Знак 5 7 1: Знак 5.7.1. Выезд на дорогу с односторонним движением – ПДД Украины

Удаленный сервер вернул « #5. 7.1 smtp;550 5.7.1 RESOLVER.RST.AuthRequired; требуется аутентификация [Этап: CreateMessage]'

Чтобы настроить общую папку для приема сообщений от внешних отправителей, выполните следующие действия:

Новый ЕАС

1. Откройте центр администрирования Exchange (EAC). Дополнительные сведения см. в разделе Центр администрирования Exchange в Exchange Online.

2. Перейти к Общие папки > Общие папки .

3. Выберите общую папку из списка и нажмите Изменить .

4. Нажмите Настройки потока почты .

5. В рамках Ограничения доставки сообщений > Принимать сообщения от , выполнять следующие задачи:

   • Снимите флажок Требовать аутентификацию всех отправителей .
   • Выбрать Все отправители .

6. Щелкните Сохранить .

Классический EAC

1. Откройте центр администрирования Exchange (EAC).Для получения дополнительной информации см. Центр администрирования Exchange в Exchange Online.

2. В Центре администрирования Exchange перейдите к Общедоступные папки > Общедоступные папки > выберите общедоступную папку из списка и нажмите Изменить

3. В открывшемся диалоговом окне свойств общей папки перейдите к Настройки потока почты и настройте следующие параметры в разделе Принимать сообщения от :

   • Снимите флажок Требовать аутентификацию всех отправителей .
   • Выбрать Все отправители .

4. Щелкните Сохранить .

Отправитель является внешним, и его исходный IP-адрес находится в черном списке Microsoft

В этом случае отчет о недоставке, который получает отправитель, будет включать информацию в разделе Диагностика для администраторов , аналогичную следующей информации:

5. 7.1 Услуга недоступна; Хост клиента [xxx.xxx.xxx.xxx] заблокирован с помощью черного списка 1; Чтобы запросить удаление из этого списка, отправьте это сообщение по адресу delist@messaging.Майкрософт.com

Чтобы снять ограничение на исходную систему электронной почты отправителя, перешлите сообщение о недоставке на адрес [email protected]. Также см. Использование портала удаления, чтобы удалить себя из списка заблокированных отправителей.

Ваш домен не полностью зарегистрирован в Microsoft 365 или Office 365

Если ваш домен не полностью зарегистрирован в Microsoft 365 или Office 365, попробуйте выполнить следующие действия:

Проблема с записью MX вашего домена

Если у вас неправильная запись MX, попробуйте выполнить следующие действия:

1. Проверьте домены отправителя и получателя на наличие неправильных или устаревших записей MX с помощью теста Расширенная диагностика > Exchange Online в Microsoft Support and Recovery Assistant. Дополнительные сведения о Помощнике по поддержке и восстановлению см. в разделе О Помощнике по поддержке и восстановлению Майкрософт.

2. Обратитесь к регистратору вашего домена или в службу хостинга DNS, чтобы убедиться, что запись MX для вашего домена верна. Запись MX для домена, зарегистрированного в Exchange Online, использует синтаксис .mail.protection.outlook.com.

3. Проверка Входящей электронной почты SMTP и Исходящей электронной почты SMTP на Office 365 > Конфигурация потока почты в анализаторе удаленного подключения Microsoft.

4. Убедитесь, что для вашего домена настроена только одна запись MX. Microsoft не поддерживает использование более одной записи MX для домена, зарегистрированного в Exchange Online.

Проблема с записью SPF вашего домена

Запись Sender Policy Framework (SPF) для вашего домена может быть неполной и включать не все источники электронной почты для вашего домена. Дополнительные сведения см. в разделе Настройка SPF для предотвращения спуфинга.

Проблемы с гибридной конфигурацией

• Если ваш домен является частью гибридного развертывания между локальными Exchange и Exchange Online, мастер гибридной конфигурации должен автоматически настроить необходимые соединители для потока почты.Тем не менее, вы можете использовать шаги, описанные в этом разделе, для проверки настроек соединителя.

  1. Откройте центр администрирования Microsoft 365 по адресу https://portal.microsoftonline.com и щелкните Admin > Exchange .

  2. В центре администрирования Exchange щелкните Mail Flow > Connectors . Выберите соединитель, который используется для гибридного подключения, и выберите Edit . Проверьте следующую информацию:

     • Доставка : Если выбран параметр Маршрутизация почты через промежуточные узлы , убедитесь, что указан правильный IP-адрес или полное доменное имя. Если выбрана запись MX , связанная с доменом получателя , убедитесь, что запись MX для домена указывает на правильный почтовый сервер.

       Вы можете проверить свою запись MX и свою способность отправлять почту из своей организации Exchange Online, используя тест Исходящая электронная почта SMTP в анализаторе удаленного подключения Microsoft.

     • Область действия : если вам необходимо направлять входящую интернет-почту в локальную организацию Exchange, доменов должны включать все домены электронной почты, которые используются в вашей локальной организации.Вы можете использовать звездочку (*), чтобы также направлять всю исходящую интернет-почту через локальную организацию.

  Если соединители настроены неправильно, администратору Exchange необходимо повторно запустить мастер гибридной конфигурации в локальной организации Exchange.

• Если вы отключите локальную учетную запись Active Directory, вы получите следующее сообщение об ошибке:

  Ваше сообщение не может быть доставлено получателю, поскольку у вас нет разрешения на его отправку. Попросите администратора электронной почты получателя добавить вас в список приема для получателя. Дополнительные сведения см. в статье Ошибки DSN 5.7.129 в Exchange Online и Microsoft 365 или Office 365.

