsymbol {\ omega} [/ latex] была определена как временная скорость изменения угла [латекс] \ boldsymbol {\ theta}: [/ latex]

[латекс] \ boldsymbol {\ omega \: =} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {\ Delta \ theta} {\ Delta {t}}}, [/ латекс]

где [latex] \ boldsymbol {\ theta} [/ latex] — это угол поворота, как показано на рисунке 1. Связь между угловой скоростью [латекс] \ boldsymbol {\ omega} [/ latex] и линейной скоростью [латекс] \ boldsymbol {v} [/ latex] также был определен в главе 6.1 Угол поворота и угловая скорость как

[латекс] \ boldsymbol {v = r \ omega} [/ латекс]

или

[латекс] \ boldsymbol {\ omega \: =} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {v} {r}}, [/ latex]

, где [latex] \ boldsymbol {r} [/ latex] — это радиус кривизны, также видно на рисунке 1. Согласно соглашению о знаках, направление против часовой стрелки считается положительным направлением, а направление по часовой стрелке — отрицательным.

Рисунок 1. На этом рисунке показано равномерное круговое движение и некоторые его определенные величины.

Угловая скорость непостоянна, когда фигуристка тянет на руках, когда ребенок запускает карусель из состояния покоя или когда жесткий диск компьютера замедляется до полной остановки при выключении. Во всех этих случаях существует угловое ускорение , при котором изменяется [latex] \ boldsymbol {\ omega} [/ latex]. Чем быстрее происходит изменение, тем больше угловое ускорение. Угловое ускорение [латекс] \ boldsymbol {\ alpha} [/ latex] определяется как скорость изменения угловой скорости. В форме уравнения угловое ускорение выражается следующим образом:

[латекс] \ boldsymbol {\ alpha \: =} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {\ Delta \ omega} {\ Delta {t}}}, [/ латекс]

, где [latex] \ boldsymbol {\ Delta \ omega} [/ latex] — это изменение угловой скорости, а [latex] \ boldsymbol {\ Delta {t}} [/ latex] — изменение во времени.2}. [/ Latex] Если [latex] \ boldsymbol {\ omega} [/ latex] увеличивается, то [latex] \ boldsymbol {\ alpha} [/ latex] положительно. Если [latex] \ boldsymbol {\ omega} [/ latex] уменьшается, то [latex] \ boldsymbol {\ alpha} [/ latex] отрицательно.

Пример 1: Расчет углового ускорения и замедления велосипедного колеса

Предположим, что подросток кладет велосипед на спину и запускает заднее колесо, вращающееся от состояния покоя до конечной угловой скорости 250 об / мин за 5,00 с. 2}.2}, [/ latex] сколько времени нужно, чтобы колесо остановилось?

Стратегия для (а)

Угловое ускорение можно найти непосредственно из его определения в [latex] \ boldsymbol {\ alpha = \ frac {\ Delta \ omega} {\ Delta {t}}} [/ latex], поскольку даны окончательная угловая скорость и время . Мы видим, что [latex] \ boldsymbol {\ Delta \ omega} [/ latex] составляет 250 об / мин, а [latex] \ boldsymbol {\ Delta {t}} [/ latex] составляет 5,00 с.

Решение для (а)

Вводя известную информацию в определение углового ускорения, получаем

[латекс] \ begin {array} {lcl} \ boldsymbol {\ alpha} & \ boldsymbol {=} & \ boldsymbol {\ frac {\ Delta \ omega} {\ Delta {t}}} \\ {} & \ boldsymbol {=} & \ boldsymbol {\ frac {250 \ textbf {rpm}} {5.2} [/ latex] для углового ускорения нам нужно преобразовать [latex] \ boldsymbol {\ Delta \ omega} [/ latex] из об / мин в рад / с:

[латекс] \ begin {array} {lcl} \ boldsymbol {\ Delta \ omega} & \ boldsymbol {=} & \ boldsymbol {250 \ frac {\ textbf {rev}} {\ textbf {min}} \ cdotp \ frac {2 \ pi \ textbf {rad}} {\ textbf {rev}} \ cdotp \ frac {1 \ textbf {min}} {60 \ textbf {sec}}} \\ {} & \ boldsymbol {=} & \ boldsymbol {26.2 \ textbf {rads.}} \ end {array} [/ latex]

Вводя это количество в выражение для [latex] \ boldsymbol {\ alpha}, [/ latex], получаем

[латекс] \ begin {array} {lcl} \ boldsymbol {\ alpha} & \ boldsymbol {=} & \ boldsymbol {\ frac {\ Delta \ omega} {\ Delta {t}}} \\ {} & \ boldsymbol {=} & \ boldsymbol {\ frac {26.2} \ end {array} [/ latex]

Стратегия для (б)

В этой части мы знаем угловое ускорение и начальную угловую скорость. Мы можем найти время остановки, используя определение углового ускорения и решение для [latex] \ boldsymbol {\ Delta {t}}, [/ latex], что дает

[латекс] \ boldsymbol {\ Delta {t} \: =} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {\ Delta \ omega} {\ alpha}}. [/ Латекс]

Решение для (b)

Здесь угловая скорость уменьшается от [latex] \ boldsymbol {26.2}} \\ {} & \ boldsymbol {=} & \ boldsymbol {0.300 \ textbf {s.}} \ End {array} [/ latex]

Обсуждение

Если бы велосипед в предыдущем примере был на колесах, а не перевернут, он сначала разогнался бы по земле, а затем остановился бы. Эту связь между круговым движением и линейным движением необходимо исследовать. Например, было бы полезно знать, как связаны линейное и угловое ускорение. При круговом движении линейное ускорение составляет касательных к окружности в интересующей точке, как показано на рисунке 2. Таким образом, линейное ускорение называется касательным ускорением [латекс] \ boldsymbol {a _ {\ textbf {t}}}.[/ латекс]

Рис. 2. При круговом движении линейное ускорение a возникает по мере изменения величины скорости: a касается движения. В контексте кругового движения линейное ускорение также называется тангенциальным ускорением a _t .

Линейное или тангенциальное ускорение относится к изменениям величины скорости, но не ее направления. Из главы 6 мы знаем, что при круговом движении центростремительное ускорение [latex] \ boldsymbol {a _ {\ textbf {c}}}, [/ latex] относится к изменениям направления скорости, но не ее величине. .Объект, совершающий круговое движение, испытывает центростремительное ускорение, как показано на рисунке 3. Таким образом, [latex] \ boldsymbol {a _ {\ textbf {t}}} [/ latex] и [latex] \ boldsymbol {a _ {\ textbf {c} }} [/ latex] перпендикулярны и независимы друг от друга. Касательное ускорение [латекс] \ boldsymbol {a _ {\ textbf {t}}} [/ latex] напрямую связано с угловым ускорением [latex] \ boldsymbol {\ alpha} [/ latex] и связано с увеличением или уменьшением скорость, но не ее направление.

Рис. 3. Центростремительное ускорение a _c возникает при изменении направления скорости; он перпендикулярен круговому движению.Таким образом, центростремительное и тангенциальное ускорения перпендикулярны друг другу.