  Чтобы прекратить все взаимодействие с почтовым ящиком Exchange Online, вам необходимо удалить локальную учетную запись пользователя, а не отключать ее.

  Другим решением может быть удаление лицензии, но тогда вам потребуется создать правило потока обработки почты (также известное как правило транспорта), чтобы запретить пользователю получать сообщения электронной почты.В противном случае пользователь продолжал бы получать сообщения в течение примерно 30 дней после удаления лицензии.

  Рассматривайте этот сценарий как часть рабочего процесса отключения пользователя в Exchange Online.

Все еще нужна помощь?

См. также

Отчеты о недоставке по электронной почте в Exchange Online

Решение неравенств с помощью пошагового решения математических задач

В главе 2 мы установили правила решения уравнений с использованием арифметических чисел. Теперь, когда мы изучили операции над числами со знаком, мы будем использовать те же правила для решения уравнений, в которых участвуют отрицательные числа. Мы также изучим методы решения и построения графиков неравенств с одним неизвестным.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ, ВКЛЮЧАЮЩИХ ЗНАКОВЫЕ ЧИСЛА

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете решать уравнения с числами со знаком.

Пример 1 Найдите x и проверьте: x + 5 = 3

Решение

Используя те же процедуры, описанные в главе 2, мы вычтем 5 из каждой части уравнения, получив

Пример 2 Найдите x и проверьте: — 3x = 12

Решение

Разделив каждую сторону на -3, получим

Другой способ решения уравнения 3x — 4 = 7x + 8 состоит в том, чтобы сначала вычесть 3x с обеих сторон, получив -4 = 4x + 8, , затем вычесть 8 с обеих сторон и получить -12 = 4x. . Теперь разделите обе части на 4, чтобы получить — 3 = x или x = — 3.

ЛИТЕРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ЗАДАЧИ

После завершения этого раздела вы сможете:

1. Найдите буквальное уравнение.
2. Применяйте ранее изученные правила для решения буквенных уравнений.

Уравнение, состоящее более чем из одной буквы, иногда называют буквальным уравнением . Иногда бывает необходимо решить такое уравнение для одной из букв через другие. Пошаговая процедура, рассмотренная и использованная в главе 2, по-прежнему действительна после удаления любых символов группировки.

Пример 1 Решить для c: 3(x + c) — 4y = 2x — 5c

Решение

Сначала удалите скобки.

Здесь мы отмечаем, что, поскольку мы решаем для c, мы хотим получить c с одной стороны и все остальные члены с другой стороны уравнения. Таким образом, мы получаем

Иногда форма ответа может быть изменена. В этом примере мы могли бы умножить и числитель, и знаменатель ответа на (-l) (это не меняет значение ответа) и получить

Преимущество этого последнего выражения перед первым состоит в том, что в ответе не так много отрицательных знаков.

Наиболее часто используемые буквенные выражения — это формулы из геометрии, физики, бизнеса, электроники и т. д.

Пример 4 – это формула площади трапеции. Решите для с.

Пример 5 представляет собой формулу, определяющую проценты (I), полученные за период D дней, когда известны основная сумма долга (p) и годовая ставка (r). Найдите годовую ставку, если известны сумма процентов, основная сумма долга и количество дней.

Решение

Задача требует решения для r.

Обратите внимание, что в этом примере r оставлено справа, поэтому вычисления упростились. Мы можем переписать ответ по-другому, если захотим.

ГРАФИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА

ЗАДАЧИ

После завершения этого раздела вы сможете:

1. Используйте символ неравенства для обозначения относительного положения двух чисел на числовой прямой.
2. Графические неравенства на числовой прямой.

Мы уже обсуждали множество рациональных чисел как те, которые могут быть выражены как отношение двух целых чисел.Существует также набор чисел, называемый иррациональными числами, , которые нельзя выразить как отношение целых чисел. В этот набор входят такие числа как и так далее. Множество, состоящее из рациональных и иррациональных чисел, называется действительными числами.

Для любых двух действительных чисел a и b всегда можно сказать, что Много раз нас интересует только, равны ли два числа, но бывают ситуации, когда мы также хотим представить относительный размер чисел, которые не равны. равный.

Символы представляют собой символы неравенства или отношения порядка и используются для отображения относительных размеров значений двух чисел. Обычно мы читаем этот символ как «больше чем». Например, a > b читается как «а больше, чем b». Обратите внимание, что мы заявили, что обычно читаем

и

Проще говоря, это определение утверждает, что а меньше b, если мы должны добавить что-то к а, чтобы получить b.Конечно, «что-то» должно быть положительным.

Если вы думаете о числовой строке, то знаете, что добавление положительного числа эквивалентно перемещению вправо по числовой строке. Это приводит к следующему альтернативному определению, которое может быть легче визуализировать.

Пример 1 3

Пример 2 — 4

Мы могли бы также написать 0 > — 4.

Пример 3 4 > — 2, потому что 4 находится справа от -2 на числовой прямой.

Пример 4 — 6

Математическое утверждение x

На самом деле, назвать число x, которое является наибольшим числом меньше 3, невозможно. Однако это может быть указано в числовой строке.Для этого нам нужен символ, представляющий значение утверждения, такого как x

Символы ( и ), используемые на числовой прямой, указывают на то, что конечная точка не включена в набор.

Пример 5 График x

Раствор

Обратите внимание, что на графике есть стрелка, указывающая, что линия продолжается без конца влево.

На этом графике представлены все действительные числа меньше 3.

Пример 6 График x > 4 на числовой прямой.

Решение

Пример 7 График x > -5 на числовой прямой.