Теперь мы можем найти точную взаимосвязь между линейным ускорением [latex] \ boldsymbol {a _ {\ textbf {t}}} [/ latex] и угловым ускорением [latex] \ boldsymbol {\ alpha}. [/ Latex] Потому что линейное ускорение пропорциональна изменению величины скорости, она определена (как и в главе 2 «Одномерная кинематика») равной

[латекс] \ boldsymbol {a _ {\ textbf {t}} \: =} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {\ Delta {v}} {\ Delta {t}}.} [/ латекс]

Для кругового движения обратите внимание, что [latex] \ boldsymbol {v = r \ omega}, [/ latex], так что

[латекс] \ boldsymbol {a _ {\ textbf {t}} \: =} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {\ Delta (r \ omega)} {\ Delta {t}}.} [ / латекс]

Радиус [латекс] \ boldsymbol {r} [/ latex] постоянен для кругового движения, поэтому [латекс] \ boldsymbol {\ Delta (r \ omega) = r (\ Delta \ omega)}. [/ Latex] Таким образом,

[латекс] \ boldsymbol {a _ {\ textbf {t}} = r} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {\ Delta \ omega} {\ Delta {t}}.} [/ Латекс]

По определению [латекс] \ boldsymbol {\ alpha = \ frac {\ Delta \ omega} {\ Delta {t}}}.[/ latex] Таким образом,

[латекс] \ boldsymbol {a _ {\ textbf {t}} = r \ alpha}, [/ latex]

или

[латекс] \ boldsymbol {\ alpha \: =} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {a _ {\ textbf {t}}} {r}.} [/ Latex]

Эти уравнения означают, что линейное ускорение и угловое ускорение прямо пропорциональны. Чем больше угловое ускорение, тем больше линейное (тангенциальное) ускорение, и наоборот. Например, чем больше угловое ускорение ведущих колес автомобиля, тем больше ускорение автомобиля.Радиус тоже имеет значение. Например, чем меньше колесо, тем меньше его линейное ускорение для данного углового ускорения [латекс] \ boldsymbol {\ alpha}. [/ Latex]

Пример 2: Расчет углового ускорения колеса мотоцикла

Мощный мотоцикл может разогнаться от 0 до 30,0 м / с (около 108 км / ч) за 4,20 с. Каково угловое ускорение его колес радиусом 0,320 м? (См. Рисунок 4.)

Рисунок 4 . Линейное ускорение мотоцикла сопровождается угловым ускорением его колес.

Стратегия

Нам дана информация о линейных скоростях мотоцикла. Таким образом, мы можем найти его линейное ускорение [latex] \ boldsymbol {a _ {\ textbf {t}}}. [/ Latex] Тогда выражение [latex] \ boldsymbol {\ alpha = \ frac {a _ {\ textbf {t }}} {r}} [/ latex] можно использовать для определения углового ускорения.

Решение

Линейное ускорение

[латекс] \ begin {array} {lcl} \ boldsymbol {a _ {\ textbf {t}}} & \ boldsymbol {=} & \ boldsymbol {\ frac {\ Delta {v}} {\ Delta {t}} } \\ {} & \ boldsymbol {=} & \ boldsymbol {\ frac {30.2.} \ end {array} [/ latex]

Мы также знаем радиус колес. Ввод значений для [latex] \ boldsymbol {a _ {\ textbf {t}}} [/ latex] и [latex] \ boldsymbol {r} [/ latex] в [latex] \ boldsymbol {\ alpha = \ frac {a_ {\ textbf {t}}} {r}}, [/ latex] получаем

[латекс] \ begin {array} {lcl} \ boldsymbol {\ alpha} & \ boldsymbol {=} & \ boldsymbol {\ frac {a _ {\ textbf {t}}} {r}} \\ {} & \ boldsymbol {=} & \ boldsymbol {\ frac {7.14 \ textbf {m / s}} {20.320 \ textbf {m}}} \\ {} & \ boldsymbol {=} & \ boldsymbol {22.2.} \ end {array} [/ latex]

Обсуждение

Радианы безразмерны и присутствуют в любом соотношении между угловыми и линейными величинами.

До сих пор мы определили три вращательные величины — [латекс] \ boldsymbol {\ theta, \: \ omega}, [/ latex] и [латекс] \ boldsymbol {\ alpha}. [/ Latex] Эти величины аналогичны трансляционные величины [латекс] \ boldsymbol {x}, \: \ boldsymbol {v}, [/ latex] и [latex] \ boldsymbol {a}. [/ latex] В таблице 1 показаны вращательные величины, аналогичные трансляционные величины и отношения между ними.

Вращательное	Трансляционный	Отношения
[латекс] \ boldsymbol {\ theta} [/ латекс]	[латекс] \ boldsymbol {x} [/ латекс]	[латекс] \ boldsymbol {\ theta = \ frac {x} {r}} [/ латекс]
[латекс] \ boldsymbol {\ omega} [/ латекс]	[латекс] \ boldsymbol {v} [/ латекс]	[латекс] \ boldsymbol {\ omega = \ frac {v} {r}} [/ латекс]
[латекс] \ boldsymbol {\ alpha} [/ латекс]	[латекс] \ boldsymbol {a} [/ латекс]	[латекс] \ boldsymbol {\ alpha = \ frac {a _ {\ textbf {t}}} {r}} [/ латекс]
Таблица 1. Вращательные и поступательные величины.

УСТАНОВКА ПОДКЛЮЧЕНИЙ: ЭКСПЕРИМЕНТ НА ДОМУ

Сядьте, поставив ноги на землю, на вращающийся стул. Поднимите одну ногу так, чтобы она была разогнута (выпрямлена). Используя другую ногу, начните вращаться, отталкиваясь от земли. Прекратите толкать землю ногой, но позвольте стулу вращаться. От исходной точки, с которой вы начали, нарисуйте угол, угловую скорость и угловое ускорение вашей ноги как функцию времени в виде трех отдельных графиков.Оцените величину этих величин.

Проверьте свое понимание

1: Угловое ускорение — это вектор, имеющий как величину, так и направление. Как обозначить его величину и направление? Проиллюстрируйте на примере.

ФЕТ ИССЛЕДОВАНИЯ: РЕВОЛЮЦИЯ БОЖЬЕЙ КОРОВКИ

Присоединяйтесь к божьей коровке и исследуйте вращательное движение. Вращайте карусель, чтобы изменить ее угол, или выберите постоянную угловую скорость или угловое ускорение.Изучите, как круговое движение связано с координатами x, y, скоростью и ускорением жука, используя векторы или графики.