Решение

Пример 8 Постройте линейный график, показывающий, что x > — 1 и x

Раствор

Оператор x > — 1 и x

Пример 9 График — 3

Раствор

Если мы хотим включить конечную точку в набор, мы используем другой символ, :. Мы читаем эти символы как «равно или меньше» и «равно или больше».

Пример 10 х >; 4 указывает число 4 и все действительные числа справа от 4 на числовой прямой.

Символы [ и ], используемые в числовой строке, указывают на то, что конечная точка включена в набор.

Пример 13 Напишите алгебраическое выражение, представленное следующим графиком.

Пример 14 Напишите алгебраическое выражение для следующего графика.

Пример 15 Напишите алгебраическое выражение для следующего графика.

Пример 16 График на числовой прямой.

Решение

В этом примере есть небольшая проблема. Как мы можем указать на числовой прямой? Если мы оценим точку, то другой человек может неправильно понять утверждение. Не могли бы вы сказать, представляет ли точка или, может быть, ? Поскольку целью графика является уточнение, всегда обозначает конечную точку .

Граф используется для передачи заявления. Вы всегда должны называть нулевую точку, чтобы показать направление, а также конечную точку или точки, чтобы быть точным.

РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы должны уметь решать неравенства с одним неизвестным.

Решения неравенств обычно основаны на тех же основных правилах, что и уравнения. Есть одно исключение, которое мы вскоре обнаружим. Однако первое правило аналогично тому, которое используется при решении уравнений.

Если к каждой стороне неравенства прибавить одинаковое количество, результаты будут неравными в том же порядке.

Пример 1 Если 5

Пример 2 Если 7

Мы можем использовать это правило для решения некоторых неравенств.

Пример 3 Решить для x: x + 6

Раствор

Если мы прибавим -6 к каждой стороне, мы получим

Построив это решение на числовой прямой, мы получим

Обратите внимание, что процедура такая же, как и при решении уравнений.

Теперь мы воспользуемся правилом сложения, чтобы проиллюстрировать важную концепцию умножения или деления неравенств.

Предположим, х > а.

Теперь добавьте — x к обеим сторонам по правилу сложения.

Теперь добавьте -a с обеих сторон.

Последнее выражение -a > -x можно переписать как -x < -a. Поэтому мы можем сказать: «Если х > а, то — х

Если неравенство умножить или разделить на отрицательное число, результаты будут неравны в порядке против .

Пример 5 Найдите x и нарисуйте решение: -2x>6

Решение

Чтобы получить x в левой части, мы должны разделить каждый член на — 2. Обратите внимание, что, поскольку мы делим на отрицательное число, мы должны изменить направление неравенства.

Обратите внимание на этот факт. Каждый раз, когда вы делите или умножаете на отрицательное число, вы должны изменить направление символа неравенства. Это единственная разница между решением уравнений и решением неравенств.

После того, как мы удалили круглые скобки и в выражении остались только отдельные члены, процедура поиска решения почти такая же, как в главе 2.

Давайте теперь рассмотрим пошаговый метод из главы 2 и отметим разницу при решении неравенств.

Первый Удалите дроби, умножив все члены на наименьший общий знаменатель всех дробей. (Без изменений, когда мы умножаем на положительное число.)
Второй Упростите, объединив одинаковые члены с каждой стороны неравенства. (Без изменений)
Третий Сложите или вычтите количества, чтобы получить неизвестное на одной стороне и числа на другой.(без изменений)
Четвертый Разделите каждый член неравенства на коэффициент при неизвестном. Если коэффициент положительный, неравенство останется прежним. Если коэффициент отрицательный, неравенство будет обратным. (Это важное различие между уравнениями и неравенствами.)

Не забудьте пометить конечную точку.

ОБЗОР

Ключевые слова

• Буквенное уравнение — это уравнение, включающее более одной буквы.
• Символы символы неравенства или отношения порядка .
• a a находится слева от b на действительной числовой прямой.
• Двойные символы: указывают, что конечных точки включены в набор решений .

Процедуры

• Чтобы решить буквальное уравнение для одной буквы через другие, выполните те же действия, что и в главе 2.
• Чтобы решить неравенство, выполните следующие шаги:
  Шаг 1 Исключите дроби, умножив все члены на наименьший общий знаменатель всех дробей.
  Шаг 2 Упростите, объединив одинаковые члены с каждой стороны неравенства.
  Шаг 3 Сложите или вычтите количества, чтобы получить неизвестное на одной стороне и числа на другой.
  Шаг 4 Разделите каждый член неравенства на коэффициент неизвестного. Если коэффициент положительный, неравенство останется прежним.Если коэффициент отрицательный, неравенство будет обратным.
  Шаг 5 Проверьте свой ответ.
  

7 недель беременности: развитие ребенка, симптомы и признаки

Знайте признаки

Даже если вы еще никому не говорите о своей беременности, ваш ребенок обязательно скажет вам об этом. Не столько слов, сколько симптомов беременности. Как та ноющая тошнота во время беременности, которая преследует вас днем ​​и ночью, или вся эта избыточная слюна, скапливающаяся у вас во рту (я пускаю слюни?).

Есть еще один ранний признак беременности, который вы точно не сможете пропустить, особенно когда изо всех сил пытаетесь застегнуть блузку на постоянно растущей груди (это действительно мое?).

Хотя ваш ребенок размером с чернику, ваша грудь, вероятно, больше похожа на дыню. Некоторые женщины выросли на полный размер чашки на 7 неделе беременности — что могло бы быть приятной новостью, если бы эти сиськи не были такими неприятно чувствительными, покалывающими и ноющими. Виновник? Опять эти непослушные, но необходимые гормоны беременности, эстроген и прогестерон.