Рисунок 5. Божья коровка Revolution

Равномерное круговое движение — это движение с постоянной угловой скоростью [латекс] \ boldsymbol {\ omega = \ frac {\ Delta \ theta} {\ Delta {t}}}. [/ Latex]
При неравномерном круговом движении скорость изменяется со временем, а скорость изменения угловой скорости (т.е. угловое ускорение) равна [latex] \ boldsymbol {\ alpha = \ frac {\ Delta \ omega} {\ Delta {t} }}.[/ латекс]
Линейное или тангенциальное ускорение относится к изменениям величины скорости, но не ее направления, заданному как [latex] \ boldsymbol {a _ {\ textbf {t}} = \ frac {\ Delta {v}} {\ Delta {t} }}. [/ latex]
Для кругового движения обратите внимание, что [latex] \ boldsymbol {v = r \ omega}, [/ latex] так, чтобы
[латекс] \ boldsymbol {a _ {\ textbf {t}} \: =} [/ latex] [latex] \ boldsymbol {\ frac {\ Delta (r \ omega)} {\ Delta {t}}}. [ / латекс]
Радиус r постоянен для кругового движения, поэтому [латекс] \ boldsymbol {\ Delta (r \ omega) = r \ Delta \ omega}.[/ latex] Таким образом,
[латекс] \ boldsymbol {a _ {\ textbf {t}} = r} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {\ Delta \ omega} {\ Delta {t}}}. [/ Latex]
По определению [латекс] \ boldsymbol {\ Delta \ omega / \ Delta {t} = \ alpha}. [/ Latex] Таким образом,
[латекс] \ boldsymbol {a _ {\ textbf {t}} = r \ alpha} [/ латекс]
или
[латекс] \ boldsymbol {\ alpha =} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {a _ {\ textbf {t}}} {r}}. [/ Latex]

Концептуальные вопросы

1: Между вращательными и поступательными физическими величинами существуют аналогии.Определите вращательный член, аналогичный каждому из следующих: ускорение, сила, масса, работа, поступательная кинетическая энергия, линейный импульс, импульс.

2: Объясните, почему центростремительное ускорение изменяет направление скорости при круговом движении, но не ее величину.

3: При круговом движении тангенциальное ускорение может изменять величину скорости, но не ее направление. Поясните свой ответ.

4: Предположим, что блюдо стоит на краю вращающейся пластины микроволновой печи.Испытывает ли она ненулевое тангенциальное ускорение, центростремительное ускорение или и то, и другое, когда: а) пластина начинает вращаться? (б) Пластина вращается с постоянной угловой скоростью? (c) Пластина замедляется до остановки?

Задачи и упражнения

1: На пике торнадо имеет диаметр 60,0 м и скорость ветра 500 км / ч. Какова его угловая скорость в оборотах в секунду?

2: Комплексные концепции

Ультрацентрифуга ускоряется от состояния покоя до 100 000 об / мин за 2 секунды.2} [/ latex] и кратные [latex] \ boldsymbol {g} [/ latex] этой точки на полных оборотах?

3: Комплексные концепции

У вас есть точильный камень (диск) весом 90,0 кг, радиусом 0,340 м и вращающимся со скоростью 90,0 об / мин, и вы прижимаете к нему стальной топор с радиальной силой 20,0 Н. 2}.[/ latex] Направление углового ускорения вдоль фиксированной оси обозначается знаком + или a -, так же как направление линейного ускорения в одном измерении обозначается знаком + или a -. Например, представьте, что гимнастка делает сальто вперед. Ее угловой момент был бы параллелен ковру слева от нее. Величина ее углового ускорения будет пропорциональна ее угловой скорости (скорости вращения) и ее моменту инерции относительно оси вращения.

Задачи и упражнения

[латекс] \ boldsymbol {\ omega = 0.2} [/ латекс]

(b) [латекс] \ boldsymbol {27 \ textbf {rev}} [/ латекс]

Вращательная инерция — College Physics

Цели обучения

Поймите взаимосвязь между силой, массой и ускорением.
Изучите вращающий эффект силы.
Изучите аналогию между силой и крутящим моментом, массой и моментом инерции, а также линейным ускорением и угловым ускорением.

Если вы когда-либо крутили колесо велосипеда или толкали карусель, вы знаете, что для изменения угловой скорости требуется сила, как показано на (Рисунок).Фактически, ваша интуиция надежно предсказывает многие из вовлеченных факторов. Например, мы знаем, что дверь открывается медленно, если мы нажимаем слишком близко к ее петлям. Кроме того, мы знаем, что чем массивнее дверь, тем медленнее она открывается. Первый пример подразумевает, что чем дальше сила приложена от оси поворота, тем больше угловое ускорение; другое значение состоит в том, что угловое ускорение обратно пропорционально массе. Эти отношения должны казаться очень похожими на знакомые отношения между силой, массой и ускорением, воплощенные во втором законе движения Ньютона.На самом деле существуют точные вращательные аналоги как силы, так и массы.

Для вращения колеса велосипеда требуется сила. Чем больше сила, тем больше угловое ускорение. Чем массивнее колесо, тем меньше угловое ускорение. Если вы надавите на спицу ближе к оси, угловое ускорение будет меньше.

Чтобы установить точное соотношение между силой, массой, радиусом и угловым ускорением, подумайте, что произойдет, если мы приложим силу к точечной массе, находящейся на расстоянии от точки поворота, как показано на (Рисунок).Поскольку сила перпендикулярна, ускорение получается в направлении. Мы можем перестроить это уравнение так, чтобы затем искать способы связать это выражение с выражениями для вращательных величин. Заметим, что, и мы подставляем это выражение в, получая

Напомним, что крутящий момент — это эффективность силы при повороте. В этом случае, потому что перпендикулярно, крутящий момент просто. Итак, если мы умножим обе части приведенного выше уравнения на, мы получим крутящий момент в левой части.То есть

или

Это последнее уравнение является вращательным аналогом второго закона Ньютона (), где крутящий момент аналогичен силе, угловое ускорение аналогично поступательному ускорению и аналогично массе (или инерции). Величина называется инерцией вращения или моментом инерции точечной массы на расстоянии от центра вращения.

Объект поддерживается горизонтальным столом без трения и прикрепляется к точке поворота шнуром, обеспечивающим центростремительную силу.К объекту прилагается сила, перпендикулярная радиусу, заставляя его ускоряться относительно точки поворота. Сила сохраняется перпендикулярно.

Установление соединений: динамика вращательного движения

Динамика вращательного движения полностью аналогична линейной или поступательной динамике. Динамика связана с силой и массой и их влиянием на движение. Для вращательного движения мы найдем прямые аналоги силе и массе, которые ведут себя так, как мы ожидали из нашего предыдущего опыта.

Инерция вращения и момент инерции

Прежде чем мы сможем рассматривать вращение чего-либо, кроме точечной массы, подобной показанной на (Рисунок), мы должны распространить идею инерции вращения на все типы объектов. Чтобы расширить нашу концепцию инерции вращения, мы определяем момент инерции объекта как сумму всех точечных масс, из которых он состоит. То есть, . Здесь аналог поступательного движения. Из-за расстояния момент инерции любого объекта зависит от выбранной оси.На самом деле, вычисления выходят за рамки этого текста, за исключением одного простого случая — обруча, вся масса которого находится на одинаковом расстоянии от оси. Таким образом, момент инерции обруча вокруг своей оси равен, где — его общая масса и его радиус. (Мы используем и для всего объекта, чтобы отличать их от точечных масс.) Во всех остальных случаях мы должны обращаться к (Рисунок) (обратите внимание, что таблица — это произведение искусства, которое имеет формы, а также формулы) для формул для этого были получены путем интегрирования по сплошному телу.Обратите внимание, что есть единицы массы, умноженные на квадрат расстояния (), как и следовало ожидать из его определения.