Жир также накапливается в груди, и увеличивается приток крови к этой области. Ваши соски могут торчать немного больше, чем обычно, но они настолько чувствительны и нежны, что могут причинять боль при прикосновении.

Ареола, темная область вокруг соска, уже стала темнее и больше — и в ближайшие месяцы она будет продолжать расти и приобретать более насыщенный цвет.

Вы также заметите небольшие пятна, похожие на гусиную кожу, на ареоле. Эти бугорки, называемые бугорками Монтгомери, представляют собой сальные железы, обеспечивающие смазку ареолы.

И если вам интересно, почему происходят все эти изменения, вот ваш ответ: все они необходимы для выполнения важной задачи грудного вскармливания вашего новорожденного примерно через 33 недели!

Преодоление отвращения к еде

Если в наши дни один взгляд на куриную грудку заставляет вас вылететь за дверь — или если запах швейцарского сыра заставляет ваш пищеварительный тракт страдать йодлем — вы в хорошей компании. Отвращение к еде во время беременности не только очень распространено, но и довольно сбивает с толку, особенно когда ваша когда-то любимая еда внезапно оставляет вас холодным и вызывающим тошноту.

Лучший совет: во что бы то ни стало удовлетворите свои новые вкусы. Пусть ваши приемы пищи будут пресными и скучными, найдите заменители продуктов, к которым у вас есть отвращение — подумайте о киноа вместо белка, если вы не переносите вид или запах мяса, — и радуйтесь, если ваши отвращения связаны с продуктами, которых вы должны избегать. так или иначе.

Раздел ÷ | Основы арифметики

На этой странице представлена ​​основная информация о Подразделении (÷) .

См. другие наши арифметические страницы для обсуждения и примеров: сложение ( + ), вычитание (-) и умножение ( × ).

Подразделение

Обычный письменный символ деления — (÷). В электронных таблицах и других компьютерных приложениях используется символ «/» (косая черта).

Деление — это противоположность умножения в математике.

Деление часто считается самой сложной из четырех основных арифметических функций. На этой странице объясняется, как выполнять вычисления деления. Как только мы хорошо разберемся в методе и правилах, мы сможем использовать калькулятор для более сложных вычислений, не делая ошибок.

Деление позволяет нам разделить или «поделиться» числами, чтобы найти ответ. Например, давайте подумаем, как найти ответ на 10 ÷ 2 (десять разделить на два). Это то же самое, что «делить» 10 конфет между двумя детьми. У обоих детей должно получиться одинаковое количество конфет. В этом примере ответ равен 5.

Некоторые краткие правила о Дивизии:

• При делении 0 на другое число ответ всегда будет 0. Например: 0 ÷ 2 = 0.То есть 0 конфет поделили поровну между 2 детьми — каждый ребенок получает 0 конфет.

• Когда вы делите число на 0, вы вообще не делите (это большая проблема в математике). 2 ÷ 0 невозможно. У вас есть 2 конфеты, но нет детей, чтобы разделить их между собой. На 0 делить нельзя.

• При делении на 1 ответ совпадает с числом, которое вы делили. 2 ÷ 1 = 2. Две конфеты разделить на одного ребенка.

• При делении на 2 число уменьшается пополам.2 ÷ 2 = 1.

• Любое число, деленное на одно и то же число, равно 1. 20 ÷ 20 = 1. Двадцать конфет разделить на двадцать детей — каждый ребенок получает по одной конфете.

• Числа должны быть разделены в правильном порядке. 10 ÷ 2 = 5, тогда как 2 ÷ 10 = 0,2. Десять конфет, разделенных на двоих детей, сильно отличаются от 2 конфет, разделенных на 10 детей.

• Все дроби, такие как ½, ¼ и ¾, являются суммами деления. ½ равно 1 ÷ 2. Одна конфета делится на двоих детей.См. нашу страницу Дроби для получения дополнительной информации.

Множественные вычитания

Точно так же, как умножение — это быстрый способ вычисления нескольких сложений, деление — это быстрый способ выполнения нескольких вычитаний.

Например:

Если у Джона в машине 10 галлонов топлива, и он использует 2 галлона в день, сколько дней до того, как он закончится?

Мы можем решить эту задачу, выполнив серию вычитаний или посчитав в обратном порядке с шагом 2.

• В день 1 Джон начинает с 10 галлонов и заканчивает 8 галлонов. 10 — 2 = 8
• В день 2 Джон начинает с 8 галлонов и заканчивает 6 галлонов. 8 — 2 = 6
• В день 3 Джон начинает с 6 галлонов и заканчивает 4 галлонов. 6 — 2 = 4
• В день 4 Джон начинает с 4 галлонов и заканчивает 2 галлонов. 4 — 2 = 2
• В день 5 Джон начинает с 2 галлонов и заканчивает 0 галлонов. 2 — 2 = 0

У Джона закончилось топливо на 5-й день. 

Более быстрый способ выполнить это вычисление — разделить 10 на 2. То есть, сколько раз 2 входит в 10 или сколько партий по два галлона содержится в десяти галлонах? 10 ÷ 2 = 5,

Таблица умножения (см. умножение) может помочь нам найти ответ на простые вычисления деления.

В приведенном выше примере нам нужно было вычислить 10 ÷ 2 . Для этого с помощью таблицы умножения найдите столбец для 2 (красный заштрихованный заголовок). Двигайтесь вниз по столбцу, пока не найдете нужный номер: 10 . Переместитесь по строке влево, чтобы увидеть ответ (красный затененный заголовок) 5 .