Общее соотношение между крутящим моментом, моментом инерции и угловым ускорением равно

или

, где net — это общий крутящий момент от всех сил относительно выбранной оси. Для простоты мы будем рассматривать только моменты, действующие под действием сил в плоскости вращения. Такие моменты могут быть положительными или отрицательными и складываются как обычные числа. Взаимосвязь является вращательным аналогом второго закона Ньютона и применима очень широко.Это уравнение действительно справедливо для любого крутящего момента , приложенного к любому объекту , относительно любой оси .

Как и следовало ожидать, чем больше крутящий момент, тем больше угловое ускорение. Например, чем сильнее ребенок толкает карусель, тем быстрее она разгоняется. Кроме того, чем массивнее карусель, тем медленнее она разгоняется при том же крутящем моменте. Основное соотношение между моментом инерции и угловым ускорением состоит в том, что чем больше момент инерции, тем меньше угловое ускорение.Но есть еще один нюанс. Момент инерции зависит не только от массы объекта, но и от его распределения массы относительно оси, вокруг которой он вращается. Например, карусель, полную детей, будет намного легче разогнать, если они будут стоять близко к ее оси, чем если все они будут стоять у внешнего края. Масса одинакова в обоих случаях, но момент инерции намного больше, когда дети находятся на краю.

Take-Home Experiment

Вырежьте из плотного картона круг радиусом около 10 см.На краю круга напишите числа от 1 до 12, как часы на циферблате. Расположите круг так, чтобы он мог свободно вращаться вокруг горизонтальной оси через его центр, как колесо. (Вы можете свободно прибить круг к стене.) Держите круг неподвижно и с номером 12, расположенным вверху, прикрепите кусок синей замазки (липкий материал, используемый для крепления плакатов к стене) под номером 3. Насколько велик шишка должна быть просто вращать по кругу? Опишите, как можно изменить момент инерции круга.Как это изменение повлияет на количество синей замазки, необходимое для числа 3, чтобы просто повернуть круг? Измените момент инерции круга, а затем попробуйте повернуть круг, используя разное количество синей замазки. Повторите этот процесс несколько раз.

Стратегия решения проблем для динамики вращения

Изучите ситуацию, чтобы определить, что крутящий момент и масса участвуют в вращении . Нарисуйте тщательный набросок ситуации.
Определите интересующую систему .
Нарисуйте схему свободного тела . То есть нарисуйте и обозначьте все внешние силы, действующие на интересующую систему.
Примените вращательный эквивалент второго закона Ньютона, чтобы решить задачу . Необходимо соблюдать осторожность, чтобы использовать правильный момент инерции и учитывать крутящий момент относительно точки вращения.
Как всегда, проверьте правильность решения .

Установление соединений

В статике чистый крутящий момент равен нулю, и нет углового ускорения.Во вращательном движении чистый крутящий момент является причиной углового ускорения, как и во втором законе движения Ньютона для вращения.

Некоторые инерции вращения.

Расчет влияния распределения массы на карусель

Представьте, что отец толкает на детской площадке карусель (рисунок). Он прилагает силу 250 Н к краю карусели массой 50,0 кг, имеющей радиус 1,50 м. Рассчитайте угловое ускорение, возникающее (а), когда никого нет на карусели, и (б), когда оно равно 18.Ребенок 0 кг сидит на расстоянии 1,25 м от центра. Считайте саму карусель однородным диском с незначительным замедляющим трением.

Отец толкает детскую карусель за край и перпендикулярно ее радиусу, чтобы добиться максимального крутящего момента.

Стратегия

Угловое ускорение определяется выражением:

Чтобы найти, мы должны сначала вычислить крутящий момент (который одинаков в обоих случаях) и момент инерции (который больше во втором случае).Чтобы найти крутящий момент, отметим, что приложенная сила перпендикулярна радиусу и трение незначительно, так что

Решение для (а)

Момент инерции твердого диска относительно этой оси, как показано на рисунке, равен

где и, так что

Теперь, после подстановки известных значений, мы находим угловое ускорение, равное

Решение для (b)

Мы ожидаем, что угловое ускорение системы будет меньше в этой части, потому что момент инерции больше, когда ребенок находится на карусели.Чтобы найти общий момент инерции, мы сначала находим момент инерции ребенка, считая ребенка эквивалентом точечной массы на расстоянии 1,25 м от оси. Затем

Полный момент инерции — это сумма моментов инерции карусели и ребенка (относительно одной оси). Чтобы оправдать эту сумму перед собой, изучите определение:

Подстановка известных значений в уравнение дает

Обсуждение

Угловое ускорение меньше, когда ребенок находится на карусели, чем когда карусель пуста, как и ожидалось.Обнаруженные угловые ускорения довольно велики, отчасти из-за того, что трение считалось незначительным. Если, например, отец продолжал толкать перпендикулярно в течение 2,00 с, он дал бы карусели угловую скорость 13,3 рад / с, когда она пуста, и только 8,89 рад / с, когда на ней сидит ребенок. В оборотах в секунду эти угловые скорости составляют 2,12 об / с и 1,41 об / с соответственно. В первом случае отец разгонялся до 50 км / ч. Летние Олимпийские игры, вот он! Подтверждение этих чисел оставлено читателю в качестве упражнения.

Проверьте свое понимание

Крутящий момент — аналог силы, а момент инерции — аналог массы. Сила и масса — это физические величины, которые зависят только от одного фактора. Например, масса связана исключительно с количеством атомов различных типов в объекте. Одинаково ли просты крутящий момент и момент инерции?

№ Крутящий момент зависит от трех факторов: величины силы, направления силы и точки приложения. Момент инерции зависит как от массы, так и от ее распределения относительно оси вращения.Таким образом, хотя аналогии точны, эти вращательные величины зависят от большего числа факторов.

Сводка раздела

Чем дальше от оси приложена сила, тем больше угловое ускорение; угловое ускорение обратно пропорционально массе.
Если мы приложим силу к точечной массе, находящейся на расстоянии от точки поворота, и поскольку сила перпендикулярна, ускорение будет в направлении. Мы можем переписать это уравнение так, чтобы
, а затем поищите способы связать это выражение с выражениями для вращательных величин.Заметим, что, и мы подставляем это выражение в, получая
Крутящий момент — это эффективность силы при повороте. В этом случае, потому что перпендикулярно, крутящий момент просто. Если мы умножим обе части приведенного выше уравнения на, мы получим крутящий момент в левой части. То есть,
или
Момент инерции объекта — это сумма всех точечных масс, из которых он состоит. То есть,
Общая взаимосвязь между крутящим моментом, моментом инерции и угловым ускорением:
или

Задачи и упражнения

В этой задаче рассматриваются дополнительные аспекты примера «Расчет влияния распределения массы на карусель».а) Сколько времени нужно отцу, чтобы дать карусели угловую скорость 1,50 рад / с? б) Сколько оборотов он должен совершить, чтобы получить эту скорость? (c) Если он приложит замедляющую силу 300 Н в радиусе 1,35 м, сколько времени ему потребуется, чтобы остановить их?

(а) 0,338 с

(б) 0,0403 изм.

(в) 0,313 с

Рассчитайте момент инерции фигуриста с учетом следующей информации. (а) Фигурист весом 60,0 кг приблизительно представляет собой цилиндр с 0.110-метровый радиус. (b) Фигурист с вытянутыми руками представляет собой цилиндр, примерно равный 52,5 кг, радиус 0,110 м и две руки длиной 0,900 м, каждая по 3,75 кг, которые выходят прямо из цилиндра, как стержни, вращающиеся вокруг своей оси. заканчивается.

Трехглавая мышца задней части плеча разгибает предплечье. Эта мышца у профессионального боксера действует с силой 30 мм при эффективном перпендикулярном плече рычага в 3,00 см, создавая угловое ускорение предплечья около. Какой момент инерции предплечья боксера?

Футболист вытягивает голень ногой, прикладывая силу к мышце выше колена в передней части ноги.Она производит угловое ускорение, а ее голень имеет момент инерции. Какая сила действует в мышце, если ее эффективное перпендикулярное плечо рычага составляет 1,90 см?

Предположим, вы прилагаете усилие 180 Н по касательной к точильному камню с радиусом 0,280 м и весом 75,0 кг (твердый диск).

(а) Какой крутящий момент прилагается? (b) Какое угловое ускорение предполагает незначительное встречное трение? (c) Что такое угловое ускорение, если существует противодействующая сила трения, равная 20?0 Н выдели на 1,50 см от оси?

Рассмотрим колесо мотоцикла массой 12,0 кг, показанное на (Рисунок). Предположим, что это примерно кольцевое кольцо с внутренним радиусом 0,280 м и внешним радиусом 0,330 м. Мотоцикл стоит на центральной подставке, так что колесо может свободно вращаться. (a) Если приводная цепь оказывает усилие в 2200 Н на радиусе 5,00 см, каково угловое ускорение колеса? (б) Каково тангенциальное ускорение точки на внешнем крае шины? (c) Сколько времени нужно, начиная с состояния покоя, чтобы достичь угловой скорости 80.0 рад / с?

Момент инерции колеса мотоцикла приблизительно равен моменту инерции кольцевого кольца.

Зорч, заклятый враг Супермена, решает замедлить вращение Земли до одного раза в 28,0 ч, приложив противодействующую силу на экваторе и параллельно ему. Супермен не сразу обеспокоен, потому что он знает, что Зорч может проявлять только силу (немного большую, чем тяга ракеты Сатурн V). Как долго Зорч должен продвигаться с этой силой, чтобы достичь своей цели? (Этот период дает Супермену время посвятить себя другим злодеям.) Ясно покажите, как вы выполняете шаги, указанные в Стратегии решения проблем для динамики вращения.

или

Автомобильный двигатель может развивать крутящий момент 200 Н ∙ м. Рассчитайте угловое ускорение, возникающее, если 95,0% этого крутящего момента приложено к ведущему валу, оси и задним колесам автомобиля, учитывая следующую информацию. Автомобиль подвешен так, чтобы колеса могли свободно вращаться. Каждое колесо действует как диск массой 15,0 кг с радиусом 0,180 м. Стенки каждой шины действуют как 2.Кольцевое кольцо массой 00 кг с внутренним радиусом 0,180 м и внешним радиусом 0,320 м. Протектор каждой шины действует как обруч весом 10,0 кг и радиусом 0,330 м. Ось весом 14,0 кг действует как штанга с радиусом 2,00 см. Приводной вал весом 30,0 кг действует как стержень с радиусом 3,20 см.

Исходя из формулы для момента инерции стержня, вращающегося вокруг оси через один конец, перпендикулярный его длине, докажите, что момент инерции стержня, вращающегося вокруг оси через его центр, перпендикулярный его длине, равен.Вы найдете графику на (Рисунок), полезную для визуализации этих вращений.

Необоснованные результаты

Гимнастка, выполняющая сальто вперед, приземляется на ковер и прикладывает крутящий момент 500 Н ∙ м, чтобы снизить свою угловую скорость до нуля. Ее начальная угловая скорость составляет 10,0 рад / с, а момент инерции равен. а) Сколько времени ей нужно, чтобы точно остановить вращение? б) Что неразумного в результате? (c) Какие посылки необоснованны или непоследовательны?

(а) 2.0 мс

(b) Временной интервал слишком короткий.

Необоснованные результаты

В рекламе утверждается, что автомобилю массой 800 кг помогает его маховик массой 20,0 кг, который может разогнать автомобиль из состояния покоя до скорости 30,0 м / с. Маховик представляет собой диск радиусом 0,150 м. (a) Рассчитайте угловую скорость, которую должен иметь маховик, если 95,0% его энергии вращения используется для того, чтобы автомобиль набрал скорость.б) Что неразумного в результате? (c) Какая предпосылка является необоснованной, а какие несовместимы?

(а) 17500 об / мин

(б) Эта угловая скорость очень велика для диска такого размера и массы. Радиальное ускорение на краю диска> 50 000 gs.

Глоссарий

крутящий момент: эффективность поворота силы

инерция вращения: сопротивление изменению вращения.Чем больше инерция вращения у объекта, тем труднее его вращать

момент инерции: масса, умноженная на квадрат расстояния по перпендикуляру от оси вращения; для точечной массы это так, и, поскольку любой объект может быть построен из набора точечных масс, это соотношение является основой для всех других моментов инерции

10.3 Связь угловых и трансляционных величин — University Physics Volume 1

Learning Objectives

К концу этого раздела вы сможете:

Учитывая линейное кинематическое уравнение, напишите соответствующее вращательное кинематическое уравнение
Расчет линейных расстояний, скоростей и ускорений точек вращающейся системы с учетом угловых скоростей и ускорений

В этом разделе мы связываем каждую из вращательных переменных с трансляционными переменными, определенными в «Движение по прямой линии» и «Движение в двух и трех измерениях».Это завершит нашу способность описывать вращения твердого тела.

Угловые и линейные переменные

В «Вращательные переменные» мы ввели угловые переменные. Если мы сравним определения вращения с определениями линейных кинематических переменных из «Движение по прямой линии» и «Движение в двух и трех измерениях», мы обнаружим, что существует отображение линейных переменных во вращательные. Линейное положение, скорость и ускорение имеют свои вращательные аналоги, как мы можем видеть, когда пишем их рядом:

	линейный	Вращающийся
Позиция	x	θθ
Скорость	v = dxdtv = dxdt	ω = dθdtω = dθdt
Разгон	a = dvdta = dvdt	α = dωdtα = dωdt

Давайте сравним линейные и вращательные переменные по отдельности.Линейная переменная положения имеет физические единицы измерения в метрах, тогда как переменная углового положения имеет безразмерные единицы радиан, как видно из определения θ = srθ = sr, которое является отношением двух длин. Линейная скорость измеряется в м / с, а угловая скорость — в рад / с. В «Вращательных переменных» мы видели в случае кругового движения, что линейная тангенциальная скорость частицы на радиусе r от оси вращения связана с угловой скоростью соотношением vt = rωvt = rω.Это также может относиться к точкам на твердом теле, вращающемся вокруг фиксированной оси. Здесь мы рассматриваем только круговое движение. В круговом движении, как однородном, так и неравномерном, существует центростремительное ускорение (движение в двух и трех измерениях). Вектор центростремительного ускорения направлен внутрь от частицы, совершающей круговое движение, к оси вращения. Вывод величины центростремительного ускорения дан в «Движении в двух и трех измерениях». Исходя из этого вывода, величина центростремительного ускорения оказалась равной

, где r — радиус окружности.