Таблица умножения

Мы можем выполнить другие простые вычисления деления, используя тот же метод. 56 ÷ 8 = 7 например. Найдите 7 в верхней строке, посмотрите вниз по столбцу, пока не найдете 56 , затем найдите соответствующий номер строки, 8 .

Если возможно, вы должны попытаться запомнить приведенную выше таблицу умножения, потому что она значительно ускоряет выполнение простых вычислений по умножению и делению.

Деление больших чисел

Вы можете использовать калькулятор для выполнения вычислений деления, особенно когда вы делите большие числа, которые труднее вычислить в уме.Однако важно понимать, как выполнять вычисления деления вручную. Это полезно, когда у вас нет калькулятора под рукой, но также необходимо, чтобы убедиться, что вы правильно используете калькулятор и не делаете ошибок. Деление может показаться пугающим, но на самом деле, как и в большинстве арифметических операций, оно логично.

Как и во всей математике, проще всего понять это на примере:

Машине Дейва нужны новые шины. Ему нужно заменить все четыре шины на машине плюс запаску.

Дэйв получил предложение от местного гаража на сумму 480 фунтов стерлингов, включая шины, установку и утилизацию старых шин. Сколько стоит каждая шина?

Задача, которую нам нужно вычислить, это 480 ÷ 5 . Это то же самое, что сказать, сколько раз 5 будет входить в 480?

Условно запишем это как:

Работаем слева направо в логической системе.

Начнем с деления 4 на 5 и сразу наткнемся на проблему. 4 не делится на 5, чтобы получить целое число, так как 5 больше 4.

Язык, который мы используем в математике, может сбивать с толку. Другой способ взглянуть на это — спросить: «Сколько раз 5 входит в 4?».

Мы знаем, что 2 дважды входит в число 4 (4 ÷ 2 = 2), и мы знаем, что 1 входит в число 4 четыре раза (4 ÷ 1 = 4), но 5 не входит в число 4, потому что 5 больше 4.

Число, на которое мы делим (в данном случае 5), должно входить в число, на которое мы делим (в данном случае 4), целое число раз. Как вы увидите, это не обязательно должно быть точное целое число.

Так как 5 не входит в 4, мы ставим 0 в первую колонку (сотни). Для получения справки о столбцах сотен, десятков и единиц см. нашу страницу о числах .

Далее мы двигаемся вправо, чтобы включить столбец десятков.Теперь мы можем увидеть, сколько раз 5 входит в число 48.

5 входит в число 48, так как 48 больше 5. Однако нам нужно выяснить, сколько раз оно входит.

Если мы обратимся к нашей таблице умножения, то увидим, что 9 × 5 = 45 и 10 × 5 = 50 .

48 число, которое мы ищем, находится между этими двумя значениями. Помните, нас интересует целое число раз , которое 5 входит в 48. Десять раз — это слишком много.

Мы видим, что 5 входит в число 48 целое число (9) раз, но не точно, с оставшимися 3.

9 × 5 = 45
48 – 45 = 3

Теперь мы можем сказать, что 5 входит в 48 девять раз, но с остатком 3. Остаток — это то, что остается, когда мы вычитаем число, которое мы нашли, из числа, на которое мы делим: 48 — 45 = 3 .

Итак, 5 × 9 = 45, + 3, чтобы получить 48.

Мы можем ввести 9 в столбце десятков в качестве ответа для второй части вычисления и поставить наш остаток перед нашим последним числом в столбце единиц.Наше последнее число становится 30.

Теперь разделим 30 на 5 (или узнаем, сколько раз 5 входит в 30). Используя нашу таблицу умножения, мы видим, что ответ равен ровно 6 без остатка. 5 × 6 = 30. Мы пишем 6 в столбце единиц нашего ответа.

Поскольку остатка нет, мы закончили расчет и получили ответ 96 .

Новые шины Дейва будут стоить 96 фунтов каждая. 480 ÷ 5 = 96 и 96 × 5 = 480 .

Отдел рецептов

Наш последний пример деления основан на рецепте. Часто при приготовлении пищи рецепты сообщают вам, сколько еды они собираются приготовить, например, достаточно, чтобы накормить 6 человек.

Ингредиенты, указанные ниже, необходимы для приготовления 24 сказочных тортов, однако нам нужно сделать только 8 сказочных тортов. Мы немного изменили ингредиенты для этого примера (оригинальный рецепт: BBC Food).

Первое, что нам нужно установить, это сколько восьмерок в числе 24. Воспользуйтесь таблицей умножения выше или своей памятью.3 × 8 = 24 — если мы разделим 24 на 8, мы получим 3.  Следовательно, нам нужно разделить каждый ингредиент ниже на 3, чтобы получить нужное количество смеси для приготовления 8 сказочных пирожных.

Ингредиенты

• 120 г сливочного масла, размягченного при комнатной температуре
• 120 г сахарной пудры
• 3 куриных яйца, слегка взбитых
• 1 чайная ложка ванильного экстракта
• 120 г самоподнимающейся муки
• 1-2 столовые ложки молока

Количество масла, сахара и муки одинаковое, 120г.Следовательно, необходимо вычислить 120 ÷ 3 только один раз, так как ответ будет одинаковым для этих трех ингредиентов.

Как и раньше, мы начинаем с левого столбца (сотни) и делим 1 на 3. Однако 3 ÷ 1 не идет, так как 3 больше 1. Далее мы смотрим, сколько раз 3 входит в 12. Используя таблицу умножения при необходимости мы можем увидеть, что 3 входит в число 12 ровно 4 раза по без остатка.