Таким образом, при равномерном круговом движении, когда угловая скорость постоянна, а угловое ускорение равно нулю, мы имеем линейное ускорение, то есть центростремительное ускорение, поскольку тангенциальная скорость в уравнении 10.14 является постоянной. Если присутствует неравномерное круговое движение, вращающаяся система имеет угловое ускорение, и у нас есть как линейное центростремительное ускорение, которое изменяется (потому что vtvt изменяется), так и линейное тангенциальное ускорение. Эти отношения показаны на рисунке 10.14, где показаны центростремительные и тангенциальные ускорения для равномерного и неравномерного кругового движения.

Фигура 10,14 (a) Равномерное круговое движение: вектор центростремительного ускорения acac направлен внутрь к оси вращения. Нет тангенциального ускорения. (b) Неравномерное круговое движение: угловое ускорение вызывает центростремительное ускорение внутрь, которое изменяется по величине, плюс тангенциальное ускорение atat.

Центростремительное ускорение возникает из-за изменения направления тангенциальной скорости, тогда как тангенциальное ускорение возникает из-за любого изменения величины тангенциальной скорости.Векторы тангенциального и центростремительного ускорения a → ta → t и a → ca → c всегда перпендикулярны друг другу, как показано на рисунке 10.14. Чтобы завершить это описание, мы можем присвоить вектор полного линейного ускорения точке на вращающемся твердом теле или частице, совершающей круговое движение с радиусом r от фиксированной оси. Полный вектор линейного ускорения a → a → представляет собой векторную сумму центростремительного и тангенциального ускорений,

a → = a → c + a → t.a → = a → c + a → t.

10,15

Полный вектор линейного ускорения в случае неравномерного кругового движения указывает под углом между векторами центростремительного и тангенциального ускорений, как показано на рисунке 10.15. Поскольку a → c⊥a → ta → c⊥a → t, величина полного линейного ускорения равна

. | a → | = ac2 + at2. | a → | = ac2 + at2.

Обратите внимание, что если угловое ускорение равно нулю, полное линейное ускорение равно центростремительному ускорению.

Фигура 10,15 Частица совершает круговое движение и имеет угловое ускорение. Общее линейное ускорение частицы представляет собой векторную сумму векторов центростремительного ускорения и векторов тангенциального ускорения. Вектор полного линейного ускорения находится под углом между центростремительным и тангенциальным ускорениями.

Взаимосвязь между вращательным и поступательным движением

Мы можем рассмотреть две взаимосвязи между вращательным и поступательным движением.

Вообще говоря, линейные кинематические уравнения имеют свои вращательные аналоги. В таблице 10.2 перечислены четыре линейных кинематических уравнения и соответствующие им вращательные уравнения. Эти две системы уравнений похожи друг на друга, но описывают две разные физические ситуации, то есть вращение и перемещение.

Поворотный	Трансляционный
θf = θ0 + ω – tθf = θ0 + ω – t	x = x0 + v – tx = x0 + v – t
ωf = ω0 + αtωf = ω0 + αt	vf = v0 + atvf = v0 + при
θf = θ0 + ω0t + 12αt2θf = θ0 + ω0t + 12αt2	xf = x0 + v0t + 12at2xf = x0 + v0t + 12at2
ωf2 = ω02 + 2α (Δθ) ωf2 = ω02 + 2α (Δθ)	vf2 = v02 + 2a (Δx) vf2 = v02 + 2a (Δx)

Стол 10.2 Вращательные и поступательные кинематические уравнения

Второе соответствие связано с соотношением линейных и вращательных переменных в частном случае кругового движения.Это показано в Таблице 10.3, где в третьем столбце мы перечислили связующее уравнение, которое связывает линейную переменную с переменной вращения. Вращательные переменные угловой скорости и ускорения имеют индексы, указывающие на их определение в круговом движении.

Поворотный	Трансляционный	Взаимосвязь (r = radiusr = радиус)
θθ	с	θ = srθ = sr
ωω	VTVT	ω = vtrω = vtr
αα	атат	α = atrα = atr
	acac	ac = vt2rac = vt2r

Стол 10.3 Вращательные и поступательные величины: круговое движение

Пример 10,7

Линейное ускорение центрифуги

Центрифуга имеет радиус 20 см и ускоряется от максимальной скорости вращения 10 000 об / мин до состояния покоя за 30 секунд при постоянном угловом ускорении. Он вращается против часовой стрелки. Какова величина полного ускорения точки на конце центрифуги при t = 29,0 с? T = 29,0 с? Каково направление вектора полного ускорения?

Стратегия

Имея предоставленную информацию, мы можем вычислить угловое ускорение, которое затем позволит нам найти тангенциальное ускорение.Мы можем найти центростремительное ускорение при t = 0t = 0, вычислив тангенциальную скорость в это время. С помощью величин ускорений мы можем вычислить общее линейное ускорение. Из описания вращения в задаче мы можем набросать направление вектора полного ускорения.

Решение

Угловое ускорение равно α = ω − ω0t = 0− (1.0 × 104) 2π / 60.0s (рад / с) 30.0s = −34.9rad / s2. α = ω − ω0t = 0− (1.0 × 104) 2π / 60.0s (рад / с) /s)30.0s=−34.9rad/s2.

Следовательно, тангенциальное ускорение равно

при = rα = 0.2 м (-34,9рад / с2) = -7,0 м / с2. At = rα = 0,2 м (-34,9рад / с2) = -7,0 м / с2.

Угловая скорость при t = 29.0st = 29.0с равна

. ω = ω0 + αt = 1.0 × 104 (2π60.0s) + (- 34.9rad / s2) (29.0s) = 1047.2rad / s − 1012.71 = 35.1rad / s. ω = ω0 + αt = 1.0 × 104 (2π60 0,0 с) + (- 34,9рад / с2) (29,0 с) = 1047,2рад / с − 1012,71 = 35,1рад / с.

Таким образом, тангенциальная скорость при t = 29.0st = 29.0с равна

vt = rω = 0,2 м (35,1 рад / с) = 7,0 м / с. vt = rω = 0,2 м (35,1 рад / с) = 7,0 м / с.

Теперь мы можем рассчитать центростремительное ускорение при t = 29.0st = 29.0s:

ac = v2r = (7,0 м / с) 20,2 м = 245,0 м / с2.ac = v2r = (7,0 м / с) 20,2 м = 245,0 м / с2.

Поскольку два вектора ускорения перпендикулярны друг другу, величина общего линейного ускорения составляет

| a → | = ac2 + at2 = (245,0) 2 + (- 7,0) 2 = 245,1 м / с2. | a → | = ac2 + at2 = (245,0) 2 + (- 7,0) 2 = 245,1 м / с2.

Поскольку центрифуга имеет отрицательное угловое ускорение, она замедляется. Общий вектор ускорения показан на рисунке 10.16. Угол относительно вектора центростремительного ускорения составляет

°. θ = tan − 1−7.0245.0 = −1,6 °. θ = tan − 1−7.0245.0 = −1.6 °.

Знак минус означает, что вектор полного ускорения наклонен по часовой стрелке.

Фигура 10,16 Векторы центростремительного, тангенциального и полного ускорения. Центрифуга замедляется, поэтому тангенциальное ускорение идет по часовой стрелке, а не по направлению вращения (против часовой стрелки).

Значение

Из рисунка 10.16 видно, что вектор тангенциального ускорения противоположен направлению вращения. Величина тангенциального ускорения намного меньше центростремительного ускорения, поэтому вектор полного линейного ускорения будет составлять очень малый угол по отношению к вектору центростремительного ускорения.

Проверьте свое понимание 10,3

Мальчик прыгает на покоящейся карусели радиусом 5 м. Он начинает с постоянной скоростью разгоняться до угловой скорости 5 рад / с за 20 секунд. Какое расстояние преодолел мальчик?

(PDF) Соотношение угловой скорости и центростремительного ускорения

Йохен Кун и Патрик Фогт, редакторы колонки

Университет Кайзерслаутерна, Кайзерслаутерн, Германия, и

Педагогический университет Фрайбурга, Германия; kuhn @ Physik.uni-kl.de

Было показано

различных датчика. Этот эксперимент

демонстрирует простоту использования смартфона в физических экспериментах. Стоит отметить, что предлагаемый здесь эксперимент

нелегко реализовать в традиционной лаборатории. Действительно, для измерения угловой скорости

требуются датчики вращения, которые не могут быть легко подсоединены к вращающимся устройствам, таким как карусель.

Кроме того, традиционные датчики, доступные в большинстве лабораторий

, не только значительно дороже смартфонов

, но и требуют проводных соединений.Аналогичная экспериментальная установка

без использования смартфонов намного сложнее, чем

, предложенная в этой статье.

Эксперимент также можно провести в классе,

, например, с вращающимся диском, если нет подходящей карусели

Ссылки

1. Патрик Фогт, Йохен Кун и Себастьян Мюллер, «Эксперименты

с использованием сотовых телефонов в обучении физике: компьютерное определение

с помощью g», Phys.Учат. 49, 383 (сентябрь 2011 г.).

2. Патрик Фогт и Йохен Кун, «Анализ свободного падения с помощью датчика ускорения телефона smart-

», Phys. Учат. 50, 182 (март 2012).

3. Патрик Фогт и Йохен Кун, «Анализ явлений простого маятника

с помощью датчика ускорения смартфона», Phys.

Обучение. 50, 439–440 (октябрь 2012 г.).

4. Йохен Кун и Патрик Фогт, «Анализ явлений пружинного маятника

с помощью датчика ускорения смартфона», Phys.

Обучение. 50, 504 (ноябрь 2012 г.).

5. Джефферсон В. Стрипи «Использование iPad для иллюстрации взаимосвязи импульс —

», Phys. Учат. 51, 54 (январь 2013 г.).

6. Патрик Фогт и Йохен Кун, «Анализ радиального ускорения

с помощью датчика ускорения смартфона», Phys. Учат. 51, 182

(март 2013 г.).

7. Йохен Кун и Патрик Фогт, «Смартфоны как экспериментальные инструменты

: различные методы определения ускорения гравитации в классе физики с использованием повседневных устройств», Eur.J.

Phys. Educ. 4, 16 (2013).

8. Джоэл Шеврие, Лайя Мадани, Саймон Леденмат и Ахмад

Бсиеси, «Обучение классической механике с помощью смартфонов»,

Phys. Учат. 51, 376 (сентябрь 2013 г.).

9. Асиф Шакур и Тейлор Синатра, «Угловой момент», Phys.

Обучение. 51, 564 (декабрь 2013 г.).

10. Мартин Монтейро, Сесилия Кабеса и Артуро К. Марти, «Энергия движения

в физическом маятнике», Phys. Учат.52, 561

(март 2014 г.).

, включенные в эти рисунки, показывают, что обе величины перераспределены хорошо известным соотношением

ac = ω2 R, (1)

, где R — расстояние от смартфона до оси

-ходовой. Коэффициенты, полученные при подгонке, соответствуют

расстояниям с очень хорошим согласованием.

Чтобы завершить анализ на рис. 4, рассматриваемые величины

показаны как функции времени для одной из реализаций

.На этом рисунке мы наблюдаем различные этапы движения

. В первые секунды карусель

яростно толкает. Затем, примерно между 10 и 80 с, он постепенно замедляется. Наконец, в последние секунды карусель-

резко останавливается. Стоит отметить, что из-за ограничений смартфона

–

частота дискретизации неоднородна.

Кроме того, сравнивая с рис. 2, отметим, что большой зазор

около ω2 ~ 2 рад2⁄с2 является следствием принудительной остановки процесса

.Анализ и сравнение различных цифр

может стать источником стимулирующего обсуждения в классе.

Заключение

Основная кинематическая взаимосвязь между угловой скоростью

и центростремительным ускорением была проверена с помощью датчиков смартфона

. Согласованность измерений, выполненных с помощью

iPhysicsLabs

Рис. 4. Угловая скорость и центростремительное ускорение как функция

времени, соответствующие одной из реализаций, показанных на предыдущих рисунках

.Расстояние R = 120 см и карусель

вращается против часовой стрелки.

Учитель физики ◆ Vol. 52, май 2014 313

Взаимосвязь между крутящим моментом и угловым ускорением

Крутящий момент и угловое ускорение связаны следующей формулой, где — момент инерции объекта, а $ \ alpha $ — угловое ускорение.

Так же, как Второй закон Ньютона, согласно которому сила равна массе, умноженной на ускорение, крутящий момент подчиняется аналогичному закону.Если вы замените крутящий момент силой, а инерцию вращения — массой, а угловое ускорение — линейным ускорением, вы получите второй закон Ньютона. Фактически, это уравнение является вторым законом Ньютона, примененным к системе частиц, вращающихся вокруг заданной оси. Он не делает никаких предположений о постоянной скорости вращения.

Чистый крутящий момент вокруг оси вращения равен произведению инерции вращения вокруг этой оси и углового ускорения, как показано на рисунке 1.

Рисунок 1

Взаимосвязь между векторами силы (F), крутящего момента (τ), импульса (p) и углового момента (L) во вращающейся системе

Подобно Второму закону Ньютона, угловое движение также подчиняется Первому закону Ньютона.Если на объект не действуют никакие внешние силы, объект в движении остается в движении, а объект в состоянии покоя остается в покое. С вращающимися объектами мы можем сказать, что, если не будет приложен внешний крутящий момент, вращающийся объект будет продолжать вращаться, а объект в состоянии покоя не начнет вращаться.