120 г ÷ 3 равно 40 г. Теперь мы знаем, что нам понадобится 40 г сливочного масла, сахара и муки.

В исходном рецепте указано 3 яйца, и мы снова делим на 3. Таким образом, 3 ÷ 3 = 1, поэтому необходимо одно яйцо.

Далее по рецепту требуется 1 чайная ложка ванильного экстракта. Нам нужно разделить одну чайную ложку на 3. Мы знаем, что деление можно записать в виде дроби, поэтому 1 ÷ 3 — это то же самое, что ⅓ (одна треть). Вам понадобится ⅓ чайной ложки ванильного экстракта, хотя на самом деле может быть сложно точно отмерить ⅓ чайной ложки!

Оценка может быть полезной, и единицы измерения можно изменить!

Мы можем посмотреть на это по-другому, если мы знаем, что одна чайная ложка равна 5 мл или 5 миллилитрам.(Если вам нужна помощь с единицами измерения, см. нашу страницу Системы измерения . ) Если мы хотим быть более точными, мы можем попробовать разделить 5 мл на 3. 3 входит в 5 один раз (3), а 2 остаются. 2 ÷ 3 равно ⅔, поэтому 5 мл, разделенные на 3, дают нам 1⅔ мл, что в десятичных дробях равно 1,666 мл. Мы можем использовать наши навыки оценки и сказать, что одна чайная ложка, разделенная на три, чуть больше, чем полтора мл. Если у вас на кухне есть несколько таких крошечных мерных ложек, вы можете быть очень точны!

Мы можем оценить ответ, чтобы убедиться, что мы правы.Три партии по 1,5 мл дают нам 4,5 мл. Таким образом, три партии «чуть больше 1,5 мл» дают нам около 5 мл. Рецепты редко являются точной наукой, поэтому небольшая оценка может быть забавой и хорошей практикой для нашей ментальной арифметики.

Далее по рецепту требуется 1–2 столовые ложки молока. Это от 1 до 2 столовых ложек молока. У нас нет определенного количества, и то, сколько молока вы добавите, будет зависеть от консистенции вашей смеси.

Мы уже знаем, что 1 ÷ 3 равно ⅓, а 2 ÷ 3 равно ⅔. Таким образом, нам понадобится ⅓–⅔ столовой ложки молока, чтобы приготовить восемь волшебных лепешек. Давайте посмотрим на это с другой стороны. Одна столовая ложка равна 15 мл. 15 ÷ 3 = 5, поэтому ⅓–⅔ столовой ложки соответствует 5–10 мл, то есть 1–2 чайным ложкам!

Дополнительное чтение из навыков, которые вам нужны

Основы счета
Часть руководства по необходимым навыкам счета

В этой электронной книге представлены рабочие примеры и простые для понимания объяснения, которые покажут вам, как использовать основные математические операции и начать манипулировать числами.Он также включает примеры из реальной жизни, чтобы прояснить, как эти концепции полезны в реальной жизни.

Если вы хотите освежить свои знания или помочь своим детям в обучении, эта книга для вас.

Введение в неравенства и обозначения интервалов

2.7 Введение в неравенства и обозначения интервалов

Цели обучения

1. Нанесите решения одного неравенства на числовую прямую и выразите решения, используя запись интервалов.
2. Нанесите решения сложного неравенства на числовую прямую и выразите решения, используя запись интервалов.

Неограниченные интервалы

Алгебраическое неравенствоВыражения, связанные с символами ≤, <, ≥ и >., например x≥2, читается как « x больше или равно 2». Это неравенство имеет бесконечно много решений для x . Некоторые из решений 2, 3, 3,5, 5, 20 и 20,001.Поскольку невозможно перечислить все решения, необходима система, позволяющая четко передавать этот бесконечный набор. Два распространенных способа выражения решений неравенства — это графическое отображение их на числовой прямой. Решения алгебраического неравенства выражаются штриховкой решения на числовой прямой. и с использованием интервальной записи Текстовая система выражения решений алгебраического неравенства..

Чтобы выразить решение графически, нарисуйте числовую линию и заштрихуйте все значения, являющиеся решениями неравенства. Обозначение интервала является текстовым и использует следующие специальные обозначения:

Определите обозначение интервала после построения графика набора решений на числовой прямой. Числа в интервальной записи следует записывать в том же порядке, в котором они появляются в числовой строке, причем меньшие числа в наборе появляются первыми. В данном примере имеет место инклюзивное неравенство. Неравенство, включающее граничную точку, обозначенную «или равной» частью символов ≤ и ≥, и закрытую точку на числовой прямой., что означает, что нижняя граница 2 включена в решение. Обозначьте это закрытой точкой на числовой прямой и квадратной скобкой в ​​обозначении интервала. Символ (∞) читается как бесконечность. Символ (∞) указывает на то, что интервал не ограничен справа. и указывает, что набор неограничен справа на числовой прямой. Интервальное обозначение требует скобок для заключения бесконечности. Квадратная скобка указывает, что граница включена в решение. Скобки означают, что граница не включена. Бесконечность — это верхняя граница действительных чисел, но сама она не является действительным числом: она не может быть включена в набор решений.

Теперь сравните обозначение интервала в предыдущем примере со строгим, или неинклюзивным, неравенством, которое следует ниже:

Строгие неравенства Выражайте отношения порядка, используя символ < для «меньше» и > для «больше». подразумевают, что решения могут подойти очень близко к граничной точке, в данном случае 2, но на самом деле не включать ее.Обозначим эту идею открытой точкой на числовой прямой и круглой скобкой в ​​записи интервала.

Пример 1: Постройте график и задайте эквивалент записи интервала: x<3.

Решение: Используйте открытую точку на 3 и заштрихуйте все действительные числа строго меньше 3. Используйте отрицательную бесконечность Символ (-∞) указывает, что интервал неограничен слева. (−∞), чтобы указать, что набор решений не ограничен слева на числовой прямой.

Ответ: Обозначение интервала: (−∞, 3)

Пример 2: Постройте график и задайте эквивалент записи интервала: x≤5.

Решение: Используйте закрытую точку и заштрихуйте все числа меньше 5 включительно.

Ответ: Обозначение интервала: (−∞, 5]

Важно понимать, что 5≥x равно x≤5. Оба требуют, чтобы значения x были меньше или равны 5.Во избежание путаницы рекомендуется переписать все неравенства с переменной слева. Кроме того, при использовании текста используйте «inf» как сокращенную форму бесконечности. Например, (−∞, 5] может быть выражено текстом как (−inf, 5].

Составное неравенствоДва неравенства в одном утверждении, соединенные словом «и» или словом «или». на самом деле два или более неравенства в одном утверждении, соединенные словом «и» или словом «или». Составные неравенства с логическим «или» требуют выполнения любого из условий.Следовательно, множество решений этого типа составного неравенства состоит из всех элементов множеств решений каждого неравенства. Когда мы соединяем эти отдельные наборы решений, это называется объединением. Набор, образованный путем соединения отдельных наборов решений, обозначенных логическим использованием слова «или» и обозначенных символом ∪., обозначаемым ∪. Например, решения составного неравенства x<3 или x≥6 можно изобразить следующим образом:

Иногда мы сталкиваемся с составными неравенствами, когда отдельные наборы решений перекрываются.В случае, когда составное неравенство содержит слово «или», мы объединяем все элементы обоих множеств, чтобы создать одно множество, содержащее все элементы каждого из них.

Пример 3: Постройте график и задайте эквивалент обозначения интервала: x≤−1 или x<3.

Решение: Объединить все решения обоих неравенств. Решения каждого неравенства нарисованы над числовой линией как средство определения объединения, которое изображено на числовой строке ниже.

Ответ: Обозначение интервала: (−∞, 3)

Любое действительное число меньше 3 в заштрихованной области числовой прямой удовлетворяет хотя бы одному из двух заданных неравенств.

Пример 4: Постройте график и задайте эквивалент обозначения интервала: x<3 или x≥−1.

Решение: Оба набора решений изображены над объединением, которое показано ниже.

Ответ: Обозначение интервала: R = (−∞, ∞)

Когда вы объединяете оба набора решений и формируете объединение, вы можете видеть, что все действительные числа удовлетворяют исходному составному неравенству.

Итого,

и

Ограниченные интервалы

Неравенство типа

гласит: «-1 единица меньше или равна x , а x меньше трех. Это составное неравенство, потому что его можно разложить следующим образом:

Логическое «и» требует, чтобы оба условия были истинными. Обоим неравенствам удовлетворяют все элементы пересечения. Множество, образованное общими значениями отдельных множеств решений, на что указывает логическое использование слова «и», обозначаемого символом ∩., обозначаемого ∩, множеств решений каждого.

Пример 5: Постройте график и задайте эквивалент обозначения интервала: x<3 и x≥−1.

Решение: Определите пересечение или перекрытие двух наборов решений. Решения каждого неравенства нарисованы над числовой линией как средство определения пересечения, которое изображено на числовой строке ниже.

Здесь x=3 не является решением, так как решает только одно из неравенств.

Ответ: Обозначение интервала: [−1, 3)

В качестве альтернативы мы можем интерпретировать -1≤x<3 как все возможные значения для x между или ограниченными -1 и 3 на числовой прямой. Например, одним из таких решений является x=1. Обратите внимание, что 1 находится между -1 и 3 на числовой прямой или что -1 < 1 < 3. Точно так же мы можем видеть, что другие возможные решения - это -1, -0,99, 0, 0,0056, 1,8 и 2,99. Поскольку существует бесконечно много действительных чисел между -1 и 3, мы должны выразить решение графически и/или с помощью интервальной записи, в данном случае [-1, 3).

Пример 6: Постройте график и задайте эквивалент записи интервала: −32

Решение: Закрасьте все действительные числа, ограниченные или строго между -32=-112 и 2.

Ответ: Обозначение интервала: (−32, 2)

Пример 7: Постройте график и задайте эквивалент записи интервала: −5

Решение: Заштрихуйте все действительные числа от −5 до 15 и укажите, что верхняя граница 15 входит в набор решений, используя закрытую точку.

Ответ: Обозначение интервала: (−5, 15]

В предыдущих двух примерах мы не разлагали неравенства; вместо этого мы решили думать обо всех действительных числах между двумя заданными границами.

Итого,

Обозначение Set-Builder

В этом тексте мы используем интервальную запись. Однако в других ресурсах, с которыми вы, вероятно, столкнетесь, используется альтернативный метод описания наборов, называемый нотация построителя наборов. Система для описания наборов с использованием знакомой математической записи.. Мы использовали набор обозначений для перечисления таких элементов, как целые числа

Фигурные скобки группируют элементы набора, а многоточие указывает, что целые числа продолжаются вечно. В этом разделе мы хотим описать интервалы действительных чисел, например, действительные числа, большие или равные 2.