Если бы поворотный стол вращался против часовой стрелки (если смотреть сверху), и вы приложили пальцы к противоположным сторонам, поворотный стол начал бы замедлять свое вращение. По крайней мере, с точки зрения поступательного движения, к поворотному столу не будет прилагаться результирующая сила.Сила, указывающая на одну сторону, будет отменена силой, указывающей на другую. Силы двух пальцев компенсируются. Следовательно, поворотный стол будет в поступательном равновесии. Несмотря на это, скорость вращения будет уменьшена, что означает, что ускорение больше не будет нулевым. Из этого мы можем заключить, что только потому, что вращающийся объект находится в поступательном равновесии, он не обязательно находится в вращательном равновесии.

Вращательное движение и постоянное угловое ускорение

Угловое ускорение

Хотя большую часть времени колесо обозрения работает, оно имеет постоянную угловую скорость, когда оно останавливается и запускается, оно должно ускоряться или замедляться.В это время меняется угловая скорость колеса обозрения. Каждый раз, когда скорость объекта изменяется, он ускоряется. Угловое ускорение определяется как скорость изменения угловой скорости. Если колесо обозрения ускоряется с постоянной скоростью, то можно сказать, что угловое ускорение постоянно.

Постоянное угловое ускорение

Для объектов, которые вращаются с постоянным угловым ускорением, существует несколько уравнений, называемых кинематическими уравнениями для углового движения, которые можно использовать для определения углового положения или угловой скорости объекта в любой точке в пространстве. время.

Это много символов, правда ?! Прежде чем вы сможете правильно использовать эти уравнения, вы должны знать, что представляет каждый символ. Угловое положение, скорость и ускорение всегда представлены с помощью символов, показанных ниже:

Чтобы решить проблему с помощью этих кинематических уравнений, сначала определите, какие величины вам известны, а какие нужно найти. Затем найдите уравнение, которое позволит вам найти то, что вам нужно, с использованием уже известных вам величин.Давайте посмотрим на несколько примеров.

Практические задачи

Во-первых, снова рассмотрим колесо обозрения. Если оно начинается из состояния покоя и достигает угловой скорости 1,5 рад / с за 10-секундный период, каково угловое ускорение колеса обозрения?

В этой задаче вам известна начальная угловая скорость (нулевая, потому что она начинается в состоянии покоя) и конечная угловая скорость (1,5 рад / с). Вы также знаете время (10 секунд) для его ускорения. Единственное, чего вы не знаете, так это углового ускорения.Какое из приведенных выше уравнений можно использовать для определения углового ускорения?

Вы выбрали первый? Верно! Это уравнение содержит символы начальной угловой скорости, конечной угловой скорости, времени и углового ускорения. Это именно то, что вам нужно!

После того, как вы определили лучшее уравнение для использования, вам нужно использовать некоторую алгебру, чтобы изменить это уравнение, чтобы найти неизвестную величину, угловое ускорение.

Теперь давайте посмотрим, что происходит, когда колесо обозрения замедляется.2), начальная угловая скорость (1,5 рад / с) и конечная угловая скорость (ноль), но какой величине соответствует количество оборотов?

Угловое положение рассчитывается в радианах, но поскольку на один оборот всегда приходится 2 * пи радиана, как только вы узнаете, насколько изменилось угловое положение (в радианах), вы можете легко преобразовать это количество, чтобы найти количество оборотов.

Во-первых, вам нужно решить, какое уравнение использовать для расчета изменения углового положения.Вы знаете угловое ускорение, начальную и конечную угловые скорости, и вам нужно найти угловое положение. Какое уравнение содержит все эти величины? Третий!

Как только вы узнаете, на сколько радиан он проходит во время остановки, вам просто нужно преобразовать это в число оборотов.

Резюме урока

Угловая скорость вращающегося объекта — это скорость, с которой он вращается.

Движение токи по окружности

I. Механика

Тестирование онлайн

Угловая скорость

Период и частота

Линейная скорость

Центростремительное ускорение

Вращение Земли

Связь со вторым законом Ньютона

Как вывести формулу центростремительного ускорения

Движение по циклоиде*

Движение материальной точки по окружности. Угловая скорость и угловое ускорение и их связь с линейными характеристиками движения

Для характеристики изменения вектора скорости на величину δv введем ускорение :

Угловая скорость и угловое ускорение

Движение токи по окружности

Движение по окружности

Угловой путь

Угловая скорость — куда она направлена

Связь между линейной и угловой скоростью

Частота и период

Количество оборотов

Связь между угловой скоростью и частотой

угловая скорость и угловое ускорение, их связь с линейной скоростью и ускорением

Формула расчета углового ускорения

Основные понятия

Закон равнопеременного вращения

Практические примеры

Тангенциальное ускорение влияет на модуль линейной скорости

Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью

Тангенциальное ускорение – когда модуль скорости меняется

Общее ускорение при движении по окружности

Занятие 3. Кинематика вращательного движения материальной точки.

Как связаны скорость и угловая скорость

Тестирование онлайн

Угловая скорость

Период и частота

Линейная скорость

Центростремительное ускорение

Вращение Земли

Связь со вторым законом Ньютона

Как вывести формулу центростремительного ускорения

Движение по циклоиде*

Угловая скорость

Основные формулы для вычисления угловой скорости

Угловое ускорение маховика

Среднее угловое ускорение

Тангенциальное ускорение

Мгновенное угловое ускорение

Угловое ускорение | Физика

Цели обучения

Пример 1. Расчет углового ускорения и замедления велосипедного колеса

Пример 2. Расчет углового ускорения колеса мотоцикла

Проверьте свое понимание

Сводка раздела

Концептуальные вопросы

Задачи и упражнения

Глоссарий

Избранные решения проблем и упражнения

10.1 Угловое ускорение — Физика колледжа, главы 1-17

Сводка

Пример 1: Расчет углового ускорения и замедления велосипедного колеса

Пример 2: Расчет углового ускорения колеса мотоцикла

УСТАНОВКА ПОДКЛЮЧЕНИЙ: ЭКСПЕРИМЕНТ НА ​​ДОМУ

Проверьте свое понимание

ФЕТ ИССЛЕДОВАНИЯ: РЕВОЛЮЦИЯ БОЖЬЕЙ КОРОВКИ

Концептуальные вопросы

Задачи и упражнения

Вращательная инерция — College Physics

Цели обучения

Инерция вращения и момент инерции

Сводка раздела

Задачи и упражнения

Глоссарий

10.3 Связь угловых и трансляционных величин — University Physics Volume 1

Learning Objectives

Угловые и линейные переменные

Взаимосвязь между вращательным и поступательным движением

Пример 10,7

Линейное ускорение центрифуги

Стратегия

УСТАНОВКА ПОДКЛЮЧЕНИЙ: ЭКСПЕРИМЕНТ НА ДОМУ