Поскольку набор слишком велик для перечисления, нотация построителя набора позволяет нам описать его, используя знакомую математическую запись.Ниже приведен пример нотации конструктора наборов:

Здесь x ∈ R описывает тип числа, где символ (∈) читается как «элемент». Это означает, что переменная x представляет собой действительное число. Вертикальная черта (|) читается как «такой, что». Наконец, утверждение x≥2 является условием, описывающим множество с помощью математических обозначений. На данном этапе нашего изучения алгебры предполагается, что все переменные представляют действительные числа.По этой причине вы можете опустить «∈ R » и написать {x|x≥2}, что читается как «набор всех действительных чисел x , таких, что x больше или равно 2. ”

Чтобы описать составные неравенства, такие как x<3 или x≥6, напишите {x|x<3 или x≥6}, что читается как «набор всех действительных чисел x , таких что x меньше 3 или x больше или равно 6».

Запишите ограниченные интервалы, такие как −1≤x<3, как {x|−1≤x<3}, что читается как «множество всех действительных чисел x , таких что x больше или равно −1 и меньше 3.

Ключевые выводы

• Неравенства обычно имеют бесконечно много решений, поэтому вместо того, чтобы представлять невероятно большой список, мы представляем такие наборы решений либо графически на числовой прямой, либо в текстовом виде с использованием интервальной записи.
• Инклюзивные неравенства с компонентом «или равно» обозначаются закрытой точкой на числовой прямой и квадратной скобкой в ​​интервальной записи.
• Строгие неравенства без компонента «или равно» обозначаются открытой точкой на числовой прямой и скобками с использованием интервальной записи.
• Составные неравенства, в которых используется логическое «или», решаются путем решения любого неравенства. Набор решений представляет собой объединение каждого отдельного набора решений.
• Составные неравенства, в которых используется логическое «и», требуют, чтобы все неравенства решались одним решением.Набор решений является пересечением каждого отдельного набора решений.
• Составные неравенства вида n A ограниченным между значениями n и m .

Тематические упражнения

Часть A: Простые неравенства

Нанесите все решения на числовую прямую и задайте соответствующее обозначение интервала.

1. х≤10

2. х>−5

3. х>0

4. х≤0

5. x≤−3

6. х≥−1

7. −4

8. 1≥x

9. х<−12

10. х≥−32

11. х≥−134

12. х<34

Часть B: Составные неравенства

Нанесите все решения на числовую прямую и задайте соответствующее обозначение интервала.

13. −2

14. −5≤x≤−1

15. −5

16. 0≤x<15

17. 10

18. −40≤x<−10

19. 0

20. −30

21. −58

22. −34≤x≤12

23. −1≤x<112

24. −112

25.x<−3   или   x>3

26. x<−2   или   x≥4

27. x≤0   или   x>10

28. x≤−20   или  x≥−10

29. x<−23   или   x>13

30. x≤−43   или   x>−13

31. x>−5 или  x<5

32. x<12 или x>−6

33. х<3 или х≥3

34. x≤0 или x>0

35. x<−7 или  x<2

36.x≥−3 или  x>0

37. х≥5 или х>0

38. х<15 или х≤10

39. x>−2   и   x<3

40. x≥0   и  x<5

41. x≥−5   и  x≤−1

42. x<−4   и   x>2

43. x≤3 и x>3

44. x≤5   и   x≥5

45. x≤0   и   x≥0

46. x<2   и   x≤−1

47.x>0    и   x≥−1

48. х<5   и   х<2

Часть C: Обозначение интервала

Определите неравенство, зная ответы, выраженные в интервальной записи.

49. (−∞, 7]

50. (−4, ∞)

51. [−12, ∞)

52. (−∞, −3)

53. (−8, 10]

54. (−20, 0]

55.(−14, −2)

56. [23, 43]

57. (−34, 12)

58. (−∞, −8)

59. (8, ∞)

60. (−∞, 4)∪[8, ∞)

61. (−∞, −2]∪[0, ∞)

62. (−∞, −5]∪(5, ∞)

63. (−∞, 0)∪(2, ∞)

64. (−∞, −15)∪(−5, ∞)

Запишите эквивалентное неравенство.

65. Все действительные числа меньше 27.

66. Все действительные числа меньше или равные нулю.

67. Все действительные числа больше 5.

68. Все действительные числа, большие или равные −8.

69. Все действительные числа строго между −6 и 6.

70. Все действительные числа строго между −80 и 0.

Часть D: Темы на доске обсуждений

71. Сравните нотацию интервала с нотацией построителя наборов. Поделитесь примером набора, описанного с использованием обеих систем.

72. Объясните, почему мы не используем скобки в обозначении интервала, когда бесконечность является конечной точкой.

73. Изучите и обсудите различные составные неравенства, особенно объединения и пересечения.

74. Исследуйте и обсуждайте историю бесконечности.

75. Исследуйте и обсудите вклад Георга Кантора.

76. Что такое диаграмма Венна? Объясни и выложи пример.

ответы

1: (−∞, 10]

3: (0, ∞)

5: (−∞, −3]

7: (−4, ∞)

9: (-∞, -12)

11: [−134, ∞)

13: (−2, 5)

15: (−5, 20]

17: (10, 40]

19: (0, 50]

21: (−58, 18)

23: [−1, 112)

25: (−∞, −3)∪(3, ∞)

27: (−∞, 0]∪(10, ∞)

29: (−∞, −23)∪(13, ∞)

31: Р

33: Р

35: (−∞, 2)

37: (0, ∞)

39: (−2, 3)

41: [−5, −1]

43: ∅

45: {0}

47: (0, ∞)

49: х≤7

51: х≥−12

53: −8

55: −14

57: −34

59: х>8

61: x≤−2 или x≥0

63: x<0  или  x>2

65: х<27

67: х>5

69: −6 .